CÁC BÀI TẬP HÌNH OXY NÂNG CAO

Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

E – CÁC BÀI TẬP HÌNH OXY NÂNG CAO : ( nhấn mạnh các kỹ thuật giải OXY)
1) Kỹ thuật tham số hóa : (Xem lại các bài toán tìm tọa độ điểm ở phần cơ bản)
+) Gọi điểm M(m,n) => cần tìm 1 hệ PT để tìm m,n
+) Thường áp dụng vào bài toán tìm tọa độ điểm : nếu điểm M thuộc d : ax + by + c = 0( a ≠ 0 ) thì
M(

−bm − c
; m ), lúc này tọa độ M chỉ còn 1 ẩn và ta chỉ cần tìm 1 PT, tương ứng 1 điều kiện có
a

được (hoặc suy ra) từ đề bài (vuông góc, song song, độ dài bằng nhau,…)
Bài 1. ĐH KB 2004: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc d : x
ĐS: ( 7;3) ,(−43 / 11; −27 / 11)

– 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6.

Bài 2. Cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d1: x+y−2=0, d2: x+y−8=0. Tìm tọa độ các điểm B và
C lần lượt thuộc d1 và d2 sao cho ∆ ABC vuông cân tại A. ĐS: B(−1;3), C(3;5) OR B(3;−1), C(5;3)
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A ( −1;2 ) và đường thẳng ( d ) : x − 2 y + 3 = 0 . Tìm trên
đường thẳng (d) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC = 3BC .
2 x + y = 0
 13 16   1 4 
 3 6
⇒ C  − ;  . AC = 3BC ⇒ B  − ;  ; B  − ; 
 5 5
 15 15   3 3 
 x − 2 y = −3

Hướng dẫn: Tọa độ C là n0 của hệ : 

2) Kỹ thuật lấy điểm đối xứng : Thường áp dụng cho các hình có tính đối xứng (có trục đối xứng
hoặc tâm đối xứng) như : hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông,hình thang cân, tam
giác cân, đều… , đường phân giác, đường trung trực …
Bài 1.1. Xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên
đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x−y+2=0 và
ĐS: C(-10/3;3/4)

đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y−1=0.

Bài 1.2. Tìm tọa độ đỉnh C của ∆ABC có H(17/5 ; -1/5) là chân đường cao hạ từ A, chân đường
phân giác trong hạ từ của góc A là D(5;3) , trung điểm của AB là M(0;1). Đs : C(9;11)
Bài 1.3.(D11) Cho tam giác ABC có đỉnh B(−4;1) , trọng tâm G (1;1) và đường thẳng chứa phân
giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C .
Hướng dẫn: Gọi D( x; y ) là trung điểm của AC . Vì BD = 3GD nên ta tìm được D(7 / 2;1) . Gọi E
là điểm đối xứng với B qua phân giác trong góc A , ta tìm được E (2; −5) . Đường thẳng AC đi qua
A và E nên có phương trình 4 x − y − 13 = 0 . A là giao điểm của AC và đường phân giác trong góc
A nên có tọa độ A(4;3) . C đối xứng với A qua D nên C (3; −1) .

Bài 1.4. (B10) Trong hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C (−4;1) , phân giác
trong góc A có phương trình d : x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích
tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.
Hướng dẫn: Gọi D là điểm đối xứng với điểm C qua đường thẳng d , ta tìm được D (4;9) . A là
giao điểm của d và đường tròn đường kính CD đồng thời có hoành độ dương nên ta tìm được
GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

12


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

A(4;1) .Cạnh AB đi qua A và D nên có phương trình x − 4 = 0 .Ta có AC = 8; AB =

2.S ∆ABC
= 6 . Gọi
AC

B (4; y ) , từ AB = 6 ta tìm được B (4;7) hoặc B (4; −5) . Do d là phân giác trong góc A nên AB, AD

cùng hướng. Suy ra B(4;7) .
Bài 2.1. Cho ∆ABC cân tại A có BC = 4 2 . Các điểm M(1; -5/3), N(0;18/7) lần lượt nằm trên
AB, AC, đường cao AH : x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết B có hoành độ dương.
Bài 2.2. Cho ∆ABC cân tại A và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2x +y – 2 = 0. Đường cao kẻ từ
B có PT : x + y + 1 = 0 và điểm M(1;1) thuộc đường cao kẻ từ C. Tìm tọa độ A, B, C.
Bài 3. Bài 14, mục B : kỹ thuật đối xứng qua tâm hình chữ nhật.
Bài 4. Cho ∆ABC có chân đường cao hạ từ A là H(17/5;-1/5), chân đường phân giác trong của góc
A là D(5;3), trung điểm AB là M(0;1). Tìm tọa độ C.
3) Kỹ thuật quy về công thức góc :
C1 : Chỉ ra (hoặc chứng minh) trong hình có 2 góc bằng nhau rồi áp dụng công thức tính góc
(thường là góc giữa 2 đường thẳng hoặc góc trong tam giác) , để ý đến các hình : tam giác cân,
vuông cân, đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang cân, hình thang vuông …hoặc
góc giữa 2 đường thẳng bằng 1 góc cho trước ….
C2 : Các tỉ lệ trong tam giác vuông, 2 tam giác đồng dạng cũng cho ta 1 ý tưởng về tính giá trị
lượng giác của góc

Bài 1. Cho ∆ABC cân tại A, pt AB : x + 2y – 5 = 0, BC : 3x – y +7 = 0. Viết phương trình cạnh
AC đi qua F(-1;3) ?

Đs : 2x + 11y + 31 = 0

Bài 1’. Cho hình vuông ABCD có A(-4;5) và đường chéo có PT : 7x – y + 8 = 0. Viết phương
trình các cạnh của hình vuông.
Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AC : x + 3y = 0, AD : x – y + 4 = 0, BD đi qua M(-1/3;1). Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.

Đs : A(-3;1), B(1;-3), C(3;-1), D(-1;3)

Bài 3. Tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC vuông cân tại A có I là trung điểm BC, M(11/2;-4) là trung
điểm IB, N là điểm trên đoạn IC : NC = 2 NI, đường AN : x – y – 2 = 0 và xA < 0.
Bài 4. Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD, đường AC : 2x – y – 1 = 0, đỉnh A(3;5) và đỉnh B thuộc
d : x + y – 1 = 0. Tìm các đỉnh còn lại của hình thoi biết xB < 3. Đs : B(-1;2), C(-1;-3), D(3;0)
Bài 5. Cho hình thoi ABCD có BD = 2AC, đường BD : x – y = 0, M là trung điểm CD. Hình chiếu
vuông góc của A lên BM là H(2;-1). Viết pt AH ? Đs : 5x + 7y – 3 = 0, 7x + 5y – 9 = 0.
Bài 6. Cho hình vuông ABCD có M(11/2, ½) là trung điểm của CD, N thuộc BC sao cho CN = 2
NB, pt AN : 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm A.

Đs : A(4;5), A(1;-1)

Bài 7.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BC
là ( d ) : x + 7 y − 31 = 0 , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3) thuộc AB và nằm ngoài
đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

13


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Hướng dẫn: sử dụng ( AB; BC ) = 450 , ta được ( AB ) : 4 x + 3 y + 1 = 0 . ( AC ) : 3x − 4 y + 7 = 0 .
Hay ( AB ) : 3x − 4 y − 18 = 0 , ( AC ) : 4 x + 3 y − 49 = 0 , nhớ KT lại. Đs : A(-1; 1), B(-4; 5),C(3; 4)
Bài 8. (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(11/2; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD sao
cho CN = 2 ND. Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Hướng dẫn : Tìm cosin của 1 góc liên quan đến đỉnh A => A. Đs : A(1;-1), A(4;5)
Bài 9. Cho ∆ABC vuông tại A, gọi M là điểm trên cạnh AC : AB = 3AM. Đường tròn tâm I(1;-1)
đường kính CM cắt BM tại D. Xác định tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết đường thẳng BC đi qua
N(4/3;0) , phương trình CD : x – 3y – 6 = 0 và điểm C có hoành độ dương
Hướng dẫn : AB = 3AM => sử dụng kỹ thuật góc . Đs : C(3;-1), B(-2;2), A(-2;-1)
4) Kỹ thuật quy về công thức khoảng cách : Dấu hiện nhận biết là trong bài có giả thiết về độ
dài, khoảng cách, diện tích của 1 hình, đường thẳng tiếp xúc hoặc cắt đường tròn hoặc tỉ lệ về độ
dài ( tam giác đồng dạng … ) , để ý đến các hình : hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang
cân, hình thang vuông
Bài 1.1 Cho hình vuông ABCD có điểm A(1;3), điểm M(6;4) thuộc BC và N(17/2;9/2) thuộc CD.
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông.
Đs : B(4;6), C(7;3), D(4;0) và B(64/13;18/13),C(85/13;69/13), D(34/13;90/13)
Bài 1.2. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Đường thẳng AB, BC, AD, CD lần lượt đi qua
M(-4/3;1), N(0;3), P(4;-1/3), Q(6;2). Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD.
Bài 1.3. Cho hình vuông ABCD có tâm I(1;1), biết M(-2;2) thuộc cạnh AB và N(2;-2) thuộc cạnh
CD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Bài 1.4. Cho hình thang vuông ABCD tại A và B có C(2;-5) và AD = 3BC. Điểm M(-1/2;0) thộc
AB, điểm N(-3;5) thuộc AD. Viết Pt các đường AB, AD biết diện tích hình thang ABCD = 75.
Bài 1.5. Cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3), AC = 2BD. Điểm M(2;4/3) thuộc AB, N(3;13/3) thuộc

CD. Viết PT đường chéo BD biết B có hoành độ lớn hơn 3
Bài 1.6. Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1), AC = 2BD. Điểm M(0;1/3) thuộc AB, N(0;7) thuộc
CD. Tìm tọa độ B biết B có hoành độ dương.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của
hai đường chéo nằm trên đường thẳng d : y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.
5 8

8 2

Hdẫn: (cho diện tích thường nghĩ đến kỹ thuật k/cách) ⇒ C  ;  , D  ;  or C ( −1;0 ) , D ( 0; −2 )
 3 3 3 3
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16, các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua
M(4;5), N(6;5), P(5;2), Q(2;1). Viết phương trình cạnh AB. Đs : x – y + 1 = 0, - x + 3y – 11 = 0
Bài 4. (A12) Cho hình vuông ABCD, gọi M(11/2; ½) là trung điểm BC, N là điểm thuộc CD sao
cho CN = 2 ND. Giả sử AN : 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Hướng dẫn : Tính diện tích tam giác AMN => dùng kỹ thuật khoảng cách . Đs : A(1;-1), A(4;5)
GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

14


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho AC =
4AN, điểm N thuộc đường thẳng 3x + y + 4 = 0, phương trình MD : x – 1 = 0. Xác định tọa độ đỉnh
A biết khoảng cách từ A đến MD = 4 và N có hoành độ âm. Đs : (-3;1), (-3;0)

Bài 6.1 Viết PT các cạnh của hình bình hành ABCD tâm I(-1;3) và trọng tâm ∆ ABD là G(1/3;5/3),
biết AB, AD là 2 tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x – 6y + 8 = 0
Bài 6.2. Cho hình thang ABCD có 2 đáy là AB và CD, biết A(0;-4), B(4;0). Tìm tọa độ 2 đỉnh C,
D biết ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) : (x – 1)2 +(y + 1)2 = 2
Bài 6.3. Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 3)2 =10. Đường thẳng
AB đi qua M(-3;-2). Xác định tọa độ điểm A biết A có hoành độ dương
5) Kỹ thuật KẾT HỢP CHỨNG MINH tính chất đặc biệt của hình : Đây là kỹ thuật tồng hợp
+)Yêu cầu : Có kỹ năng dựng hình, nhìn điểm và đường thẳng trong trạng thái chuyển động . Quan
tâm đến mối liên hệ của 3 đối tượng là: Điểm ; Đường thẳng ; Đường tròn . Liên quan đến hình
vuông thì chú ý đến việc tính cạnh, chia diện tích. Liên quan đến đường tròn thì chú ý đến khoảng
cách từ tâm đến dây cung… (xem phụ lục các bài toán cơ sở của hình học phẳng)
+) Sau khi quan sát và rút ra tính chất đặc biệt của hình như : 2 đường vuông góc, 3 điểm thẳng
hàng, các đoạn bằng nhau, các góc bằng nhau, điểm cách đều các đỉnh,các cạnh , tứ giác nội tiếp,
hình bình hành, tam giác cân, vuông … ta chứng minh nó đồng thời kết hợp các kỹ thuật trên.
LOẠI 1 : CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
Bài 1.1. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và CD. Tìm tọa độ giao điểm
H của AM và BN biết N(2;-2) và phương trình AM : x – 3y + 4 = 0. Đs : (4/5;8/5)
Bài 1.2. Cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4). Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và CD. Gọi
H(4/5; 8/5) là giao điểm AM và BN. Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông biết điểm A
nằm trên đường thẳng : x + 2y + 4 = 0.
Bài 1.3 : (cắt hình vuông thành hình thang vuông có cạnh AB = 2CD) Cho hình thang vuông
ABCD (vuông tại B và C) có AB = BC = 2 CD và đỉnh A(-4;0). Gọi M là trung điểm BC, điểm
H(4/5;8/5) là giao điểm của AM và BD. Xác định các đỉnh còn lại của hình thang biết D nằm trên
đường thẳng x + 2y + 2 = 0
Hướng dẫn (bài toán cơ sở của 3 bài trên)Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm các cạnh BC và CD. Chứng minh : AM vuông góc BN
Bài 2*. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB đáy nhỏ). Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vuông
góc của B lên AC, CD và M, N lần lượt là trung điểm AD, HI. Viết PT cạnh AB biết M(1;-2),
N(3;4) và đỉnh B thuộc đường thẳng x + y – 9 = 0 và cos ABM = 2 / 5 .
Hướng dẫn : c.m : BN vuông góc MN (sử dụng góc nội tiếp và tam giác đồng dạng) , B(6;3) và

AB : 3x + y – 21 = 0, x + 3y – 15 = 0(loại)

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

15


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 3. Cho hình vuông ABCD. Gọi M(1;3) là trung điểm BC, N(-3/2;1/2) là điểm trên đoạn AC sao
cho AC = 4AN. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết D nằm trên đường x –y–3 = 0.
Hướng dẫn : C/m quan hệ vuông góc ( các pp : thuần túy hình học phẳng, công cụ véctơ, công cụ
tọa độ, công cụ lượng giác ). Từ đó DN : x + y + 1 = 0, D(1;-2), A(-3;0), B(-1;4), C(3;2)
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x – y + 2 = 0, đỉnh C thuộc
đường thẳng d2 : x – y – 5 =0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B xuống AC. Gọi M(9/5;2/5),
K(9;2) lần lượt là trung điểm AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết điểm
C có tung độ dương.
Hướng dẫn : Bài 4 là mở rộng của bài 3 ( nhìn dưới góc độ là bài toán hình học phẳng thuần túy)
nên C.M được BM vuông góc MK, từ đó BM : 9x + 2y – 85 = 0, B(1;4), C(9;4), A(1;0), D(9;0)
Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N(-3/2;1/2) là điểm trên đoạn AC sao cho
AC = 4AN. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết DM có phương trình : x – 1 = 0
Hướng dẫn : Kết hợp c/m vuông góc và kỹ thuật phát hiện góc có cosin tính được
Đs : D(1;-2) hoặc D(1;3) từ đó suy ra các điểm còn lại
Bài 6. Cho hình vuông ABCD có đỉnh C thuộc đường thẳng d : x + 2y – 6 = 0, điểm M(1;1) thuộc
cạnh BD, hình chiếu của M lên cạnh AB, AD đều nằm trên đường thẳng ∆ : x + y – 1 =0 . Tìm tọa
độ điểm C. Hướng dẫn : đọc kỹ giả thiết xoay quanh điểm nào => c.m vuông góc . Đs : (2;2)

LOẠI 2 : CHỨNG MINH AN = k AN hay AB = k MN (k là hằng số)
Lưu ý : Xem lại bài toán tìm điểm và kỹ thuật tham số hóa
Bài 1. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là I(4/3;5/3), trực tâm H(1/3;8/3) và trung
điểm cạnh BC là M(1;1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Đs : (1;4), (-1;2), (3;0)
Hướng dẩn : (bài toán về đường thẳng Ơ – le) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và
gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó c.m : G, H , I thẳng hàng và GH = −2GI .
Bài 2. Cho hình thang ABCD có 2 đáy AB, CD và CD = 2AB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ
từ D xuống AC và M là trung điểm HC. Biết B(5;6), phương trình DH : 2x – y = 0, DM : x – 3y +
5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD. Đs : (1;2), (9;2), (1;6)
Hướng dẫn : Tìm tọa độ I nhờ đẳng thức vectơ có được từ 3 điểm thẳng hàng và CD = 2AB.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N(-3/2;1/2) là điểm trên cạnh AC sao cho
AC = 4AN, giao điểm của AC và DM là I(1;4/3). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Hướng dẫn : Tìm tọa độ A từ 3 điểm thẳng hàng I, N, A.Đs : (-3;0), (3;2), (-1;4), (1;-2)
LOẠI 3 : CHỨNG MINH 2 ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU, 2 GÓC BẰNG NHAU …
Bài 1.(QG2015) Cho ∆ABC vuông tại A, gọi H(-5;-5) là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC,
D là điểm đối xứng của B qua H, K(9;-3) là hình chiếu vuông góc của C lên AD. Cho trung điểm
cạnh AC thuộc đường thẳng x – y + 10 = 0. Tìm tọa độ A. Đs : (-15;5)

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

16


Tel : 0914455164. ễn thi THPT QUC GIA

Chuyờn To trong mt phng

Bi 2. (A13) Cho hỡnh ch nht ABCD cú im C thuc d : 2x + y + 5 = 0 v A(-4;8). Gi M l

im i xng ca B qua C, N l hỡnh chiu vuụng gúc ca B lờn MD. Tỡm ta im B, C bit
N(5;-4)

s : C(1;-7), B(-4;-7). Cú th gii bng chng minh vuụng gúc.

HD : (Bi toỏn c s) Cho hỡnh ch nht ABCD. Gi M l im i xng ca B qua C, N l hỡnh
chiu vuụng gúc ca B lờn MD. Chng minh AN vuụng gúc CN
Bi 3.1.Trong (Oxy) cho tam giỏc ABC, bit ba chõn ng cao tng ng vi 3 nh A,B,C
l A'(1;1),B'(-2;3),C'(2;4). Vit PT cnh BC.
Bi 3.2 Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác nhọn ABC biết chân đờng cao lần lợt hạ từ đỉnh A
,B ,C là H1(4;-1), H2(1;5), H3(-4;-5) .
Hng dn: Nhận thấy H1A là phân giác trong của góc H1 vì vậy BC là tia phân giác ngoài do đó
để tìm phơng trình các cạnh AB ;AC ;BC ta chỉ cần tìm phơng trình đờng phân giác ngoài của
các góc H1 ; H2 ;H3 của tam giác H1H2H3 . H1H2 : 2x+y-7=0 ; H1H3 ; x-2y-6=0 ; H2H3: 2x-y+3=0
* Phơng trình phân giác trong và ngoài của góc H3 là : x+y+9=0 (1)và x-y-1=0
thay toạ độ H1 và H2 vào (1) ta suy ra AB : x+y+9 =0. Tơng tự : AC: y-5= 0, BC : 3x-y-13=0
A(14;5) , B(1; 10) , C (6;5)

Bi 3.3 Trong mt phng vi h to Oxy , cho tam giỏc nhn ABC cú chõn cỏc ng cao h t
A, B, C theo th t l M (2;0), N (16 / 5; 12 / 5 ) , P(0; 4). Tỡm ta trc tõm ca tam giỏc ABC .

Hng dn : Vỡ AM l phõn giỏc trong gúc PMN nờn ta tỡm c phng trỡnh AM l x 2 = 0
v CP l phõn giỏc trong gúc MPN nờn ta tỡm c phng trỡnh CP l x y 4 = 0 . Trc tõm H
ca tam giỏc ABC l giao im ca AM v CP nờn cú ta H (2; 2) .
Lu ý : (bi toỏn c s ca 3 bi trờn)Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H, bit chõn cỏc ng cao
tng ng k t A,B, C l A,B,C. C/m : H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC.
PH LC : CC BI TON C S TRONG HèNH HC PHNG
Bi 1. Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H, bit chõn cỏc ng cao tng ng k t A,B, C l
A,B,C. C/m : H l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC.
Bi 2. (bi toỏn v ng thng le) Cho tam giỏc ABC cú trng tõm G, trc tõm H v gi I l

tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC. Khi ú c.m : G, H , I thng hng v GH = 2GI .
Bi 3. Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H ng thi ni tip trong ng trũn tõm I. Gi B l im
i xng ca B qua I. Khi ú c.m : AHCB l hỡnh bỡnh hnh .
Bi 4. Cho tam giỏc ABC cú trc tõm H v H l im i xng ca H qua BC. Khi ú c.m : H
thuc ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.
Bi 5. Cho tam giỏc ABC nhn ni tip trong ng trũn tõm I. K ln lt cỏc ng cao BH, CK
trong tam giỏc ABC. Khi ú c.m : IA vuụng gúc HK.
Bi 6. Cho tam giỏc ABC ni tip trong ng trũn tõm I. ng phõn giỏc trong ca gúc A ct
ng trũn (I) ti D. Khi ú c.m : ID vuụng gúc BC.
GV :

Ti liu lu hnh ni b

17


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 7. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, E thuộc cạnh AC sao cho AC = 3AE. Gọi N là giao
điểm BE và AM. Khi đó c.m : N là trung điểm AM.
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm BC, cạnh HE vuông góc AC ( E thuộc AC),
gọi F là trung điểm EH. Khi đó c.m : AF vuông góc BE.
Bài 9. Cho tam giác ABC cân tại A có H là trung điểm BC . Gọi D là hình chiếu của H lên AC và
M là trung điểm HD. Khi đó c.m : AM vuông góc BC.
Bài 10. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD. Khi đó c.m :
AM vuông góc BN
Bài 11. Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm AB. Điểm N thuộc BD : BN = 3ND. Khi đó c.m
: MN vuông góc NC.

Bài 12. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc AB, BC sao cho BM = BN. Gọi H là hình
chiếu của B xuông MC. Khi đó c.m : HN vuông góc HD
Bài 13. Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Gọi H là hình chiếu của A lên BD, E và F là trung
điểm CD và BH. Khi đó c.m : AF vuông góc EF.
CÁC BÀI TOÁN CƠ SỞ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ( TIẾP THEO )
Bài 14. Cho hình vuông ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BC. CMR: AM ⊥ DN
Tổng quát : Cho hình vuông ABCD, trên cạnh DC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy N sao cho
DM = CN. CMR : AM ⊥ DN.
Bài 15.

Cho hình vuông ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BC, K là giao của

AM với DN. CMR:

a) AK= 2DK

b) AK = 4KM

c) KN = (3 / 2) KD

Bài 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BC, K là
giao của AM với DN. Tính được theo a diện tích :

a) tam giác AMN

b) tam giác AKN

Bài 17. Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh AB lấy F sao cho
AM = AF, gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống BM. CMR : FH ⊥ CH.
Bài 18. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc

của D lên BC, M là trung điểm của CD. CMR : AH ⊥ HM .
Bài 19. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, CD=2AB, gọi I là giao của AC với BD
CMR : DI = 2IB.
Bài 20. Cho hình thang ABCD có AB

CD, Gọi M là trung điểm của AD, H là hình chiếu

vuông góc của B xuống CM . Tính diện tích hình thang biết CM = 3a, BH= 2a.
Bài 21. Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC, M và N lần
lượt là trung điểm của CH và AB. MN ⊥ DM.
Bài 22. Cho hình vuông ABCD cạnh a , trên đoan BD lấy điểm M sao cho BM = 3DM, gọi N
là trung điểm của AB, I là giao của CN với BD.
a) CMR tam giác CMN vuông cân tai M.
GV :

b) Tính được tỉ số : BI/BD.
Tài liệu lưu hành nội bộ

18


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 23. Cho hình vuông ABCD, trên đoan BD lấy điểm M sao cho BM = 2DM, gọi N thuôc
cạnh BC sao cho BC =3BN . CMR tam giác AMN vuông cân tai M.
Bài 24. Cho hình vuông ABCD tâm I, M thuộc đoạn AC sao cho AM = 2MC, K thuộc đoạn
AB sao cho AB= 3AK, G là trọng tâm của tam giác ADI. Chứng minh được :
a) ∆ KMD vuông cân đỉnh M

b) ∆ DGM vuông cân đỉnh G c)M là trọng tâm của ∆ BCD.

Bài 25. Cho hình vuông ABCD cạnh a, gọi M là trung điểm của AB, N thuộc đoạn BC sao cho
BC = 3CN, H là hình chiếu vuông góc của D lên MN. CMR: a) DH= a

;

b) HA ⊥ HB

Bài 26. Cho hình vuông ABCD cạnh a, đường tròn tâm I đường kính AB và đường tròn tâm D bán
kính DC cắt nhau tại E (E khác A), Gọi M là trung điểm của CD, N là trung điểm của BC.
CMR: a) EA ⊥ EM

b) 3 điểm B, E, M thẳng hàng

Bài 27. Cho hình vuông ABCD, đường thẳng d song song với AB cắt AD tại M và cắt AC tại N sao
cho AM =CN, gọi K là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh A của tam giác DAC. CMR
tứ giác CKMN là hình bình hành.
Bài 28. Cho hình vuông ABCD. Goi E là điểm đối xứng với D qua C, N là trung điểm của AB, K
thuộc đoạn BE sao cho BE = 4BK, I thuộc đoạn BD sao cho BD = 4ID.
a) CMR Tam giác NKC vông cân đỉnh K. b) CMR NKCI là hình vuông
Bài 29. Cho hình vuông ABCD. Goi E là điểm đối xứng với D qua C, M là trung điểm của BE, N là
trung điểm của DC, J là trung điểm của AM.
a) CMR tam giác ANM vuông cân đỉnh N.

b) CMR J thuộc đoạn BD và BD= 4BJ.

Bài 30. Cho hình vuông ABCD. Goi E là điểm đối xứng với D qua C, M là trung điểm của BE, N là
trung điểm của DC, I thuộc đoạn BD sao cho BD = 4IB. CMR tam giác MIN vuông cân đỉnh N.

Bài 31. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CD = 2CE, N thuộc đoan CD
sao cho CD = 3CN, M thuộc đạn BE sao cho BE = 3ME. CMR tam giác BMN vuông cân đỉnh M.

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

19


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

CÁC BÀI TOÁN CHƯA CÓ LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN

Bài 1 Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của AB , N ∈ BD sao cho BN = 3 ND ,
đường thẳng MC có phương trình 3 x + y − 13 = 0 và N (2;2) . Xác định toạ độ đỉnh C của hình
vuông ABCD , biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3. ĐS : ( 4 ;1)
Bài 2 Cho hình vuông ABCD có D(5;1). Gọi M là trung điểm BC và N thuộc AC sao cho
AC = 4AN. Biết rằng MN:3x−y−4=0 và yM>0. Tìm tọa độ đỉnh C
Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của AB ,
N ∈ BD sao cho BN = 3 ND , đường thẳng CN có phương trình x + 3 y − 8 = 0 và M (3;5) . Xác định

toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD , biết điểm C có hoành độ dương.

ĐS C(5 ; 1)

Bài 4 Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của AB , N ∈ BD sao cho BN = 3ND ,
H là hình chiếu vuông góc của N lên MC . Xác định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD ,

biết N (2 ; 2) , H (4 ; 3) và điểm C có hoành độ dương. ĐS(5 ; 1)
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N
thuộc BC sao cho BN=2NC, MN: x+y-1= 0 và D(0;-1).Viết pt đường thẳng CD. Tìm toạ độ
các đỉnh A, B, C của hình vuông biết yM >0.
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N
thuộc BC sao cho BN =2NC, DM: x+y -1= 0 và N(0;-1). Tính góc D . Tìm toạ độ các đỉnh
A, B, C, D của hình vuông biết xD>0.
Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có đường thẳng AB đi qua điểm
E(-5;-1) . Gọi M , N(2;-2) lần lượt là trung điểm của BC và DC; H là giao điểm của AM và
BN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết khoảng cách từ H đến đường
thẳng AB bằng 8 2 / 5 và hoành độ điểm A không âm
Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hinh vuông ABCD với điểm N(1;2) là trung
điểm của BC, d:5x−y+1=0 là đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ADN. Tìm tọa
độ A,B,C,D của hình vuông.
Bài 9 Cho đường tròn (C1):x2+y2−4x+6y−12=0 và (C2):x2+y2−6x+2y−10=0. (C1) cắt
(C2) tại A,B. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, d cắt (C1) tại E, cắt (C2) tại F
(E,F khác A) sao cho EF lớn nhất.
Bài 10 Trong mp tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có H(4;0) là trực tâm tam giác
BCD, I(2;32) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, điểm B thuộc đường thẳng
3x−4y=0, đường thẳng BC đi qua M(5;0). Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

20


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

CÁC BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN
LOẠI 1 : CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC
Bài 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi
qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C,
biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn: Gọi ∆ là đ/thẳng đi qua trung điểm của AC và AB. Ta có d ( A, ∆ ) =

6+6−4
2

=4 2.

Vì ∆ là đường trung bình của ∆ ABC ⇒ d ( A; BC ) = 2d ( A; ∆ ) = 2.4 2 = 8 2
Gọi phương trình đường thẳng BC là: x + y + a = 0
Từ đó:

6+6+a
2

a = 4
= 8 2 ⇒ 12 + a = 16 ⇒ 
 a = −28

Nếu a = −28 thì PT của BC : x + y − 28 = 0 , trường hợp này A nằm khác phía đối với BC và ∆ ,vô lí.
Vậy a = 4 , do đó, PT của BC là: x + y + 4 = 0 .
Đường cao kẻ từ A của ∆ABC là đường thẳng đi qua A(6;6) và ⊥ BC nên có pt là x − y = 0 .
x − y = 0

 x = −2
=>H(-2;-2)
⇒
 x + y + 4 = 0  y = −2

Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ : 

B thuộc BC nên B(m; -4-m) . Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-m;m)
Suy ra: CE = ( 5 + m; −3 − m ) , AB = (m − 6; −10 − m)
Vì CE ⊥ AB nên AB.CE = 0 ⇔ ( a − 6 )( a + 5 ) + ( a + 3)( a + 10 ) = 0 => a = …
Vậy B ( 0; −4 ) ; C ( −4;0 ) hoặc

B ( −6; 2 ) ; C ( 2; −6 ) .

Bài 2. Trong mp với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giac PQR có đường cao hạ từ đỉnh P là d:
2x+y+3=0 và đường phân giác trong của góc Q là d': x-y=0. PQ đi qua điểm I(0;-1) và RQ=2IQ.
Viết phương trình đường thẳng PR.
Hướng dẫn: Gọi I; là điểm đối xúng của I qua đường phân giác trong của góc Q thi I’ nằm trên
đường thảng QR. Từ đây viết được pt QR => điểm Q và pt cạnh PQ, tọa độ điểm P. Có điểm Q và
từ hệ thức RQ=2IQ , ta sẽ tìm được điểm R ( sẽ có hai điểm R) Kiểm tra và kết luận.
Bài 3. Cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến
CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Hướng dẫn: - Gọi B(a;b) suy ra M 

a+5 b+2
;
 . M nằm trên trung tuyến nên : 2a-b+14=0 (1).
2 
 2
x = a + t

(t ∈ R ) .
y = b + t

- B,B đối xứng nhau qua đường trung trực cho nên : ( BC ) : 

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

21


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

x = a + t
6−a −b
3a − b − 6
6+b−a

Từ đó suy ra tọa độ N :  y = b + t
⇒t =
;x =
;y =
2
2
2
x + y − 6 = 0


 3a − b − 6 6 + b − a 
⇔ N
;
 . Cho nên ta có tọa độ C(2a-b-6;6-a )
2
2



- Do C nằm trên đường trung tuyến : 5a-2b-9=0 (2)
2a − b + 14 = 0
a = 37
⇔
⇒ B ( 37;88 ) , C = ( −20; −31)
5a − 2b − 9 = 0
b = 88

- Từ (1) và (2) : ⇒ 

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết
trực tâm H (1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K (0; 2) , trung điểm cạnh AB là M (3;1) .
Hướng dẫn: - Theo tính chất đường cao : HK vuông góc với AC cho nên (AC) qua K(0;2) có véc
tơ pháp tuyến KH = (1; −2 ) ⇒ ( AC ) : x − 2 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + 4 = 0 .
- B nằm trên (BH) qua H(1;0) và có véc tơ chỉ phương KH = (1; −2 ) ⇒ B (1 + t ; −2t ) .
- M(3;1) là trung điểm của AB cho nên A(5-t;2+2t).
- Mặt khác A thuộc (AC) cho nên : 5-t-2(2+2t)+4=0 , suy ra t=1 . Do đó A(4;4),B(2;-2)
- Vì C thuộc (AC) suy ra C(2t;2+t) , BC = ( 2t − 2;4 + t ) , HA = ( 3; 4 ) . Theo tính chất đường cao kẻ từ
A : ⇒ HA.BC = 0 ⇒ 3 ( 2t − 2 ) + 4 ( 4 + t ) = 0 → t = −1 . Vậy : C(-2;1).
- (AB) qua A(4;4) có véc tơ chỉ phương BA = ( 2;6 ) / / u = (1;3) ⇒ ( AB ) :

x−4 y−4
=
⇔ 3x − y − 8 = 0
1
3

- (BC) qua B(2;-2) có véc tơ pháp tuyến HA = ( 3; 4 ) ⇒ ( BC ) : 3 ( x − 2 ) + 4 ( y + 2 ) = 0 ⇔ 3 x + 4 y + 2 = 0 .
Bài 5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0). Hai
đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0. Viết
phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
x = t
 x = 7 − 2m
, C thuộc d' cho nên C: 
.
y
=
−
5
−
t

y = m

Hướng dẫn: : - B thuộc d suy ra B : 
- Theo tính chất trọng tâm : ⇒ xG =

( t − 2m + 9 )
3

= 2, yG =

m−t −2
=0
3

m − t = 2
m = 1
⇔
t − 2m = −3 t = −1

- Ta có hệ : 

- Vậy : B(-1;-4) và C(5;1) . Đường thẳng (BG) qua G(2;0) có véc tơ chỉ phương u = ( 3; 4 ) , cho nên
(BG):

20 − 15 − 8 13
x−2 y
= ⇔ 4 x − 3 y − 8 = 0 ⇒ d ( C ; BG ) =
= =R
3
4
5
5

- Vậy đường tròn có tâm C(5;1) và có bán kính R=

GV :

13
169

2
2
⇒ ( C ) : ( x − 5 ) + ( y − 1) =
5
25

Tài liệu lưu hành nội bộ

22


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 6. Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm
trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết PT đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm M(3;1)
2 x − 5 y + 1 = 0
12 x − y − 23 = 0

Hướng dẫn: - Đường (AB) cắt (BC) tại B 

A

12x-y-23=0

Suy ra : B(2;-1). . (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng
(BC) có hệ số góc k'=

M(3;1)

2
, do đó ta có :
5

H
B

2
5
tan B =
= 2 . Gọi (AC) có hệ số góc là m thì ta
2
1 + 12.
5
12 −

2x-5y+1=0

C

2
−m
2 − 5m
có : tan C = 5
. Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có :
=
2m
5
+

2
m
1+
5
 2 − 5m = 4m + 10
 m = −8 / 9
2 − 5m
= 2 ⇔ 2 − 5m = 2 2 m + 5 ⇔ 
⇔
5 + 2m
 2 − 5m = −4m − 10
 m = 12

9
8

9
8

- Trường hợp : m = − ⇒ ( AC ) : y = − ( x − 3) + 1 ⇔ 9 x + 8 y − 35 = 0
- Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ).
- Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 .
Bài 7.Trong mặt phẳng Oxy, hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC vuông cân tại A. Biết
rằng cạnh huyền nằm trên đường thẳng d: x + 7y – 31 = 0, điểm N(7;7) thuộc đường thẳng AC,
điểm M(2;-3) thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB
Hướng dẫn: - Gọi A ( x0 ; y0 ) ⇒ MA = ( x0 − 2; y0 + 3) , NA = ( x0 − 7; y0 − 7 ) .
- Do A là đỉnh của tam giác vuông cân cho nên AM vuông góc với AN hay ta có :
MA.NA = 0 ⇔ ( x0 − 2 )( x0 − 7 ) + ( y0 + 3)( y0 − 7 ) = 0 ⇔ x02 + y02 − 9 x0 − 4 y0 − 7 = 0
2

2

- Do đó A nằm trên đường tròn (C) : ( x0 − 3) + ( y0 − 2 ) = 20
- Đường tròn (C) cắt d tại 2 điểm B,C có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình :
( x − 3)2 + ( y − 2 ) 2 = 20
 x = 31 − 7 y
 x = 31 − 7 y
⇔
⇔
⇔
2
2
2
 x + 7 y − 31 = 0
( 28 − 7 y ) + ( y − 2 ) = 20
50 y − 396 y + 768 = 0

- Do đó ta tìm được : y =
của x : x =

198 − 2 201 99 − 201
99 + 201
, tương ứng ta tìm được các giá trị
=
;y =
50
25
25

 82 + 7 201 99 − 201   82 − 7 201 99 + 201 

82 + 7 201
82 − 7 201
. Vậy : A 
;x =
;
;
 , A 

25
25
25
25
25
25

 


GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

23


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

Bài 8. Cho tam giác ABC có trung điểm AB là I(1;3), trung điểm AC là J(-3;1). Điểm A thuộc Oy ,

và đường thẳng BC đi qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A , phương trình đường thẳng BC và
đường cao vẽ từ B ?
Hướng dẫn:
- Do A thuộc Oy cho nên A(0;m). (BC) qua gốc tọa độ
A

O cho nên (BC): ax+by=0 (1).

H

- Vì IJ là 2 trung điểm của (AB) và (AC) cho nên IJ
//BC suy ra (BC) có véc tơ chỉ phương :

J(-3;1)

I(1;3)

⇔ IJ = ( −4; −2 ) / / u = ( 2;1) ⇒ ( BC ) : x − 2 y = 0 .

B

- B thuộc (BC) suy ra B(2t;t) và A(2-2t;6-t) . Nhưng A

ax+by=0

C

thuộc Oy cho nên : 2-2t=0 , t=1 và A(0;5). Tương tự
C(-6;-3) ,B(0;1).
- Đường cao BH qua B(0;1) và vuông góc với AC cho nên có

AC = ( −6; −8 ) / / u = ( 3;4 ) ⇒ ( BH ) :

x y −1
=
⇔ 4x − 3 y + 3 = 0
3
4

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh
BC là ( d ) : x + 7 y − 31 = 0 , điểm N(7; 7) thuộc đường thẳng AC, điểm M(2; -3) thuộc AB và nằm
ngoài đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Hướng dẫn: Đường thẳng AB đi qua M nên có phương trình a ( x − 2 ) + b ( y + 3) = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 )

( AB; BC ) = 450 nên

cos 450 =

3a = 4b
. Nếu 3a = 4b, chọn a = 4, b = 3 ta được
⇔
50 a + b
 4a = −3b
a + 7b
2

2

( AB ) : 4 x + 3 y + 1 = 0 . ( AC ) : 3x − 4 y + 7 = 0 .
Từ đó A(-1; 1) và B(-4; 5). Kiểm tra MB = 2 MA nên M nằm ngoài đoạn AB (TM)
Từ đó tìm được C(3; 4) Nếu 4a = -3b, chọn a = 3, b = -4 được ( AB ) : 3 x − 4 y − 18 = 0 ,

( AC ) : 4 x + 3 y − 49 = 0 . Từ đó A(10; 3) và B(10;3) (loại)
LOẠI 2 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH BÌNH HÀNH
Bài 1. Cho đường tròn (C ) : (x-1)2 + (y+3)2 =9 , A(-1,1); B(2 ,-2). Tìm trên (C) 2 điểm C, D sao
cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn: (C) có tâm I(1;−3) và bán kính R = 3. Dễ thấy A nằm ngoài (C) và B nằm trong (C)
Ta có AB = (3;−3) ⇒ AB = 3 2 . CD // AB ⇒ CD có vtpt n =(1;−1) ⇒ CD: x − y + m = 0
ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 3 2
2

⇒ d(I, CD) =

2
3 2 
4+m 3 2
3 2
 CD 
2
R −
⇔
=
⇔ m+4 = 3
 =
 = 3 − 

2
2
2
 2 
 2 

2

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

24


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

⇔ m = −1 ∨ m = −7. ⇒ CD: x − y − 1 = 0 hoặc x − y − 7 = 0
Th1: CD: x − y − 1 = 0 ⇒ tọa độ C, D là nghiệm của hệ :
( x − 1)2 + ( y + 3) 2 = 9
 x = 1  x = −2
⇔
∨
⇒ C(1;0), D(−2;−3) hoặc C(−2;−3), D(1;0)

 y = 0  y = −3
x − y −1 = 0

Th2: CD: x − y − 7 = 0 ⇒ tọa độ C, D là nghiệm của hệ:
( x − 1)2 + ( y + 3) 2 = 9
9 ± 17
−19 ± 17
⇔x=
;y =

=> C; D

4
4
x
−
y
−
7
=
0


LOẠI 3 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHỮ NHẬT
Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x
– 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm
toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
21 13
Hướng dẫn: - B là giao của BD với AB cho nên ⇒ B  ; 
 5 5

- Đường thẳng (BC) qua B(7;3) và vuông góc với (AB) cho nên có véc tơ chỉ phương:
u = (1; −2 ) ⇒ ( BC ) : x =

- Ta có :

( AC , BD ) =

21
13

+ t ; y = − 2t
5
5
BIC = 2 ABD = 2ϕ = 2

( AB, BD )

- (AB) có n1 = (1; −2 ) , (BD) có n2 = (1; −7 ) ⇒ cosϕ =

- Gọi (AC) có n = ( a, b ) ⇒ cos ( AC,BD ) = cos2ϕ =

n1 .n2

1 + 14

=

5 50

n1 n2

=

15
5 10

=

3
10

4
 9
= 2cos 2 ϕ − 1 = 2   − 1 =
10
5
 
50 a + b
a-7b
2

2

2

- Do đó : ⇒ 5 a − 7b = 4 50 a 2 + b 2 ⇔ ( a − 7b ) = 32 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 31a 2 + 14ab − 17b 2 = 0
17
17

a = − b ⇒ ( AC ) : − ( x − 2 ) + ( y − 1) = 0 ⇔ 17 x − 31 y − 3 = 0

- Suy ra :
31
31

a
=
b
⇒
AC

:
x
−
2
+ y −1 = 0 ⇔ x + y − 3 = 0
(
)

 14 5 

- (AC) cắt (BC) tại C => C  ; 
 3 3
x − 2 y + 1 = 0 x = 7
⇔
⇔ A ( 7;4 )
x − y − 3 = 0
y = 4

- (AC) cắt (AB) tại A : ⇔ 

x = 7 + t
 y = 4 − 2t

- (AD) vuông góc với (AB) đồng thời qua A(7;4) suy ra (AD) : 
- (AD) cắt (BD) tại D : ⇒ D  ; 
 15 15 
98 46

- Trường hợp (AC) : 17x-31y-3=0 …..làm tương tự .
GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

25


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

1
2

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( ;0) . Đường thẳng AB có : x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD
và hoành ðộ ðiểm A âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đó
Hướng dẫn: - Do A thuộc (AB) suy ra A(2t-2;t) ( do A có hoành độ âm cho nên t<1)
- Do ABCD là hình chữ nhật suy ra C đối xứng với A qua I : C ( 3 − 2t ; −t ) .
1

x = + t
, và H có tọa
2
 y = −2t

- Gọi d' là đường thẳng qua I và vuông góc với (AB), cắt (AB) tại H thì : d ' : 
độ là H ( 0;1) . Mặt khác B đối xứng với A qua H suy ra B ( 2 − 2t ;2 − t ) .
2

2

- Từ giả thiết : AB=2AD suy ra AH=AD , hay AH=2IH ⇒ ( 2 − 2t ) + (1 − t ) = 2 1 +

1
4

t − 1 = −1 t = 0
5
2
⇔ 5t 2 − 10t + 5 = 4. ⇔ ( t − 1) = 1 ⇒ 
⇔
4
t − 1 = 1
t = 2 > 1

- Vậy khi t =

1
⇒ A ( −2;0 ) , B ( 2; 2 ) , C ( 3;0 ) , D ( −1; −2 ) .
2

* Chú ý : Ta còn có cách giải khác nhanh hơn
1
−0+2
5
2
- Tính h ( I ; AB ) =
, suy ra AD=2 h(I,AB)=
=
2
5

2

2

- Mặt khác : IA = IH +

( AB )
4

2
2

= IH +

( 2 AD )
4

5

2

= IH 2 + AD 2 =

5
25
5
+5=
⇒ IA=IB =
4
4

2

-Do đó A,B là giao của (C) tâm I bán kính IA cắt (AB) . Vậy A,B có tọa độ là nghiệm của hệ :
x − 2 y + 2 = 0

2
2

1
 5  ⇒ A ( −2;0 ) , B ( 2;2 ) (Do A có hoành độ âm
2
 x −  + y =  
2
2


- Theo tính chất hình chữ nhật suy ra tọa độ của các đỉnh còn lại : C(3;0) và D(-1;-2)
Bài 3.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD, có diện tích bằng 12, tâm
I là giao điểm của đường thẳng d1 : x − y − 3 = 0 và d 2 : x + y − 6 = 0 . Trung điểm của một cạnh là
giao điểm của d1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
x − y − 3 = 0
9 3
⇒ I  ;  . Gọi M là trung điểm của
2 2
x + y − 6 = 0

Hướng dẫn: - Theo giả thiết , tọa độ tâm I ⇔ 

AD thì M có tọa độ là giao của : x-y-3=0 với Ox suy ra M(3;0). Nhận xét rằng : IM // AB và DC ,
nói một cách khác AB và CD nằm trên 2 đường thẳng // với d1 ( có n = (1; −1) .

x = 3 + t
. Giả sử A ( 3 + t ; −t ) (1), thì do D đối
 y = −t

-A,D nằm trên đường thẳng d vuông góc với d1 ⇒ d : 
xứng với A qua M suy ra D(3-t;t) (2) .
GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

26


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

- C đối xứng với A qua I cho nên C(6-t;3+t) (3) . B đối xứng với D qua I suy ra B( 12+t;3-t).(4)
- Gọi J là trung điểm của BC thì J đối xứng với M qua I cho nên J(6;3). Do đó ta có kết quả là :
: MJ = AB = AD = 3 2 . Khoảng cách từ A tới d1 : h ( A, d1 ) =

⇔ S ABCD = 2

2t
2

⇒ S ABCD = 2h ( A, d1 ) .MJ

t = −1
. Thay các giá trị của t vào (1),(2),(3),(4) ta tìm được các

3 2 = 12 t = 12 ⇔ 
2
t = 1

2t

t = −1 → A ( 3;1) , D ( 4; −1) , C ( 7; 2 ) , B (11;4 )

đỉnh của hình chữ nhật : ⇔ 

t = 1 → A ( 4; −1) , D ( 2;1) , C ( 5;4 ) , B (13;2 )

LOẠI 4 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH VUÔNG
Bài 1.Trong mặt phẳng Oxy , cho hình vuông có đỉnh (-4;5) và một đường chéo có phương trình :
7x-y+8=0 . Viết phương trình chính tắc các cạnh hình vuông
Hướng dẫn: - Gọi A(-4;8) thì đường chéo (BD): 7x-y+8=0. Giả sử B(t;7t+8) thuộc (BD).
- Đường chéo (AC) qua A(-4;8) và vuông góc với (BD) cho nên có véc tơ chỉ phương
 x = −4 + 7t
x+4 y −5
u ( 7; −1) ⇒ ( AC ) : 
⇔
=
⇔ x + 7 y − 39 = 0 . Gọi I là giao của (AC) và (BD) thì
7
−1
y = 5 − t

 x = −4 + 7t
1


 1 9
tọa độ của I là nghiệm của hệ :  y = 5 − t
→ t = ⇔ I  − ;  ⇔ C ( 3;4 )
2
 2 2
7 x − y + 8 = 0


- Từ B(t;7t+8) suy ra : BA = ( t + 4;7t + 3) , BC = ( t − 3;7t + 4 ) . Để là hình vuông thì BA=BC :
t = 0
t = −1

Và BAvuông góc với BC ⇔ ( t + 4 )( t − 3) + ( 7t + 3)( 7t + 4 ) = 0 ⇔ 50t 2 + 50t = 0 ⇔ 

t = 0 → B ( 0;8 )
 B ( 0;8 ) → D ( −1;1)
⇔
. Tìm tọa độ của D đối xứng với B qua I ⇒ 
t = −1 → B ( −1;1)
 B ( −1;1) → D ( 0;8 )

- Từ đó : (AB) qua A(-4;5) có u AB = ( 4;3) → ( AB ) :
(AD) qua A(-4;5) có u AD = ( 3; −4 ) → ( AB ) :

x+ 4 y −5
=
3
−4

x

3

(BC) qua B(0;8) có uBC = ( 3; −4 ) ⇒ ( BC ) : =
(DC) qua D(-1;1) có uDC = ( 4;3) ⇒ ( DC ) :

x+4 y −5
=
4
3

y −8
−4

x + 1 y −1
=
4
3

* Chú ý : Ta còn cách giải khác
- (BD) : y = 7 x + 8 , (AC) có hệ số góc k = −

GV :

1
x 31
và qua A(-4;5) suy ra (AC): y = + .
7
7 7

Tài liệu lưu hành nội bộ

27


Tel : 0914455164. Ôn thi THPT QUỐC GIA –

Chuyên đề Toạ độ trong mặt phẳng

 x A + xC = 2 xI
y + y = 2y
C
I
 A
-Gọi I là tâm hình vuông : ⇒  yI = 7 xI + 8 ⇒ C ( 3;4 )

 y = − xC + 31
 C
7
7

- Gọi (AD) có véc tơ chỉ phương u = ( a; b ) , ( BD ) : v = (1;7 ) ⇒ a + 7b = uv = u v cos450
⇔ a + 7b = 5 a 2 + b 2 . Chọn a=1, suy ra b =

Tương tự : ( AB ) : y = −
y=−

3
3
3
⇒ ( AD ) : y = ( x + 4 ) + 5 = x + 8

4
4
4

4
4
1
3
3
7
( x + 4 ) + 5 = − x − , ( BC ) : y = ( x − 3) + 4 = x + và đường thẳng (DC):
3
3
3
4
4
4

4
4
( x − 3) + 4 = − x + 8
3
3

Bài 2.Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1)
và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1)
Hướng dẫn: (AB) có dạng y=kx+b và (AD) : y=-1/kx+b' .
Cho AB và AD qua các điểm tương ứng ta có : 2k+b=1 (1) và
Ta có : h ( Q, AB ) =

3k − 5 + b
2

k +1

h ( Q, AB ) = h ( R, AD ) ⇔

; h ( R, AD ) =

3k − 5 + b
2

=

k +1

0 + k − kb '
k2 +1

0 + k − kb '
k2 +1

3
+ b ' = −1
k

( 2)

. Theo tính chất hình vuông :

⇔ 3k − 5 + b = k − kb '

 2k + b = 1

1
1
4

 
Từ đó ta có hệ :  k + kb ' = −3
⇒  k = , b = , b ' = −10  ,  k = −7, b = 15, b ' = − 
3
3
7

 
 3k − 5 + b = k − kb '


Do đó : AB : x − 3 y + 1 = 0, AD : 3 x + y + 10 = 0, CD : x − 3 y + 12 = 0, BC : 3 x + y − 1 = 0
Hoặc : AB : 7 x + y − 15 = 0, AD : x − 7 y − 4 = 0, CD : 7 x + y − 26 = 0, BC : x − 7 y + 7 = 0
LOẠI 5 : CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI
Bài 1.Trong mp với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có cạnh bằng 5 đơn vị, biết toạ độ
đỉnh A(1;5), hai đỉnh B; D thuộc đường thẳng (d): x – 2y + 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại
 B, D ∈ ( d )
==> B(-2;1); D(6;5)
 AB = CD = 5

Hướng dẫn: C đối xứng với A qua (d) ==> C(3;1) 

GV :

Tài liệu lưu hành nội bộ

28