Giải gần đúng phương trình vi phân thường (tóm tắt luận văn)

Lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo: TS Nguyễn Văn
Hùng- trưởng khoa toán đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành bản khóa luận này.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu, và hoàn thành luận văn em đã nhận
được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên khoa
toán. Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo, cùng các bạn sinh viên về sự giúp
đỡ đó.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn giải tích, khoa
toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá
trình học tập và làm luận văn.
Hà Nội, ngày 13 tháng 4 năm 2010
Người thực hiện:

Đinh Thị Thu

1


Lời nói đầu
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực
tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành hai lĩnh vực đó
là: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh vực toán học ứng dụng
thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi phân, việc
nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết
toán học.
Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thể tìm
được nghiệm chính xác. Trong khi dó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh
từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do vậy chúng ta
phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng. Xuất phát từ nhu cầu
đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp để giải gần đúng
phương trình vi phân thường

Là một sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có cơ hội nghiên cứu về
đề tài: “Giải gần đúng phương trình vi phân thường”. Dưới sự giúp đỡ tận tình,
sự chỉ bảo ân cần của thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng. Với sự say mê toán, sự tích
cực tìm tòi nghiên cứu của mình em đã hoàn thành được đề tài nghiên cứu này
Đề tài của em gồm 3 phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận
Nội dung gồm:
Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
Chương 2: Giải gần đúng phương trình vi phân thường
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo: TS
Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài này
Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo khoa toán, các thầy cô tổ bộ
môn giải tích, các bạn sinh viên khoa toán và tập thể các bạn sinh viên lớp k32 cử
nhân toán, đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá trình hoàn thành bản
khóa luận này

2


Do lần đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học và do thời gian có hạn nên
đề tài của em chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót. Em mong được sự thông
cản của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên.
Hà nội ngày 5 tháng 4 năm 2010

3


Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
1.1: Sai phân
1.1.1 Dãy số
1.1.2. Giới hạn của dãy số

1.1.3. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số:
1.1.4. Công thức Moarvơ
1.1.5. Sai phân
a. Khái niệm sai phân:
Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0
0
ta gọi ∆ f ( x ) = f ( x ) là sai phân cấp 1 của hàm số y = f ( x )

∆1 f ( x ) = f ( x + h ) − f ( x )
là sai phân cấp 1 của hàm số y = f ( x )
∆ 2 f ( x ) = ∆ ( ∆1 f ( x ) )

= ∆f ( x + h ) − ∆f ( x )

= f ( x + 2h ) − 2 f ( x + h ) + f ( x )
là sai phân cấp hai của hàm số y = f ( x )
Quy nạp:
∆ n f ( x ) = ∆ ( ∆ n−1 f ( x ) )

( ∀n ∈ N )
∗

là sai phân cấp n của hàm số y = f ( x )
1.1.6. Tính chất sai phân
a. Sai phân ∆ là toán tử tuyến tính xác định trên không gian X các hàm số
xác định trên R , nghĩa là với mọi α , β ∈ R , với mọi hàm số f , g thì:
∆ ( α f + β g ) = α∆f + β∆g
b. Nếu c = f thì ∆ c = 0
n
n

n
c. ∆ ( x ) = n!h

4


∆m ( xn ) = 0

( ∀m>n )

d. Nếu p ( x ) là đa thức bậc n thì:
hi i
∆p ( x ) = p ( x + h ) − p ( x ) = ∑ p ( x )
i =1 i !
n

n

i
i
e. f ( x + nh ) = ∑ C n ∆ f ( x )
i =0

f. mọi sai phân đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số
n

∆ n f ( x ) = ∑ ( −1) C i n f ( x + ( n − i ) h )
i

i =0

n
g. Giả sử f ( x ) ∈ C [ a, b ] và ( x, x + nh ) ∈ [ a, b ] , khi đó:

∆f ( x )
= f n ( x + θ nh ) với θ ∈ ( 0,1)
h
Hệ quả:
n
Nếu f ( x ) ∈ C [ a, b ] khi h đủ nhỏ ta có f n ( x ) =

∆n f ( x )
hn

Sai phân cấp i của đa thức bậc n là:
Hằng số, khi i = n ( theo tính chất b )
Đa thức bậc n − i khi iBằng 0 khi i > n ( theo tính chất c )

1.2: Số gần đúng và sai số
1.2.1. Sai số
1.2.1.1. Trong tính toán ta thường làm việc với các giá trị gần đúng của các đại
lượng.
Ta nói a là số gần đúng của số a∗ . Đại lượng ∆ = a∗ − a được gọi là sai số
thực sự của a
Do đó a∗ ta không biết nên ∆ cũng không biết nhưng ta có thể tìm được
∆ a ≥ 0 sao cho: a ∗ − a ≤ ∆ a

( 2.1)

Số ∆ a nhỏ nhất thỏa mãn (2.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a .
5


Tỉ số δ a =

∆a
được gọi là sai số tương đối của a .
a

1.2.1.2. Số thu gọn
1.2.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc.
1.2.2. Sai số tính toán
1.2.2.1. Sai số của một tổng
1.2.2.2. Sai số của một tích
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số hạng
thành phần
1.2.2.3. Sai số của một thương
1.2.2.4. Sai số trong phép tính logarit:
y = ln x Suy ra ∆ y = δ x
1.2.3. Bài toán ngược của bài toán sai số.

1.3: Một số kiến thức về phương trình vi phân thường
1.3.1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát:
F ( x, y, y ', y '',..., y n ) = 0

(1.3.1.1)

Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm

1.3.2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải
a. Phương trình vi phân có biến số phân li
b. Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
d. Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1
e. Phương trình Bernoulli
Dạng tổng quát:
dy
+ P ( x ) y = Q ( x ) yα
dx

(1.3.1.4)

α = 1: (1.3.1.4) trở thành phương trình tuyến tính cấp 1

6


α = 0 : (1.3.1.4) trở thành phương trinh phi tuyến tính không thuần nhất
cấp 1

α ≠ 0; α ≠ 1 , ta chia 2 vế của phương trình (1.3.1.4) cho yα sau đó đặt
z = y1−α và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất.
1.3.3. Định lý Pica-Lindolov (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f ( x, y ) xác định và liên tục trong miền G:
G = { ( x, y ) ; x − x0 ≤ a; y − y0 ≤ b}
Đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y . Khi đó tồn tại một dãy
nghiệm gần đúng của phương trình

dy

= f ( x, y ) trên đoạn [ x0 − h, x0 + h ] và dãy
dx

nghiệm này là các hàm liên tục hội tụ đều đến nghiệm duy nhất của phương trình
 b 
đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu y ( x0 ) = y0 ; h = min  a; ÷
 M
M = max f ( x, y ) ;

( x, y ) ∈ G

7


Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương
trình vi phân thường
2.1: Một số phương pháp giải tích
2.1.1. Định nghĩa hàm số Lipsit:
Hàm số f ( x, y ) được gọi là Lipsit theo biến y trên miền G nếu ∃ k > 0 sao
cho: f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ k y2 − y1 ; ∀ ( x, y j ) ∈ G; j = 1,2.
Tính chất:
i. Nếu f ( x, y ) là Lipsit đối với biến y trong miền G thì liên tục đều theo
biến y , đối với mỗi x sao cho ( x, y ) ∈ G
ii. Nếu f ( x, y ) là hàm liên tục theo x thỏa mãn điều kiện Lipsit đối với biến
y trong miền G thì f ( x, y ) là liên tục trong miền G
2.1.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
2.1.3. Phương pháp chuỗi số nguyên

2.2: Phương pháp Euler và Euler cải tiến
2.2.1. Phương pháp Euler

2.2.2. Phương pháp Euler cải tiến:
 y ∗i +1 = yi + hf ( xi , yi )

h

∗
Công thức:  yi +1 = yi +  f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , y i+1 ) 
2

i = 0,..., n − 1


(2.2.2.3)

Phương pháp (2.2.2.3) gọi là phương pháp Euler cải tiến (hay Euler
-Cauchay)

2.3: Phương pháp Runge Kuta

8


Phương pháp Runge lần đầu tiên được Runge đề ra, sau đó được Kuta và
Hayner cùng các nhà toán học khác hoàn chỉnh
 y ' = f ( x, y )
Xét bài toán cosi: 
 y ( x0 ) = y0

( 3.3.1)
( 3.3.2 )

Xuất phát từ giá ban đầu y0 tìm giá trị gần đúng y1 tại điểm x0 + h = x1 theo
công thức:
y1 = y0 + ∆y0 = y0 + h  r1 , f ( ξ1 ,η1 ) + ... + rm f ( ξ m ,η m ) 

( 3.3.3)

Trong đó:

ξi = x0 + ai h; ηi = y0 + βi1k1 ( h ) + βi 2 k2 ( h ) + ... + βii ki ( h )

( 3.3.4 )

α i , βi j , ri là những hằng số, α1 = 0; ki ( h ) = hf ( ξi ,η j ) ;

( 3.3.5)

Các hằng số α i , β i j , ri được chọn sao cho khai triển Taylor của nghiệm:
h2
h n+1
n +1
y ( x1 ) = y ( x0 + h ) = y0 + h. y '0 + . y ''0 + ... +
. y0( ) + ... và biểu thức
2
( n + 1) !
(3.3.3) trùng nhau tới một số hạng càng nhiều càng tốt với hàm f và bước h tùy ý.
Điều đó có nghĩa là phải chọn α i , β i j , ri sao cho hàm:
m

ϕm ( h ) = y ( x0 + h ) − y0 ∑ ri ki

i =1

( 3.3.6 )

Thỏa mãn biểu thức sau đây:

ϕm ( ∞ ) = ϕ m ( 0 ) = ... = ϕm ( s ) ( 0 ) = 0 ; ϕm( s +1) ( 0 ) ≠ 0
Với s càng cao càng tốt. Như vậy sai số mắc phải trong mỗi bước sẽ là:
Rm ( h ) =

h(

ϕm ( s+1) .( ξ )
; 0<ξ < h
( s + 1) !

s +1)

( 3.3.7 )

Điều kiện ϕm ( 0 ) = 0 luôn được thỏa mãn. Bây giờ ta xét các điều kiện còn
lại: ϕm (

1)

( 0 ) = 0 từ (3.3.6) ta có:
m

y ( ) = y0( ) = ∑ ri k (
l

l

i =1

l)

i

( 0)

; l = 1,2,..., s

Từ (3.3.1) (3.3.2) ta có:
9

( 3.3.8)


y '0 = f ( x0 , y0 ) = f 0
y ''0 =

∂f 0
∂f
+ f0 0
∂x
∂y

2
 ∂f

∂ 2 f0
∂ 2 f0
∂f  ∂f
2 ∂ f0
y '''0 = 2 + 2 f 0 .
+ f0 . 2 +  0 + f0 0  . 0
∂x
∂x.∂y
∂y
∂y  ∂y
 ∂x

….
Mặt khác từ (3.3.5) suy ra:
 ∂
∂
h
k 'i ( h ) = f ( ξi ,ηi ) + h α i . + η 'i ( ) .  . f ( ξi ,ηi )
∂y 
 fx
k 'i ( 0 ) = f ( xo , y0 ) = f 0
2

 ∂
 ∂
∂
∂
ki '' ( h ) = 2 α i . + ηi ' ( h ) .  . f ( ξi ,ηi ) + h α i . + ηi ' ( h ) .  . f ( ξi ,ηi )
∂y 
∂y 

 ∂x
 ∂x
+ h.ηi ''.

∂f ( ξi ,ηi )
∂y

2

2
2
 ∂
∂
∂2
2 ∂
2 ∂
+ ( ηi ' ) . 2
Trong đó: α i . + ηi ' ( h ) .  = α i . 2 + 2α iηi '.
∂y 
∂x
∂x.∂y
∂y
 ∂x

Để đơn giản cách viết ta có thể dùng kí hiệu toán tử:
D=

∂
∂
+ f.

∂x
∂y

2
∂2
∂2
2 ∂
D = 2 +2f.
+ f . 2
∂x
∂x.∂y
∂y
2

3
∂3
∂3
∂3
2
3 ∂
D = 3 +3f. 2 +3f .
+ f . 3
∂x
∂x ∂y
∂x.∂y 2
∂y
3

….
∂m

D = ∑ Cm . f . m − k k
∂x ∂y
k =0
m

m

k

k

Dễ dàng thử lại các tính chất sau:
D ( u + v ) = Du + Dv

10


D ( uv ) = vDu + uDv
D ( Du ) = D 2u +

∂u
.Du
∂y

Ta có: y ' = f
y '' = D f
y ''' = D ( D f ) = D 2 f +

∂f
.Df

∂y

( 3.3.9 )

Với giá trị m cố định ta được hệ phương trình để xác định các hằng số

α i , βi j , ri

2.4: Phương pháp sai phân giải bài toán biên
2.4.1.Định nghĩa
Giả sử f ( x ) , f i ( x ) liên tục trên [ a; b ] và f n ≠ 0 .Lập phương trình vi phân
n

(
tuyến tính L ( y ) = ∑ f i ( x ) . y

( x) = f ( x)

i)

i =0

( 2.4.1.1)

( )
( )
Chọn các hằng số : α µ ; β µ sao cho ma trận
v

v

 α1( 0) ...α1( n−1) β1( 0 ) ...β1( m−1) 

÷
 .............
÷
 ( 0)
( n −1) ( 0 )
( n −1) ÷
 α m ...α m β m ...β m 

( 2.4.1.2 )

Có hạng là m,ta lập tổ hợp tuyến tính sau :
n −1

v
v
v
v
Vµ ( y ) = ∑ α µ( ) . y ( ) ( a ) + β µ( ) . y ( ) ( b ) ;
v =1

( µ = 1, m )

( 2.4.1.3)

Ma trận (2.4.1.2) có hạng m nên các tổ hợp (2.4.1.3) là độc lập tuyến tính.

(

Các đẳng thức: Vµ ( y ) = g µ ; µ = 1, m

)

( 2.4.1.4 )

Trong đó g µ là các số được gọi là những điều kiện biên của phương trình
(2.4.1.1) cùng với các điều kiện (2.4.1.4) lập thành bài toán biên

(

)

Bài toán biên được gọi là thuần nhất nếu g µ = 0; µ = 1, m và f ( x ) = 0 .
11


Trong trường khác ta gọi là không thuần nhất, đôi khi cũng có thể gọi là bán
thuần nhất nếu g µ = 0 nhưng f ≠ 0 ta thấy rằng ϕ ( x ) = 0 dĩ nhiên thỏa mãn bài
toán biên thuần nhất. Nghiệm đó gọi là nghiệm tầm thường, ta chỉ chú ý đến
nghiệm không tầm thường. Dĩ nhiên nếu ϕ1 ,...,ϕ k là những nghiệm của bài toán
biên thuần nhất thì một tổ hợp tùy ý của chúng c1ϕ1 + ... + ckϕk cũng là nghiệm của
bài toán đó.
2.4.2. Điều kiện giải được của bài toán biên:
Có những bài toán biên không có một nghiệm nào cả:
 y" = 0

 y ( a ) − y '( b ) = 1


 y ( a ) + y '( b ) = 0
Giả sử biết một nghiệm riêng ϕ0 của phương trình (2.4.1.1) và hệ nghiệm cơ
bản ϕ1 ,...,ϕ n của phương trình thuần nhất tương ứng, lúc đó bài toán biên (2.4.1.1);
(2.4.1.3); (2.4.1.4) giải được khi và chỉ khi chọn được các hệ số ci trong biểu thức:

ϕ = ϕ0 + c1ϕ1 + c2ϕ2 + ... + cnϕn ; sao cho điều kiện (2.4.1.4) được thỏa mãn. Vì vậy
điều kiện cần và đủ để bài toán biên giải được ma trận:
 V1 ( ϕ1 ) ...V1 ( ϕn ) V1 ( ϕ0 ) − g1 

÷
v
ϕ
...
V
ϕ
V
ϕ
−
g
(
)
(
)
(
)
 2 2
2
n
2
0

2 ÷
 .......
÷

÷
 V ( ϕ ) ...V ( ϕ ) V ( ϕ ) − g ÷
m
n
m
0
m
 m 1
Có cùng hạng với ma trận:
 V1 ( ϕ1 ) ...V1 ( ϕn ) 

÷
 V2 ( ϕ1 ) ...V2 ( ϕn ) ÷
 .....
÷

÷
 V ( ϕ ) ...V ( ϕ ) ÷
m
n 
 m 1

( 2.4.2.1)

Nếu ma trận (2.4.2.1) có hạng r thì bài toán biên thuần nhất giải được và có

( n − r)

bậc tự do, vì vậy nó có nghiệm không tầm thường với m < n . Trong trường
12


hợp m = n bài toán biên thuần nhất chỉ có nghiệm không tầm thường khi định thức
của ma trận (2.4.2.1) bằng không. Như vậy trong trường hợp m = n hoặc bài toán
biên không thuần nhất có duy nhất một nghiệm hoặc bài toán biên thuần nhất tương
ứng có ít nhất một nghiệm không tầm thường.
2.4.3. Đưa bài toán biên về bài toán Cauchy
Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2: L ( y ) = f ( x )
Với điều kiện ban đầu: y ( a ) = ya ; y ( b ) = yb

(2.4.3.1)

Ta có thể thay việc giải bài toán biên (2.4.3.1) bằng việc giải 2 bài toán
Cauchy sau đây:
L ( y1 ) = f ( x ) ; y1 ( a ) = ya ; y1 ' ( a ) = 0
L ( y2 ) = f ( x ) ; y2 ( a ) = 0; y2 ' ( a ) = 0

(2.4.3.2)

Sau đó tìm nghiệm dưới dạng:
y ( x ) = y1 ( x ) +

yb − y1 ( b )
. y2 ( x )
y2 ( b )

(2.4.3.3)

Dễ dàng thử lại rằng y ( x ) được xác định bằng công thức (2.4.3.3) thỏa mãn
bài toán biên (2.4.3.1)
Vậy ta có thể áp dụng các phương pháp giải bài toán Cauchy vào việc tìm
nghiệm gần đúng của bài toán biên
2.4.4. Phương pháp sai phân
Giả sử cần tìm nghiệm gần đúng của bài toán biên (2.4.1.1)- (2.4.1.4) ta làm
như sau:
Chia đoạn [ a, b ] thành n phần bằng nhau:
xi = a + ih;
h=

( i = 1, n − 1)

b−a
; x0 = a; xn = b
n

(2.4.4.1)

Kí hiệu các giá trị đúng của nghiệm tại xi là y ( xi ) và các giá trị gần đúng là
yi từ (2.4.1.1) và (2.4.1.4) được một hệ thống ( n + 1) phương trình đại số tuyến

13


tính để xác định các giá trị yi . Thông thường có thể dùng các công thức để tính gần
đúng đạo hàm sau đây:
y ' ( xi ) ≈

y ( xi +1 ) − y ( xi )
h

≈

yi +1 − yi
h

(2.4.4.2)

y ' ( xi ) ≈

yi +1 − yi −1
2h

(2.4.4.3)

y "( xi ) ≈

yi +1 − 2 yi + yi −1
h2

(2.4.4.4)

Chẳng hạn xét phương trình sau đây:

( k ( x ) . y ') '− q ( x ) . y = r ( x ) ; ( q ( x ) ≥ 0 ) ;

(2.4.4.5)

Với các điều kiện biên: y ( a ) = α ; y ( b ) = α

(2.4.4.6)

Giả thiết rằng các hàm k ( x ) , q ( x ) , r ( x ) hai lần khả vi. Để sai phân hóa bài
toán biên (2.4.4.5); (2.4.4.6)ta dùng các công thức dạng (2.4.4.2); (2.4.4.4).
Sau khi sai phân hóa ta được hệ thống phương trình:
ki
ki +1 − ki
y
−
2
y
+
y
+
(
)
( yi +1 − yi ) − qi yi = ri
i
+
1
i
i
−
1
h2
h2
Và y0 = α ; yn = β

Chú ý: k ' ( xi ) ≈ ki ≈

(2.4.4.7)

(2.4.4.8)
ki +1 − ki
h

Trong trường hợp đặc biệt khi k ( x ) = 1 ta có:
yi +1 − 2 yi + yi−1
− qi yi = ri ; i = 1, n − 1
h2

(

)

(2.4.4.9)

y0 = α ; yn = β
 y ' ( a ) − k1 . y ( a ) = α
Nên điều kiện biên là: 
 y ' ( b ) − k2 . y ( b ) = β

(2.4.4.10)

Thì ta phải thay y0 = α ; yn = β bởi các đẳng thức sau:

14

− y2 + 4 y1 − 3 y0
− k1. y0 = α
2h
3 yn − 4 yn−1 + yn−2
− k 2 . yn = β
2h

(2.4.4.11)

Kết luận
Giải gần đúng phương trình vi phân thường có rất nhiều cách. Nhưng do điều
kiện thời gian, trình độ, và năng lực bản thân em có hạn nên trong khóa luận này
em chỉ nêu ra một số phương pháp thường dùng.
Qua quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận em đã rút ra nhiều điều bổ
ích trong việc nghiên cứu khoa học.
Vấn đề nghiên cứu còn rất nhiều điều lý thú và bổ ích. Tuy nhiên do lần đầu
tiên tiến hành nghiên cứu khoa học, do thời gian, kinh nghiệm có hạn nên khóa
luận tốt nghiệp này của em còn nhiều điều cần bổ sung. Em kính mong nhận được
sự góp ý của thầy cô, cũng như các bạn sinh viên khoa toán.
Để hoàn thành bản khóa luận này em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của
thầy, cô giáo trong khoa toán, thầy (cô) giáo trong tổ bộ môn giải tích cùng các bạn
sinh viên lớp k32 cử nhân-toán.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo: Tiến Sĩ
Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn cho em hoàn thành khóa luận một cách
tốt nhất.
Em xin chân thành cảm ơn.

15

Tài liệu tham khảo
1. Phạm Kỳ Anh - Giải tích số
NXBĐHQGHN 2000
2. Nguyễn Minh Chương (chủ biên),Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn
Ninh,Nguyễn Văn Tuấn,Nguyễn Tường - Giải tích số
NXBGD 2009
3. Tạ Văn Đĩnh - Phương pháp tính
NXBKH và KT 1996
4. Hoàng Hữu Đường -Phương trình vi phân tập 2
NXBGD 1979
5. Nguyễn Mạnh Hùng - Giáo trình đạo hàm riêng
NXBGD 2002

16