Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên tỉnh tuyên quang năm học 2010 2011(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (2 điểm).
1) Giải phương trình:

x 2 − 6 x + 9 + x 2 − 8 x + 16 = 7 ;
 x + y + xy = 3

2) Giải hệ phương trình: 

2
2
 x + y + xy = 17

.

Câu 2 (1 điểm). Chứng minh rằng biểu thức A =

3

70 − 4901 + 3 70 + 4901 là số nguyên.

Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác ABC (AB ≠ AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường
thẳng song song với tiếp tuyến của (O) tại A cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E và cắt
đường thẳng BC tại F.
1) Chứng minh BDEC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh:
a) AB.AD = AC.AE;
b) FB.FC = FD.FE.
3) Đường thẳng FD cắt (O) tại I và J. Chứng minh rằng FI.FJ = FD.FE.
Câu 4 (2 điểm). Giải các phương trình nghiệm nguyên (x, y là các ẩn số):
1) x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 3 x − 3 y + 2 = 0 .
2) x 2 + y 2 = 2015 .
Câu 5 (1 điểm). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng:
a 2 b2 c2
+ + ≥ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) .
b
c a

----------------------------------------------------Hết-------------------------------------------------Ghi chú:
+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2010-2011

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN

TOÁN CHUYÊN

Câu

Hướng dẫn giải

Điểm

1.1

x 2 − 6 x + 9 + x 2 − 8 x + 16 = 7 ⇔ ( x − 3) 2 + ( x − 4) 2 = 7 ⇔| x − 3 | + | x − 4 |= 7 (1)
TH1: x ≤ 3 .
(1) ⇔ − x + 3 − x + 4 = 7 ⇔ x = 0 (thỏa mãn).
TH2: 3 < x < 4 .
(1) ⇔ x − 3 − x + 4 = 7 ⇔ 1 = 7 (vô lý)
TH3: x ≥ 4 .
(1) ⇔ x − 3 + x − 4 = 7 ⇔ x = 7 (thỏa mãn).
Vậy: Nghiệm của phương trình đã cho là: x ∈ {0; 7} .
 x + y + xy = 3
 x + y + xy = 3
⇔
. Đặt x + y = u, xy = v ta được hệ phương
 2
2
2
 x + y + xy = 17
( x + y ) − xy = 17

0.25

1.2

u + v = 3
trình:  2
(1).
u − v = 17
u = −5
u = 4
Giải hệ (1) ta được: 
hoặc 
.
v = 8
 v = −1

u = −5
 x + y = −5
ta được hệ 
: Hệ vô nghiệm.
v = 8
 xy = 8
u = 4
ta được hệ
 v = −1

x + y = 4
. Giải ra ta được

 xy = −1

0.25

0.25

0.25

0.25

Với 

Với 

0.25

 x = 2 − 5
 x = 2 + 5
hoặc


 y = 2 + 5
 y = 2 − 5

Ta có A3 = 140 + 3 3 (70 − 4901)(70 + 4901) A
⇔ A2 + 3 A − 140 = 0
⇔ ( A − 5)( A2 + 5 A + 28) = 0
⇔ A = 5 (vì phương trình A2 + 5 A + 28 = 0 vô nghiệm)

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25

x
A
y

E
I

F

J

D
B

C


x
A
yy

E

y

J
C
C

E

B
B
I

0.25
D

3.1
F

x

A
D

II
FF

JJ

C

B

·
·
·

·
Ta có AED
(so le trong) và ABC
(có số đo bằng nửa số đo cung
= EAx
= EAx
·
·
AC) ⇒ AED
= ABC
.

0.5

·
·
·
·
Mà AED
+ DEC
= 180 0 ⇒ ABC
+ DEC
= 180 0 ⇒ BDEC là tứ giác nội tiếp.

0.25

·
·
·
a) XÐt hai tam giác ADE vµ ACB cã: BAC

chung vµ AED
= ABC
(theo chứng
minh ý 1).

3.2

3.3

Suy ra tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB
AD AE
⇒
=
⇒ AB. AD = AC. AE.
AC AB
·
·
·
b) XÐt hai tam giác FBD và FEC có: CFE
chung và FBD
= FEC
(vì đều là góc bù
của góc ABC).
Suy ra tam giác FBD đồng dạng với tam giác FEC
FB FD
⇒
=
⇒ FB.FC = FD.FE.
(1)
FE FC

·
·
·
XÐt hai tam giác FBI và FCJ có: CFJ
chung và FBI
= FJC
(đều là góc bù của góc
IBC).
Suy ra tam giác FBI đồng dạng với tam giác FCJ
⇒

4.1

4.2

FI
FB
=
⇒ FI .FJ = FB.FC
FC FJ

0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25

(2)

0.25

Tõ (1) vµ (2) suy ra FI .FJ = FD.FE

0.25

x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 3 x − 3 y + 2 = 0 ⇔ x 2 + (3 − 2 y ) x + 2 y 2 − 3 y + 2 = 0 (*)

0.25
1
2

1
2

Để phương trình (*) có nghiệm (ẩn x) ta phải có ∆ = 1 − 4 y 2 ≥ 0 ⇔ − ≤ y ≤ .

0.25

Vì y ∈ ¢ nên y = 0. Thay vào (*) ta được x = -1 hoặc x = -2.
Vậy: phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: (-1; 0), (-2; 0).

0.25
0.25

Với mọi số nguyên n ta có n 2 ≡ 0,1(mod 4) .

0.25


Do đó x 2 + y 2 ≡ 0,1, 2(mod 4) với mọi x, y nguyên.
Mặt khác 2015 ≡ 3(mod 4) .
Vậy: phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Vì a + b + c = 1 nên
 a2
  b2
  c2

a 2 b2 c2
2
2
2
+ + ≥ 3(a + b + c ) ⇔  − 2a + b ÷+  − 2b + c ÷+  − 2c + a ÷ ≥
b
c a
 b
  c
 a

3(a + b + c ) − (a + b + c)
2

5

2

2

0.25
0.25
0.25

0.25

2

( a − b ) 2 (b − c ) 2 ( c − a ) 2
⇔
+
+
≥ (a − b) 2 + (b − c ) 2 + (c − a) 2
b
c
a

0.25

1
1
1
⇔ ( − 1)(a − b) 2 + ( − 1)(b − c ) 2 + ( − 1)(c − a ) 2 ≥ 0
b
c
a

0.25

⇔

(a + c)
(b + a )
(c + b)
( a − b) 2 +
(b − c ) 2 +
(c − a) 2 ≥ 0 (luôn đúng vì a, b, c là các
b
c
a

0.25

số dương).
Ghi chú: Thí sinh làm bài không giống đáp án (nếu đúng) vẫn được điểm tối đa theo quy định.