Đề thi minh họa kỳ thi THPT quốc gia môn toán năm 2016 Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

ĐỀ THI MINH HỌA KÌ THI THPTQG 2016 – MOON.VN
Thời gian làm bài: 180 phút
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO bài giảng và LỜI GIẢI CHI TIẾT các bài tập chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 + m, ( C ) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm với với m = 1 .
b) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tại A, B, C sao cho OA = 5 BC (trong đó O là gốc tọa độ và A là
điểm cực đại).
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình

( 2sin x − 1)( cos 2 x + sin x + 1) =

3 + 2 cos x.

3 sin x − sin 2 x

b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z +

10
= 6 − 2i.
z

Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình log 3 ( x − 1)2 + log 3 (2 x − 1) = 2.
Câu 4 (1,0 điểm). Giải phương trình nghiệm không âm
2

Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ∫
1

x + 2 ln x

( x + 2)

2

x ( 6 x − 5 ) = x3 + 3x 2 − 2 x − 1

( x ∈ ℝ) .

dx.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, BC = a 3 . Hai mặt phẳng
( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với đáy. Điểm I thuộc đoạn SC sao cho SC = 3IC. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SB biết AI vuông góc với SC.

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD cân có 2 đường chéo AC
vuông góc với BD , điểm C ( 2; 0 ) , biết AD = 3BC và trực tâm tam giác ABD là H ( 0;6 ) . Tìm toạ độ các

đỉnh A, B của hình thang ABCD.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; −1; 0), B (0;0; −1), C (2;1; −2) và
mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Tìm tọa độ điểm D thuộc (P) sao cho A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ giác
có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Câu 9 (0,5 điểm). Một lớp học có 50 học sinh gồm 20 học sinh nam và 30 học sinh nữ. Tính xác suất để
chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất một học sinh nam.

Câu 10 (1,0 điểm). Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a 3 + b3 + c 3 = 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

a 2 + b2
ab ( a + b )

4

+

b2 + c2
bc ( b + c )

4

+

c2 + a2
ca ( c + a )

4

.

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (2,0 điểm).
a) Học sinh tự làm.
 x = 0 ⇒ y = m2 + m
b) Ta có: y ' = 4 x − 4mx = 0 ⇔  2
x = m
3

(

) (

Để hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ m > 0 . Khi đó gọi A ( 0; m 2 + m ) ; B − m ; m ; C

)

m; m .

 m =0
Ta có: OA = m 2 + m = 5 BC ⇔ m 2 + m = 10 m ⇔ 
⇒m=4
 m = 2
Vậy m = 4 là giá trị cần tìm.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Điều kiện xác định: 3 sin x − sin 2 x ≠ 0 ⇔ sin x

(

)

3 − 2 cos x ≠ 0 .

Phương trình đã cho tương đương với ( 2 sin x − 1)( cos 2 x + sin x + 1) = sin x ( 3 − 4 cos 2 x )

⇔ ( 2sin x − 1)( cos 2 x + sin x + 1) = sin x ( 4 sin 2 x − 1) ⇔ ( 2sin x − 1) ( cos 2 x − 2sin 2 x + 1) = 0 .

1
π
5π
⇔ x = + k 2π; x =
+ k 2π
2
6
6
π
5π
Đối chiếu đkiện ta thấy x = + k 2π không thỏa mãn điều kiện, x =
+ k 2π thỏa mãn đk.
6
6
π kπ
• cos 2 x − 2sin 2 x + 1 = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = +
(thỏa mãn)
4 2
π kπ
5π
Vậy phương trình có các nghiệm là: x = +
và x =
+ k 2π , k ∈ ℤ .

4 2
6
10
b) Đặt z = a + bi ( a; b ∈ R ) ta có: a − bi +
= 6 − 2i ⇔ a 2 + b 2 + 10 = ( a + bi )( 6 − 2i )
a + bi
a 2 + b 2 + 10 = 6a + 2b
a = 3b
⇔ b = 1; a = 3
⇔ a 2 + b 2 + 10 = 6a + 2b + ( 6b − 2a ) i ⇔ 
⇔ 2
a
=
3
b
10
b
+
10
=
20
b


Vậy z = 3 + i là số phức cần tìm.
• sin x =

Câu 3 (0,5 điểm).
x ≠ 1
x −1 ≠ 0


Điều kiện: 
⇔
1
2 x − 1 > 0
 x > 2
PT ⇔ log 3 ( x − 1) 2 + log 3 (2 x − 1) 2 = 2 ⇔ ( x − 1) 2 (2 x − 1) 2 = 9

−1

2 x 2 − 3x − 2 = 0
x = (loai )
 ( x − 1)(2 x − 1) = 3

⇔
⇔ 2
⇔
2

 ( x − 1)(2 x − 1) = −3  2 x − 3x + 4 = 0
x = 2
Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.
Câu 4 (1,0 điểm).
x = 0
 x ≥ 0

Điều kiện 
⇔
5.
x ≥

 x ( 6 x − 5 ) ≥ 0
6


Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

5
phương trình đã cho tương đương với
6
6x2 − 5x −1
x ( 6 x − 5 ) − 1 = x3 + 3x 2 − 2 x − 2 ⇔
= x3 + 3x 2 − 2 x − 2
x ( 6 x − 5) + 1

Xét x = 0 không thỏa mãn phương trình ban đầu. Với x ≥

x = 1
6x +1

( x − 1)( 6 x + 1) = x − 1 x 2 + 4 x + 2 ⇔ 
⇔
( )(
) 
x ( 6 x − 5) + 1


 x ( 6 x − 5) + 1

Nhận xét x ≥

5
⇒
6

6x + 1
x ( 6 x − 5) + 1

= x2 + 4x + 2

≤ 6 x + 1 ≤ 6 x + 1 + ( x − 1) = x 2 + 4 x + 2

(1)

( 2) .

2

  5
 x ( 6 x − 5 ) = 0
 x ∈ 0; 
⇔   6  ⇔ x ∈∅ ⇒ (2) không xảy ra dấu đẳng thức.
Hơn nữa xét hệ 
x
1
0

−
=


x = 1
Phương trình (1) vô nghiệm, vậy bài toán có nghiệm duy nhất x = 1 .
Câu 5 (1,0 điểm).
2

Hướng dẫn: Tách thành 2 tích phân I = ∫
1

x + 2 ln x

( x + 2)

2

2

dx = ∫
1

2

x

( x + 2)

2

dx + 2 ∫

Dễ dàng tính được các tích phân thành phần, thu được kết quả I =

1

ln x

( x + 2)

2

dx = I1 + I 2

1
1
ln 2 − .
2
6

Câu 6 (1,0 điểm).
S

D

A
E

I

O
H
B

M

C

+) Gọi O = AC ∩ BD , Vì ( SAC ) ⊥ ( ABCD),( SBD) ⊥ ( ABCD) ⇒ SO ⊥ ( ABCD) .
AC =

AB 2 + BC 2 = a 2 + 3a 2 = 2 a ⇒ OC = a.
CI
CA
Do AI ⊥ SC ⇒ ∆SOC & ∆AIC đồng dạng ⇒
=
⇔ SC = a 6
CO CS
1
15
+) SO = SC 2 − OC 2 = a 5, S ABCD = a.a 3 = 3a 2 ⇒ VSABC = SO.S ABCD = a 3
3
3

+) Qua I kẻ đường thẳng song song với SB cắt BC tại M ⇒ SB // (AIM)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

⇒ d ( SB , AI ) = d ( SB , ( AIM )) = d ( B , ( AIM )) =
Hạ IH ⊥ ( ABCD ) ⇒ IH =

+) Ta có : IM =

⇒ cos MAI =

SO
5
=a
,
3
3

SB SC
2
=
= a ; AM =
3
3
3

S∆ABM =

Facebook: LyHung95

3VI . ABM
.
S ∆AMI

a2 3
1
a3 15
⇒ VI . ABM = IH .S∆ABM =
3
3
27

AB 2 + BM 2 = a

7
, AI =
3

AC 2 − CI 2 = a

10
3

3 70
154
1
55
⇒ sin MAI =
⇒ S AMI = AM . AI sin MAI = a 2
28
28
2
12

⇒ d ( B, ( AIM )) =

3VI . ABM
4a
4a
=
⇒ d ( SB, AI ) =
S ∆AMI
33
33

Câu 7 (1,0 điểm).
Do ABCD là hình thang cân nên IBC là tam giác vuông cân tại
I suy ra ICB = 450 .
 BH ⊥ AD
Ta có: 
⇒ BH ⊥ BC ⇒ tam giác HBC vuông cân
 AD / / BC
tại B. Xét tam giác HBC vuông cân có đường cao BD do đó H
và C đối xứng nhau qua BD ⇒ I (1;3)
Phương trình đường thẳng BD là: x − 3 y + 8 = 0
1

2 − 1 = ( x A − 1)

1
IC BC 1

3

Lại có
=
= ⇒ IC = IA ⇔ 
⇒ A ( 4; −6 )
3
IA AD 3
0 − 3 = 1 ( y − 3 )
A

3
t = 4 ⇒ B ( 2; 4 )
2
Gọi B ( 3t − 8; t ) ta có: IB = IC ⇔ 10 ( t − 3) = 10 ⇔ 
t = 2 ⇒ B ( −2; 2 )
Vậy A ( 4; −6 ) ; B ( 2; 4 ) hoặc B ( −2; 2 ) là các điểm cần tìm.

Câu 8 (1,0 điểm).
+) Gọi D ( a; b; c ) ta có: D ∈ ( P ) ⇒ a + 2b − c = −5 (1)
+) AC = (1; 2; −2 ) , BD = ( a; b; c + 1) : AC ⊥ BD ⇒ AC.BD = 0 ⇔ a + 2b − 2c − 2 = 0 ( 2 )
+) Do 4 điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ giác nên A,B,C,D đồng phằng.
+) Ta có: AB = ( −1;1; −1) , AC = (1; 2; −2 ) , AD = ( a − 1; b + 1; c ) ⇒  AB; AC  . AD = 0

⇔ −3 ( b + 1) − 3c = 0 ⇔ b + c = −1 ( 3)
a + 2b − c = −5 a = −24


+) Từ (1) ; ( 2 ) ; ( 3) ⇒ a + 2b − 2c = 2 ⇔ b = 6 ⇒ D ( −24; 6; −7 )
b + c = −1
c = −7



Vậy D ( −24; 6; −7 ) là điểm cần tìm.

Câu 9 (0,5 điểm).
Gọi A là biến cố : Chọn 3 học sinh trong lớp trong đó có ít nhất một học sinh nam.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Khi đó A là biến cố: Chọn đươc 3 học sinh trong đó không có học sinh nam.
3
Chọn 3 học sinh bất kỳ có : C50
cách chọn

( )

3
Chọn 3 học sinh nữ có : C30
cách chọn. Khi đó p A =

( )

Do đó: p ( A ) = 1 − p A =

C303
29
=

.
3
C50 140

111
.
140

Câu 10 (1,0 điểm).
a2 + b2
≥ 2 , áp dụng điều này ta có
ab
 1
2
2
1
1 
+
+
= 2  4 + 4 + 4  = 2Q .
4
4
y
z 
(b + c ) ( c + a )
x

Ta có ( a − b ) ≥ 0 ⇒
2

P≥

2

(a + b)

4

2

2
2
4
1
1
1 1 1
1
1  1 1  1 1 1  
1 1 1 1
Lại có 4 + 4 + 4 ≥  2 + 2 + 2  ≥   + +   =
 + +  .
x
y
z
3 x
y
z  3  3  x y z  
27  x y z 

1 1 1

Do + + ≥
x y z

4

3

3
9
1 1 1 1
94
243
≥
⇒Q≥
=
.
 + +  ≥
4
4
27  x y z  27 ( x + y + z )
xyz x + y + z
( 2a + 2b + 2c )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a 3 + 2 ≥ 3a; b3 + 2 ≥ 3b; c3 + 2 ≥ 3c ⇒ a + b + c ≤
Dẫn đến Q ≥

a 3 + b3 + c3 + 6
=3.
3

3
3
3
⇒ P ≥ ; P = ⇔ a = b = c = 1.
16
8
8

Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016