chuyên đề PHỤ THUỘC TT, độc lập TT, đại học nông lâm tphcm

Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

PHỤ THUỘC TT – ĐỘC LẬP TT
x1 , x 2 ,K , x n PTTT ⇔

có bộ số ( α1 , α 2 ,K , α n ) ≠ ( 0,0,K ,0 )
sao cho:

α1x1 + α 2 x 2 + K + α n x n = 0

x1 , x 2 ,K , x n ĐLTT ⇔ x1 , x 2 ,K , x n không PTTT
⇔

x1 , x 2 ,K , x n ĐLTT ⇔

không có bộ số ( α1 , α 2 ,K , α n ) ≠ ( 0,0,K ,0 )
sao cho:

α1x1 + α 2 x 2 + K + α n x n = 0

Nếu α1x1 + α 2 x 2 + K + α n x n = 0
thì

α1 = α 2 = K = α n = 0


Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

PTTT – ĐLTT
Ví dụ 1: Trong R4, chứng minh
x = ( 1, 2, −1,0 ) ; y = ( 2,1, 2,3) ; z = ( −1, 4, −7, −6 ) PTTT.

Ta cần tìm 1 bộ số ( α, β, γ ) ≠ ( 0,0,0 ) sao cho αx + β y + γz = O R4 (*)
α ( 1, 2, −1,0 ) + β ( 2,1, 2,3) + γ ( −1, 4, −7, −6 ) = ( 0,0,0,0 )

( α + 2β − γ, 2α + β + 4γ, −α + 2β − 7 γ,3β − 6 γ ) = ( 0,0,0,0 )
 α + 2β − γ = 0
 2α + β + 4 γ = 0


−α + 2β − 7 γ = 0

3β − 6 γ = 0

( α, β, γ ) = ( −3, 2,1)

là 1 bộ số thỏa (*)

Vậy 3 vectơ x, y, z PTTT.


Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

PTTT – ĐLTT
Ví dụ 2: Trong P3 [ x ] , chứng minh
f = 1; g = 2 − 3x; h = 1 + 3x + x 2 ĐLTT.
Giả sử có bộ số ( α, β, γ ) sao cho

αf + βg + γh = O P3[ x ]

( α + 2β + γ ) + ( −3β + 3γ ) x + γx 2 = 0
α + 2β + γ = 0


 − 3β + 3γ = 0

γ=0

⇔ α=β= γ =0
Vậy 3 vectơ đa thức f, g, h ĐLTT.

∀x


Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

PTTT – ĐLTT
Ví dụ 3: Trong M 2×2 [ R] , xét xem
1 2 
1 0 
0 1 
A=
; B=
; C=
PTTT hay ĐLTT.



3 4 
1 0 
1 2 
Giả sử có bộ số ( α, β, γ ) sao cho αA + βB + γC = O 2×2

(*)

2α + γ   0 0 
 α +β
3α + β + γ 4α + 2 γ  = 0 0 

 

Vậy 3 vectơ ma trận
A, B, C PTTT.

=0
 α +β
 2α
+ γ=0


3α + β + γ = 0
4α
+ 2γ = 0

( α, β, γ ) = ( 1, −1, −2 )

là 1 bộ số thỏa (*)


Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

PTTT – ĐLTT
Định lý 1

Xét hệ M gồm một số hữu hạn các vectơ trong KGVT V
M PTTT ⇔

có ít nhất 1 vectơ biểu diễn được
qua các vectơ còn lại

Ví dụ: trong ví dụ 3, các vectơ ma trận
1 2 
1 0 
0 1 
PTTT vì A = B + 2C
A=
; B=
; C=



3 4 
1 0 
1 2 


Trường ĐHNL TP.HCM – GV. Hoàng Quốc Công

PTTT – ĐLTT
Định lý 2
Xét hệ M gồm một số hữu hạn các vectơ trong KGVT V
U⊂M
M ĐLTT

U ĐLTT

U PTTT

M PTTT

Ví dụ: trong ví dụ 2, ta đã chứng minh 3 vectơ
f = 1; g = 2 − 3x; h = 1 + 3x + x 2 ĐLTT
nên các hệ con { f } ; { g} ; { h} ; { f ,g} ; { g, h} ; { h,f } cũng ĐLTT.