Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên tỉnh tuyên quang năm học 2013 2014(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN CHUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này có 01 trang)
----------

Câu 1 (2 điểm). Cho phương trình : x − mx − m − 1 = 0 ( m là tham số).
2

1) Tìm các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 .
2) Cho x1 , x2 là nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

m 2 + 2m
S= 2
x1 + x22 + 2
Câu 2 (2 điểm).
1) Giải phương trình:

3

x + 2 + 3 7 − x = 3.

1 1 9


x
+
y
+
+ =

x
y 2

2) Giải hệ phương trình: 
 xy + 1 = 5

xy 2


Câu 3 (4 điểm). BC là một dây cung của đường tròn (O; R) (BC ≠ 2R). Điểm A di
động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC. Các đường cao AD,
BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H.
1) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
2) Kẻ đường kính AK của đường tròn (O; R). Chứng minh tứ giác BHKC là hình
bình hành.
3) Gọi A’ là trung điểm của BC. Chứng minh AH = 2OA’.
4) Gọi A1 là trung điểm của EF. Chứng minh R.AA1 = AA’. OA’.
Câu 4 (1 điểm). Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên
2

x - ax +a + 2 = 0
Câu 5 (1 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
-HếtGhi chú:
+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

2
1
+ với 0 < x < 2
2−x x


+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu trong khi làm bài.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TUYÊN QUANG

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013-2014

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN
TOÁN CHUYÊN
(Có 04 trang)

Câu

Hướng dẫn giải

Câu 1 1) x 2 − mx − m − 1 = 0 (*) .
(2 điểm) ∆ = m 2 + 4m + 4 = m + 2 2
(
)

0,5 điểm

0,25

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
2
∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) > 0 ⇔ m ≠ −2
2) Ta có: x1 + x 2 = m ; x1.x 2 = −m − 1 .
S=

4

( m + 1)

2

+3

m = −1 ⇒ S = −

Câu 2
(2 điểm)

1) Giải pt:

3

≥1−

4
1
=−
3

3

1
1
. Vậy, giá trị nhỏ nhất của S là: − .
3
3

x+2 + 3 7−x =3

0,5
1,0 điểm

⇒ 9 + 9 3 ( x + 2)(7 − x) = 27
3

0,5
0,5

⇔ x+2+7 - x +3 3 x + 2. 3 7 − x ( 3 x + 2 + 3 7 − x ) = 27
⇔

0,25
1,5 điểm

m 2 + 2m
m 2 + 2m
m 2 + 2m
=
=

x12 + x 22 + 2 ( x1 + x 2 ) 2 − 2x1x 2 + 2 m 2 + 2m + 4

S = 1−

Điểm

0,25
0,25

( x + 2)(7 − x) = 2

⇔ (x+2)(7-x) = 8
⇔ x2 - 5x - 6 = 0

0,25

 x = −1
⇔ 
(thỏa mãn)
x = 6
1 1 9

x + y + x + y = 2

2) Giải hpt: 
 xy + 1 = 5

xy 2

0,25

đ/k: xy ≠ 0

 2[ xy ( x + y ) + ( x + y )] = 9 xy (1)

Hệ đã cho 

2
 2( xy ) − 5 xy + 2 = 0
(3)
 xy = 2

Giải (2) ta được: 
1
(4)
 xy = 2

(2)

1,0 điểm

0,25

0,25

x + y = 3
x = 1
x = 2
⇔
; 

 xy = 2
y = 2
y =1

Từ (1) &(3) có: 

2

0,25


3

 x + y = 2
Từ (1)&(4) có: 
 xy = 1

2

x = 1

⇔
1
 y = 2

1

x =
; 
2

 y = 1

0,25

Câu 3
(4 điểm)

Vẽ hình chính xác

0,25

·
·
·
1) Tứ giác BCEF nội tiếp => AFE
(cùng bù BFE
)
= ACB
·
·
·
(cùng bù CEF
)
AEF
= ABC

=> ∆ AEF ∼ ∆ ABC.
2) Vẽ đường kính AK =>
KB // CH ( cùng ⊥ AB)
KC // BH (cùng ⊥ AC)

=> BHKC là hình bình hành
3) Ta có BHKC là hình bình hành
=> A'H=A'K
=> OA' là đường trung bình của ∆AHK
=> AH = 2OA’
4) Áp dụng tính chất : nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số giữa hai
trung tuyến, tỉ số giữa hai bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng
tỉ số đồng dạng. ta có :
R

AA '

∆ AEF ∼ ∆ ABC => R ' = AA (1) ( R là bán kính đường tròn ngoại
1
tiếp ∆ABC, R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF)
Ta có: AA’ là trung tuyến của ∆ABC; AA1 là trung tuyến của ∆AEF.
Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên đây cũng là
đường tròn ngoại tiếp ∆AEF
Từ (1) => R.AA1 = AA’. R’ = AA’
Vậy

R . AA1 = AA’ . A’O

AH
2 A 'O
= AA’ .
2
2

(2)

Câu 4
(1,0

Tìm số thực a để phương trình sau có nghiệm nguyên

3

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25


điểm)

2

x - ax +a + 2 = 0

Đ/k để pt có nghiệm: ∆ ≥ 0 ⇔ a2-4a - 8 ≥ 0 (*)
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm nguyên của pt đã cho (giả sử x1 ≠ x2)

0,25

 x1 + x2 = a
⇒ x1 x2 − x1 − x2 = 2
 x1 x2 = a + 2

Theo định lí Viet: 

⇔ (x1-1)(x2-1)=3
x −1 = 3
 x − 1 = −1
⇔ 1
;  1
 x2 − 1 = 1
 x2 − 1 = −3
x = 4
x = 0
⇔  1
;  1
 x2 = 2
 x2 = −2

0,25

(do x1-1 ≠ x2-1)

0,25

Như vậy a = 6 hoặc a = -2 thỏa mãn
Câu 5
1,0 điểm

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

A=

0,25

2
1
+ với 0 < x < 2
2− x x

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski:
(a2 + b2 ) (x2 + y2 ) ≥ (ax +by )2
Ta có:
2
2

2   1  
÷ + 
÷ 
2A = 
x÷

 2 − x ÷


  


(

2− x

=> 2A ≥ ( 2 + 1) = 3 + 2 2

2



2
1
x  ≥ 
2− x +
x÷
÷

x
 2− x


) +( )
2

2

0,25

2

2
1
Suy ra: min 2A = 3 + 2 2 ⇔ 2 − x = x
2− x x
2
1
⇔
= 2
2
( 2 − x) x
⇔ 2x2 = x2 − 4x + 4
⇔ x2 + 4x + 4 = 8

0,25

0,25

⇔ ( x + 2) = 8
2

⇔ x + 2 = 8 Vì 0 < x < 2
⇔ x = 2 2 −2

Vậy min A = 1,5 + 2 ⇔ x = 2 2 − 2

Ghi chú: Thí sinh làm bài không giống đáp án (nếu đúng) vẫn được điểm tối đa theo quy
định.

4

0,25