Vận dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự vào giải một số bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp

MỤC LỤC
BẢNG KÝ KIỆU .....................................................................................................................2
PHẦN MỞ ĐẦU. .....................................................................................................................3
1. Lí do chọn đề tài: .............................................................................................................3
2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu:.............................................................................................4
3. Mục đích nghiên cứu:......................................................................................................4
4. Nhiệm vụ nghiên cứu: .....................................................................................................5
5. Phương pháp nghiên cứu: ...............................................................................................5
6. Đối tượng nghiên cứu: ....................................................................................................5
7. Phạm vi nghiên cứu: ........................................................................................................5
8. Cấu trúc của đề tài: ..........................................................................................................5
9. Kế hoạch thời gian:..........................................................................................................5
PHẦN NỘI DUNG ..................................................................................................................6
Chương I: Bài toán và lời giải bài toán - Phương pháp tìm lời giải bài toán chứng
minh hình học. ......................................................................................................................6
ChươngII: Các phép biến hình ........................................................................................ 20
Chương III: Vận dụng các phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,
phép quay, phép vị tự vào giải một bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp. .. 25
PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................... 53

1


BẢNG KÝ KIỆU
THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

đpcm

Điều phải chứng minh



Thuộc

2


Tên đề tài: Vận dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,
phép quay, phép vị tự vào giải một số bài toán chứng minh hình học phẳng
sơ cấp
PHẦN MỞ ĐẦU.
1.Lí do chọn đề tài:
“Nói chung lí do chọn đề tài thường xuất phát từ yêu cầu của thực tế
công tác mà người nghiên cứu đảm nhiệm ” Trích giáo trình Phương pháp luận
nghiên cứu khoa học – Phạm Viết Vượng –NXB ĐHQG HN- trang 111
Bản thân chúng tôi, tác giả của đề tài này là những giảng viên Toán nhận thức
được rằng, muốn nâng cao năng lực nhận thức của bản thân, một trong những
việc làm quan trọng là học giải toán và dạy học sinh biết giải toán.
Bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng, thông qua việc giải chúng người học
có thể hình thành, củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kĩ xảo, những thao tác
tư duy,...
Trong dạy học toán việc tìm ra lời giải một bài toán là hết sức quan trọng,
tuy nhiên mỗi bài toán chỉ cần tìm ra lời giải bài toán thì chưa đủ, người làm
toán nếu biết nhìn nhận mỗi bài toán, phân tích lời giải để khai thác mở rộng bài

toán, từ đó tìm ra một lớp các bài toán tương tự nhau, đưa ra các cách giải khác
nhau, các kết quả của các bài toán mở rộng, khai thác từ những bài toán đã cho...
thì sẽ củng cố được thêm rất nhiều kiến thức Toán học, từ đó nâng cao khả năng
giải toán và năng lực của bản thân.
Phép biến hình là một trong những nội dung của bộ môn hình học mà chúng tôi
thấy tương đối khó, việc vận dụng chúng vào giải toán nói chung và giải toán
chứng minh hình học phẳng sơ cấp nói riêng còn nhiều hạn chế.
Để bổ sung và nâng cao kiến thức cho bản thân về phép biến hình nói
chung và ứng dụng của các phép biến hình, cụ thể là các phép dời hình như phép
tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay và phép biến hình là
phép vị tự nói riêng trong giải và khai thác bài toán chứng minh hình học
phẳng sơ cấp, nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học, là những lí do để chúng tôi
chọn nghiên cứu đề tài này.

3


2. Lịch sử vấn đề nghiên cứu:
Các phép biến hình đã được đưa vào chương trình hình học ở các cấp
THCS và THPT và chương trình đào tạo giáo viên THCS, đề cập tới cả 4 thể
loại chứng minh, tính toán, dựng hình, quỹ tích. Các bài tập chứng minh hình
học có sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép
quay, phép vị tự có ở một vài tài liệu, nhưng các tài liệu đó chưa chỉ rõ
phương pháp ứng dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,
phép quay , phép vị tự cũng như cách tư duy khi giải các bài toán chứng minh
hình học phẳng sơ cấp nói chung và toán chứng minh hình học nói riêng, chưa
khai thác, mở rộng các bài toán đó. Cái mới của đề tài là sưu tầm các bài tập
chứng minh hình học phẳng sơ cấp, Phân tích, đưa ra cách tìm lời giải và lời giải
có sử dụng các phép biến hình như phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối
xứng tâm, phép quay, phép vị tự, và cách giải khác. Phân tích khai thác mở rộng

bài toán đó.
3. Mục đích nghiên cứu:
“Mục đích nghiên cứu của một đề tài, luận văn, đề án khoa học là tìm tòi
làm rõ bản chất của một sự kiện mới hay tìm một giải pháp nâng cao chất lượng
một hoạt động thực tế nào đó”. Trích giáo trình Phương pháp luận nghiên cứu
khoa học – Phạm Viết Vượng –NXB ĐHQG HN- trang 112
- Tìm hiểu bài toán và lời giải bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán
chứng minh hình học để vận dụng vào giải bài toán chứng minh hình học.
- Nghiên cứu tìm hiểu việc vận dụng phép dời hình (phép tịnh tiến, phép
đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay), phép vị tự trong giải và khai thác
bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp.
- Tìm hiểu Bài toán và lời giải bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán
cùng các phép suy luận trong giải toán.
- Nghiên cứu, tìm hiểu thêm việc vận dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng
trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự trong khai thác và mở rộng một
số bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp, nâng cao khả năng giải toán và
năng lực nhận thức của bản thân.

4


4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu, sưu tầm một số bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp,
phân tích cách tìm lời giải, đưa ra lời giải hoặc nhiều lời giải các bài toán đó có
sử dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay , phép
vị tự. Khai thác mở rộng các bài toán đó
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu đề cập đến bài toán và lời
giải bài toán, phương pháp tìm lời giải bài toán chứng minh hình học và các
phép biến hình.

- Tổng kết kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu bộ môn.
6. Đối tƣợng nghiên cứu:
Tìm tòi lời giải bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp có thể sử
dụng các phép biến hình (Phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,
phép quay), phép vị tự. Các bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp.
7. Phạm vi nghiên cứu:
Các bài toán chứng minh hình học phẳng sơ cấp
8. Cấu trúc của đề tài:
- Phần mở đầu.
- Phần nội dung: gồm 3 chương.
+ Chương I: Bài toán và lời giải bài toán- Phương pháp tìm lời giải bài
toán chứng minh hình học
+ Chương 2: Các phép biến hình.
+ Chương 3: Vận dụng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng
tâm, phép quay, phép vị tự vào giải một số bài toán chứng minh hình học phẳng
sơ cấp
- Phần kết luận.
- Danh mục tài liệu tham khảo.
9. Kế hoạch thời gian:
Từ tháng 15/8/2011 đến 15/5/2012. Chỉnh sửa, báo cáo đề tài 30/6/2012

5


PHẦN NỘI DUNG
Chƣơng I: BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TOÁN – PHƢƠNG PHÁP TÌM
LỜI GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC
I.1. Bài toán
Theo G.POLYA: "Bài toán là việc đặt ra sự tìm kiếm một cách có ý thức
các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng,

nhưng không thể đạt được ngay".
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán
là sự đòi hỏi phải đạt được mục đích nào đó. Như vậy bài toán có thể đồng nhất
với một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập, ....
I.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán
Trong định nghĩa về bài toán ở trên, ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành
một bài toán đó là: Sự đòi hỏi của bài toán và mục đích của bài toán.
ví dụ: "Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và các trung tuyến tương
ứng là ma , mb , mc . Chứng minh mb  mc  b2  c2  5a2 ”.
Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện ở cụm từ "Chứng minh".
Mục đích của bài toán thể hiện qua: " mb  mc  b2  c2  5a2 ".
I.3 Lời giải bài toán
Lời giải của một bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần phải
thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Một bài toán có thể có:
- Một lời giải.
- Không có lời giải.
- Nhiều lời giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bài
toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
Việc tìm ra nhiều cách giải cho bài toán là một cách rèn luyện tư duy hiệu quả.
Từ một bài toán ban đầu ta có thể đặc biệt hóa nó để có được những bài toán
mới rồi từ đó tìm ra nhiều lời giải cho bài toán này .
Ví dụ: Bài toán có nhiều lời giải

6


Bài toán 1: Cho tứ giác ABCD có AB = CD; M, N tương ứng là các trung

điểm của BC, DA. Giả sử đường thẳng MN cắt các đường thẳng AB, CD tương
ứng tại P, Q. Chứng minh rằng BPM  CQM

Hình 1
Gọi I là trung điểm của AC. Từ giả thiết suy ra IM, IN tương ứng là đường trung bình
của các tam giác ABC và

IM =

ACD. Suy ra IM // AB; IN // CD và

1

1
AB = CD = IN .
2
2

Do đó IMN cân tại I. Suy ra IMN  INM

Mặt khác ta có BPM  IMN (so le trong) ; CQM  INM (đồng vị)
do đó BPM  IMN (đpcm)
Bây giờ ta đặc biệt hóa bằng cách cho D nằm giữa A và C ta có bài toán sau:
Bài toán 2: Cho ABC có AC> AB. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD =
AB. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của BC, AD. Chứng minh rằng
BAC  2CNM
Lời giải: Cách 1. Gọi K là trung điểm của BD. Khi đó NK, MK là đường trung

bình của các tam giác DAB và BCD
Từ tính chất của đường trung bình của tam giác ta

suy ra BAC  DNK (Góc đồng vị)
BAC  DNK (So le trong)

NMK  KNM (KNM cân tại K) BAC  2CNM

(đpcm)

Hình 2

7


Cách 2. Gọi I là trung điểm của AC. Ta có IM // AB và AB = 2IM = CD;
CD = CA – DA = 2IA - 2NA =2(IA – NA)= 2IN  IM = IN  IMN cân tại I 

INM  MNI
BAC  MIC (đồng vị )
MIC  2CNM (góc ngoài của tam giác)  BAC  2CNM (đpcm)

Hình 3
Cách 3: Gọi H là điểm đối xứng của A qua M. Khi đó MN là đường trung bình của 
ADH nên MN//DH suy ra CDH  CNM (đồng vị)
AMB = HMC (c.g.c)  AB = HC= CD và BAM  MHC
Vậy  CHD cân tại C và AB // CH. Từ đó BAC  1800  DCH  2CDH  2CNM

(đpcm).

Hình 4

8

Cách 4:
Gọi L là điểm đối xứng của D qua
M. Khi đó MN là đường trung bình
của  ADL nên MN//AL 

CAL  CNM (đồng vị)
CMD = BML (c.g.c)  CD = BL
= AB và CDM  BLM
Vậy BAL cân tại B 

BLA  BAL và AC // BL ;
CNM  CAL (đồng vị)
CAL  BLA (so le trong)

Hình 5

 CNM  CAL  BLA  BAL

Suy ra BAC  2CNM (đpcm).
Cách 5.
Gọi R là điểm đối xứng của B qua N. Khi đó MN là đường trung bình của
 BRC nên MN// CR  DCR  CNM (so le trong)
ANB = DNR (c.g.c)  RD = AB = CD và RDN  BAN
Vậy DCR cân tại D và AB // DR. Từ đó

RDN  2DCR  BAC  2CNM (đpcm).

Hình 6

9


Cách 6. Kí hiệu AB = c; BC = a; CA = b. Dựng AS // MN (S  BC)

Hình 7

a
CM CN
CM.CA 2 .b
ab

 CS =
=

Theo định lí Ta let ta có
b-c b+c
CS CA
CN
b2

SB =a -

ab
ac
=
b+c b+c

do đó

SC b AC
 =

SB c AB

AS là phân giác của góc BAC . Vậy BAC  2CAS  2CNM (đpcm)
Nhận xét: Như vậy, bằng cách vẽ hình phụ khác nhau, ta đã có 6 cách giải cho
bài toán trên.
I.4. Ý nghĩa của việc giải toán
I.4.1. Củng cố các kiến thức cơ bản của học sinh
Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán
học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích kỹ
dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến
thức khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ
như vậy kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân
tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa.... Cuối cùng chúng ta đi đến
được lời giải của bài toán.
Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong
bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức có liên quan đến bài toán cũng được
củng cố qua lại nhiều lần.
Ví dụ : Hãy tìm các cách giải của bài toán sau:
10


"Cho 3 hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng 1 được dựng liên tiếp nhau
theo hình vẽ dưới đây:

Hình 8

Chứng minh rằng ACB  ADB  450 ".
Lời giải:
1
1
Cách 1 (Lớp 11): Đặt BCA   ; BDA   ; Ta thấy tg   ; tg 
2
3
tg   tg
 1      450 .
mà tg (  ) 
1  tg .tg

Với cách giải này ta củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Định nghĩa hàm số lượng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm
số lượng giác của một góc;
- Công thức biến đổi lượng giác của một tổng.
Cách 2 (Lớp 7):
E

Đặt BCA   ; BDA   ; Để tính tổng
hai góc  và  ta dịch chuyển góc  đến vị trí

A

O



C



D

kề với góc  tạo ra một góc tổng của chúng.
Bằng cách xét các tam giác vuông bằng nhau, ta

B
Hình 9

chứng minh được BDE  45 .
Với cách giải này ta củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, tính chất của hai tam giác bằng
nhau;
- Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.
0

Cách 3 (Lớp 8;9):

11


Đặt BCA   ; BDA   ; Ta có: BOC

DOB vì chung nhau góc

O và 2 cạnh kề góc đó tỉ lệ với nhau. Từ đây ta suy ra CBO   và dễ dàng
suy ra được     450

Hình 10

Với các giải này ta củng cố cho học sinh các kiến thức sau:
- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng;
- Tính chất của hai tam giác đồng dạng;
- Tính chất của hai đường thẳng song song;
- Hình vuông và các tính chất của nó.
I.4.2. Rèn luyện và phát triển tƣ duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật nhất của Toán học cũng như của môn Toán là một khoa
học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài
toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục
đích rất rõ rệt. Vì vậy, khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện
cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng,
suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,...
Chúng ta cũng đã biết, không thể có một phương pháp chung nào giải
được mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được
lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích: Phải biết cách dự đoán kết quả,
biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống
nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hóa,... Như vậy, qua việc giải bài
toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển.
I.4.3. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ bộ
môn khoa học nào là nhớ được kiến thức, hiểu được kiến thức và vận dụng các
12


kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức
là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong các tình
huống của quá trình dạy học môn toán.
Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức

gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm; bài
toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh họa cho khái
niệm; bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố, vận dụng khái niệm.
Trong dạy học định lý toán học: Bài toán có thể sử dụng để tổ chức gây
tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; Bài toán có
thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; việc tổ chức cho học
sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức hướng dẫn cho học sinh tìm ra lời
giải của một bài toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương
trình nào đó của môn học.
Trong luyện tập toán học: Người giáo viên phải xây dựng được một hệ
thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố
các kiến thức và hình thành một kỹ năng cơ bản nào đó.
I.4.4. Bồi dƣỡng phát triển nhân cách cho học sinh
Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích rất rõ rệt, vì vậy
việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động
của con người. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó, người giải
phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhẫn nại, nhiều khi người ta phải
có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó.
Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của
quá trình hình thành và phát triển nhân cách con người.

I.5. Những gợi ý khi giải bài toán chứng minh hình học
I.5.1. Những điều cần chuẩn bị trƣớc khi chứng minh một bài toán hình học
Để giải một bài toán chứng minh hình học ta cần phải làm những gì?
Nắm vững lí thuyết (thuộc định nghĩa, tiên đề, định lí...) chưa đủ để đảm bảo
cho ta giải được một bài toán chứng chứng minh hình học. Đó mới chỉ là điều
kiện cần nhưng chưa đủ cho việc giải một bài toán chứng minh hình học.
Chuẩn bị trƣớc khi chứng minh:

13

1- Đọc kĩ đề bài để hiểu hết ý của đề (gọi là nắm vững đề bài). Nên đọc
nhiều lần, có thể vừa đọc đề vừa vẽ hình sơ bộ ra vở nháp để hiểu rõ ý nghĩa của
các từ ngữ toán học dùng trong bài.
2- Phân tích sơ bộ giả thiết kết luận của bài, dựa vào đề bài vẽ hình chính
xác. Hình vẽ chính xác giúp ta quan sát tốt, gợi ý cho ta suy diễn đúng và tìm
được cách chứng minh dễ dàng. Vẽ hình tùy tiện, không chính xác lại là điều
thường xảy ra đối với những người mới học hình học. Vì vậy học hình học điều
cần thiết là phải rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Không được vẽ các hình ở dạng đặc
biệt. Ví dụ: Cho hai đường thẳng cắt nhau thì không được vẽ chúng vuông góc.
Cho một tam giác thì không được vẽ tam giác vuông, cân hoặc đều. Cho một
góc thì không được vẽ góc vuông,..
Đặt tên cho các yếu tố trong hình có liên quan đến bài giải, dùng kí hiệu
đánh dấu các yếu tố bằng nhau (cạnh, góc, ..).
3- Dựa vào đề bài và hình vẽ, dùng các kí hiệu toán học thay cho các ngôn
ngữ toán học thông thường để tóm tắt thành giả thiết kết luận bên cạnh hình vẽ
Sau khi đã làm xong ba bước trên bạn nhìn vào hình vẽ và giả thiết kết
luận đọc lại đề bài một lượt theo ngôn ngữ và cách diễn đạt của bạn rồi tìm cách
chứng minh.
Suy nghĩ để tìm phƣơng pháp chứng minh.
Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phương pháp
suy xét vấn đề, tìm hiểu và suy đoán từng bước một. Phương pháp chủ yếu để
tìm lời giải của một bài toán chứng minh hình học thường là phương pháp bắt
đầu từ kết luận. Ta thừa nhận kết luận đúng từ đó làm cơ sở suy xét. Giả sử Z là
kết luận. Ta thừa nhận Z. Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề Y đúng, vì từ Y suy
ra được Z. Nếu có Y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng vì từ X
suy ra được Y. Tiếp tục nếu có X thì lại có một mệnh đề X1 khác cũng đúng vì
từ X1 suy ra được X,...Cứ như vậy suy ngược cho đến cuối cùng ta được một
mệnh đề A chẳng hạn phù hợp với giả thiết, hoặc chính mệnh đề A là giả thiết

thì thôi.
Phương pháp trên gọi là phương pháp phân tích đi lên và ta có thể tóm tắt
như sau: Z  Y  X  X1  ... A
Đây là phương pháp bằng suy luận có lý ta đi ngược từ kết luận lên giả
thiết. Nó không phải là một phương pháp chứng minh. Vì xuất phát từ một mệnh
đề chưa biết đúng, sai bằng suy luận có lý ta suy ra được một mệnh đề đúng thì
14


chưa thể có kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đề xuất phát (Z). Do vậy sau
khi vận dụng phương pháp trên để tìm được cách chứng minh (gọi là tìm được
chìa khóa giải bài toán) ta phải trình bày lời giải theo thứ tự ngược lại gọi là
phương pháp tổng hợp sơ đồ như sau: A  ...  X1  X Y  Z.
Với A là giả thiết của bài ra, mệnh đề này luôn đúng. Bằng suy luận có lý
dựa vào các khái niệm cơ bản, các định lý và các tiên đề đã học ta khẳng định
được tính đúng đắn của Z
Phương pháp chứng minh như trên gọi là phương pháp chứng minh trực tiếp.
Những điều cần chú ý khi chứng minh một bài toán hình học
Chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ, chính
xác. Sau khi đã có phần chuẩn bị và suy nghĩ để tìm ra phương pháp chứng minh
như trên thì việc trình bày lời giải bài toán theo phương pháp tổng hợp như trên
là rất quan trọng. Một số điểm cần chú ý khi diễn đạt lời giải của bài toán chứng
minh hình học:
1. Mỗi một câu, một mệnh đề, một hệ thức nào đó được nêu ra trong bài
chứng minh của mình đều phải có lý do, có căn cứ xác đáng, không mơ hồ,
không qua loa. Vì vậy khi trình bày một bài chứng minh hình học mặc nhiên
hình thành hai phần: Phần bên trái là những mệnh đề, những hệ thức toán học
thường nên mở đầu bằng các từ „xét”, “ta có”, “nên”, “suy ra”, “rút ra”, “vậy”,
vv... Phần bên phải là những lí do: ghi những cơ sở, những căn cứ để có được
những mệnh đề, những hệ thức toán học đó.

2. Những lý do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh hình học là: Giả
thiết, những định nghĩa đã học, những tiên đề đã học, những định lý đã học,
cũng có khi là kết quả của câu chứng minh trước của bài. Những điều chưa học
hay trong phạm vi chương trình không dạy thì không được dùng làm căn cứ.
3. Khi chứng minh nếu phải vẽ thêm đường phụ thì bắt đầu vào bài phải
nói ngay vẽ đường phụ nào? Vẽ như thế nào và tên gọi của nó.
4. Gặp những phần chứng minh giống nhau trong bài thì không cần lặp lại
cả quá trình chứng minh mà chỉ ghi “chứng minh tương tự như trên ta cũng có”
rồi ghi kết quả chứng minh vào.
5. Dùng kí hiệu đánh dấu trên hình những yếu tố bằng nhau.
6. Lời lẽ diễn đạt cần phải ngắn gọn, không thiếu, không thừa. Trong
trường hợp có thể nên dùng kí hiệu, dùng hệ thức để diễn đạt thay cho lời nói để
bài chứng minh được rõ ràng, mạch lạc không dài dòng.
15


Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý như tính cẩn thận, tính chính
xác trong vẽ hình vv...
I.5.2. Cách vẽ đƣờng phụ và vai trò của đƣờng phụ trong chứng minh hình
học
Khi giải một bài toán chứng minh hình học, trừ một số bài dễ còn lại
phần lớn các bài đều phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Vậy vẽ
đường phụ như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì? Đó là điều người học cần
phải biết được với mỗi bài toán cụ thể. Không thể có một phương pháp c hung
nào cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học. Ngay với một
bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau tùy thuộc vào cách
giải bài toán.
Một số cách vẽ đường phụ hay dùng là.
1) Vẽ đƣờng phụ để tạo mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa
các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (BC // AD) có A > C . Chứng minh răng đường
chéo AC nhỏ hơn đường chéo BD.
Phân tích: Bình thường hai đường chéo AC và BD không có mối liên hệ nào
gúp ta so sánh. Nếu đưa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể
vận dụng mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh.
Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đường phụ. Có thể từ B hoặc C vẽ đường
thẳng song song với AC hoặc BD. Cũng có thể ở giữa A và D ta chọn một
điểm E sao cho BE=AC (hoặc sao cho CE = AB, tùy theo cách vẽ)

Hình 11

Như vậy ta đã làm xuất hiện BDE có BE = AC. Việc so sánh AC với BD
được chuyển thành so sánh BE với BD trong BDE. Để so sánh BE với BD
ta so sánh các góc đối diện với chúng trong BDE, lấy A > D làm trung
gian.
2)Vẽ đƣờng phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các
yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau.
16


Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Trên AB và BC lấy hai điểm E và F sao
cho AF = CE (E  AB, FBC). Kẻ DHAF và DK  CDE. Chứng minh
DH = DK.
Phân tích: Ta nhận thấy ngay việc chứng minh cho DH = DK thực chất là
việc chứng minh cho AFD và CED có diện tích bằng nhau, vì hai tam giác
này có hai cạnh đáy AF và CE bằng nhau. Nếu hai tam giác có cạnh đáy bằng
nhau và có đường cao thuộc hai cạnh đáy đó cũng bằng nhau thì diện tích
bằng nhau. Vì vậy nếu ta vẽ đường chéo AC và lấy ACD làm trung gian để
so sánh với diện tích CED và diện tích AFD ta thấy ngay
dt AFD = dt ACD ( vì có cùng đáy AD và cùng chiều cao hạ từ F và C

xuống AD)
dt CED = dt ACD ( vì có cùng đáy CD và cùng chiều cao hạ từ A và E
xuống CD)
1
1
Suy ra dt AFD = dt AED hay DH.AF  DK.CE mà AF = CE  DH =
2
2
DK .

Hình 12

3) Vẽ đƣờng phụ để tạo nên một hình mới biến đổi bài toán để bài toán
dễ chứng minh hơn.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB > AC. Vẽ hai đường cao BE và CD. Chứng
minh rằng: AB + CD > AC + BE.
Phân tích: Ở bài toán này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng bằng AB +
CD và một đoạn khác bằng AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng
minh. Nhưng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi kết luận bằng
cách chuyển vế AC và CD trong bất đẳng thức của kết luận ta có: AB – AC >
17


BE – CD. Như vậy đề toán có thể biến đổi thành một đề toán mới tương
đương. “Cho tam giác ABC có AB > AC, Chứng minh rằng hiệu của hai
cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu của hai đường cao tương ứng thuộc hai cạnh
đó”.
Biến đổi như vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đường phụ bằng cách đặt đoạn AB chồng
lên đoạn AC để xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC. Đó là CB‟ = AB‟ –
AC (hình vẽ).

Ta có tam giác cân ABB‟ (AB =
AB‟). Từ B‟ kẻ B‟H  AB và
CF  B‟H. Đến đây ta đã thấy việc
giải toán trở nên dễ dàng. Ta chỉ
cần chứng minh cho BE = B‟H và
CDHF là hình chữ nhật, sẽ suy ra
được B‟F = BE – CD. Cuối cùng
bài toán đưa về việc so sánh B‟F
với B‟C trong tam giác vuông
B‟FC.
4) Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng
nhau mà bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa những đại lượng cần chứng minh giúp
cho việc chứng minh được dẽ dàng.
5) Vẽ thêm đƣờng phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó.
Ví dụ: Cho tam giác ABC và một đường thẳng xy không cắt tam giác. Chứng
1
minh rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đường thẳng xy bằng
3
tổng khoảng cách từ ba đỉnh của tam giác tới đường thẳng đó.
Phân tích:  ABC có G là trọng tâm , kẻ AA‟, BB‟, CC‟ và GG‟ đều vuông góc
1
với xy. Ta phải chứng minh GG'= (AA'+BB'+CC')
3
Dựa vào tính chất đường trung tuyến của tam giác ta nghĩ ngay đến việc nối một
đỉnh nào đó của tam giác ABC với trọng tâm G thì đường thẳng nối 2 điểm đó
phải đi qua trung điểm của cạnh đối diện. Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua
trung điểm N của AC và lấy một điểm E là trung điểm của BG ta sẽ có
1
BE=EG=GN= BN (tính chất đường trung tuyến của tam giác).
3

18


Hình 14

Khai thác tính chất này và dựa vào định lý “Hai đường thẳng cùng vuông góc
với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau”, ta tiếp tục vẽ các đường EE‟ và
NN‟ vuông góc với xy tạo nên các hình thang AA‟CC‟; EE‟NN‟ và BB‟GG‟.
Vận dụng tính chất đường trung bình của hình thang để tính đường trung bình
của mỗi hình thang trên so với hai đáy của nó rồi biến đổi dần ta sẽ được kết quả
cần tìm.
Thông qua một số ví dụ đã nêu chúng ta hiểu được phần nào vai trò của đường
phụ trong chứng minh hình học. Có nắm được kiến thức chắc chắn, biết vận
dụng linh hoạt mới mới biết khai thác dữ kiện của bài toán.
Một số loại đường phụ thường vẽ như sau:
1. Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn
thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
2. Vẽ một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho
trước.
3. Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho
trước.
4. Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
5. Nối hai điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho
trước.
6. Dựng một góc bằng một góc cho trước.
7. Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn cho trước từ một điểm cho trước.
8. Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường
tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
19

ChƣơngII: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH
II.1.Phép biến hình:
Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một
điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong
mặt phẳng. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
II.2. Phép tịnh tiến
II.2.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P), cho trước một vectơ u . Phép biến hình biến mỗi điểm M
trong mặt phẳng thành điểm M’ sao cho MM'  u được gọi là phép tịnh tiến
theo vectơ u ; u được gọi là véc tơ tịnh tiến.
Kí hiệu: T u : M → M‟

M
‟

v

M

Hình 15

II.2.2. Các tính chất của phép tịnh tiến
a. Phép tịnh tiến:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của các
điểm đó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó;
- Biến tia thành tia song song hoặc trùng với nó;
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Biến góc thành góc có cùng số đo.
b. Phép tịnh tiến theo vectơ u biến điểm M thành điểm M’ là phép biến đổi
1-1 và có phép biến đổi ngược. Đó là phép tịnh tiến theo vectơ (- u ) biến điểm
M’ thành điểm M.
II.3. Phép quay trong mặt phẳng
II.3.1. Định nghĩa Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng, cho một
điểm O cố định và một góc  sai khác k2. Một phép biến hình biến điểm O
thành chính nó và biến mọi điểm M khác O trong mặt phẳng thành điểm M’ sao
cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
i. OM = OM‟
ii. Góc định hướng (OM, OM’) = 
20


Khi đó ta gọi nó là phép quay tâm O, góc quay  . Kí hiệu: QαO : M  M'

II.3.2. Các tính chất của phép quay trong mặt phẳng
a. Phép quay biến:
- Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng.
- Đường thẳng d thành đường thẳng d‟ và góc định hướng (d, d‟) =  nếu
<

π
hoặc
2

bằng  -  nếu  >

π

; tia Ox thành tia O‟x‟ và góc tạo bởi hai tia
2

đó bằng ; đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A‟B‟ mà AB = A‟B‟.
- Góc thành góc có cùng số đo.
- Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
b. Phép quay tâm O, góc quay  biến điểm M thành điểm M’ là phép biến
đổi 1-1 và có phép biến đổi ngƣợc. Đó là phép quay tâm O, góc quay (- )
biến M’ thành M.
II.4. Phép đối xứng trục trong mặt phẳng
II.4.1. Định nghĩa: Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M
thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M‟ sao cho d là
đường trung trực của đoạn thẳng MM‟ được gọi là phép đối xứng qua đường
thẳng d hay phép đối xứng trục d.
Đường thẳng d gọi là trục của đối xứng, kí hiệu là Đ d

21


II.4.2. Tính chất:
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường
tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
II.5. Phép đối xứng tâm trong mặt phẳng
II.5.1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng (P), cho điểm I. Phép biến hình biến
điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung
điểm của đoạn thẳng MM‟ được gọi là phép đối xứng tâm I.
Điểm I gọi là tâm đối xứng, kí hiệu là ĐI

II.5.2. Tính chất: Phép đối xứng tâm
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm
- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
22


II.6. Phép dời hình trong mặt phẳng.
II.6.1. Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm
II.6.2. Tính chất: Phép dời hình
- Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa
các điểm
- Biến đường thẳng thành đường thẳng.
- Biến tia thành tia,
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
- Biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
II.6.3 Định nghĩa hai hình bằng nhau: Hai hình (H) và (H‟) được gọi là
bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình (H) thành hình (H‟)
II.7. Phép vị tự trong mặt phẳng
II.7.1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k  0 . Phép biến
hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM = k.OM' được gọi là phép vị
tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu là V(O,k) : M  M' hoặc
VOk : M  N'

II.7.2. Tính chất:
- Nếu phép vị tự V(O,k) biến hai điểm M, N tùy ‎ theo thứ tự thành M‟, N‟
thì M‟N‟ = k.MN
- Phép vị tự tâm O tỉ số k:
+ Biến 3 điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa các điểm ấy.
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
+ Biến tia thành tia.
23


+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
+ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó.
+ Biến góc thành góc bằng nó.
+ Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.
II.8. Tích của hai phép biến hình.
II.8.1. Khái niệm: Nếu ta dùng phép biến hình f: P P để biến điểm M
bất kì của P thành một điểm M’ rồi lại dùng phép biến hình thứ hai g: P P để
biến M’ thành M”. Ta có M’ = f(M) và M” = g(M’). Khi đó phép biến hình h
biến M thành M” gọi là tích của hai phép biến hình f và g kí hiệu: h = gof
Ta có h(M)= gof (M)=M”.
II.8.2. Tính chất: Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
II.8.3. Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, và phép quay
Định lí 1: Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là d 1 và d2 song
song với nhau là một phép tịnh tiến theo một véc tơ v có phương vuông góc với
hai trục, có hướng từ d 1 đến d 2 và có độ dài bằng hai lần khoảng cách giữa hai
trục đó.
Định lí 2: Mọi phép tịnh tiến theo một véc tơ v đều có thể phân tích bằng nhiều
cách khác nhau thành tích của hai phép đối xứng trục với hai trục song song.

Định lí 3: Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là d 1 và d 2 cắt
nhau tại một điểm O là một phép quay tâm O và góc quay  = 2(d 1,d2)
Định lí 4: Mọi phép quay tâm O góc quay  với  ≠ 0 đều có thể phân tích bằng
nhiều cách khác nhau thành tích của hai phép đối xứng với hai trục cắt nhau tại O.
Định lí 5: Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc  là một phép quay
góc .
Định lí 6:Tích của hai phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một phép quay
với góc quay bằng tổng của hai góc quay đã cho, hay đặc biệt là một phép tịnh
tiến nếu hai phép quay đã cho, có các góc đối nhau.

24


Chƣơng III: VẬN DỤNG CÁC PHÉP TỊNH TIẾN, PHÉP ĐỐI XỨNG
TRỤC, PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM, PHÉP QUAY, PHÉP VỊ TỰ VÀO GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG SƠ CẤP
Bài toán 1. (phép tịnh tiến). Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O,R)
và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm tam giác
ABC nằm trên một đường tròn cố định.
Ta phân tích như sau: Để chứng minh trực tâm tam giác nằm trên một
đường tròn cố định có nhiều cách, chẳng hạn ta thường phải chứng minh khoảng
cách từ một trực tâm bất kì đến một điểm cố định một khoảng không đổi, hoặc
H là một đỉnh của một đa giác nội tiếp một đường tròn nhưng cách đó rất dài,
phức tạp, nếu như ta vận dụng các tính chất của phép biến hình biến đường tròn
thành đường tròn thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Muốn vậy ta phải chỉ ra
H là ảnh của một phép biến hình nào đó mà phép biến hình đó có tính chất biến
đường tròn thành đường tròn. Trong bài toán này có giả thiết A là điểm thay đổi
trên đường tròn, nếu ta tìm được một phép biến hình nào đó biến điểm A thành
điểm H thì bài toán sẽ đơn giản hơn.
Ta nhận thấy , nếu BC là đường kính thì trực tâm H của tam giác chính là

A. Vậy H nằm trên đường tròn cố định (O,R).
Nếu BC không phải là đường kính,
Cách 1: Vẽ đường kính BB‟ của đường tròn. Dễ thấy rằng nếu H là trực tâm của
tam giác ABC thì

AH = B'C (vì tứ giác AHCB‟ là hình bình hành). Như vậy

phép tịnh tiến theo véc tơ cố định B'C biến điểm A thành điểm H. Do đó, khi A
thay đổi trên (O,R) thì trực tâm H luôn nằm trên đường tròn cố định là ảnh của
đường tròn (O,R) cố định qua phép tịnh tiến nói trên. Vậy trực tâm tam giác
ABC nằm trên một đường tròn cố định.
H

A

A

B
‟

C
H
B

O

B

Hình 21a

Hình 21b

Cách 2: Gọi H‟ là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O).
25

O
C