100 bài toán OXY chọn lọc

Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

100 BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ HÌNH PHẲNG OXY
QUÀ TẶNG HỌC SINH NHÂN DỊP 6/3/3016

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
2
( C ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 10 ,đường cao AK của tam giác ABC đi qua điểm E ( 2; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh

Câu

1.

2

 4 11 
của tam giác ABC biết trọng tâm tam giác ABC là G  ;  và điểm A có tung độ dương.
3 3 
Lời giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC.
Theo tính chất Ơ-le ta có: HG = 2GI ( các bạn có thể dựa vào hình
bên để chứng minh lại tính chất này )
−1
4
−
x
=

2.
H
 3
 4 11 
3
Trong đó I (1; 2 ) , G  ;  ta có: 
⇒ H ( 2; 7 )
11
−
5
3 3 
 − y = 2.
H
 3
3
Do vậy phương trình đường thẳng AH : x = 2 .
Ta có: A = AH ∩ ( C ) ⇒ A ( 2;5) ( do y A > 0 )

Khi đó gọi M là trung điểm của BC ta có: AM = 3GM do vậy

4

 xM − 2 = 3  xM − 3 



⇒ M (1;3) ⇒ BC : y = 3

 y − 5 = 3  y − 11 
 M


 M
3

 B ( 4;3) ; C ( −2;3)
 y = 3
Khi đó toạ độ B,C là nghiệm của hệ PT: 
⇒
2
2
( x − 1) + ( y − 2 ) = 10  B ( −2;3) ; C ( 4;3)
Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB < CD. Biết rằng

 −3 1 
3 3
AC vuông góc CD và M  ;  , N  ;  lần lượt là trung điểm của BD, BC. Gọi I là giao điểm AC và
 2 2
2 2
BD, J là giao điểm của AD và BC. Tìm tọa độ các đỉnh A và B, biết đường thẳng IJ có phương trình là
3x − y + 3 = 0

Lời giải:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Ta có:

FB: LyHung95

BE IE IA AB
=
=
=
(định lý Talet)
DF IF IC CD

Lại có :

BE JB AB
=
=
(Ta let)
CF JC CD

Do vậy CF = DF , tương tự ta cũng có EA = EB .
Khi đó NE / / AC ⊥ MN ⇒ NE : 3 x + y − 6 = 0
1 9
⇒ E  ;  ⇒ AB : x − 3 y + 13 = 0 , gọi K là điểm
2 2
 5 −3 
đối xứng của E qua N khi đó K  ;  ∈ CD
2 2 
Do vậy CD : x − 3 y − 7 = 0 ⇒ F ( −2; −3) . Do NMFC là hình bình hành nên C (1; −2 )
Do đó AC : 3x + y − 1 = 0 ⇒ A ( −1; 4 ) ⇒ B ( 2;5 ) .
Vậy A ( −1; 4 ) ; B ( 2;5) .

Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hai đường cao xuất phát từ B và C cắt

nhau tại điểm H (−1;0) , điểm A thuộc đường thẳng d : 3 x + y − 3 = 0. Đường tròn đường kính BC có
phương trình ( x − 2 ) + ( y + 1) = 16 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
2

2

Lời giải:
Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm I , M là trung điểm của BC.
CD / / HB ⊥ AC
Dễ thấy HBDC là hình bình hành do: 
 BD / / CH ⊥ AB
Khi đó M cũng là trung điểm của HD hay IM là đường trung bình
của tam giác AHD ⇒ AH = 2 IM .Lại có: M ( 2; −1) ; MB = 4
 5 + t −3t + 1 
Gọi A ( t ;3 − 3t ) ta có AH = 2 IM ⇒ I 
;

2 
 2
Lại có: IA2 = IB 2 = IM 2 + MB 2 .

 5 − t   5 − 3t   t + 1   3 − 3t 
⇔
 +
 =
 +
 + 16
 2   2   2   2 
2

2

2

2

⇔ t = −1 ⇒ A ( −1; 6 ) ; I ( 2; 2 ) ⇒ BC : y = −1
Do đó: A ( −1;6 ) ; B ( 6; −1) ; C ( −2; −1) hoặc A ( −1;6 ) ; B ( −2; −1) ; C ( 6; −1)

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H ( 2; −2 ) , phương trình cạnh BC là
y + 5 = 0 . Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm M ( 7; −3) , N ( 4; −8) .Tìm tọa độ điểm
A,B,C của tam giác ABC.

Lời giải:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Phương trình đường cao AH đi qua H ( 2; −2 ) và vuông
góc với BC là: x = 2 .
Gọi D là điểm đối xứng của A qua I , J là trung điểm của
BC. Ta có: BH / / CD ⊥ AC , tương tự BH / / CD do vậy
BHCD là hình bình hành khi đó IJ là đường trung bình
của tam giác AHD. Gọi J ( t ; −5 ) ∈ BC , A ( 2; u ) .

0 = 2 ( t − xI )

 u −8 
Ta có: AH = 2 IJ ⇒ 
⇒ I  t;

2 

−2 − u = 2 ( −5 − yI )
MN ( −3; −5 ) , phương trình trung trực của MN
là: 3 x + 5 y + 11 = 0 .

Vì điểm I thuộc trung trực của MN nên ⇒ 3t + 5

Lại có: IM = IA ⇔ ( 7 − t )
2

2

u −8
= −11 ⇔ 6t + 5u = 18 (1) .
2

2
u −2
 u +8
+
 = (t − 2) + 
 ⇔ 30 = 10t + 5u ⇔ 2t + u = 6 ( 2 )
 2 
 2 
2

2

2

Từ (1) và (2) suy ra t = 3; u = 0 ⇒ I ( 3; −4 ) ; A ( 2; 0 ) ⇒ ( ABC ) : ( x − 3) + ( y + 4 ) = 17
2

2

Vậy A ( 2;0 ) ; B ( 7; −5 ) ; C ( −1; −5 ) hoặc A ( 2;0 ) ; B ( −1; −5 ) ; C ( 7; −5 ) .

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại hai đỉnh A và D, CD = 2AB. Gọi E

7 9
là hình chiếu vuông góc của D lên đường chéo AC. Đỉnh D ( −1;1) , và điểm N  ;  là trung điểm EC,
 5 5
đỉnh B thuộc đường thẳng x − y + 2 = 0 . Tìm toa độ các đỉnh A, B, C.
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của CD khi đó ABCD nội tiếp đường
tròn đường kính AB và AK. Do NK / / DE ⇒ NK ⊥ AN do
vậy AKN nội tiếp đường tròn đường kính AK. Do đó 5
điểm A,B,N,K,D thuộc đường tròn đường kính BD.
Do vậy ∆BDN vuông tại N.
Khi đó: BN : 3x + y − 6 = 0 ⇒ B (1;3) .
Lại có: AC ∩ BD = F .

FB 1
1
= ⇒ FB = − FD

FD 2
2

1

1 − xF = − 2 ( −1 − xF )
1 7
⇒
⇒ F  ;  ⇒ AC : x + 2 y − 5 = 0
3 3
3 − y = − 1 (1 − y )
F
F

2

 −1 13 
Khi đó DE : 2 x − y + 3 = 0 ⇒ E  ;  ⇒ C ( 3;1) .
 5 5
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Lại có: DC = 2 AB ⇒ A ( −1;3) .
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hình chiếu vuông góc của B trên đường

 3 −3 

thẳng AC là E(5; 0), trung điểm của AE và CD lần lượt là F(0; 2), I  ;  . Viết phương trình đường
2 2 
thẳng CD.
Lời giải:
Kẻ FK / / AB / / CD ( K ∈ BE ) khi đó KF là đường trung bình của
tam giác AEB ta có: KF / / =

1
AB = CI nên KCIF là hình bình
2

hành.

 FK ⊥ BC
Dễ thấy 
⇒ CK / / FI ⊥ BF .
 BE ⊥ AC
Phương trình đường thẳng BF qua F và vuông góc với FI là
BF : 3 x − 7 y + 14 = 0 . Lại có F là trung điểm của AE nên A ( −5; 4 ) .

Phương trình đường thẳng BE qua E và vuông góc với AC là: 5 x − 2 y − 25 = 0 ⇒ B = BE ∩ BF ⇒ B ( 7;5)
39
=0
2
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm B(2; 0), đường thẳng đi qua đỉnh

Khi đó: AB = (12;1) ⇒ nCD = (1; −12 ) ⇒ CD : x − 12 y +

B và vuông góc với đường chéo AC có phương trình 7 x − y − 14 = 0 , đường thẳng đi qua đỉnh A và trung

điểm của cạnh BC có phương trình x + 2 y − 7 = 0 . Tìm tọa độ điểm D của hình chữ nhật ABCD, biết điểm
A có hoành độ âm.

Lời giải
Gọi H là hình chiếu của B trên AC , M là trung điểm
BC

Do M ∈ x + 2 y − 7 = 0 ⇒ M ( 7 − 2t ; t )

M ( 7 − 2t ; t ) là trung điểm của BC ⇒ C (12 − 4t ; 2t )
Đường thẳng AC qua C (12 − 4t ; 2t ) và vuông góc với
BH nên đường thẳng AC : x + 7 y − 10t − 12 = 0

Ta có A = AM ∩ AC ⇒ A ( 5 − 4t ; 2t + 1)
Do AB ⊥ BC ⇒ AB.BC = 0
Mà AB = ( 4t − 3; −2t − 1) , BC = (10 − 4t ; 2t )

t = 1 ⇒ A (1;3) → l
⇒ ( 4t − 3)(10 − 4t ) + 2t ( −2t − 1) = 0 ⇔ 2t − 5t + 3 = 0 ⇔  3
t = ⇒ A ( −1; 4 ) , C ( 6;3 )
 2
2

5 7
Gọi I là trung điểm của AC ⇒ I  ;  , mà I là trung điểm của BD ⇒ D ( 3;7 )
2 2
Vậy D ( 3;7 )

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 2, BC = 2 2 , điểm E thuộc
đoạn DC sao cho EC =

4 2
 14 17 
, điểm I  ;  thuộc đường thẳng BE. Biết đường thẳng AC có phương
3
 3 3

trình x - 5y + 3 =0 và các điểm A, B có hoành độ nguyên dương. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D của hình
chữ nhật.

Lời giải
Ta có AC = AB + BC và BE = BC + CE

(

)(

)

⇒ AC.BE = AB + BC BC + CE = AB.BC + AB.CE +
BC.BC + BC.CE = 0 − AB.CE + BC 2 + 0 = 8 − 8 = 0

⇒ AC.BE = 0 ⇒ AC ⊥ BE

 14 17 
Đường thẳng BE qua I  ;  và vuôn góc với AC
 3 3
nên đường thẳng BE : 5 x + y − 29 = 0

 71 22 
Gọi H là giao điểm của BE với AC ⇒ H  ; 
 13 13 
Do B ∈ BE : 5 x + y − 29 = 0 ⇒ B ( t ; 29 − 5t ) . Xét ∆ABC ta có

1
1
1
13
72
=
+
=
⇒ BH 2 =
2
2
2
72
13
BH
BA
BC

 77
 77 8 

2
2
72
 71   355

t = 13 ⇒ B  13 ; − 13  → l
2
⇒ t −  + 
− 5t  =
⇔ 26t − 284t + 770 = 0 ⇔ 


13
 13   13

t = 5 ⇒ B ( 5; 4 )
Do A ∈ AC : x − 5 y + 3 = 0 ⇒ A ( 5a − 3; a )
Mà AB = 3 2 ⇒ ( 5a − 8 ) + ( a − 4 )
2

2

31

 116 31 
 a = 13 ⇒ A  13 ; 13  → l
= 18 ⇔ 26a − 88a + 62 = 0 ⇔ 


 a = 1 ⇒ A ( 2;1)

2

Đường thẳng BC qua B ( 5; 4 ) và vuông góc với AB nên đường thẳng BC : x + y − 9 = 0
Ta có
9 3
Gọi M là giao điểm của AC và BD ⇒ M  ;  , mà M là trung điểm của BD ⇒ D ( 4; −1)
2 2
Vậy A ( 2;1) , B ( 5; 4 ) , C ( 7; 2 ) , D ( 4; −1)

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là
4 x + 3 y − 7 = 0 , đường phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại D , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 13 −7 
63 −8
;  , đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm J  ;  . Tìm tọa độ điểm B biết hoành
2 4
 22 11 

tại M 

độ điểm B là số nguyên.
Lời giải

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 63 8 
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm J  ; − 
 22 11 
 13 7 
và đi qua điểm M  ; −  nên đường tròn ngoại tiếp
 2 4
∆ABC là
2

2

2

63
8
63 13
8 7
( C ) :  x −  +  y +  =  −  +  − 
22  
11   22 2   11 4 


2

Do B ∈ 4 x + 3 y − 7 = 0 ⇒ B (1 + 3t ;1 − 4t )
2

2

41   19


 1600 2025
Mà M ∈ ( C ) ⇒  3t −  +  − 4t  =
+
22   11
121 1936



 5
 19

t = 4 ⇒ B  4 ; −4 
125


⇔ 25t 2 − 25t −
=0⇔

16
1
1 
t = − ⇒ B  ; 2 
4
4 

 19

1 
Vậy B  ; −4  hoặc B  ; 2 

 4

4 
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(5; −7) , điểm C thuộc đường
thẳng có phương trinh x − y + 4 = 0 . Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn thẳng AB có phương
trình 3 x − 4 y − 23 = 0 . Tìm tọa độ điểm B và C, Biết B có hoành độ dương.

Lời giải:
Gọi I là tâm hình chữ nhật, M là trung điểm của AB. Khi đó AI cắt DM
tại trọng tâm G của tam giác ABD.

 4t + 23 
Do vậy AC = 3 AG . Gọi G 
; t  ; C ( u; u + 4 ) ta có:
 3



 4t + 23 
− 5
u = 1
u − 5 = 3 
 11

⇒ C (1;5 ) ; G  ; −3  .
 3
⇔

t
=

−
3
3


u + 11 = 3 ( t + 7 )

d = 9
3d + 5 3d − 43
 3d − 23 
Gọi D  d ;
.
=0⇔ 
3
 ta có: DA.DC = 0 ⇔ ( d − 5 )( d − 1) +
d = −
4 
4
4

5

Với d = 9 ⇒ D ( 9;1) ⇒ B ( −3; −3) ( ko _ tm ) .
3
 3 31 
 33 21 
Với d = − ⇒ D  − ; −  ⇒ B  ;  .
5
 5 5
 5 5 

 33 21 
Vậy B  ;  ; C (1;5 ) ; D ( 9;1) .
 5 5 

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại C, biết A(1;-2), đường tròn đường
kinh AC có phương trình (C ) : x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 9 = 0 cắt cạnh AB tại M sao cho AB = 3 AM . Tìm tọa
độ điểm B.
Lời giải:
Đường tròn đường kính AC có tâm I ( 3; −2 ) là trung điểm của
AC.
Do vậy C ( 5; −2 ) ⇒ BC : x = 5 . Đặt AM = a ⇒ AB = 3a .
Khi đó: AM . AB = AC 2 ⇔ a.3a = 16 ⇔ a =

4
. Gọi B ( 5; t )
3

 t = −2 − 4 2
2
Ta có: AB = 3a = 4 3 = 16 + ( t + 2 ) ⇔ 
t = −2 + 4 2

(

)

(

Do vậy B 5; −2 − 4 2 hoặc B 5; −2 + 4 2

)

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác trong kẻ từ A
3

là D  2; −  , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
2


 1 
I  − ;1 . Tìm tọa độ đỉnh B và C.
 2 

Lời giải
Gọi M là giao điểm của AD với ( C ) ⇒ IM ⊥ BC
3

Đường thẳng AD qua A ( 2;6 ) và D  2; −  nên đường
2

thẳng AD : x = 2
 1 
Đường tròn ( C ) ngoại tiếp ∆ABC có tâm I  − ;1 và

 2 
2

1
125
2

bán kính R = IA ⇒ ( C ) :  x +  + ( y − 1) =
2
4

5

Ta có M = AD ∩ ( C ) ⇒ M ( 2; −4 ) ⇒ IM =  ; −5 
2

3

Đường thẳng BC qua D  2; −  và vuông góc với IM
2

nên đường thẳng BC : x − 2 y − 5 = 0
2

11 
125
2

Do B ∈ BC ⇒ B ( 2t + 5; t ) . Ta có IB = IA ⇒  2t +  + ( t − 1) =
2

4


t = 0 ⇒ B ( 5; 0 ) ⇒ C ( −3; −4 )
⇔ 5t 2 + 20t = 0 ⇔ 
t = −4 ⇒ B ( −3; −4 ) ⇒ C ( 5; 0 )
Vậy B ( 5; 0 ) , C ( −3; −4 ) hoặc B ( −3; −4 ) , C ( 5;0 )

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 11 
Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm F  ;3  là trung điểm của cạnh AD.
2 

Đường thẳng EK có phương trình 19x – 8y – 18 = 0 với điểm E là trung điểm của cạnh AB, K thuộc cạnh
CD và KD = 3KC. Tìm tọa độ đỉnh C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
Giả sử AB = BC = CA = AD = 4a
Ta có EF =

Lời giải

AE 2 + AF 2 = 4a 2 + 4a 2 = 2a 2

EK = EH 2 + HK 2 = 16a 2 + a 2 = a 17
FK = FD 2 + DK 2 = 4a 2 + 9a 2 = a 13

EF 2 + EK 2 − FK 2
3
⇒ cos FEK =
=
2 EF .EK
34
 11 
Đường thẳng EF qua F  ;3  nên ta gọi đường thẳng EF
2 
11 

là EF : a  x −  + b ( y − 3) = 0
2

19a − 8b
3
3
Ta có cos ( EF , EK ) =
⇒
=
34
34
192 + 82 a 2 + b 2
⇔

19a − 8b
5 17 a 2 + b 2

=

3
34

⇔ 2 19a − 8b = 15 2a 2 + 2b 2 ⇔ 4 (19a − 8b ) = 225 ( 2a 2 + 2b 2 )
2

 71a + 97b = 0
⇔ 994a 2 − 1216ab − 194b 2 = 0 ⇔ ( 7 a + b )( 71a + 97b ) = 0 ⇔ 
7a + b = 0
641
Với 71a + 97b = 0 chọn a = 97, b = −71 ⇒ EF : 97 x − 71 y −
=0
2
 1286 8687 
Ta có E = EF ∩ EK ⇒ E  −
;−
→l
 573 1146 
31
Với 7 a + b = 0 chọn a = 1, b = −7 ⇒ EF : x − 7 y +
=0
2
 5
Ta có E = EF ∩ EK ⇒ E  2; 
 2
 15 11 
Gọi I là giao điểm của AC với EF ⇒ I là trung điểm của EF ⇒ I  ; 
 4 4
 15 11 
Đường thẳng AC qua I  ;  và vuông góc với EF nên đường thẳng AC : 7 x + y − 29 = 0

 4 4
1 7


Do C ∈ AC : 7 x + y − 29 = 0 ⇒ C ( t ; 29 − 7t ) , mà CI = 3IA ⇒ A  5 − t ; t − 6 
3 3


t = 3 ⇒ C ( 3;8)
2
2
4
  28


Ta có AC = 2 EF = 5 2 ⇒  t − 5  +  t − 35  = 50 ⇔  9
9 5
t = ⇒ C  ;− 
3
  3

 2
2 2
9 5
Vậy C ( 3;8 ) hoặc C  ; − 
2 2
Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 30, hai điểm E (3;3) ,

điểm F nằm trên đường thẳng BC. Hình chiếu vuông góc của điêm D trên đường thẳng AF là điểm

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

 14 −3 
 −1 
H  ;  . Biết điểm M  ;0  là trung điểm của cạnh AD và đường thẳng BC có hệ số góc là một số
 5 5 
 2 

nguyên. Tìm tọa độ của hình chữ nhật ABCD.
Lời giải:
Ta có: MA = MD = MH ( tính chất trung tuyến trong tam giác
vuông ). Khi đó: AD = 2 MH = 3 5 .
Lại có: S ABCD = AD. AB = 30 ⇒ AB = 2 5
Gọi nAB = ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) ta có: d ( M ; BC ) = AB = 2 5
7
a + 3b
2

 a = 2b
Trong đó: BC : a ( x − 3) + b ( y − 3) = 0 ⇒
= 2 5 ⇔ 31a − 84ab + 44b = 0 ⇔ 
22 ( loai )
2
2
a = b

a +b
31

2

2

Với a = 2b ⇒ BC : 2 x + y − 9 = 0 ⇒ AD : 2 x + y + 1 = 0 .
2
t = 1
45
2
 1
⇔
.
Gọi A ( t ; −2t − 1) ta có: MA2 =  t +  + ( 2t + 1) =
4
 2
 t = −2

Với t = 1 ⇒ A (1; −3) ; D ( −2;3) ⇒ AB : x − 2 y − 7 = 0 ⇒ B = AB ∩ BC ⇒ B ( 5; −1)
Khi đó: CD : x − 2 y + 8 = 0 ⇒ C ( 2;5)
Với t = −2 tương tự.

Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho
EB = 2 AB và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho DF = 3 AF . Các đường thẳng CE, CF tương ứng có

phương trình là 4 x − 3 y − 20 = 0 và 2 x + 11 y − 10 = 0 .Biết điểm M (−2; 4) nằm trên đường thẳng AD,
tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.

Lời giải:
Ta có: C = CE ∩ CF ⇒ C ( 5;0 ) . Đặt AB = 4a ta có:
DF = 3a; CF = DF 2 + CD 2 = 5a . Do vậy cos DFC =

DF 3
= .
CF 5

Gọi nAD ( a; b ) ( a 2 + b 2 > 0 ) ta có:
 a = 2b
3
2
2
cos ( AD; CF ) =
= ⇔ 41a − 44ab − 76b = 0 ⇔ 
2
2
 a = −38b
a + b .5 5 5

41

2a + 11b

 1 
Với a = 2b ⇒ nAD ( 2;1) ⇒ AD : 2 x + y = 0 ⇒ F = CF ∩ AD ⇒ F  − ;1
 2 
Khi đó: CD : x − 2 y − 5 = 0 ⇒ D (1; −2 ) . Lại có DF = 3 AF ⇒ A ( −1; 2 ) ⇒ I ( 2;1) ⇒ B ( 3; 4 )
−38
b các bạn từ làm nhé ( tương tự ☺))

41
Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (C). Gọi M là trung
Với a =

 10 1 
điểm của cạnh AB, đường thẳng CM cắt đường tròn (C) tại E (0; 2) . Biết G  ;  là trọng tâm của tam
 3 3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

giác ABC, điểm F (2; −4) nằm trên đường tròn (C) và đểm B có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của
hình chữ nhật ABCD.

Lời giải:
Gọi I là tâm của hình chữ nhật và cũng là tâm đường tròn ( C ) . Khi

đó điểm I thuộc trung trực của EF hay I thuộc d : x − 3 y − 4 = 0
Do đó I ( 3a + 4; a ) .Lại có: BG = 2GI ⇒ B ( 2 − 6a;1 − 2a )
Mặt khác IB = IE ⇔ ( 2 + 9a ) + ( 3a − 1) = ( 3a + 4 ) + ( a − 2 )
2

2

2

2

3

a=

8
⇔ 8a 2 + 10a − 15 = 0 ⇔ 
.
a = − 1

2

5 1
Do xB > 0 ⇒ B ( 5; 2 ) ⇒ I  ; −  . Khi đó M thuộc GE có PT: GE : x + 2 y − 4 = 0 ⇒ M ( 4 − 2t ; t )
2 2

t = 1 ⇒ M ( 2;1)
3

 1

2
Mặt khác IM .BM = 0 ⇔  − 2t  (1 + 2t ) +  t +  ( 2 − t ) = 0 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇔  −1
1

t=
⇒ M  5; − 
2


 2

2
2

Do M nằm giữa G và E nên ta có: M ( 2;1)
Từ đó suy ra A ( −1;3) ; D ( 0; −3) ; C ( 6; −4 ) .

Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I và bán kinh R = 10 , gọi M là một
điểm trên đường thẳng d : 2 x − y − 6 = 0 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là hai
tiếp điểm). Biết rằng phương trình đường AB là x − y = 0 và khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d
bằng 2 5 . Viết phương trình đường tròn (C).

Lời giải:
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d , IH cắt
AB tại K, IM cắt AB tại E.
Ta có IH = 2 2 , Mặt khác
IE IH
cos MIH =
=
⇒ IE.IM = IK .IH = IA2 = R 2 = 10
IK IM
( có thể chứng minh IE.IM = IK .IH (phương tích) vì tứ
giác EMHK là tứ giác nội tiếp)
10
+) Theo gt IH = 2 5 ⇒ IK =
= 5 ⇒ KH = 5
2 5
do đó K là trung điểm của IH.
t −6

+) Gọi K ( t ; t ) ⇒ d ( K ; d ) = 5 ⇔
= 5
5
t = 1 ⇒ K (1;1)
⇔ t −6 = 5⇒ 
t = 11 ⇒ K (11;11)
+) Với K (1;1) ⇒ IH : x + 2 y − 3 = 0 ⇒ H ( 3;0 ) ⇒ I ( −1; 2 ) ⇒ ( C ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) = 10
2

2

+) Với K (11;11) ⇒ IH : x + 2 y − 33 = 0 ⇒ H ( 9;12 ) ⇒ I (13;10 ) ⇒ ( C ) : ( x − 13) + ( y − 10 ) = 10
2

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Câu 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M ( 5;3) là
trung điểm của cạnh BC. Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm E (1;1) . Tìm toạ độ các đỉnh
A,B,C biết D ( 6; 2 ) và điểm C thuộc đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 .
Lời giải
Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có: CH / / BD ⊥ AB và
BH / / CD do vậy BHCD là hình bình hành suy ra M là trung điểm
của BC đồng thời là trung điểm của HD.

Khi đó H ( 4; 4 ) suy ra PT đường cao BH là: x − y = 0 .

2u + 1 + v = 10
Gọi C ( 2u + 1; u ) ; B ( v; v ) ta có: 
⇔ u = v =3.
u + v = 6
Do vậy C ( 7;3) ; B ( 3;3)
Khi đó AH : x = 4; AC : x + y − 10 = 0 ⇒ A ( 4;6 ) .
Vậy A ( 4;6 ) ; B ( 3;3) ; C ( 7;3)
Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5.
Chân đường cao hạ từ B, C, A của tam giác ABC lần lượt là D(4; 2), E(1; -2) và F. Tìm tọa độ tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác DEF, biết rằng A có tung độ dương.

Lời giải
Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn
Ta có xAB = BCA (do Ax là tiếp tuyến)

AED = BCA (do tứ giác BCDE nội tiếp)

⇒ xAB = AED ⇒ Ax / / ED , mà
AI ⊥ Ax ⇒ AI ⊥ DE

Đường thẳng DE qua D ( 4; 2 ) và E (1; −2 ) nên
đường thẳng DE : 4 x − 3 y − 10 = 0
Đường thẳng AI qua I ( 2;1) và vuông góc với
đường thẳng ED ⇒ AI : 3 x + 4 y − 10 = 0
Do A ∈ AI : 3x + 4 y − 10 = 0 ⇒ A ( 2 + 4t ;1 − 3t )

t = 1( l )
Ta có IA = 5 ⇒ 16t 2 + 9t 2 = 25 ⇔ t 2 = 1 ⇔ 

⇒ A ( −2; 4 )
 t = −1
Ta có: EDH = ECB (do tứ giác BCDE nội tiếp) và FDH = ECB (do tứ giác FCDH nội tiếp)
⇒ EDH = FDH ⇒ DH là phân giác trong của EDF
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Tương tự ta cũng chứng minh được EH là phân giác trong của FED
⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Đường thẳng EC qua E (1; −2 ) và vuông góc với AB nên đường thẳng EC : x − 2 y − 5 = 0
Đường thẳng BD qua D ( 4; 2 ) và vuông góc với AC nên đường thẳng BD : 3 x − y − 10 = 0
Ta có H = EC ∩ BD ⇒ H ( 3; −1)
Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF là H ( 3; −1)

Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có đáy là AD và BC, biết rằng AB = BC,
AD = 7. Đường chéo AC có phương trình x – 3y – 3 = 0; điểm M(-2; -5) thuộc đường thẳng AD. Tìm tọa
độ đỉnh D biết rằng đỉnh B(1;1).
Gọi M là trung điểm của AC ⇒ BM ⊥ AC
Đường thẳng BM qua B (1;1) và vuông góc với

Lời giải

AC nên đường thẳng BM : 3 x + y − 4 = 0
3 1
Ta có M = BM ⊥ AC ⇒ M  ; − 

2 2
Do A ∈ AC ⇒ A ( 3a + 3; a ) ⇒ C ( −3a; −1 − a )
Ta có CB = ( 3a + 1; a + 2 ) , MA = ( 3a + 5; a + 5 )
3a + 1 a + 2
=
⇔ a =1
3a + 5 a + 5
⇒ A ( 6;1) , C ( −3; −2 )

Mà BC / / AM ⇒

Đường thẳng AD qua A ( 6;1) và M ( −2; −5 ) nên đường thẳng AD : 3 x − 4 y − 14 = 0

Do D ∈ AD : 3 x − 4 y − 14 = 0 ⇒ D ( 6 + 4t ;1 + 3t ) .

 7
 58 26 
t = 5 ⇒ D  5 ; 5 


Ta có AD = 7 ⇒ 16t 2 + 9t 2 = 49 ⇔ 

7
 2 16 
t = − ⇒ D  ; − 
5
5
5

 58 26 

 2 16 
Vậy D  ;  hoặc D  ; − 
5
 5 5 
5
Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( K ) : x 2 + y 2 = 4 và hai điểm A(0; 2), B(0; -2).
Điểm C và D (C khác A và B) là hai điểm thuộc đường tròn (K) và đối xứng nhau qua trục tung. Biết rằng
giao điểm E của hai đường AC và BD nằm trên đường tròn ( K1 ) : x 2 + y 2 + 3 x − 4 = 0 , hãy tìm tọa độ điểm
E.

Lời giải:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Ta có: PT đường thẳng AB là x = 0 . Mặt khác đường tròn ( K ) có
tâm là O ( 0;0 ) ; R = 2 ⇒ AB là đường kính.
Lại có: C ; D đối xứng nhau qua Oy nên CD ⊥ Oy ⇒ CD / / AB .

Khi đó ABCD là hình thang cân nội tiếp đường tròn ( K ) . Gọi
E = AC ∩ BD ta có EAB là tam giác cân tại E nên EO ⊥ AB

 E (1; 0 )
Do vậy E thuộc Oy. Khi đó E = ( K1 ) ∩ Oy ⇒ 
.
 E ( −4;0 )

Vậy E (1; 0 ) hoặc E ( −4;0 ) là các điểm cần tìm.

Câu 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D (4;5) . Điểm M là trung điểm của
đoạn AD, đường thẳng CM có phương trình x − 8 y + 10 = 0 . Điểm B nằm trên đường thẳng 2 x + y + 1 = 0 .
Tìm tọa độ các đỉnh A, B và C biết rằng C có tung độ nhỏ hơn 2.

Lời giải:
Gọi I là tâm hình chữ nhật, M là trung điểm của AD. Khi đó DI
cắt CM tại trọng tâm G của tam giác ACD.
Do vậy BD = 3GD . Gọi G ( 8u − 10; u ) ; B ( t ; −2t − 1) ta có:

t = 2
4 − t = 3 (14 − 8u )

 10 5 
⇔
5 ⇒ B ( 2; −5 ) ; G  ;  .

 3 3
6 + 2t = 3 ( 5 − u )
u = 3

C ( 8v − 10; v )

Gọi

ta

có:

 11
 38 11 
v = 5 ⇒ C  5 ; 5  ( loai )
CB.CD = 0 ⇔ ( 8v − 12 )( 8v − 14 ) + ( v + 5 )( v − 5 ) = 0 ⇔ 


v = 1 ⇒ C ( −2;1)
Với C ( −2;1) ⇒ A ( 8; −1)
Vậy A ( 8; −1) ; B ( 2; −5 ) ; C ( −2;1) ; .

Câu 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp đường tròn (C) có phương
trình x 2 + y 2 − 10 y − 25 = 0 . I là tâm đường tròn (C), đường thẳng BI cắt đường tròn (C) tại M(5; 0).
 −17 −6 
Đường cao kẻ từ C cắt đường tròn (C) tại N 
;  . Tìm tọa độ A, B, C biết hoành độ điểm A
 5 5 
dương.

Lời giải:

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học CHINH PHỤC HÌNH PHẲNG OXY – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Do tam giác ABC cân nên tâm I ( 0;5) của đường tròn ( C ) thuộc

trung tuyến BE. Do I là trung điểm của BM nên B ( −5;10 )

Phương trình đường thẳng BM: x + y − 5 = 0 .
Gọi H = BM ∩ CD là trực tâm tam giác ABC .
Ta có : ABM = ACD ( cùng phụ với góc ABC ) do đó AN = AM
Khi đó : AN = AM , lại có IN = IM nên IA là trung trực của MN
Phương trình IA là: 7 x + y − 5 = 0 . Gọi A ( t ;5 − 7t ) ( t > 0 ) .
Ta có: IA = R = 5 2 ⇔ 50t 2 = 50 ⇒ t = 1 ⇒ A (1; −2 )

Điểm C đối xứng với A qua BM nên C ( 7; 4 )

Đáp số: A (1; −2 ) ; B ( −5;10 ) ; C ( 7; 4 ) là các điểm cần tìm.

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016