Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m phụ thuộc âm đôi một
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.05 KB, 28 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN THỊ HẰNG
LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY
CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN m-PHỤ
THUỘC ÂM ĐÔI MỘT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành :
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số : 60 46 01 06
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. LÊ VĂN THÀNH
VINH, NĂM 2015
Mục lục
Lời nói đầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Biến cố và xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Các tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biến ngẫu nhiên, khái niệm độc lập, biến ngẫu nhiên độc lập
1.3 Kỳ vọng, biến ngẫu nhiên trực giao . . . . . . . . . . . . .
1.4 Sự hội tụ hầu chắc chắn, luật mạnh số lớn và các bất đẳng
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Sự hội tụ hầu chắc chắn . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Luật mạnh số lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
5
5
5
6
7
8
8
8
9
9
Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc âm đôi một
14
2.1 Các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một . . . . . . . 14
2.2 Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc âm đôi một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Kết luận
Tài liệu tham khảo
27
28
Lời nói đầu
Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày chúng ta thường
gặp các hiện tượng ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học
nghiên cứu tìm ra các quy luật chi phối và đưa ra các phương pháp tính
toán xác suất của các hiện tượng ngẫu nhiên. Ngày nay, lý thuyết xác suất
trở thành một ngành toán học quan trọng cả về phương diện lý thuyết và
ứng dụng.
Luật số lớn là một trong những định lý giới hạn quan trọng trong lý
thuyết xác suất. Luật số lớn chỉ ra rằng, khi ta chọn ngẫu nhiên các giá trị
trong một dãy các giá trị, kích thước dãy mẫu thử càng lớn thì đặc trưng
thống kê (trung bình, phương sai,...) của mẫu thử càng gần với các đặc
trưng thống kê của dãy giá trị.
Cho tới nay, các định lý giới hạn vẫn là một vấn đề có tính thời sự của
lý thuyết xác suất. Các định lý giới hạn cổ điển trong lý thuyết xác suất
thường quan tâm đến biến ngẫu nhiên độc lập. Do vậy, một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là dưới những điều kiện nào thì các định lý giới hạn
đã biết vẫn đúng khi được thay thế bằng các điều kiện phụ thuộc như
phụ thuộc đôi một, martingale, phụ thuộc âm, phụ thuộc dương, m-phụ
thuộc,...
Trên cơ sở đọc và tìm hiểu những tài liệu tham khảo, chúng tôi nghiên
cứu:" Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm
đôi một".
Khái niệm biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm được giới thiệu bởi Lehmann
[5]. Trong luận văn này, ta thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các biến
ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một.
Luận văn gồm có hai chương. Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn
bị. Cụ thể là trình bày các phần: biến cố và xác suất; biến ngẫu nhiên, khái
niệm độc lập, biến ngẫu nhiên độc lập, biến ngẫu nhiên trực giao; kỳ vọng;
3
sự hội tụ hầu chắc chắn, luật mạnh số lớn và các bất đẳng thức nhằm áp
dụng cho chương 2. Trong chương 2, chúng tôi trình bày hai phần: phần
thứ nhất là khái niệm về các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một,
phần thứ hai là luật mạnh số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc
âm đôi một.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của Thầy giáo, PGS. TS. Lê Văn Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng
cảm ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới các thầy cô trong khoa toán, đặc biệt là các thầy cô trong Tổ
Xác suất thống kê đã giảng dạy và chỉ bảo trong suốt thời gian nghiên
cứu. Cuối cùng xin gửi lời cám ơn tới gia đình, người thân, bạn bè đặc biệt
là các bạn trong lớp Cao học 21 chuyên ngành lí thuyết xác suất và thống
kê toán đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên luận
văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong
nhận được những lời chỉ bảo quý báu của các Thầy Cô giáo và góp ý của
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2015
Tác giả
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong toàn bộ luận văn ta luôn giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất
cố định.
1.1
Biến cố và xác suất
1.1.1
Không gian xác suất
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Một họ F những
tập con của Ω được gọi là một σ -đại số nếu thỏa mãn ba điều kiện sau
đây
(i) Ω ∈ F ;
(ii) Nếu A ∈ F thì Ω A ∈ F ;
(iii) Nếu An ∈ F , n
1 thì
∞
An ∈ F .
n=1
Khi đó, cặp (Ω, F ) được gọi là một không gian đo.
Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng và F là một σ -đại
số các tập con của Ω. Hàm tập P xác định trên F được gọi là một độ đo
xác suất nếu thỏa mãn ba điều kiện sau đây
(i) P(A) 0 với mọi A ∈ F (tính không âm);
(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hóa);
(iii) Nếu {An , n 1} là dãy các tập con đôi một rời nhau thuộc F thì
∞
∞
An
P
n=1
=
P(An) (tính cộng tính đếm được).
n=1
Định nghĩa 1.1.3. Cho Ω là một tập tùy ý khác rỗng, F là một σ -đại
số các tập con của Ω và P là một độ đo xác suất trên F . Khi đó bộ ba
5
(Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất tổng quát.
Tập Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.
σ -đại số F được gọi là σ -đại số các biến cố.
Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố.
Biến cố Ω ∈ F được gọi là biến cố chắc chắn.
Biến cố ∅ ∈ F được gọi là biến cố không thể có.
Biến cố A = Ω A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
Nếu AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc.
Nếu với mọi A ∈ F thỏa mãn P(A) = 0 mà ta có B ∈ F , với mọi
B ⊂ A thì F được gọi là σ -đại số đầy đủ và P được gọi là độ đo xác suất
đầy đủ. Khi đó không gian (Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất đầy
đủ.
1.1.2
Các tính chất của xác suất
Giả sử A, B, C,... là những biến cố. Khi đó, xác suất của chúng có những
tính chất sau:
1) P(∅) = 0;
2) Nếu AB = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B);
3) P(A) = 1 − P(A);
4) Nếu A ⊂ B thì P(B A) = P(B) − P(A) và do đó P(A) P(B);
5) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB);
6) P
n
n
Ak
P(Ak ) −
=
k=1
P(Ak Al Am) −
P(Ak Ai ) +
1 k
k=1
1 k
. . . + (−1)n−1P(A1A2 . . . An);
7) P
∞
∞
P(An);
An
n=1
n=1
8) (Tính liên tục của xác suất)
(i) Nếu (An, n
tồn tại
1) là dãy đơn điệu tăng, A1 ⊂ A2 ⊂ . . . An ⊂ . . ., thì
∞
lim P(An) = P
n→∞
(ii) Nếu (An , n
tồn tại
An .
n=1
1) là dãy đơn điệu giảm, A1 ⊃ A2 ⊃ . . . An ⊃ . . ., thì
∞
lim P(An) = P
n→∞
n=1
6
An .
1.2
Biến ngẫu nhiên, khái niệm độc lập, biến ngẫu nhiên độc
lập
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất. Khi đó ánh xạ
X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu ∀B ∈ B(R) thì X −1 (B) ∈ F .
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất. Khi đó ánh
xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu X là ánh xạ đo được, tức
là với mọi a ∈ R thì
{ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F .
Định nghĩa 1.2.3. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đó
F (X) = X −1 (B) : B ∈ B(R)
được gọi là σ -đại số sinh bởi X.
Họ hữu hạn {Fi , 1
nếu
n} các σ -đại số con của F được gọi là độc lập
i
n
n
Ai
P
=
i=1
đối với mọi Ai ∈ Fi (1
i
P(Ai)
i=1
n) bất kỳ.
Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} các σ -đại số con của F được gọi là độc lập nếu
mọi họ con hữu hạn của nó độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ -đại
số sinh bởi chúng {F (Xi), i ∈ I} độc lập.
Họ các biến cố {Ai , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu
nhiên {IAi , i ∈ I} độc lập.
Định nghĩa 1.2.4. Tập các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc
lập đôi một nếu Xi và Xj độc lập, với mọi i = j , i, j ∈ I .
7
1.3
Kỳ vọng, biến ngẫu nhiên trực giao
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử X: (Ω, F , P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên.
Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là
kỳ vọng của X và được ký hiệu là EX .
Vậy
EX =
XdP.
Ω
Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0), thì ta nói X khả tích bậc p. Đặc biệt, nếu
E|X| < ∞, thì X gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
Tính chất: Một số tính chất của kỳ vọng sử dụng trong luận văn:
1) Nếu X
0 thì EX
0. Tính chất bảo toàn thứ tự: nếu X
Y thì
EX EY , do đó |EX| E|X|;
2) Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = C EX ;
3) Tính cộng tính: nếu X và Y khả tích thì X + Y cũng khả tích và
E(X + Y ) = EX + EY.
Định nghĩa 1.3.2. Dãy biến ngẫu nhiên (Xn , n 1) gọi là dãy trực giao
nếu EXn2 < ∞ với mọi n 1 và E(Xi Xj ) = 0 với mọi i = j .
1.4
Sự hội tụ hầu chắc chắn, luật mạnh số lớn và các bất đẳng
thức
Giả sử {Xn , n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không
gian xác suất (Ω, F , P).
1.4.1
Sự hội tụ hầu chắc chắn
Định nghĩa 1.4.1. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là hội
tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X (khi n → ∞) nếu
P ω : lim Xn (ω) = X(ω) = 1.
n→∞
Ký hiệu Xn → X h.c.c hoặc lim Xn = X h.c.c.
n→∞
Định lý 1.4.2. Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} hội tụ hầu chắc
chắn đến biến ngẫu nhiên X khi và chỉ khi với ε > 0 bất kỳ,
8
lim P sup |Xk − X| > ε = 0.
n→∞
1.4.2
k n
Luật mạnh số lớn
Luật mạnh số lớn: Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n
tuân theo luật mạnh số lớn nếu
1} được gọi là
Sn − ESn
→ 0 h.c.c.
n
Luật mạnh số lớn tổng quát: Dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được
gọi là tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát nếu tồn tại hai dãy số (an ),
(bn), 0 < bn ↑ ∞ sao cho
Sn − an
→ 0 h.c.c.
bn
1.4.3
Một số bất đẳng thức
Bổ đề 1.4.3. Giả sử biến ngẫu nhiên X không âm, α > 0 và EX α < ∞.
Khi đó
EX α = α
∞
xα−1P(X > x)dx.
0
Chứng minh. Ta có
EX α =
X α dP
Ω
=
Ω
=
Ω
X
αxα−1dx dP
αxα−1I(X > x)dx dP
0∞
∞
=α
0
∞
0
xα−1
Ω
I(X > x)dP dx (Định lý Fubini)
xα−1P(X > x)dx.
=α
0
9
Bổ đề 1.4.4. (Bổ đề Toeplitz). Cho ani , 1 i n, n 1 và xi, i 1 là
các số thực sao cho với mọi i cố định ta có lim ani = 0 và với mọi n ta
có
n→∞
n
C < ∞. Khi đó
|ani |
i=1
n
(i) Nếu lim xn = 0 thì lim
n→∞
(ii) Nếu lim
ani xi = 0.
n→∞ i=1
n
n→∞ i=1
n
ani = 1, lim xn = x thì lim
n→∞
ani xi = x.
n→∞ i=1
Chứng minh. (i) Nếu lim xn = 0 thì với mọi ε > 0 tồn tại nε sao cho
n→∞
|xn | < C −1ε, với mọi n
Do đó với n
nε .
nε ta có
nε −1
n
n
|ani xi| +
ani xi
i=1
i=1
nε −1
|ani xi|
i=nε
|ani xi| + ε.
i=1
Theo giả thiết ta suy ra được lim ani = 0, ∀i = 1, 2, . . . , nε − 1.
n→∞
Do vậy ta có
n
lim
n→∞ i=1
(ii) Nếu lim
n
n→∞ i=1
ani xi = 0.
ani = 1, lim xn = x thì ta có
n→∞
n
lim
n→∞
n
ani xi = lim
i=1
n→∞
n
ani (xi − x)
ani +
x
i=1
i=1
n
= lim x
n→∞
n
i=1
= x + 0 = x.
Vậy lim
n
n→∞ i=1
ani (xi − x)
ani + lim
ani xi = x.
10
n→∞
i=1
Bổ đề 1.4.5. (Bổ đề Kronecker). Giả sử (xn, n 1) là dãy các số thực và
(bn, n 1) là dãy các số thực dương tăng đến +∞ (0 < bn ↑ +∞). Khi
∞ x
n
đó, nếu
hội tụ, thì
n=1 bn
1 n
xk → 0 (khi n → ∞).
bn k=1
Chứng minh. Đặt
xn
, n 1 ⇒ xn = yn .bn,
bn
an = bn − bn−1, n 1, b0 = 0 ⇒ 0 < an ↑ ∞,
yn =
n
Sn+1 =
yi , n
1 ⇒ Sn+1 − Sn = yn ,
i=1
lim Sn+1 = S .
n→∞
Khi đó
lim
n→∞
1
bn
n
xk
k=1
= lim
n→∞
= lim
n→∞
= lim
n→∞
= lim
n→∞
= lim
n→∞
= lim
n→∞
1
bn
1
bn
n
bk .yk
k=1
n
bk (Sk+1 − Sk )
k=1
n−1
1
bn
bn .Sn+1 +
1
bn
bn .Sn+1 +
1
bn
bn .Sn+1 +
bk .Sk+1 −
k=1
n
bk−1.Sk −
1
bn
bk−1.Sk −
n
(bk − bk−1)Sk
k=1
n
ak .Sk
k=1
(Do Bổ đề Toeplitz)
11
bk .Sk
k=1
n
k=1
Sn+1 −
bk .Sk
k=1
n
k=2
n
1
= lim Sn+1 − lim
n→∞
n→∞ bn
=S −S
= 0.
n
bk .Sk
k=1
Bất đẳng thức 1.4.6. (Bất đẳng thức Markov). Giả sử X là biến ngẫu
nhiên và ε > 0 tùy ý. Khi đó
P(|X|
E|X|p
với p > 0 nào đó.
εp
ε)
Chứng minh.
|X|p dP
E|X|p =
Ω
|X|p dP +
=
(|X| ε)
|X|p dP
mà
|X|p dP
(|X|<ε)
0.
(|X|<ε)
Điều này cho ta
E|X|p
|X|p dP
(|X| ε)
εp dP
(|X| ε)
p
= ε P(|X|
Vậy P(|X|
ε)
ε).
E|X|p
với p > 0 nào đó.
εp
Bổ đề 1.4.7. (Bổ đề Borel - Cantelli). Giả sử (An, n
1) là dãy các biến
cố. Khi đó
(i) Nếu
∞
P(An) < ∞ thì P(lim sup An ) = 0.
n=1
∞
(ii) Nếu
P(An) = ∞ thì (An, n
1) độc lập và P(lim sup An) = 1.
n=1
Trong đó
∞
∞
lim sup An =
n=1 k=n
12
Ak .
∞
Chứng minh. (i) Giả sử
∞
Ta suy ra
∞
P(An) < ∞ thì
n=1
P(An ) hội tụ.
n=1
P(An) → 0 (phần dư của chuỗi hội tụ).
n=k
∞
Vì
là dãy giảm nên ta có
1
Ak , n
k=n
∞
0
∞
P(lim sup An ) = P
Ak
n=1 k=n
∞
= lim P
Ak
n→∞
k=n
∞
lim
n→∞
P (Ak ) = 0.
k=n
Điều này cho ta P(lim sup An) = 0 (nguyên lý kẹp).
(ii) Nhận xét: Nếu 0
Giả sử
∞
1 thì 1 − x
x
P(An) = ∞. Khi đó {An , n
e−x .
1} độc lập thì An , n
n=1
cũng độc lập. Do đó
∞
0
k=n
∞
∞
∞
∞
∞
−
e
k=n
(1 − P(Ak ))
k=n
k=n
e−P(Ak )
Ta suy ra P
P Ak =
=
Ak
P
P(Ak )
k=n
= e−∞ = 0.
k=n
∞
Ak
= 0 (nguyên lý kẹp).
k=n
Mà ta có P
∞
∞
Ak
=P
Điều này cho ta P
Ak
= 1−P
k=n
k=n
∞
Ak
k=n
= 1 ∀k, n = 1, 2, ...
k=n
Vậy P(lim sup An ) = lim P
∞
∞
Ak
k=n
13
= 1.
Ak .
1
Chương 2
Luật mạnh số lớn đối với dãy các
biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm
đôi một
Ta định nghĩa log x = max {1, log2 x}, ký hiệu C biểu thị một hằng
số chung (0 < C < ∞) mà không nhất thiết phải giống nhau trong mỗi
lần xuất hiện.
2.1
Các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một
Định nghĩa 2.1.1. Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên Xi , i = 1, n
được gọi là m-phụ thuộc nếu n m+1 hoặc n > m+1 và họ Xi , i = 1, k
độc lập với họ Xi , i = l, n khi l − k > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là m-phụ thuộc nếu
họ {Xi, 1 i k} độc lập với họ {Xn , n l} khi l − k > m.
Định nghĩa 2.1.2. Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là phụ thuộc
âm nếu với mọi x, y ∈ R ta có
P(X
x, Y
y)
P(X
x)P(Y
y).
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là phụ thuộc âm nếu
họ {Xi, 1 i k} phụ thuộc âm với họ {Xn , n l} khi l > k .
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là phụ thuộc âm đôi
một nếu hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj là phụ thuộc âm với i = j .
Định nghĩa 2.1.3. Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là
m-phụ thuộc âm nếu họ {Xi , 1 i k} phụ thuộc âm với họ {Xn , n l}
khi l − k > m.
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là m-phụ thuộc đôi
một nếu hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj độc lập với nhau khi j − i > m.
14
Một dãy các biến ngẫu nhiên {Xn , n 1} được gọi là m-phụ thuộc âm
đôi một nếu hai biến ngẫu nhiên Xi và Xj phụ thuộc âm đôi một khi
j − i > m.
2.2
Luật mạnh số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc âm đôi một
Bổ đề 2.2.1. (Lehmann [5] - T1138). Cho {Xn , n 1} là một dãy các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, và với mỗi n
1, cho fn : R −→ R
là một hàm số. Nếu dãy hàm {fn, n 1} chỉ chứa các hàm không tăng
(hoặc hàm không giảm) thì {fn(Xn ), n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên
phụ thuộc âm đôi một.
Ta chỉ xét cặp Xi , Xj thỏa mãn |j − i| > m. Ta thu được bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.2. Cho {Xn , n 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ
thuộc âm đôi một, và với mỗi n
1, cho fn : R −→ R là một hàm số.
Nếu dãy hàm {fn, n 1} chỉ chứa các hàm không tăng (hoặc hàm không
giảm) thì {fn(Xn ), n 1} là dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi
một.
Bổ đề 2.2.3. (Lehmann [5] - T1140.) Nếu (X,Y) phụ thuộc âm thì E(XY )
E(X)E(Y ).
Bổ đề 2.2.4. (Rosalsky and Volodin [7] - T285). Cho {Xn , n 1} là một
dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, khả tích bậc hai. Khi đó
n
n
D
Xi
DXi , n
i=1
1.
i=1
Chứng minh. Ta có
n
D
n
Xi
i=1
=
n
i=1
Điều này cho ta D
n
EXi Xj − 2
DXi + 2
i,j=1
n
n
Xi
i=1
EXi EXj .
i,j=1
DXi khi EXi Xj
EXi EXj với mọi
i=1
i = j, i, j = 1, n.
Mà {Xn , n 1} là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một. Sử
dụng Bổ đề 2.2.3, ta có điều cần chứng minh.
Bổ đề 2.2.5. (Anh [4] - T160). Cho {Xn , n 1} là dãy các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm đôi một, kỳ vọng 0. Khi đó với n 1 ta có
15
2
k
E
max |
1 k n i=1
C(log 4n)2
Xi|
n
EXi 2 .
i=1
Bổ đề 2.2.6. (Anh [4] - T161). Giả sử {Xi, 1
n} là họ các biến
i
ngẫu nhiên m - phụ thuộc âm đôi một thỏa mãn EXi = 0, 1
đó
2
k
E max1
k
n|
i=1
Chứng minh. Với n
n
C(m + 1)(log 4n)2
Xi|
i
n. Khi
EXi 2 .
i=1
m + 1, bổ đề hiển nhiên đúng.
Ta sẽ chứng minh trường hợp n > m + 1.
Với n > m + 1, chú ý rằng với mọi j thỏa mãn 1
j
m + 1 ta có
họ các biến ngẫu nhiên Xi(m+1)+j , 0 i(m + 1) n − j phụ thuộc âm
đôi một. Ta có
2
k
E
max |
1 k n
Xi |
i=1
E
m+1
max
j=1
2
k
0 k(m+1) n−j
|
i=0
m+1
(m + 1)
Xi(m+1)+j |
k
E
j=1
max
0 k(m+1) n−j
|
2
Xi(m+1)+j |
i=0
m+1
C(m + 1)(log 4n)
2
|EXi(m+1)+j 2 |
j=1 0 i(m+1) n−j
(Do Bổ đề 2.2.5 và
n−j
m+1
n, j = 1, 2, ..., m + 1)
n
C(m + 1)(log 4n)
2
EXi 2 .
i=1
Bổ đề 2.2.7. Cho {Xn , n
∞
1} là một dãy biến ngẫu nhiên. Nếu
E|Xn |p < ∞ với p > 0,
n=1
thì
lim Xn = 0
n→∞
16
h.c.c.
Chứng minh. Cho ε > 0 tùy ý và với mọi k
P sup |Xn | > ε
1
= P {∪n k |Xn | > ε}
n k
P {|Xn | > ε} .
n k
Sử dụng bất đẳng thức Markov ta có
P {|Xn | > ε}
n k
n k
=
Mà
∞
1
εp
E|Xn |p
εp
E|Xn |p .
n k
E|Xn |p < ∞ với p > 0, ta suy ra
n=1
E|Xn |p → 0 (phần dư của
n k
chuỗi hội tụ).
Từ những điều trên ta suy ra P sup |Xn | > ε
→ 0 khi k → ∞.
n k
Hay lim Xn = 0 h.c.c.
n→∞
Định lý 2.2.8. Giả sử {Xn , n
nhiên thỏa mãn
∞
1} và {Yn , n
1} là hai dãy biến ngẫu
P(Xn = Yn ) < ∞ và giả sử 0 < bn ↑ ∞ khi đó
n=1
1 n
(Xi − Yi ) = 0 h.c.c.
n→∞ bn i=1
lim
Chứng minh. Đặt An = (Xn = Yn). Ta có
∞
P(An ) < ∞.
n=1
Áp dụng bổ đề Borell - Cantelli ta được P(lim sup An ) = 0 hay
P(lim inf An ) = 1.
Đặt
1 n
(Xi − Yi )(ω) → 0 ,
bn i=1
B = lim inf An .
A=
ω:
Ta sẽ chứng minh B ⊂ A. Lấy ω ∈ B
⇒ω∈
∞
∞
Ak .
n=1 k=n
17
⇒ ∃N0 sao cho ω ∈ Ak , ∀k N0.
⇒ ∃N0 sao cho Xk (ω) = Yk (ω), ∀k
k
⇒
N0 .
(Xi − Yi)(ω) hữu hạn.
i=1
1 k
(Xi − Yi )(ω) → 0 khi n → ∞.
⇒
bn i=1
⇒ B ⊂ A.
⇒ 1 = P(B) P(A).
1 n
⇒ P(A) = 1 hay lim
(Xi − Yi ) = 0 h.c.c.
n→∞ bn i=1
Định lý 2.2.9. Giả sử {Xn , n 1} là một dãy biên ngẫu nhiên m-phụ
thuộc âm đôi một với EXn = 0, n
1. Giả sử 1
rn
2, n
1 và
{bn, n 1} là dãy số dương không giảm, thỏa mãn
b2n+1
> 1 và
0 b2 n
inf
n
sup
n 0
b2n+1
< ∞.
b2 n
(2.1)
Nếu
∞
E|Xn |rn
log2 n < ∞,
rn
bn
n=1
(2.2)
thì ta được luật mạnh số lớn
1
lim
n→∞ bn
n
(2.3)
Xi = 0 h.c.c.
i=1
Chứng minh. Đặt
Yn = −bn I(Xn <−bn) + Xn I(|Xn |
bn )
+ bn I(Xn >bn) , n
1.
Từ Bổ đề 2.2.2, {Xn , n 1} là dãy biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi
một và {bn, n 1} là dãy số không giảm, ta suy ra {Yn , n 1} là dãy biến
ngẫu nhiên m-phụ thuộc âm đôi một.
Cho n
1, ta có
1
EYn2
=
E −bn I(Xn <−bn) + Xn I(|Xn| bn ) + bn I(Xn >bn)
b2n
b2n
1
= 2 EXn2 I(|Xn | bn ) + EI(Xn <−bn) + EI(Xn >bn )
bn
18
2
1
EXn2 I(|Xn |
b2n
1
= 2 EXn2 I(|Xn |
bn
=
bn )
+ P(Xn < −bn ) + P(Xn > bn )
bn )
+ P(|Xn | > bn).
Ta lại có
1 ∞
1
2
E
X
I
2 xP |Xn |I(|Xn | bn ) > x dx
=
n (|Xn | bn )
b2n
b2n 0
2 bn
2 ∞
= 2 xP |Xn |I(|Xn | bn ) > x dx + 2 xP |Xn |I(|Xn | bn ) > x dx
bn 0
bn b n
= I1 + I2 .
Dễ thấy I2 = 0, do đó ta chỉ cần xét I1 . Đối với 0 < x < bn , ta có
|Xn |I(|Xn | bn ) > x ∪ (|Xn | > bn ) = (|Xn | > x)
và |Xn |I(|Xn | bn ) > x ∩ (|Xn | > bn ) = ∅.
Do đó P (|Xn | > x) = P |Xn |I(|Xn |
cho ta
2
I1 = 2
bn
=
2
b2n
bn
0
bn
bn )
> x + P (|Xn | > bn ). Điều này
2
xP (|Xn | > x) dx − 2
bn
bn
xP (|Xn | > bn ) dx
0
xP (|Xn | > x) dx − P (|Xn | > bn ) .
0
Ta suy ra
EYn2
1
=
EXn2 I(|Xn |
2
2
bn
bn
2
= 2
bn
=
2
b2n
2
b2n
bn )
+ P(|Xn | > bn )
bn
xP(|Xn| > x)dx
0
bn
x2−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx
0
bn
b2−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx
0
19
2
= rn
bn
bn
xrn −1P(|Xn | > x)
0
E|Xn |rn
.
brnn
2
(2.4)
E|Xn |rn
log2 n < ∞ (giả thiết) nên ta có
Mà
rn
bn
n=1
∞
∞
n=1
EYn2
log2 n =
2
bn
∞
1
EXn2 I(|Xn |
2
bn
n=1
+ P(|Xn | > bn) log2 n
bn )
E|Xn |rn
2
log2 n < ∞.
rn
bn
Đặt
Tk =
j
1
max |
(Yi − EYi ), k
b2k+1 − b2k j<2k+1 i=2k
b2k+1
k≥0 b2k
Từ điều kiện inf
> 1 ta có
b2k
0.
< 1, ∀k ≥ 0.
b2k+1
Do đó luôn tồn tại hằng số C đủ nhỏ để
b2 k
≤ 1 − C,
b2k+1
∀k ≥ 0
hay
b2k+1 − b2k ≥ Cb2k+1 ,
∀k ≥ 0.
Do đó ta có
ETk2 = E
1
max |
b2k+1 − b2k j<2k+1
CE
=
C
b22k+1
C
2
j
(Yi − EYi )|
i=2k
2
j
1
b2k+1
max |
j<2k+1
(Yi − EYi )|
i=2k
2
j
E
(m
b22k+1
max |
j<2k+1
(Yi − EYi )|
i=2k
2k+1 −1
+ 1) log2 (2k+3)
E(Yi − EYi )2
i=2k
20
C
2
2k+1 −1
E(Yi − EYi )2
log (2 )
b22k+1
i=2k
k+1
2
−1
C
2 k
EYi2 − (EYi)2
= 2 log (2 )
b2k+1
i=2k
k+1
log2 (2k ) 2 −1
C 2
EYi2
b2k+1 i=2k
k+1
log2 (2k ) 2 −1
C
EYi2
2
b2 k
i=2k
k+1
2 −1 EY 2
i
2
C
2 log i.
bi
i=2k
∞ EY 2
n
log2 n < ∞ (chứng minh trên) nên
Mà
2
n=1 bn
k
∞
k=0
ETk2 < ∞.
Áp dụng Bổ đề 2.2.7 ta suy ra
h.c.c.
lim Tk = 0
k→∞
Giả sử 2k
1
|
bn
(2.5)
n < 2k+1,
n
(Yi − EYi )|
i=1
1
b2 k
l
k
max |
l<2j+1
j=0
bk+1
= 2k
b2
k
j=0
k
C
j=0
(Yi − EYi )|
i=2j
b2j+1 − b2j
Tj
b2k+1
b2j+1 − b2j
Tj
b2k+1
(vì sup
n 0
b2n+1
< ∞).
b2 n
(2.6)
Đặt
akj =
b2j+1 − b2j
.
b2k+1
Khi đó
lim akj = 0
k→∞
k
|akj | =
j=1
=
k
1
b2k+1
1
b2k+1
≤ C.
(b2j+1 − b2j )
j=1
(b2k+1 − b2)
21
Do đó, kết hợp với (2.5) và bổ đề Toeplitz ta thu được
b2j+1 − b2j
Tj = 0.
k→∞ j=0
b2k+1
k
lim
Kết hợp với (2.6) ta thu được:
1
lim
n→∞ bn
n
(Yi − EYi ) = 0
h.c.c.
(2.7)
i=1
Ta có
∞
∞
P(|Xn | > bn )
P(Xn = Yn ) =
n=1
n=1
∞
C
E|Xn |rn
< ∞.
rn
b
n
n=1
(2.8)
Kết hợp (2.7), (2.8) và bổ đề Borel - Cantelli, ta có
1
lim
n→∞ bn
n
1
(Xi − EYi ) = lim
n→∞ bn
i=1
1
= lim
n→∞ bn
=0
Từ EXn = 0 với mọi n
n
(Xi − Yi + Yi − EYi )
i=1
n
1
(Xi − Yi ) + lim
n→∞ bn
i=1
|EYn |
bn
n=1
1
|E(Xn I|Xn |
bn
P(|Xn | > bn ) +
1
|E Xn (1 − I|Xn|>bn ) |
bn
P(|Xn | > bn ) +
1
|EXn − E(Xn I|Xn |>bn )|
bn
P(|Xn | > bn ) +
1
|E(Xn I|Xn|>bn )|
bn
n=1
∞
=
(2.9)
P(|Xn | > bn ) +
n=1
∞
=
i=1
1, ta có
n=1
∞
=
(Yi − EYi )
h.c.c.
∞
∞
n
n=1
22
bn )|
∞
P(|Xn | > bn) +
n=1
∞
=
1
E(|Xn |I|Xn |>bn )
bn
1
P(|Xn| > x)dx
P(|Xn | > bn ) + P(|Xn | > bn ) +
bn
n=1
bn
∞
∞
∞
∞
∞
∞
1
=
P(|Xn | > x)dx
2P(|Xn| > bn ) +
bn
n=1
bn
=
∞
1
x1−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx
2P(|Xn| > bn ) +
bn
n=1
bn
1
bn 1−rn xrn −1P(|Xn | > x)dx
2P(|Xn | > bn ) +
bn
n=1
bn
∞
∞
1
=
2P(|Xn| > bn ) + rn
bn
n=1
∞
2P(|Xn| > bn ) +
n=1
∞
C
n=1
E|Xn |rn
brnn
bn
xrn −1P(|Xn | > x)dx
E|Xn |rn
brnn
(vì (2.4))
∞ (vì (2.2)).
Áp dụng bổ đề Kronecker, ta được
1
lim
n→∞ bn
n
EYi = 0.
i=1
Kết hợp (2.9) và (2.10), ta thu được
1 n
lim
Xi = 0.
n→∞ bn i=1
h.c.c.
Nhận xét 2.2.10. Nếu rn = 2 thì (2.2) trở thành
EXn2
log2 n < ∞.
2
n=1 bn
∞
23
(2.10)
Đây chính là điều kiện của (Định lý Rademacher - Mensov) luật mạnh
số lớn dành cho dãy trực giao.
Định lý 2.2.11. (Rademacher - Mensov). Giả sử (Xn , n
∞ EX 2
n
giao. Khi đó, nếu bn ↑ ∞;
log2 n < ∞ thì
2
n=1 bn
1 n
lim
Xi = 0 h.c.c.
n→∞ bn i=1
1) là dãy trực
Tiếp theo là một dạng khác của Định lý 2.2.9.
Định lý 2.2.12. Giả sử {Xn , n 1} là một dãy biên ngẫu nhiên m - phụ
thuộc âm đôi một với EXn = 0, n
1. Giả sử 1
rn
2, n
1 và
{bn, n 1} là dãy số dương không giảm thỏa mãn (2.1). Nếu
∞
n=1
E|Xn |rn
< ∞,
brnn
(2.11)
thì ta được luật mạnh số lớn
1
lim
n→∞ bn log n
n
(2.12)
Xi = 0 h.c.c.
i=1
Chứng minh. Ta định nghĩa Yn , n 1 giống như trong phần chứng minh
của Định lý 2.2.4.
Từ định nghĩa của Yn và (2.11), (2.4) ta được
∞
n=1
EYn2
=
b2n
∞
n=1
1
EXn2 I(|Xn |
2
bn
bn )
+ P(|Xn | > bn)
E|Xn |rn
2
< ∞.
brnn
(2.13)
Đặt
j
1
max |
τk =
(Yi − EYi )|, k
(b2k+1 − b2k ) log 2k j<2k+1 i=2k
b2k+1
k≥0 b2k
Từ điều kiện inf
> 1 ta có
b2k
b2k+1
< 1, ∀k ≥ 0.
Do đó luôn tồn tại hằng số C đủ nhỏ để
b2 k
≤ 1 − C,
b2k+1
∀k ≥ 0
hay
b2k+1 − b2k ≥ Cb2k+1 ,
24
∀k ≥ 0
0.
nên ta có
1
max |
(b2k+1 − b2k ) log 2k j<2k+1
Eτk2 = E
1
max |
b2k+1 log 2k j<2k+1
CE
C
E
= 2
b2k+1 log2 2k
2
j
(Yi − EYi )|
i=2k
2
j
(Yi − EYi )|
i=2k
2
j
max |
j<2k+1
(Yi − EYi )|
i=2k
j
C
2 k+3
)
E(Yi − EYi )2
2 k (m + 1) log (2
2
b2k+1 log 2
i=2k
2k+1 −1
C
E(Yi − EYi )2
b22k+1
=
i=2k
2
C
i=2k
2k+1 −1
1
EYi2
b22k+1
1
C 2
b2 k
−1
EYi2 − (EYi )2
b22k+1
C
k+1
2
i=2k
k+1
EYi2
i=2k
2k+1 −1
C
i=2k
Từ (2.13), ta suy ra
−1
EYi2
.
b2i
∞
Eτk 2 < ∞.
k=0
Áp dụng Bổ đề 2.2.3 ta suy ra
lim τk = 0 h.c.c.
(2.14)
k→∞
Giả sử 2k
n < 2k+1,
1
|
bn log n
n
(Yi − EYi )|
i=1
1
b2k log 2k
25
k
l
max |
j=0
l<2j+1
(Yi − EYi )|
i=2j
