TIỂU LUẬN TRIẾT THẠC SỸ: QUY LUẬT MÂU THUẨN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------

0

0 0

------------

Tiểu luận triết học:
(Chương trình sau đại học)

NHDKH: TS.Nguyễn Ngọc Khá
TS.Nguyễn Chương Nhiếp
HVCH: Trần Thị Thuận- Giải tích K24


2

----------------------- Thành phố HCM 17/01/2014 ----------------------BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------

0

0 0

------------

Tiểu luận triết học:

(Chương trình sau đại học)


3

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

4

QUI LUẬT MÂU THUẪN TRONG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT.............5
I.1 Vị trí của quy luật: ...................................................................................5
II.2 Một số khái niệm cơ bản của qui luật......................................................5
I.2.1) Khái niệm mặt đối lập, mâu thuẫn:..............................................5
I.2.2) Các tính chất của mâu thuẫn: ......................................................6
I.2.3) Một số loại mâu thuẫn: ................................................................6
I.3 Nội dung của quy luật: .............................................................................7
I.4 Ý nghĩa phương pháp luận của quy luật mâu thuẫn:................................8
QUI LUẬT MÂU THUẪN THỂ HIỆN TRONG TOÁN HỌC...........................9
II.1. Mâu thuẫn là nguồn gốc, động lực phát triển toán học:.........................9
II.1.1 Sự thống nhất giữa các mặt đối lập trong toán học ....................9
II.1.2 Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn là động lực phát triển của
toán học:...............................................................................................10
II.1.3) Mâu thuẫn trong nội bộ toán học thúc đẩy việc mở rộng và
hoàn thiện toán học:.............................................................................13
II.2 Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới quan và định
hướng phương pháp luận cho các nhà toán học. .........................................15
VẬN DỤNG TRONG GIẢNG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG...............................16
III. Áp dụng phương pháp duy vật biện chứng đối với việc nghiên cứu, dạy
và học toán học là cần thiết:........................................................................16

III.2 Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu và giảng dạy toán học..........17
III.2 1)Trong công tác nghiên cứu toán học........................................17
.............................................................................................................18
III.2.2)Trong công tác giảng dạy toán học..........................................18
III.2 .3)Sáng tác bài tập toán cho học sinh:.........................................19
KẾT LUẬN 20
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO..............................................................21


4

MỞ ĐẦU
Triết học và toán học là hai lĩnh vực có mối quan hệ biện chứng sâu sắc.
Điều này được thể hiện rõ trong suốt quá trình hình thành và phát triển của mỗi lĩnh
vực. Qua đó đã chứng minh rằng, triết học không chỉ đóng vai trò định hướng mà
còn là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận của toán học. Và sự tác động qua
lại giữa các quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật với các quy luật đặc thù
của toán học đã tạo nên cơ sở khách quan của mối liên hệ tương hỗ này. Việc
nghiên cứu và nắm vững phép biện chứng duy vật, với qui luật mâu thuẫn đóng vai
trò hạt nhân, có vị trí và vai trò rất quan trọng trong hoạt động nhận thức và thực
tiễn, đặc biệt trong công tác giảng dạy và nghiên cứu toán học nói riêng.
Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học
đã được đề cập đến trong nhiều nghiên cứu. Vì vậy, khi được dịp nghiên cứu và tiếp
cận Triết học Mác – Lênin ở một góc độ sâu hơn, tôi đã tìm hiểu và nhận ra được
rất nhiều điều bổ ích từ chính việc nghiên cứu này. Và tôi mong muốn chia sẽ cùng
các bạn một trong số các điều đó qua ttiểu luận: “Qui luật mâu thuẫn thể hiện
trong toán học & Một số vận dụng vào giảng dạy toán phổ thông”.
Trong phạm vi đề tài nhỏ này chúng ta sẽ cùng xem xét, phân tích để làm rõ
quy luật mâu thuẫn ở một số khía cạnh có ích trong việc nhận thức toán học và vài
vận dụng trong thực tiễn dạy và học toán. Với ba nội dung chính như sau:

 Chương 1: Qui luật mâu thuẫn trong phép biện chứng duy vật.
 Chương 2: Qui luật mâu thuẫn thể hiện trong toán học
 Chương 3: Vận dụng qui luật mâu thuẫn trong giảng dạy toán phổ thông.
----------000----------


5

CHƯƠNG I
QUI LUẬT MÂU THUẪN TRONG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT

I.1 Vị trí của quy luật:
Quy luật thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập hay còn gọi là quy
luật mâu thuẫn là một trong ba quy luật cơ bản của phép biện chứng duy vật và là
quy luật quan trọng nhất của phép biện chứng duy vật trong triết học Mác - Lênin,
là hạt nhân của phép biện chứng.
V.I.Lênin viết: “ Có thể định nghĩa vắn tắt phép biện chứng là học thuyết về
sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập”.

II.2 Một số khái niệm cơ bản của qui luật.
I.2.1) Khái niệm mặt đối lập, mâu thuẫn:
Mặt đối lập là phạm trù chỉ những mặt, những thuộc tính có đặc điểm hoặc
có khuynh hướng biến đổi trái ngược nhau trong một chỉnh thể. chúng luôn có xu
hướng loại trừ nhau nhưng lại là điều kiện tồn tại của nhau.
- Thống nhất của các mặt đối lập là sự nương tựa vào nhau, ràng buộc
nhau, quy định nhau mặt này lấy mặt kia làm tiền cho sự tồn tại của nhau.  Sự
thống nhất có quan hệ hữu cơ với sự đứng im, sự ổn định tạm thời của sự vật.
- Đấu tranh của các mặt đối lập là sự tác động qua lại teo khuynh
hướng phủ định lẫn nhau, bài trừ lẫn nhau.  Sự đấu tranh có mối quan hệ gắn bó
với tính tuyệt đối của sự vận động và sự phát triển.

6

Mâu thuẫn là sự thống nhất của các mặt đối lập. Nhưng không phải mọi cái
đối lập đều tạo nên mâu thuẫn mà chỉ có những xu hướng đối lập nào là tiền đề tồn
tại của nhau mới tạo thành mâu thuẫn. Để xác định một mâu thuẫn biện chứng thì
phải đáp ứng hai điều kiện là các xu hướng đối lập nhau và các xu hướng là điều
kiện tồn tại và phát triển của nhau.

I.2.2) Các tính chất của mâu thuẫn:
Tính khách quan: mâu thuẫn là nguồn gốc vận động của mọi dạng vật chất.
Vật chất tồn tại khách quan nên mâu thuẫn cung tồn tại khách quan.
Tính phổ biến biểu hiện: Trong bất kể sự vật hiện tượng nào, ở bất cứ địa
điểm nào, ở bất cứ thời gian cũng tồn tại các mặt đối lập
Tính đa dạng phong phú: Thế giới vật chất có vô vàn các dạng khác nhau
chúng có một không gian khác nhau, thời gian khác nhau, mối liên hệ khác nhau
cho nên chúng có những mâu thuẫn khác nhau, không có một dạng mâu thuãn nào
chùng khít lên dạng mâu thuẫn nào. Có mâu thuẫn trong tự nhiên, có mâu thuẫn
trong xã hội, có mâu thuẫn trong tư duy...

I.2.3) Một số loại mâu thuẫn:
 Mâu thuẫn bên trong và mâu thuẫn bên ngoài:
Mâu thuẫn bên trong là mâu thuẫn nằm ngay trong chính bản thân sự vật.
Mâu thuẫn này bao giờ cũng là nhân tố quyết định bản chất và xu thế vận động của
chính bản thân sự vật.
Mâu thuẫn bên ngoài là mâu thuẫn giữa các sự vật, hiện tượng với nhau.
Mâu thuẫn bên ngoài là phổ biến nhưng mâu thuẫn bên trong lại quyết định
mâu thuẫn bên ngoài, vì không thông qua mâu thuẫn bên trong thì mâu thuẫn bên
ngoài tự nó không thể phát huy được vai trò của mình. Việc phân biệt mâu thuẫn

bên trong và mâu thuẫn bên ngoài là rất cần thiết. Bởi mỗi loại mâu thuẫn có vị trí
và ảnh hưởng nhất định đến sự phát triển của sự vật.


7

 Mâu thuẫn cơ bản và mâu thuẫn không cơ bản
Mâu thuẫn cơ bản là mâu thuẫn quy định từ bản chất, khuynh hướng phát
triển của bản thân các sự vật, hiện tượng. Nó là cơ sở hình thành và chi phối tất cả
các mâu thuẫn khác trong sự vật, trong đó có mâu thuẫn không cơ bản.
Mâu thuẫn không cơ bản là mâu thuẫn không quyết định trực tiếp bản chất
và khuynh hướng phát triển của sự vật nhưng có vai trò ảnh hưởng nhất định đối với
sự vận động, phát triển của sự vật. Mâu thuẫn không cơ bản tồn tại gắn liền với mâu
thuẫn cơ bản trong cùng một sự vật và chịu sự chi phối của mâu thuẫn cơ bản.

 Mâu thuẫn chủ yếu và mâu thuẫn thứ yếu
Mâu thuẫn chủ yếu là mâu thuẫn được nói lên hàng đầu ở mỗi giai đoạn nhất
định của quá trình phát triển của sự vật.
Mâu thuẫn thứ yếu là những mâu thuẫn không đúng vai trò quyết định đối với
quá trình phát triển của sự vật.
Tuy vậy, sự phân biệt giữa hai mâu thuẫn trên chỉ có tính chất tương đối.
Trong từng điều kiện hoàn cảnh, mâu thuẫn chủ yếu có thể trở thành thứ yếu và
ngược lại.

 Mâu thuẫn đối kháng và không đối kháng
Mâu thuẫn đối kháng là mâu thuẫn đặc trưng chỉ có trong lĩnh vực đời sống
xã hội. Đó là mâu thuẫn giữa những lực lượng, những tầng lớp xã hội có lợi ích căn
bản đối lập nhau đến mức không thể điều hoà được.
Mâu thuẫn không đối kháng là những mâu thuẫn xuất hiện giữa những lực
lượng xã hội mà lợi ích về căn bản nhất trí với nhau.

I.3 Nội dung của quy luật:
Tất cả các sự vật, hiện tượng đều chứa đựng những mặt trái ngược nhau, tức
những mặt đối lập trong sự tồn tại của nó.


8

Các mặt đối lập của sự vật vừa thống nhất vừa đấu tranh với nhau tạo thành
nguồn gốc, động lực của sự vận động, phát triển của sự vật.
- Cứ có hai mặt đối lập là tạo thành một mâu thuẫn biện chứng, và
trong một mâu thuẫn có sự thống nhất tạm thời của các mặt đối lập không tách rời
sự đấu tranh tuyệt đối của chúng.  Tạo nên động lực của sự vận động và phát triển
của sự vật.
- Trong sự tác động qua lại của các mặt đối lập thì đấu tranh của các
mặt đối lập quy định sự thay đổi của các mặt đang tác động và làm cho mâu thuẫn
phát triển. Khi hai mặt đối lập xung đột gay gắt đã đủ điều kiện, chúng sẽ chuyển
hóa lẫn nhau, mâu thuẫn được giải quyết. Nhờ đó mà thể thống nhất cũ được thay
thế bằng thể thống nhất mới; sự vật cũ mất đi sự vật mới ra đời thay thế.  Do đó
đấu tranh giữa các mặt đối lập là nguồn gốc của sự phát triển.
Tóm lại: Mối quan hệ giữa thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập trong bản
thân sự vật tạo thành nguồn gốc, động lực của sự vận động và phát triển của nó.

I.4 Ý nghĩa phương pháp luận của quy luật mâu thuẫn:
Vì mâu thuẫn là nguồn gốc, động lực của sự vận động, phát triển của sự vật
và là khách quan trong bản thân sự vật nên cần phải phát hiện ra mâu thuẫn của sự
vật bằng cách phân tích sự vật tìm ra những mặt, những khuynh hướng trái ngược
nhau và mối liên hệ, tác động lẫn nhau giữa chúng.
Phải biết phân tích cụ thể một mâu thuẫn cụ thể, biết phân loại mâu thuẫn và
tìm cách giải quyết cụ thể đối với từng mâu thuẫn.

Phải nắm vững nguyên tắc giải quyết mâu thuẫn – phù hợp với từng loại mâu
thuẫn, trình độ phát triển của mâu thuẫn. Không được điều hòa mâu thuẫn. Phải tìm
ra phương thức, phương tiện và lực lượng để giải quyết mâu thuẫn khi điều kiện đã
chín muồi.


9

CHƯƠNG II
QUI LUẬT MÂU THUẪN THỂ HIỆN TRONG TOÁN HỌC

Nguyên lý về sự phát triển cho chúng ta thấy rằng sự phát triển một lý thuyết
toán học hay cả lĩnh vực toán học nói chung là một tiến trình khách quan, không
phụ thuộc ý muốn cá nhân nào. Đó là quá trình giải quyết những mâu thuẫn nảy
sinh trong bản thân nội bộ toán học và giải quyết những nhu cầu của thực tiễn.
Muốn sáng tạo, muốn tìm ra cái mới thì trước hết phải có vấn đề để nghiên
cứu. Vấn đề có thể tự mình phát hiện hoặc do người khác đề xuất cho mình giải
quyết. Khoa học nói chung, toán học nói riêng phát triển không ngừng, điều đó có
nghĩa là không bao giờ hết mâu thuẫn, giải quyết được mâu thuẫn này thì mâu thuẫn
khác lại xuất hiện, làm động lực cho sự phát triển kế tiếp.

II.1. Mâu thuẫn là nguồn gốc, động lực phát triển toán học:
II.1.1 Sự thống nhất giữa các mặt đối lập trong toán học
Trong toán học, những mặt đối lập đó là số âm và số dương (trong chỉnh thể
số thực), số chẵn và số lẻ (trong chỉnh thể số tự nhiên), đồng biến, nghịch biến
(trong chỉnh thể hàm số), mệnh đề và phủ định của mệnh đề đó (trong chỉnh thể
mệnh đề), tập hợp và phần bù của tập hợp, = và số đúng và số gần đúng, trục Ox,
Oy, ngoại tiếp và nội tiếp…

10

Những mặt đối lập liên hệ gắn bó chặt chẽ với nhau, làm tiền đề tồn tại cho
nhau. Thật vậy, số thực dương và số thực âm không tồn tại riêng lẻ, nếu không có
số thực dương thì số thực âm cũng không có đồng thời không tồn tại tập số thực và
ngược lại.

II.1.2 Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn là động lực phát triển của toán
học:
Thực tiễn cuộc sống là vô cùng đa dạng và đặt ra vô số vấn đề cần giải quyết
mà những kiến thức toán học ở từng thời kỳ chưa cho phép giải quyết ngay được.
Mâu thuẫn giữa lý luận toán học và thực tiễn cuộc sống là động lực thúc đẩy toán
học phát triển để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống.

 Trong quá trình thỏa mãn nhu cầu của thực tiễn, toán học có thể sáng tạo ra
những khái niệm, công cụ giúp toán học tiến lên phía trước đáp ứng nhu cầu đặt ra.
Chẳng hạn:
- Trong giai đoạn đầu, do nhu cầu sản xuất và thực tiễn đời sống mà toán học
đã khai sinh với tính cách là toán học kinh nghiệm: nhu cầu đo đạc lại đất đai sau
mỗi trận lụt, tính diện tích, thể tích các hình làm nảy sinh ra hình học; nhu cầu cân,
đong, đo, đếm, so sánh, ước lượng nảy sinh các số tự nhiên rồi phân số.
- Sản xuất phát triển, hàng hóa nhiều lên, yêu cầu cân, đong, đo, đếm phát
triển không thể thực hiện trực tiếp với mức độ chính xác thấp của ước lượng, người
ta chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng. Trong đại số xuất hiện các
phương trình tìm ẩn số. Điều này lại làm xuất hiện mâu thuẫn: sự bất lực trước các
phương trình x + 2 = 0, x 2 − 2 = 0 đòi hỏi bổ sung số âm, số vô tỉ rồi số thực ra đời.
- Nhu cầu nghiên cứu những lĩnh vực không thể khẳng định “đúng, sai” làm
toán học mờ ra đời.

11

- Những bài toán cực trị trong cuộc sống không thể giải quyết bằng toán học
liên tục hình thành lĩnh vực “toán học rời rạc”. Xuất phát từ thực tế không thể tính
chính xác, ngành “toán học tính toán” ra đời.

 Lý thuyết toán học chỉ phát triển mạnh mẽ khi được kiểm nghiệm bởi thực tiễn.
Chẳng hạn:
- Khái niệm không gian 4 chiều vốn không tồn tại trước mắt và tỏ ra khó
hình dung nhưng nó lại tạo thuận lợi khi nghiên cứu các bài toán cực trị.
- Hình học Rieman phát triển mạnh mẽ sau khi tìm thấy ứng dụng vào lý
thuyết tương đối.
- Lịch sử cũng cho thấy rằng, những lý luận tưởng chừng vô nghĩa vì không
phù hợp với hoàn cảnh hiện tại nên một thời bị người ta bác bỏ, lên án thì cuối cùng
đã có thực tiễn kiểm tra tính đúng đắn. Hình học Lobasepxki ứng dụng trong lý
thuyết tương đối, lý thuyết nhóm ứng dụng vào tinh thể học và cơ học lượng tử, …
- Việc tìm ra các mô hình Poincare, Cayley-Klein chứng minh hệ tiên đề của
hình học Euclide là phi mâu thuẫn. Mô hình không gian vật lý chúng tỏ hệ tiên đề
Hilbert là phi mâu thuẫn, tiêu chuẩn quan trọng nhất trong ba tiêu chuẩn cho sự tồn
tại đúng đắn của một hệ tiên đề.

 Chính thực tiễn làm cho người ta phải suy xét kỹ thêm các cơ sở của toán học.
Chẳng hạn:
- Bài toán “Tôi nói dối”, nghịch lý mà Russell đặt ra đã từng gây ra một
cuộc khủng hoảng trong toán học. Cuối cùng Godel (1906 – 1978) đã chứng minh
rằng, có những cái “đúng” nhưng không chứng minh được và những nghịch lý nhắc
ta rằng không nên tin tuyệt đối vào toán học mà muốn tin nó, phải kiểm tra lại trong
thực tiễn.

12

- Người ta chỉ tin Einstein khi thực nghiệm đã chứng minh được những kết
luận do ông nêu ra bằng suy diễn toán học.
- Nghịch lí Asin đuổi rùa.

Asin là một nhân vật trong thần thoại Hylạp, ông có thể chạy rất nhanh và
không ai có thể đuổi kịp. Tuy nhiên, có một nghịch lý mà các nhà toán học đưa ra
đó là Asin không thể đuổi kịp một con rùa. Nghịch lý được đưa ra như thế này: Một
con rùa thách Asin chạy đua với nó, với điều kiện Asin phải chấp nó một quãng
đường là 1km. Tốc độ của con rùa là 0.1m/s trong khi tốc độ của Asin là 10m/s. Tuy
nhiên, đúng lúc đó nhà toán học trẻ xuất hiện và phán rằng:
- Asin, anh nói thật, chú không thể đuổi kịp con rùa này đâu?
- Sao anh? - Asin cười khẩy.
- Này nhá, bây giờ chú và nó bắt đầu chạy, sau 100s chú chạy được 1km
trong khi nó đã chạy đc thêm 10m nữa rồi, như vậy chú vẫn ở sau nó 10m. Sau 1s
chú khắc phục đc khoảng cách này nhưng cùng lúc đó nó lại chạy thêm đc 0.1m
nữa, và chú lại sau nó 0.1m, cứ như vậy, chú chỉ gần chạm đc vào đuôi nó chứ chả
bao giờ đuổi kịp nó cả.
Asin cả sợ ...
Mâu thuẫn giữa lí luận với thực tế là Asin đuổi kịp rùa. Mâu thuẫn này không thể
giải quyết được nếu chỉ dùng các kiến thức của đại số mà cần đến những khái niệm
và các phép toán về giới hạn và sự liên tục, cơ sở của môn giải tích. Đó là bài toán
liên quan đến sự vô hạn. Áp dụng lí thuyết giới hạn ta có thể giải thích nghịch lí trên
như sau. Tổng thời gian mà Asin đuổi theo con rùa là:
T = 10 +

1
1
100

1000
+ ... + n + ... =
=
1
10
9 (tổng của cấp số nhân lùi vô hạn).
10
1−
10


13

Như vậy mặc dù sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra rất cao nhưng
không vì thế mà toán học xa rời thực tiễn. Toán học xuất hiện và phát triển không
phải do nhu cầu nào khác, mà là nhằm giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra và
đòi hỏi các công cụ từ toán học. Điều này càng khẳng định, mâu thuẫn giữa lý luận
và thực tiễn là động lực cơ bản thúc đẩy toán học phát triển.

II.1.3) Mâu thuẫn trong nội bộ toán học thúc đẩy việc mở rộng và hoàn
thiện toán học:
- Khi loài người chỉ mói biết có số nguyên thì không giải được phương trình
2x = 5 (tức là có sự mâu thuẫn). Với việc phát minh ra số hữu tỉ thì phương trình

trên có nghiệm là x =

5
(tức là mâu thuẫn được giải quyết).
2

- Chỉ với các số hữu tỉ thì lại gặp những phương trình không giải quyết được
như x 2 = 2 (tức là mâu thuẫn mới lại xuất hiện), từ đó lại ra đời các số vô tỉ, làm
cho phương trình trên có nghiệm x = ± 2 (mâu thuẫn mới lại được giải quyết),
nhưng rồi lại xuất hiện những phương trình không giải được như x 2 + 2 = 0, ... Đến
đây thì tưởng chừng mâu thuẫn đã được giải quyết, nhưng mâu thuẫn mới lại xuất
hiện làm nảy sinh số phức….
- Ta hãy xem xét việc đi tìm số phức: Khi giải phương trình bậc hai người ta
gặp việc khai thác căn bậc hai của các số âm nhưng số ảo vẫn chưa ra đời được vì
không có mâu thuẫn gì giữa lí luận và thực tiễn hay trong nội bộ toán học. Bỡi lẽ
phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 không có nghiệm khi ∆ < 0 không làm cho
người ta băn khoăn, thắc mắc. Chẳng hạn, nếu phải giải một bài toán kiểu như tìm
hai cạnh của một hình chữ nhật biết nửa chu vi S và diện tích P thì ta sẽ đi đến


14

phương trình x − Sx + P = 0 với ∆ = S2 − 4P . Nếu P >
2

S2
thì phương trình vô
4

nghiệm nhưng điều đó lại phù hợp với thực tiễn là diện tích bị hạn chế bởi chu vi.
Về lí luận cũng chẳng có vấn đề gì khi ∆ < 0 thì rõ ràng đường parabol
y = ax 2 + bx + c không cắt trục Ox . Phải đợi đến khi giải phương trình bậc ba thì

mâu thuẫn mới xuất hiện.
Ta thử áp dụng phương pháp Cacđano để giải phương trình bậc ba
x 3 − x = 0 (1) . Rõ ràng phương trình (1) có nghiệm là 0 ; 1 ; − 1 nhưng giải bằng

phương pháp Cacđano thì bế tắc. Nghĩa là ta đổi ẩn số bằng cách đặt x = y + z với
1
ràng buột giữa y và z là yz = . Khi đó (1) trở thành:
3

( y + z)

3

− ( y + z) = 0

⇔ y + z 3 + 3y 2 z + 3yz 2 − ( y + z ) = 0
3

⇔ y3 + z 3 + 3yz ( y + z ) − ( y + z ) = 0
⇔ y3 + z 3 + ( y + z ) ( 3yz − 1) = 0
⇔ y3 + z 3 = 0 (do 3yz = 1)
Y + Z = 0

Đặt y = Y, z = Z ta có: 
1
 YZ = 27
3

3

2
Vậy Y, Z là hai nghiệm của phương trình : X +

1
= 0 (2)
27

Phương trình ( 2) vô nghiệm trong khi phương trình (1) rõ ràng có ba nghiệm
0 ; 1 ; − 1 . (mâu thuẫn). Đây đúng là một mâu thuẫn trong nội bộ lí luận. Chính mâu

thuẫn này là cơ sở nghĩ đến việc chấp nhận căn bậc hai của số âm và làm nảy sinh
số phức.
- Sự ra đời của hình học Lobasepxki. Xuất phát từ băn khoăn của Lobasepxki
về việc tại sao loài người trải qua hơn 2000 năm đeo đuổi việc chứng minh tiên đề
V của Euclide mà vẫn thất bại nên ông có nghi vấn: “Hay là tiên đề Euclide không


15

phải là hệ quả logic của các tiên đề khác?”. Nghiên cứu của ông trước hết là nhằm
sáng tỏ nghi vấn trên.
- Nếu cứ theo logic ấy, dựa theo quy luật mâu thuẫn, có thể dự đoán rằng rồi
sẽ có những lý thuyết nảy sinh từ mối băn khoăn rằng tại sao phương trình
Diophante x n + y n = z n lại không có nghiệm khi n > 2 ?

II.2 Quy luật mâu thuẫn cũng đã góp phần thay đổi thế giới
quan và định hướng phương pháp luận cho các nhà toán
học.
Các nhà toán học thấy rõ sự thống nhất biện chứng giữa những khuynh
hướng phát triển khoa học trái ngược nhau (chẳng hạn đặc biệt hóa và khái quát
hoá), những trường hợp khác nhau (chẳng hạn n ≤ 4 và n > 4 )… để tìm ra con
đường giải quyết mâu thuẫn, thúc đẩy sự phát triển tiến lên của toán học.
- Lịch sử toán học cũng đã chứng tỏ trước Lobasepxki có nhiều người tìm

cách chứng minh tiên đề Euclide bằng phản chứng. Họ phủ nhận tiên đề Euclide với
hi vọng sẽ tìm ra mâu thuẫn. Nhưng họ không tìm ra mâu thuẫn logic mà chỉ phát
hiện ra những sự kiện kỳ quái trái với trực giác và rút lui. Trái lại, Lobasepxki có
những nhận thức về không gian nên cho rằng những điều kỳ quái đó không tồn tại
trong cuộc sống đời thường nhưng có thể tồn tại trong vũ trụ bao la đã chứng minh
sau này.
- Abel chứng minh sự không giải được bằng căn thức của các phương trình
đại số bậc n > 4 . Galois không chịu dừng ở đó nên cuối cùng đã đưa ra tiêu chuẩn
khiến ta thấy rõ mâu thuẫn mà thống nhất giữa 2 trường hợp n ≤ 4 và n > 4 và kết
quả là lý thuyết Galois ra đời.
Tóm lại, mâu thuẫn luôn xuất hiện và là động lực thúc đẩy toán học. Mâu
thuẫn được giải quyết thì mâu thuẫn mới được hình thành đòi hỏi và thúc đẩy toán


16

học ngày càng phát triển, ngày càng hoàn thiện và mở rộng không ngừng. Như vậy
là, quy luật mâu thuẫn, hạt nhân của phép biện chứng đã thể hiện tính đúng đắn
của nó ngay trong toán học. Mâu thuẫn chính là nguồn gốc, động lực phát triển
toán học.

CHƯƠNG III
VẬN DỤNG TRONG GIẢNG DẠY TOÁN PHỔ THÔNG

III. Áp dụng phương pháp duy vật biện chứng đối với việc
nghiên cứu, dạy và học toán học là cần thiết:
Những thành tựu của khoa học tự nhiên gần đây cho thấy bất kỳ nhà khoa học
nào dù muốn hay không đều phải tiến tới các kết luận chung về mặt lý luận. Nền lý
luận vững chắc của toán học cũng như tất cả các nghành khoa học khác chỉ có thể là
triết học duy vật biện chứng vì nó là phương pháp luận chung nhất của nhận thức

khoa học. Với ý nghĩa ấy, toán học muốn phát triển buộc phải vận dụng tư duy triết
học duy vật biện chứng vào quá trình nghiên cứu cũng như dạy và học toán học.
Đổi mới phương pháp dạy và học toán học đang là vấn đề được đặt ra cấp bách
đối với ngành giáo dục và được sự quan tâm của toàn xã hội. Đổi mới phương pháp
dạy và học toán cũng là một trong những vấn đề lớn vì chúng ta đều biết rằng toán
là một môn học vô cùng quan trọng đối với mọi học sinh và chiếm thời lượng lớn
trong chương trình phổ thông.
Thay đổi cách dạy và học hiện nay là đặt người học ở vị trí trung tâm, tự mình
phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề và đánh giá kết quả đã đạt được. Có thế qua
lao động tìm tòi, sáng tạo ấy, không những tư duy của họ được phát triển mà họ còn


17

có thêm lòng tự tin, sự hứng thú, ham muốn tìm tòi sáng tạo. Giáo viên lúc này
đóng vai trò hướng dẫn quá trình lao động ấy.(Nhưng thực tế thì thời gian không
cho phép giáo viên thực hiện cách dạy học này).

III.2 Vận dụng “mâu thuẫn” vào nghiên cứu và giảng dạy toán
học.
III.2 1)Trong công tác nghiên cứu toán học.
Phát hiện và giải quyết mâu thuẫn. Nghiên cứu toán học không có nghĩa là
tự bản thân nhà toán học nghĩ ra điều gí đó mới lạ, mà vấn đề nghiên cứu phải bắt
nguồn từ mâu thuẫn- đó là những bài toán học mà thực tiễn cuộc sống đang đặc ra
cũng như những vấn đề mà nội bộ toán học đang bế tắc.
Nói như thế không có nghĩa là ngồi chờ thực tiễn cần gì, nội bộ toán học cần
gì thì ta sẽ giải quyết điều đó. Cần có cái nhìn biện chứng, tự thân phủ định và tạo
mâu thuẫn trong toán học.
Mâu thuẫn được giải quyết không có nghĩa là kết thúc nghiên cứu. Khi bài
toán đặt ra được giải quyết, dưới cái nhìn biện chứng không cho phép nhà toán học

dừng lại mà phải tiếp tục nghiên cứu. Khi đó có thể trả lời những câu hỏi sau :
1) Có cách nào giải quyết tối ưu hơn?
2) Có thể mở rộng hay không?
3) Nếu phủ định một hoặc một số kết quả trung gian thì có những
hướng phát triển nào khác?
4) Thu hẹp kết quả sẽ như thế nào? v.v…


18

III.2.2)Trong công tác giảng dạy toán học.
Đổi mới phương pháp dạy học đang là vấn đề cấp thiết thật sự được nhiều
người quan tâm. Trong giảng dạy giáo viên cần tạo ra được mâu thuẫn đó là mâu
thuẫn trong nội bộ nhận thức của học sinh.
Việc học tập của học sinh là quá trình tái phát minh (reinvention) lại kiến
thức đã có, dưới sự dẫn dắt của người thầy, do đó giáo viên cần tạo mâu thuẫn qua
đó tạo động cơ giúp cho học sinh có nhu cầu tìm hiểu kiến thức và có nhu cầu tự
tìm kiếm kiến thức.

 Ở đây xin đưa ra phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua các bước sau:
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề. (Tạo mâu thuẫn trong nhận thức)
Bước 2: Trình bày vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề.
Bước 3: Giải quyết vấn đề
Bước 4: Thể thức hoá vấn đề và kết luận.
 Xin nêu ra một số phương pháp tạo vấn đề (tạo mâu thuẫn trong giảng dạy)
1) Quan sát thí nghiệm và hình thành dự đoán.
2) Lật ngược vấn đề
Ví dụ, sau khi học định lý “nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì
liên tục tại x0”. Giáo viên lật ngược vấn đề : “nếu hàm số liên tục tại
x0 thì nó có đạo hàm tại x0 không?”

3) Quy nạp tuơng tự
Ví dụ, Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH, ta có:
1
1
1
=
+
. Trong tứ diện ABCD vuông tại A , đường cao
2
2
AH
AB
AC 2

AH ta có:

1
1
1
1
=
+
+
hay không?
2
2
2
AH
AB
AC

AD 2


19

4) Khái quát hoá.
5) Phát hiện sai lầm và nguyên nhân sai lầm.
6) Ví dụ và phản ví dụ. v.v…

III.2 .3)Sáng tác bài tập toán cho học sinh:
Như đã nói, nhiều học sinh khi làm xong một bài tập thường đặt ra câu hỏi bài
tập đó do đâu mà ra? Ai là người đầu tiên nghĩ ra bài toán đó? Nghĩ như thế nào?
Một trong những cách đó là tìm những hình thức khác nhau để diễn tả cùng một nội
dung rồi lấy một hình thức nào đó phù hợp với trình độ học sinh và yêu cầu họ
chứng minh tính đúng đắn của nó. VÍ DỤ:
r

ur

Chọn hai vectơ có tọa độ a = (a1 ; a 2 ; a 3 ) , b = (b1 ; b 2 ; b 3 )
 Từ nội dung cos 2 x ≤ 1, ∀x ta có :
rr
rr
a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3
a.b
cos(a, b) = r r =
≤1
2
a b
a1 + a 22 + a 32 . b12 + b 22 + b32

Ta có bất đẳng thức Bunhacopxki :

( a1b1 + a 2 b 2 + a 3b 3 )

2

≤ ( a12 + a 22 + a 32 ) ( b12 + b 22 + b32 )

 Cho b1 = b 2 = b3 = 1 ta có ngay bài toán:
Chứng minh rằng ∀a, b, c ∈ R ta có ( a + b + c ) ≤ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) .
2

Có thể biến hóa để có rất nhiều hình thức của bất đẳng thức trên nhằm tìm ra
nhiều bài với mức độ khó khác nhau:
1 1 1
+ + ÷≥ 9
A B C

 ∀A, B, C > 0 : ( A + B + C ) 
 Nếu

chọn

A = a 2 + 2bc , B = b 2 + 2ac , C = c 2 + 2ab

A + B + C = 1 và ta có bài toán:

Chứng minh rằng nếu a + b + c = 1 , a, b, c > 0 thì
1

1
1
+ 2
+ 2
≥9
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
2

và

a + b + c =1

thì


20

III.2 .4) Áp dụng trong thực tiễn học tập:
1. Phải có phương pháp học đúng đắn để tăng cường hiệu quả học tập và
giảm tải thời gian học tập.
2. Khi học tập nên tôn trọng các ý kiến phản bác, trái ngược với bản thân để
góp phần cho việc nhận thức đúng đắn hơn.
3). Sự phát triển là không ngừng từ thấp đến cao, đơn giản đến phức tạp...,
học tập cũng tuân theo quy luật ấy, phải xuất phát từ kiến thức cơ bản, nền móng rồi
mới chuyển sang kiến thức nâng cao hơn.
4). Phải biết kế thừa những kinh nghiệm học tập của người đi trước và sử
dụng phát triển nó cho bản thân lên tầm cao hơn...

KẾT LUẬN
Nói như giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn: “Trong khoa học tư duy thì phải đặc

biệt coi trọng phương pháp duy vật biện chứng vì đó là vũ khí tư duy cực kì lợi hại
của các dân tộc nghèo, bị áp bức để chống lại kẻ xâm lược (trong chiến tranh), để
hội nhập và cạnh tranh trên trường quốc tế (trong xây dựng hòa bình), bởi lẽ chỉ
với cách nhìn mọi sự vật như là một “thống nhất mâu thuẫn” mới có thể chuyển
hóa: yếu thành mạnh, nghèo thành giàu, sở đoản thành sở trường.”
Vai trò định hướng của triết học là vô cùng lớn và tác động trở lại của toán
học cũng không thể phủ nhận. Bài học rút ra cũng vô cùng phong phú và có giá trị
cho bản thân. Tuy còn nhiều vấn đề đọng lại chưa được giải quyết và sẽ tiếp tục
được giải quyết sau này, nhưng với kết quả bước đầu giúp cho bản thân có cái nhìn
khác về triết học. Việc đưa triết học vào giảng dạy là thật sự cần thiết và hữu dụng,
không những trang bị thế giới quan và phương pháp luận đúng đắn cải tạo thế giới
mà còn phục vụ đắc lực cho công tác chuyên môn.
Bản thân là một giáo viên, việc trang bị thế giới quan và phương pháp luận
duy vật biện chứng là hết sức cần thiết, không những giúp người giáo viên có lập


21

trường chính trị rõ ràng, có tư duy khoa học, mà còn giúp giải đáp những câu hỏi
đặt ra cho nhà nghiên cứu. Nắm vững tư duy biện chứng giúp giáo viên có thể trả
lời những câu hỏi, những băn khoăn của học sinh : “Toán học vì sao ra đời? Tại sao
lại có công thức này, công thức kia? Tại sao vấn đề này giống vấn đề kia?” v.v…

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. C.Mác, Ph.Ăngghen, C.Mác, Ph.Ăngghen toàn tập, tập 2, NXB Sự thật Hà Nội,
1962.
[2]. C.Mác, Ph.Ăngghen, C.Mác, Ph.Ăngghen toàn tập, tập 20, NXB Sự thật Hà
Nội, 1994.
[3]. Nguyễn Như Hải, Triết học trong khoa học tự nhiên, NXB Giáo dục Việt Nam.
[4]. Nguyễn Trọng Chuẩn, Tô Duy Hợp, Lê Hữu Tầng, Nguyễn Duy Thông (chủ

biên), Vai trò của phương pháp luận triết học mác lê nin đối với sự phát triển
của các khoa học tự nhiên, NXB Khoa Học Xã Hội, Hà Nội, 1977.
[5]. Đỗ Minh Cương, Những vấn đề cơ bản về quản lí khoa học và công nghệ, NXB
Chính Trị Quốc Gia Hà Nội, 1998
[6]. Nguyễn Ngọc Khá, Về mối quan hệ giữa cái toàn thể và cái bộ phận trong triết
học Hêghen, Tạp Chí Triết Học Số 6, Hà Nội, 1999.
[7]. Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu,
tập1, NXB ĐHSP Hà Nội, TTVH Ngôn Ngữ Đông Tây, 2001.


22

[8]. Nguyễn Cảnh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo dục, tự học, tự nghiên cứu
(tập 2), NXB ĐHSP Hà Nội, TTVH Ngôn Ngữ Đông Tây, 2001.
[9]. Nguyễn Cảnh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,
nghiên cứu toán học (tập 1, 2), NXB ĐHQG Hà Nội, 1997.
---------------------------------------------------------------------------------------