Khảo sát ảnh hưởng của một số tham số lên xung ngắn phi tuyến lan truyền trong sợi quang

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
*****************

HỒ THỊ MỸ NGỌC

KHẢO SÁT ẢNH HƢỞNG CỦA MỘT SỐ THAM SỐ LÊN XUNG
NGẮN PHI TUYẾN LAN TRUYỀN TRONG SỢI QUANG

Chuyên ngành: Quang học
Mã số: 60.44.01.09

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. VŨ NGỌC SÁU

NGHỆ AN – 2015


1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Sau Đại học - Trường
ĐH Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Vũ Ngọc Sáu.Tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn vì những giúp đỡ mà
thầy đã giành cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo ở khoa
Vật lý, khoa đào tạo Sau Đại học, các cán bộ tham gia giảng dạy tại lớp cao học
và các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn
này.
Tác giả cám ơn những quan tâm, chăm sóc và động viên của gia đình trong

suốt quá trình học tập và nghiên cứu đã qua.
Cuối cùng xin gửi đến các thầy giáo, bạn hữu và người thân lòng biết ơn
chân thành cùng lời chúc sức khỏe và thành công trong cuộc sống.
Nghệ An, tháng 6 năm 2015
Tác giả luận văn

Hồ Thị Mỹ Ngọc


2

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................................... 1

Chƣơng 1.Sự lan truyền của xung ngắn trong môi trƣờng phi tuyến sợi
quang......................................................................................................................... . 6
1.1. Tổng quan về sợi quang ................................................................................ 6
1.1.1. Điều kiện ở chế độ đơn mode ...................................................................... 7
1.1.2. Chiết suất .................................................................................................... 7
1.1.3. Hệ số lan truyền của xung. ........................................................................... 8
1.2. Phƣơng trình lan truyền xung trong sợi quang .......................................... 8
1.2.1. Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang ....................................................... 8
1.2.2. Phương trình sóng phi tuyến .......................................................................10
1.2.3. Sự lan truyền xung ngắn trong môi trường phi tuyến ..................................14
1.3. Một số hiệu ứng phi tuyến ảnh hƣởng lên xung lan truyền trong sợi
quang. ....................................................................................................................21
1.3.1. Chế độ lan truyền xung ...............................................................................21
1.3.2. Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm ...................................................................24
1.3.3. Hiệu ứng tự biến điệu pha (SPM- self phase modulation) ...........................28

1.4. Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................33
Chƣơng 2.Khảo sát ảnh hƣởng của các tham số pha, biên độ và chirp lên dạng
xung ngắn lan truyền trong sợi quang. ..........................................................................34
2.1. Các phƣơng pháp số .....................................................................................34
2.2. Phép biểu diễn thời gian- tần số của tín hiệu ..............................................36
2.2.1.Ảnh phổ .......................................................................................................37
2.2.2.Phân bố Wigner- Ville. ................................................................................38


3

2.3. Ảnh hƣởng của biên độ lên dạng xung ngắn lan truyền trong sợi quang..39
2.3.1. Khảo sát sự thay đổi của biên độ trong khoảng 10 km. ...............................39
2.3.2. Nhận xét sự thay đổi dạng xung khi biên độ thay đổi. .................................44
2.4. Ảnh hƣởng của tham số chirp lên dạng xung ngắn lan truyền trong sợi
quang. ....................................................................................................................45
2.4.1. Khảo sát sự thay đổi của tham số chirp trong khoảng 10 km ......................45
2.4.2. Nhận xét sự thay đổi dạng xung khi tham số chirp thay đổi . ......................48
2.5. Ảnh hƣởng của tham số pha lên dạng xung ngắn lan truyền trong sợi
quang. ....................................................................................................................49
2.5.1. Khảo sát sự thay đổi của tham số pha trong khoảng 10 km .........................49
2.5.2. Nhận xét sự thay đổi dạng xung khi tham số pha thay đổi ..........................59
2.6. Kết luận chƣơng 2. .......................................................................................59
KẾT LUẬN CHUNG ..........................................................................................................60
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................61


4

MỞ ĐẦU

Sợi quang là một trong những môi trường phi tuyến vì chiết suất thay đổi
theo cường độ của ánh sáng mạnh lan truyền. Các xung Laser ngắn và cực ngắn
luôn luôn có cường độ lớn, vì vậy chúng chịu tác động bởi các hiệu ứng phi tuyến
của môi trường sợi quang. Lan truyền xung laser ngắn và cực ngắn trong sợi quang
đã gắn với hàng loạt hiện tượng quan trọng trong thực tế. Tính chất tuyến tính và
phi tuyến của sợi quang dẫn đến nhiều bức tranh khác nhau của quá trình tiến triển
xung, trong đó chủ yếu là thay đổi dạng xung, phổ và chirp tần số. Sợi quang học
đầu tiên đã được chế tạo trong năm 1966 cùng với sự xuất hiện của laser, tuy nhiên
sợi quang lúc này có hệ số hấp thụ cao nên chưa được sử dụng trong thông tin
quang học. Nhưng dựa vào kết quả này, một đề xuất về cấu trúc sợi dẫn quang đơn
mode đã được đưa ra bằng tính toán lý thuyết theo hệ phương trình Maxwell và từ
đó đã phát triển quy trình chế tạo sợi quang có hệ số suy giảm thấp. Những nghiên
cứu các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang với hệ số suy giảm thấp ngày càng được
quan tâm với mục đích bảo đảm hiệu năng đường truyền lớn.
Ngày nay, với sự phát triển nhanh chóng của laser xung cực ngắn, phương
pháp quang phổ học, lĩnh vực thông tin quang và nhiều ngành khác đã phát triển
vượt bậc, các đối tượng và phạm vi ứng dụng được mở rộng hơn. Đặc biệt cùng với
sự phát triển nhanh chóng của khoa học kỹ thuật và yêu cầu của cuộc sống, ngày
càng đòi hỏi thông tin phải được truyền với tốc độ cao, xung càng ngắn thì thông tin
truyền càng nhanh. Sự phát triển của laser xung cực ngắn đã góp phần rất quan
trọng trong thông tin quang. Vì vậy nghiên cứu về xung cực ngắn là một vấn đề cần
thiết.Khi xung sáng truyền trong môi trường phi tuyến sẽ bị tác động chủ yếu bởi
hiện tượng tán sắc vận tốc nhóm ( GVD) và tự biến điệu pha (SPM) làm mở rộng
dải phổ đồng thời còn làm xung bị méo dạng tín hiệu khi lan truyền. Để hiểu rõ về
các quá trình biến đổi dạng xung ánh sáng trên đường truyền thì việc khảo sát ảnh


5

hưởng của tham số pha, biên độ và tham số chirp vào dạng xung, các hiệu ứng phi

tuyến đặc biệt là ảnh hưởng của chirp tần số đối với dạng xung là rất quan trọng.Từ
đó tìm ra các thông số tối ưu cho việc lắp đặt hệ thống thông tin trong thực tế .Đã có
nhiều tác giả nghiên cứu về đề tài ảnh hưởng của chất hấp thụ bão hòa và môi
trường khuếch đại đối với sự rút ngắn dạng xung khi không có chirp. Nhưng khi có
chirp thì chưa được khảo sát. Vì vậy để thấy được sự ảnh hưởng của tham số pha,
biên độ và tham số chirp lên dạng xung như thế nào, tôi đã lựa chọn đề tài “ Khảo
sát ảnh hưởng của một số tha m số lên xung ngắn phi tuyến lan truyề n
trong sợi quang”. Trên cơ sở đó nội dung chính của đề tài sẽ được trình bày trong
hai chương theo bố cục sau:
Phần mở đầu
Phần nội dung
CHƢƠNG 1: SỰ LAN TRUYỀN CỦA XUNG NGẮN TRONG MÔI
TRƢỜNG PHI TUYẾN SỢI QUANG .
Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về cấu tạo sợi quang, phương
trình lan truyền xung trong sợi quang gồm: sự phân cực phi tuyến trong sợi quang,
phương trình sóng phi tuyến, một số hiệu ứng tán sắc và phi tuyến ảnh hưởng lên
xung lan truyền trong sợi quang.
CHƢƠNG 2: KHẢO SÁT ẢNH HƢỞNG CỦA CÁC THAM SỐ PHA, BIÊN
ĐỘ VÀ CHIRP LÊN DẠNG XUNG NGẮN LAN TRUYỀN TRONG SỢI
QUANG .
Chương này trình bày các phương pháp số để giải phương trình lan truyền
xung, sử dụng phép biểu diễn thời gian - tần số của tín hiệuvới dạng ảnh phổvà xét
ảnh hưởng của các tham số pha, biên độ và tham số chirp lên dạng xung lan truyền
trong sợi quang và nhận xét sự thay đổi của các tham số trên ảnh hưởng sự thay đổi
dạng xung khi lan truyền trong sợi quang đơn mode.


6

Chƣơng 1. Sự lan truyền của xung ngắn trong môi trƣờng phi tuyến sợi quang

1.1.

Tổng quan về sợi quang
Sợi quang là thành phần chính của cáp quang có chức năng truyền dẫn sóng

ánh sáng.Sợi quang có cấu trúc giống như một ống dẫn sóng hoạt động ở tần số
quang do đó nó có dạng hình trụ với chức năng truyền dẫn ánh sáng lan truyền theo
hướng song song với trục của nó.
Một sợi quang cơ bản bao gồm có hai phần chính :
+ Phần lõi sợi (core): làm bằng thủy tinh có chiết suất n1 đóng vai trò là phần trung
tâm phản chiếu ánh sáng của sợi quang có bán kính a.
+Phần vỏ (cladding): là lớp vật liệu bên ngoài bao bọc phần lõi sợi có chiết suất n 2
( n2< n1), có nhiệm vụ phản xạ ánh sáng trở lại vào lõi.
Những sợi này thường được làm từ thủy tinh Silica tinh khiết được tổng hợp
bằng cách kết hợp các phân tử SiO2 để thành sợi quang có tổn hao thấp. Để có được
chiết suất khác nhau ta sử dụng chất phụ gia GeO 2 và P2O5 suốt quá trình chế
tạo.Thêm vào đó, các sợi quang thường có thêm một lớp vỏ để bảo vệ.

Để truyền dẫn trong sợi quang các tia sáng đầu vào phải có góc tới thỏa mãn
điền kiện phản xạ toàn phần : i  igh (sin igh 
phần trong lõi.

n2
) , với igh là góc tới hạn phản xạ toàn
n1


7

1.1.1. Điều kiện ở chế độ đơn mode

Khi giảm kích thước lõi sợi để chỉ có một mode sóng cơ bản truyền được
trong sợi thì sợi được gọi là đơn mode. Trong sợi chỉ truyền một mode sóng nên độ
tán sắc do nhiều đường truyền bằng không. Một tham số đặc trưng cho tính chất của
sợi quang là V
V  k0 a (n12  n22 )

(1.1)

Nó xác định số mode được tạo ra bởi sợi quang còn được gọi là tần số chuẩn
hóa . Trong đó ko gọi là số sóng, a là bán kính lõi, n1 là chiết suất của lõi, n2 là chỉết
suất của lớp vỏ với n1 lớn hơn n2.Khi sợi quang có V < 2,045, nhỏ hơn giá trị 0 của
hàm Bessel J0 ( J 0 (Vc )  0 ) chỉ tương ứng với mode cơ bản. Đó là sợi quang đơn
mode và được tập trung nghiên cứu. Đối với trường hợp này, bán kính lõi thông
thường a  5( m)
1.1.2. Chiết suất
Ánh sáng có thể xem như là một chùm tia sáng. Các tia sáng lan truyền trong
các môi trường khác nhau với vận tốc khác nhau. Có thể xem các môi trường khác
nhau cản trở sự lan truyền ánh sáng bằng các lực khác nhau. Điều này được đặc
trưng bằng chiết suất khúc xạ của môi trường.
Chiết suất của một môi trường trong suốt (n) được xác định bởi tỉ số giữa vận
tốc ánh sáng lan truyền trong chân không với vận tốc của ánh sáng lan truyền trong
môi trường đó .
Với: n 

c
  r r
v

n: chiết suất của môi trường, không có đơn vị.
v: vận tốc ánhsáng trong môi trường, có đơn vị (m/s).

c: vận tốc ánh sáng trong chân không, có đơn vị (m/s).

(1.2)


8

Đối với môi trường phi từ tính r   r và chiết suất có thể liên quan trực tiếp đến
hằng số điện môi  r như : n   r

(1.3)

1.1.3. Hệ số lan truyền của xung.
Nó là một số phức ký hiệu là  và được sử dụng để mô tả đặc tính của sóng
điện từ dọc theo một phương truyền

  jk  j 

(1.4)

Trong đó hằng số điện môi  là số phức có cả phần thực và phần ảo, do đó có thể
viết lại :    '  j ''

(1.5)

Thay thế hằng số điện môi phức từ phương trình (1.5) vào phương trình (1.4) ta
được :

 ''
'

  j  1  j
'

(1.6)

Biểu thức này có một phần thực và một phần ảo, có thể ký hiệu là:

    j

(1.7)

Phương trình lan truyền của điện trường phẳng theo hướng dương của trục z có thể
được viết với dạng mới :

EE e
0

j (t kz )

E e
0

jt  z
j (t  z )
e
 E e z e
0

(1.8)

Trong đó  có đơn vị đo Np/m, được gọi là hằng số suy giảm và xác định sự hấp
thụ của sóng .Tham số  có đơn vị đo là rad/m xác định pha của sóng lan truyền và
được gọi là hằng số pha.
1.2.

Phƣơng trình lan truyền xung trong sợi quang .

1.2.1. Sự phân cực phi tuyến trong sợi quang
Như chúng ta đã biết khi trường ánh sáng lan truyền trong môi trường điện
môi, chúng sẽ kích thích các phân tử và sinh ra các phân cực vi mô. Khi cường độ


9

điện trường là nhỏ, độ phân cực điện môi của môi trường phụ thuộc tuyến tính vào
cường độ điện trường tác động lên chất điện môi. Nếu cường độ điện trường tác
động lên môi trường vật chất là lớn thì sự đáp ứng của bất kì chất điện môi nào với
trường quang học có cường độ lớn đều trở nên phi tuyến và được đặc trưng bởi véc

tơ phân cực toàn phần P . Trường hợp trường quang học có công suất lớn lan truyền
trong môi trường điện môi, khi đó véc tơ phân cực là phi tuyến và liên hệ với véc tơ

cường độ điện trường E theo công thức[2] :

(1) 
(2)  (2)
(3)  (3)
P(t )   [ E (t )   E (t )   E (t )  ...]
0
 (1)

 (2)
 (3)
 P (t )  P (t )  P (t )  ...
(1.9)
trong đó 

0

là hằng số điện môi trong chân không, 

( j)

là độ cảm điện môi bậc j,

 (1) là độ cảm điện môi tuyến tính, biểu diễn phần đóng góp lớn nhất của véc tơ

phân cực P , các hiệu ứng của nó thể hiện sự phụ thuộc của chiết suất vào tần số
n( ) .  (2) mô tả các hiệu ứng phi tuyến bậc hai như phát hoà âm bậc hai, phát tần
số tổng, phát tần số hiệu….


Sự đóng góp thành phần phi tuyến lớn nhất kể đến trong véc tơ phân cực P là

của  (3) các thành phần bậc cao khác có thể bỏ qua do chúng quá bé. Thành phần
bậc ba của véc tơ phân cực phi tuyến tương ứng với các hiện tượng như phát hoà
âm bậc ba, hiệu ứng trộn bốn sóng và khúc xạ phi tuyến. Khi mà điều kiện hợp pha
được thỏa mãn, các quá trình phi tuyến này sẽ dẫn đến hiện tượng phát các tần số
mới, điều này là không thuận lợi cho quá trình truyền thông tin trong sợi quang.
Các sợi quang được chế tạo từ hỗn hợp Ôxit-silic là một chất điện môi. Hầu
hết các hiện tượng phi tuyến xảy ra trong sợi quang đều bắt nguồn từ sự khúc xạ

10

phi tuyến, một hiện tượng mô tả liên hệ giữa sự phụ thuộc của chiết suất phi tuyến

n ( , E ) vào tần số  và cường độ trường, được mô tả như sau[4] :
2

n (, E )  n( )  n2 E ,
2

2

(1.10)

trong đó n( ) là chiết suất tuyến tính, thoả mãn:

n2 ( )  1   (1) ,

(1.11)

và n2 là chiết suất phi tuyến cho bởi :

n2 

3
Re(  (3) ),
8n

(1.12)

trong đa số trường hợp n2 là đại lượng dương.
Chiết suất phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường, dẫn đến một số lượng
lớn các hiện tượng phi tuyến đáng chú ý. Khi đó pha của một xung quang học biến
đổi theo biểu thức:

 0 L  (n  n2 E )k0 L
  nk
2

(1.13)

trong đó k0  2 /  và L tương ứng với số sóng và chiều dài sợi quang. Sự biến
đổi pha phi tuyến phụ thuộc vào cường độ trường sẽ gây ra hiệu ứng SPM lên xung
dẫn đến mở rộng phổ xung, nếu xét trong chế độ tán sắc dị thường .
1.2.2. Phƣơng trình sóng phi tuyến
Giống như tất cả các hiện tượng điện từ, sự lan truyền của các trường quang
học trong sợi quang được chi phối bởi các phương trình Maxwell. (Trong hệ thống
đơn vị SI)[2], những phương trình này là :


B
 E  
t

   D
 H  J 
t

(1.14)
(1.15)


11


.D   f

.B  0

(1.16)

(1.17)


trong đó E và H tương ứng là véc tơ cường độ điện trường và cường độ từ trường,


D và B tương ứng là mật độ thông lượng điện (độ điện thẩm) và véc tơ cảm ứng

từ. Véc tơ mật độ dòng J và mật độ điện tích ρf đại diện cho nguồn gốc của các
trường điện từ. Trong trường hợp không có các điện tích tự do trong một môi



trường như là sợi quang, J  0 và  f  0 . Mật độ thông lượng của D và B xuất
 
hiện đáp ứng với điện trường và từ trường E , H lan truyền trong môi trường có
mối liên hệ với chúng thông qua hệ phương trình được đưa ra bởi .


 
D   0 E  P,

 
B  0 H  M ,

(1.18)
(1.19)



ở đây ε0 là độ điện thẩm chân không, μ0 là độ từ thẩm chân không, P và M là véc
tơ phân cực điện và véc tơ phân cực từ. Đối với một môi trường không chứa điện

tích tự do như sợi quang học, M  0 . Phương trình Maxwell có thể sử dụng để có
được phương trình lan truyền sóng ánh sáng trong sợi quang. Bằng cách lấy rôta của
phương trình (1.14) và sử dụng các phương trình (1.15), (1.18), và (1.19), ta có
được




1 2 E
2 E
 E  

0 2 ,
c 2 t 2
t

(1.20)

trong đó c là vận tốc ánh sáng trong chân không và 0 0  1 c 2 được sử dụng để


mô tả mối quan hệ giữa phân cực cảm ứng P và điện trường E . Nói chung, để

khảo sát P đòi hỏi phải tiếp cận phương pháp cơ học lượng tử. Cách tiếp cận như
vậy là cần thiết khi tần số quang học gần môi trường cộng hưởng. Đây là trường


12
hợp của sợi quang học trong khoảng bước sóng 0,5 - 2  m là mối quan tâm cho
việc nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến. Nếu chúng ta chỉ xét các hiệu ứng phi
tuyến bậc ba chi phối bởi    , Sự phân cực gây ra bao gồm hai phần sao cho
 
 
 
(1.21)
P r , t  P L r , t  P NL r , t ,
3

 

 

 




một phần tuyến tính P L và một phần phi tuyến P NL có liên quan đến điện trường

thông qua các phương trình sau [3].

 
 
1
P L r , t   0      t  t ' .E r , t ' dt '

 







(1.22)

 
   
 

 3
P NL r , t   0    t  t1 , t  t2 , t  t3 .E r , t1 E r , t2 E r , t3 dt1dt2 dt3

 

     



(1.23)

các mối liên hệ có giá trị trong xấp xỉ lưỡng cực điện và giả thiết đáp ứng có tính
địa phương. Phương trình (1.20) - (1.23) cung cấp một hình thức chung để nghiên
cứu các hiệu ứng phi tuyến bậc ba trong sợi quang học. Bởi vì sự phức tạp của
chúng, do đó chúng ta cần thiết phải thực hiện đơn giản hóa một số giả thiết ban

đầu. Phân cực phi tuyến P NL trong (1.21) được coi là một sự thay đổi nhỏ về sự


phân cực cảm ứng tổng P NL  P L . Điều này là hợp lý bởi vì những tác động phi
tuyến tương đối yếu trong sợi silica. Do đó, bước đầu tiên bao gồm giải phương


trình (1.20) với P NL  0 . Bởi vì phương trình (1.20) là tuyến tính trong E , nó rất có
ích để viết trong miền tần số như sau :

 
 2  
    E r ,     
E r ,  0
2
c

 

 

(1.24)

 
  r ,  là biến đổi Fourier của E r , t được định nghĩa là
trong đó E

 

 
  
E r ,   E r , t exp(it )dt

 

 

(1.25)


13

Điện môi phụ thuộc liên tục vào tần số xuất hiện trong (1.24) được định
nghĩa là


    1  

1

 

1

 

(1.26)

1
  là biến đổi Fourier của     t  . Như vậy là ε(ω) liên quan đến chỉ số khúc

xạ n(ω) và hệ số hấp thụ α(ω) thông qua biểu thức :

i c 

  n 

2 


2

(1.27)

Từ phương trình (1.26) và (1.27), n và α có liên quan 

1

thông qua các

phương trình sau:

1   1

n    1  Re  
  
2 


   




Im  
nc 

1

 

(1.28)
(1.29)

trong đó Re và Im tương ứng là các phần thực và ảo. Chúng ta thực hiện hai đơn
giản hóa trước khi giải phương trình (1.19). Đầu tiên, vì tổn thất thấp trong sợi
quang trong vùng có bước sóng quan tâm, phần ảo của ε(ω) là nhỏ so với phần thực.
Vì vậy, chúng ta có thể thay thế ε(ω) bởi n2(ω) trong phần trình bày sau đây về
mode sợi quang. Thứ hai, vì n(ω) thường độc lập có toạ độ không gian trong lõi và
lớp vỏ của sợi quang có chiết suất bước, người ta có thể sử dụng





    E   .E   2 E   2 E

 

(1.30)



mối quan hệ .D  .E  0 đã được sử dụng từ phương trình (1.16). Với những

đơn giản hóa, phương trình (1.24) có dạng.


14

 
 2  
2
 E r ,   n   2 E r ,   0
c
2

 

 

(1.31)

1.2.3. Sự lan truyền xung ngắn trong môi trƣờng phi tuyến
Để nghiên cứu các hiệu ứng phi tuyến trong sợi quang cần thiết phải dùng các
xung ngắn. Các xung quang học được gọi là xung ngắn khi độ rộng của nó cỡ picôgiây từ  10ns đến 10fs. Khi các xung lan truyền bên trong sợi quang, cả hai hiệu ứng
tán sắc và phi tuyến đều ảnh hưởng đến hình dạng và phổ của chúng. Trong phần này
chúng tôi đưa ra phương trình lan truyền cơ bản điều chỉnh tán sắc phi tuyến của xung
quang học lan truyền trong sợi quang.
Từ phương trình sóng (1.20), bằng cách sử dụng phương trình (1.21) và
(1.30) phương trình truyền sóng có thể được viết dưới dạng

 2 PNL
 2 PL
1 2 E
 E  2 2  0 2  0
c t
t
t 2
2

(1.32)

Đối với các xung quang học đã nói ở trên, điều kiện chuẩn đơn sắc được thoả
mãn nghĩa là tập hợp các sóng phẳng đơn sắc với tần số trung tâm là 0 và độ rộng
phổ  thoả mãn  0  1, phản ứng phi tuyến của môi trường với sóng là tức
thời. Điều này cho phép ta áp dụng phép gần đúng hàm bao biến đổi chậm. Ta có
thể biểu diễn xung ánh sáng dưới dạng trường có đường bao biến đổi chậm như sau:

 
1

E (r , t )  x  E (r , t )exp(i0t )+cc
2

(1.33)

x là vectơ đơn vị theo trục x.
E  r , t  là hàm bao biến thiên chậm theo thời gian
Thành phần phân cực phi tuyến PL và PNL có thể biểu diễn tương tự dưới
dạng


15

1
PL (r , t )  xˆ PL (r , t )exp(i0t )  c.c
2

(1.34)

1
PNL (r , t )  xˆ PNL (r , t )exp(i0t )  c.c
2

(1.35)

Thành phần phân cực tuyến tính có thể được viết lại bằng cách thay (1.22) vào
(1.34) ta được
PL (r , t )   0





(1)

(t   ) E (r , )exp[i (t   )]d



 0



 

(1)

( ) E (r ,   0 )exp[i(  0 )t ]d,

(1.36)



  r ,  là biến đổi Fourier của E  r , t  được xác định bởi:
trong đó E
E (r ,  ) 



 E (r, t )exp(it )dt.

(1.37)



Nếu chúng ta chỉ xét đến hiệu ứng phi tuyến bậc ba thì thành phần phi tuyến
được đưa ra bằng cách thay (1.35) vào (1.23), đưa ra được hàm là tích số của ba
hàm Delta có dạng  (t   ) . Sau khi rút gọn [2] ta có:




PNL (r , t )   0  (3) E (r , t ) E (r , t ) E (r , t ).

(1.38)

Thay phương trình (1.33) vào phương trình (1.38), tìm được PNL (r , t ) dao
động với tần số 0 (thành phần dao động với tần số 30 có thể bỏ qua từ điều kiện
hợp pha). Biến đổi phương trình (1.35), PNL (r , t ) được xác định:
PNL (r, t )   0 NL E (r, t )

(1.39)

trong đó sự đóng góp phi tuyến của hằng số điện môi được xác định:

3
4

 NL   (3) E (r , t ) .
2

(1.40)


16

Trong phép tính gần đúng,  NL được xem như một hằng số trong suốt quá
trình lấy đạo hàm của phương trình truyền xung .
Thay phương trình (1.33), (1.35) vào (1.32), biến đổi Fourier E (r ,  0 )
được xác định bởi:

E (r ,   0 ) 



 E (r, t )exp[i(   )t ]dt
0

(1.41)



Và tìm ra được phương trình Helmholtz:

     k 2 E
 0
2 E
0

(1.42)

trong đó

k0 



(1.43)

c

và

 ( )  1   (1) ( )   NL

(1.44)

là hằng số điện môi phụ thuộc tần số, với  NL được xác định bởi phương trình (1.40).
Hằng số điện môi có thể được liên hệ bởi phần thực và phần ảo trong biểu
thức của chiết suất n( ) và hệ số hấp thụ  ( ) được xác định:

i c 

  n 

2 


2

(1.45)

Từ (1.45) hằng số điện môi có thể được dùng để xác định chiết suất n và hệ
số hấp thụ  . Tuy nhiên, cả n và  đều phụ thuộc vào  NL . Thông thường đưa ra:

n  n  n2 E

2

     2 E

(1.46)
2

(1.47)


17





 2k 2 ,phương trình (1.40) và phương trình (1.43), chiết
Sử dụng   n  i
0
suất phi tuyến n2 và hệ số hấp thụ photôn  2 được xác định bởi :

n2 

3
Re   (3) 
8n

(1.48)

2 

30
Im   (3) 
4nc

(1.49)

Chiết suất n và hệ số hấp thụ  liên quan đến phần thực và phần ảo của

 (1) như trong hai biểu (1.28) và (1.29). Với  2 là tương đối nhỏ đối với sợi Silic
nên thường được bỏ qua. Ở đây ta chỉ nghiên cứu n2 trong giới hạn của sợi phi
tuyến.
Có thể giải phương trình (1.42) bằng cách dùng phương pháp tách và thay
thế, ta thu được [3]:

E (r ,  0 )  F ( x, y) A ( z,   0 )exp(i 0 z)

(1.50)

trong đó A ( z, ) là hàm biến thiên chậm của z , và  0 là số sóng. Phương trình
(1.42) có thể dẫn ra hai phương trình sau đây cho F ( x, y) và A ( z, ) :

2 F 2 F

 2   ( )k02   2  F  0
2
x
y

2i 0

A
  2  02 A  0 .
z





(1.51)

(1.52)

Trong phương trình (1.52), đạo hàm bậc hai của hàm bao biến thiên chậm

2 A

 0 . Số sóng  sẽ được xác định từ giá trị riêng
A( z, ) sẽ bị triệt tiêu, tức
2
z
của phương trình (1.51) cho sợi đa mode.
Hằng số điện môi trong phương trình (1.51) có thể viết gần đúng:

18

   n  n   n2  2nn
2

(1.53)

trong đó n là sự nhiễu loạn nhỏ được xác định :

n  n2 E 
2

i
.
2k0

(1.54)

Phương trình (1.51) có thể được giải bằng cách sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc
nhất. Đầu tiên chúng ta thay  bằng n 2 và có được cách thức phân bố F ( x, y) và số
sóng    tương ứng. Tham số cuối cùng chưa biết là

 ( )   ( )  

(1.55)

trong đó


k0   n F ( x, y ) dxdy
2

 






.

(1.56)

2

F ( x, y ) dxdy



Dùng các phương trình (1.33) và (1.47), trường điện E (r , t ) có thể viết như
sau:

1
E (r , t )  xˆ F ( x, y ) A( z, t )exp[i( 0 z  0t )]  c.c .
(1.57)
2
trong đó A(z,t) là hàm bao xung biến thiên chậm, A ( z,  0 ) là biến đổi Fourier
của A( z, t ) thoả mãn (1.52) có thể viết như sau

A
 i   ( )    0  A .
z

(1.58)

Ở đây ta đã sử dụng (1.81) và xem gần đúng:

 2  02  20 (  0 ) .

(1.59)


19

Ý nghĩa vật lý của phương trình (1.58): Sự thay đổi pha của mỗi thành phần
phổ trong vùng hàm bao xung thu được truyền vào sợi phụ thuộc vào cả cường độ
và tần số.
Dùng khai triển  ( ) theo chuỗi Taylor với tần số mang 0 :

1
2

1
6

 ( )    (  0 )1  (  0 )2  2  (  0 )3 3  ... ,

(1.60)

trong đó

 d m 
m   m 
(m = 1, 2, 3….).
 d    

(1.61)

0

Hệ số tán sắc bậc ba và bậc cao hơn trong khai triển này nói chung không
đáng kể nếu độ rộng quang phổ <<0. Bỏ những thành phần này phù hợp với
giả thiết trường quang học là chuẩn đơn sắc đã lấy trong phép lấy đạo hàm của
phương trình (1.58). Nếu  2  0 thì cần kể đến số hạng bậc ba.
Thay phương trình (1.60) vào (1.58) và sử dụng biến đổi Fourier:
1
A( z, t ) 
2



 A ( z,   )exp i     t d .
0

0

(1.62)



Trong quá trình biến đổi Fourier ( -0) được thay thế bởi toán tử vi phân

i

A
. Kết quả phương trình A(z,t) trở thành:
t

A
A i  2  2 A
  1

 i A .
z
t
2 t 2

(1.63)

Dùng phương trình (1.54), (1.56) có thể xác định được  và thay thế vào
phương trình (1.63) thu được kết quả:

A
A i  2  2 A 
2
 1

 A  i A A ,
2

t
t
2 t
2

(1.64)


20
trong đó  là tham số phi tuyến, được xác định:



n20
.
cAeff

(1.65)

Trong phương trình (1.64), biên độ xung A là ảo để đơn giản hoá coi rằng
2

A mô tả năng lượng quang học. Hàm Aeff được hiểu tương tự như hiệu ứng vùng
lõi và được xác định:
2

 

2
   F ( x, y ) dxdy 

 .
Aeff    
4
F
(
x
,
y
)
dxdy


(1.66)



Aeff phụ thuộc vào các tham số sợi quang như bán kính lõi và lớp vỏ. Sự phân bố
ngang trong lõi sợi quang được tìm ra là :
F ( x, y)  J 0 ( p  )   a

(1.67)

Trong đó :   x 2  y 2 là bán kính. Bên ngoài lõi sợi quang thì :

F ( x, y ) 

a



.J 0 ( pa).e q (  a )

 a

(1.68)

Hình thức cơ bản trong sợi quang thường được ước tính bằng dạng Gaussian :
 x2  y 2

F ( x, y )  e

2

(1.69)

Rõ ràng Aeffphụ thuộc vào bán kính lõi của sợi và sự chênh lệch chiết suất
giữa lớp lõi và lớp vỏ. Nếu F ( x, y) là gần đúng bởi hàm Gauss suy rộng tương tự
trong phương trình (1.69) thì Aeff   w2 . Giới hạn độ rộng w phụ thuộc vào giới


21

hạn sợi. Aeff có thể biến thiên trong phạm vi 20  100 m2 trong vùng 1,5 m , phụ
thuộc vào dạng sợi.
Phương trình (1.64) là phương trình mô tả lan truyền của xung ps trong sợi
quang đơn mode. Nó được gọi là phương trình Schrodinger phi tuyến (NLS), nó bao
gồm các ảnh hưởng của sự suy hao sợi quang thông qua  , sự tán sắc thông qua hệ
số 1 ,  2 và phi tuyến sợi quang thông qua  .
Trong một thời gian ngắn hình bao xung di chuyển với vận tốc nhóm vg 

1

1

, trong khi ảnh hưởng của vận tốc nhóm đến sự tán sắc được điều chỉnh bởi  2 .
Thông số tán sắc vận tốc nhóm có thể dương hoặc âm, phụ thuộc vào chiều dài
bước sóng  so với bước sóng không tán sắc ZD của sợi quang. Tán sắc dị thường
(  > ZD ) thì  2  0 , và sợi có thể mang soliton quang học.
1.3.

Một số hiệu ứng phi tuyến ảnh hƣởng lên xung lan truyền trong sợi
quang.

1.3.1. Chế độ lan truyền xung
Xét xung quang học có độ rộng xung cỡ picô-giây, quá trình lan truyền của
những xung này được mô tả bởi NLSE (1.64) được viết lại như sau:

i

 2 A
A
i
2
 A 2
 A A
2
z
2
2 T

(1.70)

trong đó A là hàm bao xung biến thiên chậm và T được xác định trong trạng thái
xung dịch chuyển với vận tốc nhóm vg (T  t  z / vg ) . Ba thành phần ở vế phải của
phương trình (1.70) tương ứng với các hiệu ứng mất mát của sợi quang, tán sắc và
sự ảnh hưởng phi tuyến đối với các xung lan truyền bên trong sợi quang. Phụ thuộc
vào độ rộng xung ban đầu T0 và đỉnh công suất P0 của xung tới. Các hiệu ứng tán
sắc và hiệu ứng phi tuyến có thể ảnh hưởng lên xung trên suốt chiều dài sợi quang.


22

Nó thường được mô tả bằng cách đưa ra hai đại lượng là chiều dài tán sắc LD và
chiều dài phi tuyến LNL. Phụ thuộc vào độ lớn của LD và LNL và chiều dài sợi quang
L, xung có thể mở rộng ra một chứng mực nào đó.
Bây giờ chúng ta đưa vào một đại lượng thời gian đã được chuẩn hóa đối với
xung vào có độ rộng T0 :



T t  z / vg

T0
T0

(1.71)

Lúc này, ta đưa vào biên độ đã chuẩn hóa U:

A( z, )  P0 exp( z / 2)U ( z, )

(1.72)

trong đó, P0 là đỉnh công suất của xung tới. Hệ số mũ trong phương trình (1.72) đặc
trưng cho sự mất mát của sợi quang. Bằng việc sử dụng phương trình (1.70), (1.72),
biểu thức U(z,t) thu được thỏa mãn :

U sgn(  2 )  2U exp( z / 2) 2
i


U U
z
2 LD  2
LNL

(1.73)

trong đó sgn(2 )  1 phụ thuộc vào tham số tán sắc vận tốc nhóm  2 đặt

LD 

T 20

2

,

LNL 

1
,
 P0

(1.74)

LD là chiều dài tán sắc và LNL chiều dài phi tuyến qui định hai trường hợp, trong đó
hiệu ứng tán sắc hay hiệu ứng phi tuyến trở nên quan trọng đối với sự phát triển của
xung. Phụ thuộc vào mối liên hệ giữa độ lớn của L, LD, LNL, cách thức lan truyền có
thể được phân làm 4 loại như sau:
1) Khi chiều dài sợi quang thỏa mãn L<tán sắc lẫn phi tuyến đều không có vai trò quan trọng trong suốt quá trình xung lan
truyền. Điều này có thể thấy rõ khi ta để ý rằng cả hai số hạng ở vế phải của phương
trình (1.74) có thể được bỏ qua trong trường hợp này (với giả thiết rằng hàm bao


23

xung là đủ trơn để cho

 2U
~1. Do đó kết quả thu được là U(z,t)=U(0,t) nghĩa là
 2

xung giữ nguyên dạng ban đầu của nó trong quá trình lan truyền. Sợi quang trong
chế độ này giữ vai trò thụ động và chỉ làm nhiệm vụ truyền các xung quang học (dĩ
nhiên ta bỏ qua những biến đổi nhỏ của xung do hao phí trên sợi quang). Chế độ
này là hữu ích cho hệ thống thông tin quang. Ví dụ đối với chiều dài L ~ 50km, LD
và LNL cần phải lớn hơn 500km để bỏ qua sự méo tín hiệu trong quá trình truyền.
Đối với các sợi quang chuẩn, tại bước sóng   1.55 m thì 2  20 ps 2 km1 và

  3 W-1km-1. Sử dụng những kết quả này thay vào phương trình (1.74) ta thu được
rằng các hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng phi tuyến được bỏ qua khi L<50km nếu
T0>100ps và P0~1mW. Tuy nhiên, LD và LNL sẽ trở nên nhỏ hơn khi xung trở nên
ngắn hơn và cường độ lớn hơn nhiều.
2) Trường hợp chiều dài sợi quang L<phương trình (1.74) được bỏ qua so với hai số hạng còn lại, sự lan truyền xung bị
chi phối bởi hiệu ứng GVD còn hiệu ứng phi tuyến trong trường hợp này không có
vai trò quan trọng. Chế độ này xảy ra khi tham số của xung thỏa mãn điều kiện sau:

LD  P0T0 2

 1
LNL
2

(1.75)

Đối với xung cỡ 1ps, nếu ta sử dụng các giá trị điển hình cho các thông số sợi
quang  và  2 tại bước sóng   1.55 m , ta có thể đánh giá một P0<<1W.
3) Khi chiều dài sợi quang thỏa mãn L<sắc trong phương trình lan truyền xung được bỏ qua khi so sánh với số hạng phi
tuyến. Trong trường hợp này, sự lan truyền xung trong sợi quang được chi phối bởi
SPM, điều này dẫn đến sự mở rộng phổ của xung. Hiệu ứng phi tuyến ảnh hưởng
chủ yếu khi


24

LD  P0T0 2


 1
LNL
2

(1.76)

Điều kiện này thỏa mãn trong trường hợp xung tương đối rộng T0>100ps với
đỉnh công suất P0= 1W.
4) Khi chiều dài sợi quang là dài hơn hoặc có thể so sánh được với hai chiều
dài tán sắc LD và chiều dài phi tuyến LNL thì cả hai hiệu ứng trên đồng thời ảnh
hưởng lên quá trình lan truyền xung. Sự ảnh hưởng đồng thời của cả hai hiệu ứng
GVD và SPM sẽ dẫn đến hình thành các dạng khác nhau của xung so với dạng chỉ
có một trong hai hiệu ứng trên ảnh hưởng lên xung lan truyền. Trong chế độ tán sắc
dị thường (β2<0) sợi quang có khả năng cung cấp Soliton, còn ở chế độ tán sắc
thường (β2>0) hiệu ứng SPM và GVD có thể dùng để nén xung.
1.3.2. Hiệu ứng tán sắc vận tốc nhóm
Ảnh hưởng của hiệu ứng GVD lên xung quang học lan truyền trong sợi
quang đơn mode được xem xét trong trường hợp đơn giản nhất,   0 trong phương
trình (1.70) ( tức là không có sự ảnh hưởng của hiệu ứng SPM và các hiệu ứng phi
tuyến khác).
Ta sử dụng biên độ chuẩn hóa U(z,t), khi đó phương trình lan truyền xung
trong chế độ chỉ có ảnh hưởng của GVD có dạng sau:

U  2  2U
i

z
2 T 2

(1.77)

Phương trình (1.77) giải được bằng cách áp dụng phép biến đổi Fourier . Gọi

U ( z,  ) là ảnh Fourier của hàm U(z,T) theo phép biến đổi:
1
U ( z,T ) 
2



 U ( z, )exp(iT )d



U ( z,  ) thỏa mãn phương trình vi phân thông thường:

(1.78)