KHÓA HỌC CASIO – ĐÔ-RÊ-MON
Buổi 1: Sử dụng cơ bản
1. Ý nghĩa các nút bấm: Trên máy casio, có nút nổi, ta bấm trực tiếp, nút chìm có hai loại: màu
vàng như STO, SOLVE,…., để bấm nút này, ta cần bấm nút SHIFT trước. Loại màu đỏ, như các
biến nhớ A,B,C,X,Y…ta bấm nút ALPHA trước nhé !
2. Một số nút chức năng cơ bản:
-CALC: Tính giá trị biểu thức chứa biến X, hoặc Y, hoặc cả X và Y. Soạn biểu thức chứa x,y xong,
ta bấm CALC, máy sẻ hỏi X? ta nhập 1 số cho X và nhấn dấu =, máy hỏi Y? ta nhập 1 số cho Y,=,
máy cho giá trị biểu thức tương tứng của x,y mà ta đưa vào. VD: Soạn X2+2XY+3,CACL,2,=,1= máy
cho KQ 11
-SOLVE: chức năng giải pt một ẩn X hoặc hai ẩn X,Y ( cho Y tìm X tương ứng ):
VD: Soạn biểu thức X2-3X+2,SOLVE, máy hỏi X? (cho X giá trị khởi đầu ), ta nhập 6 chẳng hạn,
máy cho kết quả X=2,R=0 (R là độ sai số ) , như vậy TH này máy cho nghiệm đúng luôn. Muốn tìm
nghiệm còn lại, ta bấm nút ⊲⊳để sửa biểu thức (khi con trỏ ở cuối dòng bấm⊳ nó nhảy về đầu
dòng, và nếu nó đầu dòng, bấm nút ⊲nó sẽ về cuối dòng cho nhanh nhé ), ta thêm () vào đầu và
cuối dòng, để con trỏ cuối dòng, ấn nút phân số, sẽ được phân số, thêm mẫu số là X-2, bấm
SOLVE, =, ta được nghiệm thứ 2 là X=1. Vậy pt X2-3X+2 có hai nghiệm X=2,X=1.
3. Phím nhớ:
-Phím Ans, biến nhớ tức thời, nó lưu kết quả vừa tính xong. VD bấm 1+2=3( bây giờ ans là 3), sau
bấm Ans2 sẽ ra 9( bây giờ ans là 9), bấm = tiếp sẽ ra 81…
-A,B,C,X,Y là biến nhớ tạm thời, do ta gán vào bằng cách bấm STO A( gán kết quả vừa tình vào A),
đặc biệt tiện dụng khi kết quả tìm là số lẻ dài loằng ngoằng mà ghi ra giấy phát ốm.
4. Giải phương trình bậc 4, hay phân tích thành nhân tử pt bậc 4:
Ví dụ 1: Pt bậc 4 có nghiệm đẹp ( nguyên, hữu tỉ ) 6x4 5x3 3x2 3x 2 0
Soạn biểu thức : 6x4 5x3 3x2 3x 2 và bấm = ( để lưu bt )
-Bấm SOLVE,1,= máy cho nghiệm x=0,666666666667, R=0, như vậy nghiệm đẹp , đúng rồi, như
đó là phân số nào. Bấm AC ( xóa màn hình hiện thời ), bấm Ans ra 2/3, hihi, tuyệt vời, pt có
nghiệm x
2 3x 2 .A 0
3
Ta phân tích pt thành tích thôi ( chia đa thức hoặc nhóm nhé ) 3x 2 2x 3 3x 2 3x 1 0 ,
xong.
Ví dụ 2: PT bậc 4 nghiệm ko đẹp ( nó sẽ dạng tích hai tam thức bậc 2)
x4 6x3 5x2 4x 1 0
Soạn biểu thức VT và bấm dấu = ( để lưu bt sử dụng lâu dài )
-SOLVE,1,= ra nghiệm lẻ, bấm (SHIFT) STO A
-Bấm SOLVE,= để tìm nghiệm thức 2, máy cho nghiệm rất lẻ, bấm STO B ( lưu nghiệm vào B)
Page
x4 6x3 5x2 4x 1
-Sửa bt thành (
)
x A
1
-Bấm AC, và bấm để trở lại màn hình có biểu thức VT đã soạn
-Bấm A+B cho ra -5, bấm AB ra -1
Vậy theo định lý Viet đảo A,B là nghiệm pt bậc hai: x2 5x 1
Do đó ta phân tích ( bằng cách chia đa thức cho đa thức ) ta đươc:
x
x 4 6x 3 5x 2 4x 1 0 x 2 5x 1
2
x 1
Để nhanh các bạn nên dùng pp nhẩm x 4 6x 3 5x 2 4x 1 x 2 5x 1 ax 2 bx c
a ,c ta biết ngay nhờ hệ số đầu cuối ( đầu =đâu.đầu, cuối =cuối.cuối ) ta có a=1,c=1
còn b ta dựa vào hệ số bậc 3 hai vế: 6 1.b 5.a b 1
Ví dụ 3: Giải pt: 2x 4 5x3 4x2 10x 3 0
-Soạn bt VT và bấm = ( đừng quên bấm =, ko sau gõ lại ốm ra )
-SOLVE với x=1, ra nghiệm lưu vào A
-Sủa bt thành:
VT
, SOLVE ,=, ra nghiệm lẻ, lưu vào B
x A
-Thử AB đẹp ko ?( đẹp thì may mắn cho bạn , ta viet đảo ) lẻ thì A, và B ko phải là hai nghiệm anh
em một nhà.
VT
, SolVE,=, ra nghiệm lẻ lưu vào C
x A x B
-Sửa bt thành
-Tính A.C đẹp ko, đẹp thì tính A+C, vi et ra pt bậc hai có nghiệm là A,C. Không đẹp thì tính B.C
Mình bấm may mắn ra: A.C=-1/2,A+C=-3/2 vậy phân tích ra x2
x
Giải pt trên: 2x 4 5x 3 4x 2 10x 3 0 2x 2 3x 1
2
3
1
x 2x 2 3x 1
2
2
x 3 0
Chú ý: PP này áp dụng cho pt bậc cao hơn cả 4 nhé, cứ mạnh dạn
5. Thực hành: Giải các phương trìnhsau:
1)x4 6x3 12x2 48x 32 0
2)x6 x5 2x4 x3 2x x 3 0
3)x2 x 2
x2 1 3x 2 0
4) 3x 1 5x 4 2x 3
5) x 1 3x 1 5 2x 1 6x2 x 1 5x 5
6) x3 8 3x2 8x 8
--------------------------------------------------------------------------------------------
Buổi 2: Giải PT và BPT vô tỷ
Vd5: 2 3x 2 3 6 5x 8 0
-Bấm SOLVE ra được x=-2, ta nhóm như sau:
Page
2
3
2
3x 2 2 3
3
6 5x 4 0
6 x 2
3
2
3x 2 2 3x 2 4
15 2 x
0
6 5x 2
3
6
15
x 2
0
2
6 5x 2
3 3x 2 2 3 3x 2 4
Do x 6 biểu thức [] luôn âm. Vậy pt có nghiệm duy nhất x=-2
5
3 3x 2 a
2a 3b 8 0
Cách khác: Đặt
3
2
6 5x b 5a 3b 8
6 5x t 0 x
Cách khác nữa: Đặt
Pt trở thành: 2 3 3
6 t2
5
18 3t 2
6 t2
3
2 8 3t , pt bậc 3
2 8 3t 8
5
5
3x 1 6 x 3x2 14x 8 0
VD6:
-SOLVE ra nghiệm x=5, liên hợp :
3 x 5
3x 1 4 1
6 x 3x2 14x 5 0
x 5
x 53x 1 0
3x 1 4 1 6 x
3
1
x 5
3x 1 0
3x 1 4 1 6 x
Với đk:
1 x 3 ... 0
. Vậy pt có nghiệm duy nhất x=5
3
VD7: x 2 x2 x 2 3x 2
-SOLVE ra nghiệm x=2, thay x=2 vào thấy hai căn = nhau, nên nhóm 2 căn với nhau liên hợp
2
x 1 0
x 2 3x 2
Cuối cùng được: x 2
Đặt: f x
2
x 1, x 2
3
x 2 3x 2
Soạn bt f(x) cho các giá trị x=2/3 đến số rất lớn 1000 cho giá trị dương, nên ta cần chứng
minh f(x) luôn dương. ( nếu SHIFT SOLVE thì CAN’T SOLVE vô nghiệm)
Suy ra:
2
2 6
2 0
( bấm
3
3
2
3
6
( bấm AC, -2:Ans=)
2.
x 2 3x 2
2 6
2
2
f x
x 1 0, 441 0
x 2 3x 2
(bấm +2/3+1=)
2:3 2 )
3
Suy ra:
x 2 3x 2
Page
Ta đánh giá lỏng lẻo:
Vậy bpt có nghiệm 2 x 2
3
VD8: 13 4x 2x 3 4x 3 5 2x 2 8 16x 4x2 15
Bấm SOLVE bt 16x 4x2 15 xem có n đẹp hay ko ? để phân tích nhân tử , ra x=1,5
Vậy
2x 35 2x
16x 4x2 15
Đặt: a
2x 3, b 5 2x , pt trở thành hệ:
2b 2 3 a 2a 2 3 b 2 8ab
( hệ đx)
2
2
a b 2
x 4x 7 1 x x 3 1 0
VD9: x 2
2
2
Nhìn là biết dạng xét hàm, để tìm quan hệ hàm, ta thay x ở số hạng thức 2 thành y, soạn bt
x 2
y
x 2 4x 7 1 y
2
3 1
SOLVE, máy hỏi Y? nhập 100=,máy hỏi solve for x, bấm = để xác nhận, ra x=-102. Đoán x=-y2 hay x+2=-y
Đặt: a x 2,b y
Ta có: a
a 3 1 b b 3 1 0 , phân tích ra a=b hoặc xét hàm
2
2
VD10: x3 3x2 3x 2
x 13
0
Dùng tru bò chút, chuyển vế bp mất căn: x3 3x 2 3x
4 x 1
2
0
3
Soạn bt VT, nhớ bấm dấu = để lưu
SOLVE,với x=1 cho ra nghiệm x=1,6180… STO A
VT
, solve tiếp ra x=-0,8284… STO B
x A
VT
Sửa bt thành
solve tiếp ( chú ý bấm dấu = liên tục đến khi máy hết hỏi nhé )
x A x B
Sửa bt thành
ra nghiệm-0,61803….STO C
Bấm AC=-1.A+C=1 nên có nhân tử x2 x 1
Vậy yên tâm khai triển phân tích nhé, kết quả là đây: x 2 4x 4
Cách IQ: Nhận dạng pt đẳng cấp, chú ý có
PT x3 x x 1 2
x 13
x 13 , ta biểu
x
2
x 1 0
2
bt ngoài căn về chứa (x+1)
0
3
Vd11: x2 10 x 1 2 x 4 3x 2 14 0
Cái này bp khó nhằn, liên hợp thôi. Chú y đk x 1
4
a
a
x 1 b a3 ab2 2b3 0 2 0
b
b
Page
Đặt, hoặc chia ta có: x a,
SOLVE với x=1 được x=2
Sửa thành
VT
, SOLVE = tiếp ta x=2, vậy bt liên hợp có nghiệm kép x=2
X 1
Vậy ta phải liên hợp cho ra x 2 x 2 4x 4 =A
2
x 1 ax b x 1 ax b 2 x 2 4x 4
Muốn tìm bt liên cho
a 2 x2 1 2ab x b2 1 ∼x2 4x 4
1
a 2 1 2ab b2 1 a
2
1
4
4
b 0
, hay x 1
1
x ( do x=2 là nghiệm nên
2
thay vào có 2a+b+1=0, thế tìm a.b)
2 1 2a b 0
a 1
f 2 0
Lớp 12 học đạo hàm rồi thì ta phải có:
1
2
a
0
f ' 2 0
2
b
0
21
ta
Tương
tự
tìm
được
x 4
:
4 2c d 0
1
c
3
3x 2 cx d 3.2 2 2 4
2
c 0
d
5
2 3.2 2
Hay x 4 3x 2
x
5
2
x2 4x 41
x 1 x 2 x 4 3x 2 x 10 0
Vậy PT tương đương: x2 4x 4 5
3 4x 19
5
0
x 1 x 2 x 4 3x 2 x 10
Cách khác:
Nhóm thành các bình phương nhận x=2 làm nghiệm:
3x 2 3x 2 bx c
2
x 1 x 1 a
2 x 4
2
Do x =2 là nghiệm , nên có ngay a 1 , 2 2b c 0 ….tựnhóm nhé !
VD12:
a) x2 2x 2 3x 1 x3 2x2 x 2 0
b) 2x 2 4x 6 x 1 x3 x 2 9x 20 0
Page
5
c)x3 3x 2 x 1 7x 2 0
d ) x 2 5x 20 3x2 16x 60 5x2 5x 100
e)7x2 3x 4 5x2 6 3x 1 0
f ) x 7 2 x x 3 2 x 4 x2 5x14
g)16x3 6x 6x 13 3x 5
h) 2x 3 4 x2 1 x 4 x 6 2x 4 x
VD13:
a) x2 12 x2 5 3x 5
b) 3 x2 1 x x3 2
c)x2 x 1 x 2 x2 2x 2
d ) 2 x 4 x 2x 5 2x2 5x
e) x 2 5x 6 2 8x 9 4x2
f )2 x 1 5x 1 x2 1
g)4 x 2 22 3x x2 8
h) x 1 x 2 x 6 x 7 x2 7x 12
t)x 3 3x 1 8 3x2
u)
2 x 1 5x 4
1
3x 1
6
x 3 1
Buổi 4: Kĩ thuật tìm nghiệm kép của pt Vô Tỷ ( bí quết của MON)
ĐK: Nếu f a f ' a 0 thì x=a là nghiệm kép của pt, và pt sẽ phân tích được dạng x a .A 0
2
B1: Soạn bt f(x), solve, ra được nghiệm đẹp x=a.
Tính f’(x) và kiểm tra f’(a)=0 suy ra nghiệm kép là x=a.
B2: Trình bày bài giải: Biến đổi về dạng x a .A 0 , có thể khử căn bằng bp hoặc liên hợp,
2
Tìm bt thức liên hợp với căn
g a ma n 0
2
g x mx n ∼ x a
g x dạng
g x mx n , m,n thỏa mãn
m
2
ti le he so n
Page
6
VD: f x 6x4 47x2 2x 4 5x 6 9x 106 0
f ' x 24x3 94x 2 5x 6
5 2x 4
2 5x 6
9
-F(x) SOLVE x=2,
-Bấm bt f’(Ans) trên với x là Ans, bấm =, ra kết quả 0. Vậy x=2 là nghiệm kép.
-Tìm bt liên hợp với
a 5
4 2a b 0
5x
6
ax
b
0
8
a 2 5 2ab 6 b 2
5x 6 ax b 0 ∼
2
2
b 11
5x 6 ax b x 2
1
4
4
4
Vậy bt liên hợp là:
5x 6
5
11
x
8
4
Giải: Ta có
f x 6x4 47x2 2x 4 5x 6 9x 106 0
5x 11
5x 11
6x 4 47x 2 9x 106 2x 4 2x 4 5x 6 0
8 4
8 4
21
x 2
x 2 24x 2 96x 95 25
0 x 2
32
4
Bài luyện: a) 7x 2 2 x 2 5x2 4 2x 9 0 b)
16x5 64x4 36x3 44x2 18x 4 2x 3 19 0
Buổi 5: Phân tích nhân tử pt hai ẩn x và y ( để giải hệ ) ( nguồn bài tập từ ĐVH)
Máy tính giải được pt một ẩn, nên với pt nhiều(n) ẩn, máy đòi nhập (n-1)ẩn, và tìm ẩn còn lại. Sự ưu
tiên cac bạn tự tìm hiểu ( vd x và y thì máy yêu cầu cho y, tìm x)
Đối với bt hai ẩn: f(x,y) ,ta thay một giá trị Y, và máy sẽ tìm ra giá trị X tương ứng. Từ mối quan hệ này ta
có thể dự đoán mối quan hệ giữa X và Y.
Chú ý khi cho Y , và giá trị khởi đầu X, phải thuộc đk xác định ( nếu ko máy báo lỗi )
B1: Soạn bt f(x;y)
Page
Máy sẽ tìm ra X ( nếu có )
7
B2: SOLVE, máy hỏi Y? ta nhập Y một giá trị, rồi nhấn dấu =, máy hỏi tiếp giá trị đầu của X, ta nhập 1 giá
trị rồi bấm dấu =
B3: Từ mối quan hệ X, Y ta đi chứng minh quan hệ đó ( phân tích nhân tử, liên hợp, hàm số …)
x2 x2 xy y 2 2xy xy y 2
Vd1:
x2 2 y x 2 2x 3 y
( Đặng Việt Hùng )
B1: Soạn bt Vt PT1
B2: Solve, Cho y 1000, bấm = ,(máy thông báo solve forx ) , nhập 2000, bấm =
(vì khi y=1000, thì đk
x2 1000x , 1000x 10002 , nên phải gán x>1000)
Máy cho đáp số 1000. Vậy ta đoán x=y
B3: Phân tích nhân tử ( trình bày bài giải )
Thay x=y vào các căn ta thấy
x 2 xy 0, xy y 2 0 , vậy ta liên hợp hai căn này cho nhau:
x x xy y 2 xy xy y x y
2
2
2
2
2
x y
2
x2 xy xy y2
0
1
x y 2 1
0 x y
2
2
x
xy
xy
y
x 2 y y2 x 2y 4 y 2
VD2:
DVH
2
2
x 16 y 4 y x
y
B1-Soạn bt:
x 2 y y2
x 2 y 4 ( y 2)
B2-Solve: y=100, gán x= 10000, máy chạy ra x=200 ( vì sao cho x lớn thế ? IQ tí nhé ).Vậy x=2y
B3- Phân tích: Thay x=2y vào ta có căn thức nhất =y, căn thứ hai =2, vậy ta ghép
x 2 y y 2 x 2 y 4 ( y 2) 0
x 2y
x 2 y y2 y
x 2 y y y
2
x 2y 4 2 0
x 2y
1
1
0 x 2 y
0
x 2y 4 2
x 2y 4 2
x 2 y y2 y
Page
2
y 2 2
2
2
x y 3 y 2 x 1 y
Vd3:
y 2 y 1
xy 4x 4 y 2 4x 6 4x 1
8
x y
B1: Soạn bt VT-VP pt một, Solve, cho y=101 ( biết vì sao ko ? để căn (y-1) đẹp) , máy giải ra x lẻ .
Đảo ngược ẩn: soạn lại bt trên ( với x đổi cho y và ngược lại )
Solve: ch y=100, gán x=2>1, máy cho x=10002, vậy đoán: x y2 2
Vậy pt đầu có: y x2 2
Lại nhận thấy với y-2=0 hay y=2 thì mẫu số =0, vậy chúng có nhân tử chung
B2: Biến đổi về tích:
x y 3 y 2 x 1 y
2
2
2
y 2 2
y 2 y 1
x2 y 2 y y 2 2 x2 1 2 y 1 0
Thử thay y x2 2 vào hai căn thấy chúng = nhau, nên chúng “nên duyên “ liên hợp :
y x 2 y
2
2 x 2 2 y
0 x 2 2 y y
x2 1 y 1
2
x2 1
0 y x2 2
y1
Luyện :
2y 2
3x y 4x 4 x 1
vd3
2
4
3y 12x 3 y 2
x 1
x
2y x y 1 x y 2 x 3y 4y 1
Vd4:
2
x 2y 6 x 3 2x y x
x1 2 y 2x 2y 1 x 3y 1 3x 2x y 2
Vd5:
3 x2 3 2 x x2 4 y 3
Buổi 6: CASIO với phương pháp hàm số
Mục đích vẫn là tìm quan hệ x,y trong một pt của hệ, từ đó xấy dựng hàm đặc trưng f a f b , f
đơn điệu trong khoảng chứa a,b, suy ra a=b.
3 3y 2 5 x 2 1
VD1:
x y2 3 x y2 5 2x 3 2x 5
B1: Soạn bt VT-VP của pt hai, solve với y=100-x=10000, suy ra x=y2 hay 2x=x+y2
x y2 2x x y2 . Thay vào pt1: 3 3x 5
x 2 1
9
t 5 , pt có dạng f x y 2 f 2x
Page
Vậy hàm số đặc trưng là: f t t 3
x6 3x2 y2 x3 y3 3xy3
VD2:
3
3
2 y 1 3x 6x 2 y y 7
DVH
B1: Khai thác pt một bằng casio: y=100-x=100, vậy dự đoán x=y
B2: -Phân tích thành nhân tử ( lớp 10)
x6 3x2 y2 x3 y3 3xy3 x6 x3 y3 3 x2 y2 xy2 0 x3 x3 y3 3xy2 x y 0
x y
x y x3 x2 xy y 2 3xy 2 0 x x y x2 x2 xy y2 3y2 0
x 0
x2
x2
x2
x 0
x2
Cách 2: Chia hai vế cho y : 3 x 3 3x f f x
x
y
y
y
y
x y
3
4
2
2
7
x
y
4
3 9x 9 0
2
y
4
(ĐVH)
VD3:
4 x 1 xy y2 4 0
4
B1: Khai thác pt1 bằng casio: y=1=>x=-0,8 ( khó đoán hì )
5
Cho y= 12 ( tự biết vì sao nhé ) cho ra x=-0,25, đoán x 4
y2 4
3
3
B2: Ta biến đổi pt hai:
16 x 1 x 2 y 2 y 2 4 0 x y2 4 4 xy2 16 x 1 4xy2 0
x y 2 4 4 0
2
2
2
x y 4 4 xy 4 xy 4x 4 0
xy2 4 0
( các bạn biết chỗ màu đỏ ấy từ đâu rồi chứ )
Cách khác: Xét pt bậc hai ẩn x:
x2 y4 4x2 y2 16x 16 0
' 4x 4 x 2 16x 16 4x 2 x 22
( đẹp )
Cách Thầy HÙng đưa về hàm số quá phức tạp: ….
x 3y 1 y2 1 3x 4
y
x1
VD4:
9 y 2 3 7x 2 y 2 2 y 3
B1: Casio pt1: cho y=100x=9999, vậy x y 2 1
Đặt a
x 1 y
x 1 x a 1
2
2
Pt1 trở thành: a 2 3y y 2 1 3a 1 a 2 1 3a y 2 1 3 y f a f y a y
y
a
a
y
x x 2 4 1 y 3 3x 2 y
4)
6x 2 y 10x2 16x 4 0
Page
2x 3 2x y y 4
1)
2
2
x2 1 x 1
x y 1 y 1
10
Luyện:
2x 1
x2 x1
2y
y2 3
2)
y 3 2 x y 3 12x 8
9x2 16
y3 3
2x 2y 3 3 3
x 3
3)
2
2 y 3x 2y 1 2
6x 5
4y 1
2 x2 4 2
x 2 1
y
y
5)
2
2
2
2
2x y x x 1 2x y 4 y 1
x 2 4 x 2 y 1 2 y2 2 y 15
6)
y 10x 11 x 5x 6 0
Page
11
--------------------------------------Còn nữa--------------------------------------------
Buổi 7: Phân tích nhân tử biểu thức chứa căn
Mục đích phân tích là nhằm đưa pt phức tạp về tích các phương trình đơn giản hơn. Một pp rất
cơ bản mà mọi loại phương trình đều có.
VD1: Giải bất pt: x2 5x x 2 x2 3
Để giải pt này ta có thể bp hai vế, rồi phân tích nhân tử như đã học. Tuy nhiên bây giờ ta sẽ ép
tích ph này.
Dùng máy, dễ dàng cho ra nghiệm x=1
x2 3 2 , tìm nghiệm khác 1 thì thấy ko có nghiệm đẹp nữa. Vậy chứng tỏ có
Thay x=1 vào
x2 3 x a 0, x 1 a 1
một nhân tử tạo ra pt bậc nhất. Ta nghĩ ngay dạng
Vậy ta nhóm:
x2 5x x 2 x2 3 x 2 3
x
x
3 x 1
2
x 2 5x
x2 5x
2x 2
x 2 3 x 1
x 1
x2
x2
x2
3 x 12
2
x2
x 3 x 1x 2
2
x2 3 x 1 0
Khi giải ta chỉ cần trình bày:
1
x 2 3 x 1
x 1
x 3 x 1 2x 3 x 3 0
x2 3 2x 3
x 2 2
2
2
VD2: x 2 2 x 2 x 1 2x 1 2
2 x , 2x 1 , và tích của chúng.
Quan sát ta thấy có tham gia vào pt là :
Ta giảm căn bằng cách đặt t
Pt trở thành: 2t 2 2t 6
2 x 2x 1 4x 1
2 x x 2 t2
3 2t2 t 3 4t 2 9
Solve ra được hai nghiệm đẹp x 1; x
1 . Thay vào biểu thức dạng :
3
a 1
a b 1
2
3 2t2 at b a
5
b
3
3
3 b
2
Nhân tử sẽ là: 2 3 2t 2 t 3
Ta biến đổi:
2t 2t 6 3 2t t 4t 9
t t 32 3 2t t 3 t
2
2
2
3
2
2
3
4t 2 9 t 2 t 3t 3
t 2 t 3 2 3 2t 2 t 3 0 OK
Bài tập:
0
12
2)
x 7 2 x x 7 3x 1 9x 3 3 2 5x 3x2
x 2 x2 1 x x2 1 x4 1 x2 2x 3
Page
1)
Buổi 8: Dùng bảng (table) trong TH nghiệm lẻ.
Như ta đã biết, nếu máy tìm ra nghiệm lẻ, thì chúng ta cần tìm nghiệm sinh đôi của nó, từ đó
tính tông, tich của chúng, rồi dùng viet đảo tìm ra biểu thức nhân tử bậc hai đó.
Sau đây cũng là 1 cách, tuy nhiên chi đúng với một số TH đơn giản.
f x ax b a,b Z
VD: Giải pt: 3x 5 2x2 1 4x2 6x 3 0
Soạn bt VT, solve với x=1, ra được nghiệm lẻ gán vô A.
Bấm MODE 7, nhập hàm số 2 A2 1 AX , bấm =,=, nhậ p giá trị đầu x=-5 và giá trị cuối x=5,
bước nhảy step là 1, bấn =, ta được bảng giá trị của hàm số trên ứn với x=-6 đến x=5
Trong bảng đó chú ý, với x=2 thì giá trị tương ứng là 4 ( là số hữu tỉ là OK)
Điều đó có nghĩa là
thức:
2 A2 1 2 A 4
2 A2 1 2 A 4 0 hay A là nghiệm của biểu
2x2 1 2x 4 . Đây chính là bt liên hợp hoặc nhân tử của VT trên.
Ta cần có: 3x 5 2x 2 1 4x 2 6x 3
2x
2
1 2x 4
2x
2
1 cx d
Để tim c, d ta dùng nhiều cách:
2x2 1 x2, x và hệ số tự do.:
c 1
Nhân bt cần có , đồng nhất hệ số ta có:
d 1
-Đống nhất hệ số của
C2: Cho hai giá trị x ta có hệ bậc nhất c và d
C3: Tiếp tục dò nghiệm bt
Tóm lại: pt tương đương
3x 5
2x
2x2 1 4x2 6x 3
2x2 1 2x 4
2
2x
1 x 1
2
1 2x 4 0
Nhận xét: Bảng giá trị có tác dụng với giá trị nguyên, nên dạng
Tuy nhiên ta có thể dự đoán mẫu đưa về hệ số a
f x
m
c
x vô tác dụng.
n
d
f x cx d , hệ số a ta dự đoán, dùng
table tìm c, d nguyên.
VD2: x 5 x2 x 2 5x2 11x 6 0
Soạn btVT, solve cho x=1 ta được nghiệm x=0,971…, lưu vào A .
Vào MODE 7, soạn f x 2
x=1 f(x) =3 đẹp ( hữu tỉ )
A2 A 2 Ax , vào cho x từ -5 đến 5, ta được bảng giá trị với
Vậy bt nhân tử ( hoặc liên hợp ) là: 2 x2 x 2 x 3
Đến đây ta có phân tích: 2 x 2 x 2 x 3 a x 2 x 2 bx c 0 , Từ tìm a,b,c các
bạn nhé !
Hạn ché: Dạng
f x ax2 bx c thì Table được ko ?
Luyện : Giải các phương trình:
3) 3x 2 5x 11 x 2 8 2x3 13x 2 10x 32 0
Page
2) x2 3x 7 x2 1 2x3 6x2 5x 17 0
13
1) 2x 7 3x 1 x2 4x 7 0
Buổi 9: Gợi ý tìm nghiệm hệ, tìm nhân tử chung của các biểu thức ( rút gọn phân thức, phân
tích nhân tử …)
f x 0
f x 2 g x 2 0 . Do vậy để tìm nghiệm chung hai bt f(x) và g(x) ,
g x 0
Nhận xét:
ta đi dò nghiệm pt : solve f x g x
2
VD1: 4x2 8x
2
x 3 3x 1 0 một bài khá đơn giản, nhưng mang tính minh họa cao.
2
2
Soạn: 4x 8x
2
x 3 3x 1 , solve được x=2
Vậy ta biết hai biểu thức trên có nhân tử chung, từ dò ép tích lh nhé.
VD2: 2 x2 2x 1 3 x3 14 x 2
x 14 x 2 solve với x=-1 ta được 1 nghiệm xấu, sto A.
2
Soạn : 2 x 2x 1
2
3
2
3
Như vậy hai biểu thức trên có nhân tử chung.
Vậy ta biến đổi liên hợp biểu thức thứ 2, sẽ có nhân tử chung là x2 2x 1 .
VD3:
x 4
3x 1 9x 4
2 3x 1 x 2
3 x 3 6x 3 3x 2 10x 3
Ta không thể quy đồng, mà nghĩ tới việc rút gọn phân thức vế trái.
Lấy máy tính bấm SOLVE mẫu số 2 3x 1 x 2 được 1 nghiệm gán vào A ( SHIFT STO A).
Bấm AC ( xóa ), soạn biểu thức bấm = được 0 ( gán nghiệm trên vào bt được ko, hoặc thay x bởi
A bấm =0 ), như vậy chứng tỏ MS và TS có nghiệm chung hay có nhân tử chung.
Vậy ta có:
x 4
3x 1 9x 4
2 3x 1 x 2
2
3x 1 x 2
3 x 3 6x 3 3x2 10x 3
3
3x 1 3
2 3x 1 x 2
x 3 6x 3 3x2 10x 3
3x 1 3 3 x 3 6x 3 3x2 10x 3
3x 1 x 3 3 2x 3x 2 10x 3
Đến đây bt được giải bằng pp ẩn phụ ( đặt hiệu hai căn =t )
VD4:
x 3 1
2 6 x x2 2 2 x x 1 x 3 x 1
2 x x2
1 x 2 x 3 3x
Ta cần xem TS và MS mỗi phân thức có nhân tử chung hay ko , hai TS và hai MS có nhân tử
chung hay ko ?
Nhận thấy TS bên trái có nghiệm x=-2 thay vào MS bên trái thấy =0, nên ta phân tích MS vế trái
theo tử số.
Tương tự, đối với phân thức bên phải và giữa hai MS. Vậy ta có:
2 2 x x 1
2
x 3 1
2 x x2
2 x 1
2 x x 1
14
x 3 1
Page
1
1
1
2 2 x x 1 2
2 2 x x 1
1
2 x x 2
1
2
2 2 x 1
1
2 x 1
2 x x 1
0
2 x 1
2
3 x 2
0
x 1
1
1
2 2 x x 1
x1
x1
2 x 1 1 x
2 x x 2
0
2 x 1
0
f x, y 0
f x, y 2 g x, y 2 0
g
x,
y
0
Vấn đề nghiệm hệ:
Vậy có hai cách dò nghiệm hệ:
Soạn : f x, y g x, y rồi gán x,y vào xem cặp nào =0 ( có vẻ nhanh hơn thử bt )
Hoặc cho y tìm x? ( máy chạy lây và chưa chắc đúng ). Nếu pt chứa căn nên chọn cặp x,y để căn đẹp hoặc
hiệu hai căn =0 ( dù căn ko đẹp ).)
Các bạn thử đi nhé !
Nếu rút thế được , dù phức tạp, ta cũng nên thế đưa về 1 ẩn rồi solve tìm x,y
2
2
xy x 1 7 y
VD1:
2 2
2
x y xy 1 13y
B 2009
7 y 1 2 2 7 y 1
2
Ta rút thế và soạn nguyên bt:
y
.y 113 y , SOLVE ra y=1, y=1/3. Từ đó suy ra
y 1
y 1
nghiệm hệ.
4x 2 1x y 3 5 2 y 0
VD2:
A 2010
4x2 y2 2 3 4x 7
Cách 1: Thế:
Soạn bt: 4x 2 1 x
7 4x 2 3 4x 3 5 2
2
7 4x2 2 3 4x , SOLVE được x=1/2 suy
ra y=2.
Cách 2: Nhắm nhe hai căn đẹp thì có thể đoán x=1/2 và y=2, hoặc x=-1/4,y=2,…, soạn bt để thử cho
nhanh: 4x 21 x y 3 5 2 y 4x2 y2 2 3 4x 7 ….
2
2
Page
15
Chúc các bạn mùa thi QG THPT thành công !