Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình Parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

VŨ THỊ KHÁNH LY

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG
GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

------

------

VŨ THỊ KHÁNH LY

MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG

GIAN BANACH.

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2015


1

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh hóa . . . . . . . . . . 5
1.2 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 2. Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình
parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời
gian trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Phương pháp chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

LỜI NÓI ĐẦU

Trong mấy thập kỷ qua, lĩnh vực bài toán ngược và bài toán đặt không
chỉnh là một trong những lĩnh vực phát triển mạnh mẽ nhất trong toán
học ứng dụng. Nó là mô hình của nhiều bài toán thực tế trong khoa học,
công nghệ, địa vật lý, thủy động học, y học, xử lý ảnh,... Đó là những bài
toán khi các dữ kiện của quá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà
ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong luận văn
này, chúng tôi muốn đề cập tới phương trình parabolic ngược thơi gian.
Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiện trong
lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thời điểm nào
đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiện tại. Bài toán
này đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghiệm của bài toán không
phải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán.
Cho tới nay đã có rất nhiều bài báo viết về phương trình parabolic
ngược thời gian. Tuy nhiên, hầu hết các bài báo đó dành cho phương
trình trong không gian Hilbert. Rất ít bài báo dành cho phương trình
trong không gian Banach.
Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tài liệu
về việc chỉnh hóa phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian trong
không gian Banach, chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là :
"Một phương pháp chỉnh hóa cho phương trình parabolic
ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian trong
không gian Banach".

2

3

Mục đích chính của luận văn là trên cơ sở tham khảo các kỹ thuật
được sử dụng trong bài báo [7], chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh
hóa mới cho phương trình parabolic tuyến tính ngược thời gian với hệ số
không phụ thuộc thời gian trong không gian Banach X
ut + Au = 0, 0 < t < T,
u(T ) − f
ε

(1)

với f ∈ X và ε > 0. Cụ thể, chúng tôi chỉnh hóa bài toán (1) bằng bài
toán đặt chỉnh
vαt + Avα = 0, 0 < t < aT,
αvα (0) + vα (aT ) = f

(2)

với a > 1, α > 0 và đưa ra các đánh giá sai số kiểu H¨older cho phương
pháp này. Chú ý rằng trường hợp a = 1 đã được giải quyết trong bài báo
[7]. Với mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:
Chương 1: Trình bày khái niệm bài toán đặt không chỉnh, phương
pháp chỉnh hóa cùng một số ví dụ minh họa. Sau đó chúng tôi trình bày
về nửa nhóm sinh bởi toán tử, đặc biệt là nửa nhóm giải tích và ví dụ
minh họa để làm cơ sở cho việc trình bày chương 2.
Chương 2: Trong chương này, đầu tiên chúng tôi giới thiệu bài toán
cần chỉnh hóa. Sau đó chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh hóa mới
và đưa ra các đánh giá sai số kiểu H¨older cho phương pháp này.
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng

dẫn của thầy giáo, TS. Nguyễn Văn Đức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn
Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa SP Toán học và
cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa SP Toán học đã
nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và
hoàn thành đề cương, luận văn này.


4

Cuối cùng, tác giả cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là
các bạn trong lớp Cao học 21 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên
tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An,tháng 10 năm 2015
Tác giả


CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày
Chương 2. Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảo
trong các tài liệu [1] và [16].

1.1

Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp chỉnh

hóa

1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Xét ánh xạ
d : X × X → R thỏa mãn các tính chất sau đây:

i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X , d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .
Khi đó d được gọi là một metric trên X và không gian (X, d) lập thành
một không gian metric.
1.1.2 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f với f ∈ Y và A là ánh
xạ đơn ánh đi từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y . Phần tử
x0 ∈ X được gọi là nghiệm của phương trình A(x) = f nếu A(x0 ) = f .

Đặt
R(A) = {y ∈ Y : tồn tại x ∈ X thỏa mãn A(x) = y}.

Khi đó tồn tại ánh xạ R : R(A) −→ X xác định bởi công thức
R(f ) = x ∈ X, ∀f ∈ R(A).

5


6

Khi đó việc tìm nghiệm x ∈ X của phương trình A(x) = f dựa vào
dữ kiện ban đầu f ∈ Y thường được xem xét dưới dạng phương trình
x = R(f ).

1.1.3 Định nghĩa. Cho (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian mêtric. Bài

toán tìm nghiệm x = R(f ) của phương trình A(x) = f được gọi là ổn định
trên cặp không gian (X, Y ) (hay được gọi là liên tục theo dữ kiện của bài
toán) nếu ∀f1 , f2 ∈ R(A), ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 sao cho dY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) thì
dX (R(f1 ), R(f2 )) ≤ ε.

1.1.4 Định nghĩa. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y
được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ) nếu
i) Với mỗi f ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X ;
ii) nghiệm x đó là duy nhất;
iii) Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ).
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn bài toán tìm
nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài
toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn.
1.1.5 Ví dụ. 1) Xét chuỗi Fourier
∞

f1 (t) =

an cos(nt).
n=0

Với hệ số (a0 , a1 , ......, an , ....) ∈ l2 được cho xấp xỉ bởi cn = an + nε , n ≥ 1
và c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
∞

f2 (t) =

cn cos(nt),
n=0

cũng có hệ số (c0 , c1 , ......, cn , ....) ∈ l2 . Và khoảng cách giữa chúng là
1
2

∞

(cn − an )2

ε1 =
n=0

∞

=ε
n=1

1
n2

1
2

=ε

π2
.
6


7

Do đó khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ bất kỳ vì ε có
thể lấy nhỏ tùy ý. Trong khi đó,
∞

f2 (t) − f1 (t) = ε
n=1

1
cos(nt)
n

có thể làm cho lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ tại t = 0 chuỗi phân kỳ.
Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét
trong không gian các hàm với độ đo đều thì bài toán tính tổng của chuỗi
Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên
nếu xét trong không gian L2 [0, π], thì
 π
1  π

2 
=
|
[f2 (t) − f1 (t)]2 dt



0

0

∞

=
n=0

= ε1

∞
n=0

1
2
(cn − an ) cos(nt)|2 dt


π
(cn − an )2
2

1
2

π
.
2

Như vậy,bài toán lại ổn định, tức là khi dữ liệu ban đầu an cho xấp xỉ cn
với sai số khá nhỏ, thì các chuỗi Fourier tương ứng cũng sai khác nhau
không nhiều trong L2 [0, π].

2) Xét bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều
∂ 2u ∂ 2u
+
= 0,
∂x2 ∂y 2
u(x, 0) = f (x),

∂u
∂y

= ϕ(x), −∞ < x < ∞,
y=0

ở đây f (x) và ϕ(x) là các hàm cho trước. Nếu lấy f (x) = f1 (x) ≡ 0 và
ϕ(x) = ϕ1 (x) =

1
a

sin(ax), thì nghiệm của bài toán trên là
u1 (x, y) =

1
sin(ax)sh(ay),
a2

a>0


8

Nếu lấy f (x) = f2 (x) = ϕ(x) = ϕ2 (x) ≡ 0, thì nghiệm của bài toán là
u2 (x, y) ≡ 0. Với khoảng cách giữa các hàm cho trước và nghiệm được xét

trong độ đo đều ta có
dC (f1 , f2 ) = sup |f1 (x) − f2 (x)| = 0
x

1
dC (ϕ1 , ϕ2 ) = sup |ϕ1 (x) − ϕ2 (x)| = .
a
x

Với a khá lớn thì khoảng cách giữa hai hàm ϕ1 và ϕ2 lại khá nhỏ. Trong
khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm
dC (u1 , u2 ) = sup |u1 (x, y)−u2 (x, y)| = sup |
x,y

x,y

1
1
sin(ax)sh(ay)|
=
sh(ay),
a2
a2

Với y > 0 cố định lại lớn bất kỳ. Chính vì vậy, đây cũng là bài toán không
ổn định.

1.1.6 Định nghĩa. Cho phương trình A(x) = f0 , với A là một toán
tử từ không gian metric X vào không gian metric Y , f0 ∈ Y . Gọi x0 là
nghiệm của phương trình A(x) = f0 . Toán tử R(f, α), phụ thuộc tham số
α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử chỉnh hóa cho phương

trình A(x) = f0 , nếu
i) Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi f ∈ Y :

dY (f, f0 ) ≤ δ,

δ ∈ (0, δ1 );

ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 :
∀f ∈ Y,

dY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 ,

dX (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).

Trong định nghĩa trên, nếu α được chọn không phụ thuộc f thì ta gọi
là cách chọn tiên nghiệm. Nếu α được chọn phụ thuộc cả f và δ thì ta gọi
là cách chọn hậu nghiệm.
1.1.7 Nhận xét. Trong định nghĩa này không đòi hỏi tính đơn trị của
toán tử R(f, α). Phần tử xấp xỉ xα ∈ R(fδ , α) được gọi là nghiệm chỉnh
hóa của phương trình A(x) = f0 , ở đây α = α(fδ , δ) = α(δ) được gọi là


9

tham số chỉnh hóa. Dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu
chỉnh ổn định với dữ kiện ban đầu. Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ
thuộc liên tục vào vế phải của phương trình A(x) = f0 gồm các bước
i) Tìm toán tử chỉnh hóa R(f, α);
ii) Xác định giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài
toán về phần tử fδ và sai số δ .
⇒ Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương

pháp chỉnh hóa.
1.1.8 Ví dụ.

1) Tính giá trị z =

df (t)
dt

trong metric C, khi f (t) cho xấp

xỉ. Đạo hàm z tính được dựa vào tỷ sai phân
f (t + α) − f (t)
.
R(f, α) =
α
Nếu thay cho f (t) ta biết xấp xỉ của nó là fδ (t) = f (t) + g(t), ở đây
|g(t)| ≤ δ với mọi t, khi đó,
f (t + α) − f (t) g(t + α) − g(t)
R(fδ , α) =
+
.
α

α
Cho α → 0,
f (t + α) − f (t)
→ z.
α
Số hạng thứ hai được đánh giá bởi
2δ
g(t + α) − g(t)
≤ .
α
α

Nếu chọn α sao cho α =

δ
,
η(δ)

với η(δ) → 0 khi δ → 0, thì

2δ
α

= 2η(δ) → 0.

Vì vậy, với
α = α1 (δ) =

δ
,

η(δ)

R(fδ , α1 (δ)) → z.

2) Bài toán khôi phục hàm số, khi biết hệ số Fourier của nó. Giả sử
ϕk (t) là một hệ trực chuẩn đầy đủ có sup |ϕk (t)| ≤ C0 và hệ số Fourier
t∈[a,b]

a = (a1 , a2 , ....) của hàm
∞

f (t) =

ak ϕk (t)
k=1


10

được cho xấp xỉ bởi c = (c1 , c2 , ...) sao cho
∞

(ak − ck )2 ≤ δ 2 .
k=1

Khi đó không thể coi

∞

f˜(t) =

ck ϕk (t)
k=1

là xấp xỉ của f (t) được. Để tìm giá trị xấp xỉ của f tại điểm t0 nào đó ,
tức là tìm f (t0 ), ta dùng phương pháp hiệu chỉnh với
R(c,

của

1
n)

n

=

η(δ)
δ2 ,

k=1

ck ϕk (t0 )(α = n1 ), trong đó n = n(δ) = [

η(δ)
δ2 ]

là phần nguyên

ở đây δ, η(δ) → 0, còn n(δ) → ∞. Thật vậy,

n(δ)

|f (t0 ) −

n(δ)

ck ϕk (t0 )| ≤ |
k=1

∞

(ak − ck )ϕk (t0 )| + |
k=1

n(δ)+1

∞

Vì chuỗi

ak ϕk (t0 )|.

∞

ak ϕk (t0 ) → 0, khi

ak ϕk (t0 ) hội tụ nên phần dư
k=1

k=n(δ)+1

n(δ) → ∞. Ngoài ra,
n(δ)

n(δ)

(ak − ck )ϕk (t0 ) ≤
k=1

|ak − ck ||ϕk (t0 )|
k=1

≤


 n(δ)


|ak − ck |2

k=1

≤ C0




|ϕk (t0 )|2

|ak − ck |2

n(δ)
k=1

≤ C0

n(δ)δ 2

= C0

[

η(δ)
]→0
δ2

1
2


k=1
n(δ)



khi δ → 0.

n(δ)

1

2



11

1.1.9 Nhận xét. Trường hợp α = δ , định nghĩa về toán tử chỉnh hóa có
dạng đơn giản sau: Toán tử R(f, δ) tác động từ Y vào X được gọi là một
toán tử chỉnh hóa, nếu:
i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho dY (f, f0 ) ≤ δ ;

ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0 (ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho từ dY (fδ , f0 ) ≤
δ ≤ δ0 ta có dX (xδ , x0 ) ≤ ε ở đây xδ ∈ R(fδ , δ).

1.2

Nửa nhóm giải tích

1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một không gian Banach. Họ một tham số
các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào X , T (t), 0

t < ∞ được gọi là

một nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X nếu
i) T (0) = I, (I là toán tử đồng nhất trên X),
ii) T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s

0.

1.2.2 Định nghĩa. Nửa nhóm của các toán tử tuyến tính liên tục, T (t),
được gọi là liên tục đều nếu lim T (t) − I = 0.
t↓0

1.2.3 Định nghĩa. Toán tử tuyến tính A được xác định bởi
D(A) = {x ∈ X : lim
t↓0

và

T (t)x − x
tồn tại}
t

T (t)x − x d+ T (t)x
Ax = lim
=
t
dt
t↓0

t=0

với mọi x ∈ D(A)

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T (t), D(A) được gọi là miền xác
định của A.
1.2.4 Định nghĩa. Nửa nhóm các toán tử tuyến tính liên tục trên X ,
T (t), 0

t < ∞, được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh nếu lim T (t)x = x

với mọi x ∈ X .

t↓0


12

1.2.5 Định nghĩa. Nửa nhóm liên tục mạnh các toán tử tuyến tính liên
tục trên X được gọi là một nửa nhóm lớp C0 hay đơn giản là nửa nhóm
C0 .

1.2.6 Định lý. Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh của một nửa
nhóm liên tục đều các toán tử tuyến tính bị chặn khi và chỉ khi A là
toán tử tuyến tính bị chặn.
Chứng minh. Giả sử A là toán tử tuyến tính bị chặn trên X . Đặt
∞

T (t) = e

tA

=
n=0

(tA)n
n!

Vế phải của (1.1) hội tụ theo chuẩn với mỗi t

(1.1)
0 nên xác định một toán

tử tuyến tính bị chặn T (t). Rõ ràng rằng T (0) = I và bằng các tính toán
đơn giản của chuỗi lũy thừa ta suy ra rằng T (t + s) = T (t)T (s). Đánh giá
chuỗi lũy ta có
t A et

T (t) − I

và

T (t) − I
−A
t

A

A max T (s) − I .
0 s t

Các đánh giá trên kéo theo T (t) là một nửa nhóm liên tục đều của các
toán tử tuyến tính bị chặn trên X và A là toán tử sinh của nó.
Bây giờ ta chứng minh khẳng định ngược lại. Giả sử T (t) là một nửa
nhóm liên tục đều của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X . Cố định
ρ > 0, đủ nhỏ sao cho I − ρ−1
ρ
ρ−1 0 T (s)ds

khả nghịch và do đó

ρ
0 T (s)ds
ρ
0 T (s)ds

< 1. Điều này kéo theo

khả nghịch. Mặt khác, ta

có
−1

h

ρ

(T (h) − I)

ρ

−1

T (s + h)ds −

T (s)ds = h
0

ρ

T (s)ds

0

0
h

ρ+h

−1

T (s)ds −

=h

ρ

T (s)ds .
0


13

Do đó
−1

h

ρ+h

−1

(T (h) − I) =

h

−1

T (s)ds − h

h

0

−1

ρ

T (s)ds

T (s)ds

0

0

(1.2)
Từ (1.2) ta thấy h−1 (T (h) − I) hội tụ theo chuẩn (và do đó hội tụ mạnh)
−1

ρ
T
(s)ds
0
−1
ρ
là
0 T (s)ds

tới toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I)

khi h ↓ 0. Do đó

toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I)

toán tử sinh của

T (t).

1.2.7 Định lý. Cho T (t) là một nửa nhóm C0 và A là toán tử sinh
của nó. Khi đó
1 t+h
T (s)xds = T (t)x.
h
t
h→0
t
0 T (s)xds ∈ D(A) và

a) Với x ∈ X , lim

b) Với x ∈ X ,

t

A

= T (t)x − x.

T (s)xds
0

c) Với x ∈ D(A), T (t)x ∈ D(A) và
d
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.
dt

d) Với x ∈ D(A),
t

T (t)x − T (s)x =

t

T (τ )Axdτ =
s

AT (τ )xdτ.
s

Chứng minh. Phần a) được suy trực tiếp từ tính liên tục của ánh xạ

t → T (t)x. Để chứng minh b), lấy x ∈ X và h > 0. Khi đó
T (h) − I
h

t
0

1
T (s)xds =
h
1
=
h

t

(T (s + h)x − T (s)x)ds

(1.3)

0
t+h
0

1
T (s)xds −
h

h

T (s)xds.
0

(1.4)

.


14

Chú ý rằng khi cho h ↓ 0 vế phải của đẳng thức trên tiến tới T (t)x − x.
Do đó phần b) được chứng minh. Để chứng minh phần c) lấy x ∈ D(A)
và h > 0 ta có
T (h) − I
T (t)x = T (t)
h

T (h) − I
h

x → T (t)Ax khi h ↓ 0.

(1.5)

Do đó, T (t)x ∈ D(A) và AT (t)x = T (t)Ax. Đẳng thức (1.5) kéo theo
d+
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax,
dt

nghĩa là, đạo hàm phải của T (t)x là T (t)Ax. Để chứng minh đẳng thức

trong phần c), ta phải chứng tỏ rằng với t > 0, đạo hàm trái của T (t)x
tồn tại và bằng T (t)Ax. Ta nhận thấy rằng
lim
h↓0

T (t)x − T (t − h)x
− T (t)Ax
h

T (h)x − x
− Ax
h
h↓0
+ lim(T (t − h)Ax − T (t)Ax).

= lim T (t − h)
h↓0

Vì x ∈ D(A) và T (t − h) bị chặn trên 0

h

t nên số hạng thứ nhất

ở vế phải của đẳng thức trên bằng 0. Số hạng thứ hai ở vế phải của đẳng
thức trên cũng bằng 0 do tính liên tục mạnh của T (t). Do đó khẳng định
c) đã được chứng minh. Khẳng định ở phần d) đạt được bằng cách lấy
tích phân hai vế đẳng thức nêu ở phần c) từ s tới t.
1.2.8 Hệ quả. Nếu A là toán tử sinh của một nửa nhóm C0 thì miền
xác định D(A) của toán tử A, trù mật trong X và A là toán tử tuyến

tính đóng.
1 t
T (s)xds. Theo phần b) của
t 0
Định lý 1.2.7, xt ∈ D(A) với mọi t > 0 và theo phần a) của Định lý này

Chứng minh. Với mỗi x ∈ X đặt xt =

ta có t ↓ 0. Do đó, D(A) ≡ X với D(A) là bao đóng của D(A). Tính
tuyến tính của A là hiển nhiên. Để chứng minh tính đóng của nó ta lấy
xn ∈ D(A), xn → x và Axn → y khi n → ∞. Từ phần d) của Định


15

lý 1.2.7 ta có
t

T (t)xn − xn =

(1.6)

T (s)Axn ds.
0

Biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải của (1.6) hội tụ đều tới T (s)y trên
các khoảng bị chặn. Do đó, cho n → ∞ trong (1.6) ta được
t

T (t)x − x =

(1.7)

T (s)yds.
0

Chia (1.7) cho t > 0 và cho t ↓ 0, sau đó sử dụng phần a) của Định lý 1.2.7
ta thấy rằng x ∈ D(A) và Ax = y .
1.2.9 Định lý. Cho T (t) là một nửa nhóm C0 . Khi đó tồn tại các
hằng số ω

0 và M
T (t)

1 sao cho
M eωt với mọi 0

t < ∞.

Nếu ω = 0 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 bị chặn đều. Nếu ω = 0
và M = 1 thì T (t) được gọi là nửa nhóm C0 co.
1.2.10 Định lý. (Hille-Yosida). Một toán tử tuyến tính (không bị chặn)
A là toán tử sinh của một nửa nhóm C0 co T (t), t

0 nếu và chỉ nếu

(i) A là đóng và D(A) = X .
(ii) Tập các giá trị chính qui ρ(A) của A chứa R+ và với mỗi λ > 0
ta có
1

,
λ
với I là toán tử đồng nhất trên X .

R(λ : A)

ở đây R(λ : A) = (λI − A)−1

1.2.11 Định lý. Cho A là một toán tử tuyến tính đóng với miền trù
mật D(A) trong X . Gọi S(A) là ảnh số của A và
S(A) trong C. Khi đó, nếu λ ∈

Hơn nữa, nếu

0

là phần bù của

thì λI −A là đơn ánh và có ảnh đóng.

là một thành phần của

thỏa mãn ρ(A) ∩

thì phổ của A được chứa trong phần bù S0 của
1
R(λ : A)
d(λ : S(A))

0

và

0

=∅


16

trong đó d(λ : S(A)) là khoảng cách từ λ tới S(A).
1.2.12 Định nghĩa. Trong mặt phẳng phức cho hình quạt
∆ = {z ∈ C : ϕ1 < argz < ϕ2 , ϕ1 < 0 < ϕ2 },

và T (z), z ∈ ∆ là toán tử tuyến tính bị chặn. Họ T (z), z ∈ ∆ được gọi
là một nửa nhóm giải tích trong ∆ nếu
i) z → T (z) là giải tích trong
ii) T (0) = I và

lim

z∈ , z→0

.

T (z)x = x với mọi x ∈ X .

iii) T (z1 + z2 ) = T (z1 )T (z2 ) với mọi z1 , z2 ∈

.

Nửa nhóm T (t) được gọi là giải tích nếu nó là giải tích trong một hình
quạt

nào đó chứa nửa trục thực không âm.

1.2.13 Định lý. Hạn chế của một nửa nhóm giải tích trên trục thực
là một nửa nhóm C0 .
1.2.14 Định lý. Cho T (t) là một nửa nhóm C0 bị chặn đều. Cho A là
toán tử sinh của T (t) và giả sử 0 ∈ ρ(A). Khi đó các khẳng định sau
là tương đương
a) T (t) có thể mở rộng thành nửa nhóm giải tích trong hình quạt
∆δ = {z : |argz| < δ} và T (t) bị chặn đều trong mỗi hình quạt con
¯ , δ < δ của ∆δ .
đóng ∆
δ

b) Tồn tại một hằng số C sao cho với mỗi σ > 0, τ = 0 ta có
R(σ + iτ : A)

C
.
|τ |

π
và M > 0 sao cho
2
π
ρ(A) ⊃
= {λ : |λ| < + δ} ∪ {0}

2

c) Tồn tại 0 < δ <

và
R(λ : A)

M
với mọi λ ∈
|λ|

, λ = 0.


17

Cho Ω là một miền bị chặn với biên trơn ∂Ω ∈ Rn và A(x, D) là
toán tử vi phân bậc hai đối xứng được xác định bởi
n

A(x, D)u = −
k,l=1

∂
∂xk

ak,l (x)

∂u
∂xl

.

Chúng ta giả thiết rằng các hệ số ak,l (x) = al,k (x) nhận giá trị thực và
¯ . Ngoài ra, ta giả thiết thêm rằng A(x, D) là elliptic
khả vi liên tục trên Ω
mạnh, nghĩa là tồn tại một hằng số C0 > 0 sao cho
n

n

ak,l (x)ξk ξl
k,l=1

ξk2 = C0 |ξ|2 với mọi số thực ξk , 1

C0

k

n.

k=1

(1.8)
1.2.15 Định nghĩa. Với 1 < p < ∞, đặt
D(Ap ) = W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) và Ap u = A(x, D)u với u ∈ D(Ap ).

Khi đó toán tử Ap được gọi là toán tử liên kết với toán tử A(x, D).
1.2.16 Định lý. Miền xác định D(Ap ) của Ap trù mật trong Lp (Ω) và

Ap là toán tử đóng trong Lp (Ω).

1.2.17 Bổ đề. Toán tử Aq , q = p/(p − 1) liên kết với toán tử A(x, D)
trên Lq (Ω) là toán tử liên hợp của Ap .
1.2.18 Định lý. Toán tử −Ap là toán tử sinh của một nửa nhóm giải
tích co trên Lp (Ω).
Chứng minh. Vì 1 < p < ∞ nên 1 < q = p/(p − 1) < ∞. Ký hiệu
tích phân trên Ω của tích hai hàm thuộc Lp (Ω) và Lq (Ω) bởi
u ∈ D(Ap ) thì hàm u∗ = |u|p−2 u¯ ∈ Lq (Ω) và u, u∗ =

, . Nếu
u

p
0,p .

Xét


18

2

p < ∞, sử dụng công thức tích phân từng phần ta được
n

Ap u, u∗ = −
Ω k,l=1

∂

∂xk

n

ak,l

=
Ω k,l=1

ak,l

u¯|u|p−2 dx

∂u ∂
u¯|u|p−2 dx
∂xl ∂xk

n

ak,l |u|p−2

=

∂u
∂xl

Ω k,l=1

∂u ∂|u|p−2
∂u ∂u

+ u¯
∂xl ∂xk
∂xl ∂xk

dx.

Mặt khác, ta có
∂
1
∂u
∂ u¯
|u|p−2 = (p − 2)|u|p−4 u¯
+u
∂xk
2
∂xk
∂xk

.

(1.9)

Ký hiệu |u|(p−4)/2 u¯(∂u/∂xk ) = αk + iβk , ta có
n
∗

Ap u, u

ak,l ((p − 1)αk αl + βk βl + i(p − 2)αk βl )dx. (1.10)

=
Ω k,l=1

Giả sử |ak,l (x)|

¯ và 1
M với mọi x ∈ Ω

k, l

n

n. Ta đặt

n

|α|2 =
k=1

Ω

αk2 dx, |β|2 =
k=1

Ω

βk2 dx.

Khi đó, từ (1.8) và (1.10) ta có
Ap u, u∗

C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 )

0

(1.11)

và
|
|

u, u∗

Ap
|
∗
Ap u, u |

ρ 2
1
|α| + |β|2
2
2ρ
C0 ((p − 1)|α|2 + |β|2 )

|p − 2|M

(1.12)

với mọi ρ > 0 ( , lần lượt là ký hiệu phần thực và phần ảo của số

√
phức). Chọn ρ = p − 1 thay vào (1.12) ta được
|
|

Ap u, u∗ |
Ap u, u∗ |

M |p − 2|
√
.
2C0 p − 1

(1.13)


19

Từ (1.11) suy ra với mọi λ > 0 và u ∈ D(Ap ) ta có
λ u

0,p

(λI + Ap )u

0,p .

(1.14)

Do đó λI + Ap là đơn ánh và có ảnh đóng với mỗi λ > 0. Vì (1.14) đúng

với mọi 2

p < ∞ nên λI + Ap , λ > 0 là toàn ánh. Thật vậy, nếu

v ∈ Lq (Ω) thỏa mãn (λI + Ap )u, v = 0 với mọi u ∈ D(Ap ) thì theo Bổ

đề 1.2.17 ta có v ∈ D(Aq ), q = p/(p − 1) và u, (λI + Aq )v = 0 với mọi
u ∈ D(Ap ). Vì D(Ap ) trù mật trong Lp (Ω) nên ta suy ra (λI + Aq )v = 0.

Sử dụng (1.14) với p được thay thế bởi q ta suy ra v = 0. Điều này chứng
tỏ λI + Ap là toàn ánh. Do đó λI + Ap là song ánh. Vì vậy, từ (1.14) ta có
(λI + Ap )−1

1
với mọi λ > 0.
λ

0,p

(1.15)

Định lý Hille-Yosida 1.2.10 khẳng định rằng −Ap là toán tử sinh của một
nửa nhóm co trên Lp (Ω) với 2

p < ∞. Cuối cùng, để chứng minh nửa

nhóm sinh bởi −Ap là giải tích chúng ta để ý rằng từ (1.11) và (1.13), ảnh
số S(−Ap ) của −Ap được chứa trong tập Sv1 = {λ : |argλ| > π−v1 } trong
√
π

π
đó v1 = arctan(M |p − 2|/2C0 p − 1), 0 < v1 < . Chọn v1 < v < và
2
2
kí hiệu
Sv = {λ : |argλ| < π − v}.

(1.16)

Khi đó, tồn tại một hằng số Cv > 0 sao cho
d(λ : S(−Ap ))

Cv |λ| với mọi λ ∈ Sv .

Vì λ > 0 nằm trong tập các giá trị chính qui ρ(−Ap ) của −Ap nên từ
Định lý 1.2.11 suy ra ρ(−Ap ) ⊃ Sv và
(λI + Ap )−1

0,p

1
với mọi λ ∈ Sv .
Cv |λ|

Sử dụng Định lý 1.2.14 (c) ta khẳng định được −Ap là toán tử sinh của
một nửa nhóm giải tích trên Lp (Ω) với mọi p thỏa mãn 2
Trường hợp 1 < p < 2 lập luận tương tự.

p < ∞.

20

1.2.19 Định lý. (Định lý ánh xạ phổ) Giả sử A là toán tử sinh của
nửa nhóm giải tích T (t), t

0. Khi đó, ta có

etσ(A) = σ(T (t)) \ {0}, t

0.


CHƯƠNG 2
MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỈNH HÓA CHO PHƯƠNG
TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ
KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRONG KHÔNG
GIAN BANACH

Trong chương này, chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh hóa mới
cho một lớp phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ
thuộc thời gian trong không gian Banach và đưa ra các đánh giá sai số
kiểu H¨older cho phương pháp này.

2.1

Giới thiệu bài toán

Cho X là không gian Banach và A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến
tính từ D(A) ⊂ X vào X . Giả sử rằng tồn tại các hằng số C

thực dương và 0 < ψ

1, q là số

π/2 sao cho (xem [14]):

(i) A sinh ra nửa nhóm e−τ A liên tục mạnh tại τ = 0 và thỏa mãn
tính chất nửa nhóm không chỉ cho các số thực τ mà còn cho cả số phức
τ = t + is trong bao đóng của tập Γψ = {τ = 0 : arg τ < ψ},

(ii) e−τ A là giải tích với biến τ trong Γψ ,
(iii) e−τ A

Ceqt trên Γψ .

Xét bài toán
ut + Au = 0,
u(T ) − f

0 < t < T,

(2.1)

với f ∈ X và > 0. Bài toán này là bài toán đặt không chỉnh. Do đó, để
giải bài toán, ta cần đề xuất các phương pháp chỉnh hóa.

21


22

Mặc dù có nhiều bài báo dành cho phương trình parabolic ngược thời
gian trong không gian Hilbert, theo chúng tôi, chỉ có ít bài báo dành cho
bài toán này trong không gian Banach. Kết quả đầu tiên là của Krein,
Prozorovskaja [12], Agmon và Nirenberg [2]. Sau đó, phương pháp làm
nhuyễn đã được nghiên cứu và ứng dụng cho phương trình truyền nhiệt
ngược thời gian trong không gian Lp (R), 1 < p ≤ ∞, [5, 6] kéo theo các
đánh giá sai số kiểu H¨older. Các tác giả Ames và Hughes [3], Hetrick
và Hughes [8], Huang và Zheng [9, 10, 11], Marban và Palengia [13], và
Piskarev [15] cũng đã xem xét bài toán (2.1) từ nhiều khía cạnh khác
nhau. Khi −A sinh ra một nửa nhóm giải tích trên không gian Banach,
các tác giả trong [10] đã khẳng định rằng tồn tại một họ các toán tử chỉnh
hóa cho bài toán (2.1). Tuy nhiên, họ đã không đạt được các đánh giá sai
số cũng như đưa ra các phương pháp xấp xỉ cụ thể cho bài toán. Để thành
lập các đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm chỉnh hóa, Huang [9] đã
phải giả thiết rằng −A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích bị chặn
đều. Trong bài báo [7], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã chỉnh hóa
bài toán (2.1) bằng phương pháp Tikhonov và phương pháp bài toán giá
trị biên không địa phương
vαt + Avα = 0, 0 < t < T,
αvα (0) + vα (T ) = f.

(2.2)

Họ đề xuất các luật chọn tham số tiên nghiệm và hậu nghiệm cho các
phương pháp kể trên và đưa ra các đánh giá sai số kiểu H¨older cho nghiệm
chỉnh hóa. Trong chương này, chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh
hóa mới. Cụ thể chúng tôi chỉnh hóa bài toán (2.1) bằng bài toán đặt
chỉnh
vαt + Avα = 0, 0 < t < aT,

αvα (0) + vα (aT ) = f

(2.3)

với a > 1 và α > 0 và cũng đưa ra được các đánh giá sai số kiểu H¨older
cho nghiệm chỉnh hóa.


23

2.2

Phương pháp chỉnh hóa

Ta biết rằng nếu u(t) là nghiệm của bài toán (2.1) và vα (t) là nghiệm của
bài toán (2.3) thì
u(t) = e−tA u(0)
vα (t) = e−tA αI + e−aT A

−1

f.

2.2.1 Bổ đề. Giả sử rằng S(T ) := −e−aT A sinh ra nửa nhóm {T (t)}t 0 .
Khi đó tồn tại một hằng số dương M sao cho
T (t)

M, ∀t

0.

(2.4)

Chứng minh. Từ −e−aT A : X → X là toán tử tuyến tính bị chặn, ta kết
luận rằng {T (t)}t

0

là nửa nhóm liên tục. Do đó ta có
etσS(T ) = σ(T (t)), ∀t ≥ 0.

Mặt khác, ta thấy rằng

λ ≥ 0 với mọi λ ∈ σ(S(T )) = σ −e−aT A bởi

vì e−atA là nửa nhóm giải tích. Do đó r(T (t)) ≤ 1 với mọi t ≥ 0, trong đó
r(T (t)) là bán kính phổ của T (t). Ta biết rằng
r(T (t)) = eωt . ∀t ≥ 0,

trong đó
ω = inf{ω ∈ R : T (t) ≤ Mω eωt , ∀t ≥ 0}.

Do đó {T (t)}t

0

là nửa nhóm bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số dương M

sao cho đánh giá (2.4) đúng.
2.2.2 Bổ đề. Với M là hằng số dương trong Bổ đề 2.2.1. Ta có đánh

giá sau
(αI + e−aT A )−1

M
, α > 0.
α