Luận án Áp dụng thống kê FermiDirac biến dạng q và phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu một số tính chất nhiệt động, tính chất từ của kim loại và màng mỏng kim loạ

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Khi nghiên cứu nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại, nhiều kết quả tính toán lý
thuyết không phù hợp với kết quả thực nghiệm. Điều này có thể là do trong tinh thể còn tồn tại
tạp chất, sai hỏng mạng hoặc do các tính toán lý thuyết được xây dựng đối với các mô hình gần
đúng.
Các phương pháp gần đúng trong tính toán lý thuyết có những giới hạn sử dụng của chúng,
chẳng hạn như trong lý thuyết nhiễu loạn không dễ dàng nhận thấy một số hiện tượng vật lý như
sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha trạng thái… Điều đó đòi hỏi phải có những phương
pháp mới không nhiễu loạn như phương pháp phiếm hàm mật độ, phương pháp hàm Green,
phương pháp ab initio, phương pháp đại số biến dạng, phương pháp thống kê mômen,… mà
chúng bao hàm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn và giữ được các yếu tố phi tuyến
của lý thuyết.
Trong thời gian gần đây, nghiên cứu ứng dụng đại số biến dạng đã thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu trúc toán học mới của đại số biến dạng phù hợp với
nhiều lĩnh vực của vật lý lý thuyết như thống kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn…
Lý thuyết đại số biến dạng đã có những ứng dụng trong lý thuyết trường và hạt cơ bản, đặc biệt là
trong vật lý hạt nhân. Lý thuyết đại số biến dạng đã thành công trong giải thích các vấn đề liên
quan đến boson. Trong luận án này, chúng tôi lựa chọn lý thuyết đại số biến dạng để nghiên cứu
hệ fermion. Cụ thể là chúng tôi dùng lý thuyết này để nghiên cứu nhiệt dung và độ cảm thuận từ
của khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiệt độ thấp.
Nghiên cứu màng mỏng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu do những ứng dụng
to lớn của nó, khi vật liệu có kích thước nanomet thì tính chất của nó khác biệt so với vật liệu
khối. Ngày nay, màng mỏng được sử dụng rộng rãi trong khoa học, công nghiệp và đời sống hàng
ngày như công cụ cắt, cấy ghép y tế, các yếu tố quang học, mạch tích hợp, thiết bị điện tử...
Trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của màng mỏng kim loại có nhiều phương pháp lý thuyết
khác nhau. Mặc dù các phương pháp đó đã thu được một số kết quả nhất định nhưng chúng cũng
còn một số các hạn chế nhất là chúng chưa xem xét đầy đủ đến hiệu ứng phi điều hòa của dao
động mạng. Trong những năm gần đây, phương pháp thống kê mômen (PPTKMM) đã thành
công trong nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể ở dạng khối khi tính đến
ảnh hưởng phi điều hòa của dao động mạng. Trong luận án này, lần đầu tiên chúng tôi áp dụng

PPTKMM để nghiên cứu tính chất nhiệt động của màng mỏng kim loại. Tuy nhiên, PPTKMM
không nghiên cứu được tính chất nhiệt động và tính chất từ của khí điện tử tự do trong kim loại ở
vùng nhiệt độ thấp.
Với tất cả những lí do như đã trình bày ở trên, chúng tôi mong muốn áp dụng lý thuyết
đại số biến dạng q để nghiên cứu nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim
loại ở nhiệt độ thấp và áp dụng lý thuyết thống kê mômen để nghiên cứu tính chất nhiệt động của
màng mỏng kim loại. Đề tài luận án là “Áp dụng thống kê Fermi-Dirac biến dạng q và phương
pháp thống kê mômen trong nghiên cứu một số tính chất nhiệt động, tính chất từ của kim loại
và màng mỏng kim loại ”.
1


2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Áp dụng thống kê Fermi-Dirac (TKFD) biến dạng q nghiên cứu nhiệt dung và độ cảm thuận
từ của khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiệt độ thấp, xây dựng các biểu thức giải tích về nhiệt
dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại phụ thuộc vào tham số biến dạng q.
Dùng PPTKMM nghiên cứu tính chất nhiệt động (TCNĐ) của màng mỏng kim loại
(MMKL), xây dựng biểu thức tính năng lượng tự do, xây dựng lí thuyết xác định các đại lượng
nhiệt động (ĐLNĐ) của MMKL, áp dụng cho MMKL có các cấu trúc lập phương tâm diện
(LPTD) và lập phương tâm khối (LPTK). Ảnh hưởng của hiệu ứng bề mặt, hiệu ứng kích thước,
sự phụ thuộc vào nhiệt độ, áp suất nên TCNĐ của MMKL cũng đã được xét đến.
Từ các kết quả giải tích thu được áp dụng tính số cho một số kim loại kiềm (KLK), kim loại
chuyển tiếp (KLCT), MMKL có các cấu trúc LPTD và LPTK, so sánh kết quả lí thuyết với thực
nghiệm và các lý thuyết khác để thấy được mức độ tin cậy của phương pháp đã chọn.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi áp dụng hai phương pháp:
Phương pháp đại số biến dạng, căn cứ vào đó để xây dựng TKFD biến dạng q, áp dụng
thống kê này vào nghiên cứu nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại.
PPTKMM được sử dụng để xây dựng lý thuyết về tính chất nhiệt động cho MMKL có các
cấu trúc LPTD và LPTK. Chúng tôi khai triển đến gần đúng bậc ba, bậc bốn của thế năng tương

tác theo độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng để xác định năng lượng tự do Helmholtz của hệ hạt
trong MMKL có các cấu trúc LPTD và LPTK. Từ đó xây dựng các biểu thức giải tích để xác định
các ĐLNĐ của MMKL như hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số nén đoạn nhiệt, nhiệt
dung đẳng áp, nhiệt dung đẳng tích, mô đun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng có kể đến ảnh
hưởng của hiệu ứng phi điều hòa, hiệu ứng bề mặt, hiệu ứng kích thước ở các nhiệt độ và áp suất
khác nhau.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
 Kết quả nghiên cứu hệ các hạt Fermion bằng thống kê Fermi – Dirac biến dạng đã tìm
được nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiệt độ thấp. Từ giá
trị chung của tham số biến dạng q cho mỗi nhóm kim loại, chúng tôi tính nhiệt dung cho một loạt
các KLK và KLCT.
 Bước đầu xây dựng lý thuyết thống kê mômen (TKMM) để tính các đại lượng nhiệt động
của MMKL; hệ số dãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số nén đoạn nhiệt, nhiệt dung riêng
đẳng tích và đẳng áp, mô đun đàn hồi đẳng nhiệt và đoạn nhiệt.
 Khảo sát sự phụ thuộc của các đại lượng nhiệt động vào bề dày, nhiệt độ và áp suất của
màng mỏng các kim loại Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb, Ta.
 Cho phép tiên đoán nhiều thông tin về các TCNĐ của các MMKL ở áp suất khác nhau,
cũng như các vật liệu màng mỏng khác như Ni, Si, CeO2, ...
 Sự thành công của luận án đã góp phần hoàn thiện và phát triển lý thuyết TKMM trong
nghiên cứu TCNĐ của MMKL. Tuy nhiên cũng có thể áp dụng lí thuyết này để nghiên cứu tính
chất đàn hồi cho các MMKL cũng như các màng mỏng có cấu trúc tinh thể khác.
5. Những đóng góp mới của luận án
Xây dựng được các biểu thức giải tích về nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự
do trong kim loại theo lý thuyết biến dạng.
Phát triển lý thuyết TKMM chúng tôi nghiên cứu TCNĐ của MMKL. Xây dựng được các
biểu thức giải tích xác định các ĐLNĐ của MMKL có các cấu trúc LPTD (Al, Au, Ag, Cu) và
LPTK (Fe, W, Nb, Ta) phụ thuộc vào nhiệt độ, bề dày và áp suất.
2

Tính số các biểu thức giải tích thu được, so sánh các kết quả lý thuyết thu được với các kết quả
lý thuyết khác và với TN nhằm kiểm tra tính đúng đắn và hiệu quả của lý thuyết.
Luận án cũng gợi mở cho chúng ta phát triển lý thuyết TKMM nghiên cứu tính chất đàn hồi
cho các màng mỏng này. Hơn nữa, lý thuyết này có thể phát triển trong việc nghiên cứu các
TCNĐ và đàn hồi cho các đối tượng vật liệu màng mỏng khác như màng mỏng được gắn trên đế,
màng mỏng ô xít, bán dẫn…
6. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận án được chia làm 4
chương và 11 mục. Nội dung luận án được trình bày trong 132 trang với 37 bảng số, 60 hình vẽ
và đồ thị, 121 tài liệu tham khảo.
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1.1. Phương pháp đại số biến dạng
Đối xứng là đặc tính phổ biến trong nhiều hệ vật lý, ngôn ngữ toán học của lý thuyết đối
xứng là lý thuyết nhóm. Lý thuyết đối xứng lượng tử lấy nhóm lượng tử làm cơ sở là một hướng
nghiên cứu đang phát triển mạnh trong thời gian gần đây và thu hút được sự quan tâm trong nhiều
lĩnh vực vật lý lý thuyết. Lý thuyết nhóm Lie như là công cụ toán học của lý thuyết đối xứng,
đóng vai trò quan trọng trong việc thống nhất và tiên đoán các hiện tượng vật lý. Nói riêng, nhóm
Lie đã trở thành công cụ chủ yếu trong lý thuyết trường và hạt cơ bản. Để ứng dụng trong việc
nghiên cứu nhiều bài toán của vật lý lý thuyết, V. G. Drinfeld đã lượng tử hóa nhóm Lie và từ đó
nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay còn gọi là đại số lượng tử. Cấu trúc đại số của nhóm lượng
tử được mô tả một cách hình thức như là biến dạng q của đại số bao U(G) của đại số Lie G, sao
cho trong trường hợp giới hạn của tham số biến dạng q → 1 thì đại số bao U(G) trở về đại số Lie
G. Như vậy đại số lượng tử có thể xem như sự biến dạng của đại số Lie thông thường.
Trong mấy thập kỷ gần đây việc nghiên cứu đại số lượng tử đã phát triển mạnh mẽ và thu
được nhiều kết quả tốt đẹp, chúng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết. Các
cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như lý thuyết tán xạ
ngược lượng tử, mô hình giải được chính xác trong thống kê lượng tử, lý thuyết trường
Conformal hữu tỷ, lý thuyết trường hai chiều với thống kê phân số… Lý thuyết này đã đạt được

khá nhiều thành công trong việc nghiên cứu và giải thích các vấn đề liên quan đến các hạt Boson.
Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose – Einstein trên cơ sở đặc điểm của
hệ các hạt đồng nhất Bose là số hạt ở trong một trạng thái có thể tùy ý như photon, π-meson, Kmeson... Ông đã tiên toán có tồn tại một trạng thái đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose –
Einstein. Từ thực nghiệm các nhà vật lý đã tìm được nhiệt độ chuyển pha của một số vật liệu siêu
dẫn. Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra trạng thái ngưng tụ với kim
loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giải Nobel, phát minh này đã mở ra các công nghệ mới
cho khoa học.
3


Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vi mô, Sommerfeld là người đầu
tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử dụng thống kê Fermi – Dirac
thay cho thống kê cổ điển Maxwell – Boltzmann, đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các
hạt Fermion) như electron, proton, neuton, positron… thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một
mức năng lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau), hạn chế
này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli, các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Nhóm
lượng tử và đại số lượng tử được khảo sát thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hòa
biến dạng. Lý thuyết biểu diễn của đại số lượng tử với một tham số biến dạng dẫn đến sự phát
triển của đại số dao động biến dạng q trong hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng. Đại
số lượng tử SU(2)q phụ thuộc vào tham số lần đầu tiên được đưa ra bởi N. Y. Reshetikhiu khi
nghiên cứu phương trình Yang-Baxter lượng tử để khảo sát những hệ khả tích lượng tử khác.
Việc nghiên cứu dao động tử điều hòa biến dạng được kích thích thêm do sự quan tâm ngày
càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê Bose-Einstein và thống kê
Fermi-Dirac, đặc biệt là thống kê para Bose và thống kê para Fermi với tư cách là những thống kê
mở rộng. Các hạt thống kê para được gọi là các hạt para. Kể từ khi xuất hiện lý thuyết thống kê
para đã có nhiều cố gắng mở rộng các hệ thức giao hoán chính tắc. Tuy nhiên cho đến nay cách
mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của sự phát minh ra đại số lượng tử. Một điều thú vị
là việc nghiên cứu các dao động tử biến dạng đã chỉ ra rằng dao động tử para boson có thể xem
như sự biến dạng của dao động tử boson. Đại số para Bose cũng có thể xem như sự biến dạng của
đại số Heisenberg. Mặt khác, một điều tự nhiên nảy sinh ra là nghiên cứu các thống kê đặc biệt

nói trên trong khuôn khổ của nhóm lượng tử thì dẫn đến các thống kê para biến dạng lượng tử.
Tính các phân bố thống kê của chúng, kết quả thu được sẽ trở về thống kê quen thuộc: Thống kê
Bose-Einstein hoặc thống kê Fermi-Dirac trong trường hợp đặc biệt.
Đối tượng là nghiên cứu nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong KLK và
KLCT. Áp dụng với các hạt Fermion, với hy vọng rằng nhóm lượng tử sẽ giúp chúng tôi đưa ra
được những mô hình vật lý tổng quát hơn, có những bổ sung chính xác với TN và việc nghiên
cứu hạt cơ bản có hiệu quả hơn là sử dụng khái niệm nhóm thông thường.
1.2. Phương pháp thống kê mômen
Phương pháp thống kê mômen (PPTKMM) là một trong các phương pháp vật lý hiện đại
của vật lý thống kê. Về nguyên tắc có thể áp dụng PPTKMM để nghiên cứu các tính chất cấu
trúc, nhiệt động, đàn hồi, khuếch tán, chuyển pha,… của các loại tinh thể khác nhau như kim loại,
hợp kim, tinh thể và hợp chất bán dẫn, chất bán dẫn có kích thước nanô, tinh thể ion, tinh thể
phân tử, tinh thể khí trơ, siêu mạng, tinh thể lượng tử, màng mỏng, grafen với các cấu trúc lập
phương và lục giác trong khoảng rộng nhiệt độ từ 0K đến nhiệt độ nóng chảy và dưới tác dụng
của áp suất. PPTKMM đơn giản, rõ ràng về mặt vật lý. Một loạt tính chất cơ nhiệt của tinh thể
được biểu diễn dưới dạng các biểu thức giải tích trong đó có tính đến các hiệu ứng phi điều hoà
và tương quan của các dao động mạng. Có thể dễ dàng tính số biểu thức giải tích của các đại
lượng cơ nhiệt. Không cần phải sử dụng sự làm khớp và lấy trung bình như phương pháp bình
phương tối thiểu. Các tính toán theo PPTKMM trong nhiều trường hợp phù hợp tốt với TN hơn
các phương pháp tính toán khác. Có thể kết hợp PPTKMM với các phương pháp khác như tính
toán từ nguyên lí đầu tiên, mô hình tương quan phi điều hoà của Einstein, phương pháp trường tự
hợp,…
4


Đối tượng nghiên cứu của luận án là TCNĐ của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK ở
các nhiệt độ và áp suất khác nhau, cụ thể đối với các MMKL: Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb, Ta.
Các kết quả thu được được so sánh với kết quả của một số phương pháp tính toán khác và kết quả
TN. Các kết quả tính toán thu được về sự phụ thuộc áp suất của các ĐLNĐ chưa có số liệu TN để
so sánh sẽ có tác dụng định hướng và tiên đoán cho TN.

1.2.1. Các công thức tổng quát về mômen
Xét một hệ lượng tử chịu tác dụng của các lực không đổi ai theo hướng toạ độ suy rộng Qi .
Toán tử Hamilton Hˆ của hệ có dạng:
ˆ =H
ˆ −
H
∑ai Qˆ i ,
0

(1.1)

trong đó Hˆ 0 là toán tử Hamilton của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
Bằng một số phép biến đổi, các tác giả đã thu được hai hệ thức quan trọng sau:
Hệ thức liên hệ giữa giá trị trung bình của toạ độ suy rộng Qˆ k và năng lượng tự do ψ của
hệ lượng tử khi có ngoại lực a tác dụng:
∂ψ
< Qˆ k > a = −
×
∂ak

(1.2)

Hệ thức liên hệ giữa toán tử bất kì Fˆ và toạ độ Qˆ k của hệ với toán tử Hamilton Hˆ :
1 ˆ ˆ 
F , Qk 
+
2 

a

− Fˆ

a

Qˆ k

a

=θ

∂ Fˆ
∂ak

a

∞

2m

B
 ih 
− θ ∑ 2m  ÷
m =0 (2 m)!  θ 

∂Fˆ (2 m )
∂ak

,

(1.3)

,

(1.4)

a

trong đó θ = k BT , B2m là hệ số Bernoulli.
Từ hệ thức (1.3) người ta viết được công thức truy chứng đối với mômen:
Kˆ n+1

a

= Kˆ n

a

Qˆ n +1

a

2m
∞
∂ < Kˆ n >a
B2 m  ih 
∂Kˆ n(2 m )
+θ
−θ ∑
 ÷
∂an+1

∂an +1
m =0 (2m)!  θ 

a

trong đó Kˆ n là toán tử tương quan cấp n:
1
Kˆ n = n−1 [...[Qˆ1 , Qˆ 2 ]+ Qˆ 3 ]+...Qˆ n ]+ .
1 4 42 4 43
2
n −1

1.2.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do
Xét một hệ lượng tử được đặc trưng bởi toán tử Hamilton Hˆ có dạng
ˆ =H
ˆ − αVˆ .
H
0

(1.5)

Ta có thể viết:
V

α

=−

∂ψ ( α )
∂α

,

(1.6)

dα .

(1.7)

hệ thức này tương đương với công thức
α

ψ ( α ) =ψ0 − ∫ V
0

5

α


CHƯƠNG 2
THỐNG KÊ FERMI - DIRAC BIẾN DẠNG q VÀ
ỨNG DỤNG
2.1. Thống kê Fermi – Dirac và thống kê Fermi – Dirac biến dạng q
2.1.1. Thống kê Fermi – Dirac
Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac, ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng
tử. Ta xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F (tương ứng với toán tử
Fˆ ) theo phân bố chính tắc lớn

ˆ =

F

{

(

)

}

ˆ − µN
ˆ F
ˆ
Tr exp −β H


,
ˆ
ˆ


Tr exp −β H − µ N



{

(

trong đó µ là thế hoá học, Hˆ là Hamiltonian của hệ, β =

}

)

(2.1)

1
với k B là hằng số Boltzmann và
kBT

T là nhiệt độ tuyệt đối của hệ. Khi chọn gốc tính năng lượng là E0 =

hω
thì
2

Hˆ n = hω n hay

Hˆ = ε Nˆ với ε là năng lượng của một lượng tử năng lượng, chú ý rằng

( )

ˆ n = f ( n) n .
TrFˆ = ∑ n Fˆ n , f N
n

Ta thu được số hạt trung bình trên cùng một mức năng lượng là
ˆ =
N

{

(

)

}

ˆ − µN
ˆ N
ˆ
Tr exp −β H


,
ˆ − µN
ˆ 
Tr exp −β H



{

(

)

}

(2.2)

(2.3)

Thực hiện tính toán (2.3), kết quả là số hạt trung bình ở một trạng thái lượng tử có dạng
Nˆ = n (ε ) = f (ε ) =

1
ε −µ

.

e k BT +1

(2.4)

Biểu thức (2.4) là hàm phân bố Fermi – Dirac. Nó biểu diễn xác suất tìm thấy điện tử trên
mức năng lượng ε tại nhiệt độ T.
2.1.2. Thống kê Fermi – Dirac biến dạng q
 Dao động tử fermion biến dạng q
q số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa bởi

[ x] q

q x − q −x
=
,
q − q −1

(2.5)

trong đó q là một tham số. Nếu x là một toán tử ta cũng có định nghĩa giống (2.5). Lưu ý q số là
bất biến đối với phép biến đổi nghịch đảo q → q −1 .
Trong giới hạn q →1 ( τ → 0 ), thì q số trở về số thông thường (toán tử)
lim [ x ] q = x.
q →1

6

(2.6)


Dao động tử fermion biến dạng q được đặc trưng bởi các toán tử sinh, huỷ hạt bˆ + , bˆ và
toán tử số hạt Nˆ = bˆ +bˆ . Trong biến dạng q của dao động tử fermion, các toán tử này thoả mãn hệ
thức phản giao hoán
ˆ ˆ + + qbˆ +bˆ = q −Nˆ .
bb

(2.7)

Khi q →1 (τ → 0 ), (2.7) trở về hệ thức phản giao hoán thông thường và khi đó,

{ }

bˆ +bˆ = Nˆ

q

{

}

ˆ ˆ + = Nˆ +1
, bb
.
q

(2.8)

Đối với fermion biến dạng q,

{ n} q

q −n − (−1) n q n
=
.
q + q −1

(2.9)

 Thống kê Fermi – Dirac biến dạng q
Để xây dựng thống kê Fermi – Dirac cho các dao động tử fermion biến dạng q, ta cũng xuất
phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của một đại lượng vật lý F (2.1). Số hạt trung bình trên

{ }

cùng một mức năng lượng được xác định theo (2.3), nhưng ở đây ta thay Nˆ bằng Nˆ q . Kết quả
thu được hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac biến dạng q

Nˆ

q

= n (ε ) = f q (ε , T ) =

e 2 β (ε − µ )

e β (ε − µ ) − 1
.
+ ( q − q −1 ) e β ( ε − µ ) − 1

(2.10)

2.2. Nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại
2.2.1. Nhiệt dung của khí điện tử tự do
Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung của kim loại có dạng

CV = γ T + β T 3 ,

(2.11)

trong đó phần tuyến tính γ T là nhiệt dung của khí điện tử tự do và phần phi tuyến β T 3 là nhiệt
dung của các ion dương ở nút mạng.
Tổng số điện tử tự do và năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T được xác
định bởi
∞

N = ∫ ρ (ε )n (ε )d ε ,

(2.12)

0

∞

E = ∫ ερ (ε ) n (ε )d ε .

(2.13)

0

Ở đây, n (ε ) là số hạt trung bình có năng lượng ε , ρ ( ε ) =

g(ε)V
4π h
2

3

( 2m )

3/ 2

ε 1/ 2 là mật độ

trạng thái với g ( ε ) là bội suy biến của mỗi mức năng lượng ε . Vì mỗi mức năng lượng ε ứng
với hai trạng thái s = ±

h
nên g ( ε ) = 2 s + 1 = 2.

2

7


Khi áp dụng thống kê Fermi – Dirac biến dạng q, số hạt trung bình có năng lượng ε là

n (ε ) được xác định như (2.10),
đặt α =

V ( 2m )

3/ 2

×Khi đó,

2π 2 h3

∞

e

N = α ∫ ε 1/2
0

e

ε −µ
2
k BT

+ ( q − q )e

0

e
e

2

ε −µ
k BT

−1
−1

∞

E = α ∫ ε 3/ 2

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

d ε = α I1/2 ,

−1

−1
−1

+ ( q − q )e

ε −µ
k BT

(2.14)

d ε = α I 3/2 .

(2.15)

−1

µ( T ). Để ý
µ 0 là thế hoá học ở nhiệt độ T = 0K và µ0 = lim
T →0

e

lim n ( ε ) = lim

T →0

T →0

e

2

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

−1

+( q −q

−1

)e

ε −µ
k BT

−1

( ε < µ0 ) ,
( ε > µ0 ) .

1
=
0

(2.16)

 Ta có thể nói rằng ở nhiệt độ T = 0K, các điện tử tự do lần lượt “lấp đầy” các trạng thái
lượng tử với năng lượng 0 < ε < µ0 và mức năng lượng giới hạn µ 0 gọi là mức Fermi. Có thể
xác định µ 0 theo hệ thức
µ0

2
N = α ∫ ε 1 / 2 d ε = αµ03 / 2 .
3
0

(2.17)

Từ (2.17), suy ra
2/3

3 N 
ε F = µ0 = 
÷
2 α 

2/ 3

h2  2 N 
=
 3π
÷
2m 
V 

(2.18)

.

Năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở T = 0K có dạng
µ0

E0 = α ∫ ε

e

3/ 2

0

e

ε −µ
2
k BT

ε −µ
k BT

µ0

−1
−1

+ ( q − q )e

ε −µ
k BT

d ε = α ∫ ε 3/ 2 d ε =
0

−1

Như vậy, năng lượng trung bình tính cho một điện tử tự do là

3
N µ0 .
5

(2.19)

3
µ0 . Điều này chứng tỏ ở
5

trạng thái cơ bản (T = 0K), khí điện tử tự do có năng lượng khác không.

 Ở nhiệt độ rất thấp và khác không, để xác định E và µ ta cần tính tích phân
∞

I = ∫ g (ε )
0

e
e

2

ε −µ
k BT

ε −µ
k BT

∞

−1

+ ( q − q −1 )e

8

ε −µ
k BT

d ε = ∫ g (ε ) f (ε )d ε ,

−1

0

(2.20)

trong đó g (ε ) = ε 1/ 2 hoặc g (ε ) = ε 3/ 2 . Đối với ε − µ : k B T và k B T rất nhỏ, kết quả thu
được
2
2

N = α I1/ 2 = α  µ 3 / 2 + µ −1/ 2 F ( q ) ( k BT ) + ××× ,
3


(2.21)

2
2

E = α I 3 / 2 = α  µ 5 / 2 + 3µ 1/ 2 F ( q ) ( k BT ) + ××× ×
5


với

∞
∞
∞
∞
−1 
( q) k
(−q) k
( q) k
( −q) k

F (q) = 2
q (q − 1)∑ 2 + (1 + q )∑ 2 − q ∑ 3 + ∑ 3
q +1 
k
k
k =1 k
k =1
k =1 k
k =1

(2.22)

.


(2.23)

Từ (2.21), (2.22), (2.17) và (2.19) suy ra kết quả gần đúng
2


F ( q ) ( k BT )
µ ≈ µ0 1 −
+
×
×
×
,
µ02



2
4
2

F ( q ) ( kBT )
75 F ( q ) ( k B T ) 
E ≈ E0 1 + 5
−
.
2
4
4
µ
µ


0
0



(2.24)
(2.25)

Như vậy, năng lượng toàn phần của khí điện tử tự do ở nhiệt độ T rất thấp gần đúng bằng
2
2



F ( q ) ( k BT )  3
F ( q ) ( k BT ) 
E ≈ E0 1 + 5
 = N µ0 1 + 5
×
µ02
µ02

 5



(2.26)

Nhiệt dung đẳng tích của khí điện tử tự do trong kim loại khi có biến dạng q được xác định
Nk B2 F ( q ) T
 ∂E 
C =
= γ LT T ×
÷ =6
µ0
 ∂T V
e
V

(2.27)

2.2.2. Độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do
Theo lý thuyết lượng tử, độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do Pauli có dạng:
I

3 N µ B2
χP =
=
×
H 2 k B TF

(2.28)

Ở đây, I là độ từ hóa, H là cường độ từ trường, N là tổng số điện tử tự do, µ B là manheton Borh
và TF là nhiệt độ Fermi.
Theo (2.28), độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại không phụ thuộc vào nhiệt
độ và kết quả tính toán của Pauli cho sự phù hợp tốt với thực nghiệm. Hơn nữa, theo quan sát thì
giá trị độ cảm thuận từ của các kim loại không sắt từ phụ thuộc rất yếu vào nhiệt độ.
Khi áp dụng lý thuyết biến dạng q, ta có thể xác định độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do
trong kim loại xuất phát từ hàm phân bố thống kê Fermi – Dirac biến dạng q.

9


Theo nguyên lý cơ học lượng tử, sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào năng lượng ở nhiệt
độ T là hàm f ( ε , T ) D ( ε ) , trong đó f ( ε , T ) là hàm phân bố Fermi-Dirac biến dạng q (2.10) và
q

q

3

3

e ( ) −1

V  2m  2 12
V  2m  2 12 . Do đó, f ε , T D ε =
ε .
( ) ( ) 2β ( ε −µ )
D( ε ) = 2  2 ÷ ε
2 
2 ÷
β ε −µ
q
e
+ q − q −1 e ( ) − 1 2π  h 
2π  h 
β ε −µ

(

)

(2.29)

Khi không có từ trường, mômen từ tổng cộng của khí điện tử tự do bằng không. Vì ở mỗi
trạng thái có 2 điện tử với spin hướng ngược nhau nên khi đưa hệ vào từ trường, năng lượng điện
tử với spin cùng hướng với từ trường H bị giảm đi một lượng là µ Β H và năng lượng của các điện
tử có spin ngược hướng từ trường H tăng lên một lượng là µ Β H . Đường cong phân bố điện tử bị
dịch chuyển như trên Hình 2.1.

(a)

(b)

Hình 2.1. Phân bố điện tử theo lý thuyết Pauli trong trường hợp có từ trường ở 0K
Hình 2.1. (a) chỉ ra các trạng thái bị chiếm bởi các điện tử cùng hướng và ngược hướng với
từ trường. Hình 2.1. (b) chỉ ra các spin cùng hướng với từ trường bị thừa ra do tác dụng của từ
trường ngoài.
Nếu không xảy ra sự phân bố lại các điện tử thì gây ra bất lợi năng lượng. Vì thế, một phần
các điện tử có spin ngược hướng với từ trường sẽ chuyển vào các trạng thái có spin cùng hướng
với từ trường và điều này dẫn đến đóng góp vào độ từ hóa

I = ( N + − N − ) µΒ .

(2.30)

Ở đây N ± là nồng độ của các điện tử với spin cùng hướng (dấu +) và ngược hướng (dấu –)
với hướng của từ trường tương ứng và được xác định bởi
ε

1 F
N+ =
d ε f q ( ε , T ) D ( ε + µΒ H ) ,
2 − µ∫ΒΗ

(2.31)

ε

1 F
N− =
d ε f q ( ε , T ) D ( ε − µΒ H ) .
2 + µ∫ΒΗ

(2.32)

Ở nhiệt độ rất thấp và khác không, các tích phân (2.31) và (2.32) được tính gần đúng, từ
(2.30), ta suy ra độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại
10


χ=
V
Thay α = 2
2π

3/ 2

 2m 
 2 ÷
h 

µ2
I
1
2
= αε 1F/ 2 µ B2 − αε F−1/ 2 3B/ 2 F ( q ) ( k B T ) .
H
2
εF

V
,N = 2
3π

3/ 2

 2mε F 
 h2 ÷



(2.33)

2/3

h2  3π 2 N 
,ε F =

÷
2m  V 

vào (2.33), ta thu được độ

cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại
χ=

3 N µB2 3 N µB2
2
−
F ( q ) ( kBT ) .
3
2 εF
4 εF

(2.34)

CHƯƠNG 3
PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN TRONG NGHIÊN CỨU
TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA MÀNG MỎNG KIM LOẠI
VỚI CÁC CẤU TRÚC LPTD VÀ LPTK
3.1. Tính chất nhiệt động của màng mỏng ở áp suất không
3.1.1. Độ dời của nguyên tử và khoảng lân cận gần nhất trung bình
Xét một MMKL tự do có n* lớp với bề dày d. Giả sử màng mỏng bao gồm 2 lớp nguyên tử
bề mặt ngoài, 2 lớp nguyên tử sát bề mặt ngoài và n* − 4 lớp nguyên tử bên trong như Hình 3.1.
Gọi N ng , N ng1 và N tr tương ứng là số nguyên tử ở lớp ngoài, lớp sát ngoài và lớp trong của màng
mỏng này.

ng

a

ng1

a

Thickness
d

(n*- 4) Layers

tr

a

Hình 3.1. MMKL tự do
Áp dụng công thức tổng quát của mômen. Ta tìm được độ dời y0 của hạt ở nhiệt độ T tương
ứng với các lớp trong trường hợp không có ngoại lực tác dụng lên hệ:
y =
tr
0

2γ trθ 2
Atr ; y0ng1 =
3
3ktr

2γ ng1θ 2
3k

3
ng 1

Ang 1 ; y0ng = −

γ ng θ
k

2
ng

xng coth xng .

(3.1)

Như vậy, bằng PPTKMM ta đã xác định được độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng ở nhiệt độ T.
Từ đó, có thể xác định được khoảng lân cận gần nhất giữa hai hạt ở nhiệt độ T tương ứng với số
lớp theo công thức:
11


atr ( T ) = atr ( 0 ) + y0tr , ang1 ( T ) = ang1 ( 0 ) + y0ng1 , ang ( T ) = ang ( 0 ) + y0ng ,

(3.2)

trong đó, a ( 0 ) là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 0K tương ứng với số lớp và được xác định
từ điều kiện cực tiểu của thế năng tương tác hoặc thu được từ việc giải phương trình trạng thái.
Khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử của màng mỏng ở nhiệt độ 0K và ở
nhiệt độ T phụ thuộc vào số lớp theo công thức
a0 =

2ang ( 0 ) + 2ang1 ( 0 ) + ( n* − 5 ) atr ( 0 )
n* − 1

2ang ( T ) + 2ang1 ( T ) + ( n* − 5 ) atr ( T )

a=

n* − 1

,

(3.3)

,

(3.4)

trong đó

uitr

γ 1tr =

a

≡ ytr , xtr =

 ∂ 4ϕ tr
1
io

∑
12 i  ∂ui4α ,tr


yng 1 ≡< uing 1 >a , xng 1 =

γ1ng1

 ∂4ϕiotr

6
, γ 2tr =

 2
÷
∑
2
÷
48
i
eq
 ∂uiβ ,tr ∂uiγ ,tr

 ∂4ϕiotr
1
∑
48 i  ∂ui4α ,tr
γ tr =

hωtr
1  ∂ 2ϕ tr
,θ = k B T , ktr = ∑  2 io
2θ
2 i  ∂uiα ,tr

 ∂ 4ϕ tr

+ 6  2 io 2
÷
÷
 ∂u ∂u
eq
 iβ ,tr iγ ,tr

hωng1
2θ


= mωtr2 ,
÷
÷
 eq


β ≠γ),
÷
÷ (
eq

 
 = 4 ( γ 1tr + γ 2tr ) .
÷
÷ 
eq 

, θ = k B T , k ng 1 =

 ∂2ϕiong 1
1
∑ ∂u 2
2 i 
 iα ,ng 1


2
= mωng
÷
1,
÷
eq

 ∂4ϕiong1 


∂4ϕiong1
1
6
=
,
γ
=
,

÷

÷
∑
∑
2 ng 1
 ∂ui2β ,ng 1∂ui2γ ,ng1 ÷
48 i  ∂ui4α ,ng1 ÷
48
i




eq

γ ng1 =

(3.5)

(3.6)

eq

 ∂ 4ϕ ng1 

 
∂ 4ϕiong1
1
io

 = 4 ( γ 1ng1 + γ 2 ng1 ) ( β ≠ γ ) .
+
6
÷
 2
÷
∑
2
÷
12 i  ∂ui4α ,ng1 ÷

∂
u
∂
u
eq
 iβ , ng1 iγ ,ng1 eq 


yng =< uing >a , xng =

γ ng =

hωng
2θ

, θ = k BT , k ng =

 ∂ 3ϕ ng
1
 3 io
∑
4 i ,α , β ,γ  ∂uiα ,ng

α ≠β

3
2
 0 2 ϕing

aix2 + 0ϕing

∑
0
0  = mωng ,

2 i

(


 ∂ 3ϕiong
+
÷
÷  ∂ui2α ,ng ∂uing
γ
eq 

)

(

)

 
.
÷
÷ 
eq 

(3.7)

3.1.2. Năng lượng tự do của màng mỏng
Năng lượng tự do đối với lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của màng mỏng được xác
định bằng các công thức sau:

(

)

Ψ tr = U + 3N trθ  xtr + ln 1 − e −2 xtr  +
tr
0

6N θ 3
+ tr4
ktr

 4 2  xtr coth xtr
 γ 2tr  1 +
2

3

3 Ntrθ 2 
2γ 1tr  xtr coth xtr
2
2 2
1+
γ 2tr xtr coth xtr −
2
3 

2
ktr 


÷ +




 xtr coth xtr 
2
( 1 + xtr coth xtr )  ,
÷ xtr coth xtr − 2 ( γ 1tr + 2γ 1tr γ 2tr )  1 +
÷
2





12

(3.8)


(

)

−2 x

Ψ ng1 ≈ U 0ng1 + 3N ng1θ  xng1 + ln 1 − e ng1  +



3 N ng1θ 2 
2γ 1ng1  xng1 coth xng1  
2
2 2
 γ 2 ng1 xng1 coth xng1 −
1+
÷ +
2
3 
2
kng1 
 


6 N ng1θ 3  4
 xng1 coth xng1 
 xng1 c o th xng1 
2
+ 4  γ 22ng1  1 +
÷ xng1 coth xng1 − 2 ( γ 1ng1 + 2γ 1ng1γ 2 ng1 )  1 +
÷( 1 + xng1 coth xng1 )  ,
2
2
kng1  3







(

Ψng ≈ U 0ng + 3 N ng θ xng + ln 1 − e


với

U 0tr =

Ntr
2

∑ϕ
i

tr
i0

N ng1
r
( ri tr ), U 0ng1 =
2

∑ϕ

ng 1

i0

i

−2 xng

)  ,

N ng
r
( ri ng1 ), U 0ng =
2

(3.9)

(3.10)

∑ϕ

ng
i0

r
( ri ng ),

(3.11)

i

Giả sử hệ gồm N nguyên tử với n* lớp và số nguyên tử trên mỗi lớp bằng nhau và bằng N L ,

khi đó năng lượng tự do của màng mỏng được xác định bởi
Ψ = N trψ tr + N ng 1ψ ng 1 + N ngψ ng − TSC = ( N − 4 N L ) ψ tr + 2 N Lψ ng 1 + 2 N Lψ ng − TSC ,

(3.12)

trong đó SC là entrôpi cấu hình,ψ tr ,ψ ng1 ,ψ ng tương ứng là năng lượng tự do đối với một nguyên tử
lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của MMKL. Từ (3.12) suy ra năng lượng tự do của MMKL
ứng với một nguyên tử là
Ψ 
4
2
2
TS
= 1 − * ÷ψ tr + * ψ ng 1 + * ψ ng − C .
N 
n 
n
n
N

(3.13)

Ký hiệu a là khoảng lân cận gần nhất trung bình giữa 2 nguyên tử, d là bề dày của màng,
khi đó
Đối với MMKL với cấu trúc LPTD:
d = (n* − 1)

a
2

,

TS
Ψ d 2 − 3a
2a
2a
=
ψ tr +
ψ ng +
ψ ng 1 − C .
N
N
d 2 +a
d 2 +a
d 2 +a

(3.14)
(3.15)

Đối với MMKL với cấu trúc LPTK:

(

d = n* − 1

)

a
3

,

Ψ d 3 − 3a
2a
2a
TS
=
ψ tr +
ψ ng +
ψ ng 1 − C .
N
N
d 3 +a
d 3+a
d 3 +a

(3.16)
(3.17)

3.1.3. Các đại lượng nhiệt động của MMKL
3.1.3.1. Hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi đẳng nhiệt
Hệ số nén đẳng nhiệt χT và mô đun đàn hồi đẳng nhiệt BT được xác định bởi
χT =

1
1  ∂V 
=− 
÷ ,
BT
V0  ∂P T

(3.18)

trong đó V0 là thể tích của hệ ở 0K.
Bằng một vài phép biến đổi trong nhiệt động lực học, ta thu được biểu thức của hệ số nén
đẳng nhiệt của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK như sau

13


3

a 
3 ÷
 a0 
χT =
,
∂ 2 Ψng
∂ 2 Ψng1 
a 2  d 2 − 3a ∂ 2 Ψtr
2a
2a
2P +
+
+

÷
2
2
3V  d 2 + a ∂atr2

d 2 + a ∂ang
d 2 + a ∂ang1 ÷
T

(3.19)

3

a 
3 ÷
 a0 
χT =
,
2
2 
∂2 Ψng
∂2 Ψng 1 
a d 3 − 3a ∂ Ψtr
2a
2a
2P +
+
+

÷
2
2
3V  d 3 + a ∂atr2
d 3 + a ∂ang
d 3 + a ∂ang1 ÷

T

(3.20)

3
2
trong đó V = Nv ( v là thể tích nguyên tử ở nhiệt độ T, v =
( a ) đối với màng mỏng LPTD,

2

( )

3

 ∂2 Ψ 
đối với màng mỏng LPTK). Biểu thức  2 ÷ tương ứng theo số lớp có dạng:
v=
 ∂a T
3 3
4 a

2
 2

 ∂2Ψ 
 1 ∂ u0 hω  ∂ 2 k 1  ∂k   


=

3
N
+
−



÷ .
 2 ÷
6 ∂aT2
4k  ∂aT2 2k  ∂aT   
 ∂a T





(3.21)

3.1.3.2. Hệ số dãn nở nhiệt
Hệ số dãn nở nhiệt của màng mỏng được xác định bởi
α=

k B da d ng αng + d ng1αng 1 + ( d − d ng − d ng1 ) αtr
=
,
a0 dθ
d

(3.22)

trong đó
tr
ng
ng 1
k B ∂y0 ( T )
k B ∂y0 ( T )
k B ∂y0 ( T )
αtr =
;αng =
;αng1 =
.
a0,tr ∂θ
a0,ng
∂θ
a0,ng 1
∂θ

(3.23)

Ở đây d ng là bề dày của các lớp ngoài, d ng1 là bề dày của các lớp sát ngoài và d là bề dày của
màng mỏng.
3.1.3.3. Năng lượng của màng mỏng
Khi sử dụng hệ thức nhiệt động Gibbs-Helmholtz
 ∂Ψ 
2  ∂  ∂Ψ  
E = Ψ −θ 
÷ = −T 

÷÷ ,

 ∂θ 
 ∂T  ∂T  V

(3.24)

năng lượng của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK có dạng
E=

d 2 − 3a
2a
2a
Etr +
Eng +
Eng 1 ,
d 2 +a
d 2 +a
d 2 +a

(3.25)

E=

d 3 − 3a
2a
2a
Etr +
Eng +
Eng1 ,
d 3+a
d 3+a

d 3+a

(3.26)

3.1.3.4. Các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp
Nhiệt dung đẳng tích của màng mỏng tương ứng với các cấu trúc LPTD và LPTK được
xác định bởi
14


CV =

d 2 −3a tr
2a
2a
CV +
CVng +
CVng 1 ,
d 2 +a
d 2 +a
d 2 +a

(3.27)

CV =

d 3 −3a tr
2a
2a
CV +

CVng +
CVng1 ,
d 3 +a
d 3 +a
d 3 +a

(3.28)

Nhiệt dung riêng đẳng áp của màng mỏng với các cấu trúc LPTD và LPTK được xác định
bởi
2

 ∂V   ∂P 
2
CP = CV − T 
÷ 
÷ = CV + 9TV α BT .
 ∂T  P  ∂V T

(3.29)

3.2. Các TCNĐ của màng mỏng dưới tác dụng của áp suất
3.2.1. Phương trình trạng thái của MMKL
Phương trình trạng thái đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định các tính chất của
vật liệu màng mỏng dưới tác dụng của áp suất.
Từ việc xác định áp suất theo năng lượng tự do
a  ∂Ψ 
 ∂Ψ 
P = −
÷ =−


÷
3V  ∂a T
 ∂V T

(3.30)

có thể thu được phương trình trạng thái của màng mỏng
 1 ∂u0
1 ∂k 
Pv = −a 
+ θ x coth x
.
2k ∂a 
 6 ∂a

(3.31)

Ở đây, các thông số u0 , k , x, ω được xác định theo khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử của
màng mỏng. Khoảng lân cận gần nhất giữa 2 nguyên tử được xác định ở áp suất P và nhiệt độ T.
Ở nhiệt độ 0K, phương trình (3.31) tương ứng theo số lớp có dạng tổng quát
 1 ∂u0 hω ( 0 ) ∂k 
Pv = −a 
+
,
4k ∂a 
 6 ∂a

(3.32)

Nếu biết dạng của thế tương tác giữa các hạt của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK
thì ta có thể xác định khoảng cách gần nhất giữa 2 hạt của màng mỏng ở áp suất P và nhiệt độ
0K. Sử dụng phần mềm Maple để giải phương trình (3.32) ta tìm được các nghiệm gần đúng
atr ( P,0 ) , ang1 ( P, 0 ) , ang ( P, 0 ) . Sau đó, ta xác định các ĐLNĐ của MMKL dưới tác dụng áp suất

tương tự như xác định các ĐLNĐ của MMKL ở áp suất không.
3.2.2. Khoảng lân cận gần nhất và các ĐLNĐ dưới tác dụng của áp suất
Khoảng lân cận gần nhất trung bình của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK ở nhiệt độ
T và áp suất P phụ thuộc vào số lớp theo công thức
a ( P, T ) =

(

)

2ang ( P, T ) + 2ang1 ( P, T ) + n* − 5 atr ( P, T )
n −1
*

,

(3.33)

trong đó
ang ( P, T ) = ang ( P,0 ) + y0ng ( P, T ) ; ang1 ( P , T ) = ang1 ( P ,0 ) + y0ng1 ( P, T ) ; atr ( P, T ) = atr ( P ,0 ) + y0tr ( P , T ) .

(3.34)

Khoảng lân cận gần nhất trung bình của MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK ở nhiệt độ
0K và áp suất P phụ thuộc vào số lớp theo công thức

15


a0 ( P, 0 ) =

(

)

2ang ( P, 0 ) + 2ang1 ( P, 0 ) + n* − 5 atr ( P, 0 )

(3.35)

,

n −1
*

tr
ng 1
ng
trong biểu thức (3.34), y0 ( P, T ) , y0 ( P, T ) , y0 ( P, T ) là các độ dịch chuyển của các nguyên tử

khỏi vị trí cân bằng tương ứng với lớp trong, lớp sát ngoài và lớp ngoài của màng mỏng và được
xác định tương tự như các biểu thức (3.1).
y0tr ( P,T ) =

2γ ng1θ 2
γ ng θ
2γ trθ 2

ng1
A
P,T
;
y
P,T
=
Ang1 ( P,T ) ; y0ng ( P,T ) = − 2 xng ( P,T ) coth ( xng ( P,T ) ) , (3.36)
) 0 ( )
tr (
3
3
3ktr
3kng1
kng

ở đây, tần số ωở đây phải được tính từ k(P,0).
Hệ số dãn nở nhiệt của màng mỏng với các cấu trúc LPTD và LPTK ở áp suất P được xác
định bởi
α=

da ( P, T ) d ng α ng ( P, T ) + d ng1α ng1 ( P, T ) + ( d − d ng1 − d ng ) α tr ( P, T )
kB
=
,
a0 ( P, 0 )
dθ
d

(3.37)

trong đó
tr
ng
∂ y0ng1 ( P, T )
k B ∂ y0 ( P , T )
kB
k B ∂ y0 ( P , T )
α tr ( P, T ) =
; α ng1 ( P, T ) =
;α ng ( P, T ) =
. (3.38)
atr ( P, 0)
∂θ
ang1 ( P,0)
∂θ
ang ( P,0)
∂θ

Năng lượng của màng mỏng với cấu trúc LPTD ở áp suất P có dạng
E ( P, T ) =

d 2 − 3a ( P, T )
d 2 + a ( P, T )

Etr ( P, T ) +

2a ( P , T )

d 2 + a ( P, T )

E ng ( P, T ) +

2a ( P, T )

d 2 + a ( P, T )

E ng 1 ( P , T ) ,

(3.39)

Nhiệt dung đẳng tích của màng mỏng với cấu trúc LPTD ở áp suất P có dạng
CV =

d 2 − 3a
d 2 +a

CVtr ( P, T ) +

2a
d 2 +a

CVng 1 ( P , T ) +

2a
d 2 +a

CVng ( P , T ) ,

(3.40)

Hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng với cấu trúc LPTD ở áp
suất P có dạng
χ T ( P, T ) =

1
=
BT ( P, T )

 a ( P, T ) 
3
 a ( P ) ÷÷
 0

=
2
2

a ( P, T ) d 2 − 3a ( P, T ) ∂ Ψ tr
2a ( P, T ) ∂ 2 Ψ ng1
2a ( P, T ) ∂ 2 Ψ ng
2P +
+
+

2
2
3V  d 2 + a ( P, T ) ∂ atr2
d 2 + a ( P, T ) ∂ ang1 d 2 + a ( P, T ) ∂ ang
3

(3.41)

÷
÷
T

.

Năng lượng của màng mỏng với cấu trúc LPTK ở áp suất P có dạng
E ( P, T ) =

d 3 − 3a ( P, T )
d 3 + a ( P, T )

Etr ( P, T ) +

2a ( P , T )

d 3 + a ( P, T )

E ng 1 ( P, T ) +

2a ( P, T )

d 3 + a ( P, T )

Eng ( P , T ) , (3.42)

Nhiệt dung đẳng tích của màng mỏng với cấu trúc LPTK ở áp suất P có dạng

CV =

d 3 − 3a
d 3 +a

CVtr ( P , T ) +

2a
d 3 +a

CVng1 ( P , T ) +

2a
d 3 +a

CVng ( P , T ) ,

(3.43)

Hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng với cấu trúc LPTK ở áp
suất P có dạng
16


χ T ( P, T ) =

1
=
BT ( P, T )

 a ( P, T ) 
3
 a ( P,0 ) ÷÷
 0

=
2
2
a ( P, T )  d 3 − 3a ( P, T ) ∂ Ψ tr
2a ( P, T ) ∂ 2 Ψ ng1
2a ( P, T ) ∂ 2 Ψ ng
2P +
+
+

2
2
3V  d 3 + a ( P, T ) ∂ atr2
d 3 + a ( P, T ) ∂ ang1 d 3 + a ( P, T ) ∂ang
3

(3.44)

÷
÷
T

.

Do tính phi điều hoà, nhiệt dung đẳng áp khác với nhiệt dung đẳng tích. Nhiệt dung đẳng

áp của màng mỏng với các cấu trúc LPTD và LPTK ở áp suất P có dạng

CP ( P, T ) = CV ( P, T ) + 9TV α 2 ( P, T ) BT ( P, T ) .

(3.45)

CHƯƠNG 4
KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
4.1. Nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do
4.1.1. Nhiệt dung của khí điện tử tự do
Từ (2.27), ta suy ra
F ( q) =

µ0 γ LT
6 Nk B2

×

(4.1)

Thay số Avogadro NA cho N, thay giá trị của hằng số Boltzmann kB, thay giá trị thực nghiệm của
mức năng lượng Fermi µ0 và hằng số nhiệt điện tử γ LT = γ TN cho mỗi kim loại vào vế phải của
(4.1), ta tìm được giá trị của hàm F (q) . Sau đó, từ giá trị thu được của F (q) và sử dụng phần
mềm Maple, ta tìm được giá trị của tham số bán thực nghiệm q đối với mỗi kim loại. Từ đây, ta
có thể chọn giá trị của q = 0,642 đối với nhóm KLK và q = 0,546 đối với nhóm KLCT.
Chúng tôi sử dụng cùng một giá trị của tham số bán thực nghiệm q cho mỗi nhóm kim loại
và vẽ đồ thị sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung khí điện tử tự do trong kim loại tính theo lý
thuyết biến dạng, tính theo mẫu điện tử tự do và thực nghiệm trên Hình 4.1 và Hình 4.2.
Như vậy theo biểu thức (2.27), ta thấy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại ở
nhiệt độ thấp theo lý thuyết biến dạng tỉ lệ bậc nhất với nhiệt độ tuyệt đối. Điều này phù hợp với

lý thuyết Sommerfeld lượng tử khi áp dụng thống kê Fermi-Dirac

17


50

90

TN
M.e[92]
LT

80

60

CV (mJ/mol.K), Au

50
40
30

30

20

e

e

CV (mJ/mol.K), Na

70

TN
M.e[92]
LT

40

20

10

10
0

0
0

10

20

30

40

50

60

0

10

20

30

40

50

60

T (K)

T (K)

Hình 4.1. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung Hình 4.2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung
khí điện tử tự do đối với Au

khí điện tử tự do đối với Na

Ở cùng một nhiệt độ, các KLK ứng với số điện tử ở lớp ngoài cùng là 1 có giá trị của tham
số bán thực nghiệm q cũng như hàm F (q) lớn hơn so với các KLCT. Do đó, các KLK có đóng
góp vào nhiệt dung của các điện tử tự do lớn hơn so với các KLCT.
Ngược lại, các KLCT ứng với số điện tử ở lớp ngoài cùng thuộc các phân lớp d, f có giá trị

của tham số bán thực nghiệm q cũng như hàm F (q) nhỏ hơn so với các KLK. Do đó, các KLCT
có đóng góp vào nhiệt dung của các điện tử tự do nhỏ hơn so với các KLK.
4.1.2. Độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do
Chúng tôi xét ở nhiệt độ thấp, thay các giá trị
k B = 1,380622.10−16 erg.K −1 , µ B = 9, 274096.10−21 erg. ( gauss ) ,
−1

N = N A = 6, 022169.1023 ( mol ) , eV = 1, 6021917.10 −12 erg ,
−1

mức năng lượng Fermi ε F = µ 0 , hàm F (q) cho mỗi nhóm KLK hoặc KLCT vào vế phải của
(2.34), xét trong hệ đơn vị CGS, chúng tôi tính được giá trị của độ cảm thuận từ của khí điện tử
tự do theo lý thuyết biến dạng như trong Bảng 4.1. Kết quả tính toán được so sánh với các giá trị
độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong các kim loại tương ứng.
Bảng 4.1. Độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại theo thực nghiệm và lý
thuyết biến dạng
Kim loại
χTN ( ×10-6 cm 3 .mol-1 )

Cs
+29

K
+20,8

Na
+16

Rb
+27

χLT ( ×10-6 cm3 .mol-1 )

+30,67

+22,86

+15

+26,21

Theo (2.34) ở nhiệt độ 0K, độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại theo lý
thuyết biến dạng trở về độ cảm thuận từ Pauli theo lý thuyết Sommerfeld lượng tử.
Số hạng thứ 2 trong vế phải của (2.34) có giá trị hầu như không đáng kể mặc dù nhiệt độ
thay đổi, nghĩa là độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại không phụ thuộc vào nhiệt
độ. Kết quả này cho thấy sự phù hợp tốt với những quan sát bằng thực nghiệm. Do đó, đồ thị sự
phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm thuận từ đối với khí điện tử tự do trong kim loại theo lý thuyết
biến dạng gần như là một đường nằm ngang và được minh họa trên các hình vẽ Hình 4.3 và 4.4.

18


33

16.5

Na

Cs
32

χ ( ×10 cm /mol )

15.5

31

3

15.0

--6

--6

3

χ ( ×10 cm /mol )

16.0

14.5

30

29

14.0

13.5

10

20

30

40

50

60

28

70

10

20

30

T (K)

40

50

60

70

T (K)

Hình 4.3. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm thuận
Hình 4.4. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm thuận
từ đối với khí điện tử tự do trong Na

từ đối với khí điện tử tự do trong Cs

4.2. Các ĐLNĐ của MMKL ở áp suất không và dưới tác dụng của áp suất
Để tính số cho các kết quả lý thuyết ở trên, ta chọn thế tương tác Lennard-Jones. Trước hết,
sử dụng phần mềm Maple, ta thu được các khoảng lân cận gần nhất trung bình đối với các
MMKL Al, Cu, Au, Ag, Fe, W, Nb và Ta ở nhiệt độ T áp suất không và dưới tác dụng của áp
suất. Từ đó ta xác định các ĐLNĐ như hệ số nén đẳng nhiệt, môđun đàn hồi đẳng nhiệt, hệ số
dãn nở nhiệt, các nhiệt dung dẳng tích và đẳng áp của các MMKL phụ thuộc vào nhiệt độ, bề dày
(hoặc số lớp) ở áp suất không và dưới tác dụng của áp suất. Các kết quả này được trình bày trong
các bảng và được minh họa bằng các hình vẽ sau đây.
2.715

2.900

10 layers
20 layers
200 layers
bulk [15]

2.895
2.890

2.705

2.880

2.700

2.875

2.695

2.870

0

a (A )

0

a (A )

2.885

2.710

2.865

2.690

2.860

2.685

2.855

2.680

2.850

10 layers
20 layers
70 layers
200 layers

2.675

2.845

2.670

2.840
200

300

400

500

600

700

0

800

500

1000

1500

2000

2500

3000

T (K)

T (K)

Hình 4.5. Sự phụ thuộc nhiệt độ của
khoảng lân cận gần nhất đối với màng
mỏng Ag tại các bề dày khác nhau

Hình 4.6. Sự phụ thuộc nhiệt độ của khoảng
lân cận gần nhất đối với màng mỏng W tại
các bề dày khác nhau

Theo các Hình 4.5 và Hình 4.6, khoảng lân cận gần nhất trung bình của màng mỏng phụ
thuộc mạnh vào nhiệt độ và bề dày. Ở cùng một bề dày, khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng
theo nhiệt độ. Ở cùng một nhiệt độ, khi bề dày tăng thì khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng
nhưng không tỉ lệ tuyến tính. Khi bề dày tăng từ 10 đến 30 lớp thì khoảng lân cận gần nhất trung
bình tăng mạnh. Khi bề dày tăng từ 30 lớp trở lên thì khoảng lân cận gần nhất trung bình tăng
chậm và tiến dần tới giá trị khoảng lân cận gần nhất của vật liệu khối.
11.0
10.5
10.0

−12

χΤ (10 Pa)

9.5
9.0
8.5

10 layers
20 layers
70 layers
200 layers
bulk [15]

8.0
7.5
7.0
0

100

200

300

400

500

T (K)

600

700

800

19
900


10.5

Al-70 layers
Cu-70 layers
Au-70 layers
Ag-70 layers

10.0
9.5

9.0

−12

λΤ (10 Pa)

8.5
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
5.5
5.0
0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

Hình 4.7. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số
nén đẳng nhiệt đối với màng mỏng Ag tại
các bề dày khác nhau

Hình 4.8. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số
nén đẳng nhiệt đối với các MMKL Al, Cu,
Au và Ag tại bề dày 70 lớp

2.00

9.0

1.98
8.5

1.96
1.94

8.0

1.90
-1

α (10 K )

7.0

--5

−12

χΤ (10 Pa)

1.92
7.5

Al
Cu
Au
Ag

6.5
6.0

1.86
1.84
1.82
1.80

5.5
5.0

1.88

Al
Ag

1.78
1.76
0

20

40

60

80

0

d (nm)

Hình 4.9. Sự phụ thuộc bề dày của hệ số nén
đẳng nhiệt đối với các MMKL Al, Cu, Au và
Ag ở nhiệt độ 300K

10

20

30

40

50

60

70

d (nm)

Hình 4.10. Sự phụ thuộc bề dày của hệ số dãn
nở nhiệt đối với các MMKL Al và Ag ở nhiệt
độ 300K

Theo các hình vẽ từ Hình 4.7 đến Hình 4.9, ở cùng một bề dày, khi nhiệt độ tăng thì hệ số
nén đẳng nhiệt tăng nhưng không tuyến tính và tăng mạnh ở vùng nhiệt độ cao. Ở cùng một nhiệt
độ, khi bề dày tăng thì hệ số nén đẳng nhiệt giảm nhưng không tuyến tính. Khi số lớp tăng từ 10
đến 70 lớp thì hệ số nén đẳng nhiệt giảm mạnh. Khi số lớp tăng từ 70 lớp trở lên thì hệ số nén
đẳng nhiệt của màng mỏng giảm nhẹ và tiến dần đến giá trị hệ số nén đẳng nhiệt của vật liệu
khối.
2.8
2.4

10 layers
70 layers
200 layers
bulk [58]

2.6

2.2

2.1
2.0

-1
-5

-5

-1

α (10 K )

2.4

α (10 K )

Al-70 layers
Cu-70 layers
Au-70 layers
Ag-70 layers

2.3

2.2

2.0

1.9
1.8
1.7

1.6

1.8

1.5
200

300

400

500

1.4

600

T (K)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

Hình 4.12. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số
dãn nở nhiệt đối với các MMKL Al, Cu, Au
và Ag tại bề dày 70 lớp

Hình 4.11. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số
dãn nở nhiệt đối với màng mỏng Al tại các
bề dày khác nhau

Sự phụ thuộc nhiệt độ và bề dày của hệ số dãn nở nhiệt được mô tả trên các hình vẽ từ
Hình 4.10 đến Hình 4.12. Theo các hình vẽ này, ở cùng một bề dày, khi nhiệt độ tăng thì hệ số
dãn nở nhiệt tăng. Ở cùng một nhiệt độ, khi bề dày tăng thì hệ số dãn nở nhiệt của màng mỏng
20


tăng và tiến dần tới giá trị hệ số dãn nở nhiệt của vật liệu khối. Điều này phù hợp với thực
nghiệm nghiên cứu về màng mỏng Al trên đế, khi bề dày tăng đến khoảng 50 nm thì hệ số dãn nở
nhiệt của màng mỏng tiến đến giá trị hệ số dãn nở nhiệt của vật liệu khối. Ở nhiệt độ phòng, sự
tăng hệ số dãn nở nhiệt của các màng mỏng Al và Pb theo bề dày đã được đưa ra trong các công
trình khác nhau. Các kết quả này cũng phù hợp với tính toán của chúng tôi.

6.0
5.8
5.5
5.6

Cv (cal/mol.K)

Cv (cal/mol.K)

5.0
5.4
5.2
5.0

10 layers
20 layers
70 layers
200 layers
bulk [15]

4.8
4.6
4.4

0

100

200

300

400

500

600

700

800

4.5
4.0
3.5

Al-70layers
Cu-70layers
Au-70layers
Ag-70layers

3.0
2.5
900

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

T (K)

Hình 4.13. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung đẳng tích đối với màng mỏng Ag tại các
bề dày khác nhau

Hình 4.14. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung đẳng tích đối với các MMKL Al, Cu,
Au và Ag tại bề dày 70 lớp

7.0

7

6.5

6

6.0

Cp (cal/mol.K)

CP (cal/mol.K)

Sự phụ thuộc nhiệt độ và bề dày của nhiệt dung đẳng tích đối với các MMKL được biểu
diễn trên các Hình 4.13 và Hình 4.14. Theo các hình vẽ này, khi nhiệt độ tăng thì nhiệt dung đẳng
tích tăng mạnh ở vùng nhiệt độ thấp và giảm nhẹ ở vùng nhiệt độ cao. Điều đó được giải thích là
do đóng góp của hiệu ứng phi điều hòa tăng khi nhiệt độ tăng. Ở cùng một nhiệt độ, khi bề dày
tăng thì nhiệt dung đẳng tích giảm và tiến dần tới nhiệt dung đẳng tích của vật liệu khối. Điều đó
chứng tỏ đóng góp của hiệu ứng phi điều hòa giảm khi bề dày tăng.

5.5

10 layers
20 layers
70 layers
200 layers
bulk [7]
bulk [67]

5.0

4.5

5

4

2
0

100

200

300

400

500

600

700

800

Al-70 layers
Cu-70 layers
Au-70 layers
Ag-70 layers

3

900

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

T (K)

Hình 4.16. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung đẳng áp đối với các MMKL Al, Cu,
Au và Ag tại bề dày 70 lớp

Hình 4.15. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung đẳng áp đối với màng mỏng Ag tại
các bề dày khác nhau

Sự phụ thuộc nhiệt độ và bề dày của nhiệt dung đẳng áp đối với các MMKL được biểu
diễn trên các Hình 4.15 và Hình 4.16. Theo các hình vẽ này, khi nhiệt độ tăng thì nhiệt dung đẳng
áp tăng mạnh ở vùng nhiệt độ thấp và tăng nhẹ ở vùng nhiệt độ cao. Điều đó là do đóng góp của
hiệu ứng phi điều hòa tăng khi nhiệt độ tăng đặc biệt là ở vùng nhiệt độ cao. Ở cùng một nhiệt độ,
khi bề dày tăng thì nhiệt dung đẳng áp tăng chậm và tiến dần tới nhiệt dung đẳng áp của vật liệu
khối. Nhiệt dung đẳng áp của màng mỏng có cùng dáng điệu và quy luật với nhiệt dung đẳng áp
của vật liệu khối. Khi bề dày tăng đến khoảng 35 nm thì nhiệt dung đẳng áp của màng mỏng tiến
đến nhiệt dung đẳng áp của vật liệu khối.
21


Sự phụ thuộc nhiệt độ và bề dày của môđun đàn hồi đẳng nhiệt đối với các MMKL được
biểu diễn trên các hình vẽ từ Hình 4.17 và Hình 4.18. Trái ngược với hệ số nén đẳng nhiệt, ở
cùng một bề dày khi nhiệt độ tăng thì môđun đàn hồi đẳng nhiệt giảm nhưng không tuyến tính mà
giảm mạnh ở vùng nhiệt độ cao. Điều này phù hợp với quy luật và dáng điệu của môđun đàn hồi
đẳng nhiệt đối với vật liệu khối. Ở cùng một nhiệt độ, khi bề dày tăng thì môđun đàn hồi đẳng
nhiệt tăng nhưng không tuyến tính. Khi số lớp tăng từ 10 đến 100 lớp thì môđun đàn hồi đẳng
nhiệt tăng khá mạnh. Còn khi số lớp tăng từ 100 lớp trở lên thì môđun đàn hồi đẳng nhiệt của
màng mỏng tăng nhẹ.
1.9
14.0

10 layers
20 layers
70 layers

200 layers

13.5
13.0

Al
Cu
Au
Ag

1.7
-11

BT (10 Pa )

10

12.0

11

-1

BT (10 Pa )

12.5

1.8

11.5

11.0

1.6
1.5
1.4

10.5
1.3

10.0
9.5

1.2

9.0
0

100

200

300

400

500

600

700

800

1.1

900

0

20

T (K)

40

60

80

d (nm)

Hình 4.17. Sự phụ thuộc nhiệt độ của
môđun đàn hồi đẳng nhiệt đối với màng
mỏng Ag tại các bề dày khác nhau

Hình 4.18. Sự phụ thuộc bề dày của hệ số nén
đẳng nhiệt đối với các MMKL Al, Cu, Au và
Ag ở nhiệt độ 300K

Sự phụ thuộc bề dày của môđun đàn hồi đẳng nhiệt đối với các MMKL ở nhiệt độ phòng

được mô tả trên Hình 4.18. Ở đây, môđun đàn hồi đẳng nhiệt tăng theo bề dày và tăng khá mạnh
ở bề dày màng nhỏ hơn 25 nm. Khi bề dày lớn hơn 25 nm thì môđun đàn hồi đẳng nhiệt tăng nhẹ,
nghĩa là ảnh hưởng của hiệu ứng phi điều hòa giảm khi bề dày tăng.
2.3

2.831

2.2
2.830

2.1
2.0

-5

-1

α (10 K )

0

a (A )

2.829

2.828

1.9
1.8
1.7

2.826

1.6

Al- 0GPa
Al- 0.24GPa
Al- 0.64GPa

2.827

1.4
0

20

40

60

Au-10 layers,0GPa
Au-10 layers,0.24GPa
Au-10 layers,0.94GPa

1.5

80

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

d (nm)

Hình 4.19. Sự phụ thuộc bề dày của khoảng lân cận
gần nhất đối với màng mỏng Al ở nhiệt độ 300K tại
các áp suất khác nhau

Hình 4.20. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số dãn
nở nhiệt đối với màng mỏng Au ở các áp suất
khác nhau và bề dày 10 lớp

Theo Hình 4.19, ở nhiệt độ phòng khoảng lận cận gần nhất của màng mỏng phụ thuộc mạnh
vào bề dày và áp suất. Khoảng lận cận gần nhất của màng mỏng tăng theo bề dày và giảm theo
chiều tăng của áp suất. Sự phụ thuộc vào áp suất của khoảng lận cận gần nhất của màng mỏng có
thể được giải thích là do khi áp suất tăng, mặt ngoài bị nén lại, các nguyên tử ở gần nhau hơn, ảnh
hưởng của hiệu ứng bề mặt nhiều dẫn đến khoảng lận cận gần nhất giảm. Theo Hình 4.20, cho
thấy hệ số dãn nở nhiệt của màng mỏng tăng theo chiều tăng của nhiệt độ và bề dày, giảm theo
chiều tăng của áp suất. Điều này được giải thích giống như đối với khoảng lân cận gần nhất.
22


16
11.0

Ag-10 layers,0GPa
Ag-10 layers,0.24GPa
Ag-10 layers,0.94GPa
bulk [15],0GPa

10.5
10.0

14

-1

9.0

10

−12

BT (10 Pa )

9.5

λΤ (10 Pa)

Au-10 leyers,0GPa
Ag-10 leyers,0GPa
Ag-10 leyers,0.24GPa
Ag-10 leyers,0.94GPa
Au-10 leyers,0.24GPa
Au-10 leyers,0.94GPa

15

8.5

13
12
11

8.0
10

7.5

9

7.0

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0

900

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

T (K)

Hình 4.21. Sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số nén
đẳng nhiệt đối với màng mỏng Ag ở các áp suất
khác nhau và bề dày 10 lớp

Hình 4.22. Sự phụ thuộc nhiệt độ của môđun đàn
hồi đẳng nhiệt đối với các MMKL Au và Ag ở các
áp suất khác nhau và bề dày 10 lớp

Hình 4.21 và Hình 4.22 cho sự phụ thuộc nhiệt độ của hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn
hồi đẳng nhiệt ở các áp suất khác nhau đối với các MMKL. Theo Hình 4.21, hệ số nén đẳng nhiệt
tăng theo chiều tăng của nhiệt độ và tăng mạnh ở vùng nhiệt độ cao, giảm theo chiều tăng của bề
dày và áp suất. Sự biến đổi hệ số nén đẳng nhiệt của màng mỏng theo quy luật sự biến đổi hệ số
nén đẳng nhiệt của vật liệu khối. Trái lại ở Hình 4.22, ở cùng một bề dày môđun đàn hồi đẳng
nhiệt giảm theo chiều tăng của nhiệt độ, còn ở cùng một nhiệt độ, môđun đàn hồi đẳng nhiệt tăng
theo chiều tăng của bề dày và áp suất. Sự biến đổi của hệ số nén đẳng nhiệt và môđun đàn hồi
đẳng nhiệt theo nhiệt độ và bề dày dưới tác dụng của áp suất có dáng điệu giống như sự biến đổi

của chúng ở áp suất không.
6.0

6.8
6.6

5.8

6.2

5.4

6.0

Cp (cal/mol.K)

Cv (cal/mol.K)

6.4
5.6

5.2
5.0
4.8

Ag-10 layers,0GPa
Ag-10 layers,0.24GPa
Ag-10 layers,0.94GPa
bulk[15]

4.6
4.4
0

100

200

300

400

500

600

700

800

5.8
5.6
5.4
5.2

Au-10 layers,0GPa
Ag-10 layers,0GPa
Au-10 layers,0.24GPa
Ag-10 layers,0.24GPa

5.0
4.8
4.6
4.4

900

T (K)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

T (K)

Hình 4.24. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung
riêng đẳng áp đối với các MMKL Au và Ag ở các
áp suất khác nhau và bề dày 10 lớp

Hình 4.23. Sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt
dung riêng đẳng tích đối với màng mỏng Ag ở
các áp suất khác nhau

23


1.01

1.01

Cu[TKMM]
Cu[60]

1.00

Ag[TKMM]
Ag[60]

1.00
0.99
0.98

0.98

0.97

V/ V 0

V/ V 0

0.99

0.97
0.96

0.96
0.95
0.94

0.95

0.93
0.92

0.94
0

2

4

6

P (GPa)

8

0.91

10

Hình 4.25. Sự phụ thuộc áp suất của tỉ số
V/V0 đối với màng mỏng Cu ở nhiệt độ
300K và bề dày 80nm

0

2

4

6

8

10

P (GPa)

Hình 4.26. Sự phụ thuộc áp suất của tỉ số
V/V0 đối với màng mỏng Ag ở nhiệt độ
300K và bề dày 55nm

Hình 4.23 và Hình 4.24 cho sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung

đẳng áp của màng mỏng dưới tác dụng của áp suất. Nhiệt dung đẳng tích tăng khá mạnh theo
nhiệt độ ở vùng nhiệt độ thấp và giảm nhẹ ở vùng nhiệt độ cao. Nhiệt dung đẳng tích tăng theo
chiều tăng của bề dày và biến đổi yếu theo áp suất. Trong khi đó, nhiệt dung đẳng áp tăng khá
mạnh theo nhiệt độ ở vùng nhiệt độ thấp và tăng nhẹ theo nhiệt độ ở vùng nhiệt độ cao. Ở cùng
một nhiệt độ, nhiệt dung đẳng áp giảm theo chiều tăng của áp suất. Quy luật biến đổi theo nhiệt
độ và bề dày của các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp đối với màng mỏng dưới tác dụng của áp
suất giống như quy luật biến đổi theo nhiệt độ và bề dày của nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp đối
với màng mỏng ở áp suất không. Sự phụ thuộc áp suất của tỉ số thể tích nguyên tử trong hai trạng
3

V  a( P,T ) 
=
thái áp suất khác không và áp suất không
÷ đối với các MMKL ở nhiệt độ 300K
V0  a( 0,T ) 

được mô tả trên Hình 4.25 và Hình 4.26. Kết quả tính toán của chúng tôi phù hợp với kết quả tính
toán của các tác giả khác đối với các vật liệu nanô Cu, Ag tương ứng ở cùng các bề dày là 80nm
và 55nm.

KẾT LUẬN
Luận án sử dụng thống kê Fermi-Dirac biến dạng q để nghiên cứu nhiệt dung, độ cảm thuận
từ của khí điện tử tự do trong kim loại và phương pháp thống kê mômen trong cơ học thống kê để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động của màng mỏng kim loại với các cấu trúc LPTD và LPTK.
Các kết quả thu được của luận án như sau:
1. Bằng cách áp dụng thống kê Fermi-Dirac biến dạng q, chúng tôi tìm được các biểu thức
giải tích tính nhiệt dung và độ cảm thuận từ của khí điện tử tự do trong kim loại ở nhiệt độ thấp.
Các đại lượng này phụ thuộc vào tham số q. Kết quả chứng tỏ rằng ở nhiệt độ thấp, nhiệt dung
đẳng tích của khí điện tử tự do trong kim loại tỉ lệ bậc nhất với nhiệt độ tuyệt đối và độ cảm thuận
từ của khí điện tử tự do trong kim loại phụ thuộc rất yếu vào nhiệt độ.

2. Bằng cách sử dụng cùng một giá trị của tham số bán thực nghiệm q cho mỗi nhóm kim
loại kiềm và kim loại chuyển tiếp, chúng tôi tính số đối với nhiệt dung đẳng tích và độ cảm thuận
24


từ của khí điện tử tự do trong kim loại và kết quả tính số cho sự phù hợp tốt với kết quả thực
nghiệm.
3. Xây dựng các biểu thức giải tích của các đại lượng nhiệt động như năng lượng tự do
Helmholtz, độ dịch chuyển trung bình của hạt khỏi vị trí cân bằng, khoảng lân cận gần nhất trung
bình giữa hai hạt, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt, các nhiệt dung đẳng tích và đẳng áp,
môđun đàn hồi đẳng nhiệt, ... đối với MMKL với các cấu trúc LPTD và LPTK. Các biểu thức này
tính đến đóng góp của hiệu ứng phi điều hoà của dao động mạng, hiệu ứng bề mặt, hiệu ứng kích
thước và ảnh hưởng của áp suất và nhiệt độ.
4. Sử dụng thế tương tác Lennard – Jones để tính số cho các biểu thức thu được đối với các
đại lượng nhiệt động. Kết quả cho thấy khoảng lân cận gần nhất và các đại lượng nhiệt động phụ
thuộc vào nhiệt độ, áp suất và bề dày của màng mỏng. Các kết quả thu được cho sự phù hợp với
thực nghiệm và kết quả nghiên cứu của các tác giả khác.
Khoảng lân cận gần nhất, hệ số nén đẳng nhiệt, hệ số dãn nở nhiệt, nhiệt dung đẳng tích,
nhiệt dung đẳng áp và môđun đàn hồi đẳng nhiệt của màng mỏng có cùng quy luật biến đổi và
dáng điệu của vật liệu khối.
Khi bề dày của màng mỏng tăng đến khoảng từ 20nm đến 70nm tùy vào mỗi ĐLNĐ thì tính
chất của màng mỏng trở về tính chất của vật liệu khối.
Các công thức giải tích nhận được không chỉ áp dụng cho màng mỏng có các cấu trúc LPTD
và LPTK mà còn sử dụng làm cơ sở lý thuyết để tính toán cho các màng mỏng với các cấu trúc
khác chẳng hạn như màng mỏng bán dẫn với các cấu trúc kim cương và sunfua kẽm,…
Đề tài có thể mở rộng để nghiên cứu TCNĐ của MMKL có chân đế với các cấu trúc LPTD
và LPTK, nghiên cứu tính chất đàn hồi của các MMKL,…
Sự thành công của luận án đã góp phần hoàn thiện và phát triển việc áp dụng PPTKMM để
nghiên cứu tính chất của vật liệu tinh thể. Chúng tôi sẽ tiếp tục mở rộng lí thuyết này để nghiên
cứu tính chất đàn hồi, TCNĐ của màng mỏng có chân đế và màng mỏng bán dẫn trong thời gian

tới.

25