Đề thi thử môn toán có đáp án trường THPT Phú Xuyên B năm 2015

Trường THPT
Phú xuyên B

ĐỀ THI THỬ - CHUẨN BỊ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số y =

2x +1
x +1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = - x + 2.
Câu 2 (1 điểm)
a) Cho tan a = 2. Tính giá trị biểu thức: E =

8cos3 a − 2sin3 a + cos a

2 cos a − sin3 a
b) Cho số phức z thỏa mãn: ( 3 − 2i ) z − 4 ( 1 − i ) = ( 2 + i ) z . Tính môđun của z.
Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình: (3 + 5)x + 16(3 − 5)x = 2 x +3
Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân:

π
4

(e tan x + sin x)
∫ cos2 x dx

0

Câu 5 (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy, cạnh bên cùng bằng a.
Gọi M là trung điểm của SC. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD và khoảng cách từ S đến
mp(ABM) theo a.
Câu 6 (1 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)
x = 1 − t
x −1 y − 2 z − 3

=
=
chứa đường thẳng d:
và song song với đường thẳng ∆: y = t .
1
2
3
z = 1 + t


Tính khoảng cách từ ∆ đến mp(P).
Câu 7 (0,5 điểm) Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15
Tìm hệ số a10.
Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(-2; -1) và
trực tâm H(2; 1). Cạnh BC = 20 . Gọi I, J lần lượt là chân các đường cao hạ từ B, C.
Trung điểm của BC là điểm M thuộc đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0 và M có tung độ dương.
Đường thẳng IJ đi qua điểm E(3; - 4). Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu 9 (1 điểm) Giải bất phương trình:

x2 + 3x + 2 x + 2 £ 2x + x +

Câu 10 (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thoả mãn: a + b + c =
nhất của biểu thức P =

1
3

a + 3b

+3

1
b + 3c

+3

6
+5
x
3
. Tìm giá trị nhỏ
4

1
c + 3a

-------------------------------------HẾT-------------------------------------*Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh..........................................................
Số báo danh.....................................................Phòng thi:.................

P N THANG IM THI TH NM 2015 Mụn TON
Câu
Cõu 1
(2,0 im)

Đáp án

a.(1,25 điểm) Khảo sát . . .
* Tập xác định: D = R\{ - 1}
* Sự biến thiên
1
> 0 với mọi x - 1
Ta có y ' =
( x + 1) 2
Nên hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
y = lim y = 2 ; tiệm cận ngang: y = 2
- Giới hạn và tiệm cận: xlim
+
x

Điểm
0,25

0,25

lim y = +; lim + y = ; tiệm cận đứng: x = - 1

x ( 1)

Bảng biến thiên

x -
y
+

x ( 1)

+

-1
+

y

0,25

+
2
-

2

* Đồ thị
Giao với trục Oy: (0; 1); Giao với Ox: (-1/2; 0)
Tâm đối xứng I(-1; 2)

0,25

0,25

b. (0,75 điểm)

2 x0 + 1
x0 + 1
Tip tuyn vuụng gúc ng thng y = - x + 2 nờn cú h s gúc k = 1

Gọi M(x0; y0) là một điểm thuộc (C), (x0 - 1) thì y0 =



1

( x 0 + 1)

= 1 ( x 0 + 1) = 0 x 0 = 1 v x 0 = 2
2

2

Vi x 0 = 0 y 0 = 1 pttt : y = x + 1
Vi x 0 = 2 y0 = 3 pttt : y = x + 5
KL: Cú 2 tip tuyn tmycbt
a.(0,5 im)

0,25
0,25
0,25


Câu 2
(1 điểm)

Chia cả tử và mẫu cho cos3 x ≠ 0 ta được:

E=

1

8 − 2 tan 3 a +
2
cos 2 a

3
2
cos 2 a = 8 − 2 tan a + 1 + tan a
2 1 + tan 2 a − tan 3 a
− tan 3 a

(

Thay tan a = 2 ta được: E = −

0,25

)

0,25

3
2

b. (0,5 điểm)
Giả sử z = a + bi ( a,b ∈ R )

Gt ⇔ ( 3 − 2i ) ( a − bi ) − 4 + 4i = ( 2 + i ) ( a + bi )

Câu 3
(0,5 điểm)

⇔ 3a − 2b − 4 − ( 2a + 3b − 4 ) i = 2a − b + ( a + 2b ) i

0,25

3a − 2b − 4 = 2a − b
a = 3
⇔
⇔
⇒ z = 10
4
−
2a
−
3b
=
a
+
2b
b
=
−
1




0,25

x

x

 3+ 5 
3− 5 
Phương trình ⇔ 
÷ + 16 
÷ =8
2
2




x

3+ 5 
Đặt t = 
÷
 2 

( t > 0)

⇒ pt : t +

0,25

16
= 8 ⇔ t 2 − 8t + 16 = 0 ⇔ t = 4
t

x

3+ 5 
(t TMĐK) ⇒ 
÷ = 4 ⇔ x = log 3+ 5 4
2


2
Câu 4
(1,0 điểm)

0,25

KL: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất
π
π
I=

4

4

e tan x

sinx

∫ cos2 x dx + ∫ cos2 xdx = I1 + I2
0

0

Tính I1 : Đặt t = tanx ⇒ dt =
1

⇒ I1 = ∫ e t dt = e t
0

dx
2

cos x

; x = 0 ⇒ t = 0; x =

0,25

π
⇒ t =1
4

1
= e −1

0

Tính I2: Đặt u = cosx ⇒ du = − sinx; x = 0 ⇒ u = 1; x =

⇒ I2 = −

2
2

∫
1

Vậy: I = e +

0,25

2
1
=
2 = 2 −1
2
u
u
1

du

2 −2

π

2
⇒u=
4
2

0,25
0,25


S

Câu 5
(1,0 điểm)

M

0,25
N

B

C

H
A

a)

b)

D

1
Ta có VS . ABCD = S ABCD .SH Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có các
3
2
cạnh bên bằng nhau và SH ⊥ ( ABCD ) . Ta có S ABCD = a
Xét tam giác SAC vuông tại S nên SH là trung tuyến và là đường cao của tam
1
a 2
giác nên ta có SH = AC =
( AC 2 = 2a 2 )
2
2
3
1
a 2 a 2
Vậy: VS . ABCD = .a 2 .
=
W
3
2
6

0,25

0,25

Vì M là trung điểm SC nên mp(ABM) cắt SD tại N là trung điểm SD.
Ta có VS . ABMN = VS . ABN + VS . BMN

1
2

Mặt khác ∆BCD = ∆ABD ⇒ VS . ABD = VS .BCD = VS . ABCD

VS . ABN SA.SB.SN 1
=
= (vì N là trung điểm SD)
VS . ABD SA.SB.SD 2
VS . BMN SB.SM .SN 1 1 1
=
= . =
VS . BCD
SB.SC.SD 2 2 4
1
1
VS . ABMN = VS . ABN + VS .BMN = VS . ABD + VS .BCD
2
4
1
1
3
3 a3 2 a3 2
= VS . ABDC + VS . ABCD = VS . ABCD = .
=
W
4
8
8

8 6
16
Mà ABMN là hình thang cân có AB = a ;
Xét tỉ số

a
a 3
3a 2 a 2 a 11
MN = ;AN =
⇒ đ cao MK =
−
=
2
2
4 16
4
a
a + a 11 3a 2 11
.
2.
⇒ SABMN =
=
2
4
16
3VS.ABMN
1
Mà VS.ABMN = SABMN .d ⇒ d =
3
SABMN

0,25


Câu 6
(1 điểm)

3a 3 2
a 22
d( S,( ABM ) ) = d = 16
=
11
3a 2 11
16
r
r
(P) có 1 cặp véc-tơ cp u1 = ( 1;2;3) & u 2 = ( −1;1;1)
r r r
Nên (P) có 1 véc-tơ pháp tuyến n = [ u1,u 2 ] = ( −1; −4;3) và
M1 ( 1;2;3) ∈ ( P ) . Suy ra phương trình mp(P): x + 4y – 3z = 0.
Lấy M 2 ( 1;0;1) ∈ ∆ ⇒ d = d ( ∆,(P) ) = d ( M ,(P) )

0,25
0,25
0,25

2

0,25

1− 3

2
26
=
=
Vậy: d =
13
26
12 + 42 + 32

(

P(x) = 1 + x + x 2 + x 3

) = (1 + x ) .(1 + x )
5

2 5

5

Hệ số a10 là hệ số của x10
Câu 7
(0,5 điểm)

+ Ta có: ( 1+ x ) 5 = C50 + C51 x + C52 x 2 + C53 x3 + C54 x 4 + C55 x5

(

+ Ta có: 1+

)

5
x2 =

0,25

C50 + C51 x 2 + C52 x 4 + C53 x 6 + C54 x8 + C55 x10

Suy ra hệ số của số hạng x10 của f(x) là:

0,25

C50C55 + C52C54 + C53C54 = 1.1 + 50 + 50 = 101
( do x10 = x10 x 0 = x8 x 2 = x 6 x 4 )
A

E

I

J

Câu 8
(1 điểm)

H
d

B

C

M

0,25
Tứ giác AIHJ nội tiếp đ tròn đường kính AH, có phương trình:
x 2 + y 2 = 5 (C). Vì M thuộc d nên tọa độ M(2b + 1 ; b).
Đường tròn tâm M, đường kính BC có pt : ( x − 2b − 1) + ( y − b ) = 5 (C’)

0,25

Dễ thấy I, J thuộc đường tròn (C’). Vậy I, J là giao điểm của 2 đường tròn (C),
(C’) nên pt IJ có dạng :

0,25

2

2

x 2 + y 2 − 5 = x 2 + y 2 − 2 ( 2b + 1) x − 2by + ( 2b + 1) + b 2 − 5
2

⇔ 2 ( 2b + 1) x + 2by − ( 2b + 1) − b 2 = 0
2

0,25

Câu 9
(1 điểm)

Vì IJ qua E nên ta có b 2 = 1 ⇔ b = ±1 . Mà b > 0 nên b = 1 suy ra M(3; 1)
uuur
Đường thẳng BC qua M, có véc-tơ pháp tuyến AH .
Vậy phương trình BC:
2x + y – 7 = 0.
ìï x2 + 3x ³ 0
ïï
ïï x + 2 ³ 0
ï
Û x > 0.
● Điều kiện: ïí x ¹ 0
ïï
ïï
6
ïï x + + 5 ³ 0
x
ïî

( *) Û
Û x

x ( x + 3) + 2 x + 2 - 2x -

( x + 2) ( x + 3)

x+3
x

x

(

(

)

0,25

+ 2 x + 2 - 2x £ 0

) - 2( x -

x+3
x- x +2
x
æx+3
ç
Û x- x +2 ç
ç
ç
x
ç
è
Û

x2 + 5x + 6
£0
x

)

x +2 £ 0

0,25

ö
÷
2÷
£0
÷
÷
÷
ø

 x +3
 x+3
−2≤0
−2≥0


⇔ x
v x
x − x + 2 ≥ 0
x − x + 2 ≤ 0




x + 3
 x+3
 x+3
 x ≤4
−
2
≤
0
≤
2



⇔ x
⇔ x>0
 x





Hệ:  x − x + 2 ≥ 0
x ≥ x + 2
 x 2 − x − 2 ≥ 0
x ≥ 1
⇔
⇔x≥2
x ≥ 2

x + 3
 x+3
 x+3
 x ≥4
−
2
≥
0
≥
2



⇔ x
⇔  x > 0 (ĐKXĐ)
 x





x
−
x
+
2
≤
0
x
≤

x
+
2
Hệ: 

 x 2 − x − 2 ≤ 0
x ≤ 1
⇔
⇔ 0 < x ≤1
0
<
x
≤
2


Câu 10
(1 điểm)

KL: bpt có tập nghiệm S = ( 0;1] ∪ [ 2; +∞ )
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có
1 1 1
3
1 1 1
9
(x + y + z) + +  ≥ 33 xyz
=9⇒ + + ≥
(*)
3
x y z x+y+z

xyz
x y z
¸p dông (*) ta cã:

0,25

0,25

0,25


1
1
1
9
+3
+3
≥3
3
a + 3b
b + 3c
c + 3a
a + 3b + b + 3c + 3 c + 3a
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có:
P=

3

a + 3b + 1 + 1 1
= ( a + 3b + 2 )

3
3
b + 3c + 1 + 1 1
3 ( b + 3c ) 1.1 ≤
= ( b + 3c + 2 )
3
3
c + 3a + 1 + 1 1
3 ( c + 3a ) 1.1 ≤
= ( c + 3a + 2 )
3
3
3

( a + 3b ) 1.1 ≤


1 3
1
a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤  4 ( a + b + c ) + 6  =  4. + 6  = 3
3
3 4

Do ®ã P ≥ 3
3

1
a + b + c =
DÊu = x¶y ra ⇔ 
⇔a=b=c=

4
4

a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1
VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 3 khi a = b = c = 1 / 4
Suy ra

3

*Ghi chú: Nếu thí sinh trình bày theo cách khác đáp án mà vẫn suy luận lôgic thì
vẫn cho điểm theo từng bước làm đúng.

0,25

0,25

0,25