CÁC bài tập TỔNG hợp, NÂNG CAO BIỂU THỨC đại số

 

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH


HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Bạn đang cầm trên tay cuốn sách tương tác được phát triển bởi Tilado®. Cuốn
sách này là phiên bản in của sách điện tử tại .
Để có thể sử dụng hiệu quả cuốn sách, bạn cần có tài khoản sử dụng tại Tilado®.
Trong trường hợp bạn chưa có tài khoản, bạn cần tạo tài khoản như sau:
1.  Vào trang 
2.  Bấm vào nút "Đăng ký" ở góc phải trên màn hình để hiển thị ra phiếu đăng
ký.
3.  Điền thông tin của bạn vào phiếu đăng ký thành viên hiện ra. Chú ý những
chỗ có dấu sao màu đỏ là bắt buộc.
4.  Sau khi bấm "Đăng ký", bạn sẽ nhận được 1 email gửi đến hòm mail của bạn.
Trong email đó, có 1 đường dẫn xác nhận việc đăng ký. Bạn chỉ cần bấm vào
đường dẫn đó là việc đăng ký hoàn tất.
5.  Sau khi đăng ký xong, bạn có thể đăng nhập vào hệ thống bất kỳ khi nào.
Khi đã có tài khoản, bạn có thể kết hợp việc sử dụng sách điện tử với sách in
cùng nhau. Sách bao gồm nhiều câu hỏi, dưới mỗi câu hỏi có 1 đường dẫn tương
ứng với câu hỏi trên phiên bản điện tử như hình ở dưới.

Nhập đường dẫn vào trình duyệt sẽ giúp bạn kiểm tra đáp án hoặc xem lời giải
chi tiết của bài tập. Nếu bạn sử dụng điện thoại, có thể sử dụng QRCode đi kèm
để tiện truy cập.
Cảm ơn bạn đã sử dụng sản phẩm của Tilado®
Tilado®

BÀI TẬP TỔNG HỢP

BÀI TẬP TỔNG HỢP
BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
1. Đặt thừa số chung để viết các tổng sau thành tích:
a.  ab + bd − ac − cd

b.  ax + by − ay − bx

c.  x 2 − xy − xy + y 2
Xem lời giải tại:
/>2. Chứng minh rằng:
a.  x 2 + x + 3 > 0 ∀x

b.  − 2x 2 + 3x − 8 < 0 ∀x

Xem lời giải tại:
/>3. Tính giá trị của biểu thức:

(

)

a.  A = (x − y) 2 x 2 + y 2  tại x = − 2; y = 2
b.  B = x 2 − 2xy + 2y 3 tại |x| = 1; |y| = 2

(

c.  C = x 2 − 1

)(x − 2 ). . . (x

2

2

)

− 2015  tại x = 5

Xem lời giải tại:
/>4. Tính giá trị của biểu thức:
a.  A =
b.  B =

4m − 2n
4m + 5n
2x + 7
3x − y

 với 

+

m
n

2y − 7
3y − x

=

1
5

 với x − y = 7

c.  C = (a + b)(a + 1)(b + 1) biết a + b = 3; ab = − 5
d.  D = x 10 − 2014x 9 − 2014x 8 − . . . − 2014x − 1 với x = 2015
Xem lời giải tại:
/>

5. Tìm điều kiện để các biểu thức sau xác định:
a.  A =
c.  C =

2 + 3x 2 + 2y 2

b.  B =

(x + 5)(2y − 1)
x 2 + 2x + 3
x2

d.  D =

− 5x + 6

5x 2 + 2x + 1
x2 + y2
x−1
x2 + 1

Xem lời giải tại:
/>
(

)

6. Cho f(x) = ax 3 + 4x x 2 − 1 + 8
g(x) = x 3 − 4x(bx + 1) + c − 3
Trong đó a; b; c là các hằng số. Xác định a; b; c để f(x) = g(x).
 
Xem lời giải tại:
/>7. Cho f(x) = x 2n − x 2n − 1 + . . . + x 2 − x + 1
(x ∈ N)
g(x) = − x 2n + 1 + x 2n − x 2n − 1 + . . . + x 2 − x + 1
(x ∈ N)
1
Tính giá trị của hiệu f(x) − g(x) tại x =
.
10
 
Xem lời giải tại:
/>8. Cho biểu thức A = 3x − 2 − |4x + 5|
a.  Thu gọn biểu thức A.
b.  Tính giá trị của A tại x = − 2; x = 2.
c.  Với giá trị nào của x thì A = − 10
Xem lời giải tại:
/>9. Cho các đa thức:
M = 2x 2y 2 − 3xy 2 − 2xy + 1

N = 2xy 2 + 3 + xy − x 2y 2
3
P = xy + + xy 2 + 3x 2y 2
2
a.  Tính M − N + P; M − N − P
b.  Chứng minh M + N + P > 0 ∀x; y
Xem lời giải tại:
/>
10. Cho hai biểu thức của biến x: f(x) =

( )
1
2

x−1

2

 và g(x) =

a.  So sánh: f( − 1) với g( − 1); f(0) với g(0); f(1) với g(1).
b.  Chứng minh f(x) = g(x) ∀x ∈ R.
Xem lời giải tại:
/>11. Cho f(x) = 2x 2 + ax + 4
g(x) = x 2 − 5x − b

{

f(1) = g(2)

Trong đó a; b là các hằng số. Xác định a; b để 
f( − 1) = g(5)
 
Xem lời giải tại:
/>12. Cho hai đa thức: 
1
4
P(x) = ax − x + x 3 − 2x + 10 (a là hằng số)
5
Q(x) = 3x 4 − x + x 3 − x 2 + 5
a.  Tìm P(x) + Q(x); P(x) − Q(x).
b.  Tìm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)có bậc là 4.
c.  Tìm a để P(x) + Q(x); P(x) − Q(x)có bậc khác 4.
Xem lời giải tại:
/>
1

x
4(

2

− 4x + 4

)


13. A(y) = 4y 4 − 5y 2 + 3y 3 − 2y + 3 − 3y 4 + 7y 3 − 1
B(y) = √3y 4 + 5y − 2y 2 − √3y 4 + 7y + 2y 3 + 1
C(y) =

1

3

2

y + 0, 25y + √3y −

1

3
3
a.  Thu gọn các đa thức trên.

y 3 − √3y + 0, 75y 2 − 2

b.  Tính A(y) + B(y) + C(y).
c.  Tính A(y) − B(y) − C(y).
Xem lời giải tại:
/>14. Xét đa thức P(x) = ax 2 + bx + c
a.  Nếu a + b + c = 0 thì x = 1; x =

(a ≠ 0). Chứng minh rằng:
c
a

 là hai nghiệm của P(x).

b.  Nếu a − b + c = 0 thì x = − 1; x = −

c
a

 là hai nghiệm của P(x).

c.  Áp dụng tìm hai nghiệm đa thức 
A(x) =

(√5 − 1 )x2 − √5x + 1

d.  Áp dụng tìm hai nghiệm đa thức 

(

)

B(x) = 1 + √3 x 2 + x − √3
Xem lời giải tại:
/>15. Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:
a.  (6x + 3) − (2x + 1)

(
c.  (2x

)

b.  x 2 − 5x + 5 − (5x + 5)
2

) (

− 3x + 1 + 3x 2 + 3x − 6

)

d.  x(2x + 1)
Xem lời giải tại:
/>16. Cho hai đa thức:


P(x) = 10x 5 + 2x + 1 − 8x 4 − 4x 2 + 6x 3
Q(x) = 10 − 8x − 10x 5 + 2x 4 + 6x 2 − 4x 3
a.  Sắp xếp P(x); Q(x) theo thứ tự tăng dần của các số mũ.
b.  Tìm các đa thức f(x) = P(x) + Q(x); g(x) = P(x) − Q(x).
c.  Cho biết bậc của f(x); g(x).
Xem lời giải tại:
/>17. Cho các đa thức:
g(x) = 4x 2 + 3x + 1
h(x) = 3x 2 − 2x − 3
a.  Tính f(x) = g(x) − h(x).
b.  Chứng tỏ x = − 4 là nghiệm của f(x).
c.  Tìm tập hợp nghiệm của f(x).
Xem lời giải tại:
/>18. Cho đa thức P = 2x(x + y − 1) + y 2 + 1
a.  Tính giá trị của P với x = − 5; y = 3.
b.  Chứng minh rằng P ≥ 0 ∀x; y.
Xem lời giải tại:
/>19. Chứng minh rằng mỗi đa thức sau không có nghiệm:
a.  x 2 − x + 1

b.  x 4 + 2x 2 + 1
c.  x 8 − x 5 + x 2 − x + 1
Xem lời giải tại:
/>20. Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:
a.  x 3 − 8x
b.  x 3 + 64


c.  x 2 − 5x + 4
Xem lời giải tại:
/>21. Cho đa thức: 
f(x) = a nx n + a n − 1x n − 1 + . . . + a 1x + a 0

(a0; a1; . . . an ∈ Z )

a.  Chứng minh nếu f(x) có nghiệm x = x 0 ∈ Z thì a 0 ⋮ x 0.
b.  Áp dụng chứng tỏ đa thức g(x) = − 4x 4 + 2x 3 − 3x 2 + x + 1 không có nghiệm
nguyên.
Xem lời giải tại:
/>
(

)

xy 2 + y 2 y 2 − x + 1
22. Cho biểu thức A =

x 2y 4 + 2y 4 + x 2 + 2

a.  Rút gọn biểu thức A.

b.  Tìm giá trị của các biến để A đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải tại:
/>23. Tìm x biết:
a.  |5x + 4| + 7 = 26

b.  3|9 − 2x| − 17 = 16

c.  3 − 4|5 − 6x| = 7

d.  ||x + 5| − 4| = 3

Xem lời giải tại:
/>24. Tìm x biết:
a.  |9 − 7x| = 5x − 3

b.  8x − |4x + 1| = x + 2

c.  |17x − 5| − |17x + 5| = 0

d.  |3x + 4| = 2|2x − 9|

Xem lời giải tại:
/>25. Tìm x biết:
a.  |10x + 7| < 37


b.  |3 − 8x| ≤ 19
c.  |15x − 1| > 31
d.  |2x − 5| + 4 ≥ 25
Xem lời giải tại:

/>26. Tính giá trị biểu thức:
a.  A = x 5 − 2010x 4 + 2010x 3 − 2010x 2 + 2010x − 2020 tại x = 2009
b.  B = (x + y)(y + z)(x + z) biết x + y + z = 0; xyz = 2010
c.  C = 3x 7 − 5y 6 + 1 biết (x + 1) 2010 + (y − 1) 2000 = 0
Xem lời giải tại:
/>27. Tính giá trị biểu thức:
a.  A = 5x 3 − 3x 2 + 6x − 7 với x 2 = 1
b.  B = 3x 4 − 5x 3y + 6x 2 − 10xy + 2010 với 3x − 5y = 0
c.  C =

2a + 3b
a + 3b

 với 

a
b

=

10
3

Xem lời giải tại:
/>28. Tìm các giá trị của các đa thức sau:
a.  A = x 15 + 3x 14 + 5 biết x + 3 = 0

(

b.  B = x 2007 + 3x 2006 + 1

)

2007

 biết x = − 3

c.  C = 21x 4 + 12x 3 − 3x 2 + 24x + 15 biết 7x 3 + 4x 2 − x + 8 = 0
d.  D = − 16x 5 − 28x 4 + 16x 3 − 20x 2 + 32x + 2007 biết 
− 4x 4 − 7x 3 + 4x 2 − 5x + 8 = 0
Xem lời giải tại:
/>29. Chứng minh rằng các đa thức sau có nghiệm:
a.  f(x) = mx 2 + 7n với 4m + 7n = 0


b.  g(x) = ax 2 + bx + c với 4a − 2b + c = 0
c.  h(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với − 8a + 4b − 2c + d = 0
d.  k(x) = m 2x 3 − 2mx 2 + 4mx − 8m 2
Xem lời giải tại:
/>30. Tìm x biết:
a.  |x + 2| + |x − 5| = 7
b.  |x + 3| − 2x = |x − 4|
Xem lời giải tại:
/>31. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của mỗi biểu thức sau:
a.  A = (x + 10) 2 + (y − 10) 2 + 2015
b.  B = (3x − y) 2 + (2x − 1) 2 + 7
c.  C = − 2(x + 3) 2 + √2
d.  D =

4

(x + 3) 2 + 20
Xem lời giải tại:
/>
32. Chứng minh hai đa thức A và B không đồng thời có giá trị dương.
a.  A = 5x 4 − 7x 2 + 4xy + y 2 và B = − 9x 4 − 4xy − 7y 2
b.  A = − 3x 4 + 5x 2 − 6xy + 2y 2 và B = − 6x 2 + 6xy − 8y 2
c.  A =

1
2

x 3 + 5x 2 − 7xy + y 2 và B = − x 4 −

1
2

x 3 − 5x 2 + 7xy − 3y 2

Xem lời giải tại:
/>33. Chứng minh hai đa thức A và B không đồng thời có giá trị âm.
a.  A = 5x 2 − 12xy + 2y 2 và B = − 4x 2 + 12xy − y 2
b.  A = 10x 2 −

7
3

xy + y 2 và B = x 2 +

7
3

xy + 2y 2


c.  A = − 15x 2 + 17xy + 4y 2 và B = 15x 2 − 17xy + 8y 2
Xem lời giải tại:
/>34. Cho đa thức Q(x) = ax 2 + bx + c
a.  Biết 5a + b + 2c = 0. Chứng minh Q(2). Q( − 1) ≤ 0
b.  Biết Q(x) = 0 ∀x. Chứng minh a = b = c = 0
Xem lời giải tại:
/>35. Cho đa thức f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Chứng minh rằng:
a.  Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm là x = 1.
Áp dụng: Tìm một nghiệm của đa thức: A(x) = − 17x 3 + 8x 2 − 3x + 12.
b.  Nếu a − b + c − d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm là x = − 1.
Áp dụng: Tìm một nghiệm của đa thức: B(x) = 11x 3 + 5x 2 + 4x + 10.
Xem lời giải tại:
/>36. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức:
a.  A =
b.  B =
c.  C =

5
4−x
8−x
x−3

 có giá trị lớn nhất.
 có giá trị nhỏ nhất.

9x + 5

3x − 1

 có giá trị lớn nhất.

Xem lời giải tại:
/>37. Chứng minh rằng với n ∈ N ∗ :
a.  8.2 n + 2 n + 1 có chữ số tận cùng là 0.
b.  3 n + 3 − 2.3 n + 2 n + 5 − 7.2 n ⋮ 25
c.  4 n + 3 + 4 n + 2 − 4 n + 1 − 4 n ⋮ 300


Xem lời giải tại:
/>
38. Rút gọn các biểu thức:
a.  A =
b.  B =

2 19.27 3 + 15.4 9.9 4
6 9.2 10 + 12 10
x 24 + x 20 + x 16 + . . . + x 4 + 1
x 26 + x 24 + x 22 + . . . + x 2 + 1
Xem lời giải tại:
/>
39. Cho đa thức với a; b; c đôi một khác nhau: 
(x − a)(x − b) (x − a)(x − c) (x − b)(x − c)
P(x) =
+
+
−1
(c − a)(c − b) (b − a)(b − c) (a − b)(a − c)

a.  Chứng tỏ đa thức P(x) có ít nhất ba nghiệm.
b.  Từ đó suy ra kết luận về giá trị của đa thức P(x).
Xem lời giải tại:
/>40. Cho nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b với a ≠ 0
a.  Tìm các giá trị của a; b để với hai giá trị bất kì x 1; x 2 ta có: 
f(x 1) + f(x 2) = f(x 1 + x 2).
b.  Chứng minh rằng với mọi a ≠ 0 thì f(x) = ax + b có một nghiệm và chỉ có một
nghiệm.
c.  Cho nhị thức g(x) = cx + d. Tìm sự liên hệ của a; b; c; d để f(x) = g(x).
Xem lời giải tại:
/>41. Cho F = x 3 + y 3 + z 3 + mxyz, (x, y, z ∈ N). Tìm m để F chia hết cho (x + y + z).
 
Xem lời giải tại:
/>42. Tồn tại hay không đa thức f(x) có tất cả các hệ số nguyên mà 


f(8 !) = 2012, f(9 !) = 2072.
 
Xem lời giải tại:
/>43. Cho ba đa thức: 
P(x) = 4x 2 − 7x + 5;
Q(x) = 2x 2 + 4x − 3;
R(x) = − 5x 2 + 3x − 2.
Chứng minh rằng trong 3 đa thức trên có ít nhất một đa thức có giá trị không
âm.
 
Xem lời giải tại:
/>44. Tìm hai đa thức f(x), g(x) thỏa mãn cả hai điều kiện sau:
f(x) + g(x) = 2x 4 + 5x 2 − 3x; (1)
f(x) − g(x) = x 4 − x 2 + 2x.  (2)

 
Xem lời giải tại:
/>
BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG


BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỞ RỘNG
MỘT SỐ BÀI TẬP HAY,KHÓ
45. Cho biểu thức:

(

A= 1+

1

)(

1

) (

1

)

1+
... 1+
1.3
2.4

99.101
Chứng minh A không phải là một số nguyên.
 
Xem lời giải tại:
/>46. Cho biểu thức:
a
b
c
B=
+
+
 với a; b; c ∈ N ∗
a+b b+c c+a
Chứng minh B không phải là một số nguyên.
 
Xem lời giải tại:
/>47. Xác định đa thức:
a.  Biết đa thức P(x) có bậc 4 biết P( − 1) = 0 và 
P(x) − P(x − 1) = x(x + 1)(2x + 1) ∀x ∈ R.
b.  Áp dụng tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.5 + . . . + n(n + 1)(2n + 1).
Xem lời giải tại:
/>48. Cho đa thức P(x) thỏa mãn:

()
1

1

P(x) ∀x ≠ 0
x2

P(x 1 + x 2) = P(x 1) + P(x 2) ∀x 1; x 2 ∈ R
P(1) = 1; P

Tính P

()
5
7

.

x

=


 
Xem lời giải tại:
/>49. Xác định đa thức:
a.  Biết đa thức P(x) có bậc là 2 biết P(x) − P(x − 1) = x ∀x ∈ R.
b.  Áp dụng tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + . . . + n.
Xem lời giải tại:
/>50. Tìm ba chữ số đầu tiên bên trái của số A biết 
A = 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + . . . + 999 999 + 1000 1000
 
Xem lời giải tại:
/>51. So sánh giá trị của biểu thức A =

3
4

+

8
9

+

15
16

+... +

9999
10000

 với các số 98 và

99.
 
Xem lời giải tại:
/>52. Chứng minh rằng:
1
4
1
a.  Ba đơn thức − x 3y 4, − x 4y 3, xy không thể cùng có giá trị âm.
4
5
2
b.  Các đơn thức ad, − bc, − ac, − bd không thể cùng có giá trị âm hoặc cùng

dương.
Xem lời giải tại:
/>53. Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c với a, b, c là các số thực. Biết rằng 
f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng:
a.  2a và 2b có giá trị nguyên
b.  Với mọi giá trị của n ∈ Z thì f(n) ∈ Z


Xem lời giải tại:
/>54. Tính giá trị của biểu thức 

(

)

A = 1 2 + 2 2 + . . . + 2016 2 (a + b)(a + 2b). . . (a + 2015b)(a + 2016b).
Với a =

3
5

; b = − 0, 2

 
Xem lời giải tại:
/>55. Chứng minh rằng:
a.  Tổng của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 3.
b.  Tổng của 5 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5
c.  Tổng của 2k + 1 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2k + 1
Xem lời giải tại:

/>¯

¯

¯

¯

56. Cho số tự nhiên abc(a > b > c) sao cho abc + bca + cab = 666 . Tìm ba số tự
nhiên a, b, c đó.
 
Xem lời giải tại:
/>A

57. Tính   (kết quả ở dạng phân số tối giản) biết:
B
1
1
1
1
A=
+
+... +
+... +
2.32 3.33
n(n + 30)
1979.2009
1
1
1

1
B=
+
+... +
+... +
2.1980 3.1981
n(n + 1978)
31.2009
 
Xem lời giải tại:
/>

58. Cho đa thức P(x) = a. x 2 + b. x + c trong đó các hệ số a, b, c là các số nguyên.
Biết giá trị của đa thức luôn chia hết cho 3 với mọi giá trị x nguyên. Chứng minh
rằng các hệ số a, b, c cũng chia hết cho 3.
 
Xem lời giải tại:
/>59. Chứng minh rằng đa thức a. x 2 − x√a + 2015 không có nghiệm với a là tham
số và a > 0
 
Xem lời giải tại:
/>60. Tìm nghiệm nguyên của đa thứcsau: 2x 6 + y 2 − 2x 3y = 320
 
Xem lời giải tại:
/>61. Tìm nghiệm nguyên của đa thức sau: 
19x 2 + 28y 2 = 729 .
 
Xem lời giải tại:
/>62. Tìm x, y ∈ Z biết 1 + x + x 2 + x 3 = y 3
 

Xem lời giải tại:
/>63. Tìm các số nguyên dương x, y z sao cho x +

1
y+

 
Xem lời giải tại:
/>
1
z

=

10
7

 .


64. Tìm nghiệm nguyên của đa thức 

yz
x

+

xz
y

 
Xem lời giải tại:
/>
+

xy
z

= 3 .