Bao nội xạ và môđun con bé Luận văn Thạc sĩ Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CHU THỊ NHUNG

BAO NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON BÉ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CHU THỊ NHUNG

BAO NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON BÉ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN - 2015


MỤC LỤC

Mục lục

2

Lời cảm ơn

3

Các ký hiệu được dùng trong luận văn

5

1 Kiến thức chuẩn bị
6
1.1. Môđun con cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Môđun nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Bao nội xạ và môđun con bé
16
2.1. Bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Môđun con bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận
Tài liệu tham khảo

28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


3

LỜI CẢM ƠN

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại, lý thuyết môđun đã
được các nhà toán học quan tâm sâu sắc trong nghiên cứu khoa học và
cho đến nay đã đạt được nhiều kết quả.
Trong những năm gần đây, lý thuyết môđun được phát triển mạnh mẽ
và có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành.
Trong đó lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh được xem như hai trụ
cột chính trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành.
Dựa vào các tài liệu chúng tôi tìm hiểu về bao nội xạ và môđun con
bé. Mục đích của luận văn này là trình bày sự tồn tại của bao nội xạ của
một môđun. Ngoài ra chúng tôi còn tìm hiểu về tính chất của môđun
con bé, môđun nội xạ.
Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài:" Bao nội xạ và môđun
con bé" làm nội dung nghiên cứu của luận văn.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương:
Chương 1:Kiến thức chuẩn bị: Chúng tôi trình bày những định nghĩa
và một số kết quả cơ bản liên quan đến luận văn như: môđun con cốt
yếu, môđun nội xạ.
Chương 2: Bao nội xạ và môđun con bé bao gồm 2 phần chính:
phần 1 trình bày về các tính chất của bao nội xạ
phần 2 trình bày một số tính chất của môđun con bé.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướng
dẫn khoa học của PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng. Trước hết, tác giả xin được
bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với người Thầy của mình:


4

PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, người đã dẫn dắt và hướng nghiên cứu cho tác
giả. Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì và
nghiêm khắc. Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận

được sự chia sẻ, yêu thương của Thầy trong quá trình học tập và nghiên
cứu
Nhân dịp này tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Sư phạm
Toán học, Tổ Đại Số của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận
lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình. Xin cảm ơn các thầy cô
giáo, các anh chị em học viên của Trường Đại học Vinh và tất cả bạn
bè của tác giả về những chia sẻ, động viên trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình của
mình, đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọi
khó khăn cùng tác giả suốt thời gian qua để tác giả có thể hoàn thành
luận văn này.
Nghệ An, năm 2015
Tác giả


5

CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN
VĂN
A ⊆ M : A là môđun con của môđun M.
A ⊆∗ M : A là môđun con cốt yếu của môđun M.
⊕ : Tổng trực tiếp các môđun.
E(M) : Bao nội xạ của môđun M.
A ⊆0 M : A là môđun con bé của môđun M.
Im(f) : ảnh của đồng cấu f.
Ker(f) : Hạt nhân của đồng cấu f.


6

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, tất cả các vành đều giả thiết là vành có
đơn vị, kí hiệu là 1 và các môđun là môđun phải unita (nếu không nói
gì thêm).

1.1

Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa. Cho môđun M và N là môđun con của M . Môđun
con N được gọi là môđun con cốt yếu trong M nếu với mọi môđun con
K ⊆ M , K = 0 thì N K = 0. Kí hiệu N ⊆∗ M , (hay N ⊆e M ).
Nếu N là môđun con cốt yếu của M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt
yếu của N .
Nếu mọi môđun con khác không của môđun M là môđun con cốt yếu
trong M thì M được gọi là môđun đều.
1.1.2 Hệ quả. Nếu M là môđun đơn, K là môđun con của M thì khi đó
K là môđun con cốt yếu của M khi và chỉ khi K = M .
1.1.3 Ví dụ. 1) Với M là R− môđun ta đều có M ⊆∗ M .
2) Với Z là Z− môđun. Khi đó mỗi iđêan khác không của Z đều cốt
yếu, tức là ∀ môđun con khác không của Z là cốt yếu trong Z, do đó Z
là môđun đều.
Thật vậy với hai iđêan khác không aZ, bZ ta đều có 0 = ab∈aZ bZ.
1.1.4 Bổ đề. Cho A là môđun con của môđun M trên R. Khi đó A ⊆∗ M
khi và chỉ khi với mỗi phần tử 0 = m ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho
0 = mr ∈ A.

7

Chứng minh. Giả sử A ⊆∗ M ,m = 0 và m ∈ M thì khi đó mR = 0 và
A ∩ mR = 0. Từ đó suy ra sự tồn tại của r ∈ R mà 0 = mR ∈ A.
Ngược lại, nếu B là môđun con khác không của M , lấy 0 = m ∈ B và
tìm được r ∈ R, sao cho 0 = mr ∈ A thì do mr ∈ B nên B ∩ A = 0. Vậy
A ⊆∗ M

1.1.5 Tính chất. 1) A ⊆ M thì A ⊆∗ M ⇐⇒ ∀ x = 0, x ∈ M ta có
xR A = 0.
2) Cho A, B , C là môđun con của M và A ⊆ B ⊆ C . Khi đó
A ⊆∗ C ⇐⇒ A ⊆∗ B và B ⊆∗ C.

3) Cho Ai ⊆∗ Mi , Mi ⊆ M , i = 1, n. Khi đó
n

n
∗

Ai ⊆
i=1

Mi .
i=1

Nếu tập chỉ số vô hạn thì không đúng.
4) Cho f : M −→ N là đồng cấu môđun và B ⊆∗ N . Khi đó f −1 (B) ⊆∗
M . Điều ngược lại không đúng.
5) Cho Ai ⊆∗ Mi ⊆ M , i ∈ I . khi đó nếu tồn tại Ai thì tồn tại Mi

i∈I
∗

Ai ⊆

và
i∈I

i∈I

Mi
i∈I

6) Cho A ⊆ K ⊆ M và K/A ⊆∗ M/A. Khi đó K ⊆∗ M .
Chứng minh. 1) Điều kiện cần: Hiển nhiên
Điều kiện đủ: Giả sử 0 = B , B ⊆ M . Khi đó tồn tại x = 0, x ∈ B ⇒
xR ⊆ B ⇒ A ∩ xR ⊆ A ∩ B
Mà A ∩ xR = 0 ⇒ A ∩ B = 0 ⇒ A ⊆∗ M
2) Giả sử A ⊆∗ C , lấy môđun con X bất kỳ của B mà A ∩ X = 0. Do
X ⊆ B nên X ⊆∗ C và A ⊆∗ C nên X = 0.
Vậy nên A ⊆∗ B .
Tương tự lấy môđun con Y bất kỳ của C mà B ∩ Y = 0. Do A ⊆∗ B
nên A ∩ Y = 0 và Y = 0 nên B ⊆∗ C . Ngược lại, nếu A ⊆∗ B và B ⊆∗ C
thì với môđun con X bất kỳ của C mà A ∩ X = 0. Đặt M = B ∩ X ta có
A ∩ M = A ∩ B ∩ X = A ∩ X = φ. Do A ⊆∗ B nên M = 0 và B ⊆∗ C nên
X = 0, suy ra B ∩ X = 0.


8

Vậy A ⊆∗ C .
3) Sử dụng qui nạp ta chỉ cần chứng minh đúng với n = 2.
Cho A1 ⊆∗ M1 , A2 ⊆∗ M2 , ta chứng minh A1 ∩ A2 ⊆∗ M1 ∩ M2
Lấy X = 0, X ⊆ M1 ∩ M2 , do đó X ⊆ M1
Do A1 ⊆∗ M1 nên X ∩ A1 = B = 0 do đó B ⊆ M2 .
Do A2 ⊆∗ M2 nên B ∩ A2 = 0 do đó X ∩ A1 ∩ A2 = 0.
Suy ra X ∩ (A1 ∩ A2 = 0.
Vậy A1 ∩ A2 ⊆∗ M1 ∩ M2 .
Trường hợp giao vô hạn nói chung không đúng. Chẳng hạn:
Xét Z− môđun: nZ ⊆∗ Z, n ∈ N∗ . Ta có
Z ⊆∗

∞

Zi , suy ra 0 ⊆∗ Z. Điều này vô lý.

i=1

Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng.
4) Với mọi A ⊆ M , A = 0. Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1:
f (A) ⊆ M suy ra f (A)∩B = 0 ( Vì B ⊆∗ N ) , do đó tồn tại: y ∈ f (A)∩B ,
y = 0. Khi đó tồn tại x ∈ A sao cho y = f (x), x = 0 ( vì y = 0) và x ∈ f −1 (B)
suy ra A ∩ f −1 (B) = 0.
Trường hợp 2:
f (A) = 0 suy ra A ∈ f −1 (B). Vì với mọi x ∈ A, ta suy ra
f (x) = 0 ∈ B ⇒ x ∈ f −1 (B).
5) Ta chứng minh hai trường hợp:
Trường hợp 1: |I| = n hữu hạn.
Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh n = 2.

Giả sử A1 ⊆∗ M1 , A2 ⊆∗ M2 , và tồn tại A1 ⊕ A2 . Ta cần chứng minh
M 1 ∩ M2 = 0

Thật vậy: Từ tính chất (3) ta có: A1 ∩ A2 ⊆∗ M1 ∩ M2 mà A1 ∩ A2 = 0
nên M1 ∩ M2 = 0. Bây giờ ta chứng minh A1 ⊕ A2 ⊆∗ M1 ∩ M2
Xét các đồng cấu chiếu sau đây:
f1 : M1 ⊕ M2 −→ M1
x1 + x2 −→ x1
f2 : M1 ⊕ M2 −→ M2
x1 + x2 −→ x2
Do A1 ∩ A2 ⊆∗ M1 ∩ M2 nên theo tính chất (4) ta có f1−1 (A1 ) ⊆∗ M1 ⊕ M2
và f2−1 (A2 ) ⊆∗ M1 ⊕ M2


9

Mà f1−1 (A1 ) = A1 ⊕ M2 ⊆∗ M1 ∩ M2 và f2−1 (A2 ) = M1 ⊕ A2 ⊆∗ M1 ∩ M2
nên lấy giao hai vế ta có:
A1 ⊕ A2 ⊆∗ M1 ⊕ M2 .

Trường hợp 2: Tập I bất kỳ:
Trước tiên ta chứng minh tồn tại

Mi
i∈I

Lấy x bất kỳ x ∈

Mi
I

Theo định nghĩa

Mi thì x là tổng hữu hạn không nhất thiết duy
I

nhất nên ta có
x = x1 + x2 + ... + xn , xi ∈ Mi , i = 1, n

Suy ra x ∈ M1 + M2 + ... + Mn
Do n hữu hạn nên theo trường hợp 1: M1 + M2 + ... + Mn = M1 ⊕ M2 ⊕
... ⊕ Mn

n

Mà x ∈

Mi nên biểu diễn: x = x1 + x2 + ... + xn là duy nhất. Do đó
i=1

tồn tại

Mi .
i∈I

Lấy x = 0, x ⊆

Mi , từ đó suy ra tồn tại x ∈ X , x = 0 và
i∈I

x = x1 + x2 + ... + xn , xi ∈ Mi , i = 1, n.
Suy ra x ∈ M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn nên xR ⊆

Mi
i∈I

Theo trường hợp 1 ta có: A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An ⊆∗ M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn
Suy ra A1 ⊕ A2 ⊕ ... ⊕ An ∩ xR = 0
n

Ai ∩ X = 0

Suy ra
i=1

Vậy tồn tại

Ai ⊆∗

Mi , và
i∈I
∗

i∈I

Mi .
i∈I

5) Giả sử X ⊆ M sao cho K ∩ X = 0. Khi đó K ∩ (A ⊕ X) = A
Nên K/A ∩ (A ⊕ X)/A = 0. Mà K/A ⊆∗ M/A nên (A ⊕ X)/A = 0 hay

A⊕X =A
Vậy X = 0 hay K ⊆∗ M .

1.1.6 Bổ đề. Cho ϕ : N −→ M là đẳng cấu môđun trên R. Khi đó môđun
con L của N cốt yếu trong N khi và chỉ khi ϕ(L) cốt yếu trong M .
Chứng minh. (⇒) Cho L ⊆∗ N , thì ∀X ⊆ M sao cho ϕ(L) ∩ X = 0. Suy


10

ra L ∩ ϕ−1 (X) = ϕ−1 (ϕ(L) ∩ X) = ϕ−1 (0) = 0. Do L ⊆∗ N nên ϕ−1 (X) = 0
⇒ X = 0 (ϕ là đẳng cấu). Vậy ϕ(L) ⊆∗ M .
(⇐) Cho ϕ(L) ⊆∗ M , thì ∀Y ⊆ N sao cho L ∩ Y = 0. Do ϕ đẳng
cấu suy ra ϕ−1 (ϕ(L) ∩ ϕ(Y )) = ϕ−1 (ϕ(L)) ∩ ϕ−1 (ϕ(Y )) = L ∩ Y = 0 suy
ra ϕ(L) ∩ ϕ(Y ) = 0. Do ϕ(L) ⊆∗ M nên ϕ(Y ) = 0 suy ra Y = 0. Vậy
L ⊆∗ N .
1.1.7 Mệnh đề. Với mọi môđun con A của môđun M luôn tồn tại
môđun con B của M sao cho A ⊕ B cốt yếu trong M .
Chứng minh. Đặt S = {X ⊆ M : X ∩ A = 0}. Vì 0 ∈ S nên S = ∅.
Ta sắp thứ tự S theo quan hệ bao hàm. Lấy tập con sắp thứ tự tuyến
tính của S sao cho X1 ⊆ X2 ⊆ ... ⊆ Xn ⊆ ...
(∗).
n

Xi là môđun con của M và là cận trên của (∗).

Khi đó C =
i=1

Lấy x ∈ A ∩ C suy ra có một số k nào đó sao cho x ∈ Xk . Từ đây ta

có x ∈ A ∩ Xk . Vậy X = 0 hay A ∩ C = 0. Theo bổ đề Zorn S có phần tử
tối đại là B . Ta cần chứng minh A ⊕ B ⊆∗ M .
Thật vậy, ∀y ⊆ M thỏa mãn A⊕B ∩Y = 0. Ta có A∩Y = 0 và B ∩Y = 0.
Nếu có a ∈ A và b ∈ B , y ∈ Y sao cho a = b + y thì y = a.b ∈ A ⊕ B . Suy
ra y = 0 và a = b = 0.Như vậy A ∩ (B ⊕ Y ) = 0 suy ra B ⊕ Y ∈ S . Do tính
tối đại của B nên Y = 0. Vậy A ⊕ B ⊆∗ M .
1.1.8 Bổ đề. Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì (K ⊕ B)/K ⊆∗
M/K .
Chứng minh. Giả sử X/K ⊆ M/K sao cho (K ⊕ B)/K ∩ X/K = 0, ta có
K ∩ B = 0 và (K ⊕ B) ∩ X = K . Khi đó: 0 = (K ⊕ B) ∩ X ∩ B = X ∩ B . Do
tính tối đại của K nên X = K . Vậy X/K = 0 hay (K ⊕ B)/K ⊆∗ M/K .

1.1.9 Mệnh đề. Cho B là môđun con của M , K là phần bù của B trong
M , thế thì:
(1) K đóng trong M
(2) (K ⊕ B) là môđun con cốt yếu của M
Chứng minh. (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho K ⊆∗ N ,
thế thì nếu N = K và do K ∩ B = 0, K tối đại nên N ∩ B = 0. Ta có


11

K ∩ (N ∩ B) = (K ∩ N ) ∩ B = K ∩ B = 0, vì K ⊆∗ N , suy ra N ∩ B = 0.
Điều này vô lí. Vậy K đóng trong M .

(2) Suy ra từ 1.1.7.

1.2

Môđun nội xạ

1.2.1 Định nghĩa. Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu
f : A −→ M và mỗi đơn cấu g : A −→ X của những R− môđun, tồn tại
đồng cấu h : X −→ M sao cho hg = f , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
g

0 −→ A A
A

GX
|
|
||
||
~|| ∃h

AA
AA
f AA2

M

1.2.2 Ví dụ. Z− môđun M là nội xạ.
1.2.3 Bổ đề. Nếu mỗi đơn cấu ϕ : M −→ A là chẻ ra với mọi môđun A
thì M là nội xạ.
Chứng minh. Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau đây
trong đó g là đơn cấu. Gọi K là môđun con của M ⊕ B gồm tất cả các
cặp có dạng (ψ(a), g(a)), ∀a ∈ A.
Đặt N = M ⊕ B/K ta có các đồng cấu:
α : B −→ N và β : M −→ N sao cho hình vuông sau giao hoán

A
ψ

g



M

β

G

G

B


α

N

Trong đó α(b) = (0, b), β(m) = (m, 0). Do g đơn cấu nên β cũng đơn
cấu. Khi đó theo giả thiết β chẻ ra, tức là tồn tại đồng cấu γ : N −→ M
sao cho γβ = 1. Đặt h = γβ : B −→ M . Ta có: ψ = γβ g = hg . Vậy M là
nội xạ.


12

1.2.4 Định lý. Cho M là một môđun phải trên vành R. Khi đó M là nội
xạ nếu và chỉ nếu mọi iđêan phải I của R và mọi f ∈ HomM (I, M ) thì
tồn tại a ∈ M sao cho: f (r) = a.r, ∀r ∈ I .
Chứng minh. Nếu M là nội xạ, khi đó ta lấy I ⊆ RR , f ∈ HomR (I, M ).
Mở rộng vài fi ∈ HomR (I, M ) và f (r) = f1 (r) = f1 (1).r, ∀r ∈ I
Ngược lại, giả sử M thỏa mãn điều kiện bài toán, ta xét R− môđun
phải C ⊆ B với đồng cấu liên tục f : C −→ M . Cho X là tập tất cả các
cặp (C1 , f1 ) với C1 là môđun con của H = C1 ⊇ C và f1 là đồng cấu từ C1
vào M mở rộng của f
Xác định quan hệ ⊆ trên X bằng quy ước: (C1 , f1 ) ⊆ (C2 , f2 ) nếu và
chỉ nếu C1 ⊆ C2 , f2 mở rộng của f1 . Kiểm tra lại rằng quy ước này là
một trật tự riêng trên X và mọi chuỗi không rỗng trong X đều có một
cận trên. Sử dụng bổ đề Zorn, ta có phần tử lớn nhất trong X là (C ∗ , f ∗ )
Nếu C ∗ = B , ta có ngay điều phải chứng minh
Nếu C ∗ = B . Ta chọn b ∈ B\C ∗ và đặt I = {r ∈ R\br ∈ C ∗ }. Quy ước,
r −→ f ∗ (br) xác định một đồng cấu từ I −→ M , và từ đó bằng giả thiết,
tồn tại a ∈ M sao cho f ∗ (br) = ar, ∀r ∈ I .
Kiểm tra lại đó là đồng cấu f1 : C ∗ + bR −→ M xác định bởi công thức
f1 (c + br) = f ∗ (a) + r, ∀c ∈ C ∗ , điều này mâu thuẫn với tính cực đại của
(C ∗ , f ∗ ).
1.2.5 Mệnh đề. Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là một hạng
tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó.
Chứng minh. Nếu A là nội xạ thì A là hạng tử trực tiếp của mọi môđun
chứa nó. Thật vậy, nếu A là nội xạ và A ⊆ B , một ánh xạ đồng nhất trên
A mở rộng thành đồng cấu f : B −→ A. Khi đó B = A ⊕ Ker(f ). Tức A
là hạng tử trực tiếp của mọi môđun B bất kỳ chứa A.
Ngược lại, giả sử ta có các môđun A và B sao cho B = A ⊕ Ker(f ).
Khi đó, A ⊆ B và tồn tại đồng cấu f : B −→ A là mở rộng của phép đồng
nhất iA . Vậy A là môđun nội xạ.

1.2.6 Mệnh đề. Mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ trên R là nội
xạ.


13

Chứng minh. Giả sử ta có môđun X là tổng trực tiếp của hai môđun U
và V trên R, X nội xạ. Để chứng minh mệnh đề ta sẽ chứng minh rằng
môđun U cũng là môđun nội xạ.
Cho đơn cấu g : A −→ B và một đẳng cấu f : A −→ U . Gọi j : U −→ X
là phép nhúng tự nhiên và h : X −→ U là phép chiếu tự nhiên, khi đó vì
X là nội xạ nên tồn tại một đồng cấu k : B −→ X sao cho kg = jf . Xét
đồng cấu hợp thành hk : B −→ U , ta có: hkg = hjf = f . Vậy U là nội
xạ.
1.2.7 Định lý. Các mệnh đề sau là tương đương
i) M là môđun nội xạ
ii) Mọi đơn cấu δ : M −→ N là chẻ ra( nghĩa là Imδ là hạng tử trực
tiếp của M )
iii) Với mọi đơn cấu α : A −→ B thì đồng cấu:
Hom(α; 1M ) : Hom(B; M ) −→ Hom(A; M ) là toàn cấu.
1.2.8 Định lý. Nếu Q là môđun nội xạ và Q ∼
= A thì A nội xạ.
1.2.9 Định lý.

Mi là nội xạ khi và chỉ khi Mi nội xạ với mọi i ∈ I .

Chứng minh. Đặt M = Mi .
Điều kiện cần:
Giả sử M là môđun nội xạ, A ⊆ X , g : A −→ B là một đơn cấu và
f : A −→ Mi là một đồng cấu với i ∈ I .

Xét biểu đồ:
0

G

A

g

G

B



f





Mi  k

πi 
 Ö

M

Bổ sung phép nhúng đồng nhất πi : Mi −→ M
xi −→ (0, 0, ..., xi , 0...)

Suy ra ta có đồng cấu jf : A −→ M . Do M la nội xạ nên tồn tại đồng
cấu g ∗ : B −→ M là mở rộng của jf , tức là k.g = πi .f .
Gọi pi : M −→ Mi
là phép chiếu


14

(xi ) −→ xi
Ta lấy fi∗ = pi k : B −→ Mi thì fi∗ là cần chọn vì
fi∗ .g = pi .k.g = pi .πi .f = f .

Điều kiện đủ
Cho Mi là nội xạ với mọi i ∈ I . Ta chứng minh M là nội xạ.
Với mọi Môđun X , A ⊆ X , f : A −→ M là đồng cấu môđun.
Xét sơ đồ:
0

GA

g

G

B



f




M

µi

λi


 Ö

Mi

Bổ sung

λi : M −→ Mi
(xi ) −→ xi .

là phép chiếu

Suy ra có đồng cấu
λi f : A −→ Mi
Do Mi nội xạ nên tồn tại µi : B −→ Mi là mở rộng của λi f , tức là
µi .g = λi .f
Gọi f ∗ : A −→ Mi
x −→ (fi∗ (x))I
Khi đó f ∗ .i = f , hay M là nội xạ.

1.2.10 Định nghĩa. Một nhóm aben X được gọi là chia được nếu và chỉ
nếu với mọi phần tử x của X và mọi số nguyên n = 0, tồn tại một phần
tử a ∈ X sao cho na = x.
1.2.11 Ví dụ. 1) Q là Z_ môđun chia được vì phương trình nx = a trên
Q luôn có nghiệm x ∈ Q, ∀x ∈ Q, a ∈ Q và n ∈ N∗ .
2) Z là Z_ môđun không chia được vì không phải mọi phương trình
nx = a trên Z đều có nghiệm x trên Z, ∀a ∈ Z và n ∈ N∗ .
1.2.12 Bổ đề. Một Z _môđun D là chia được khi và chỉ khi D là nội xạ.
Chứng minh. Trước hết, nếu Z _môđun D là chia được ta chứng minh D
là nội xạ.
Cho α : D −→ B là một đơn cấu của hai nhóm Aben, trong đó D là
nhóm chia được, ta sẽ chứng minh α chẻ ra và do đó D là môđun nội xạ.


15

Thật vậy, do α đơn cấu nên D đẳng cấu với ảnh Im(α). Bởi vậy, không
mất tính tổng quát ta có thể xem D là nhóm con của B và α là đơn
cấu chính tắc. Gọi U là tập hợp tất cả các nhóm con A của B sao cho
D ∩ A = 0.
Tập U = ∅, do đó A = 0 ∈ U . áp dụng bổ đề Zorn ta thấy trong U có
phần tử tối đại, chẳng hạn V . Khi đó D + V = D ⊕ V
Mặt khác, đối với phần tử tùy ý b ∈ B ta xét iđêan:
I = {x ∈ Z bx ∈ D + V }. Do Z là vành chính nên I = mZ . Hơn nữa
I = 0, vì nếu I = 0 thì nhóm con H sinh bởi b thỏa mãn điều kiện:
H ∩ (D + V ) = 0 từ đó suy ra (H + V ) ∩ D = 0, trái với tính tối đại của V .
Giả sử bm = d0 + v0 . Do D chia được nên tồn tại d1 ∈ D sao cho
md1 = d0 . Khi đó, v0 = (b − d1 )m, ta có:D ∩ (V + (b − d1 )Z) = 0. Thật vậy,
nếu giả sử d = v + (b − d1 )x ∈ D ∩ (V + (b − d1 )Z ⇒ bx = d − v + d1 x ∈ D + V
suy ra x ∈ I ⇒ x = mx1 ⇒ d = v + (b − d1 ).m.x. Mà D ∩ V = 0 nên d = 0.

Từ tính tối đại của V suy ra (b − d1 )Z ⊆0 V ⇒ (b − d1 ) ∈ V ⇒ b ∈ D + V .
Như vậy B = D + V .
Ngược lại, giả sử Z _môđun D nội xạ và giả sử d ∈ D, 0 = m ∈ Z . Xét
biểu đồ các đồng cấu trong đó i là phép nhúng chính tắc, còn f được xác
định bởi công thức: f (m) = d. Do tính nội xạ của D nên tồn tại đồng cấu
h : Z −→ D, sao cho f = h.i. Ta có: d = f (m) = h(m) = h(1.m) = h(1).m.
Điều này chứng tỏ rằng D là nhóm chia được.


16

CHƯƠNG 2
BAO NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON BÉ

2.1

Bao nội xạ

2.1.1 Định nghĩa. Đơn cấu ϕ : A −→ M được gọi là cốt yếu nếu Imϕ
là môđun con cốt yếu trong M .
2.1.2 Bổ đề. Nếu α : A −→ B và β : B −→ C là những đơn cấu thì βα
là cốt yếu khi và chỉ α và β là cốt yếu.
2.1.3 Bổ đề. A có mở rộng cốt yếu khi và chỉ khi tồn tại một đơn cấu
cốt yếu f : A −→ M .
2.1.4 Mệnh đề. (Eckmann-Schopf) Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ
nếu A không có mở rộng cốt yếu.
Chứng minh. (⇒) Giả sử A là môđun nội xạ và A có một mở rộng cốt
yếu A ⊆∗ B . Do A nội xạ nên A ⊕ C = B , trong đó C là một môđun con
của B . Mặt khác do A ⊆∗ B nên từ A ∩ C = 0 ta có C = 0, suy ra B = A
(⇐) Giả sử A không nội xạ, khi đó tồn tại môđun C ⊇ A sao cho A

không phải là hạng tử trực tiếp của C . Chọn môđun B ⊆ C cực đại sao
cho A ∩ B = 0. Khi đó A ⊕ B ⊂ C , suy ra ((A ⊕ B)/B) ⊆∗ C/B , suy ra đơn
cấu α : A −→ C và β : C −→ C/B là cốt yếu. Suy ra βα := f : A −→ C/B
là cốt yếu. Suy ra A có mở rộng cốt yếu.
2.1.5 Định nghĩa. Cho C là một môđun và A là một môđun con của
C . Ta nói rằng A là một cốt yếu đóng trong C nếu và chỉ nếu A không có
mở rộng cốt yếu trong C . Tức là A ⊆∗ B ⊆ C thì B = A.
2.1.6 Mệnh đề. Cho A là môđun con của một môđun nội xạ M . Khi đó
A là nội xạ khi và chỉ khi A là cốt yếu đóng trong M .


17

Chứng minh. (⇒) Nếu A là một nội xạ thì theo mệnh đề EckmannSchopf, A không có một mở rộng cốt yếu trong M . Vậy A là cốt yếu
đóng trong M .
(⇐) Giả sử A là một cốt yếu đóng trong M . Xét mở rộng cốt yếu
A ⊆∗ B , ánh xạ mở rộng A vào B mở rộng thành một đồng cấu
f : B −→ M , ⇒ A ∩ Ker(f ) = 0 ⇒ Ker(f ) = 0 ( do A ⊂∗ B ) ⇒ f là phép
đẳng cấu từ B lên f (B). Suy ra A = f (A) ⊆∗ f (B) ⊆ M ⇒ f (B) = A.
Do A là cốt yếu đóng trong M nên suy ra B = A ⇒ A không chứa mở
rộng cốt yếu. Suy ra A nội xạ.
.
2.1.7 Định nghĩa. Cho môđun A. Đơn cấu α : A −→ M được gọi là bao
nội xạ của A nếu M là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu.
Khi α : A −→ M là bao nội xạ của A, nếu không sợ nhầm lẫn ta cũng
thường gọi môđun M là bao nội xạ của A.
Ký hiệu M = E(A).
2.1.8 Ví dụ. Đơn cấu chính tắc i : ZZ −→ QZ là bao nội xạ của Z vì QZ
là nội xạ và ZZ là môđun con cốt yếu trong QZ .
2.1.9 Định lý. Cho A là một môđun. Bất kì một môđun nội xạ nào chứa

A cũng bao hàm một bao nội xạ của A.
Chứng minh. Xét một môđun nội xạ M ⊇ A, theo bổ đề Zorn tồn tại
một môđun con V ⊆ M sao cho A ⊆ V và V cực đại với điều kiện A ⊆∗ V .
Nếu V là một môđun bất kỳ của M để V ⊆∗ V thì A ⊆∗ V . Do tính
chất cực đại của V nên V = V ⇒ V là cốt yếu đóng trong M . Suy ra V
là nội xạ ( Theo mệnh đề 2.1.6). Suy ra V là bao nội xạ của A.
Như vậy ta cũng có thể nói rằng một bao nội xạ của một môđun A là
một môđun nội xạ M nào đó sao cho nó là mở rộng cốt yếu của A.
2.1.10 Bổ đề. Nếu α : A −→ M là một đơn cấu và M là môđun nội
xạ thì đối với đơn cấu cốt yếu β : A −→ A đều tồn tại một đơn cấu
α : A −→ M sao cho biểu đồ sau giao hoán
A AA

φ

AA

A
α AAA
2

M

GA
|
||
||
|
~|| α

18

Nói cách khác, mỗi mở rộng cốt yếu của A được nhúng vào một mở
rộng nội xạ bất kỳ.
Chứng minh. Do M nội xạ nên tồn tại đồng cấu α : A −→ M sao cho
α = α β.
Gọi K = Ker(α ). Do α đơn cấu nên K ∩ Im(β) = Ker(α ) ∩ Im(β) =
Ker(α β) = Ker(α) = 0
Do β là cốt yếu nên K = 0. Vậy α là đơn cấu.

2.1.11 Mệnh đề. Giả sử α1 : A −→ M1 là bao nội xạ và α2 : A −→ M2
là một đơn cấu vào môđun nội xạ M2 . Khi đó tồn tại đơn cấu chẻ ra
ϕ : M1 −→ M2 sao cho biểu đồ sau giao hoán:
A AA

α1

AA
A
α2 AAA
2

M

GA
|
|
||
|| ϕ

|
~|

Trong đó α2 = ϕα1
Đơn cấu α2 là bao nội xạ của A khi và chỉ khi ϕ là đẳng cấu.
Chứng minh. Do M2 là nội xạ nên tồn tại đồng cấu ϕ : M1 −→ M2 sao
cho ϕα1 = α2 ⇒ Ker(ϕα1 ) = Ker(ϕ) ∩ Im(α1 ) = Ker(ϕ) ∩ A = Ker(α2 ) = 0
( Do α1 là đơn cấu cốt yếu và α2 là đơn cấu)
Mặt khác, do A ⊆∗ M1 , A ∩ Ker(ϕ) = 0 nên suy ra Ker(ϕ) = 0 ⇒ ϕ
là đơn cấu. Lại do M1 nội xạ nên đơn cấu ϕ là chẻ ra nên ta có M2 =
Im(ϕ) ⊕ C . Như vậy đơn cấu chẻ ra: ϕ : M1 −→ M2 là luôn tồn tại sao
cho ϕα1 = α2
Bây giờ nếu α2 là bao nội xạ của A thì α2 là đơn cấu cốt yếu, khi đó
theo bổ đề 2.12 thì ϕ cốt yếu suy ra C = 0 ⇒ ϕ đẳng cấu.
Ngược lại nếu ϕ là đẳng cấu thì ϕ là cốt yếu suy ra α2 là bao nội xạ
của A.
2.1.12 Mệnh đề. Nếu M và M là những bao nội xạ của môđun A thì
phép đồng nhất trên A mở rộng thành một phép đẳng cấu từ M vào M .
Chứng minh. Giả sử f : A −→ M và f : A −→ M là những ánh xạ bao
hàm. Khi đó tồn tại đơn cấu g : M −→ M sao cho gf = f ⇒ f (A) =
g(M ) ⇒ g(M ) ⊆∗ M ⇒ g là đơn cấu cốt yếu.


19

Tuy nhiên do M là một bao nội xạ nên nó không có mở rộng cốt yếu,
từ đó suy ra g(M ) = M ⇒ g đẳng cấu.
Mệnh đề 2.1.11 chứng tỏ rằng bao nội xạ được xác định duy nhất sai
khác đẳng cấu, hơn nữa nó xem như một mở rộng nội xạ tối tiểu của
A.

2.1.13 Bổ đề. Mọi môđun A đều có bao nội xạ.
Chứng minh. Giả sử V là một môđun nội xạ, α : A −→ V là một đơn
cấu, C = Im(α), C là ∩− bù của C và C ” là ∩− bù của C .
Khi đó C ” là ∩− bù thứ hai đối với C = Im(α) trong V thỏa mãn
điều kiện: C ⊂ C ” . Lấy môđun con D của C ” sao cho C ∩ D = 0, khi
đó: x ∈ C ∩ (C + D thì x = c = c + d, với c ∈ C, c ∈ C , d ∈ D suy ra
c = c − d ∈ C ∩ C ” = 0 ⇒ x = c = d ∈ C ∩ D = 0 suy ra C ∩ (C + D = 0
⇒ C + D = C ( do C có tính cực đai) suy ra D ⊂ C ⇒ D ⊂ C ∩ C ” = 0
suy ra D = 0 ⇒ C ⊆∗ C ” . Xét biểu đồ giao hoán:
C ⊕ CPP

i

PPP
PPP
P
β PPP@

G
qV
q
q
qq
qqϕq
q
q
xqq

V /C ⊕ V /C

Trong đó i là đơn cấu chính tắc, β và α được xác định như sau:
Đối với c” + c ∈ C ” ⊕ C thì β(c” + c ) = (c” + c + C , c” + c + C )
= (c” + C , c + C )
Đối với v ∈ V thì ϕ(v) = (v + c , v + c” )
Suy ra β = ϕ.i
Do C ∩ C ” = 0 nên β , ϕ là những đơn cấu, lại do V nội xạ nên ϕ chẻ

ra.
Bây giờ chọn D là môđun con của V sao cho: (C ” ⊕C \C )∩(D \C = 0
suy ra (C ” ⊕ C ) ∩ D = C ⇒ C = (C ” ∩ D ⊕ C
suy ra (C ” ∩ D ) ⊂ C ⇒ (C ” ∩ D ) ⊂ (C ” ∩ C )
Vì (C ” ∩ C ) = 0 nên C ” ∩ D = 0. Từ tính tối đại của C suy ra C = D
⇒ D \C = 0 suy ra ((C ” ⊕ C )\C ) ⊆∗ V \C
Tương tự (C ” ⊕ C )\C ” ⊆∗ V \C ” suy ra β là đơn cấu cốt yếu suy ra ϕ
là đơn cấu cốt yếu. Do ϕ chẻ ra nên β là đẳng cấu ∀v ∈ V, ∃v ∈ V sao cho


20

(v + C , 0 + C ) = (v + C, v + C ” ) suy ra v ∈ C ” nghĩa là v ∈ C ” + C ⇒
V = C” ⊕ C
Suy ra C ” là hạng tử trực tiếp trong V suy ra C ” là nội xạ.
Như vậy với kết quả: Im(ϕ) = C ⊆∗ C ” và C ” là môđun nội xạ ta có:
α : A −→ C ” với α (a) = α(a), ∀a ∈ A là bao nội xạ của A.

2.1.14 Định lý. Bao nội xạ của môđun A là cực đại trong các mở rộng
cốt yếu và là cực tiểu trong tất cả mở rộng nội xạ.
Chứng minh. Giả sử M là một mở rộng cốt yếu của A. Ta chứng minh
rằng M ⊆ E(A)
Xét biểu đồ:

f

A EE

EE
EE
i EE4

GM
x
x
xx
xx∃ϕ
x
|x

E(A)

trong đó f là đơn cấu cốt yếu, i là phép nhúng.
Vì E(A) là nội xạ nên ϕ : M −→ E(A) sao cho gf = i.
Giả sử Ker(g) = 0 suy ra f (A)∩Ker(g) = 0, f (A) ⊆∗ M ⇒ ∃x = 0, x ∈ X
sao cho x = f (a) ∈ Ker(g) với a ∈ A. Khi đó a = i(a) = gf (a) = 0 ⇒ x = 0
mâu thuẫn vì x = 0 suy ra Ker(g) = 0 ⇒ g đơn cấu, suy ra M ⊂ E(A)
Ngược lại, giả sử E là mở rộng nội xạ của A, ta sẽ chứng minh
E(A) ⊆ E

Xét biểu đồ:
A >>

>>

>>
f >>1

i

E

G

E(A)

yy
yy
y
y
|yy ∃g

trong đó i là phép nhúng, f là đơn cấu.
Do E nội xạ nên tồn tại g : E(A) −→ E sao cho gi = f
Giả sử Ker(g) = 0 suy ra Ker(g) ∩ A = 0 vì A ⊆∗ E(A) ⇒ ∃a ∈ A, a ∈
Ker(g), a = 0. Khi đó f (a) = gi(a) = g(a) = 0. Vì f đơn cấu nên suy ra
a = 0, điều này mâu thuẫn với a = 0 nên suy ra Ker(g) = 0 ⇒ g đơn cấu.
Vậy E(A) ⊆ E


21

.
2.1.15 Bổ đề. Cho A, B là các môđun con của môđun M và A ∩ B = 0.
Khi đó bao nội xạ E(A ⊕ B) = E(A) ⊕ E(B).

Chứng minh. Ta có E(A)⊕E(B) là môđun nội xạ chứa A⊕B , còn E(A⊕B)
là môđun nội xạ bé nhất chứa A ⊕ B do đó
E(A ⊕ B) ⊆ E(A) ⊕ E(B).
(1)
Mặt khác A ⊆∗ E(A) và B ⊆∗ E(B) nên (A ⊕ B) ⊆∗ E(A) ⊕ E(B). Mà
E(A ⊕ B) là mở rộng cốt yếu tối đại của A ⊕ B nên ta có:
E(A) ⊕ E(B) ⊆ E(A ⊕ B)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra E(A ⊕ B) = E(A) ⊕ E(B).
2.1.16 Mệnh đề. Nếu Q là môđun nội xạ và không phân tích được thì
Q là môđun đều.
Chứng minh. Nếu A, B là các môđun con khác không của Q mà
A∩B = 0 thì khi đó tồn tại A⊕B ⊆ Q. Vì bao nội xạ E(A⊕B) ⊆ E(Q) =
Q (do Q nội xạ) nên E(A⊕B) là hạng tử trực tiếp của Q. Mà A và B khác
không nên E(A ⊕ B) = Q. Theo bổ đề 2.1.15, ta có: E(A) ⊕ E(B) = Q. Do
Q không phân tích được nên hoặc E(A) = 0 hoặc E(B) = 0 suy ra hoặc
A = 0 hoặc B = 0. Điều đó mâu thuẫn, do đó chứng tỏ rằng không thể
tồn tại A ∩ B = 0 suy ra Q là môđun đều.
2.1.17 Mệnh đề. Nếu M là môđun nội xạ không phân tích được thì vành
các tự đồng cấu End(M ) là vành địa phương.
Chứng minh. Nếu α ∈ End(M ) là đơn cấu thì ảnh Im(α) là nội xạ, do
đó Im(α) là hạng tử trực tiếp của M . Mà M không phân tích được nên
Im(α) = M suy ra α đẳng cấu, do đó α khả nghịch trong End(M ).
Bây giờ lấy β ∈ End(M ) không khả nghịch trong End(M ). Khi đó β
không đơn cấu suy ra Ker(β) = 0.
Giả sử f1 , f2 không khả nghịch trong End(M ). Khi đó Ker(f1 ) = 0,
Ker(f2 ) = 0. Theo mệnh đề 2.1.16, ta có M là môđun đều, do đó suy ra
Ker(f1 ) ∩ Ker(f2 ) = 0. Mà Ker(f1 ) ∩ Ker(f2 ) ⊆ Ker(f1 + f2 ) suy ra (f1 + f2 )
không đơn cấu, hay (f1 + f2 ) không khả nghịch trong End(M ).
Vậy End(M ) là vành địa phương.

22

2.1.18 Định nghĩa. Đơn cấu ϕ : A −→ B được gọi là một mở rộng cốt
yếu tối đại nếu ϕ là cốt yếu và mọi mở rộng cốt yếu của B là đẳng cấu.
2.1.19 Mệnh đề. Giả sử ϕ : A −→ M là một đơn cấu. Khi đó ϕ là mở
rộng cốt yếu tối đại của A nếu và chỉ nếu ϕ là bao nội xạ của A.
Chứng minh. Giả sử ψ : A −→ Q là bao nội xạ của A. Xét biểu đồ giao
hoán
A @@

@@
@
ψ @@1

ϕ

E

GM
}
}}
}}α
}
}~ }

trong đó đồng cấu α tồn tại do tính nội xạ của Q. Nếu ϕ là mở rộng
cốt yếu thì theo bổ đề 2.1.9 ta có α đơn cấu.
Bởi vì ψ = αϕ là đơn cấu cốt yếu nên theo bổ đề 2.1.2, α là đơn cấu

cốt yếu. Do đó nếu ϕ là mở rộng cốt yếu tối đại thì α là đẳng cấu và do
đó M là bao nội xạ của A.
Ngược lại, mỗi bao nội xạ là một mở rộng cốt yếu tối đại. Điều này
được suy ra từ sự kiện: mỗi đơn cấu f : Q −→ M , với Q nội xạ đều chẻ
ra; còn hạng tử trực tiếp không thể là môđun con cốt yếu của môđun
chứa nó.
2.1.20 Mệnh đề. Đơn cấu chính tắc.
A1 ⊕ ... ⊕ An −→ I(A1 ⊕ ... ⊕ I(An )

cảm sinh đẳng cấu
I(A1 ⊕ ... ⊕ An )

2.2

I(A1 ⊕ ... ⊕ I(An )

Môđun con bé

2.2.1 Định nghĩa. 1) Cho A ⊆ M , A được gọi là môđun con bé của M
nếu với mọi môđun X ⊆ M , X = M thì A + X = M . Kí hiệu A ⊆0 M . Nói
cách khác, nếu A + X = M thì X = M .
2) Một môđun A được gọi là bé nếu A là môđun con bé trong bao nội
xạ E(A) của A.
3) Một môđun A được gọi là không bé nếu A không phải là môđun
con bé trong bao nội xạ E(A) của A.


23

4) Một đồng cấu môđun ϕ : M −→ N được gọi là bé khi và chỉ khi

Ker(ϕ) ⊆0 M .
2.2.2 Ví dụ. 1) Với mọi môđun M ta có O ⊆0 M
2) Cho R là vành địa phương
A = [ Phần tử không khả nghịch của R]
Suy ra A∆RR nên A ⊆ RR . Khi đó:
A ⊆∗ RR
A ⊆0 RR
3) Z ⊆0 Z , p là số nguyên tố.
4) Trong Z -môđun tự do chỉ có môđun tầm thường O là môđun con

bé.
Thật vậy, giả sử Q =

xi Z là Z- môđun tự do với cơ sở {xi /i ∈ I}.
i∈I

Giả sử A là môđun con khác không của Q và 0 = a ∈ A, khi đó a biểu
diễn duy nhất dưới dạng a = xi1 z1 + ... + x1m zm ∈ Z với zi = 0. Chọn n ∈ Z
với (z1 , n) = 1 và n > 1. Đặt U =
xi Z + xi1 n, khi đó ta có aZ + U = Q,
i=1

do đó A + U = Q với U = Q. Điều này chứng tỏ A không là môđun con
bé của Q.
5) Mỗi môđun con hữu hạn sinh trong QZ là môđun bé trong QZ .
Thật vậy, giả sử A là môđun con của Q, sinh bởi tập {q1 , q2 , ..., qn } ⊆
Q và U là môđun con của QZ sao cho A + U = Q. Khi đó {q1 , q2 , ..., qn } ∪ U
là một hệ sinh của QZ . Từ đó U là hệ sinh của Q và do đó U = Q. Điều
này chứng tỏ A ⊆0 Q.
6) Cho vành R, A = {các phần tử không khả nghịch của R } Giả thiết

R là vành địa phương ( tức là A là iđêan hai phía thực sự, lớn nhất của
R). Khi đó xem R là môđun trên chính nó, thì A ⊆0 RR , A ⊆0 RR
Thật vậy, giả sử A + U = R, U ⊆ R.
Nếu U không chứa phần tử khả nghịch nào thì U ⊆ A ⇒ U + A = A
(vô lí).
Nếu U chứa phần tử khả nghịch, chẳng hạn x0 ∈ U, x0 khả nghịch. Do
U là iđêan của R chứa phần tử khả nghịch nên U = R.
2.2.3 Chú ý. A ⊆0 M khi và chỉ với mọi U là môđun con thực sự của
M, A + U cũng là môđun con thực sự của M .


24

2.2.4 Mệnh đề. Giả sử A, B, C là các môđun con của M . Khi đó:
1) Nếu A ⊆ B ⊆ C và A ⊆0 B thì A ⊆0 C .
2) A ⊆ B , A ⊆0 M và B là hạng tử trực tiếp của M thì A ⊆0 B .
2.2.5 Định nghĩa. Môđun M được gọi là trống nếu mọi môđun con
khác M của M là bé trong M .
2.2.6 Định nghĩa. Cho f : M −→ N là đồng cấu môđun.
Đồng cấu f được gọi là đơn cấu cốt yếu nếu f đơn cấu và Imf ⊆∗ N
Đồng cấu f được gọi là toàn cấu bé nếu f toàn cấu và Kerf ⊆0 N
2.2.7 Mệnh đề. 1) Cho A ⊆ B ⊆ M ⊆ N . Khi đó nếu B ⊆0 M thì
A ⊆0 M

n

2) Cho Ai ⊆0 Mi i = 1, n. Khi đó

Ai ⊆0 M

i=1

3) Nếu A ⊆0 M và ϕ : M −→ N là một đồng cấu thì ϕ(A) ⊆0 N .
4) Cho Ai ⊆0 Bi , i = 1, n ∃

Ai , ∃
i=1

n

n

n

Bi . Khi đó:
i=1

i=1

Ai ⊆0

n

Bi
i=1

5) Nếu α : A −→ B ; β : B −→ C là các toàn cấu bé thì βα : A −→ C là
toàn cấu bé.
Chứng minh. 1)∗ Giả sử A + V = N , B + V = N
Theo luật Modular suy ra: B + (V ∩ M ) = N . Do đó: V ∩ M = M , vì

B ⊆0 M . Mặt khác M ⊆ V và theo giả thiết A ⊆ M suy ra V = A+V = N .
∗ Giả sử B + V = N , ∀V ⊆ N . Khi đó ta có: (B + V ) ∩ M = N ∩ M hay
B + V ∩ M = M (theo luật modular). Vì B ⊆0 M nên V ∩ M = M . Suy ra
M ⊆ V vàB ⊆ V . Vậy V = B + V = N .
∗ Giả sử A + V = N , ∀V ⊆ N . Do A ⊆ B nên ta có B + V = N .
Từ đó suy ra: (B + V ) ∩ M = N ∩ M ⇒ B + (V ∩ M ) = M (theo luật
modular và M ⊆ N ). Mặt khác, vì B ⊆0 M nên suy ra V ∩ M = M mà
A ⊆ M ⇒ A ⊆ V . Do đó V = A + V = N . Vậy V = N .
2) Chứng minh bằng quy nạp
Với n = 1 đúng.
Giả sử A = A1 + A2 + ... + An−1 ⊆0 M . Và giả sử chúng ta có: V ⊆ M ;
A + An + V = M Suy ra: An + V = M do A ⊆0 M .
Và vì A ⊆0 M .Suy ra V = M .
3) Giả sử An ⊆ N và ϕ(A) + V = N