Đề thi môn toán HSG Phú Thọ năm 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: Toán - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang

x+3
có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình
−x + 2
y = x − m − 1 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
vuông tại O, (O là gốc tọa độ).
Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số y =

Câu 2 (2,5 điểm). Giải phương trình
3 cos 2 x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin 2 x + 1) = 3sin 2 x.
Câu 3 (2,5 điểm). Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua
quần áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để
có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.
Câu 4 (2,5 điểm). Tính tích phân
π

I=

4

∫ cos 2 x.ln(sin x + cos x)dx.

0

Câu 5 (2,5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC = a .
Tam giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng
cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy
bằng 60o .
Câu 6 (2,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(−5;2) .
·
·
M (−1; −2) là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho MDC
và MB ⊥ MC .
= MBC
1
·
= .
Tìm tọa độ điểm D biết tan DAM
2
Câu 7 (2,5 điểm). Giải hệ phương trình
( x + y )2 + 3( x + y ) = 2( x + y + 1) + 4
 2
3
( x + y − 2) 2 x + 1 = x + 2 y − 5.
Câu 8 (2,5 điểm). Cho các số x, y, z thỏa mãn 0 < x ≤ y ≤ z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức
P = xy 2 + yz 2 + zx 2

(x
− xyz −

2

+ y2 + z2 )
6

2

.

---------Hết--------• Họ và tên thí sinh:…………………………………….Số báo danh:……………….
• Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT

Hướng dẫn chấm có 06 trang
I.
Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám
khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ
đến 0,25 điểm.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm
tương ứng với thang điểm của đáp án.
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II.

Đáp án – thang điểm
Nội dung
Điểm
x+3
Câu 1. Cho hàm số y =
có đồ thị (C), đường thẳng (d) có phương trình:
−x + 2
2,5
y = x − m − 1 . Tìm m để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác
OAB vuông tại O.
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x+3
= x − m −1
0,5
−x + 2
⇔ x 2 − (m + 2) x + 2m + 5 = 0 (1) ( x ≠ 2)
Điều kiện:
∆ = (m + 2)2 − 4(2m + 5) = m 2 − 4m − 16 > 0
 2
(*)
2 − 2(m + 2) + 2m + 5 ≠ 0
02 − (m + 2).0 + 2m + 5 ≠ 0
0,5

Với điều kiện (*) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 và khác 2
và khác 0, hay (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A( x1; x1 − m − 1); B( x2 ; x2 − m − 1) ,
không trùng điểm O.
uuu
r
uuu

r
Ta có OA = ( x1 ; x1 − m − 1); OB = ( x2 ; x2 − m − 1) . Vì tam giác OAB vuông tại O nên
uuu
r uuu
r
OA.OB = 0 ⇔ x1 x2 + ( x1 − m − 1)( x1 − m − 1) = 0
⇔ 2 x1 x2 − (m + 1)( x1 + x2 ) + (m + 1) 2 = 0 (**)
 x1 + x2 = m + 2
Theo định lí Viet ta có: 
, thay vào (**) được:
 x1 x2 = 2m + 5
2(2m + 5) − (m + 1)(m + 2) + ( m + 1) 2 = 0 ⇔ m = −3.
Thử lại vào (*) thấy thỏa mãn. Vậy m = −3 thỏa mãn bài toán.
Câu 2. Giải phương trình sau
3 cos 2 x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin 2 x + 1) = 3sin 2 x .
Ta có: (1) ⇔ 3 cos 2 x(2sin x − 1) + 2cos x(2sin 2 x + 1) = 3sin 2 x

0,5

0,5
0,5
2,5
0,5
2


⇔ 2 3 sin x cos 2 x − 3 cos 2 x + 4cos x sin 2 x + 2cos x − 3sin 2 x = 0
⇔ 2 3 sin x cos 2 x + 2sin x sin 2 x − 4sin x cos x − 3 cos 2 x − sin 2 x + 2cos x = 0
⇔ 2sin x( 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x) − ( 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x) = 0
⇔ (2sin x − 1)( 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x) = 0

 2sin x − 1 = 0 (2)
⇔
 3 cos 2 x + sin 2 x − 2cos x = 0(3)

π

x = + 2kπ

1
6
(2) ⇔ sin x = ⇔ 
2
 x = 5π + 2kπ .

6
3
1
π
(3) ⇔
cos 2 x + sin 2 x = cos x ⇔ cos(2 x − ) = cos x
2
2
6
π
π


 2 x − 6 = x + 2 kπ
 x = 6 + 2kπ
⇔

⇔
 2 x − π = − x + 2kπ
 x = π + 2 kπ .


6
18
3
Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm:
π
5π
π 2 kπ
x = + 2kπ ; x =
+ 2 kπ ; x = +
(k ∈ ¢ ).
6
6
18
3
Câu 3. Một dãy phố có 5 cửa hàng bán quần áo. Có 5 người khách đến mua quần
áo, mỗi người khách vào ngẫu nhiên một trong năm cửa hàng đó. Tính xác suất để
có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào.
Người khách thứ nhất có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ hai có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ ba có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ tư có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Người khách thứ năm có 5 cách chọn một cửa hàng để vào.
Theo quy tắc nhân có 5.5.5.5.5 = 3125 khả năng khác nhau xảy ra cho 5 người
vào 5 cửa hàng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: Ω = 3125 .
Để có ít nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 khách vào thì có các trường hợp (TH)

sau:
TH1: Một cửa hàng có 3 khách, một cửa hàng có 2 khách, ba cửa hàng còn lại
không có khách nào. TH này có C51.C53 .C41 .C22 = 200 khả năng xảy ra.
TH2: Một cửa hàng có 3 khách, hai cửa hàng có 1 khách, hai cửa hàng còn lại
không có khách nào. TH này có C51.C53 .C42 .P2 = 600 khả năng xảy ra.
TH3: Một cửa hàng có 4 khách, một cửa hàng có 1 khách, ba cửa hàng còn lại
không có khách nào. TH này có C51.C54 .C41 = 100 khả năng xảy ra.
TH4: Một cửa hàng có 5 khách, các cửa hàng khác không có khách nào. TH này
có C51 = 5 khả năng xảy ra.
Suy ra có tất cả 200 + 600 + 100 + 5 = 905 khả năng thuận lợi cho biến cố “có ít

0,5

0,5

0,5

0,5

2,5

0,5

0,25

0,25
0,25
0,25
0,5
3

nhất một cửa hàng có nhiều hơn 2 người khách vào”.
905 181
=
Vậy xác suất cần tính là: P =
3125 625
Câu 4. Tính tích phân
π

I=
I=

0,5

4

2,5

∫ cos 2 x.ln(sin x + cos x)dx

0
π
4

∫ cos 2 x.ln(sin x + cos x)dx
0

=

1
2

1
=
2

π

0,5
4

∫ ln(sin x + cos x) .cos 2 x.dx

0
π

2

4

∫ ln(1 + sin 2 x) cos 2 xdx.

0,5

0

2cos 2 x

 du = 1 + sin 2 x dx

u = ln ( 1 + sin 2 x )
⇒
Đặt 
dv = cos 2 xdx
v = 1 ( 1 + sin 2 x ) .

2
π
π

4
4
1  1
I=
( 1 + sin 2 x ) ln ( 1 + sin 2 x ) − ∫ cos 2 xdx 
2 2

0
0


π
4
1
1
2ln 2 − 1
= ln 2 − sin 2 x  =
.
2
2

4
0 


Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC = a . Tam
giác SAB cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng
cách từ điểm D tới mặt phẳng (SBC), biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy
bằng 60o.

0,5

0,5

0,5

2,5

S

A

D

K
H

B

I

C

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân nên SH ⊥ AB . Vì tam giác SAB
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH ⊥ ( ABCD ) . Suy ra góc giữa SD

0,5
4


·
và mp(ABCD) là SDH
= 60o ⇒ SH = HD tan 60o = HD 3.
·
Dễ thấy tam giác ABC đều cạnh a nên ·ABC = 60o ⇒ HAD
= 120o .
Theo định lí Cô sin:
a2
a  1  7a 2
2
2
2
0
2
HD = AH + AD − 2 AH . AD.cos120 =
+ a − 2. .a.  − ÷ =
4
2  2
4
a 7
a 21

hay SH = HD 3 =
.
2
2
Ta có AD / / BC ⇒ AD / /( SBC ) ⇒ d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )) .
Đường thẳng AH cắt (SBC) tại B nên
d ( A,( SBC )) BA
=
= 2 ⇒ d ( A,( SBC )) = 2d ( H ,( SBC ))
d ( H ,( SBC )) BH
Kẻ HI ⊥ BC , HK ⊥ SI . Vì BC ⊥ HI , BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ ( SHI ) ⇒ BC ⊥ HK .
Vì HK ⊥ BC , HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = d ( H ,( SBC )) .
Vì thấy tam giác ABC đều cạnh a nên CH ⊥ AB hay tam giác HBC vuông tại H.
Ta có
1
1
1
1
1
1
=
+ 2 =
+
+
2
2
2
2
HI
HS

HI
HS
HB
HC 2
4
4
4
4.29
=
+ 2+ 2 =
2
21a
a 3a
21a 2
609a
a 609
Suy ra HI =
. Vậy d ( A,( SBC )) = 2d ( H ,( SBC )) = 2 HI =
58
29
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(−5;2) .
·
·
M (−1; −2) là điểm nằm bên trong hình bình hành sao cho MDC
và
= MBC
1
·
MB ⊥ MC . Tìm tọa độ điểm D biết tan DAM
= .

2

0,5

Suy ra HD =

0,5

0,5

0,5

2,5

B

A

M

D

E

C

Gọi E là điểm thứ tư của hình bình hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hình bình
·
·
hành nên MEC

= MDC
.
·
·
·
·
Mà MDC = MBC suy ra MEC
hay tứ giác BECM nội tiếp.
= MBC
·
·
·
Suy ra BMC
+ BEC
= 180o ⇒ BEC
= 180o − 90o = 90o

0,5
0,5
5


·
Ta có ∆AMD = ∆BEC (c.c.c) ⇒ ·AMB = BEC
= 90o hay ∆AMD vuông tại M
DM 1
1
·
=
= ⇒ DM = MA .

Vì tan DAM
MA 2
2
Ta có MA = 4 2 ⇒ MD = 2 2 ⇒ AD 2 = MA2 + MD 2 = 40 .
 AD 2 = 40 ( x + 5) 2 + ( y − 2) 2 = 40
⇒
Giả sử D( x; y ) ta có 
.
2
2
2
 MD = 8
( x + 1) + ( y + 2) = 8
Giải hệ phương trình trên được hai nghiệm: (−3; −4), (1;0).
Vậy có hai điểm D thỏa mãn đề bài là: D(−3; −4), D (1;0).
Câu 7: Giải hệ phương trình
( x + y )2 + 3( x + y ) = 2( x + y + 1) + 4 (1)
 2
3
( x + y − 2) 2 x + 1 = x + 2 y − 5 (2)
x + y ≥ 0
Điều kiện: 
.
2 x + 1 ≥ 0
Đặt t = x + y (t ≥ 0) . PT (1) trở thành
t 2 + 3t = 2t + 2 + 4

(Vì t + 2 +

1

⇔ t 2 − 4 + 3t − 2t + 2 = 0
3t − 2t − 2
⇔ (t − 2)(t + 2) +
=0
3t + 2t + 2
1
⇔ (t − 2)(t + 2 +
)=0
3t + 2t + 2
⇔ t = 2.

> 0 ∀t ≥ 0 )
3t + 2t + 2
Với t = 2 suy ra x + y = 2 ⇒ y = 2 − x .
Thay y = 2 − x vào (2) ta có:
( x 2 − x) 2 x + 1 = x3 − 2 x − 1

0,5
0,5

0,5

2,5

0,5
0,5

0,5

0,5

⇔ x 2 ( x − 2 x + 1) + 2 x + 1( x − 2 x + 1) = 0
⇔ ( x − 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 1) = 0
⇔ x − 2x + 1 = 0 ⇔ 2x + 1 = x
x ≥ 0
⇔
⇔ x = 1+ 2
2
2 x + 1 = x

0,5

Suy ra y = 1 − 2 . Vậy hệ đã cho có một nghiệm: (1 + 2;1 − 2) .
Câu 8: Cho các số x, y, z thỏa mãn 0 < x ≤ y ≤ z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức

2,5

6


P = xy + yz + zx
2

2

2

(x

− xyz −

2

+ y2 + z2 )
6

2

.

Vì 0 < x ≤ y ≤ z nên
x( x − y )( y − z ) ≥ 0 ⇔ ( x 2 − xy )( y − z ) ≥ 0

0,5

⇔ x y − x z − xy + xyz ≥ 0 ⇔ x y + xyz ≥ x z + xy
2

2

2

2

2

2

xy 2 + yz 2 + zx 2 − xyz = ( x 2 z + xy 2 ) + yz 2 − xyz

0,5

≤ ( x 2 y + xyz ) + yz 2 − xyz = y ( x 2 + z 2 )

Theo bất đẳng thức Cô si ta có:
1
y ( x2 + z 2 ) =
2 y 2 ( x 2 + z 2 )( x 2 + z 2 )
2
3

≤
Do đó
P = xy + yz + zx
2

2

2

0,5

3

 x2 + y 2 + z 2 
1  2 y2 + ( x2 + z 2 ) + ( x2 + z 2 ) 
=
2


÷

÷
3
3
2 




(x
− xyz −

2

+ y2 + z2 )
6

2

3

2

 x2 + y 2 + z 2  3  x2 + y 2 + z 2 
≤2 
÷ − 
÷
3
3


 2


 x2 + y 2 + z 2 
3 4
3
Đặt t = 
÷ (t > 0) . Ta có P ≤ f (t ) = 2t − t .
3
2


f '(t ) = 6t 2 − 6t 3 = 6t 2 (1 − t ) = 0 ⇔ t = 1 . Lập bảng biến thiên của hàm f (t ) suy ra
3 1
1
được f (t ) ≤ f (1) = 2 − = ⇒ P ≤ .
2 2
2
1
1
Ta thấy P = khi x = y = z = 1. Vậy giá trị lớn nhất cần tìm là Max P = khi
2
2
x = y = z = 1.

0,25

0,5

0,25

--------Hết-------

7