Luận văn Định lý Brauer và ứng dụng

Lời nói đầu
Một trong những kết quả cơ bản nhất của Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn là
định lý Brauer về đặc trưng cảm sinh: Mỗi đặc trưng của một nhóm hữu hạn G là một
tổ hợp tuyến tính với hệ số nguyên của các đặc trưng cảm sinh từ các đặc trưng của
các nhóm con sơ cấp của G. Nói cách khác, định lý Brauer chỉ ra rằng vành đặc trưng
của một nhóm hữu hạn G được sinh (như một nhóm abel) bởi một tập con các đặc
trưng cảm sinh từ các đặc trưng của họ các nhóm con sơ cấp của G. Định lý đã được
Brauer chứng minh vào năm 1946. Trong chứng minh của mình, Brauer đã khai thác
cấu trúc vành của vành đặc trưng và tính nguyên đại số của đặc trưng nhóm.
Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu có tồn tại một họ các nhóm con “nhỏ hơn”
họ các nhóm con sơ cấp để định lý Brauer vẫn còn đúng không? Câu trả lời đã được
J. A. Green đưa ra vào năm 1955. Trong đó, ông khẳng định không tồn tại một họ các
nhóm con như vậy.
Các kết quả trên không chỉ đúng trên trường số phức C mà còn đúng trên một
trường đóng đại số với đặc số 0 bất kỳ. Tuy nhiên, nếu xét trên một trường K có đặc
số 0, nhưng không đóng đại số thì định lý Brauer không còn đúng nữa. Thay vào đó,
một kết quả tổng quát của định lý Brauer đã được Witt và Berman đồng thời đưa ra.
Kết quả đó chỉ ra rằng để có được định lý Brauer trong trường hợp này, cần phải thay
họ các nhóm con sơ cấp bằng một họ “rộng hơn” các nhóm con của G, gọi là họ các
nhóm con ΓK −sơ cấp. Cùng với kết quả trên, khi nghiên cứu cấu trúc của vành biểu

diễn của nhóm hữu hạn trên K, người ta đã thu được một số kết quả quan trọng như:
tính xác định trên trường chia đường tròn, chỉ số Schur, biểu diễn thực, ...
Bản luận văn của chúng tôi gồm 3 chương:
Chương 0 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong chương này, chúng tôi

nhắc lại một số kết quả cơ bản của Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn như: biểu diễn
cảm sinh, công thức tương hỗ Frobenius, vành biểu diễn. Những kết quả này sẽ được
sử dụng trong phần còn lại của luận văn. Nội dung của chương này được viết theo
J. P. Serre [7] và N. H. V. Hưng [1].
Chương 1 là một trong hai chương chính của luận văn. Phần đầu của chương này,

chúng tôi trình bày các chứng minh cho định lý Artin, định lý Brauer về đặc trưng
cảm sinh và một số ứng dụng của định lý Brauer như: tính chất của đặc trưng, định lý

i


Frobenius, định lý Green. Nội dung ở phần này được viết chủ yếu theo J . P . Serre [7].
Phần còn lại của chương này, chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho các kết quả
trên, đặc biệt là cho định lý Artin và định lý Brauer.
Chương 2 dành cho việc nghiên cứu cấu trúc của vành biểu diễn của nhóm hữu
hạn trên trường không đóng đại số với đặc số 0. Nội dung chính của chương này là
chứng minh chi tiết cho một kết quả tổng quát của định lý Brauer. Đồng thời, chúng
tôi cũng trình bày một số kết quả về các câu hỏi hữu tỉ như: chỉ số Schur, tính xác
định trên trường chia đường tròn, biểu diễn thực. Chương này được trình bày chủ yếu
theo J. P. Serre [7], có tham khảo thêm C. W. Curtis and I. Reiner [3] và G. James
and M. Liebeck [4].
Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn
khoa học của mình, TS. Lê Minh Hà, người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ
tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các thầy
cô trong khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội, đặc biệt là các thầy cô ở tổ bộ môn Đại số - Hình học - Tôpô, đã cho tác giả
được học tập trong một môi trường khoa học. Cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình
đã động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, tháng 01 năm 2009
Học viên
Khuất Văn Thanh

ii

Bảng ký hiệu
Card(G)

cấp của nhóm G

G/H

họ tất cả các lớp kề trái của H trong G

HK

tập {hk|h ∈ H, k ∈ K}

<a>

nhóm con sinh bởi a

Z(G)

tâm của G

Sn

nhóm đối xứng

An

nhóm thay phiên

Z/nZ

nhóm cộng các số nguyên modulo n

C[G]

đại số nhóm của G trên C

HomG (V1 , V2 )

không gian các đồng cấu C[G]−môđun từ V1 đến V2

χ, ψ
ρ⊕ρ

tích trong của các đặc trưng χ, ψ
tổng trực tiếp của các biểu diễn ρ và ρ

Tr(A)

vết của ma trận A

W ⊕W

tổng trực tiếp của hai không gian W và W

GL(V )

nhóm tuyến tính tổng quát của không gian véctơ V

GLn (C)

nhóm các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên C
hợp rời

z

liên hợp phức của z

|G : H|

chỉ số của nhóm con H trong G

conj(y)

lớp liên hợp của phần tử y

[F : K]

bậc của mở rộng trường F trên K

iii


Mục lục
Lời nói đầu

i

0 Kiến thức chuẩn bị
0.1 Biểu diễn cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1

0.2 Vành biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Định lý Brauer và ứng dụng
1.1 Định lý Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6

1.2 Định lý Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ứng dụng của định lý Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9
15

1.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 Các câu hỏi hữu tỉ
2.1 Các vành RK (G) và RK (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Chỉ số Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
33

36

2.3 Tính xác định trên trường chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Hạng của RK (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
49

2.5 Định lý Artin tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Định lý Brauer tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
53

2.7 Biểu diễn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Kết luận

70

Tài liệu tham khảo

71

iv


Chương 0

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về biểu diễn cảm sinh,
công thức tương hỗ Frobenius và vành biểu diễn. Các kết quả này sẽ được dùng thường
xuyên trong phần còn lại của luận văn. Chương này được trình bày chủ yếu theo J. P.
Serre [7], có tham khảo thêm N. H. V. Hưng [1].
Trong suốt cả chương này cũng như trong toàn bộ luận văn, khi nói G là một nhóm,
ta luôn hiểu G là một nhóm hữu hạn.

0.1
0.1.1

Biểu diễn cảm sinh
Định nghĩa biểu diễn cảm sinh

Cho ρ : G → GL(V ) là một biểu diễn tuyến tính của G và H là một nhóm con
của G. Gọi ρH là hạn chế của ρ xuống H. Giả sử W là một biểu diễn con của ρH . Nói
cách khác, W là một không gian vectơ con của V , ổn định dưới tác động của các ρt ,
với mọi t ∈ H. Kí hiệu biểu diễn này của H trong W là θ : H → GL(W ). Với mỗi

s ∈ G, không gian vectơ ρs W chỉ phụ thuộc vào lớp kề trái sH của s. Thật vậy, nếu ta
thay s bởi st với t ∈ H thì ρst W = ρs ρt W = ρs W . Như vậy, nếu σ là một lớp kề trái

của H, ta có thể xác định một không gian vectơ con Wσ của V là ρs W , với một s ∈ σ
nào đó. Khi đó, các Wσ được hoán vị với nhau bởi ρs , s ∈ G. Do đó tổng của chúng,
σ∈G/H

Wσ , là một biểu diễn con của V .

Định nghĩa 0.1.1. Ta nói rằng biểu diễn ρ của G trong V được cảm sinh bởi biểu
diễn θ của H trong W nếu V là tổng trực tiếp của các Wσ , với σ ∈ G/H,

V = ⊕σ∈G/H Wσ .
Cũng có thể định nghĩa biểu diễn cảm sinh theo ngôn ngữ “môđun” như sau.

1


Định nghĩa 0.1.2. Với H là một nhóm con của G, ta định nghĩa môđun cảm sinh
của C[H]−môđun W là C[G]−môđun
V = C[G] ⊗C[H] W .
Sự tồn tại và tính duy nhất của biểu diễn cảm sinh được thể hiện trong định lý sau.
Định lý 0.1.3 ([7], Định lý 11). Giả sử H là một nhóm con của G và (W, θ) là một
biểu diễn tuyến tính của H. Khi đó, tồn tại một biểu diễn tuyến tính (V, ρ) của G,
được cảm sinh bởi (W, θ). Hơn nữa, (V, ρ) là duy nhất, sai khác một đẳng cấu.
Giả sử (V, ρ) được cảm sinh bởi (W, θ) với các đặc trưng tương ứng χρ và χθ . Khi
đó χρ có thể tính được từ χθ .
Định lý 0.1.4 ([7], Định lý 12). Giả sử h là cấp của nhóm H và R là một lớp các đại
diện của G/H. Với mỗi u ∈ G, ta có
χθ (r −1 ur) =

χρ (u) =
r∈R
r −1 ur∈H

1
h

χθ (s−1 us).
s∈G
s−1 us∈H

Nếu f là một hàm lớp trên H, xét hàm f trên G được định nghĩa bởi công thức
f (s) =

1
h

f (t−1 st), h = Card(H).
t∈G
t−1 st∈H

Ta nói f được cảm sinh từ f và kí hiệu bởi IndG
H (f ) hoặc Ind(f ).
Mệnh đề 0.1.5 ([7], Mệnh đề 20).
(i) Ind(f ) là một hàm lớp trên G.
(ii) Nếu f là đặc trưng của biểu diễn W của H thì Ind(f ) là đặc trưng của biểu diễn
cảm sinh Ind(W ) của G.

0.1.2

Công thức tương hỗ Frobenius

Trước khi đưa ra công thức tương hỗ Frobenius, ta nhắc lại một số khái niệm sẽ
được dùng trong các phần sau.
Giả sử ϕ1 , ϕ2 là hai hàm lớp trên G. Đặt
ϕ1 , ϕ2

G

=

1
g

ϕ1 (s−1 )ϕ2 (s),
s∈G

với g là cấp của G. Khi đó ϕ1 , ϕ2 G là một dạng song tuyến tính đối xứng. Đôi khi,
để cho đơn giản, ta dùng kí hiệu ϕ1 , ϕ2 thay cho ϕ1 , ϕ2 G .
Nếu V1 và V2 là hai C[G]−môđun, ta đặt
V1 , V2

G

= dim HomG (V1 , V2 ).
2


Bổ đề 0.1.6 ([7], Bổ đề 2). Nếu ϕ1 , ϕ2 tương ứng là các đặc trưng của V1 và V2 thì
ϕ1 , ϕ2

G

= V1 , V2

G.

Nếu ϕ (tương ứng, V ) là một hàm lớp trên G (tương ứng, một biểu diễn của G), ta
kí hiệu Res ϕ (tương ứng, Res V ) là hạn chế của nó xuống nhóm con H. Định lý quan
trọng dưới đây nói về tính tương hỗ Frobenius.
Định lý 0.1.7 ([7], Định lý 13). Nếu ψ là một hàm lớp trên H và ϕ là một hàm lớp

trên G, ta có
ψ, Res ϕ

H

= Ind ψ, ϕ G .

(1)

Nhận xét 0.1.8 ([7], Nhận xét).
(1) Từ Định lý 0.1.7, suy ra các ánh xạ Res và Ind là liên hợp với nhau.
(2) Nếu α và β là các hàm giá trị phức trên G thì ta có một tích vô hướng (α|β) trên
không gian các hàm giá trị phức trên G, được cho bởi công thức
(α|β) =

1
g

α(t)β(t),
t∈G

với g = Card(G). Thay tích vô hướng (α|β) cho dạng song tuyến tính α, β
thì (1) trở thành
(ψ| Res ϕ)H = (Ind ψ|ϕ)G .

(2)

(3) Chúng ta cũng có công thức quan trọng sau:
Ind(ψ · Res ϕ) = (Ind ψ) · ϕ.

(3)

Mệnh đề 0.1.9 (Xem [7], Mệnh đề 21). Giả sử W là một biểu diễn bất khả qui của
H và E là một biểu diễn bất khả qui của G. Khi đó, số bội của W trong Res E bằng
với số bội của E trong Ind W .

0.2

Vành biểu diễn

Giả sử ρ1 , . . . , ρh là tập tất cả các biểu diễn bất khả qui đôi một không đẳng cấu
của G. Khi đó, mỗi biểu diễn ϕ của G có thể phân tích thành tổng
ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ mh ρh ,
với các hệ số mi nguyên không âm. Nếu
ψ = n1 ρ1 ⊕ · · · ⊕ nh ρh
3


cũng là một biểu diễn của G thì ta có
ϕ ⊕ ψ = (m1 + n1 )ρ1 ⊕ · · · ⊕ (mh + nh )ρh ,
ϕ⊗ψ =

i,j

mi nj (ρi ⊗ ρj ).

Mỗi biểu diễn ρi ⊗ ρj lại có phân tích qua ρ1 , . . . , ρh . Thế những phân tích như vậy vào
đẳng thức trên, ta thu được phân tích của ϕ ⊗ ψ.
Bây giờ, gọi R(G) là tập hợp các tổng hình thức

ϕ = m1 ρ1 ⊕ · · · mh ρh ,
trong đó các hệ số mi là các số nguyên. Mỗi phần tử của R(G) được gọi là một biểu
diễn suy rộng hoặc biểu diễn ảo của G. Tổng ϕ ⊕ ψ và tích ϕ ⊗ ψ của hai biểu diễn

suy rộng ϕ và ψ cũng được xác định bởi cùng các công thức đã nêu ở trên cho trường
hợp ϕ và ψ là các biểu diễn. Khi đó R(G) lập thành một vành giao hoán đối với các
phép toán ⊕ và ⊗.

Định nghĩa 0.2.1. R(G) được gọi là vành biểu diễn của nhóm G.
Giả sử χi là đặc trưng của các biểu diễn ρi . Khi đó R(G) có thể đồng nhất với tập
các hàm là tổ hợp tuyến tính của χ1 , . . . , χh ,
χ = m1 χ1 + · · · + mh χh ,
với các hệ số mi nguyên. Mỗi hàm như thế được gọi là đặc trưng suy rộng hay đặc
trưng ảo của G. Hai phép toán được định nghĩa như sau:
mi χi +
mi χi

ni χi =
nj χj =

(mi + ni )χi ,
mi nj (χi χj ).

Vì thế R(G) cũng được gọi là vành đặc trưng của G.
Đối với phép cộng, R(G) là một nhóm abel tự do trên tập hợp {χ1 , . . . , χh }. Nói
cách khác, ta có phân tích
R(G) = Zχ1 ⊕ · · · ⊕ Zχh .
Vì các χi lập thành một cơ sở trực chuẩn của không gian FC (G) các hàm lớp trên G,
nên C ⊗Z R(G) có thể đồng nhất với FC (G).
Gọi ρ là biểu diễn đơn vị của G, tức là biểu diễn cấp một ρ : G → GL(C) xác

định bởi ρ(s) = idC , với mọi s ∈ G. Khi đó, đặc trưng χtriv của nó được xác định bởi
χtriv (s) = 1 với mọi s ∈ G. Ta có χtriv là đơn vị của vành R(G).
Tóm lại, ta có kết quả sau.
4


Mệnh đề 0.2.2 ([1], Chương VI, Tiết 7, Mệnh đề 7.1). Các đặc trưng ảo của G lập
thành một vành giao hoán R(G) với đơn vị là đặc trưng χtriv của biểu diễn đơn vị.
Nếu H là một nhóm con của G, toán tử hạn chế xác định một đồng cấu vành từ
R(G) tới R(H), kí hiệu bởi ResG
H hoặc Res.
Tương tự, ta có toán tử cảm sinh IndG
H là một đồng cấu vành từ R(H) tới R(G),
xác định bởi:
IndG
H (χ)(s) =

1
Card(H)

χ(t−1 st).
t∈G
t−1 st∈H

Theo Định lý 0.1.7, các đồng cấu Ind và Res liên hợp với nhau, tương ứng với các
dạng song tuyến tính ϕ, ψ H và ϕ, ψ G . Hơn nữa, công thức (3) chỉ ra rằng ảnh của
Ind : R(H) → R(G) là một iđêan của vành R(G).
Nếu A là một vành giao hoán, các đồng cấu Res và Ind có thể mở rộng tuyến tính
tới các ánh xạ A− tuyến tính:

A ⊗ Res : A ⊗ R(G) → A ⊗ R(H),
a ⊗ χ → a ⊗ Res χ.
A ⊗ Ind : A ⊗ R(H) → A ⊗ R(G),
a ⊗ χ → a ⊗ Ind χ.

5


Chương 1
Định lý Brauer và ứng dụng
Trong phần đầu của chương này, chúng tôi đưa ra các chứng minh chi tiết cho định
lý Artin và định lý Brauer đối với các biểu diễn phức (biểu diễn trên C) và một số kết
quả ứng dụng của định lý Brauer như: định lý Frobenius, định lý Green. Nội dung của
phần này được trình bày theo J. P. Serre [7]. Phần còn lại của chương này, chúng tôi
đưa ra một số ví dụ minh họa cho định lý Artin và định lý Brauer.

1.1

Định lý Artin

Trước khi đưa ra phát biểu và chứng minh định lý Artin, chúng ta cần một số kết
quả sau.
Gọi A là một nhóm xyclic cấp a. Ta định nghĩa một hàm θA trên A bởi công thức


a, nếu x là phần tử sinh của A,
θA (x) =

0, các trường hợp khác.

Khi đó, θA là một hàm lớp trên A. Hơn nữa, ta có kết quả sau.

Mệnh đề 1.1.1 ([7], Mệnh đề 27). Nếu G là nhóm hữu hạn cấp g thì
IndG
A (θA ),

g=
A⊂G

với A chạy trên tập tất cả các nhóm con xyclic của G.
(Trong công thức này, g kí hiệu hàm hằng với giá trị bằng g).
Chứng minh. Đặt θA = IndG
A (θA ). Với x ∈ G, ta có
θA (x) =

1
a

θA (yxy −1) =
y∈G
yxy −1 ∈A

1
a
6

1.

a=
y∈G

yxy −1 sinh ra A

y∈G
yxy −1 sinh ra A


Tuy nhiên, mỗi y ∈ G, yxy −1 ∈ A sinh ra một nhóm con xyclic duy nhất của G. Vì
vậy, ta có

θA (x) =
A⊂G

1 = g.
y∈G

Ví dụ 1.1.2. Xét nhóm dihedral D8 =< a, b|a4 = b2 = 1, (ab)2 = 1 >.
Các nhóm con xyclic của D8 gồm: H1 = {1}, H2 =< a2 >, H3 =< b >,
H4 =< ab >, H5 =< a2 b >, H6 =< a3 b >, H7 =< a >.
Sử dụng bảng đặc trưng của D8 (xem Ví dụ 1.4.1) và tính toán theo công thức
tương hỗ Frobenius, ta có:
IndG
H1 (θH1 ) = χ1 + χ2 + χ3 + χ4 + 2χ5 ,
IndG
H2 (θH2 ) = χ1 + χ2 + χ3 + χ4 − 2χ5 ,
IndG
H3 (θH3 ) = χ1 − χ2 + χ3 − χ4 ,
IndG
H4 (θH4 ) = χ1 − χ2 − χ3 + χ4 ,
IndG
H5 (θH5 ) = χ1 − χ2 + χ3 − χ4 ,

IndG
H6 (θH6 ) = χ1 − χ2 − χ3 + χ4 ,
IndG
H7 (θH7 ) = 2χ1 + 2χ2 − 2χ3 − 2χ4 .
Từ các đẳng thức trên, suy ra
7

IndG
Hi (θHi ) = 8χ1 = Card(D8 ).
i=1

Mệnh đề 1.1.3 ([7], Mệnh đề 28). Nếu A là một nhóm xyclic thì θA ∈ R(A).
Chứng minh. Chúng ta chứng minh bằng qui nạp theo cấp a của A. Mệnh đề đúng với
a = 1. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.1.1, ta có
IndA
B (θB ).

IndA
B (θB ) = θA +

a=
B⊂A

B=A

Từ giả thiết qui nạp θB ∈ R(B), với B = A, suy ra IndA
B (θB ) thuộc R(A). Mặt khác,
rõ ràng a ∈ R(A). Vì vậy θA ∈ R(A).
Bây giờ, chúng ta đã có thể đưa ra kết quả chính của mục này.
Định lý 1.1.4 (Artin)([7], Định lý 17). Giả sử X là họ các nhóm con của nhóm G

và Ind : ⊕H∈X R(H) → R(G) là đồng cấu xác định bởi họ các IndG
H , H ∈ X. Khi đó,
các khẳng định sau là tương đương:

7


(a) G là hợp của các liên hợp của các nhóm con thuộc X.
(b) Đối hạch của Ind : ⊕H∈X R(H) → R(G) là hữu hạn.
(c) Với mỗi đặc trưng χ của G, tồn tại các đặc trưng ảo χH ∈ R(H), H ∈ X, và số
nguyên d

1 sao cho

IndG
H (χH ).

dχ =
H∈X

Chứng minh.
(b)⇔ (c): Trước tiên, ta nhắc lại khái niệm đối hạch. Cho ϕ : G → G là đồng cấu
nhóm abel, đối hạch của ϕ là nhóm thương

coker(ϕ) = G / Im ϕ.
Giả sử đối hạch của Ind là hữu hạn, tức là tồn tại số nguyên d 1 sao cho Card(R(G)/ Im(Ind)) =
d. Với mọi χ ∈ R(G), ta có [χ] ∈ R(G)/ Im(Ind). Khi đó d[χ] = [0], và ta có

dχ ∈ Im(Ind). Như vậy, tồn tại các χH sao cho

IndG
H (χH ).

dχ =
H∈X

Ngược lại, giả sử χi là đặc trưng bất khả qui của G. Khi đó, tồn tại các di sao cho
di χi = H∈X IndG
H (χH ), với i = 1, . . . , h. Đặt d = d1 d2 . . . dh thì với mọi χ ∈ R(G), ta
có dχ ∈ Im(Ind). Suy ra R(G)/ Im(Ind) hữu hạn.
(b)⇒ (a): Giả sử S là hợp của các liên hợp của các nhóm con H ∈ X. Ta chứng minh
S = G. Với mỗi f = H∈X Ind(fH ), fH ∈ R(H), f bị triệt tiêu ngoài S. Thật vậy, ta
có

Ind(fH )(s) =

1
Card(H)

fH (t−1 st),
t∈G
t−1 st∈H

với mọi s ∈ G. Nếu s ∈
/ S thì t−1 st ∈
/ H, với mọi H ∈ X, t ∈ G. Suy ra f (s) = 0. Do
(b) tương đương với (c) nên với mọi đặc trưng χ của G, luôn tồn tại số nguyên d 1
sao cho
IndG
H (fH ).

dχ =
H∈X

Giả sử tồn tại u ∈ G\S, chọn χ là đặc trưng tầm thường của G thì d.1 = 0. Điều này

không thể xảy ra vì d 1. Vậy S = G.
(a)⇒ (b): Giả sử A là nhóm con xyclic của G. Nếu A được chứa trong một liên hợp
G
của A thì ảnh của IndG
A được chứa trong ảnh của IndA . Do đó, ta có thể giả sử rằng
X là họ tất cả các nhóm con xyclic của G. Áp dụng Mệnh đề 1.1.1 và Mệnh đề 1.1.3,

ta có
g=
A∈X

IndG
A (θA ), với θA ∈ R(A).
8


Như vậy, phần tử g thuộc vào ảnh của Ind. Theo 0.2, ảnh này là một iđêan của R(G)
nên nó chứa mọi phần tử dạng gχ, với χ ∈ R(G). Ta có (b).
Do họ các nhóm con xyclic của G thỏa mãn điều kiện (a) của Định lí 1.1.4 nên ta
có kết quả quan trọng sau.
Hệ quả 1.1.5 ([7], Chương 9, Mục 9.2, Hệ quả). Mỗi đặc trưng của G là một tổ hợp
tuyến tính với hệ số hữu tỉ các đặc trưng cảm sinh bởi các đặc trưng của các nhóm con
xyclic của G.
Trong mục tiếp theo, chúng ta sẽ thấy Hệ quả 1.1.5 vẫn còn đúng khi “hữu tỉ” được

thay bởi “nguyên” và “xyclic” thay bởi “sơ cấp”.

1.2

Định lý Brauer

Trong mục này, ta luôn dùng p để kí hiệu cho một số nguyên tố.

1.2.1

Nhóm con p−sơ cấp

Giả sử x là một phần tử của nhóm G. Ta gọi x là một p−phần tử (hoặc p−đơn
lũy) nếu cấp của nó là một lũy thừa của p và gọi x là p −phần tử (hoặc là p−chính
qui) nếu cấp của nó nguyên tố với p.
Mỗi x ∈ G có thể viết một cách duy nhất dạng x = xu xr , ở đó xu là p−đơn lũy, xr

là p−chính qui và xu , xr giao hoán được với nhau. Hơn nữa, xu và xr là các lũy thừa
của x. Thật vậy, giả sử x có cấp pn m với (p, m) = 1. Khi đó, tồn tại các số nguyên a, b
n
sao cho: apn + bm = 1. Đặt xu = xbm , xr = xap . Khi đó x = xu xr và xu , xr giao hoán
với nhau. Ta cũng có xu , xr là các lũy thừa của x. Hơn nữa, cấp của xu là pn , cấp xr
là m.
Giả sử x = xu xr , với xu là p−đơn lũy, xr là p−chính qui và giao hoán với nhau.
Do cấp của xu , xr nguyên tố với nhau và cấp của tích hai phần tử là bội số chung nhỏ
nhất của các cấp của chúng nên xr có cấp là m, xu có cấp là pn . Ta có
xr = (xr )ap

n +bm

n

n

n

n

n

= (xr )ap = (x.(xu )−1 )ap = xap (xu )−ap = xap = xr .

Tương tự, xu = xmb = xu .
xu (tương ứng, xr ) được gọi là p−thành phần (tương ứng, p −thành phần ) của x.
Định nghĩa 1.2.1. Một nhóm H được gọi là p−sơ cấp nếu nó là tích trực tiếp của
một nhóm xyclic C có cấp nguyên tố với p với một p−nhóm P .
Ta biết một nhóm p−sơ cấp H là lũy linh và phân tích C × P của nó là duy nhất,
với C là tập các p −phần tử, P là tập các p−phần tử của H. Thật vậy, giả sử x là
9


p −phần tử của nhóm G. Gọi C là nhóm con xyclic sinh bởi x và Z(x) là tâm hóa

của x (tập tất cả các s ∈ G sao cho sx = xs). Nếu P là một p−nhóm con Sylow của
Z(x) thì nhóm H = C P là một nhóm con p−sơ cấp của G (vì mọi y ∈ P, t ∈ C
thì y ∈ Z(x) nên ty = yt). Do đó H = C P ∼
= C × P . Ta nói H là liên kết với x.

Hơn nữa, H là duy nhất, sai khác một liên hợp trong Z(x). Thật vậy, do các p−nhóm
con Sylow của Z(x) là liên hợp với nhau trong Z(x). Giả sử P là một p−nhóm con

Sylow của Z(x). Khi đó tồn tại y ∈ Z(x) sao cho P = yP y −1. Nếu H = C × P thì
H = C × yP y −1 = yC × P y −1 = yHy −1.

1.2.2

Đặc trưng cảm sinh từ các nhóm con p−sơ cấp

Định lý 1.2.2 ([7], Định lý 18). Giả sử G là một nhóm hữu hạn và Vp là nhóm con
của R(G) sinh bởi các đặc trưng cảm sinh từ các đặc trưng của các nhóm con p−sơ
cấp của G. Khi đó, chỉ số của Vp trong R(G) là hữu hạn và nguyên tố với p.
Gọi X(p) là họ các nhóm con p−sơ cấp của G và xét đồng cấu
Ind : ⊕H∈X(p) R(H) → R(G),
được xác định bởi các đồng cấu cảm sinh IndG
H , H ∈ X(p). Khi đó, nhóm Vp chính là

ảnh của đồng cấu trên. Mặt khác, họ X(p) chứa tất cả các nhóm con xyclic của G, vì
nếu C là một nhóm con xyclic của G thì ta viết được C × {1} ∈ X(p). Như vậy, họ

X(p) thỏa mãn mệnh đề (a) của Định lý 1.1.4. Do đó, chỉ số của Vp trong R(G) là hữu
hạn.
Ta cũng có Vp là một iđêan của R(G). Thật vậy, gọi {ϕij : 1 ≤ j ≤ ni } là tập tất
cả các đặc trưng bất khả qui của các Hi ∈ X(p). Theo định nghĩa, ta có:
R(Hi ) = Zϕi1 ⊕ · · · ⊕ Zϕini , 1 ≤ i ≤ m.
Khi đó, ta có
Z IndG
Hi (ϕij ).

Vp =
i,j

Rõ ràng Vp là nhóm con của R(G). Mặt khác, với mọi χ ∈ R(G) thì χ · Ind(ϕij ) ∈ Vp ,
với mọi i, j, vì theo công thức (3), ta có

χ · Ind(ϕij ) = Ind(ResHi (χ) · ϕij ) ∈ Vp .
Đến đây, ta thấy nếu tồn tại một số nguyên m nguyên tố với p sao cho m ∈ Vp thì
với mọi χ ∈ R(G), ta có mχ ∈ Vp . Suy ra chỉ số của Vp trong R(G) chia hết m. Như

vậy, để hoàn thành chứng minh định lý trên, ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại của một số m
như vậy. Thực tế, ta chứng minh được kết quả chính xác hơn dưới đây.

Định lý 1.2.3 ([7], Định lý 18’).
Nếu g = pn l là cấp của G, với (p, l) = 1, thì l ∈ Vp .
10


Hướng chứng minh của định lý trên như sau: Giả sử A là vành con của C sinh bởi
các căn bậc g của đơn vị. Khi đó A là một Z−môđun tự do hữu hạn sinh. Vì các phần
tử của A là các số nguyên đại số nên Q ∩ A = Z. Nhóm thương A/Z là hữu hạn sinh

và không xoắn nên nó là nhóm tự do. Do đó, A/Z có một cơ sở. Bằng cách nâng cơ sở
của A/Z lên A thì A có cơ sở {1, α1 , . . . , αc } chứa 1.
Xét ánh xạ A−tuyến tính
A ⊗ Ind : ⊕H∈X(p) A ⊗ R(H) → A ⊗ R(G).
Khi đó, sự tồn tại của cơ sở {1, α1 , . . . , αc } suy ra kết quả sau.
Bổ đề 1.2.4 ([7], Bổ đề 5). Ảnh của A ⊗ Ind là A ⊗ Vp . Hơn nữa, ta có
(A ⊗ Vp ) ∩ R(G) = Vp .
Chứng minh.

Ta có ảnh của A ⊗ Ind là A ⊗ Vp . Mặt khác, với mọi x ∈ (A ⊗ Vp ) ∩ R(G), x ∈ A ⊗ Vp .
Suy ra x = a ⊗ x , x ∈ Vp . Do a ∈ R(G) và Vp là một iđêan của R(G) nên x ∈ Vp . Suy

ra (A ⊗ Vp ) ∩ R(G) ⊂ Vp . Ngược lại, ta có Vp ⊂ (A ⊗ Vp ) ∩ R(G). Vậy (A ⊗ Vp ) ∩ R(G) =
Vp .
Như vậy, để chứng minh hàm hằng l thuộc Vp , ta chỉ cần chứng minh
l ∈ Im(A ⊗ Ind). Nói cách khác, l có dạng
l=
H∈X(p)

aH IndG
H (fH ), aH ∈ A, fH ∈ R(H).

Bổ đề 1.2.5 ([7], Bổ đề 6). Mỗi hàm lớp trên G với giá trị nguyên chia hết cho g là
một tổ hợp A−tuyến tính của các đặc trưng cảm sinh từ các đặc trưng của các nhóm
con xyclic của G.
(Trong mục này và những phần sau, “giá trị nguyên” hiểu là giá trị trong Z.)
Chứng minh. Giả sử f là một hàm như vậy. Ta viết f dưới dạng f = gχ, với χ là một
hàm lớp trên G, nhận giá trị nguyên. Vì kết quả của bổ đề không phụ thuộc vào nhóm
G nên ta chỉ cần hạn chế xét trường hợp G là một nhóm xyclic. Nếu C là một nhóm
con xyclic của G thì đặt θC là phần tử của R(C) định nghĩa trong Mục 1.1. Khi đó,
theo Mệnh đề 1.1.1, ta có
IndG
C (θC ).

g=
C

Do đó
f = gχ =
C

IndG

C (θC ) · χ =

11

C

G
IndG
C (θC · ResC χ).


Việc còn lại là chứng minh θC · ResC χ ∈ A ⊗ R(C) với mỗi C. Nhưng giá trị của

χC = θC · ResC χ chia hết cho cấp của C. Vì vậy, nếu ψ là đặc trưng của C, ta có
χC , ψ ∈ A. Mặt khác, χC có thể viết dạng
χC =

χC , ψi ψi .

Suy ra χC ∈ A ⊗ R(C). Nói cách khác, χC là một tổ hợp A−tuyến tính các đặc trưng
của C.
Bổ đề 1.2.6 ([7], Bổ đề 7). Giả sử χ là một phần tử của A ⊗ R(G), với giá trị nguyên
và xr là p −thành phần của một phần tử x ∈ G. Khi đó
χ(x) ≡ χ(xr )

(mod p).

Chứng minh. Vì kết quả của bổ đề không phụ thuộc vào nhóm G nên ta hạn chế xét
trường hợp G là nhóm xyclic sinh bởi x. Ta có
χ=

ai χi ,

với ai ∈ A, và χi chạy trên các đặc trưng phân biệt bậc 1 của G. Vì x = xu xr nên tồn
tại một số nguyên q = pn đủ lớn sao cho
n

xqu = xpu = 1.
Suy ra xq = xqr . Như vậy, χi (x)q = χi (xr )q , với mọi i. Do đó
χ(x)q = (
≡

ai χi (x))q ≡

aqi χi (x)q

aqi χi (xr )q ≡ χ(xr )q

(mod pA).

(1.1)

Ta có pA ∩ Z = pZ. Mặt khác, χ(x)q , χ(xr )q ∈ Z và từ (1.1), ta có
χ(x)q − χ(xr )q ∈ pA.
Suy ra χ(x)q − χ(xr )q ∈ pZ. Do đó
χ(x)q ≡ χ(xr )q

(mod p).

Mặt khác, ta biết λq ≡ λ (mod p), với mọi λ ∈ Z.

Vậy χ(x) ≡ χ(xr ) (mod p).
Bổ đề 1.2.7 ([7], Bổ đề 8). Giả sử x là một p −phần tử của G và H là một nhóm
con p−sơ cấp của G liên kết với x. Khi đó, tồn tại một hàm ψ ∈ A ⊗ R(H) với giá trị

nguyên sao cho hàm cảm sinh ψ = IndG
H ψ có các tính chất sau:
(a) ψ (x) ≡ 0 (mod p).
12


(b) ψ (s) = 0, với mỗi p −phần tử s của G mà s không liên hợp với x.
Chứng minh. Giả sử C là một nhóm con xyclic của G sinh bởi x và Z(x) là tâm hóa
của x trong G,
Z(x) = {s ∈ G : sx = xs}.
Khi đó, ta có H = C × P , với P là p−nhóm con Sylow của Z(x). Gọi c là cấp của C

và pa là cấp của P . Đặt

ψC : C → Z
là hàm xác định trên C bởi
ψC (x) = c và ψC (y) = 0, với mọi y = x.
Theo [7], Mệnh đề 7, ta có ψC = χ χ(x−1 )χ, với χ chạy trên tập các đặc trưng bất
khả qui của C. Theo Bổ đề 1.2.5, ψC ∈ A ⊗ R(C).

Xét ψ là hàm trên H = C × P , xác định bởi ψ(xy) = ψC (x), với x ∈ C, y ∈ P . Đây
là ảnh ngược của ψC dưới phép chiếu từ H tới C. Vì vậy, ta có ψ ∈ A ⊗ R(H).
Bây giờ ta chỉ ra rằng ψ thỏa mãn các điều kiện của bổ đề. Nếu s là một p −

phần tử của G và nếu y ∈ G thì ysy −1 cũng là một p −phần tử (vì sr = e thì
(ysy −1)r = ysr y −1 = e). Nếu ysy −1 ∈ H thì nó thuộc C và ta có ψ(ysy −1) = 0, với

ysy −1 = x. Suy ra ψ (s) = 0 nếu s không liên hợp với x. Như vậy (b) được chứng minh.
Hơn nữa, ta có
ψ (x) =

1
cpa

ψ(x) =
yxy −1 =x

1
pa

1=
yxy −1 =x

Card(Z(x))
.
pa

Vì pa = Card(P ) là lũy thừa cao nhất của p chia hết Card(Z(x)) nên ψ (x) ≡ 0
(mod p).

Bổ đề 1.2.8 ([7], Bổ đề 9). Tồn tại một phần tử ψ của A ⊗ Vp với giá trị nguyên sao
cho ψ(x) ≡ 0 (mod p), với mọi x ∈ G.
Chứng minh. Gọi (xi )i∈I là hệ các phần tử đại diện của các lớp p−chính qui (tức là
những lớp chứa các p − phần tử). Từ Bổ đề 1.2.7, tồn tại một phần tử ψi ∈ A ⊗ Vp ,
với giá trị nguyên, sao cho

ψi (xi ) ≡ 0

Đặt ψ =

(mod p) và ψi (xj ) ≡ 0 (mod p), j = i.

ψi . Khi đó ψ ∈ A ⊗ Vp và có giá trị nguyên. Với x ∈ G, p −thành phần của

x là liên hợp với một xi duy nhất. Theo Bổ đề 1.2.6, ta có
ψ(x) ≡ ψ(xi ) ≡ ψi (xi ) ≡ 0

13

(mod p).


Bây giờ, ta sẽ áp dụng các bổ đề trên để hoàn thành chứng minh Định lý 1.2.2 và
Định lý 1.2.3.
Giả sử g = pn l là cấp của G, với (p, l) = 1. Theo Mục 1.2.2, để hoàn thành chứng
minh các Định lý 1.2.2 và 1.2.3, ta chỉ cần chứng minh l ∈ A ⊗ Vp .
Giả sử ψ là một phần tử của A ⊗ Vp thỏa mãn điều kiện của Bổ đề 1.2.8. Giá trị
của ψ là không đồng dư với 0 (mod p). Đặt N = ϕ(pn ) là cấp của nhóm (Z/pn Z)∗ sao
cho λN ≡ 1 (mod pn ), với mỗi số nguyên λ nguyên tố với p. Do đó
ψ(x)N ≡ 1

(mod pn ), với mọi x ∈ G.

Và hàm l(ψ N − 1) có giá trị nguyên chia hết cho lpn = g. Từ Bổ đề 1.2.5, hàm này là
một tổ hợp A−tuyến tính của các đặc trưng cảm sinh từ các nhóm con xyclic của G.
Do mỗi nhóm xyclic là p−sơ cấp nên ta có l(ψ N − 1) ∈ A ⊗ Vp . Nhưng A ⊗ Vp là một
iđêan của A ⊗ R(G) nên lψ N ∈ A ⊗ Vp . Suy ra l ∈ A ⊗ Vp , các Định lý 1.2.2 và 1.2.3
được chứng minh.

1.2.3

Định lý Brauer

Trước tiên, ta cần định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.9. Một nhóm con của G được gọi là sơ cấp nếu nó là một nhóm con
p−sơ cấp đối với ít nhất một số nguyên tố p.
Định lý 1.2.10 (Brauer)([7], Định lý 19). Mỗi đặc trưng của G là một tổ hợp tuyến
tính với các hệ số nguyên của các đặc trưng cảm sinh từ các đặc trưng của các nhóm
con sơ cấp.
Chứng minh. Đặt Vp là nhóm con của R(G), xác định như trong Định lý 1.2.2. Ta chỉ
cần chứng minh tổng V của các Vp với p nguyên tố là bằng R(G). Ta có V chứa Vp .
Suy ra chỉ số của V trong R(G) chia hết chỉ số của Vp trong R(G). Do đó, theo Định
lý 1.2.2, chỉ số của V trong R(G) là nguyên tố với p. Từ điều này đúng với mọi số
nguyên tố p, ta có chỉ số của V trong R(G) bằng 1. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.11 ([7], Định lý 20). Mỗi đặc trưng của G là tổ hợp tuyến tính với hệ số
nguyên của các đặc trưng đơn.
Chứng minh. Trước tiên, chúng ta nhắc lại, một đặc trưng của G được gọi là đơn nếu
nó được cảm sinh từ một đặc trưng bậc 1 của nhóm con nào đó của G. Ta biết rằng,
mỗi nhóm sơ cấp là một nhóm siêu giải được. Do đó, theo [7], Định lý 16, mỗi đặc
trưng bất khả qui của G được cảm sinh bởi một biểu diễn bậc một của một nhóm con
nào đó của G. Nói cách khác, mỗi đặc trưng của một nhóm sơ cấp là đặc trưng đơn.
Đến đây, định lý được suy ra từ Định lý 1.2.10.
14


1.3

Ứng dụng của định lý Brauer

Mục này trình bày một số kết quả ứng dụng của định lý Brauer.

1.3.1

Tính chất của đặc trưng

Trong mục này, B là vành con của C.
Định lý 1.3.1 ([7], Định lý 21). Giả sử ϕ là một hàm lớp trên G và H là một nhóm
con sơ cấp của G sao cho ResG
H (ϕ) ∈ B ⊗ R(H). Khi đó
ϕ ∈ B ⊗ R(G).
Chứng minh. Gọi X là tập tất cả các nhóm con sơ cấp của G. Theo Định lý 1.2.10, ta
có thể viết hàm hằng 1 dưới dạng
1=
H∈X

IndG
H fH , fH ∈ R(H).

Suy ra
ϕ=
H∈X

ϕ · IndG
H fH =

H∈X

G

IndG
H (fH · ResH ϕ).

Do fH thuộc R(H) và ResG
H thuộc B ⊗ R(H) nên tích của chúng thuộc B ⊗ R(H).
Vậy ϕ thuộc B ⊗ R(G).
Bằng lập luận tương tự và sử dụng Định lý 1.1.4, ta có kết quả sau.
Định lý 1.3.2 ([7], Định lý 21’). Giả sử B chứa Q và ResG
H ϕ ∈ B ⊗ R(H). Khi đó,
với mỗi nhóm con xyclic H của G, ta có ϕ ∈ B ⊗ R(G).
Chứng minh. Gọi X là tập tất cả các nhóm con xyclic của G. Theo Định lý 1.1.4, tồn
tại số nguyên d

1 sao cho
d=
H∈X

IndG
H (χH ), χH ∈ R(H).

Suy ra
dϕ =
H∈X

ϕ · IndG
H (χH ) =

H∈X

IndG

H (χH · ResH ϕ).

Vì ResH ϕ ∈ B⊗R(G), χH ∈ R(H) nên χH ·ResH ϕ ∈ B⊗R(G). Suy ra dϕ ∈ B⊗R(G).
Từ giả thiết B ⊃ Q, ta có ϕ ∈ B ⊗ R(G).

Nhận xét 1.3.3 ([7], Mục 11.1, nhận xét). Giả sử với mỗi H ∈ X, cho trước một
phần tử ϕH thuộc B ⊗ R(H) và giả thiết các tính chất sau được thỏa mãn:
(a) Nếu H ⊂ H thì ϕH = ResH
H (ϕH ).
15


(b) Nếu H = sHs−1 , với s ∈ G thì ϕH nhận được từ ϕH qua đẳng cấu x → sxs−1 .
Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử ϕ thuộc B ⊗ R(G) sao cho ResG
H ϕ = ϕH , với mọi
H ∈ X.
Định lý 1.3.4 ([7], Định lý 22). Giả sử ϕ là một hàm lớp trên G sao cho với mỗi
nhóm con sơ cấp H của G và mỗi đặc trưng χ bậc một của H, số
χ, ResG
Hϕ

=

H

1
χ(s−1 )ϕ(s)
Card(H) s∈H

thuộc B. Khi đó ϕ thuộc B ⊗ R(G).

Chứng minh. Giả sử H là nhóm con sơ cấp của G. Đặt
ResG
Hϕ =

cω ω, cω = ω, ResH ϕ

H

ω

là sự phân tích của ResG
H ϕ theo các đặc trưng bất khả qui ω của H. Mỗi đặc trưng
ω được cảm sinh bởi một đặc trưng χω bậc một của một nhóm con Hω của H. Theo
công thức tương hỗ Frobenius (1), ta có
cω = χω , ResG
Hω ϕ

Hω .

Vì Hω là một nhóm con sơ cấp, theo giả thiết của định lý, ta có cω thuộc B. Suy ra
ResH ϕ thuộc B ⊗ R(H). Từ Định lý 1.3.1 suy ra ϕ thuộc B ⊗ R(G).
Hệ quả 1.3.5 ([7], Mục 11.1, Hệ quả). Để ϕ là đặc trưng ảo của G, điều kiện cần và đủ
là nếu H là nhóm con sơ cấp của G và χ : H → C∗ là đồng cấu thì χ, ResH ϕ

H

∈ Z.

Chứng minh. Áp dụng Định lý 1.3.4 cho trường hợp B = Z, ta có điều kiện đủ. Mặt
khác, χ, ResH ϕ H chính là số lần xuất hiện của χ trong phân tích của ResH ϕ theo

các đặc trưng bất khả qui của H. Do đó χ, ResH ϕ H là một số nguyên.
Giả sử Res là đồng cấu từ R(G) vào ⊕H∈X R(H) xác định bởi sự hạn chế của các
đồng cấu ResG
H . Khi đó, ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.3.6 ([7], Mệnh đề 29). Đồng cấu Res : R(G) → ⊕H∈X R(H) là một phép
nhúng chẻ ra.
Chứng minh. Ta nhắc lại, một đồng cấu môđun f : L → M được gọi là một phép
nhúng chẻ ra nếu tồn tại r : M → L sao cho r ◦ f = idL . Nói cách khác, f là đơn cấu
và f (L) là một hạng tử trực tiếp của M.
Đồng cấu Res được xác định bởi

ResG
H χ.

Res(χ) =
H∈X

16


Giả sử Res ϕ = 0 thì

H∈X

G
ResG
H χ = 0. Suy ra ResH χ = 0, với mọi H ∈ X. Do hợp

của các nhóm con H thuộc X bằng G nên ϕ = 0. Suy ra Res là đơn cấu. Tiếp theo, ta
chứng minh đối hạch của Res là không xoắn. Thật vậy, giả sử tồn tại f ∈ ⊕H∈X R(H) và

số nguyên n 1 sao cho nf ∈ Im(Res). Khi đó, tồn tại ϕ ∈ R(G) sao cho Res ϕ = nf .
Áp dụng Định lý 1.3.1 cho hàm ϕ/n và vành Z, ta có f ∈ Im(Res).
Như vậy ⊕R(H)/ Im(Res) là nhóm abel hữu hạn sinh và không xoắn nên nó là

nhóm abel tự do. Do Res là đơn ánh nên có thể coi Im(Res) là nhóm con của ⊕R(H).
Ta cần chứng minh Im(Res) là hạng tử trực tiếp của ⊕R(H). Vì ⊕R(H)/ Im(Res)

là Z−môđun tự do nên nó là môđun xạ ảnh. Gọi β : ⊕R(H) → ⊕R(H)/ Im(Res)
là toàn cấu chính tắc. Theo định nghĩa của môđun xạ ảnh, tồn tại một đồng cấu
γ : ⊕R(H)/ Im(Res) → ⊕R(H) sao cho biểu đồ sau giao hoán
⊕R(H)/ Im(Res)

γ
⊕R(H)

β

Đặt K = Im(γ). Khi đó

id
⊕R(H)/ Im(Res)

0

⊕R(H) = ker(β) ⊕ Im(γ) = Im(Res) ⊕ K.

1.3.2

Định lý Frobenius

Giả sử A là vành con của C sinh bởi các căn bậc g của đơn vị, với g là cấp của G.
Với n là một số nguyên dương, kí hiệu (g, n) là ước số chung lớn nhất của g và n. Giả
sử f là một hàm lớp trên G. Khi đó, ta có một ánh xạ Ψn từ R(G) vào chính nó xác
định bởi Ψn f : x → f (xn ). Hơn nữa, ta có kết quả sau.
Định lý 1.3.7 (Frobenius)([7], Định lý 23). Giả sử f là hàm lớp trên G với giá trị
trong A. Khi đó, ta có

g
Ψn f ∈ A ⊗ R(G).
(g, n)

Nếu c là một lớp liên hợp của G và fc là hàm đặc trưng của c thì ta có hàm


1, nếu xn ∈ c,
n
Ψ fc (x) =

0, nếu xn ∈
/ c.

Vì mỗi hàm lớp trên G với giá trị trong A là một A−tổ hợp tuyến tính của các hàm
fc . Điều này có nghĩa là nếu f ∈ A ⊗ R(G) thì f =
g
g
Ψn f =
(g, n)
(g, n)
17

ac fc , với ac ∈ A. Suy ra

ac Ψn fc .
c


g
g
Ψn f ∈ A ⊗ R(G) khi và chỉ khi
Ψn fc ∈ A ⊗ R(G), với mọi c. Do đó,
(g, n)
(g, n)
Định lý 1.3.7 tương đương với định lý sau.

Vậy

Định lý 1.3.8 ([7], Định lý 23’). Với mỗi lớp liên hợp c của G, ta có
g
Ψn fc ∈ A ⊗ R(G).
(g, n)
Giả sử χ là đặc trưng của G. Khi đó
χ,

1
g
g
χ(x)(Ψn fc (x))∗ =
χ(x).
Ψn fc =

(g, n)
g(g, n) x∈G
(g, n) xn ∈c

Gọi χ1 , χ2 , . . . , χh là tập đầy đủ các đặc trưng bất khả qui của G, ta có
g
Ψn fc =
(g, n)

h

i=1

g
Ψn fc , χi χi .
(g, n)

1
g
χ(x) ∈ A. Vì vậy Định lý 1.3.8
Ψn fc ∈ A ⊗ R(G) khi và chỉ khi
(g, n)
(g, n) xn ∈c
có thể phát biểu như sau.
Suy ra

Định lý 1.3.9 ([7], Định lý 23”). Với mỗi lớp liên hợp c của G và mỗi đặc trưng χ
của G, ta có

1

χ(x) ∈ A.
(g, n) xn ∈c

Áp dụng định lý trên cho trường hợp χ là đặc trưng đơn vị, ta có kết quả sau.
Hệ quả 1.3.10 ([7], Chương 11, Hệ quả 1). Số các phần tử x ∈ G sao cho xn ∈ c là
bội của (g, n).
Chứng minh. Với χ là đặc trưng đơn vị thì
1
1
χ(x) =
.k,
(g, n) xn ∈c
(g, n)
ở đó k là số các phần tử x ∈ G sao cho xn ∈ c. Do A là vành các số nguyên đại số và
k
k
Z đóng nguyên trong Q nên
∈ A. Suy ra
∈ Z, hay k là bội của (g, n).
(g, n)
(g, n)
Hệ quả 1.3.11 ([7], Chương 11, Hệ quả 2). Nếu n là ước của g thì số các phần tử
x ∈ G thỏa mãn xn = 1 là bội của n.
Bây giờ, ta chứng minh Định lý 1.3.7.
Theo Định lý 1.3.1, ta chỉ cần chứng minh
g
Ψn ResH f ∈ A ⊗ R(H)
(g, n)
18

đối với mỗi nhóm con sơ cấp H của G. Do

g
h
là ước của
, với h = Card(H)
(h, n)
(g, n)

nên chỉ cần chứng minh
h
Ψn ResH f ∈ A ⊗ R(H).
(h, n)
Như vậy, việc chứng minh định lý được hạn chế xuống trường hợp của các nhóm sơ cấp.
Một nhóm sơ cấp là tích của các p−nhóm nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp
các p−nhóm. Thật vậy, giả sử G là một p−nhóm với G = P1 × P2 . Đặt pi = Card(Pi ),
(p1 , p2 ) = 1. Mỗi lớp liên hợp c của G là tích c1 c2 của các lớp liên hợp của P1 và P2 .
Do đó
g
g
g
Ψn f (x1 x2 ) =
ΨnP1 f (x1 )
ΨnP2 f (x2 ).
(g, n)
(g, n)
(g, n)
Hơn nữa, nếu

g
Ψn f ∈ A ⊗ R(Pi )
(g, n) Pi

thì

g
Ψn f ∈ A ⊗ R(G).
(g, n)

Mặt khác, G là một p−nhóm nên một đặc trưng bất khả qui của G được cảm sinh từ
đặc trưng bậc một của một nhóm con của G. Do đó, định lý được suy ra trực tiếp từ
bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.12 ([7], Bổ đề 10). Giả sử c là một lớp liên hợp của p−nhóm G và χ là đặc
trưng bậc 1 của G. Đặt
ac =

χ(x).
xn ∈c

Khi đó ac ≡ 0 (mod (g, n)A).
Chứng minh. Ta có

ac . Mặt khác,


g, nếu χ = χtriv ,
triv
(χ, χ ) =
χ(x) =


0, nếu χ = χtriv .
x∈G
x∈G

χ(x) =

c

1
χ(x)(χtriv (x))∗ =
χ(x). Suy
g x∈G
x∈G
ra c ac ≡ 0 (mod (g, n)), hay a{1} + c={1} ac ≡ 0 (mod (g, n)). Như vậy, ta chỉ cần
chứng minh cho trường hợp các lớp c khác lớp đơn vị.
(Trường hợp χ = χtriv , ta có 0 = (χ|χtriv ) =

Viết n = pa m với (p, m) = 1. Trước tiên, ta thấy các phần tử thuộc cùng một lớp
liên hợp có cấp bằng nhau. Gọi pb là cấp của các phần tử của c. Đặt
C = {x ∈ G|xn ∈ c}.
19


Do xn = xp

am

có cấp pb > 1 và G là một p−nhóm nên cấp của x là pa+b . Từ đó, nếu

x ∈ C và z là số nguyên ≡ 1 (mod pb ) thì
b

(xz )n = (x1+kp )n = xn .
Hơn nữa, xz = x khi và chỉ khi z ≡ 1 (mod pa+b ). Nói cách khác, nhóm con Γ của
(Z/pa+b Z)∗ gồm các phần tử đồng dư với 1 (mod pb ),
Γ = {1 + pb t|t ∈ Z/pa Z}.
Tác động của Γ lên C được xác định như sau: Γ × C → C, (1 + pb t, x) → x1+p t . Như
b

vậy, x1+p t = x khi và chỉ khi 1 + pb t = 1 + pa+b s là phần tử đơn vị của Γ. Do đó, tác
động của Γ lên C là tự do. Dưới tác động này, C được phân hoạch vào các quĩ đạo có
cùng số phần tử và số phần tử này bằng với cấp của Γ. Một quĩ đạo như vậy gồm các
b

phần tử dạng x1+p t , với t ∈ Z/pa Z. Đến đây, để chứng minh bổ đề, ta chỉ cần chỉ ra
rằng tổng của χ(x) trên mỗi quĩ đạo chia hết cho (g, n) trong vành A. Tổng này bằng
b

với
b

χ(x1+p t ) = χ(x)

ac (x) =
t

(mod pa )

zt,

t

(mod pa )

ở đó z = χ(xp ). Nhưng χ(x) là một căn bậc pa+b của đơn vị và z là một căn bậc pa
của đơn vị nên


pa , nếu z = 1,
t
z =

0,
t (mod pa )
nếu z = 1.
b

Suy ra ac (x) chia hết cho pa .

Mặt khác, g = pk nên (g, n) = (g, pa m) = (pk , pa m) là ước của pa . Vậy ac (x) chia
hết cho (g, n).

1.3.3

Định lý Green

Trong mục này, A và g được kí hiệu như trong các phần trước.
Bổ đề 1.3.13 ([7], Bổ đề 11). Giả sử p là một số nguyên tố, x là một p −phần tử, C

là nhóm con sinh bởi x, và P là một p−nhóm con Sylow của cái tâm hóa Z(x) của x

trong G. Giả sử H là nhóm con của G không chứa liên hợp của C × P , ψ là một hàm
lớp trên H với giá trị trong A và ψ = IndG
H ψ. Khi đó, ta có
ψ (x) ≡ 0

(mod pA).

Chứng minh. Trước tiên, ta có
ψ (x) =

1
Card(H)

ψ(s−1 xs).
s−1 xs∈H,s∈G

20


Tiếp theo, đặt S(x) = {s−1 xs|s ∈ G} rồi cố định s ∈ G và xét một phần tử liên hợp
s−1 xs của x thuộc S(x). Giả sử t−1 xt là một liên hợp của x thì t−1 xt = s−1 xs ⇔ x =
(ts−1 )−1 x(ts−1 ) ⇔ ts−1 ∈ Z(x). Như vậy, mỗi liên hợp s−1 xs của x được xuất hiện
Card(Z(x)) lần trong tổng khi s ∈ G. Do đó
ψ (x) =

Card(Z(x))
Card(H)

ψ(y).
y∈S(x)∩H

Gọi (Yi )i∈I là các lớp H− liên hợp phân biệt chứa trong S(x) ∩ H. Chọn một phần

tử yi ∈ Yi , i ∈ I. Khi đó, số các liên hợp của yi trong H bằng với Card(Yi ) và bằng
[H : H ∩ Z(yi )]. Do đó
ψ (x) =

Card(Z(x))
Card(H)

Card(Yi ).ψ(yi) =
i∈I

ni ψ(yi ),
i∈I

Card(Z(yi ))
.
Card(H ∩ Z(yi ))
Thật vậy, ta chứng minh

với ni =

Card(Z(yi ))
Card(Z(x))
. Card(Yi ) =
, với mọi i ∈ I.
Card(H)
Card(H ∩ Z(yi))
Ta có S(x) ∩ H =

Yi =

conj(yi ) nên

Card(Yi ) = [H : H ∩ Z(yi )] =

Card(H)
.
Card(H ∩ Z(yi))

Như vậy, chỉ cần chứng minh Card(Z(x)) = Card(Z(yi)). Vì yi ∈ S(x) ⇒ yi liên hợp

với x ⇒ t−1 xt = yi , t ∈ H. Nếu a ∈ Z(x) ⇒ ax = xa ⇒ a(tyi t−1 ) = (tyi t−1 )a ⇒
atyi t−1 = tyi t−1 a ⇒ (t−1 at)yi = yi (t−1 at). Suy ra t−1 at ∈ Z(yi). Ngược lại, giả sử
b ∈ Z(yi ) ⇒ byi = yi b ⇒ b(t−1 xt) = (t−1 xt)b ⇒ tbt−1 ∈ Z(x). Vậy Card(Z(x)) =
Card(Z(yi )).
Bây giờ, giả sử ni ≡ 0 (mod p), với i ∈ I thì Card(Z(yi)) và Card(H ∩ Z(yi)) chia
hết cho cùng một lũy thừa của p. Do đó, một p−nhóm con Sylow Pi của H ∩Z(yi ) cũng
là một p−nhóm con Sylow của Z(yi). Nếu Ci là nhóm xyclic sinh bởi yi thì Ci ×Pi ⊆ H

và là một nhóm con p−sơ cấp liên kết với yi trong G. Do yi và x liên hợp với nhau
trong G nên Ci × Pi liên hợp với C × P . Điều này mâu thuẫn với giả thiết trên H. Do
đó ni ≡ 0 (mod p), với mọi i ∈ I. Vậy ψ (x) ≡ 0 (mod pA).

Định lý 1.3.14 (Green),([7], Định lý 23” ’).
Giả sử (Hi )i∈I là họ các nhóm con của G sao cho
R(G) =

Ind R(Hi ).

i∈I

Khi đó, mỗi nhóm con sơ cấp của G được chứa trong một liên hợp của Hi nào đó.
21