CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

CHUYÊN ĐỀ: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BỘI CHUNG NHỎ NHẤT (6 tiết)
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa:
a) Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các
ước chung của các số đó.
b) Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác không trong
tập hợp các bội chung của các số đó.
2. Cách tìm
a) Muốn tìm UCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước:
+) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
+) Bước 3: lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ
nhất. Tích đó là UCLN phải tìm.
Chú ý:
+) UCLN(a,b,1)=1
+) aMm; bMm; cMm ⇒ UCLN (a, b, c, m) = m
+) Để tìm UC ta tìm ước của UCLN các số đó.
b) Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1 ta thực hiện ba bước
+) Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
+) Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.
+) Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với sô mũ lớn
nhất. Tích đó chính là BCNN cần tìm.
Chú ý:
+) Nếu các số đã cho đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN là tích của
các số đó.
b ⇒ UCLN (a, b, c ) = c
+) cMa; cM

+) Để tìm BC ta tìm bội của BCNN các số đó.
Kiến thức bổ sung
c và UCLN(a,c)=1 thì bMc
1. Nếu abM
2. Nếu aMm; aMn ⇒ aMBCNN (m; n )
Đặc biệt nếu aMm; aMn;UCLN (m; n) = 1 thì aMm.n
a = d .m

3. Nếu UCLN (a; b) = d ⇒ b = d .n
UCLN (m; n) = 1

1


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

q = a.m

4. Nếu BCNN (a; b) = q ⇒ q = b.n
UCLN (m; n) = 1

5. UCLN(a;b).BCNN(a,b)=a.b
II. Bảng mô tả và câu hỏi
Nội dung

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

thấp
Định nghĩa

Học sinh

UCLN-BCNN nhận biết
được UCLN,
BCNN của
hai hay nhiều
Cách tìm

số
Phát biểu

UCLN-BCNN được cách

Tính được

Sử dụng kiến Sử

UCLN, BCNN thức

dụng

về thức về

kiến

UCLN,

tìm UCLN,

của hai hay

UCLN, BCNN BCNN

để

giải

BCNN bằng

nhiều số bằng

để giải các bài các bài toán tổng

cách phân

cách phân tích

toán thực tế, quát, các bài toán

tích các số ra

ra thừa số

các bài toán khó.

thừa số

nguyên tố và

tính

nguyên tố

sử dụng một

BCNN

dạng 1)
Bài 1

dạng 2.)

UCLN, ( các bài tập dạng

một 4, dạng 5)
Bài
số chú ý để tìm cách trực tiếp,
11,12,13,14,15,16
(các bài tập
(các bài tập

Bài: 2;3;4;5.

Cách tìm UC, Phát biểu

Tính được

Sử dụng kiến Sử

BC thông qua được cách

UC, BC thông

thức về

2

dụng

kiến

UC, thức về UC, BC


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

UCLN,

tìm UC, BC

qua UCLN,

BC để giải các để giải các bài

BCNN

thông qua

BCNN( các

bài toán thực toán thực tế, các

UCLN,

bài tập dạng 1) tế, các bài toán bài toán tìm số
Bài 1
tìm số chia, số chia, số bị chia

BCNN

bị chia trong trong phép toán
phép toán chia chia có dư thỏa
hết thỏa mãn mãn

điều

điều kiện cho cho trước
trước (các bài Bài 7,8,9,10
tập dạng 3)
Bài 6

III.

Các dạng bài tập và câu hỏi tự luyện
1. Dạng 1: Tìm UCLN và BCNN của hai hay nhiều số

Bài toán 1: Tìm UCLN và BCNN của 100, 150; 125
Giải: 100 = 22.52 ;150 = 2.3.52 ;125 = 53
Các thừa số nguyên tố chung là: 5
Các thừa số nguyên tố riêng là: 2;3

UCLN (100;150;125) = 52 = 25
BCNN (100;150;125) = 22.3.53 = 1500
Bài toán 2: Tìm UC, BC của 100,150,125
Giải: Để tìm ƯC; BC của các số trên ta không cần lập tập hợp các ước và bội của
các số mà thông qua ƯCLN; BCNN để tìm.

3

kiện


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

UC (100;150;125) = U (25) = { 1;5;25}

BC (100;150;125) = B (1500) = { 0;1500;3000;...}

Các bài tập tương tự:

Bài 1: Tìm UCLN; BCNN ; UC; BC của
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.

124 và 55
122; 84 và 126
10; 30; 50
124; 84; 320
12; 24; 48
120; 300; 250
Dạng 2: Giải các bài toán bằng việc tìm UCLN; BCNN

Bài toán 3:
a)Tìm số tự nhiên n biết n lớn nhất và 125Mx;100Mx;150Mx
125; xM
100; xM
150
b)Tìm số tự nhiên n biết n nhỏ nhất và xM
Giải: a) 125Mx;100Mx;150Mx ⇒ x ∈ UC (125;100;150)
Mà x lớn nhất nên x=UCLN(125;100;150)=25

125; xM
100; xM
150 ⇒ x ∈ BC (125;100;150)
b) xM

Mà x nhỏ nhất nên x=BCNN(125;100;150)=1500
Bài toán 4: Đội văn nghệ của 1 trường có 48 nam và 72 nữ. Muốn phục vụ tại
nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ
được chia đều. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có
bao nhiêu nam; bao nhiêu nữ.
Giải

4


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

Gọi số tổ là a (a ∈ N*) Vì muốn phục vụ tại nhiều địa điểm , đội dự định sẽ chia
thành các tổ gồm cả nam và nữ. Số nam và nữ được chia đều nên a là ước chung
của 48 và 72.
Mà cần tìm số tổ là nhiều nhất nên a = ƯCLN( 48; 72) = 24 ( tổ)
Mỗi tổ có: 48 : 24 = 2( nam) và 72: 24 = 3 ( nữ).
Đáp số: 24 tổ; mỗi tổ 2 nam và 3 nữ.
Bài toán 5.
Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở 2 lớp khác nhau. An cứ 10 ngày
lại trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng
trực nhật vào 1 ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì 2 bạn lại cùng trực nhật?
Lúc đó mỗi bạn đã trực nhật được mấy lần?
Giải:
Gọi số ngày mà ít nhất 2 bạn lại cùng trực nhật là a( a ∈ N*). Vì An cứ 10 ngày lại
trực nhật 1 lần; Bách cứ 12 ngày lại trực nhật 1 lần. Lần đầu cả 2 người cùng trực
nhật vào 1 ngày nên a là bội chung của 10 và 12.
Mà cần tìm số ngày ít nhất mà 2 bạn lại cùng trực nhật nên

a = BCNN ( 10; 12) = 60 ( ngày )
Lúc đó An đã trực nhật được 60 : 10 = 6 ( lần).
Bách đã trực nhật được 60 : 12 = 5 ( lần) .
Đáp số: 60 ngày; An đã trực nhật được 6 lần; Bách đã trực nhật được 5 lần.
Bài tập tương tự
Bài 2: Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 480Mx;600Mx
5


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

Bài 3: Một đội y tế có 24 bác sĩ, 108 y tá. Có thể chia đội y tế đó nhiều nhất thành
mấy tổ để các bác sĩ cũng như y tá được chia đều vào mỗi tổ.
126; aM
198
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho aM
Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 6,7,9,đều được số dư theo thứ tự là
2,3,5
3. Dạng 3: Giải các bài toán bằng việc tìm UC, BC của hai hay nhiều
số thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán 6: a) Tìm số tự nhiên n biết 125Mx;100Mx;150Mx và x<10
125; xM
100; xM
150 ; x < 3000
b)Tìm số tự nhiên n biết xM
Giải: a) 125Mx;100Mx;150Mx ⇒ x ∈ UC (125;100;150)
UCLN(125;100;150)=25 nên x ∈U (25) = { 1;5;25}
Mà x<10 nên x ∈ { 1;5}

125; xM
100; xM
150 ⇒ x ∈ BC (125;100;150)
b) xM
BCNN(125;100;150)=1500 nên x ∈ B (1500) = { 0;1500;3000;...}
Mà x<3000 nên x ∈ { 0;1500}
Bài toán 7: Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20; 25; 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng
41 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000
người.
Giải:

6


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền
Gọi số người của đơn vị là a( người). ( a

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh
∈

N; a ≤ 1000). Khi xếp hàng 20; 25; 30

đều dư 15 người.
Do đó : (a – 15) ∈ BC (20; 25; 30).
BCNN ( 20; 25; 30) = 300.
=> ( a – 15) ∈ B ( 300) = { 0; 300; 600; 900; 1200;...}
=> a ∈ {15 ; 315; 615; 915; 1215; ...}
Do khi xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a M41; a ≤ 1000 nên a = 615.
KL: Số người của đơn vị là 615 người.

Bài toán 8: Tìm số tự nhiên n biết 125 khi chia cho x được số dư là 5; 85 khi chia
cho x được số dư là 1.
Giải: Vì 125 chia cho x dư 5 nên 120Mx
85 chia cho x dư 1 nên 84Mx
Do đó x ∈UC (120;84); x > 5
UCLN(120;84)=12 nên x ∈U (12)vàx > 5 ⇒ x ∈ { 6;12}
Bài toán 9: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất khi chia cho 5 dư 1, chia cho 7 dư 5.
Đây là dạng bài toán tìm x thông qua tìm BC. Tương tự như đối với bài toán 7
nhưng ở mức độ khó hơn vì ta chưa xác định được ngay biểu thức chứa x nào là
BCNN(5;7).
5 ⇒ x − 1 + 10M
5 ⇒ x + 9M
5
Giải: Vì x chia 5 dư 1 nên x − 1M
7 ⇒ x − 5 + 14M
7 ⇒ x + 9M
7
Vì x chia 7 dư 5 nên x − 5M

x + 9 ∈ BC (5;7); x > 5
7


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

Mà x nhỏ nhất nên x+9=BCNN(5;7)=35
Vây x=26 là kết quả cần tìm.
Các bài tập tương tự

Bài 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì. Trong mỗi hộp đều có từ hai
bút trở lên. Và số bút ở mỗi hộp đều nhau, Tính ra Ngọc mua 20 bút và Minh mua
15 bút. Hỏi mỗi hộp có bao nhiêu bút chì.
Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia cho a dư 12 và 280 chia a dư 10.
Bài 8: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số biết số đó chia hết cho tất cả các số
3,4,5,6.
Bài 9: Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400. Khi xếp
hàng 12; 15; 18 đều thừa 5 học sinh. Tính sô học sinh khối 6.
Bài 10:Tìm số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết số đó chia 2 dư 1, chia 3 dư 1, chia 5
thiếu 1 và chia hết cho 7.

4. Dạng 4: Các bài toán tổng quát bằng việc tìm UCLN và BCNN
Bài toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì các số sau nguyên tố cùng
nhau: 2n+3 và 4n+8.
Chứng minh : để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau ta chứng minh cho
UCLN của chúng bằng 1. Đây là dạng bài tập quen thuộc nhưng còn mới lạ đối với
các em lớp 6. Các bài tập dạng này nhằm phát triển tư duy logic cho các em.
Gọi d = UCLN (2n + 3;4n + 8)
8


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

⇒ 2(2n + 3)Md và 4n + 8Md
⇒ 2(2n + 3)Md ⇒ 4n + 6Md
⇒ (4n + 8) − (4n + 6)Md
⇒ 2Md ⇒ d ∈ { 1;2}
Vì 2n+3 là số lẻ nên d=2 không xảy ra.

Vậy d=1 hay với mọi n thì hai số 2n+3 và 4n+8 nguyên tố cùng nhau.
•

Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh vì sao ta lại nhân 2n+3 với 2 là để
triệt tiêu n.

Bài toán 11: Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau: 7n+13 và 2n+4
Giải: Gọi d = UCLN (7n + 13;2n + 4)

⇒ (7n + 13)Md và 2n + 4Md
⇒ 2(7 n + 13)Md ⇒ 14n + 26Md
7(2n + 4)Md ⇒ 14 n + 28Md
⇒ (14n + 28) − (14n + 26)Md
⇒ 2Md ⇒ d ∈ { 1;2}
Nếu
d = 2 ⇒ 7 n + 13M2 ⇒ 7(n + 1) + 6M2 ⇒ 7( n + 1)M2
UCLN (7;2) = 1 ⇒ n + 1M2 ⇒ n = 2k − 1
Vậy để 7n+13 và 2n+4 nguyên tố cùng nhau thì n ≠ 2k − 1
Các bài tập tương tự
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố
a)7n+10 và 5n+7
9


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

b)n+2 và 2n+3
Bài 12: Tìm các số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau

a)4n+3 và 2n+3
b) 7n+13 và 2n+4
c) 9n+24 và 3n+4
d) 18n+3 và 21n+7
5. Dạng 5: Các bài toán về UCLN và BCNN
Bài toán 12:
a)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có UCLN bẳng 6
b)Tìm hai số tự nhiên có tích bằng 720 và có BCNN bằng 120.
c) Tìm hai số tự nhiên a và b biết UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=120
Giải:
a)Gọi hai số tự nhiên đó là a và b
ta có UCLN(a;b)=6 nên a=6m; b=6n và UCLN(m,n)=1
nên a.b=6m.6n=36m.n=720 suy ra m.n=20
chọn cặp m, n nguyên tố cùng nhau và có tích bằng 20 ta được
m
n
do đó

4
5

5
4

a
24
30
b
30
24

b)Gọi hai số tự nhiên a và b
10


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

Ta có UCLN(a;b).BCNN(a,b)=ab
Do đó 120.UCLN(a,b)=720 suy ra UCLN(a;b)=6
Đến đây giải như câu a.
a)Ta có UCLN(a,b).BCNN(a,b)=a.b suy ra a.b=720. Bài toán quay trở về câu a.
Bài toán 13: Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a)UCLN(a,b)=4; trong đó b=8 (b>a). Tìm a.
b)BCNN(a,b)=770; trong đó a=14. Tìm b.
giải:
a)Ta có UCLN(a,8)=4 nên a=4.m; 8=4.2 và UCLN(m,2)=1.
Vì ab)Ta có BCNN(a,14)=770 nên 770=a.m; 770=14.55 và UCLN(m,55)=1
Ta có 770=14.55=a.m

⇒ 14.55Mm
UCLN (m;55) = 1 ⇒ 14Mm ⇒ m ∈U (14) = { 1;2;7;14}
Do đó a ∈ { 55;110;380;770}
Bài tập tương tự
Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=12, a>b, a=72.
b)BCNN(a,b)=120,a=12. Tìm b
c)BCNN(a,b)=300, a=15. Tìm b
11

Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh

d)BCNN(a,b)=210; a=17. Tìm b
Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6; a.b=720
b)BCNN(a,b)=900 và a.b=2700.
c)BCNN(a,b)=90 và a.b=900
d) UCLN(a,b)=6 và a+b=30
Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b biết
a)UCLN(a,b)=6 và BCNN(a,b)=180.
b)UCLN(a,b)=12 và BCNN(a,b)=72.
c)BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b) và a.b=180
d) UCLN(a,b)=15 và BCNN(a,b)=20.UCLN(a,b)
Bài 16*: Tìm hai số tự nhiên a và b biết
a)UCLN(a,b)+BCNN(a,b)=19
b)BCNN(a,b)-UCLN(a,b)=5
IV.

Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh
- NL tính toán: Phân tích được một số ra thừa số nguyên tố, từ đó tính
được UCLN, BCNN của hai hay nhiều số thông qua phân tích ra thừa
số nguyên tố.
- NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toán
dạng khác về dạng quen thuộc.
- NL giải quyết vấn đề:
- NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm

và giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò.

12


Trường THCS Nguyễn Thượng Hiền
V.

Phương pháp dạy học
- Nêu và giải quyết vấn đề
- Hoạt động nhóm
- Luyện tập thực hành.

13

GV: Phạm Thị Nguyệt Anh