NGHIÊN cứu TÍNH CHẤT NGHIỆM của một số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mai Nam Phong

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62.46.01.01

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS. Vũ Văn Khương
Đại học GTVT
2. PGS.TS. Đặng Đình Châu
ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội

Phản biện :

Phản biện :

Phản biện :

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án
tiến sĩ họp tại .....................................................................................................
vào hồi giờ ngày tháng năm 20...

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội


LỜI MỞ ĐẦU
Phương trình sai phân chiếm một vị trí quan trọng trong hệ động lực rời
rạc. Các phương trình sai phân xuất hiện một cách tự nhiên như các mô hình
rời rạc hay nghiệm bằng số của các phương trình vi phân-mô hình của nhiều
hiện tượng khác nhau trong các lĩnh vực: sinh vật học, sinh thái học, sinh lý
học, vật lý, kỹ thuật và kinh tế.
Việc nghiên cứu định tính các phương trình và hệ phương trình sai phân
phi tuyến đã được tiến hành từ rất lâu, xong nó được phát triển mạnh mẽ từ
những năm 90 của thế kỷ XX và hơn một thập kỷ đầu của thế kỷ XXI, có thể
đến các nghiên cứu của R.P. Agarwal, G. Ladas, Kocic, L. Berg, S. Stevi´c, M.
R. S Kulenovi´c, G. Papaschinopoluos, X. Li,....
Nghiên cứu định tính phương trình sai phân tức là nghiên cứu các tính chất
và dáng điệu các nghiệm của chúng mà không cần xác định công thức nghiệm
tường minh. Như chúng ta đã biết, chỉ một số lớp phương trình có dạng đặc biệt
mới có thể tìm được công thức nghiệm tường minh của nó. Do đó, nói chung
việc xác định công thức nghiệm của một dạng phương trình sai phân nào đó
thường gặp khó khăn, hoặc nếu xác định được thì công thức thường có dạng
phức tạp dẫn đến những hạn chế nhất định trong việc nghiên cứu tính chất của
chúng. Một số vấn đề tiêu biểu mà lý thuyết định tính phương trình sai phân
quan tâm là: tính dao động, tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm,

tính giới nội, khoảng bất biến của nghiệm,...
Trong các nghiên cứu về phương trình sai phân phi tuyến thì nghiên cứu về
phương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn hơn 1 luôn đóng vai trò rất quan trọng,
vì một số nguồn gốc cho sự phát triển của lý thuyết cơ bản về dáng điệu toàn
cục các phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt nguồn từ các kết quả của
phương trình sai phân hữu tỷ.
Một số quy luật phát triển của sự vật, hiện tượng trong thực tế được rời
rạc hóa dưới dạng phương trình hoặc hệ phương sai phân hữu tỷ, có thể kể đến
một số mô hình như:
• Mô hình sinh trưởng của một loại cây hàng năm:
xn+1 =

λxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
(1 + axn )p + bλxn

(1)

trong đó các tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban đầu x0
là số thực dương.
• Mô hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass:
xn+1 = αxn +

β
xpn−k
1

, n = 0, 1, 2, . . . ,

(2)

trong đó α ∈ [0, 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ và các giá trị ban đầu
x−k , . . . , x0 ∈ [0, ∞).
• Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R.M. May đề
xuất:
αxn
xn+1 =
,
1 + βyn
n = 0, 1, 2, . . . ,
(3)
βxn yn
,
yn+1 =
1 + βyn
trong đó α, β ∈ (0, ∞) và giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực dương.
Năm 2001, trong cuốn chuyên khảo "Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures", M. R. S. Kulenovi´c
và G.Ladas đã tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tính giới nội, tính ổn định
toàn cục và tính tuần hoàn của lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp hai có
dạng:
α + βxn + γxn−1
xn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
(4)
A + Bxn + Cxn−1
trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các
số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương.
Trong một số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở về các dạng phương
trình đã nhận được sự quan tâm của rất nhiều các nhà nghiên cứu:

• Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

α + βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Bxn

(5)

với tên gọi Phương trình sai phân Riccati.
• Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Cxn−1

(6)

có tên là Phương trình sai phân Pielou.
• Khi γ = A = B = 0, phương trình (4) trở thành
xn+1 =

α + βxn
, n = 0, 1, 2, . . . ,
Cxn−1

với tên gọi Phương trình sai phân Lyness.
2

(7)


Năm 2008, trong cuốn chuyên khảo Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, E. Camouzis và G.
Ladas đã trình bày những kết quả về tính giới nội của nghiệm, tính ổn định của
điểm cân bằng và tính tuần hoàn nghiệm của lớp phương trình sai phân hữu tỷ
cấp ba có dạng:
xn+1 =

α + βxn + γxn−1 + δxn−2
, n = 0, 1, 2, . . . ,
A + Bxn + Cxn−1 + Dxn−2

(8)

trong đó các tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D và các giá trị ban đầu x−1 , x0
là các số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương.
Trong thời gian gần đây, ngoài những nghiên cứu về các dạng phương trình
thuộc lớp các phương trình sai phân hữu tỷ (4) và (8) còn có rất nhiều các
nghiên cứu về các dạng khác nhau của phương trình sai phân hữu tỷ, có thể
kể đến các nghiên cứu của L. Berg, S. Stevic, K. Berenhaut, V.V. Khương, X.
Li,. . . .
Một dạng phương trình sai phân phi tuyến cũng thu hút được sự quan tâm
rất lớn của các nhà Toán học đó là phương trình sai phân có chứa biểu thức
dạng mũ, dạng phương trình này thường được mô tả như mô hình dân số của
một loài, một số mô hình tiêu biểu như:
• Mô hình dân số của loài bọ cánh cứng:
xn+1 = axn + bxn−2 e−c1 xn −c2 xn−2 , n = 0, 1, 2, . . . ,

(9)

trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ (0, ∞), c1 , c2 ∈ [0, ∞), c1 + c2 > 0 và các giá trị
ban đầu x−2 , x−1 , x0 là các số thực dương.
• Mô hình dân số của loài muỗi:
xn+1 = (axn + bxn−1 e−xn−1 )e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,

(10)

trong đó a ∈ (0, 1), b ∈ [0, ∞), các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số thực
dương.
• Mô hình loài ruồi xanh Nicholson:
xn+1 = (1 − α)xn + βxn−k e−γxn−k , n = 0, 1, 2, . . . ,

(11)

trong đó α ∈ (0, 1), β ∈ (α, ∞), γ ∈ (0, ∞), k là số nguyên dương, các
giá trị ban đầu x−k , . . . , x−1 ∈ [0, ∞), x0 ∈ (0, ∞).

3


Tiếp tục hướng nghiên cứu về các dạng phương trình và hệ phương trình sai
phân phi tuyến trong thời gian gần đây, trong luận án này, chúng tôi đề xuất
nghiên cứu các dạng phương trình có tính chất tổng quát hơn, hoặc các dạng
tương tự, hoặc các dạng mới nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả
về lý thuyết định tính các phương trình sai phân. Cụ thể chúng tôi tập trung
nghiên cứu một số vấn đề sau:
1. Xây dựng dạng tiệm cận của nghiệm dương không dao động hai dạng
phương trình sai phân hữu tỷ.
2. Tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng một dạng phương

trình sai phân hữu tỷ.
3. Tính giới nội, khoảng bất biến, tính ổn định của nghiệm cân bằng của ba
dạng hệ hai phương trình sai phân.
4. Tốc độ hội tụ nghiệm của hai dạng hệ hai phương trình sai phân.
Cấu trúc của luận án: ngoài các phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Lời
mở đầu, Kết luận, Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo, Danh mục các
công trình và Tài liệu tham khảo, luận án được bố cục gồm 03 chương:
Chương 1. Trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản sẽ được dùng trong
trong các chương tiếp theo của luận án.
Chương 2. Dựa trên phương pháp xây dựng dạng tiệm cận nghiệm của L.
Berg và S. Stevi´c, tác giả xây dựng dạng tiệm cận nghiệm cho hai dạng phương
trình sai phân hữu tỷ. Bằng việc phân tích các nửa chu kỳ dương và nửa chu kỳ
âm của nghiệm và tính chất các dãy con của nghiệm phụ thuộc vào các giá trị
ban đầu, tác giả đã chứng minh được tính ổn định tiệm cận toàn cục của một
dạng phương trình sai phân hữu tỷ.
Chương 3. Tác giả nghiên cứu tính giới nội, khoảng bất biến của nghiệm, tính
ổn định của điểm cân bằng và tốc độ hội tụ của nghiệm tới điểm cân bằng của
ba hệ hai phương trình sai phân.
Nội dung chính của luận án được công bố trong các công trình [1-5] của tác
giả và công trình [6] đang được gửi đăng.
Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015
Người thực hiện

Mai Nam Phong
4


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm và các kết quả đã được
chứng minh để thuận tiện cho việc theo dõi các nội dung tiếp theo của luận án.

1.1

Phương trình sai phân cấp cao

1.1.1

Các định nghĩa về ổn định

Phương trình sai phân cấp (k + 1) là phương trình có dạng:
xn+1 = F (xn , xn−1 , ..., xn−k ), n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.1)

trong đó F là hàm số từ I k+1 vào I. Tập I thường là một khoảng của tập số
thực hoặc là hợp của các khoảng hoặc là tập rời rạc như tập các số nguyên.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là một dãy {xn }∞
n=−k thỏa mãn phương
trình (1.1) với mọi n ≥ 0.
Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n ≥ −k được gọi là
nghiệm cân bằng. Nếu xn = x¯ với mọi n ≥ −k là một nghiệm cân bằng của
phương trình (1.1) thì x¯ được gọi là điểm cân bằng của phương trình (1.1).
Định nghĩa 1.1. i) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi
là ổn định địa phương nếu với mỗi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu
{xn }∞
n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1) với
|x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + ... + |x0 − x¯| < δ,
thì

|xn − x¯| < , với mọi n ≥ 0.
ii) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận
địa phương nếu x¯ là ổn định địa phương, hơn nữa, tồn tại γ > 0 sao
cho nếu {xn }∞
n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1) với điều kiện
|x−k − x¯| + |x−k+1 − x¯| + ... + |x0 − x¯| < γ,
5


thì
lim xn = x¯.

n→∞

iii) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là hút toàn cục nếu
mọi nghiệm {xn }∞
n=−k của phương trình (1.1) ta đều có
lim xn = x¯.

n→∞

iv) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận
toàn cục nếu x¯ là ổn định địa phương và hút toàn cục.
v) Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là không ổn định nếu
x¯ không ổn định địa phương.
1.1.2

Ổn định theo tuyến tính hóa

Giả sử hàm số F khả vi liên tục trong một lân cận mở nào đó của điểm cân

bằng x¯. Đặt
∂F
(¯
x, x¯, ..., x¯), với i = 0, 1, ..., k
qi =
∂ui
là các đạo hàm riêng của hàm F (u0 , u1 , ..., uk ) tương ứng theo ui lấy giá trị tại
điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1). Khi đó phương trình:
yn+1 = q0 yn + q1 yn−1 + ... + qk yn−k , n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.2)

được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) xung quanh
điểm cân bằng x¯, và phương trình
λk+1 − q0 λk − q1 λk−1 − ... − qk−1 λ − qk = 0,

(1.3)

được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) xung quanh x¯.
Kết quả sau đây được biết đến với tên gọi "Định lý ổn định tuyến tính
hóa" đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính ổn định địa phương của
điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1).
Định lý 1.1. Giả sử hàm số F khả vi liên tục xác định trong một lân cận
mở nào đó của x¯. Khi đó các phát biểu sau là đúng:
i) Nếu tất cả các nghiệm của phương trình (1.3) có mô đun bé hơn 1 thì
điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là ổn định tiệm cận địa phương.
ii) Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình (1.3) có mô đun lớn hơn
1 thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là không ổn định.
6

Kết quả sau đây sẽ cho ta điều kiện đủ để tất cả các nghiệm của phương
trình với bậc tùy ý nằm trong đĩa đơn vị.
Định lý 1.2. Giả sử q0 , q1 , q2 , ..., qk là các số thực sao cho:
|q0 | + |q1 | + ... + |qk | < 1,
khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.3) nằm trong đĩa đơn vị.
1.1.3

Các khái niệm về dao động

Định nghĩa 1.2. Giả sử x¯ là điểm cân bằng và {xn }∞
n=−k là nghiệm
của phương trình (1.1).
i) Nửa vòng dương của {xn }∞
n=−k là một "xâu" các số hạng {xl , xl+1 , ...,
xm }, tất cả đều lớn hơn hoặc bằng x với l ≥ −k và m ≤ ∞ sao cho
hoặc l = −k, hay l > −k và xl−1 < x
và
hoặc m = ∞, hay m < ∞ và xm+1 < x.
ii) Nửa vòng âm của {xn }∞
n=−k là một "xâu" các số hạng {xl , xl+1 , ..., xm },
tất cả đều bé hơn hoặc bằng x, với l ≥ −k và m ≤ ∞ sao cho
hoặc l = −k, hay l > −k và xl−1 ≥ x
và
hoặc m = ∞, hay m < ∞ và xm+1 ≥ x.
iii) Nghiệm {xn }∞
n=−k của phương trình (1.1) gọi là không dao động xung
quanh x, hay gọi đơn giản là không dao động nếu tồn tại N ≥ −k sao
cho xn ≥ x¯ với mọi n ≥ N hoặc xn < x¯ với mọi n ≥ N . Ngược lại,
nghiệm {xn }∞

n=−k gọi là dao động xung quanh x, hay gọi đơn giản là
dao động.
iv) Nghiệm {xn }∞
n=−k gọi là dao động ngặt xung quanh x nếu với mỗi n0 ≥
0, tồn tại n1 , n2 ≥ n0 sao cho (xn1 − x¯)(xn2 − x¯) < 0.
Nửa vòng đầu tiên của nghiệm phương trình (1.1) được bắt đầu với số hạng
x−k , là nửa vòng dương nếu x−k ≥ x¯, là nửa vòng âm nếu x−k < x¯.

7


1.2
1.2.1

Hệ phương trình sai phân
Ổn định tuyến tính hóa

Gọi I là một khoảng của tập số thực, các hàm số
f, g : I × I −→ I

(1.4)

là các hàm số khả vi liên tục. Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ I, hệ
phương trình sai phân
xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ), n = 0, 1, 2, . . . ,

(1.5)

có duy nhất nghiệm {(xn , yn )}∞
n=0 .

Định nghĩa 1.3. Điểm (¯
x, y¯) được gọi là điểm cân bằng của hệ (1.5) nếu
x¯ = f (¯
x, y¯), y¯ = g(¯
y , x¯).

(1.6)

Định nghĩa 1.4. Gọi (¯
x, y¯) là điểm cân bằng của hệ (1.5).
i) Điểm cân bằng (¯
x, y¯) được gọi là ổn định nếu với mỗi > 0 tồn tại δ > 0
sao cho với mọi giá trị ban đầu (x0 , y0 ) thỏa mãn (x0 , y0 ) − (¯
x, y¯) < δ
suy ra (xn , yn ) − (¯
x, y¯) < với mọi n > 0. Ngược lại, điểm cân bằng
(¯
x, y¯) được gọi là không ổn định.
ii) Điểm cân bằng (¯
x, y¯) được gọi là ổn định tiệm cận nếu tồn tại η > 0
sao cho (x0 , y0 ) − (¯
x, y¯) < η suy ra (xn , yn ) → (¯
x, y¯) khi n → ∞.
iii) Điểm cân bằng (¯
x, y¯) được gọi là hút toàn cục nếu (xn , yn ) → (¯
x, y¯) khi
n → ∞.
iv) Điểm cân bằng (¯
x, y¯) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu nó là
ổn định và hút toàn cục.

Định nghĩa 1.5. Gọi (¯
x, y¯) là điểm cân bằng của ánh xạ F (x, y) = (f (x, y), g(x, y)),
trong đó f và g là các hàm khả vi liên tục tại (¯
x, y¯). Hệ tuyến tính hóa của
hệ (1.5) xung quanh điểm cân bằng (¯
x, y¯) được xác định bởi
Xn+1 = F (Xn ) = FJ Xn ,
xn
và FJ là ma trận Jacobian của hệ (1.5) xung quanh
yn
điểm cân bằng (¯
x, y¯).
trong đó Xn =

8


Kết quả về ổn định sau đây sẽ hữu ích cho các nội dung tiếp theo của luận
án.
Định lý 1.3. (Định lý ổn định tuyến tính hóa)Gọi (¯
x, y¯) ∈ I là điểm cân
bằng của ánh xạ F = (f, g), trong đó f , g là các hàm số khả vi liên tục,
xác định trên tập mở I trong R2 , .
i) Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF (¯
x, y¯) có môđun
nhỏ hơn 1, thì điểm cân bằng (¯
x, y¯) là ổn định tiệm cận.
ii) Nếu ít nhất một trong các giá trị riêng của ma trận Jacobian JF (¯
x, y¯)
có mô đun lớn hơn 1 thì điểm cân bằng (¯

x, y¯) không ổn định.
iii) Điểm cân bằng của F = (f, g) là ổn định tiệm cận địa phương khi và
chỉ khi mọi nghiệm của phương trình đặc trưng
λ2 − trJF (¯
x, y¯)λ + detJF (¯
x, y¯) = 0

(1.7)

nằm trong đĩa đơn vị, có nghĩa là, khi và chỉ khi
|trJF (¯
x, y¯)| < 1 + detJF (¯
x, y¯) < 2.

9

(1.8)


Chương 2
Về ba dạng phương trình sai phân hữu tỷ

2.1
2.1.1

Dạng tiệm cận nghiệm của hai dạng phương trình sai phân
hữu tỷ
Đặt vấn đề

Năm 1998, R. Devault, G. Ladas và S.W. Schultz đã chỉ ra điều kiện cần và đủ

về tính giới nội của phương trình dạng
xn+1 =

A
B
, n = 0, 1, . . . ,
p + q
xn xn−1

(2.1)

trong đó A, B, p, q ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x−1 , x0 ∈ (0, ∞). Đồng
thời, các tác giả cũng nghiên cứu tính ổn định và tính tuần hoàn của phương
trình dạng
A
1
xn+1 =
+
, n = 0, 1, . . . ,
(2.2)
xn xn−2
trong đó A, x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Mở rộng kết quả của R. Devault, G. Ladas và S.W. Schultz đối với phương
trình (2.1), trong một nghiên cứu của S. Stevi´c năm 2002, tác giả đã chỉ ra điều
kiện cần và đủ đối với tính giới nội của nghiệm phương trình sai phân:
k

xn+1 =
i=0

αi
, n = 0, 1, 2, . . . ,
i
xpn−i

(2.3)

trong đó k là số nguyên dương, αi , pi ∈ (0, ∞), i = 1, 2, ..., k và các giá trị
ban đầu x−k , x−k+1 , ..., x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Trong các năm 2002, 2004, 2005, 2007 đã có rất nhiều nghiên cứu về dạng
tiệm cận nghiệm của các phương trình sai phân hữu tỷ trong các công trình của
L. Berg, S. Stevi´c và K. Berenhaut. Trong đó các tác giả xây dựng dạng tiệm
cận nghiệm dựa trên việc xây dựng hai dãy chặn trên, chặn dưới của nghiệm.
Trong chương này, dựa trên phương pháp xây dựng dạng tiệm cận nghiệm
10


trong các nghiên cứu kể trên, chúng tôi nghiên cứu dạng tiệm cận nghiệm dương
không dao động của phương trình sau đây:
xn =

A1
A2
Ak−1
1
+
+ ... +
−
, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn−1 xn−2

xn−k+1 xn−k

(2.4)

k−1

với A1 , A2 , ..., Ak−1 ∈ [0, ∞),

Ai > 1 và các giá trị ban đầu x−k , x−k+1 , ...,
i=1

x−3 , x−2 , x−1 là các số thực dương tùy ý, và phương trình:
A1
A2
A3
1
+
+
− 3 , n = 0, 1, 2, . . . ,
xn xn−1 xn−2 xn−1 xn−2 xn−3 xn−2 xn−3 xn−4 xn−5
(2.5)
trong đó A1 , A2 , A3 ∈ [0, ∞) và A = A1 +A2 +A3 −1 > 0, x−5 , x−4 , x−3 ,
x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Nội dung chính của chương này được lấy từ một phần bài báo [2] và một
phần bài báo [3] của tác giả.
xn+1 =

2.1.2

Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.4)

Nội dung của phần này sẽ giải quyết bài toán, có tồn tại nghiệm dương không
dao động của phương trình (2.4) hay không?
Chú ý rằng phương trình tuyến tính hóa của phương trình (2.4) xung quanh
k−1

Ai − 1 có thể viết dưới dạng tương đương:

điểm cân bằng x =
i=1

yn +

A1
A2
Ak−1
1
y
+
y
+
...
+
y
−
yn−k = 0.
n−1
n−2
n−k+1
x2

x2
x2
x2

(2.6)

Đa thức đặc trưng tương ứng với phương trình (2.6) có dạng
p(t) = x2 tk + A1 tk−1 + ... + Ak−1 t − 1 = 0.

(2.7)

Với mỗi p > 0, α > 0 có một nghiệm dương duy nhất t0 của đa thức đặc trưng
thuộc khoảng (0, 1). Dựa trên ý tưởng trong các nghiên cứu của L. Berg và
được phát triển bởi S. Stevi´c, ta tin tưởng rằng các nghiệm của phương trình
(2.4) có dạng tiệm cận sau
xn = x + atn0 + o(tn0 ),
11

(2.8)


với a ∈ R và t0 là nghiệm của phương trình (2.7).
Bài toán được giải quyết bởi việc xây dựng hai dãy phù hợp yn và zn với
yn ≤ xn ≤ zn

(2.9)

với n đủ lớn.
Từ (2.8) và các kết quả của L. Berg ta dự đoán ba số hạng đầu tiên của
dạng tiệm cận nghiệm có dạng

ϕn = x + atn + bt2n .

(2.10)

Sau đây là kết quả chính của phần này.
k−1

Định lý 2.1. Với mỗi Ai > 0, i = 1, 2, 3, ..., k − 1,

Ai > 1, phương
i=1

trình (2.4) có nghiệm không dao động hội tụ đến điểm cân bằng dương
k−1

Ai − 1 với dạng tiệm cận (2.8).

x=
i=1

2.1.3

Dạng tiệm cận nghiệm của phương trình (2.5)

Tương tự như đối với phương trình (2.4), trong phần này ta thu được kết quả
sau đây.
Định lý 2.2. Giả sử A1 , A2 , A3 ∈ [0, ∞) và A = A1 + A2 + A3 − 1 > 0,
khi đó phương trình (2.5)
có nghiệm dương không dao động hội tụ đến điểm
√

4
cân bằng dương x = A khi n → ∞.

2.2
2.2.1

Tính ổn định của một dạng phương trình sai phân hữu tỷ
Đặt vấn đề

Năm 1998, G. Ladas đã đề xuất nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục của
phương trình sai phân hữu tỷ
xn+1 =

xn + xn−1 xn−2
, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn xn−1 + xn−2

(2.11)

với các giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Năm 2002, X. Li, D. Zhu đã chứng minh được nghiệm cân bằng của phương

12


trình (2.11) là ổn định tiệm cận toàn cục.
Năm 2004, T. Nesemann đã nghiên cứu phương trình
xn+1 =

xn−1 + xn xn−2

, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn xn−1 + xn−2

(2.12)

với các giá trị ban đầu x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞), tác giả chứng minh được nghiệm
cân bằng dương của phương trình (2.12) là ổn định tiệm cận toàn cục.
Dựa trên các dạng phương trình đã được các tác giả nghiên cứu trong thời
gian gần đây và sử dụng phương pháp phân tích các nửa vòng dương, nửa vòng
âm của nghiệm trong các công trình của X. Li và D. Zhu để nghiên cứu về tính
ổn định của nghiệm cân bằng dương các phương trình hữu tỷ, trong phần này
chúng tôi nghiên cứu phương trình sai phân hữu tỷ cấp bốn sau đây:
xn+1

xn−1 xn−3 + x2n−1 + a
= 2
, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn−1 xn−3 + xn−1 + a

(2.13)

trong đó a ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−3 , x−2 , x−1 , x0 ∈ (0, ∞).
Nội dung chính của phần này được lấy trong bài báo [1] của tác giả.
2.2.2

Tính ổn định tiệm cận toàn cục của phương trình (2.13)

Ở phần này, ta sẽ chỉ ra độ dài liên tiếp của các nửa chu kỳ dương và nửa chu
kỳ âm nghiệm không tầm thường của phương trình (2.13) xuất hiện tuần hoàn.
Ta cũng chứng minh được điểm cân bằng dương của phương trình (2.13) là ổn

định tiệm cận toàn cục.
Định lý 2.3. Giả sử {xn }∞
n=−3 là một nghiệm dao động ngặt của phương
trình (2.13). Khi đó quy luật xuất hiện của độ dài các nửa chu kỳ dương và
nửa chu kỳ âm là:
hoặc,. . . , 1− , 2+ , 1− , 2+ , 1− , 2+ , 1− , 2+ , . . . ,
hoặc,. . . , 1+ , 1− , 1+ , 3− , 1+ , 1− , 1+ , 3− , . . . ,
hoặc,. . . , 4+ , 2− , 4+ , 2− , 4+ , 2− , 4+ , 2− , . . . .
Sau đây ta sẽ phát biểu định lý về sự ổn định của điểm cân bằng.
Định lý 2.4. Giả sử a ∈ [0, ∞). Khi đó điểm cân bằng dương của phương
trình (2.13) là ổn định tiệm cận toàn cục.

13


Chương 3
Ba dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến

3.1

Tính giới nội và ổn định của một dạng hệ phương trình sai
phân phi tuyến

Nội dung của phần này là nghiên cứu tính bị chặn, tính bền vững và tính ổn
định tiệm cận của nghiệm dương hệ phương trình sai phân dạng mũ:
xn+1 = a+bxn−1 +cxn−1 e−yn , yn+1 = α+βyn−1 +γyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,
trong đó a, b, c, α, β, γ ∈ (0, ∞), các giá trị ban đầu x−1 , x0 , y−1 , y0 là
các số thực dương.
3.1.1

Đặt vấn đề

Phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến có chứa dạng mũ gần đây
đã nhận được sự quan tâm rất lớn của các nhà Toán học, có thể tham khảo
trong các công trình nghiên cứu của H. El-Metwally, E.A. Grove, G. Ladas, R.
Levins, M. Radin năm 2001, của D.C. Zhang, B. Shi năm 2003, của S. Stevi´c
năm 2007 và của G. Stefannidou, G. Papaschinopoluos, C.J. Schinas, M. Radin
các năm 2010, 2011.
Năm 2001, H. El-Metwally, E.A. Grove, G. Ladas, R. Levins, M. Radin đã
nghiên cứu tính giới nội và tính ổn định của điểm cân bằng dương phương trình
sai phân:
xn+1 = a + bxn−1 e−xn ,
(*)
trong đó a, b là các hằng số dương, các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số dương.
Thực tế, mô hình này được đề xuất bởi nhóm nghiên cứu của trường Y tế công
cộng thuộc Đại học Harvard khi nghiên cứu biến động dân số của một loài xn ,
ở đó a là tỷ lệ di cư và b là tỷ lệ tăng trưởng dân số.
Năm 2011, G. Papaschinopoluos, M. Radin, C.J. Schinas đã nghiên cứu tính
giới nội, tính bền vững và dáng điệu tiệm cận của nghiệm dương hệ hai phương
trình sai phân dạng mũ:
xn+1 = a + bxn−1 e−yn , yn+1 = c + dyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,
14

(**)


Dựa trên những bài báo trên ta sẽ mở rộng việc nghiên cứu phương trình
(∗) và hệ phương trình (∗∗) bằng việc nghiên cứu hệ phương trình dạng mũ
sau:
xn+1 = a+bxn−1 +cxn−1 e−yn , yn+1 = α+βyn−1 +γyn−1 e−xn , n = 0, 1, 2, . . . ,

(3.1)
trong đó a, b, c, α, β, γ là các hằng số dương và các giá trị ban đầu
x−1 , x0 , y−1 , y0 là các số thực dương. Ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính
bền vững và tính ổn định tiệm cận của nghiệm dương hệ phương trình (3.1).
Ta xét trong một số trường hợp đặc biệt, khi b = β = 0 hệ phương trình
(3.1) trở thành hệ phương trình (∗), và khi xn = yn , a = α, b = β = 0, c = γ
ta có phương trình (∗).
Nội dung chính của phần này được lấy từ bài báo [5] của tác giả.

3.1.2

Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ (3.1)

Trước hết ta sẽ chỉ ra điều kiện để nghiệm của hệ (3.1) là giới nội và bền vững.
Định lý 3.1. Xét hệ (3.1) với điều kiện:
b + ce−α < 1, β + γe−a < 1.

(3.2)

Khi đó mọi nghiệm của (3.1) là giới nội và bền vững.
Trong nội dung tiếp theo ta sẽ chỉ ra khoảng bất biến của hệ (3.1).
Định lý 3.2. Xét hệ (3.1) với điều kiện (3.2) được thỏa mãn. Khi đó ta có
các phát biểu sau:
(i) Tập
a,

α
a
×
α,

1 − b − ce−α
1 − β − γe−a

là tập bất biến của hệ (3.1).
(ii) Gọi là số dương tùy ý và (xn , yn ) là nghiệm bất kỳ của hệ (3.1). Ta
xét các tập
I1 = a,

a+
α+
,
I
=
α,
.
2
1 − b − ce−α
1 − β − γe−a

(3.3)

Khi đó tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0
xn ∈ I1 ,

yn ∈ I2 .
15

(3.4)

Sau đây ta sẽ phát biểu các kết quả về tính duy nhất và tính hút của điểm
cân bằng.
Định lý 3.3. Xét hệ (3.1) với các điều kiện sau được thỏa mãn:
Nếu α(1 − b) ≥ a(1 − β) thì
a2 (1 − 2β)2 + 4(1 − b)2
,
c2
α(1 − b) − α2 (1 − b)2 − a2 (1 − β)2
a
γ < e min{
,
a
−α(1 − 2b) + α2 (1 − 2b)2 + 4(1 − β)2
}.
2
α −a(1

− 2β) +

(3.5)

và nếu c(1 − b) ≤ a(1 − β) thì
α2 (1 − 2b)2 + 4(1 − β)2
,
γ2
a(1 − β) − a2 (1 − β)2 − α2 (1 − b)2
c < eα min{
,

α
−a(1 − 2β) + a2 (1 − 2β)2 + 4(1 − b)2
}.
2
a −α(1

− 2b) +

(3.6)

Khi đó hệ (3.1) có điểm cân bằng dương duy nhất (¯
x, y¯) và mọi nghiệm
dương của hệ (3.1) hội tụ đến điểm cân bằng dương duy nhất (¯
x, y¯) khi
n → ∞.
Định lý 3.4. Xét hệ phương trình sai phân (3.1) và giả thiết rằng các hằng
số a, b, c, α, β, γ thỏa mãn các quan hệ sau:
6
(1 − β)(1 − b − ce−α ) (1 − b)(1 − β) − c(1 + α − β)e−α )
,
1 + a − b − ce−α
1 − b − ce−α
(1 − b)(1 − β)
c < eα
.
1+α−β

γ < ea min

;

(3.7)

Khi đó hệ phương trình (3.1) có duy nhất điểm cân bằng dương (¯
x, y¯) sao
cho 6
x¯ ∈

a,

a
1 − b − ce−α

, y¯ ∈

α,

α
1 − β − γe−a

.

(3.8)

Hơn nữa, mọi nghiệm dương của (3.1) hội tụ về điểm cân bằng dương duy
nhất (¯
x, y¯) khi n → ∞.
Trong nội dung tiếp theo của ta sẽ nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn
cục của điểm cân bằng dương của phương trình (3.1).
16

Định lý 3.5. Xét hệ phương trình (3.1) sao cho hoặc (3.5) và (3.6) đúng
hoặc (3.7) đúng. Cũng giả thiết các quan hệ sau thỏa mãn:
acαγe−a−α
b+ce +β +γe +(b+ce )(β +γe )+
< 1.
(1 − b − ce−α )(1 − β − γe−a )
(3.9)
Khi đó điểm cân bằng dương duy nhất (¯
x, y¯) của (3.1) là ổn định tiệm cận
toàn cục.
−α

3.2

−a

−α

−a

Tính giới nội, tính ổn định và tốc độ hội tụ nghiệm của một
dạng hệ phương trình sai phân phi tuyến

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững và dạng
tiệm cận nghiệm của nghiệm dương hệ phương trình sai phân dạng mũ:
xn+1

a + be−xn
a + be−yn

=
, yn+1 =
c + yn
c + xn

trong đó a, b, c là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực
dương. Ta cũng xác định tốc độ hội tụ tới điểm cân bằng dương E = (¯
x, y¯)
của hệ.
3.2.1

Đặt vấn đề

Năm 2006, I. Ozturk, F. Bozkurt, S. Ozen nghiên cứu tính ổn định, tính giới
nội và tính tuần hoàn của nghiệm dương phương trình sai phân:
yn+1

α + βe−yn
=
γ + yn−1

trong đó α, β, γ là các hằng số dương, các giá trị ban đầu y−1 , y0 là các số
dương.
Dựa trên gợi ý từ dạng phương trình trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên
cứu tính giới nội, tính bền vững và tốc độ hội tụ của nghiệm dương hệ phương
trình có dạng mũ sau:
xn+1

a + be−xn
a + be−yn

, yn+1 =
=
c + yn
c + xn

(3.10)

trong đó a, b, c là các hằng số dương và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số
thực dương.
Nội dung chính của phần này được lấy từ bài báo [4] của tác giả.
17


3.2.2

Dáng điệu toàn cục nghiệm của hệ phương trình sai phân

Trong bổ đề đầu tiên ta sẽ nghiên cứu tính giới nội, tính bền vững của nghiệm
dương hệ phương trình (3.10).
Bổ đề 3.1. Mọi nghiệm của hệ (3.10) là giới nội và bền vững.
Sau đây ta phát biểu định lý chính của phần này.
Định lý 3.6. Xét hệ phương trình sai phân (3.10) với giả thiết:
b < c.

(3.11)

Khi đó hệ phương trình sai phân (3.10) có điểm cân bằng dương duy nhất
(¯
x, y¯) và mọi nghiệm dương của hệ (3.10) hội tụ tới điểm cân bằng dương
duy nhất (¯

x, y¯) khi n → ∞. Hơn nữa, điểm cân bằng (¯
x, y¯) là ổn định
tiệm cận toàn cục.

3.2.3

Tốc độ hội tụ

Trong phần này ta sẽ đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm hội tụ đến điểm cân bằng
E = (¯
x, y¯) của hệ (3.10) với mọi giá trị của tham số. Kết quả chính của phần
này được phát biểu qua định lý sau:
e1n
xn − x¯
=
của mọi nghiệm xn = 0
2
en
yn − y¯
của (3.10) thỏa mãn đồng thời các mối quan hệ tiệm cận sau:

Định lý 3.7. Véc tơ sai số en =

lim

n→∞

và
lim

n→∞

n

en = |λi (JT (E))| với i = 1, 2,

(3.12)

en+1
= |λi (JT (E))| với i = 1, 2,
en

(3.13)

trong đó |λi (JT (E))| là độ lớn của một trong các giá trị riêng của ma trận
Jacobian tại điểm cân bằng JT (E).

3.3
3.3.1

Một dạng phương trình sai phân hữu tỷ
Đặt vấn đề

Năm 2002, D. Clark và M.R.S. Kulenovi´c nghiên cứu tính ổn định toàn cục của
hệ phương trình sai phân
xn
yn
xn+1 =
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,

a + cyn
b + dxn
18


trong đó a, b, c và d là các hằng số dương với các giá trị ban đầu x0 , y0 ∈ (0, ∞).
Năm 2003, M.R.S. Kulenovi´c và M. Nurkanovi´c nghiên cứu dáng điệu toàn
cục của hệ phương trình sai phân
xn+1 =

Bxn yn
Axn yn
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
1 + yn
1 + xn

trong đó A, B ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số không âm.
Năm 2008, Ibrahim Yalcinkaya nghiên cứu tính ổn định tiệm cận toàn cục
của hệ phương trình sai phân
zn+1 =

tn zn−1 + a
zn tn−1 + a
, tn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
tn + zn−1
zn + tn−1

trong đó a ∈ (0, ∞) và z−1 , z0 , t−1 , t0 là các số thực dương.

Năm 2011, S. Kalabusi´c và M.R.S. Kulenovi´c đã nghiên cứu hệ phương trình
sai phân
xn+1 =

α1 + γ1 yn
α2 + β2 xn
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
xn
yn

xn+1 =

α1 + γ1 yn
α2 + β2 xn
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
1 + xn
1 + yn

và

trong đó α1 , α2 , β2 , γ1 ∈ (0, ∞) và x0 , y0 là các số dương.
Năm 2013, Q. Din nghiên cứu một dạng phương trình Lotka-Volterra rời rạc
xn+1 =

αxn − βxn yn
δyn + xn yn
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,

1 + γxn
1 + ηyn

trong đó α, β, γ, δ, , η ∈ (0, ∞) và x0 , y0 là các số thực dương.
Xuất phát từ các dạng phương trình trên, trong phần này chúng ta sẽ nghiên
cứu hệ phương trình sai phân sau đây
xn+1 =

axn − bxn yn
a1 xn yn − b1 yn
, yn+1 =
, n = 0, 1, 2, . . . ,
1 + cxn + dyn
1 + c1 xn + d1 yn

(3.14)

trong đó a, b, c, d, a1 , b1 , c1 , d1 ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ (0, ∞).
Cụ thể, chúng ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của các điểm cân bằng và tốc độ
hội tụ của nghiệm dương của hệ (3.14).
Nội dung của phần này được lấy trong bài báo [6].

19


3.3.2

Ổn định tuyến tính hóa

Hệ (3.14), có 4 điểm cân bằng:

P1 (0, 0), P2 (0, −

a−1
b1 + 1
), P3 (
, 0)
d1
c

và
P4

(1 − a1 )d1 − (d + b)(b1 + 1) c(b1 + 1) − (a − 1)(a1 − c1 )
,
.
(c1 − a1 )(d + b) − cd1
(c1 − a1 )(d + b) − cd1

Sau đây là một số kết quả về tính ổn định của các điểm cân bằng.
Định lý 3.8. Giả sử a < 1 và b1 < 1, khi đó các phát biểu sau đây là đúng:
i) Điểm cân bằng P1 (0, 0) là ổn định tiệm cận địa phương.
ii) Điểm cân bằng P2 (0, − b1d+1
) là không ổn định.
1
iii) Điểm cân bằng P3 ( a−1
c , 0) là không ổn định.
Từ Định lý 3.8, ta có định lý sau.
Định lý 3.9. Các phát biểu sau đây là đúng:
d1
d+b

>
, thì điểm cân bằng P2 (0, − b1d+1
)
1
b1 + 1
1−a
là ổn định tiệm cận địa phương.

i) Nếu a < 1, b1 > 1 và

b1 + 1
a−1
, thì điểm cân bằng P3 ( a−1
<
c , 0)
c
a1 − c1
là ổn định tiệm cận địa phương.

ii) Nếu a > 1, a1 < c1 và

Sau đây ta sẽ trình bày tính ổn định của điểm cân bằng dương duy nhất
của hệ (3.14).
Định lý 3.10. Giả sử
(1 − a1 )d1
,
b1 + 1
c
c1 − a1 c1 − a1
c

<
<
,
,
d+b
d1
b1 + 1
1−a

a < 1, a1 < 1, a1 < c1 , b + d <

khi đó điểm cân bằng dương duy nhất
P4

(1 − a1 )d1 − (d + b)(b1 + 1) c(b1 + 1) − (a − 1)(a1 − c1 )
,
(c1 − a1 )(d + b) − cd1
(c1 − a1 )(d + b) − cd1
20

(3.15)


ổn định tiệm cận địa phương khi và chỉ khi

và

trong đó α =
3.3.3

(a − bβ)(1 + dβ) (a1 α − b1 )(1 + c1 α)
+
(1 + cα + dβ)2
(1 + c1 α + d1 β)2
(a − bβ)(1 + dβ) (a1 α − b1 )(1 + c1 α)
<1+
×
(1 + cα + dβ)2
(1 + c1 α + d1 β)2
bα(1 + cα) + adα a1 β(1 + d1 β) + b1 c1 β
+
×
,
(1 + cα + dβ)2
(1 + c1 α + d1 β)2

(3.16)

(a − bβ)(1 + dβ) (a1 α − b1 )(1 + c1 α)
×
(1 + cα + dβ)2
(1 + c1 α + d1 β)2
bα(1 + cα) + adα a1 β(1 + d1 β) + b1 c1 β
×
< 1,
+
(1 + cα + dβ)2
(1 + c1 α + d1 β)2

(3.17)

(1 − a1 )d1 − (d + b)(b1 + 1)
c(b1 + 1) − (a − 1)(a1 − c1 )
,β =
.
(c1 − a1 )(d + b) − cd1
(c1 − a1 )(d + b) − cd1

Tính giới nội

Định lý 3.11. Mọi nghiệm {(xn , yn )}∞
n=0 của hệ (3.14) là giới nội.
a
Định lý 3.12. Gọi {(xn , yn )} là nghiệm dương của hệ (3.14). Khi đó [0, ]×
c
aa1
[0,
] là các khoảng bất biến của hệ (3.14).
cd1
3.3.4

Dáng điệu toàn cục

Kết quả chính của phần này được phát biểu qua định lý sau.
Định lý 3.13. Xét hệ phương trình sai phân (3.14). Giả sử các hệ số a, b,
c, d, a1 , b1 , c1 , d1 thỏa mãn (3.15). Khi đó hệ phương trình sai phân (3.14)
có duy nhất điểm cân bằng dương P4 (α, β) và mọi nghiệm dương của hệ
(3.14) đều hội tụ đến điểm cân bằng (α, β) khi n → ∞. Hơn nữa, nếu các
điều kiện (3.16) và (3.17) được thỏa mãn thì điểm cân bằng P4 (α, β) là ổn
định tiệm cận toàn cục.

3.3.5

Tốc độ hội tụ

Tốc độ hội tụ của nghiệm đến điểm cân bằng được thể hiện qua định lý sau.

21


Định lý 3.14. Giả sử {(xn , yn )} là một nghiệm dương của hệ (3.14) sao
cho limn→∞ xn = x¯, limn→∞ yn = y¯, trong đó
(¯
x, y¯) = (α, β) =

(1 − a1 )d1 − (d + b)(b1 + 1) c(b1 + 1) − (a − 1)(a1 − c1 )
,
.
(c1 − a1 )(d + b) − cd1
(c1 − a1 )(d + b) − cd1

e1n
xn − x¯
Khi đó vector sai số en =
=
của mọi nghiệm xn = 0 của
2
en
yn − y¯
hệ (3.14) thỏa mãn đồng thời các quan hệ sau:

lim

n→∞

và
lim

n→∞

n

en = |λi (JF (α, β))|, i ∈ {1, 2},

(3.18)

en+1
= |λi (JF (α, β))|, i ∈ {1, 2},
en

(3.19)

trong đó |λi (JF (α, β))| bằng môđun của một trong các giá trị riêng của ma
trận Jacobian lấy giá trị tại (α, β).

22


KẾT LUẬN
Luận án đã đạt được các kết quả sau:
1. Xây dựng được tiệm cận nghiệm dạng đa thức của hai dạng phương trình

sai phân hữu tỷ.
2. Chứng minh được nghiệm cân bằng của một dạng phương trình sai phân
hữu tỷ là ổn định tiệm cận toàn cục.
3. Đưa ra một số điều kiện đủ để ba dạng hệ phương trình sai phân phi
tuyến có nghiệm cân bằng dương duy nhất và các nghiệm hội tụ về điểm
cân bằng dương, chỉ ra các khoảng bất biến của nghiệm.
4. Nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm của hai dạng hệ phương trình sai
phân phi tuyến.

KIẾN NGHỊ
MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO
Tiếp theo các kết quả của luận án, tác giả thấy có một số vấn đề cần được tiếp
tục nghiên cứu là
1. Nghiên cứu các dạng phương trình sai phân hữu tỷ với tham số là các dãy
có tính tuần hoàn.
2. Xây dựng các dạng tiệm cận khác dạng đa thức.
3. Nghiên cứu các dạng hệ nhiều hơn hai phương trình phi tuyến.
4. Nghiên cứu các ứng dụng của phương trình sai phân trong hệ sinh thái.

23