Đáp án đề thi đại học môn toán khối B năm 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình x 2 | x 2 − 2 | = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3x = 2(cos 4 x + sin 3 x).

⎧ xy + x + 1 = 7 y
( x, y ∈ \).
2. Giải hệ phương trình ⎨ 2 2
2
⎩ x y + xy + 1 = 13 y
Câu III (1,0 điểm)
3
3 + ln x
Tính tích phân I = ∫
dx.
( x + 1) 2
1
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' có BB ' = a, góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng ( ABC) bằng
n = 60D. Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng ( ABC )
60D ; tam giác ABC vuông tại C và BAC

trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a.
Câu V (1,0 điểm)
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 .

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)

4
và hai đường thẳng Δ1 : x − y = 0,
5
Δ 2 : x − 7 y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1 ); biết đường tròn (C1 ) tiếp xúc
với các đường thẳng Δ1 , Δ 2 và tâm K thuộc đường tròn (C ).
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B (−2;1;3), C (2; −1;1) và
D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến ( P ) bằng khoảng
cách từ D đến ( P ).
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn: z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(−1;4) và các đỉnh B, C thuộc
đường thẳng Δ : x − y − 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 5 = 0 và hai điểm A(−3;0;1),
B(1; −1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( P ), hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm)
x2 − 1
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị hàm số y =

tại hai điểm phân biệt
x
A, B sao cho AB = 4.
---------- Hết ---------1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) : ( x − 2) 2 + y 2 =

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.............................................; Số báo danh:................................


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn thi: TOÁN; Khối: B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu
I
(2,0 điểm)

Đáp án

Điểm

1. (1,0 điểm) Khảo sát…
• Tập xác định: D = \.
• Sự biến thiên:

0,25

- Chiều biến thiên: y ' = 8 x3 − 8 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1.

Hàm số nghịch biến trên: ( −∞ ; − 1) và (0;1); đồng biến trên: ( −1;0) và (1; + ∞).
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1, yCT = −2; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0.
0,25

- Giới hạn: lim y = lim y = +∞.
x →−∞

x →+∞

- Bảng biến thiên:

x −∞ −1
0
1
y'
− 0 + 0 − 0
+∞
0
y

+

+∞
+∞

0,25

−2

−2

y

• Đồ thị:

16

0,25
−1 O
−2

1

x

2

−2

2. (1,0 điểm) Tìm m...
x 2 x 2 − 2 = m ⇔ 2 x 4 − 4 x 2 = 2m.

0,25

Phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m cắt đồ thị

hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 tại 6 điểm phân biệt.
Đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2

0,25

y
16

và đường thẳng y = 2m.

0,25
2
−2

−1

y = 2m
O 1

2

x

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thoả mãn khi và chỉ khi: 0 < 2m < 2 ⇔ 0 < m < 1.
Trang 1/4

0,25


Câu

II
(2,0 điểm)

Đáp án

1. (1,0 điểm) Giải phương trình…
Phương trình đã cho tương đương: (1 − 2sin 2 x)sin x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2 cos 4 x
⇔ sin x cos 2 x + cos x sin 2 x + 3 cos3 x = 2cos 4 x

π⎞
⎛
⇔ sin 3x + 3 cos3x = 2cos 4 x ⇔ cos ⎜ 3x − ⎟ = cos 4 x.
6⎠
⎝
⇔ 4 x = 3x −

Vậy: x = −

π

π
6

+ k 2π hoặc 4 x = −3x +

+ k 2π hoặc x =

π

+k

42
6
2. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…

π

⎧⎛
⎪⎜ x +
⎪⎝
⇔ ⎨
⎪⎛
⎪⎜ x +
⎩⎝

2π
(k ∈]).
7

0,25

2
⎧⎛
1⎞ ⎛
1⎞
⎪⎜ x + ⎟ + ⎜ x + ⎟ − 20 = 0
y⎠ ⎝
y⎠
⎪
⇔ ⎨⎝

2
⎛
1⎞
x
1⎞
⎪x
= 7−⎜x+ ⎟
⎟ − = 13
⎪
y⎠
y
y⎠
⎝
⎩y

1⎞ x
⎟+ =7
y⎠ y

0,25

0,25

0,25

0,25

Tính tích phân…

u = 3 + ln x, dv =

3

1
1
dx
.
; du = dx, v = −
2
( x + 1)
x
x +1
3

3 + ln x
dx
I =−
+∫
x + 1 1 1 x( x + 1)
3

=−
=
IV

0,25
0,25

1
1
⎧

⎧
⎪ x + = −5
⎪x + = 4
y
y
(I) hoặc ⎨
(II).
⇔ ⎨
⎪ x = 12 y
⎪x = 3y
⎩
⎩
⎛ 1⎞
(I) vô nghiệm; (II) có nghiệm: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ và ( x; y ) = (3;1).
⎝ 3⎠
⎛ 1⎞
Vậy: ( x; y ) = ⎜1; ⎟ hoặc ( x; y ) = (3;1).
⎝ 3⎠

(1,0 điểm)

0,25

+ k 2π .

6

x 1
⎧
⎪x + y + y = 7

⎪
Hệ đã cho tương đương: ⎨
(do y = 0 không thoả mãn hệ đã cho)
⎪ x 2 + x + 1 = 13
⎪⎩
y y2

III

Điểm

0,25
0,25

3

3 + ln 3 3
1
dx
+ + ∫ dx − ∫
+1
x
4
2 1x
1

0,25

3
3

3 − ln 3
1⎛
27 ⎞
+ ln x 1 − ln x + 1 1 = ⎜ 3 + ln ⎟ .
16 ⎠
4
4⎝

0,25

Tính thể tích khối chóp…

(1,0 điểm)

B'

A'

Gọi D là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ABC
n
ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B
' BG = 60D

C'

a
3a
a 3
n
và BG = ⇒ BD = .

⇒ B ' G = B ' B.sin B
' BG =
2
4
2
A
B
AB
AB 3
AB
G D
.
Tam giác ABC có: BC =
, AC =
⇒ CD =
4
2
2
C
3 AB 2 AB 2 9a 2
3a 13
3a 13
9a 2 3
BC 2 + CD 2 = BD 2 ⇒
+
=
⇒ AB =
, AC =
; S ΔABC =
.

13
26
104
4
16
16
Trang 2/4

0,50

0,25


Câu

V
(1,0 điểm)

Đáp án

Điểm

1
9a 3
Thể tích khối tứ diện A ' ABC : VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.SΔABC =
.
3
208
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức…

0,25

Kết hợp ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 với ( x + y )2 ≥ 4 xy suy ra: ( x + y )3 + ( x + y )2 ≥ 2 ⇒ x + y ≥ 1.

0,25

2
3 2
3
x + y 2 ) + ( x 4 + y 4 ) − 2( x 2 + y 2 ) +1
(
2
2
2
2
2
3
3
9
≥ ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 ⇒ A ≥ ( x 2 + y 2 ) − 2 ( x 2 + y 2 ) + 1.
2
4
4

0,25

1
9
( x + y)2 1
≥ ⇒ t ≥ ; do đó A ≥ t 2 − 2t + 1 .

2
4
2
2
9
9
1
⎛1⎞ 9
Xét f (t ) = t 2 − 2t + 1; f '(t ) = t − 2 > 0 với mọi t ≥ ⇒ min f (t ) = f ⎜ ⎟ = .
⎡1
⎞
4
2
2
⎝ 2 ⎠ 16
⎢ ; +∞ ⎟

0,25

A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 =

Đặt t = x 2 + y 2 , ta có x 2 + y 2 ≥

⎣2

A≥
VI.a

⎠

9
1
9
; đẳng thức xảy ra khi x = y = . Vậy, giá trị nhỏ nhất của A bằng .
16
2
16

0,25

1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ tâm K ...

(2,0 điểm)

Gọi K (a; b); K ∈ (C ) ⇔ (a − 2) 2 + b 2 =

4
(1); (C1 ) tiếp xúc Δ1 , Δ 2 ⇔
5

a−b

=

a − 7b

(2).

0,25

⎧⎪5(a − 2) 2 + 5b 2 = 4
⎧5(a − 2)2 + 5b 2 = 4
⎧5(a − 2) 2 + 5b 2 = 4
(1) và (2), cho ta: ⎨
(I) hoặc ⎨
(II).
⇔ ⎨
⎪⎩5 a − b = a − 7b
⎩5(a − b) = a − 7b
⎩5(a − b) = 7b − a

0,25

⎧25a 2 − 20a + 16 = 0
⎧a = 2b
⎛8 4⎞
⇔ (a; b) = ⎜ ; ⎟ .
(I) ⇔ ⎨
vô nghiệm; (II) ⇔ ⎨
2
⎝5 5⎠
⎩b = −2a
⎩25b − 40b + 16 = 0

0,25

Bán kính (C1 ) : R =

a −b
2

=

2

5 2

2 2
2 2
⎛8 4⎞
.
. Vậy: K ⎜ ; ⎟ và R =
5
5
⎝5 5⎠

0,25

2. (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng ( P)...
Mặt phẳng ( P ) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: ( P ) qua A, B và song song với CD.
G JJJG JJJG
Vectơ pháp tuyến của ( P) : n = ⎡⎣ AB, CD ⎤⎦ .
JJJG
JJJG
G
AB = ( −3; −1; 2), CD = ( −2; 4;0) ⇒ n = (−8; −4; −14). Phương trình ( P ) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0.

Trường hợp 2: ( P ) qua A, B và cắt CD. Suy ra ( P ) cắt CD tại trung điểm I của CD.
G JJJG JJG

JJG
I (1;1;1) ⇒ AI = (0; −1;0); vectơ pháp tuyến của ( P) : n = ⎡⎣ AB, AI ⎤⎦ = (2;0;3).
Phương trình ( P ) : 2 x + 3z − 5 = 0.
Vậy ( P) : 4 x + 2 y + 7 z − 15 = 0 hoặc ( P ) : 2 x + 3z − 5 = 0.
VII.a

0,25

0,25
0,25

0,25

Tìm số phức z...

(1,0 điểm)

Gọi z = x + yi; z − (2 + i) = ( x − 2) + ( y − 1)i; z − (2 + i ) = 10 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y − 1) 2 = 10 (1).

0,25

z.z = 25 ⇔ x 2 + y 2 = 25 (2).

0,25

Giải hệ (1) và (2) ta được: ( x; y ) = (3;4) hoặc ( x; y ) = (5;0). Vậy: z = 3 + 4i hoặc z = 5.

0,50

Trang 3/4

Câu
VI.b

Đáp án

Điểm

1. (1,0 điểm) Xác định toạ độ các điểm B, C...

(2,0 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên Δ, suy ra H là trung điểm BC.
2S
9
AH = d ( A, BC ) =
; BC = ΔABC = 4 2.
AH
2

A
Δ

B

H

C

AB = AC = AH 2 +

0,25

97
BC 2
.
=
4
2

97
2
2
⎧
⎪( x + 1) + ( y − 4 ) =
Toạ độ B và C là nghiệm của hệ: ⎨
2
⎪⎩ x − y − 4 = 0.
⎛ 11 3 ⎞
⎛3 5⎞
Giải hệ ta được: ( x; y ) = ⎜ ; ⎟ hoặc ( x; y ) = ⎜ ; − ⎟ .
⎝ 2 2⎠
⎝2 2⎠

⎛ 11 3 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞
⎛ 3 5 ⎞ ⎛ 11 3 ⎞
Vậy B ⎜ ; ⎟ , C ⎜ ; − ⎟ hoặc B ⎜ ; − ⎟ , C ⎜ ; ⎟ .
⎝ 2 2⎠ ⎝2 2⎠
⎝2 2⎠ ⎝ 2 2⎠

0,25

0,25
0,25

2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…
B

Q

VII.b

A

H

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm; Δ nằm trong mặt phẳng
(Q ) qua A và song song với ( P).
Phương trình (Q) : x − 2 y + 2 z + 1 = 0.

0,25

K

K , H là hình chiếu của B trên Δ, (Q). Ta có BK ≥ BH nên AH là đường thẳng cần tìm.

0,25

⎧ x −1 y +1 z − 3

=
=
⎪
⎛ 1 11 7 ⎞
Toạ độ H = ( x; y; z ) thoả mãn: ⎨ 1
−2
2 ⇒ H = ⎜ − ; ; ⎟.
⎝ 9 9 9⎠
⎪⎩ x − 2 y + 2 z + 1 = 0

0,25

JJJG ⎛ 26 11 2 ⎞
x + 3 y z −1
= =
.
AH = ⎜ ; ; − ⎟ . Vậy, phương trình Δ :
26 11 −2
⎝ 9 9 9⎠

0,25

Tìm các giá trị của tham số m...

(1,0 điểm)

⎧ x2 − 1
⎧2 x 2 − mx − 1 = 0, ( x ≠ 0) (1)
= −x + m
⎪

Toạ độ A, B thoả mãn: ⎨ x
⇔ ⎨
⎩ y = − x + m.
⎪ y = −x + m
⎩
Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m.
Gọi A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ta có: AB 2 = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2 = 2( x1 − x2 ) 2 .
m2
Áp dụng định lí Viet đối với (1), ta được: AB 2 = 2 ⎡⎣ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ⎤⎦ =
+ 4.
2

AB = 4 ⇔

m2
+ 4 = 16 ⇔ m = ± 2 6.
2

-------------Hết-------------

Trang 4/4

0,25

0,25

0,25

0,25