Luận văn: HÀM ROBIN VÀ XẤP XỈ HÀM CỰC TRỊ TOÀN CỤC TRONG CN

Đại học thái nguyên
TrườngưĐạiưhọcưsưưphạm

Đàm ngọc hùng

Hàm Robin và xấp xỉ
hàm cực trị toàn cục trong N
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
Luận văn thạc sỹ khoa học toán học

Ngời hớng dẫn khoa học:
GS-TSKH Nguyễn Văn Khuê

Thái Nguyên - 2006
Mục lục
Mở đầu..............................................................................................................2
Chơng 1: Các kiến thức cơ bản.......................................................................3
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến.......................................................................3
1.2. Hàm đa điều hoà dới.................................................................................5
1.3. Hàm đa điều hoà dới cực trị......................................................................8
1.4. Toán tử Monge-Ampe.............................................................................23


2

1.5. Tính lồi....................................................................................................24
Chơng 2. Hàm Robin và xấp xỉ hàm Green................................................28
2.1. Mở đầu.....................................................................................................28
2.2. Hàm Robin và dãy các hàm đa điều hoà dới.........................................29
2.3. Dãy các đa thức.......................................................................................35

Kết luận..........................................................................................................46
Tài liệu tham khảo.........................................................................................47
Mở đầu
Lý thuyết đa thế vị phức đợc phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trớc dựa
trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác
giả khác. Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức
hay hàm cực trị toàn cục. Một trong các bài toán cơ bản là mô tả rõ ràng hàm
Green đa phức qua giới hạn trên của logarit mođun các đa thức thích hợp. Mục
đích của luận văn này là để trình bày công trình gần đây của Bloom về việc
chứng minh rằng với mọi tập compact chính quy E C N tồn tại độ đo Gauss
trên không gian các dãy đa thức sao cho các dãy đa thức không thoả mãn yêu
cầu có độ đo không.
Luận văn có hai chơng. Chơng 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về
hàm đa điều hoà dới. Đặc biệt các tính chất cơ bản của hàm cực trị toàn cục và
hàm cực trị tơng đối. Chơng 2 dành cho việc trình bày kết quả nêu trên của
Bloom.
Để hoàn thành đợc luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Văn Khuê ngời thầy đã tận tình hớng
dẫn, hết lòng giúp đỡ suốt quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận
văn.
Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong trờng Đại học s phạm - Đại học Thái Nguyên, trờng Đại học s phạm Hà Nội,
Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá
học.


3

Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn sở Giáo dục và đào tạo Bắc
Kạn, Trờng THPT Ba Bể tỉnh Bắc Kạn đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt
trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2006.
Chơng 1: Các kiến thức cơ bản
1.1. Hàm chỉnh hình nhiều biến
1.1.1. Định nghĩa (hàm C - khả vi).
Cho là một mở trong C N và f : C . Ta nói f là R - khả vi (tơng
ứng C - khả vi) tại z 0 nếu tồn tại ánh xạ R - tuyến tính (tơng ứng C tuyến tính) S : C N C sao cho:

(

)

( )

f z0 + h f z0 S ( h) = 0( h

)

ở trong C N và h = max ( h1 ,..., hn ) .
Và ta nói f là R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) trên nếu nó là R -khả
vi (tơng ứng C - khả vi) tại mọi điểm thuộc . Dễ thấy ánh xạ S thoả mãn
định nghĩa (nếu có) là duy nhất và gọi là R -đạo hàm (tơng ứng C - đạo hàm)

( )

( )

của f tại z 0 ký hiệu f z 0 hay df z 0 .
1.1.2. Định nghĩa (hàm chỉnh hình nhiều biến).
Cho là mở trong C N và f = ( f1 ,..., f m ) : C m ta nói f là R - khả
vi (tơng ứng C - khả vi) trên nếu f j là R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) trên

, 1 j m . Hàm C - khả vi trên còn gọi là hàm chỉnh hình trên ,
không gian vectơ các hàm chỉnh hình trên ký hiệu H ( ) . Dễ thấy các hàm
chỉnh hình nhiều biến đều có các tính chất cơ bản nh hàm chỉnh hình một
biến. Nh đối với hàm chỉnh hình một biến ta có một số kết quả sau:


4

1.1.3. Công thức tích phân Cauchy và các hệ quả.
1.1.3.1. Định lý.
Giả sử f ( z ) là hàm liên tục trên đa đĩa đóng = 1 ì ... ì n . ở đây:

{

}

j = z j C : z j a j < rj ,1 j n
và chỉnh hình trong = 1 ì ... ì n .
Khi đó:
f ( z) =

1

( 2 i ) n a =r
1

1

...

1



n an = rn

f ( 1,..., n )
d ...d , z
( 1 z1 ) ...( n zn ) 1 n

Từ định lý trên bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân ( zi là các không
điểm trong i ) ta có hệ quả:
1.1.3.2. Hệ quả.
Nếu f chỉnh hình trên mở trong C N thì f là C -khả vi vô hạn trên .
1.1.4. Bất đẳng thức Cauchy.
Giả sử f chỉnh hình trên và z 0 , khi đó:

( )

f z 0

!
M z 0 , r , 0 < r < z 0 , , n 0, = ( 1,..., n ) Zn+

r

(

)

(

)

f
f ( z) .
( z ) , ! = 1 !... n !, M z 0 , r = sup
ở đây: f ( z ) = 1
n
0
z1... zn
z z r


(

)

1.1.5. Định lý duy nhất.
1.1.5.1. Định lý.
Nếu f ( z ) chỉnh hình trên miền trong C N và f = 0 trên một tập con
mở khác rỗng của thì f 0 trên .
1.1.5.2. Định lý (Liouville).
Nếu f chỉnh hình trên C N và bị chặn thì f bằng hằng số.
Chứng minh:


5

Thật vậy, với z C N , xét g z ( ) = f ( z ) , C . Khi đó g chỉnh hình

và bị chặn trên C . Theo định lý Liouville g z bằng hằng số.
f ( z ) = g z ( 1) = g z ( 0 ) = f ( 0 ) , z C f bằng hằng số.
1.1.6. Định lý (Nguyên lý modul cực đại).
Giả sử f ( z ) liên tục trên với là miền bị chặn trong C N và chỉnh
hình trong , nếu tồn tại z 0 để:

( )

f z 0 = max f ( z )
z

Thì f bằng hằng số.
1.1.7. Định lý (Weiestrass).
Giả sử

{ fn}

là dãy các hàm chỉnh hình trên mở trong C N và

{ fn}

hội tụ đều trên mọi tập compact trong tới hàm f khi đó f chỉnh hình trên
.

1.1.8. Định lý (Hartogs).
Giả sử f ( z ) là hàm trên mở trong C N , C - khả vi theo từng biến. Khi
đó f là C - khả vi trên .
1.2. Hàm đa điều hoà dới
1.2.1. Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên).
Giả sử cho X là một không gian metric. Hàm : X [ , + ) đợc gọi là

hàm nửa liên tục trên tại x0 X nếu > 0, U x0 là lân cận của x0 trong X
sao cho x U x0 ta có:
( x ) < ( x0 ) +


1

x
<

(
)




nếu ( x0 )
nếu ( x0 ) =


6

Hàm đợc gọi là nửa liên tục trên trên X nếu là nửa liên tục trên tại
mọi x X .
1.2.2. Định nghĩa (hàm điều hoà dới).
Hàm thực : [ , + ) gọi là điều hoà dới trên nếu nó thoả mãn
đồng thời các điều kiện sau:
a) là nửa liên tục trên.
b) thoả mãn bất đẳng thức giá trị trung bình
1

( z0 )
2

2

i
( z0 + re ) d , z0 0 < r < ( z0 , ) .
0

1.2.3. Định nghĩa (hàm đa điều hoà dới).
Giả sử là một tập mở trong C N ( N 1) . Một hàm : [ , + )
đợc gọi là đa điều hoà dới nếu nó thoả mãn đồng thời 3 điều kiện sau:
a) / trên mọi thành phần liên thông của .
b) là nửa liên tục trên .
c) Với mỗi đờng thẳng phức l , l , hạn chế của trên mọi thành
phần liên thông của l là một hàm điều hoà dới.
Ví dụ:
Nếu f chỉnh hình trên thì f ( z ) và log f ( z ) đa điều hoà dới trên .
Ký hiệu:
PSH ( ) là tập các hàm đa điều hoà dới trên , rõ ràng PSH ( ) là
một nón lồi:
u, v P SH ( ) u + ( 1 ) v PSH ( ) , 0 1

, 0
u PSH ( ) u P SH ( )
1.2.4. Định lý.
Giả sử f : với và là tập mở trong C N và C m khi đó:
z a ( o f ) ( z) = ( f ( z) )
là đa điều hoà dới trên .

7

1.2.5. Định lý.
Giả sử : R là C 2 khi đó là đa điều hoà dới trên khi và chỉ
khi:
2
L ( z , w ) =
( z ) w j wk 0, z , w C N
1 j ,k n z j . zk
L ( z , . ) gọi là dạng Levi của tại z.
Vì hàm điều hoà dới có tính chất modul cực đại nên ta có:
1.2.6. Định lý.
Nếu : [ , + ) đa diều hoà dới trên miền C N và tồn tại
z 0 để:

( )

z 0 = sup ( z )
z

Thì bằng hằng số.
1.2.7. Định lý.
Giả sử { k } là dãy các hàm đa điều hoà dới trên mở trong C N và

k ] . Khi đó đa điều hoà dới trong .
Chứng minh:
Do k nửa liên tục trên với mọi k 1 nên nửa liên tục trên. Cho

(

)

0
N
z 0 và w C , w 0 . Do k z + w điều hoà dới trong

{ < }

với > 0 đủ bé nên:

( )

k z

0

1

2

Suy ra:

( )

z

0

( )

2

(

2

k ( z

0

0

)

)

+ rei w d

1
1
= lim k z
lim k z 0 + rei w d
k
2 k 0
2
0

2

k ( z
klim


0

)

+ rei w d =

0

1
=
2

2

( z
0

0

)

+ rei w d


8

0 < r < đa điều hoà dới trên .
Định lý sau suy ra từ hàm điều hoà dới.
1.2.8. Định lý (Bổ đề Hartogs).
Giả sử { k } là dãy các hàm đa điều hoà dới trên mở trong C N , sao
cho:
a) { k } là bị chặn đều về phía trên trên mọi compact trong :
sup k ( z ) < , K é

zK ,k 1

sup k ( z ) A, z .
b) klim

Khi đó với mọi K é , > 0, k0 sao cho:

k ( z ) < A + , k > k0 , z K
1.2.9. Tập đa cực.
1.2.9.1. Định nghĩa.
Tập con S trong mở trong C N gọi là tập đa cực nếu z S , r > 0 và

{

}

hàm đa điều hoà dới trên w C N : w z < r sao cho: / và

( w ) = , w S , w z < r .
1.2.9.2. Định lý (Josefson [Jo]).
S C N là tập đa cực khi và chỉ khi tồn tại hàm đa điều hoà dới trên

C N , / và S .
1.3. Hàm đa điều hoà dới cực trị
1.3.1. Một số lớp các hàm đa điều hoà dới trong C N .
Ký hiệu:

( )

{

( )

L = L C N = u PSH C N sao cho u ( z ) + log ( 1 + z ) , z C N

}


9

L += L

+

( C ) = { u PSH ( C ) ,
N

N

sao cho

+ log ( 1 + z ) u ( z ) + log ( 1 + z ) , z C N

L và L

+

}

gọi là lớp LeLong các hàm đa điều hoà dới trên C N .

VD: Nếu f ( z ) là đa thức bậc n thì

1
log f ( z ) L .
n

Thật vậy:

{

}

Giả sử M = sup f ( z ) : z 1 theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

(

f ( z ) M 1 + z + ... + z
suy ra

n

) M (1+ z )
1

n

, z Ê N

1
1
log f ( z ) log M 1 + log ( 1 + z ) .
n
n

1.3.2. Hàm L - cực trị.
1.3.2.1. Giả sử E C N và b : C N [ , + ) , hàm b có thể nhận giá trị
nhng b / . Đặt:
L ( E , b ) = { u L : u b trên E}

{

L + ( E , b ) = u L + : u b trên E
Khi b 0 ta viết L ( E ) = L ( E ,0 ) , L

+

( E ) = L +( E ,0 )

}

xác định:

V ( z ) = V ( z , E , b ) = VE ,b ( z ) = sup { u ( z ) : u L ( E , b ) }

{

V + ( z ) = V + ( z , E , b ) = VE+,b ( z ) = sup u ( z ) : u L

+

( E,b ) }

Nếu b 0 thì viết VE , VE+ thay cho VE ,0 , VE+,0 .
1.3.2.2. Định nghĩa.
Hàm VE ,b (tơng ứng VE+,b ) gọi là hàm L - cực trị (tơng ứng L + - cực trị)
kết hợp với E và b .
Các tính chất sau suy ra từ định nghĩa.


10

1.3.2.3. Tính đơn điệu đối với b.
VE ,b1 VE ,b2 trên C N nếu b1 b2 trên E .
1.3.2.4. Tính đơn điệu đối với E.
VF ,b VE ,b , E F .
1.3.2.5. VE ,b+c = c + VE ,b .
1.3.2.6. Mệnh đề.
Nếu E là hình cầu.

{

E = B ( a, r ) = x C N : x a r
Thì

}

xa
.
r

VE ( x ) = log +
ở đây

log x nếu log x 0 x 1
log + x =
0 nếu log x 0 0 x 1

Thật vậy:

xa
xa
L ( E ) và log +
= 0, x a r nên:
r
r
xa
log +
VE ( x ) = sup u ( x ) : u L C N , u 0 trên E
r
Để chứng minh bất đẳng thức ngợc lại ta cố định x C N với x a > r

Do log +

{

( )

}

và với u L ( E ) xét hàm:
w ( ) = u ( a + ( x a ) ) log +

xa
r

Khi đó w ( ) bị chặn trên và điều hoà dới với
khi =

r
và w ( ) 0
xa

r
.
xa

Nh đã biết nếu đặt w ( ) = lim w ( ) thì w ( ) là điều hoà dới trên


r

miền C : >
. C = C { }
x

a



(

)


11

Theo nguyên lý modul cực đại w ( ) 0,
0 w ( 1) = u ( k ) log +
xa >r.
Mặt khác:

r
. Đặc biệt
xa

xa
xa
xa
u ( x ) log +
VE ( x ) log +
,

r
r
r

VE ( x ) = 0 = log +
Vậy
VE ( x ) log +
Do đó:

xa
, xa r
r
xa
, x CN
r

xa
, x CN
r
1.3.2.7. Bất đẳng thức Bernstein-Walsh.
VE ( x ) = log +

Nếu f là đa thức trên C N bậc n sao cho:
f ( x ) M exp nVE ( x ) , x E

thì
Thật vậy, do:

f ( x ) M exp nVE ( x ) , x C N
1

log f log M L ( E )
n

nên theo định nghĩa của VE ta có:
1
1
log f log M VE ( x ) , x C N f ( x ) M exp nVE ( x ) , x C N .
n
n
1.3.2.8. Mệnh đề.
Nếu E C N compact và b E nửa liên tục dới thì VE ,b nửa liên tục dới.
Chứng minh:
Cố định u L ( E , b ) và >0 , do E compact và b nửa liên tục dới
= ( ) > 0 đủ bé để
u = u*w b +

(* - tích chập)


12

( )

{

}

(ở đây: với w C C N , supp w := x C N : w ( x ) 0 { x 1} ).

w ( x ) dx = 1, đặt w =

CN

2 N

x
w ữ


và u = ( u*w ) ( x ) = u ( x + y ) w ( y ) dy ) .
Khi đó u C và u u . Ngoài ra nếu u L thì u L



u L ( E , b ) u VE ,b trên C N
Vậy:
VE ,b ( x ) = sup { u*w :u L ( E , b ) , > 0, = ( , u ) }
Nh vậy VE ,b là bao trên của các hàm liên tục u*w , u L ( E , b ) ,

> 0, = ( , u ) > 0 và do đó VE ,b nửa liên tục dới.
1.3.2.9. Mệnh đề.
Nếu E là compact và V = VE ,b liên tục tại một điểm của E thì V liên tục
trên C N .
Chứng minh:
V * ( x ) = lim supV ( y ) và gọi là chính quy trên của V.
y x

Do V liên tục tại mọi điểm của E và E compact nên tồn tại lân cận
V ( x ) < + . Nh vậy với a E , r > 0 để: B = B ( a, r ) U
U E để M = sup

xU
V V * M trên B .
Do 1.3.2.6 ta có:
V M + log +
Vậy V * L .

xa
, x CN
r

Do V = V **w C L và V ] V * trên C N . Đặc biệt V ] V * trên
E khi 0 . Theo định lý Dini thì V V + trên E với 0 < < 0 .


13

Nh vậy V V b trên E và cuối cùng V V V * V trên C N
với 0 < < 0 ( V V V ) .
Nh vậy V là giới hạn đều của các C - hàm V , 0. Vậy V liên tục
trên C N .
1.3.2.10. Mệnh đề.
Nếu E compact và b liên tục thì VE r ,b Z VE ,b trên C N khi r 0
ở đây:

{

} U B ( x, r )

E r = x C N : ( x, E ) < r =

là r - lân cận của E.
Chứng minh:

xE

Lấy u L ( E , b ) cho > 0 do b liên tục và u = u*w u khi 0
nên tồn tại > 0 để u = u*w b + trên E. Cũng do u và b liên tục nên
r0 > 0 : u < b + 2 trên E r , 0 < r < r0 u u 2 + VE r ,b trên C N ,
0 < r < r0 và cuối cùng ta có:
VE ,b 2 + limVE r ,0 VE ,b VE r ,b Z VE ,b .
r 0

1.3.2.11. Định nghĩa.
Tập E C N đợc gọi là:
a) L - chính quy địa phơng tại a E nếu VE B( a ,r ) là liên tục tại
a, r > 0.
b) L - chính quy địa phơng nếu E chính quy địa phơng tại a E .
c) L - chính quy hay chính quy nếu VE liên tục.
1.3.2.12. Mệnh đề.
Nếu E compact, L - chính quy địa phơng thì với mọi hàm liên tục b hàm
cực trị V = VE ,b là liên tục trên C N .
Chứng minh:


14

Đầu tiên chú ý: V * b trên E. Thật vậy cho a E và > 0 ta có:
VE ,b ( x ) = V ( x ) VE B( a ,r ) ,b( a ) + = b ( a ) + + VE B( a ,r ) trong C N
ở đây r > 0 đủ bé để b ( x ) b ( a ) + trong B ( a, r ) vậy:
V * ( a ) = limV ( x ) b ( a ) + + limVE B( a ,r ) ( x )

xa
x 4
a 4 2 4 43
1
=0

Cho 0 ta đợc: V * ( a ) b ( a ) , a E .
Nh vậy: V * V V **w b + trên E với 0 < < V L ( E , b ) và
do đó V V V * V trên C N với 0 < < .
Vậy V là giới hạn đều của các hàm liên tục V khi 0 V liên tục.
Bởi vì trong chứng minh trên chỉ sử dụng bất đẳng thức V * b trên E nên
ta có hệ quả sau:
1.3.2.13. Hệ quả.
Nếu E compact và b là hàm thực liên tục sao cho: VE*,b b trên E thì
VE ,b liên tục.
1.3.2.14. Mệnh đề.
1
Nếu f là đa thức khác không bậc k và b = log f thì với mọi E C N
k
ta có VE ,b = b trên E. Đặc biệt với E là biên của D ( E = D ) và D là bị chặn
sao cho:
f ( x ) 0, x D
thì
1
VE ,b ( x ) = log f ( x ) , x D .
k
Chứng minh:
1
1
log f ( x ) L ( E , b ) với E = D nên log f ( x ) VE ,b trong C N .

k
k
Mặt khác:
Do

1
VE ,b b = log f ( x ) trên E = D
k


15

hay
1
1
1
VE ,b log f = VE ,b + log 0 trên D
k
k
f
1
Do f ( z ) 0, z D nên log
đa điều hoà dới trên D. Theo nguyên lý
f
1
modul cực đại ta có: VE ,b log f trên D .
k
Vậy:
1
VE ,b = log f trên D .

k
1.3.3. Tập L - đa cực.
1.3.3.1. Định nghĩa.

( )

Cho E C N ta nói E là L - đa cực nếu tồn tại W L C N , W / sao
cho W = trên E.
Rõ ràng mọi tập L - đa cực là đa cực.
1.3.3.2. Định nghĩa.
Cho E C N và G C N là mở, xác định:

h ( x, E , G ) = hEG ( x ) = sup{ u ( x ) :u PSH ( G ) , u 0 trên E G và u 1 trên G}
Hàm là đa điều hoà dới. hEG gọi là hàm cực trị tơng đối của E đối với G.
1.3.3.3. Mệnh đề.
E C N là đa cực nếu và chỉ nếu a E , tồn tại miền D a sao cho:
*
hED
( x ) = lim sup hED ( y ) = 1, x D .
y x

Chứng minh:
) Giả sử E là đa cực khi đó a E tồn tại lân cận liên thông U a a
và hàm đa điều hoà dới W trên U a sao cho W / và W = trên E U a .
Giả sử D là miền con compact tơng đối của U a bao hàm a. Có thể xem W 0
trên D.
Khi đó:


16

Vậy hED

1
W + 1 hED trong D, k 1
k
= 1 trên x D mà W ( x ) > mà nó trù mật trong D. Suy ra

*
hED
1 trong D .

) Cho a E và giả sử D a là miền trong C N

sao cho

*
hED
= 1 trong D .

{

}


Do tập x D : hED ( x ) < hED
( x ) có độ đo Lebesgue không nên D
*
hED ( ) = hED
( ) = 1.

để

Theo

định

nghĩa

uk PSH ( D ) , uk 0 trên E D , uk ( ) 1
Ta chứng tỏ hàm

của

hED ( )

k 1

1
.
2k

W ( x ) = uk ( x ) 1, x D
k >0

là đa điều hoà dới trong D và W / và W = trên E D .
Thật vậy do:

n

uk ( x ) 1 W
k =1

vì:

nên W là đa điều hoà dới và W

n
n
1
W ( ) = uk ( ) 1
= 1 >
2k
k =1

k =1

Hiển nhiên W = trên E D vì với x E D ta có:
n

n

k =1

k =1

W ( x ) = uk ( x ) 1 ( 1) = .
1.3.3.4. Bổ đề.

( )

Giả sử { ui } iI L C N đặt:

u = sup { ui :i I }
Khi đó các khẳng định sau tơng đơng:
1) R > 0 và M > 0 sao cho u M trong B = B ( 0, R ) .
x
2) R > 0 và M > 0 sao cho u < M + log + , x C N .
R
N
3) Tồn tại tập mở D C và M > 0 sao cho u M trên D.


17

4) u là bị chặn trên trên mọi tập compact trong C N .

( )

5) u * L C N .
Ngoài ra nếu ui là liên tục với mọi i I thì mỗi điều kiện từ (1) đến (5)
tơng đơng với:
6) u ( x ) < +, x D , với D là mở khác rỗng trong C N .
Chứng minh:
(1) (2) và (4) (5) do 1.3.2.6.
(2) (3), (3) (4), (5) (1) và (2) (6) là hiển nhiên.
Nếu ui là liên tục và (6) thực hiện thì u là nửa liên tục dới và do đó tồn
tại một hình cầu B = B ( a, r ) D và M > 0 để u M trên B và nh vậy (3)
thoả mãn. Thật vậy với n 1 đặt:
An = { x D :ui ( x ) n, i I } = { x D :u ( x ) n, i I }

Do u là nửa liên tục dới trên D nên An là đóng trong D. Do định lý Baire tồn

o
tại n0 để An vậy tồn tại a An0 và r > 0 để B ( a, r ) An0 u n0 trên
0
B ( a, r ) .

1.3.3.5. Định lý.

( )

Giả sử { ui :i I } L C N đặt:

( )

{

}

u = sup ui và A = x C N :u ( x ) < +
u
iI

Khi đó u * L C N Au không là L - đa cực
Chứng minh:

( )

*
N

) Giả sử u L C . Khi đó Au = C N và do đó Au là không đa cực.

( )

N
) Giả sử u / L C . Theo bổ đề 1.3.3.4 ta có:

sup { u ( x ) : x B1 = B ( 0,1) } = +

uin n .
Vậy n 1, in I sao cho sup
B
1


18

vn
Đặt: vn = uin và M n = sup
B
1

M n = + và v ( x ) M V ( x ) = log + x , x C N . Ta
Khi đó nlim
n
n
B1


chứng tỏ tồn tại > 0 và C N để:

lim sup exp vn ( ) M n

(*)

n

Nếu không

lim sup exp vn ( x ) M n 0, x C N

n

Theo bổ đề Hartogs.
exp vn ( x ) M n , x B1 và > 0, n n
Nếu 0 < < 1 ta nhận đợc mâu thuẫn.
Cố định > 0 , C N thoả mãn (*) và chọn nk + sao cho:
lim exp vnk ( ) M nk và M nk 2 k

k

Xác định hàm W bởi:
W ( x ) = 2 k vnk ( x ) M nk , x C N
k 1

{

}

Dễ thấy W L ( Av , ) với v = sup vn và Av = x C N :v ( x ) < +
n1

Thật vậy cho R > 1 ta có:

2 k vnk ( x ) M nk 2 k log + R 0, k 1 trên B ( 0, R )
Vậy W là nửa liên tục trên trên B ( 0, R ) . Suy ra W là nửa liên tục trên

( )

trên C N (vì R tuỳ ý). Và do đó W là đa điều hoà dới suy ra W L C N .
1
Lấy x Av k0 sao cho 2 k vn ( x ) M n 2 k vn ( x ) 1 , k k0
k
k
k
2


19

Vậy:

W ( x) =

k0 1

2 k vn ( x ) M n
k

k =1

k

+


2 k vn ( x ) M n
k

k k0



k




k0 1

1
+ ữ =
k
2

2 k vn ( x ) M n
k

k =1

k 0

Cuối cùng W ( x ) log + x theo định nghĩa của W.
Vậy: W L ( Av , ) L ( Au , ) .
1.3.3.6. Định lý.


Nếu En là L - đa cực n 1 E = U En là L - đa cực.
n =1

Chứng minh.
Dễ thấy E1 ... En là L - đa cực. Thật vậy với mỗi 1 k n lấy

( )

( )

uk . Khi đó u L C N
uk L C N , uk / và uk |Ek = . Đặt u = 1Max
kn
u / và u = |E nh vậy có thể xem En En+1 n 1 .

( )

Với n 1 , un L C N

un , un |En ta gọi:

M n = Sup un < , B11 = B ( 0,1) .
B1

Chú ý rằng: > 0 và C để:

lim supexp un ( ) M n

n

(nh trong chứng minh định lý 1.3.3.5 (*)).


Xác định W ( x ) = 2 k unk ( x ) M nk ở đây:
k =1

lim supexp unk ( ) M nk = lim exp unk ( ) M nk
n

n


20

( )

Khi đó cũng nh chứng minh định lý 1.3.3.5 ta có W L C N ,
W ( ) > và W = trên E.
1.3.3.7. Hệ quả.
Nếu E là không L - đa cực thì tồn tại a C N sao cho E B ( a, r ) là
không L - đa cực r > 0 .
Chứng minh.
Nếu không, a C N ra > 0 để E B ( a, ra ) là L - đa cực. Do C N khả


ly nên E = U E I B ( an , rn ) . Theo định lý trên E là đa cực trái giả thiết.

n =1

1.3.3.8. Định nghĩa.
Cho E C N số:

c ( E ) = lim inf x exp ( VE ( x ) ) = lim inf x exp ( VE ( x ) ) =
x

R x R

= Sup inf x exp ( VE ( x ) )
R

x R

gọi là L - dung tích của E.
Bằng cách áp dụng bổ đề 1.3.3.4 và định lý 1.3.3.5 tới họ

{ u L ( C ) , u 0 trên E} ta có:
N

1.3.3.9. Hệ quả.
Giả sử E C N các điều kiện sau là tơng đơng:
i) c ( E ) = 0 .

( )

ii) VE* L C N .
iii) VE* + .
iv) E là L - đa cực.

Nếu c ( E ) > 0 thì a C N sao cho c ( E B ( a, r ) ) > 0, r > 0 .
Chứng minh.


21

( )

(i) (ii) giả sử VE* L C N để:
VE ( x ) VE* ( x ) + log + x , x C N

suy ra


1
x exp ( VE ( x ) ) x exp log + ( x ) = x exp x = lim x exp ( VE ( x ) )
x x



1
vô lý.
lim inf x exp log + x = lim inf x exp ữ
ữ = e > 0
x
x
x

(

)

(

)

{

( )

(ii) (iii) áp dụng định lý 1.3.3.5 tới họ L ( E ) = u L C N , u 0

(

)

trên E} thì VE = Sup { u : u L ( E ) } ta có:

{

}

A = x C N : VE ( x ) < + là L - đa cực
suy ra
VE* ( x ) > lim supVE ( x ') = + .
x ' x
x 'A

{

}

(iii) (iv) vì VE* + nên VE* L x C N : VE ( x ) < + là L - đa
cực đặc biệt E là L - đa cực.
(iv) (i) lấy u L , u / và u = trên E do n + u L ( E ) nên

VE ( x ) n + u ( x ) , x C N , VE ( x ) = + , x C N , u ( x ) > do

{ xC

N

sup x exp ( VE ( x ) ) = 0 .
: u ( x ) = là L - đa cực nên c ( E ) = xlim


}

u ( x ) >

1.3.3.10. Định lý.
Giả sử E C N các khẳng định sau là tơng đơng:

i) E là đa cực địa phơng a E , r > 0 và u PSH ( B ( a, r ) ) , u / ,
u = trên E B ( a, r ) .

( )

ii) E là đa cực toàn cục: u PSH C N , u / và u = trên E.
iii) E là L - đa cực.


22

*
iv) hED
1 với mọi miền D C N .
Chứng minh.
(i) (ii) là định lý Josefson, [Jo].
(ii) (iii) Bởi định lý 1.3.3.6 ta có thể xem E là bị chặn. Giả sử

( )

W P SH C N , W / và W = trên E. Giả sử E không là L - đa cực
theo hệ quả 1.3.3.9 VE* L dễ thấy (theo 1.3.1) VE* L + , vậy > M ,
*
R > 0 để VE* ( x ) M + trên B ở đây M = SupVE ( x ) thật vậy lấy để:
xE

+ log + x VE* ( x ) , x C N
ta chọn

R>0

đủ lớn để

E B = B ( 0, R )

và

M + + log + R

VE* ( x ) + log + x M + x B ( 0, R ) có thể coi W < 0 trên
B=B
= ( 0, R ) cho k 1 đặt:
VE* ( x )
với x R

M +
vk ( x ) =
*
Max 1 W x + 1, VE ( x ) với x < R
( )



k
M
+





Khi đó ( M + ) vk M trên E và ( M + ) vk L . Vậy ( M + ) vk M + VE
trong C N . Đặc biệt:

( M + )
cho k ta đợc:

1

W + 1 ữ M + VE trong B k 1
k


M + M + VE ( x ) , x B
đặc biệt M . Vô lý vậy E là L - đa cực.
(iii) (iv) (i) suy ra từ mệnh đề 1.3.3.3.


23

1.3.3.11. Mệnh đề.
Nếu F là L -đa cực và E là bị chặn thì:
VE* F ,b = VE*,b , b : C N [ , + ) .
Chứng minh:
Theo 1.3.2.4 hiển nhiên ta có: VE*,b VE*F ,b

( )

Chỉ cần chứng minh VE*,b VE*F,b lấy u L ( E, b ) và W L C N
W , W |F = . Có thể xem W 0 trên E. Vậy:
1
W + u L ( E F, b ) , k 1
k

1
W + u VE F ,b trong C N , k 1 cho k ta có:
k
*
sup VE F ( x ) = VE* ( x )
u VE F ,b trong C N \ { W = } và u ( x ) = u ( x ) xlim
' x
w ( x ' ) >

Vậy ta có: VE*,b VE* F ,b . Suy ra VE*,b = VE* F ,b
1.4. Toán tử Monge-Ampe
Cho u là đa điều hoà dới trên miền C N . Nếu u C 2 thì toán tử:

( dd u )
c

N

u
:= dd cu ... dd cu = 4 N N !det
dV

1 4 4 4 2 4 4 43
z j zk 1 j ,k N

(

)

(

)

N

với dV là yếu có thể tích trong C N gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này
có thể xem nh độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact C0 ( ) trên .
C0 ( ) a

( dd u )
c

N



Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dới bị chặn địa phơng trên thì tồn tại dãy ( un ) n >1 P HS ( ) C sao cho un ] u và

{ ( dd u ) } hội tụ yếu tới độ đo Radon à trên tức là:
c

N

n


24

(

lim dd cun
n



)

N

= d à , C0 ( )


Hơn nữa à không phụ thuộc vào việc chọn dãy { un } nh trên ta ký hiệu:

( dd u )
c

N

:= à

Và gọi là toán tử Monge-Ampe của u.
1.5. Tính lồi
1.5.1. Định nghĩa. (hàm lồi)
Giả sử

a < b + . Hàm :( a, b ) R

gọi là lồi nếu

t1, t2 ( a, b ) , 0 1 ta có:

( ( 1 ) t1 + t2 ) ( 1 ) ( t1 ) + ( t2 ) .
1.5.2. Định lý (Bất đẳng thức Jensen).
Giả sử a < b + và :( a, b ) R là hàm lồi. Giả sử ( , à ) là
không gian với độ đo xác xuất à và giả sử f : ( a, b ) là khả tích. Khi đó:


f d à ữ o f d à

ữ



Chứng minh:

Đặt c = fd à khi đó c ( a, b ) . Do tính lồi nếu a < t1 < c < t2 < b ta có:


( c)
suy ra:

t2 c
t c
( t1 ) + 2 ( t2 )
t2 t1
t2 t1

( c ) ( t1 )

( t2 ) ( c )
inf
=
c < t 2 c t1
t2 c
a < t1
= sup
với M thì:

( t ) ( c) + M ( t c) , a < t < b
thay t = f ( w ) , w và lấy tích phân hai vế theo à ta đợc


25

o fd à = ( f ( w) ) d à ( w) ( c ) d à ( w ) + M ( f ( w ) c ) d à ( w ) =






= ( c ) = fd à ữ

ữ

Vậy định lý đợc chứng minh.
1.5.3. Định lý.

Giả sử a < b < + , giả sử u : ( a, b ) là hàm điều hoà dới trên
tập mở C và giả sử :( a, b ) R là hàm lồi tăng khi đó ou là điều
hoà dới trên .
Chứng minh:
Chọn { an } n1 ( a, b ) với an ] a với mỗi n 1 đặt: un = max ( u, an ) khi
đó un điều hoà dới, vậy nếu ( w, ) thì:
1

o
u
w
=

u
w


(
( n ( ) ) 2
n)( )


2

1
u
w

+

e
d


ữ
n
ữ 2
0


(

i

)

bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Jensen với à =

2

i
oun ( w + e ) d
0

d
còn = [ 0,2 ]
2

Vậy oun là điều hoà dới trên , n 1 do oun ] ou nên ou là
điều hoà dới.
Vì eu là hàm lồi nên ta có hệ quả.
1.5.4. Hệ quả.
Nếu u là điều hoà thì eu là điều hoà dới.
1.5.5. Định nghĩa.
Hàm v :( 0, ) [ , + ] gọi là lồi loga nếu: 0 < r1 < r2 < ,
r1 < r < r2 ta có:
v ( r ) ( 1 ) v ( r1 ) + v ( r2 )
ở đây 0 1 thoả mãn:
log r = ( 1 ) log r1 + log r2