Đáp án đề thi môn Toán khối A năm 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
−−−−−−−−−−
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1
(Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Đáp án

Câu

a) (1,0 điểm)
1
(2,0đ) • Tập xác đònh D = R \ {1}.
• Sự biến thiên:

3
; y < 0, ∀x ∈ D.
(x − 1)2
Hàm số nghòch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

0,25

- Chiều biến thiên: y = −

- Giới hạn và tiệm cận:

lim y = lim y = 1; tiệm cận ngang: y = 1.

x→−∞

0,25

x→+∞

lim y = −∞; lim y = +∞; tiệm cận đứng: x = 1.
x→1+

x→1−

1

1 P
P

y

−

+∞
−

+∞ P
PP

PP
PP
q

P

1

24
 

YE

N

SI

N

H

y

0,25

PP
PP
q

7.

−∞

• Đồ thò:

M

x −∞
y

C
O

- Bảng biến thiên:

Điểm

TI

N
.T

U

1
✆

0,25
✄

✂

1

O

−2

−2

✁
✝

x

☎

b) (1,0 điểm)
M ∈ (C) ⇒ M a;

a+2
, a = 1.
a−1

0,25

a+2
a+
√a − 1 .
Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x là d =
2
√
a2 − 2a + 4 = 0
d = 2 ⇔ |a2 + 2| = 2|a − 1| ⇔

a2 + 2a = 0.
• a2 − 2a + 4 = 0: phương trình vô nghiệm.
a=0
• a2 + 2a = 0 ⇔
Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là: M (0; −2) hoặc M (−2; 0).
a = −2.
1

0,25
0,25
0,25


Đáp án

Câu
Phương trình đã cho tương đương với
2
(1,0đ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x − 1) = 0.

sin x + 4 cos x = 2 + 2 sin x cos x

• sin x − 2 = 0: phương trình vô nghiệm.
π
• 2 cos x − 1 = 0 ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z).
3
π
Nghiệm của phương trình đã cho là: x = ± + k2π (k ∈ Z).
3

Điểm
0,25
0,25
0,25
0,25

3
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y = x 2 − x + 3 và đường thẳng
x=1
(1,0đ)
y = 2x + 1 là x2 − x + 3 = 2x + 1 ⇔
x = 2.

0,25

2

Diện tích hình phẳng cần tìm là S =

0,25

|x2 − 3x + 2|dx
1

2

x3 3x2
−
+ 2x
3

2

(x2 − 3x + 2)dx =

=

2

0,25

1

1

C
O

M

1
= .
6

0,25
0,25
0,25

H

b) Số phần tử của không gian mẫu là: C 416 = 1820.

24

7.

3a + b = 3
4
a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Từ giả thiết suy ra
a−b=5
(1,0đ)
⇔ a = 2, b = −3. Do đó số phức z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng −3.

0,25

Gọi M là giao điểm của d và (P ), suy ra M (2 + t; −2t; −3 + 3t).

.T
U
YE

5

N

SI

N

Số kết quả thuận lợi cho biến cố “4 thẻ được đánh số chẵn” là: C 48 = 70.
70

1
Xác suất cần tính là p =
= .
1820
26

0,25
0,25

3
7
3
. Do đó M ; −3; .
2
2
2
−
→
−
→
d có vectơ chỉ phương u = (1; −2; 3), (P ) có vectơ pháp tuyến n = (2; 1; −2).
→
−
Mặt phẳng (α) cần viết phương trình có vectơ pháp tuyến [ −
u,→
n ] = (1; 8; 5).

0,25

Ta có A(2; 0; −3) ∈ d nên A ∈ (α). Do đó (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0,

nghóa là (α) : x + 8y + 5z + 13 = 0.

0,25

TI

N

(1,0đ) M ∈ (P ) suy ra 2(2 + t) + (−2t) − 2(−3 + 3t) − 1 = 0 ⇔ t =

6
(1,0đ)

Gọi H là trung điểm của AB, suy √
ra SH ⊥ (ABCD).
Do đó SH ⊥ HD. Ta có SH = SD 2 − DH 2
= SD 2 − (AH 2 + AD2 ) = a.

S

B
✍

E

✟

✠

✌

H
☛

✞

A

1
a3
.SH.SABCD = .
3
3
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BD và
E là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có
BD ⊥ HK và BD ⊥ SH, nên BD ⊥ (SHK).
Suy ra BD ⊥ HE. Mà HE ⊥ SK,
do đó HE ⊥ (SBD).
√
a 2
Ta có HK = HB. sin KBH =
.
4
HS.HK
a
Suy ra HE = √
= .
2
2
3

HS + HK
2a
Do đó d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE =
.
3
Suy ra V S.ABCD =

☞

K
✡

D

C

2

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25


Đáp án

√
7
Ta có M N = 10. Gọi a là độ dài cạnh của√
hình vuông ABCD,
I
C
a
3AC
3a 2
(1,0đ) D
a > 0. Ta có AM = và AN =
=
,
2
4
4
5a2
N
nên M N 2 = AM 2 + AN 2 − 2AM.AN. cos M AN =
.
8
2
5a
Do đó
= 10, nghóa là a = 4.
8
Gọi I(x; y) là trung điểm của CD. Ta có IM = AD = 4
BD √
A
M

B
và IN =
= 2, nên ta có hệ phương trình
4
x = 1; y = −2
(x − 1)2 + (y − 2)2 = 16
⇔
17
6
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 2
x=
;y = − .
5
5
−−→
• Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) và IM = (0; 4).
−−→
Đường thẳng CD đi qua I và có vectơ pháp tuyến là IM, nên có phương trình y + 2 = 0.
Câu

✒

✕

Điểm

✑

✔

0,25

✖

✎

✓

✏

17
6
17
6
−−→
12 16
; y = − ta có I
;−
và IM = − ;
.
5
5
5
5
5
5
−−→
Đường thẳng CD đi qua I và có vectơ pháp tuyến là IM, nên có phương trình 3x−4y−15 = 0.

0,25

0,25

C
O

√
x 12 − y +

√
√
y(12 − x2 ) = 12 (1)
Điề
u
kiệ
n
:
−2
3
≤
x
≤
2
3; 2 ≤ y ≤ 12.
√
x3 − 8x − 1 = 2 y − 2
(2).
√
x2 + 12 − y
y + 12 − x2

Ta có x 12 − y ≤
và y(12 − x2 ) ≤
2
2
√
x≥0
2
nên x 12 − y + y(12 − x ) ≤ 12. Do đó (1) ⇔
y = 12 − x2 .
√
√
Thay vào (2) ta được x3 − 8x − 1 = 2 10 − x2 ⇔ x3 − 8x − 3 + 2(1 − 10 − x2 ) = 0
2(x + 3)
√
⇔ (x − 3) x2 + 3x + 1 +
= 0 (3).
1 + 10 − x2

0,25

0,25

N

SI

N

H

24

7.

8
(1,0đ)

M

• Với x =

0,25

2(x + 3)
√
> 0.
1 + 10 − x2

.T
U
YE

Do x ≥ 0 nên x2 + 3x + 1 +

Do đó (3) ⇔ x = 3. Thay vào hệ và đối chiếu điều kiện ta được nghiệm: (x; y) = (3; 3).

0,25
0,25

TI

N

9
Ta có 0 ≤ (x − y − z)2 = x2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz + 2yz = 2(1 − xy − xz + yz),
(1,0đ) nên x2 + yz + x + 1 = x(x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1).
x2
x
Suy ra 2
≤
.
x + yz + x + 1
x+y+z+1

0,25

Mặc khác, (x + y + z) 2 = x2 + y 2 + z 2 + 2x(y + z) + 2yz = 2 + 2yz + 2x(y + z)
x+y+z
(x + y + z)2
≤ 2 + 2yz + [x2 + (y + z)2 ] = 4(1 + yz). Do đó P ≤
−
.
x+y+z+1
36
Đặt t = x + y + z, suy ra t ≥ 0 và t 2 = (x + y + z)2 = (x2 +√
y 2 + z 2 ) + 2xy + 2yz + 2zx
≤ 2 + (x2 + y 2 ) + (y 2 + z 2 ) + (z 2 + x2 ) = 6. Do đó 0 ≤ t ≤ 6.
√
t
t2

Xét f (t) =
− , với 0 ≤ t ≤ 6.
t + 1 36
1
t
(t − 2)(t2 + 4t + 9)
Ta có f (t) =
−
=
−
, nên f (t) = 0 ⇔ t = 2.
(t + 1)2 18
18(t + 1)2
√
√
√
5
31
6
5
Ta có f (0) = 0; f (2) = và f ( 6) =
−
, nên f (t) ≤ khi 0 ≤ t ≤ 6.
9
30
5
9
5
5
5

Do đó P ≤ . Khi x = y = 1 và z = 0 thì P = . Do đó giá trò lớn nhất của P là .
9
9
9
−−−−−−Hết−−−−−−
3

0,25

0,25

0,25


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
−−−−−−−−−−
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014
Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
x+2
x−1

(1).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).

b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x bằng
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình

√

2.

sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x.

Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x2 − x + 3 và đường
thẳng y = 2x + 1.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phần thực và phần ảo của z.
b) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác suất
để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y −2z −1 = 0
y
z+3
x−2
=
=
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P ). Viết phương
và đường thẳng d :
1
−2
3
trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ).
3a
,
2

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M
là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương
trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; −1).
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

√
x 12 − y +

y(12 − x2 ) = 12
(x, y ∈ R).
√
x3 − 8x − 1 = 2 y − 2

Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y 2 + z 2 = 2.
Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức
P =

x2
y+z
1 + yz
+
−
.
x2 + yz + x + 1 x + y + z + 1
9
−−−−−−Hết−−−−−−

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .