chuyên đề luyện thi đại học 2016 giải phương trình bất phương trình mũ logarit

Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2016:

GIẢI PT - BẤT PT - HỆ PT MŨ & LOGARIT
Giải phương trình (PT), bất phương trình (BPT), hệ phương trình (HPT) Mũ và Logarit là một trong
những phần trọng tâm của mảng toán về Mũ và Logarit. Chuyên đề sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức
nền tảng cơ bản để bạn nhập môn này và nâng cao dần khả năng giải quyết các bài toán khó trong chuyên
đề.

m

♥

n

a =

m.n

a

♥ a0 = 1

ATH
S.N

ET

NHẮC LẠI CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MŨ & LOGARIT
x
1.HÀM SỐ MŨ: y = a với a > 0 và a ≠ 1. (trong đó a gọi là cơ số, x gọi lại mũ )
_ Tập xác định R
_ Tập giá trị R+
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
2.HÀM SỐ LOGARIT: y = loga x với a > 0, a ≠ 1. ( trong đó a gọi cơ số )
_ Tập xác định R+
_ Tập giá trị R
_ Hàm số luôn đồng biến trên R khi a > 1, luôn nghịch biến trên R khi 0 < a < 1.
_ Logarit cũng có những dạng thông dụng như logarit thập phân và logarit tự nhiên
 logarit thập phân: là logarit cơ số 10, thường được viết tắt là logb hoặc lgb
 logarit tự nhiên: là logarit cơ số e (e  2,718 > 1), viết tắt là lna ( đọc là log nepe a )
3. Các công thức về MŨ ( với a > 0 và a ≠ 1
am
♥ am. an = am + n
♥ am.bm = (a.b)m
♥ n = am - n
♥ (am)n = am.n
a
m
 n m
n m
n
n
n
1
n m
-m
n

♥ a =a
♥ ab = a . b
♥ m=a
♥ a =  a
a
 
n

a

♥ an = 

khi n lẻ
khi n chẵn

|a|

TM

4. Các công thức về LOGARIT ( với a,b,c > 0 và a ≠ 1 )
♫ loga ax = x (x  R)
♫ loga1 = 0
♫ loga a = 1
b
♫ loga b + loga c = loga (bc)
♫ loga b - loga c = loga
c
1
♫ loga b =  loga b
♫ loga b = loga b (b > 0,   R)



♥

m

a=

loga b

♫a

logbx

♫a
♫

m.n

an

= b
logba

=x

1
= logb a
loga b

VIE

1
1
n
1
= loga b-1 = - loga b
♫ loga b = loga bn = logab (b > 0,   R*)
b
n
loga b
♫ logc b =
♫ loga c. logc b = loga b (b > 0, 0 < c ≠ 1)
loga c
5. Hệ quả từ định nghĩa hàm mũ và hàm logarit ( với a > 0 và a ≠ 1 )
☼ Nếu a > 1 thì a < a   < 
☼ Nếu 0 < a < 1 thì a < a   > 
m
 a < bm khi m > 0
☼ Cho 0 < a < b và m là số nguyên ta có:am > bm khi m < 0

☼ Nếu a > 1 thì loga b > loga c  b > c
☼ Nếu 0 < a < 1 thì loga b < loga c  b < c
☼ Nếu a > 1 thì loga b > 0  b > 1
☼ Nếu 0 < a < 1 thì loga b > 0  b < 1
m
n
☼ Nếu a = a  m = n
☼ Nếu loga m = loga n  m = n

♫ loga

PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
Với a > 0, a ≠ 1, ta có:
+ phương trình af(x) = ag(x)  f(x) = g(x)
+ phương trình af(x) = b (b > 0)  f(x) = loga b
1


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

+ phương trình af(x) = bg(x)  f(x) = g(x)logab (log hóa)
+ phương trình loga f(x) = loga g(x)  f(x) = g(x)
+ phương trình loga f(x) = b  f(x) = ab (mũ hóa)
Các phương pháp có thể dùng để giải phương trình mũ - logarit là:
 Dạng 1: Chuyển phương trình về cùng một cơ số.
 Dạng 2: Chuyển về phương trình tích (đặt thừa số chung ).
 Dạng 3: Đặt ẩn phụ - đổi biến.
 Dạng 4: Mũ hóa - Logarit hóa.
 Dạng 5: Dựa vào tính đơn điệu của hàm số. (tính đồng biến - nghịch biến )
 Dạng 6: Tuyển tập các dạng bài tập nâng cao - đặc biệt

ET

DẠNG 1: CHUYỂN PHƯƠNG TRÌNH VỀ CÙNG MỘT CƠ SỐ.

 104x + 2 = 10

ATH
S.N

 PP: sử dụng các công thức biến đổi PT để đưa về dạng a f(x) = a g(x) hoặc loga f(x) = loga g(x)
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2x2 + 3x - 78
a. 42x + 1. 54x + 3 = 5. 10
 HD giải: Để ý vế phải có cơ số 10 = 2.5 nên ta biến đổi về trái:
Ta xét Vế trái = 42x + 1. 54x + 3 = 24x + 2. 54x + 3 = 24x + 2. 5.54x + 2 = 5.104x + 2
2x2 + 3x - 78
Khi đó phương trình  5.104x + 2 = 5. 10
2x2 + 3x - 78

 4x + 2 = 2x2 + 3x - 78  x =
2x + 3

4

x+8

b. 3. 243 x + 8 = 3-2 .9x + 2

x ≠ -2
+8≠0

+2≠0
x ≠ -8
Nhận xét cả 2 vế phương trình đều có thể đưa về cơ số 3, nên ta biến đổi:

 HD giải: Điều kiện là

1

1

5

3 = 34 ; 9 = 32; 243 = 35; nên phương trình đã cho có dạng: 34. 3


Khi đó phương trình 

TM

4

x

x

1  641
4



1
2x + 3
+ 5

x+8
34



=









2x + 3
x+8

= 3-2. 3

2

x+8
x+2

x+8
-2 + 2

x+2
3

VIE

1
2x + 3
x + 8
 + 5
 = -2 + 2
 (1)
x+8
x + 2
4
Quy đồng và rút gọn có PT (1) trở thành 41x2 + 102x - 248 = 0  x = - 4 v x =
x2 + 2x

62
41

= (x - 2)11x - 20
x - 2 > 0
x > 2
x > 2
 HD giải: PT   x2 + 2x = 11x - 20  x2 - 9x + 20 = 0  x = 4 v x = 5  x = 4 v x = 5



c. (x - 2)

Ví dụ 2: Giải phương trình:
1
a.log2 (3x - 1) +
= 2 + log2 (x + 1)

log(x + 3) 2
3x - 1 > 0
1
 HD giải: Điều kiện 0 < x + 3 ≠ 1  x >
3
x + 1 > 0

2


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

1
= logb a nên phương trình đã cho có dạng:
loga b
log2 (3x - 1) + log2 (x + 3) = log2 22 + log2 (x + 1)
 log2 [(3x - 1)(x + 3)] = log2 4(x + 1)
 (3x - 1)(x + 3) = 4(x + 1) (*)
-7
Rút gọn và giải (*) ta được x = (loại), x = 1 (thỏa mãn)
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
x - 1
 + log3 (x - 3)2
b. 2log9 (x2 - 5x + 6)2 = log 3 
2 
2
2

2
(x - 5x + 6) > 0
x - 5x + 6 ≠ 0
x > 1
x
1
>
0
x
>
1


 HD giải: Điều kiện

 x ≠ 2 (*)
(x - 3)2 > 0
 x - 3 ≠ 0
x ≠ 3
x - 1
PT  2 log32(x2 - 5x + 6)2 = log312 
 + log3 (x - 3)2
 2 
2

x - 1
 log3 [(x -2) (x - 3) ] = log3
 + log3(x - 3)2
 2 
2

2

ATH
S.N

2

ET

Vì

x - 1
 (x -2)2(x - 3)2 = 
 .(x - 3)2 (do x ≠ 3 nên x - 3 ≠ 0)
 2 
2

x - 1
 (x -2) = 
 (2)
 2 
2

Giải phương trình (2) ta được x = 3 (loại) và x =

5
( thỏa mãn).
3

TM

5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
3
Chú ý: + Khi giải các bài toán về LOG, ta cần chú ý đến điều kiện tồn tại của loga b đó là 0 < a ≠ 1 và
b > 0. Đặc biệt nếu A2 > 0  A ≠ 0.
3
c. log1 (x + 2)2 - 3 = log1 (4 - x)3 + log1 (x + 6)3
2
4
4
4
2
(x + 2) > 0
- 6 < x < 4
 HD giải: Điều kiện x + 6 > 0  
x ≠ -2
4 - x > 0
4

VIE

PT  3log1 |x + 2| - 3 = 3log1 (4 - x) + 3log1 (x + 6)
4

4

 log1 |x + 2| - 1 = log1 (4 - x) + log1 (x + 6)
4

4

1
= log1 [(4 - x)(x + 6)]
4 4
4

 log1 |x + 2| - log1
4

4

 log1 [4|x + 2|] = log1 [(4 - x)(x + 6)]
4

4

 4|x + 2| = - x2 - 2x + 24

x = 1 + 33
2
 4(x + 2) = x + 2x - 24
  4(x + 2) = - x2 - 2x + 24  x = 1 - 33 . So điều kiện ta nhận x = 2 , x = 1 - 33
x = 2
x = -8

3

Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
25x2 - 12
x2 - 3 x2 - 3
1) 2 .5
= 0,01.(10x - 1)3
2) (0,6)x  
= (0,216)3
9
 
4) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x + 3x - 1 + 3x - 2
5
x - 6x 2
2

= 16 2

x+1

x

5) 2

2

7)

10) 5

+ 6.5 - 3.5

8)
x+1

= 52

x2 + 3x - 4

x+5
32 x - 7

11) 3

=

|3x - 4|

3) 2x.3x - 1.5x - 2 = 12

= 4x - 1

6)

x + 17
1
.128 x - 3

9) 16 x - 10 = 0,125.8x - 15

x + 10

4

= 92x - 2

x+5

12) (x2 - 2x + 2)
1
x + 3x +
2
3
2

13) 2x + 1.3x - 2.5x = 200

5

=

=1

1
3 3

2

x + 3
17) log2 
 = 2log1 (x - 1) - log2 (x + 1)
 5 
4

(x3 - 2) + log0,2 (x - 2) = 4

18) log2 (x - 2) - 2 = 6log1

15)

ET

16) log5 (x - 2) + log

14) 4.9x - 1 = 3 22x + 1

4 - x2

3x - 5

19) log1

8

3

2

[

]

2(x3 + x2) - 2 + log3 (2x + 2) = 0
2

21) log2 (x - 1) = 2log2 (x3 + x + 1)
3
22) log2 (x2 + 3x + 2) + log2 (x2 + 7x + 12) = 3 + log23 23) log1 (x + 2)2 - 3 = log1 (4 - x)3 + log1 (x + 6)3
2 4
4
4
24) log4(x + 1)2 + 2 = log

2

ATH
S.N

20) logx (x + 4x - 4) = 3

4 - x + log8 (4 + x)3

25) log

26) log2 (x2 + 3x + 2) - log1 (x2 + 7x + 12)2 = 2 + log4 3
4

x + 1 - log1 (3 - x) - log8 (x - 1)3 = 0

2

2

27) logx + 1 (2x3 + 2x2 - 3x + 1) = 3

DẠNG 2: CHUYỂN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH (Đặt thừa số chung)

x2 - 3x + 2

x2 + 6x + 5

2x2 + 3x + 7

TM

 PP: thường sử dụng đối với các bài toán có nhiều cơ số hoặc có x ở ngoài số mũ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
a. 25x = 9x + 2.5x + 2.3x
 HD giải: PT  52x = 32x + 2.5x + 2.3x
 (52x - 32x) - 2(5x + 3x) = 0
 (5x - 3x)(5x + 3x) - 2(5x + 3x) = 0
 (5x + 3x)(5x - 3x - 2) = 0
x
x
5 + 3 = 0 ( vô nghiệm )
 5x = 3x + 2 (Giải bằng dạng 5)

Do đó phương trình  4

VIE

b. 4
+4
=4
+1
2
 HD giải: Nhận xét 2x + 3x + 7 = (x2 - 3x + 2) + (x2 + 6x + 5)
x2 - 3x + 2

x2 - 3x + 2

 (4

x2 - 3x + 2

 (4

x2 - 3x + 2

 (4

x2 - 3x + 2

+4

x2 + 6x + 5

=4

2x2 + 3x + 7

x2 + 6x + 5

- 1) + 4

x2 + 6x + 5

- 1) + 4
- 1) + 4

+1

(x2 - 3x + 2) + (x2 + 6x + 5)

-4

x2 + 6x + 5

-4

x2 + 6x + 5

.(1 - 4

x2 - 3x + 2

.4

x2 - 3x + 2

=0

=0

)=0

x2 + 6x + 5

 (4
- 1).(1 - 4
)=0
x2 - 3x + 2
2
4
=1
x - 3x + 2 = 0
x = 2 v x = 1
  x2 + 6x + 5
 x2 + 6x + 5 = 0  x = -5 v x = -1
=1
4
x
x
x+1
c. 12.3 + 3.15 - 5
= 20
 HD giải: PT  (12.3x + 3.15x) - 5.5x - 20 = 0
 3.3x(4 + 5x) - 5(5x + 4) = 0

 (4 + 5x)(3.3x - 5) = 0
4


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

ATH
S.N

ET

x
5 = - 4 < 0 ( vô nghiệm)
5
 3x = 5
 x = log3
3
3

x
x
d. 9 + 2(x - 2)3 + 2x - 5 = 0
 HD giải: PT  32x + 2x.3x - 4.3x + 2x - 5 = 0
 (32x - 4.3x - 5) + 2x(3x + 1) = 0 ( để tạo ra thừa chung ta sử dụng công thức Vi-et)
 (3x + 1)(3x - 5) + 2x(3x + 1) = 0
 (3x + 1)(3x - 5 + 2x) = 0
x
3 = -1 < 0 (vô nghiệm)

 3x = 5 - 2x (Giải bằng dạng 5)
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a. log2x + log3x = 1 + log2 x.log3x
 HD giải: Điều kiện x > 0
PT  (log2 x - 1) + log3 x - log2x.log3 x = 0
 (log2 x - 1) + (1 - log2 x).log3 x. = 0
 (log2 x - 1)(1 - log3 x) = 0
log2 x = 1
x = 2
 
 
(thỏa x > 0)
log3 x = 1
x=3
2
b. (x + 1)[log2x] + (2x + 5)log2 x + 6 = 0

TM

 HD giải: Điều kiện x > 0
So với VD1 câu d thì bài toán này cũng tương tự nhưng chúng ta sẽ thử làm theo cách " xét  "
Nếu xem log2 x là biến số và x là tham số, ta có phương trình bậc 2.
Xét  = (2x + 5)2 - 24(x + 1) = 4x2 - 4x + 1 = (2x - 1)2 (  có dạng số chính phương )
- (2x + 5) + (2x - 1)
-3
- (2x + 5) - (2x - 1)
Khi đó log2 x =
=
hay log2 x =
=-2

2(x + 1)
2(x + 1)
2(x + 1)
1
Vậy ta có log2 x = -2  x = 2-2 =
4
-3
Và log2 x =
( Dùng dạng 5 để giải tiếp )
2(x + 1)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 2

x2 - 5x + 6

1 - x2

+2

= 2.26 - 5x + 1

2) x2.2x + 6x + 12 = 6x2 + x.2x + 2x + 1
x2

3) 2x + 1 + 3x = 6x + 2

4) 4 + x.3x + 3x + 1 = 2x2.3x + 2x + 6
6) 2[log2 x]2 + xlog2 x + 2x - 8 = 0
8) (x + 2)[log3 (x + 1)]2 + 4(x + 1)log3 (x + 1) - 16 = 0
10) x2.3x + 3x (12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12

12) log22 x + (x - 1)log2 x = 6 - 2x
14) lg2 (x2 + 1) + (x2 - 5)lg(x2 + 1) - 5x2 = 0
16) log3 x + 5log5 x = 5 + log3 x.log5 x

VIE

5) x.2x = x(3 - x) + 2(2x - 1)
7) 3.25x - 2 + (3x - 10).5x - 2 + 3 - x = 0
9) 8 - x.2x + 23 - x - x = 0
11) 25x - 2(3 - x).5x + 2x - 7 = 0
13) x2 + (2x - 3)x + 2(1 - 2x) = 0
15) log4 x. logx 5 - 1 = log4 x - logx 5

DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ - ĐỔI BIẾN
 PP: Phương trình tồn tại ax , a-x , a2x , a3x , v.v..  ta đặt t = ax > 0
Hoặc PT có ax và bx với ax.bx = 1  ta đặt t = ax > 0 và khi đó bx =

1 1
=
ax t

Ví dụ 1: Giải phương trình:
a. 2x + 23 - x = 9

5


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

23
8
x
x
x = 9  2 + x = 9. ( Đặt t = 2 > 0 )
2
2
8
t = 1
PT thành t + = 9  t2 - 9t + 8 = 0  
( Nhận vì thỏa t > 0 )
t=8
t
Khi đó với t = 1  2x = 1 = 20  x = 0
Và t = 8  2x = 8 = 23  x = 3.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = 3
 HD giải: PT  2x +

x

b.

(

6 - 35

x

) +(

6 + 35

)

= 12
x

 HD giải: Nhận xét

(

x

)(

6 - 35 .

) =(

6 + 35

x

x

36 - 35

)

= 1x = 1

x

(

6 + 35

)

> 0 thì

(

)

6 - 35 =

x

(

6 + 35

Với t = 6 - 35 

(

6 + 35

)
x

)

x

= 6 + 35  (6 + 35)2 = (6 + 35)1 

ATH
S.N

Với t = 6 + 35 

ET

1
t
t = 6 + 35
1
Khi đó, PT thành + t = 12  t2 - 12t + 1 = 0  
( thỏa mãn vì t > 0 )
t
t = 6 - 35
Nên ta đặt t =

x

= 6 - 35  (6 + 35)2 = (6 + 35)-1 

x
=1x=2
2

x
= -1  x = - 2
2

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 2, x = -2.
2x2 + 2x + 1

c. 3

- 28.3

x2 + x

+9=0
2(x2 + x)

x2 + x

x2 + x

 HD giải: PT  3.3
- 28.3
+ 9 = 0 ( Đặt t = 3
2
 3t - 28t + 9 = 0
t = 9

 t = 1 ( Nhận vì thỏa t > 0 )
 3

> 0)

x2 + x

TM

x = 1
= 9 = 32  x2 + x = 2  x2 + x - 2 = 0  
x=-2
2
x +x
1
1
Với t =  3
= = 3-1  x2 + x = -1  x2 + x + 1 = 0 ( vô nghiệm )
3
3
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1, x = -2.
Với t = 9  3

VIE

d. (3 - 5)2x + 1 + (3 + 5)2x + 1 = 6.22x
 HD giải: Đối với PT trên, ta thấy rằng không thể xét (3 - 5)(3 + 5) ≠ 1
Trong khi đó PT vừa khác mũ ? vừa khác cơ số ?  ta biến đổi phương trình để đưa về cùng mũ.
PT  (3 - 5)2x + 1 + (3 + 5)2x + 1 = 3.2.22x
 (3 - 5)2x + 1 + (3 + 5)2x + 1 = 3.22x + 1 (*)

Đến đây PT đã cùng mũ nhưng lại khác cơ số ? Rõ ràng (3 - 5) và (3 + 5) hoàn toàn có "bà con"
Ta chia 2 vế phương trình (*) cho 22x + 1 và được:
(3 - 5)2x + 1 (3 + 5)2x + 1
(*) 
+
=3
22x + 1
22x + 1
3 - 52x + 1 3 + 52x + 1



+
=3
 2 
 2 
3 - 52x + 1 3 + 52x + 1 9 - 5 2x + 1 2x + 1



Nhận xét 
.
=
=1
= 1. ( đến đây ta đã biến đổi thành công !)
 2 
 2 
 4 

6

Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

3 + 52x + 1
3 - 52x + 1 1
Nên ta đặt t = 

> 0 và khi đó 

=
t
 2 
 2 
t = 3 +2 5
1

PT thành + t = 3  t2 - 3t + 1 = 0 
( Nhận vì thỏa t > 0 )
t
t = 3 - 5

2
2x + 1
1
3 + 5
3 + 5
3+ 5


  2x + 1 = 1  x = 0
Với t =

=
2
 2 
 2 
3 + 52x + 1 3 + 5-1
3- 5

  2x + 1 = -1  x = -1

=
2
 2 
 2 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0, x = -1

ET

Với t =

ATH
S.N

e. 125x - 4.50x + 20x + 6.8x = 0
 HD giải: Đối với câu e này, ta thấy rằng các PT cùng mũ nhưng cả 4 cơ số đều khác nhau. Nên ta
quyết định sẽ chia bớt cho một cơ số để tìm mối quan hệ giữa các cơ số còn lại. Kinh nghiệm là ta sẽ chia
cho cơ số lớn nhất hoặc cơ số nhỏ nhất.

Cách 1: Chia cho cơ số lớn nhất 125x
2x  4 x
 8 x
PT  1 - 4.  +   + 6.  = 0
5 25
125

TM

2x 22x
23x
2x
 1 - 4.  +  + 6.  = 0 ( Đặt t =   > 0 )
5 5
5
5
(loại)
t = -1
1
t = 2
PT thành 1 - 4t + t2 + 6t3 = 0 
t = 1
 3
x
2 1
1
1
Với t =    =  x = log2 (Chú ý: ax = b  x = loga b)
2
5

2
5 2
 

VIE

2x 1
1
1
Với t =    =  x = log2
3
5 3
5 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm.
Cách 2: Chia cho cơ số nhỏ nhất 8x
125x 25x 5x
53x 52x 5x
 - 4.  +   + 6 = 0    - 4.  +   + 6 = 0 (HS tự làm tiếp)
PT  
 8 
 4  2
2
2 2
Ví dụ 2: Giải phương trình:
a. log2 (4x + 1 + 4).log2 (4x + 1) = 3
4x + 1 + 4 > 0
 HD giải: Điều kiện:4x + 1 > 0 (luôn đúng)

x
PT  log2 (4.4 + 4).log2 (4x + 1) = 3

 log2 [4.(4x + 1)].log2 (4x + 1) = 3 ( Ta có loga b + loga c = loga bc )
 [log2 4 + log2(4x + 1)].log2 (4x + 1) = 3
 [2 + log2(4x + 1)].log2(4x + 1) = 3 ( đặt t = log2(4x + 1)
PT thành (2 + t).t = 3
t = 1
 t2 + 2t - 3 = 0  t = -3
Với t = 1  log2(4x + 1) = 1  4x + 1 = 21  4x = 1 = 40  x = 0
7


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

Với t = -3  log2(4x + 1) = -3  4x + 1 = 2-3  4x =

1
-7
- 1 = < 0 (vô nghiệm)
8
8

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0
b. 1 + log2 (x - 1) = log(x - 1) 4
x - 1 > 0
x > 1
 HD giải: Điều kiện: 

x - 1 ≠ 1
x ≠ 2

TM

ATH
S.N

ET

PT  1 + log2 (x - 1) = log(x - 1) 22 (ta có loga b =  loga b)
1
 1 + log2 (x - 1) = 2log(x - 1) 2 (ta có loga b =
)
logb a
1
 1 + log2 (x - 1) = 2
( Đặt t = log2 (x - 1) )
log2 (x - 1)
2
t = 1
PT thành 1 + t =  t2 + t - 2 = 0  
t = -2
t
Với t = 1  log2 (x - 1) = 1  x - 1 = 21  x = 3 (nhận)
1
5
Với t = -2  log2 (x - 1) = -2  x - 1 = 2-2 =  x = (nhận)
4
4
5
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 3, x = .

4
2
4
2
c. log 2 (x - 1) - 5log2 (x - 1) + 1 = 0
 HD giải: Điều kiện: (x - 1)4 > 0  x - 1 ≠ 0
PT  [log2 (x - 1)4]2 - 10.log2 (x - 1) + 1 = 0
 [4log2 (x - 1)]2 -10.log2 (x - 1) + 1 = 0
 16[log2 (x - 1)]2 - 10.log2 (x - 1) + 1 = 0 ( đặt t = log2 (x - 1))
1
t=

2
PT thành 16t2 - 10t + 1 = 0  
1
t = 8
1
1
1
Với t =  log2 (x - 1) =  x - 1 = 2 2 = 2  x = 1 + 2
2
2
1
1
1
8
8
Với t =  log2 (x - 1) =  x - 1 = 2 8 = 2  x = 1 + 2
8
8

8

d. log2 +

3

VIE

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 + 2, x = 1 + 2
Chú ý: Cần phân biệt loga b2 ≠ log2a b
x2 - 3x + 2 + log2 2

3

x - 1 = log7 - 4 3(x + 2)

x - 3x + 2 > 0
 HD giải: Điều kiện:x - 1 > 0
x>2
 x + 2 > 0
Ta có 7 - 4 3 = (2 - 3)2 và (2 - 3)(2 + 3) = 4 - 3 = 1
1
Nên ta đặt t = 2 - 3  2 + 3 =
t
1
Ta có PT  - logt x2 - 3x + 2 + logt x - 1 = logt(x + 2)
2
 - logt (x - 1)(x - 2) + logt x - 1 = logt x + 2
 - ( logt x - 1 + logt x - 2) + logt x - 1 = logt x + 2
 logt x + 2 + logt x - 2 = 0

 logt x2 - 4 = 0  x2 - 4 = t0 = 1  x2 - 4 = 1  x2 = 5  x =  5

8


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

Do x > 2  nhận x = 5

ATH
S.N

ET

e. log3x + 7 (4x2 + 12x + 9) = 4 - log2x + 3 (6x2 + 23x + 21)
+ 7 > 0 , 3x + 7 ≠ 1
x > -3
3x
2x + 3 > 0 , 2x + 3 ≠ 1
2 (*)
 HD giải: Điều kiện: 2

4x + 12x + 9 > 0

x ≠ 1
6x2 + 23x + 21 > 0
2
PT  log3x + 7 (2x + 3) = 4 - log2x + 3 [(3x + 7)(2x + 3)]

 2log3x + 7 (2x + 3) = 4 - [log2x + 3 (3x + 7) + log2x + 3(2x + 3)]
 2log3x + 7 (2x + 3) = 3 - log2x + 3 (3x + 7)
1
Đặt t = log3x + 7 (2x + 3)  = log2x + 3 (3x + 7)
t
1
1
PT  2t = 3 -  2t2 - 3t + 1 = 0  t = 1 v t =
t
2
Với t = 1  log3x + 7 (2x + 3) = 1  2x + 3 = 3x + 7  x = - 4 ( loại vì không thỏa (*))
1
1
1
Với t =  log3x + 7 (2x + 3) =  2x + 3 = (3x + 7)2  (2x + 3)2 = 3x + 7
2
2
x = -1 ( nhận)
-1
2
4
 4x + 9x + 2 = 0  
.Vậy phương trình có nghiệm x =
4
x = -2 ( loại)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3x + 2 + 32 - x = 30
2) 22x + 6 + 2x + 7 - 17 = 0
x

x

x

4) 64.9 - 84.12 + 27.16 = 0
x-2
2

- 10.3
x+1

10) 25x = 25

5) 4

+ 3 = 0 8) 3.2

+ 24.5

x+ x

x-1
x+1

3x2 - 2x

- 8.2

x-1
2

- 9.2

+4=0

14) 23x - 6.2x -

1

3(x - 1)

2

x

x

) (

)

5 + 2 6 + 5 - 2 6 = 10
x


3 - 8 = 6


19) 3.4x + 2.9x = 5.6x
2

21) (2 + 3)

(x -1)

6) 4

x  x2 2

9) 2

+

12
=1
2x

2x + 1

2

- 9.2

12)



x +x

x2 + x - 2

- 10.3

 5.2

x 1 x 2  2

+1=0

6  0

+ 22x + 2 = 0
x

4  15

 


x

4  15

 8

15) ( 5 + 1)x + 2( 5 - 1)x = 3.2x
x

17) (5 - 21)x + 7(5 + 21)x = 2x + 3 18)

VIE

3

(

+2=0

11) (2 - 3)x + (2 + 3)x = 14

13) 8x - 3.4x - 3.2x + 1 + 8 = 0

16)

3x2 - 2x

x2 + x + 1

2

TM

7) 3.3

x-4
x-2

1+

3) 9

3

 3 + 8 +







20) (7 + 5 2)x + ( 2 - 5)(3 + 2 2)x + 3(1 + 2)x + 1 - 2 = 0
x - 2x - 1
4
+ (2 - 3)
=
22) (2 + 3)x + (7 + 4 3)(2 - 3)x = 4(2 + 3)
2- 3
2

2x2

x2 + x + 6

2(x + 6)

23) ( 2 - 1)x + ( 2 + 1)x - 2 2 = 0 24) 3.8x + 4.12x - 18x - 2.27x = 0
25) 3 - 2.3
+3
=0

7
26) (7 + 4 3)x - 3(2 - 3)x + 2 = 0 27) logx 2 + log8 x =
28) log3 x9 - 4log9 3x = 1
6
1
29) 2log8 (-x) - log8 x2 = 0
30) logx - 1 (x2 - 8x + 16) + log4 - x (-x2 + 5x - 4) = 3
2
1
1
3
x3 1

31) 1 +
-log2  4 = log2 x 32) log3 .log2 x - log3
= + log2 x

4
x
x
3 2
33) log2 (-x) - 2logx2 + 4 = 0
34) log2 x - log x2 = log2 3 - 1
35) log2 (5x - 1).log(2.5x - 2) = 2
1
36) 5logx x + log9 x3 + 8log9x2 x2 = 2
37) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2log x
=0
4.2
-3

9
x
9


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

38) logx 5 + logx 5x - 2,25 = log2x 5
40) logx 2.log2x 2 = log4x 2
42) log0,04 x + 1 + log0,2 x + 1 = 1

39) 3logx 6 - 4log16 x = 2log2 x
41) log2 (lgx + 2 lgx + 1) - 2log4 ( lgx + 1) = 1
43) lg2 x - lgx3 + 2 = 0

44) logx x2 + 40log4x x = 14.log16x x3

45) log4 (x - 1)2 - 5log2 (x - 1)3 - 3376 = 0

2

46) logx2 (2 + x) + log

x+2

47) log3 - 2x (2x2 - 9x + 9) + log3 - x (4x2 - 12x + 9) = 4

x=2

48) log(9x - 1 + 7) = 2 + log2 (3x - 1 + 1)
1
6

50) 3 +
= logx 9x - 

log3 x
x
52) 4

2x + x + 2

x3

+2 =4

2+

x+2

x3 + 4x - 4

+2

49) lg4 (x - 1)2 + lg2 (x - 1)3 = 25
51) log2x - 1 (2x2 + x - 1) + logx + 1 (2x - 1)2 = 4
x + x2 - 2x - 3

53) 4x - 3.2

log22
2x

x

1 + x2 - 2x - 3

-4

x+4

61) 8.3
63) 4
66) 9

x+

x2 + x

4

x

+ 91 +
1 - x2

+2

x2 - 2x +

3
2

x+4

- 9.9
4

x

=9

(x + 1)2

=2

x2

-3 =3

(x - 2)2

+ 2.81

x-1

= 5.36

x-1

60) 5.32x - 1 - 7.3x - 1 + 1 - 6.3 x + 9x + 1 = 0

=0

x

62) (26 + 15 3)x + 2(7 + 4 3)x - 2(2 - 3)x = 1

+1

64) lg2 x9 - 20lg x +

ATH
S.N

x+

59) 32x - 8.3

x-1

ET

(x + 1) - 6log2 x + 1 + 2 = 0
55) (3 + 2 2) = ( 2 - 1) + 3
2x
3
7

56)
= 2(0,3)x + 3
57)
= 6.(0,7)x + 7
58) 3.16
100x
100x
54)

=0

x

1
= 0 65) 32x + 3x + 5 = 5
9

67) 22x - 2x + 6 = 6

-1

3

68) log9x 27 - log3x 3 + log9 243 = 0 69) 8x + 1 = 2. 2x - 1 - 1

2x2 - 5x + 2

68) 2

4x2 - 8x + 3

+2

6x2 - 13x + 5

=1+2

70) 23x - 23 - 3x - 6(2x - 2.2-x) = 1

DẠNG 4: MŨ HÓA - LOGARIT HÓA

TM

 PP: giúp ta chuyển một PT mũ - log về một PT log - mũ mà ta đã biết cách giải. Cần chú ý:
♂. a f(x) = b g(x)  loga a f(x) = loga bg(x)
 f(x) = g(x).loga b ( hoặc logb af(x) = logb bg(x)  f(x).logb a = g(x) )
♀. loga f(x) = logb g(x). Đặt t = loga f(x) = logb g(x)
Khi đó: at = f(x) và bt = g(x)  chuyển về phương trình mũ
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
x-1
x

= 500

VIE

a. 5x.8

 HD giải: Điều kiện x ≠ 0
Nhận xét ta không để đưa PT trên về cùng một cơ số và đồng thời số mũ của chúng cũng khác nhau hoàn

toàn. Do vậy ta thử LOG HÓA PT mũ trên. Để thực hiện ta cần chọn cơ số cho Logarit. Việc chọn " cơ số "
sẽ giúp bạn giải hoặc nhanh hoặc chậm bài toán đi nhưng cuối cùng đích đến vẫn là tìm được đáp số.
Cách 1: Lấy log 2 vế với cơ số 5.
PT  log5 (5x.8

x-1
x )

= log5 500
x-1
x

 log5 5x + log5 8

= log5 (53.22) (Để phân tích 500 = 53.22 ta chia nó cho các số nguyên tố)

x-1
 x+ 3
.log5 2 = 3 + 2log52
x
 x-1 
 (x - 3) + log5 2 3
- 2 = 0
 x


10


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

x - 3
 (x - 3) + log5 2 
= 0
 x 
log5 2
log5 2

 (x - 3)1 +
=0 x=3 v1+
=0

x 
x
log5 2
Với 1 +
= 0  x + log5 2 = 0  x = -log5 2
x
Vậy PT có 2 nghiệm x = 3 v x = -log5 2
Cách 2: Lấy log 2 vế với cơ số 2. ( vì 8 = 23 )
PT  log2 (5x.8

x-1
x )

= log2 (53.22)
3(x - 1)
x =

 log2 5x + log2 2

3log2 5 + 2

3(x - 1)
= 3log2 5 + 2
x
3(x - 1)
 (x - 3).log2 5 +
-2=0
x
x-3
1
-1

 (x - 3).log2 5 +
= 0  (x - 3)log2 5 +   x = 3 v x =
= - log5 2

x
x
log2 5
b. xlgx = 1000x2
 HD giải: Điều kiện x > 0
PT  lgxlgx = lg1000x2
 lgx.lgx = lg1000 + lgx2
 lg2 x = 3 + 2lgx ( Đặt t = lgx )
-1
t = - 1

lgx = -1
x = 10
PT thành t2 - 2t - 3 = 0  
 
 
3
t=3
lgx = 3
x = 10
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
1
a. log3 (log9 x + + 9x) = 2x
2
 HD giải: Điều kiện x > 0
1
PT  log9 x + + 9x = 32x
2
-1
-1
1
 log9 x =  x = 9 2 = (nhận)
2
3
b. log5 log2 x = log2 log5 x
x > 0
 HD giải: Điều kiện: log2 x > 0  x > 1
log5 x > 0
Đặt t = log5 log2 x  log2 x = 5t (1)
Mặt khác t = log2 log5 x  log5 x = 2t (2)
Lại có log2 x = log2 5.log5 x nên từ (1) và (2) ta có 5t = 2t.log2 5

VIE

TM

ATH
S.N

ET

 x.log2 5 +

t

2
log5 (log2 5)
5
Hay   = log2 5  t = log5 (log2 5). Thay vào (2) ta được: log5 x = 2 2
x=5
2
2

log 5 (log2 5)
2

3

c. 3log3 (1 + x + x) = 2log2 x
 HD giải: Điều kiện: x > 0
Khác biệt giữa câu c này và câu b nằm ở chỗ dạng PT ở câu b là log = log. còn với bài toán ta đang gặp

phải là m.log = n.log. Kinh nghiệm là ta sẽ chọn k là bội số chung nhỏ nhất của cả 2 số m và n đó.
3

Đặt 6t = 3log3 (1 + x + x) = 2log2 x

11


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

6t
x = 2
log2 x = 3t
Ta có: 
 
1 + x + 3 x = 32t
log3 (1 + x + 3 x) = 2t
Do đó 1 + 23t + 22t = 32t  1 + 8t + 4t = 9t ( Giải tiếp bằng cách chia bớt cơ số và dùng dạng 5 )

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
3(2x - 1)
x+1

x2 - 5x + 6

5) 5

2 + log22 x

9) x

13) 2

x2

2) 2 = 3x - 1

= 72

3) 2

log2 (x + 1)

x

2x - 1

= 2x - 3

6) 3x .8 x + 1 = 36

=8

10) 52 - x.3x + 1 = 4

7) 5x.2 x + 1 = 50

3x

log5 (x + 3)

x2 - 2x

11) 2

14) log3 (x2 - 3x - 13) = log2 x

=x
4

x

4) 8x + 2 = 36.32 - x

=x

.3x =

1
2

= 10log x + 1

4

21) log3 (76 + x) = log5 x

ATH

S.N

20) 3log3 (x + 2) = 2log2 (x + 1)

25) log4 [2log3 (1 + 3log2 x)] =

12) x

18) log3 (x2 + 2x + 1) = log2 (x2 + 2x)

19) log2 (log3 x) = log3 (log2 x)
x) = log7 x

= 2x - 4

15) log2 (1 + x) = log3 x

17) log7 (x + 2) = log5 x

3

x2 - 4x

log x + 7
7

1
2

16) 2log6 ( x + x) = log4 x

22) log2 (1 +

8) 3

ET

1) 3x. 2

x2 - 2x

. 3x = 1,5

23) log3 (x + 1) + log5 (2x + 1) = 2

24) 2

26) logx (x + 2) = log3 5

27) 3x + 1.2 = 8.4x

x2

DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

 PP: xét PT mũ - logarit f(x) = 0 (*) với x D
☺Nếu f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì PT (*) có không quá một nghiệm.
Nghĩa là nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
☻Nếu y = f(x) đơn điệu trên D (đồng biến hoặc nghịch biến trên D ) thì f(u) = f(v)  u = v với mọi u,
v  D.

TM

☼ Nếu y = f(x) có đạo hàm đến cấp k và liên tục trên D, đồng thời f (k) (x) có đúng m nghiệm phân
(k - 1)
biệt thì phương trình f
(x) = 0 sẽ có không quá m + 1 nghiệm.
u'
u.lna

VIE

Chú ý: đạo hàm của (au )' = u'. au .lna và đạm hàm của (loga u)' =

Hầu hết các phương pháp ở các dạng trên sau nhiều phép tính toán, biến đổi rất dễ đưa về dạng toán này.
Cho nên các bạn cần chú ý học và tìm hiểu kỹ dạng này. Đó cũng là tiền đề để bạn sử dụng phương pháp
này để giải các dạng toán khác.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a. 2x = 3 - x
 HD giải: PT  2x - 3 + x = 0
Xét f(x) = 2x - 3 + x với mọi x  R
Ta có f'(x) = 2x ln2 + 1 > 0 x  R ( do 2x > 0 và ln2 > 0 )
 f(x) luôn đồng biến trên R, mà f(1) = 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất là x = 1.
b. 9x = 5x + 4x + 2. 20x
 HD giải: Bài toán trên có đến 4 cơ số khác nhau, ta quyết định chia cho cơ số lớn nhất 9x.
x

x

x

5 4
 20
PT  1 =   +  + 2.
 ( Nhậm nghiệm thử ta thấy x = 2 thỏa mãn )
9 9
 9 
12


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

5 4
20
5
4
20
Do 0 < ; ;
< 1 nên ln < 0 , ln < 0 , ln
< 0.
9 9 9
9
9
9
x

x

x

20
5 5 4 4
 20
Do đó f '(x) =   ln +  ln + 2.
 ln
< 0 x  R
9 9 9 9
 9 
9
Nên hàm số f(x) nghịch biến trên R, mà f(2) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 2.

ATH
S.N

ET

C. 3x + 5x = 6x + 2
 HD giải: nhận xét 1 vế của phương trình là " hàm mũ ", còn vế còn lại là " hàm đa thức ". Không thể
biến đổi như các dạng đã đề cập ở trên của chuyên đề nên ta quyết định sử PP hàm số.
Xét f(x) = 3x + 5x = 6x + 2 với x  R
Ta có f '(x) = 3x ln3 + 5x ln5 - 6 là hàm số liên tục
Và f '(0) = ln3 + ln5 - 6 < 0 , f '(1) = 3ln3 + 5ln5 - 6 > 0
Nên phương trình f '(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = xo
Bảng biến thiên:
x

xo


f '(x)
0
+
f (x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá hai nghiệm phân biệt.
Mà f(0) = f(1) = 0 nên mọi nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 hoặc x = 1
Để có thể ứng dụng PP hàm số này một cách hiệu quả trước tiên bạn nên " nhẩm nghiệm " PT đã cho
trước. Ứng với số nghiệm tìm được ta sẽ đề xuất cách giải.

TM

d. (2 - 3)x + (2 + 3)x = 4x
2 - 3x 2 + 3x
+
 =1
 HD giải: PT  
 4   4 
2 - 3x 2 + 3x
+
 với x  R
Xér f(x) = 
 4   4 

2 - 3
2 + 3
2- 3 2+ 3
 < 0 và ln
 <0
;

< 1 nên ln
4
4
 4 
 4 
2 - 3x 2 - 3 2 + 3x 2 + 3
 .ln
+
 ln
 < 0 x  R
Do đó, f'(x) = 
 4   4   4   4 
Nên hàm số f(x) luôn nghịch biến trên R, mà f(1) = 1 nên phương trình f(x) = 1 có nghiệm duy nhất x = 1

VIE

Vì 0 <

e. 7x - 1 = 1 + 2log7 (6x - 5)3

5
6
y-1
Đặt y - 1 = log7 (6x - 5) thì 7 = 6x - 5 (1)
PT đã cho trở thành 7 x - 1 = 1 + 2log7 (6x - 5)3
 7x - 1 = 1 + 6log7 (6x - 5)
 7x - 1 = 1 + 6log7 7y - 1
 7x - 1 = 1 + 6(y - 1)
 7x - 1 = 6y - 5 (2)
Lấy (1) trừ (2) ta được: 7y - 1 - 7x - 1 = 6x - 6y

 7x - 1 + 6(x - 1) = 7y - 1+ 6(y - 1) f(x - 1) = f(y - 1)
Dễ thấy f(t) = 7t + 6t là hàm số đồng biến trên R, mà f(x - 1) = f(y - 1)  x - 1 = y - 1  x = y
Khi đó phương trình đã cho có dạng (1)  7x - 1 - 6x + 5 = 0 (3) ( nhẩm nghiệm x = 1, x = 2)
Xét hàm số g(x) = 7x - 1 - 6x + 5 x  R
 HD giải: Điều kiện 6x - 5 > 0  x >

13


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

Ta có g'(x) = 7x - 1.ln7 - 6 nên g'(x) = 0  xo = 1 + log7
Bảng biến thiên:
x
g'(x)
g (x)





xo
0

-

6
ln7

+

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 chỉ có không quá hai nghiệm phân biệt
Mà f(1) = f(2) = 0 nên x = 1, x = 2 là các nghiệm của phương trình.

ET

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a.log2 x + log3 (2x - 1) + log5 (7x - 9) = 3
9
 HD giải: Điều kiện x >
7

Xét hàm số f(x) = log2 x + log3 (2x - 1) + log5 (7x - 9) với x >

9
7

b. x3.log3 x = 27
 HD giải: x > 0

ATH
S.N

1
2
7
9
+

+
> 0 x >
x.ln2 (2x - 1)ln3 (7x - 9).ln5
7
9
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên ( ; +) nên phương trình f(x) = 3 nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất.
7
Mà f(2) = 3 nên phương trình đã cho có nghiệm x = 2
Ta có f '(x) ==

Viết phương trình đã cho dưới dạng log3 x Xét hàm số f(x) = log3 x -

27
với x > 0
x3

27
=0
x3

1
81
+
> 0 x > 0 nên hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; +) nên phương trình f(x) = 0
xln3 x4
nếu có nghiệm sẽ có nghiệm duy nhất. Mà f(3) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 3

TM

Ta có f '(x) =

x2 + x

2

x2 + x
x2 + x

VIE

c. 2
+ log2 x = 2x + 1
 HD giải: x > 0
x2 + x
x(x + 1)
PT  2
+ log2
= 2x + 1
x+1

+ log2 (x2 + x) - log2 (x + 1) = 2x + 1

2
+ log2 (x2 + x) = 2x + 1 + log2 (x + 1)
Đặt f(t) = 2t + log2 t ( t > 0)
1
Ta có f '(t) = 2t ln2 +
> 0 t > 0
t.ln2
Nên hàm số y = f(t) luôn đồng biến trên (0; + ) Lại có f(x2 + x) = f(x + 1)

x = 1 (nhận)
 x2 + x = x + 1  x = -1 (loại) . Vậy x = 1 là nghiệm phương trình.

BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1) 3x - 4 + x = 0
2) (0,5)x = 2x + 8
2x
5) 3 + x - 66 = 0
6) 3x + 4x = 5x + 2
9) 2x = 3x - 1
10) 4x - 2x + 1 + x - 1 = 0

3) 3x + 4x = 5x
7) 22x - 3x = 7
11) 1 + 8x + 4x = 9x

4) ( 15)x + 1 = 4x
8) 9x = 8x + 1
12) 3x = 5 - 2x
14


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm
13) 5x = 3x + 2
16) 2x + 5x = 7x
20) 2x + 5x + 3x = 10x

Thầy Lâm Phong

14) 1 + (3 + 8)x + (3 - 8)x = 7x

15) 76 - x = x + 2
17) 9.3x - 7x = 5.4x
18) 30,5x = 2x - 1
19) 1 + 80,5x = 3x
x
x
2x + 1
x+1
x+1
x+1
21) 25 + 10 = 2
22) 5
+7
= 13

23) 4.3x - 6x + 2 - x = 0
24) ( 2 + 3)x + ( 2 + 3)x = 2x
25) log7 (x + 2) = 6 - x
2
26) log(x - 2) = - x + 2x + 3
27) x + log(x2 - x - 6) = 4 + log(x + 2)
log2 9

28) log(x2 - 6x + 5) = log(x - 1) + 6 - x

29) x

= x2 .3

log2 x

log2 3

30) (1 + x)(2 + 4x) = 3.4x

-x

log7 11

log7 x

log2 x

ET

31) log2 (1 + cosx) = 2cosx 32) 5x + 2x = 3x + 4x
33) x
+3
= 2x
x
2 -1
34) log2
= 1 + x - 2x 35) 5x + 3x + 2x = 28x - 18 36) (4x + 2)(2 - x) = 6
|x|
x
131x
14 3
25
37) 5x + 2x = 2 - + 44log2 (2 - 5x +
) 38) 4x + 2x =

x - 9x2 + x + 2
3
3
3
3
39) log(x2 - x - 12) + x = log(x + 3) + 5
40) x(log 5 - 1) = log(2x + 1) - log6
1
1
41) 3x2 - 2x3 = log2 (x2 + 1) - log2 x
42) (1 + ).log3 + log2 = log(27 - 3x )
2x
log(9 - 2x)
43) log
(x2 - 2x - 2) = log(2 + 3) (x2 - 2x - 3)
44)
=1
2 2+ 3
3-x
log2 x

ATH
S.N

45) (2 + 2)
+ x(2 - 2)
= 1 + x2 46) 5logx - 3logx - 1 = 3logx + 1 - 5logx - 1
47) log4 (log2 x) + log2 (log4 x) = 2
48) log2 x + log3 x + log4 x = log20 x
2

2
49) log2 (x - x - 1).log3 (x + x + 1) = log6 (x - x2 - 1)

DẠNG 6: TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO - ĐẶC BIỆT.

VIE

TM

Ở chương trình trung học phổ thông hiện hành thì 5 dạng toán đã đề cập ở trên là phù hợp với học
sinh nhất từ những dạng đơn giản đến phức tạp. Đối với dạng 6, chuyên đề dành một chút " toán giải trí " và
mở mang " tư duy " cho các bạn học sinh bằng những phương pháp giải " không giống ai " ! Mời các bạn
thử sức.
 Sử dụng phương pháp đối lập ( đánh giá 2 vế của phương trình )
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x2 + 6x + 7 + 5x2 + 10x + 21 = 5 - 2x - x2
 HD giải: điều kiện x  R
Ta có Vế Trái = 3x2 + 6x + 7 + 5x2 + 10x + 21
Trong đó 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4  4 = 2
và 5x2 + 10x + 21 = 5(x + 1)2 + 16  16 = 4
Vậy Vế Trái  2 + 4 = 6
Mặt khác, vế phải = 5 - 2x - x2 = 6 - (x + 1)2  6
Vậy vế trái chỉ bằng vế phải  VT = VP = 6  x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình 32x + 2 + 3x4 - 6x2 + 7 = 1 + 2.3x + 1
 HD giải: điều kiện x  R
Ta có pt  32x + 2 + 3x4 - 6x2 + 7 = 1 + 2.3x + 1
2(x + 1)

 3x4 - 6x2 + 7 = 1 + 2.3x + 1 - 3

Ta có Vế Trái = 3x4 - 6x2 + 7 = 3(x2 - 1)2 + 4  2

Về Phải = 1 + 2.3x + 1 - 3

2(x + 1)

= 2 - (3x + 1 - 1)2  2
x2 - 1 = 0
Vậy phương trình chỉ có nghiệm  VT = VP = 2   x + 1
 x = -1
-1=0
3
Ví dụ 3: Giải phương trình log22 (x - 1) + 3x4 - 54x2 + 247 = log2 (2x2 - 4x + 2)
 HD giải: x - 1 > 0  x > 1
Ta có PT  3x4 - 54x2 + 247 = log2 (2x2 - 4x + 2) - log22 (x - 1)

15


Kiến Thức - Kỹ Năng - Kinh Nghiệm

Thầy Lâm Phong

Ta có VT = 3x4 - 54x2 + 247 = 3(x2 - 9)2 + 4  2
VP = log2 (2x2 - 4x + 2) - log22 (x - 1)
= log2[2(x - 1)2] - log22 (x - 1)
= 1 + 2log2(x - 1) - log22 (x - 1)
= 2 - [log2 (x - 1) - 1]2  2
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm  VT = VP = 2
x =  3
x 2 - 9 = 0
 log (x - 1) - 1 = 0  

 x = 3 (nhận vì x > 1)

x - 1 = 2
2
x2 - x

ET

Ví dụ 4: Giải phương trình 2x - 1 - 2
= (x - 1)2
 HD giải: Ta có VP = (x - 1)2  0  x2 - 2x + 1  0  x2 - x  x - 1
x2 - x
Mặt khác VT = 2x - 1 - 2
 0 (do 2 > 1, hàm đồng biến vì x2 - x  x - 1 )
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm  VT = VP = 0  x = 1

ATH
S.N

 Dạng au - av = v - u  au + u = av + v  dùng tính đơn điệu của hàm số.
x2 + 3x + 2
2x2 + 5x + 3
Ví dụ 1: Giải phương trình 5
-5
= (x + 1)2
 HD giải: Đặt u = x2 + 3x + 2 ; v = 2x2 + 5x + 3 thì v - u = (x + 1)2
PT thành 5u - 5v = v - u  5u + u = 5v + v.
Xét f(t) = 5t + t t  R có f '(t) = 5t ln5 + 1 > 0 t  R
 f(t) luôn đồng biến trên R, mà f(u) = f(v)  u = v  (x + 1)2 = 0  x = -1
Dạng loga u - loga v = v - u  loga u + u = loga v + v  dùng tính đơn điệu của hàm số.

x2 + x + 3
Ví dụ 2: Giải phương trình log3
= x2 + 3x + 2
2x2 + 4x + 5
x2 + x + 3
 HD giải: Điều kiện 2
> 0  x  R
2x + 4x + 5
Đặt u = x2 + x + 3; v = 2x2 + 4x + 5 thì v - u = x2 + 3x + 2
PT thành log3 u - log3 v = v - u  log3 u + u = log3 v + v
1
Xét f(t) = log3 t + t t > 0 có f '(t) =
+ 1 > 0 t > 0
t.ln3
x = -1
 f(t) luôn đồng biến trên (0; +) mà f(u) = f(v)  u = v  x2 + 3x + 2 = 0  
x = -2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Giải các phương trình sau:
1 - x2
1 - 2x
2
2
x2 + x + 9
1 1
2
2
a) log2 2
=x -5
b) 2log9 x = log3 x.log3 ( 2x + 1 - 1
c) 2 x - 2 x = 2x + x + 4

2 x
log5 x3
log5 x2
log5 7
2x - 1
2x + 1
2
2
d) log3
= 3x - 8x + 5
e) 2
+2
=x+x
f) log2
= 2x - 6x + 2
(x - 1)2
(x - 1)2

VIE

TM



3x - x2 - 1

g) log3 ( x2 - 3x + 2 + 2) + (0,2)

=2

16