tính chất hạt của sóng và tính chất sóng của hạt

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
----------  ----------

PHAN THỊ OANH

TÍNH CHẤT HẠT CỦA SÓNG VÀ TÍNH CHẤT SÓNG
CỦA HẠT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS : NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI ,2014


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận này em đã nhận được nhiều sự
quan tâm giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân thành
cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý – trường Đại học sư phạm Hà Nội
2 các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học và qua đó đã giúp em hoàn
thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Nguyễn Thị
Hà Loan người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận này. Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa
luận vẫn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý nhận
xét của các thầy cô và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội ngày tháng năm

Sinh viên
Phan Thị Oanh

1


LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu, được sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của
PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan em đã hoàn thành khóa luận đúng thời hạn. Đề
tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó. Em xin cam đoan đây là
những kết quả nghiên cứu của mình không trùng với kết quả của các tác giả
khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội ngày tháng năm
Sinh viên
Phan Thị Oanh

2


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thế kỷ XX là thế kỷ của vật lý học hiện đại, với khuynh hướng thâm
nhập cấu trúc vi mô của vật chất. Người ta thấy rằng các quy luật xảy ra trong
thế giới vi mô mâu thuẫn trầm trọng với các định luật đã biết trong vật lý học
cổ điển. Chẳng hạn vấn đề chuyển động của điện tử quanh hạt nhân. Sự thay
đổi khối lượng của hạt khi chuyển động với vận tốc cao, tính hữu hạn của vận
tốc truyền ánh sáng… Để giải thích các hiện tượng trên đây lý thuyết tương
đối của Einstein và cơ học lượng tử ra đời. Hai lý thuyết này là nền tảng của
vật lý học hiện đại. Lúc đầu cơ học lượng tử chỉ là cơ học lượng tử phi tương
đối. Do đó cần có sự kết hợp cơ học lượng tử với lý thuyết tương đối hẹp để

có cơ học lượng tử tương đối tính.
Tuy nhiên cơ học lượng tử chưa phải là bước phát triển cuối cùng của lý
thuyết lượng tử. Ta nhớ rằng hạt và trường là hai khái niệm cơ bản nhất trong
lý thuyết về cấu trúc vật chất. Trong cơ học lượng tử người ta chỉ mới xây
dựng lý thuyết lượng tử đối với hạt, trường vẫn được xét dựa trên lý thuyết cổ
điển.
Một số hiện tượng sau đây cơ học lượng tử vẫn chưa giải thích được thỏa
đáng như:
- Hiện tượng chuyển hóa lẫn nhau giữa các hạt cơ bản, hạt có thể sinh
ra và mất đi. Cơ học lượng tử chỉ nghiên cứu chuyển động của những hạt có
sẵn và tồn tại mãi mãi trong quá trình nghiên cứu. Theo quan điểm sóng xác
xuất của cơ học lượng tử thì số hạt phải được bảo toàn. Hiện tượng trên đã
mâu thuẫn với quan điểm này.

3


- Hiện tượng bức xạ nhiệt, hiện tượng quang điện cho thấy rằng trường
tồn tại dưới dạng các lượng tử. Trường không phải là một môi trường liên tục
nữa.
- Trong cơ học lượng tử chỉ mới chú ý đến tính chất sóng của hạt chứ
chưa giải quyết được tính hạt của sóng. Ngoài ra vật lý học còn đòi hỏi rằng
nguyên lý đó phải phổ biến cho các trường vật chất chứ không phải chỉ có giá
trị đối với trường điện từ chịu trách nhiệm tương tác điện từ.
Vì vậy tất yếu phải ra đời lý thuyết trường điện tử. Đó là lý thuyết về tính chất
của các hạt cơ bản và các lực tương tác giữa chúng. Một trong những đặc
điểm của lý thuyết trường lượng tử là: “Tính chất hạt và sóng không còn phân
biệt nữa. Trường đưa vào để mô tả hạt. Nó không còn là một trường biến
thiên nữa mà là toán tử. Sóng bây giờ đã được lượng tử hóa (sự lượng tử hóa
lần thứ hai)”.

Với những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài :“Tính chất hạt của sóng
và tính chất sóng của hạt”. Tôi hy vọng thông qua đề tài này, bạn đọc sẽ có
nhiều kiến thức cho riêng mình. Do kiến thức còn hạn chế nên còn nhiều sai
sót, vì vậy tôi rất mong sự thông cảm và góp ý từ phía bạn đọc.
2.
3.

Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất hạt của sóng ánh sáng.
Nghiên cứu tính chất sóng của hạt vi mô.
Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất hạt của sóng và tính chất sóng của hạt.
4. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất hạt của sóng và tính chất sóng của hạt.

5.
-

Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp vật lý lý thuyết.
Sử dụng phương pháp toán tử.
Sử dụng phương pháp các giao hoán tử.

4


5


NỘI DUNG

Chương 1 Những khái niệm cơ bản
1.1. Tính chất sóng của hạt vi mô
1.2. Nguyên lý bất định Heisenberg
1.3. Các tiên đề của cơ học lượng tử
1.4. Ý nghĩa xác xuất
Chương 2 Tính chất hạt của sóng ánh sáng
2.1 Tính chất hạt của sóng ánh sáng
2.2 Đại lượng vật lý trở thành toán tử
Chương 3 Tính chất sóng của hạt vi mô
3.1 Ngiên cứu tính chất sóng của hạt vi mô
3.2 Các đại lượng động lực của hạt vi mô

Chương 1 Những khái niệm cơ bản
1.1 Tính chất sóng hạt của hạt vi mô

6


Khi người ta cố gắng áp dụng cơ học cổ điển vào điện động lực học cổ
điển để giải thích các hiện tượng nguyên tử thì dẫn tới những kết quả mâu
thuẫn rất sâu sắc với thực nghiệm. Một trong những mâu thuẫn rất rõ ràng
nhất xuất hiện xuất hiện khi áp dụng điện động lực học thông thường vào mẫu
nguyên tử cho rằng các electron chuyển động quanh hạt nhân theo quỹ đạo cổ
điển. Chuyển động này cũng như các chuyển động có gia tốc của các hạt tĩnh
điện, electron phải không ngừng bức xạ sóng điện từ. Khi bức xạ, electron sẽ
mất dần năng lượng của nó và cuối cùng rơi vào hạt nhân. Như vậy electron
phải không bền. Điều đó không phù hợp với thực tế.
Điều mâu thuẫn sâu sắc như thế giữa lý thuyết và thực nghiệm chứng tỏ
rằng việc xây dựng một lý thuyết có thể áp dụng được trong những hiện tượng
nguyên tử - những hiện tượng này xảy ra đối với các hạt có khối lượng rất

nhỏ trong những không gian rất nhỏ. Điều này đòi hỏi phải thay đổi tận gốc
những quan niệm và các định luật cổ điển cơ bản.
Chúng ta sẽ nghiên cứu lưỡng tính sóng - hạt của ánh sáng, thuật ngữ
ánh sáng cho toàn bộ phổ sóng điện từ với các hiện tượng: Sự phản xạ, sự
khúc xạ, phân cực, giao thoa và nhiễu xạ… Chúng ta đã chứng minh được
rằng ánh sáng có tính chất sóng.
Bây giờ ta sẽ đưa ra giả thuyết hoàn toàn mới về ánh sáng và chúng ta
chỉ có thể giải thích được các hiện tượng khi đưa ra thuyết này, cụ thể là
ngoài tính chất sóng thì ánh sáng còn có tính chất hạt, mỗi hạt có năng lượng
và xung lượng xác định. Vậy ánh sáng có tính chất gì? Sóng hay hạt. Câu trả
lời là ánh sáng có lưỡng tính sóng - hạt. Ánh sáng được tạo bởi các phần năng
lượng tập chung được gọi là photon. Einstein đã đưa ra giả thuyết rằng mỗi
photon có năng lượng E và xung lượng p với: Ε = hυ và p =
h là hằng số planck có giá trị 6,625.10-34 J.s.

7

h
λ


Mặc dù nhỏ nhưng hằng số này không bằng 0. Đặc điểm này có tính
chất quyết định của vật lý lượng tử hiện đại. Nếu chúng ta muốn mô tả một
hạt chuyển động như một sóng thì chúng ta phải trả lời câu hỏi: bước sóng
của ánh sáng là bao nhiêu?
Do thừa nhận ánh sáng có lưỡng tính sóng - hạt nên đứng trên quan
điểm hạt chúng ta có thể nói rằng hạt ánh sáng có tính chất sóng. Xuất phát từ
quan điểm cho rằng ánh sáng cũng là vật chất nói chung, năm 1924
De Broglie đặt vấn đề: hạt ánh sáng có tính chất sóng thì liệu các hạt vật chất
khác có tính chất sóng không? Từ đó ông đưa ra giả thuyết mang tên ông.

Giả thuyết De Broglie: hạt tự do có năng lượng E và xung lượng p sẽ
tương ứng với một sóng phẳng lan truyền trong không gian có tần số ω và
r

r

vectơ sóng k ; ω và k thỏa mãn hệ thức sau:
ε = hω
ur
r
p = hk

Với h =

h
trong đó h là hằng số planck, hằng số này chung cho mọi
2π

loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý.
Áp dụng cho cả ánh sáng lẫn vật chất, trong đó p là xung lượng của
photon có bước sóng cho trước. Sóng được đề cập trong giả thuyết này gọi là
sóng De Broglie.
Hệ thức mà Einstein đưa ra có thể gắn bước sóng cho hạt vi mô có
xung lượng p cho trước và λ gọi là bước sóng ánh sáng, h là hằng số planck.
Bây giờ chúng ta thử tìm xem phương trình của hàm sóng De Broglie
có dạng như thế nào? Để cho đơn giản ta chỉ xét các hạt phi tương đối, trong
cơ học cổ điển, năng lượng E và xung lượng p của một hạt tự do khối lượng
m liên hệ với nhau qua hệ thức Ε =

p2

2m

8


r
r
V
Còn nếu hạt chuyển động trong một trường thế với thế năng
thì:

( )

r
p2
Ε=
+V r
2m

( )

Đầu tiên ta nghiên cứu sóng De Broglie của hạt tự do. Đó là một sóng
r pr
Ε
phẳng đơn sắc với tần số góc ω = và vectơ sóng k =
h
h


Hàm sóng tương ứng có dạng Ψ p ( r , t ) = C exp  − ( Εt − rp ) ÷

i
 h

r

rr



Trong đó hằng số C được xác định bởi điều kiện chuẩn hóa hàm sóng.
Trong cơ học lượng tử cũng đã chứng minh rằng: đối với hạt vi mô
chuyển động trong một trường lực thế, hàm sóng của nó có dạng:
r
r
 i 
Ψ p ( r , t ) = exp  − Εt ÷Ψ ( r )
 h 
r
Ψ ( r ) là phần phụ thuộc tọa độ không gian của hàm sóng được xác định

bởi phương trình Schrodinger
r
 i rr 
Ψ ( r ) = Ψ 0 exp  pr ÷
h 

Từ những lập luận trên ta đi đến thừa nhận lưỡng tính sóng - hạt của hạt
vi mô.
1.2 Nguyên lý bất định Heisenberg
Xét một hệ ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng Ψ ( x ) hai biến số động

lực L và M biểu diễn hai toán tử Lˆ và Mˆ . Hai toán tử này không giao hoán
thì không thể đo được một cách chính xác đồng thời L và M.
Giả sử Lˆ và Mˆ là hai toán tử Hermite tương ứng với hai đại lượng vật
lý L và M thì:

( Pˆ ≠ 0 )

ˆ ˆ − ML
ˆ ˆ = iPˆ
LM

trong đó Pˆ là một toán tử Hermite.

9

( 1.2.1)


Trong trạng thái Ψ tùy ý, các đại lượng vật lý tương ứng với các toán
tử Lˆ và Mˆ có các giá trị trung bình: L = ( Ψ , Lˆ Ψ ) ; M = ( Ψ, Mˆ Ψ ) ta đưa vào các
toán tử Hermite:

( 1.2.2 )

∆Lˆ = Lˆ − L ; ∆Mˆ = Mˆ − M

thay ( 1.2.2 ) vào ( 1.2.1) ta thấy rằng các toán tử ( 1.2.2 ) thỏa mãn cùng một hệ
thức giao hoán ( 1.2.1) . ∆Lˆ ∆Mˆ − ∆Mˆ ∆Lˆ = iPˆ

( 1.2.3)

Xét tích phân bổ trợ phụ thuộc vào thông số thực tùy ý α :
2

I ( α ) = ∫ (α∆Lˆ − i∆Mˆ )Ψ dx

( 1.2.4 )

∀α

Dùng tính Hermite của ∆Lˆ và ∆ Mˆ ta biến đổi ( 1.2.4 ) về dạng:
I ( α ) = α 2 ∆L2 + α C + ∆M 2
đó là một tam thức bậc hai đối với α . I ( α ) ≥ 0; ∀α trong trường hợp biệt thức
của tam thức bậc hai của α luôn âm:
P 2 − 4∆L2 .∆M 2 ≤ 0 hay

∆L2 .∆M 2 ≥

P
2

( 1.2.5)

Hệ thức ( 1.2.5) gọi là hệ thức bất định cho các đại lượng vật lý L và M
nó liên hệ các độ lệch trung bình bình phương so với giá trị trung bình của các


2
đại lượng vật lý. Nếu đại lượng L xác định  ∆L = 0 ÷ thì ∆M 2 không xác




định và ngược lại, hoặc cả hai đại lượng đều không xác định.
h
Trường hợp Lˆ = x, Mˆ = pˆ x thì ( 1.2.5) viết lại ∆x 2 .∆px2 ≥
2

( 1.2.6 )

Hệ thức này được gọi là hệ thức bất định Heisenberg. Nếu trong một
trạng thái nào đó lượng px có giá trị xác định thì tọa độ x của trạng thái đó
hoàn toàn bất định, ngược lại tọa độ xác định thì xung lượng bất định…

10


1.3 Các tiên đề của cơ học lượng tử
Trong cơ học lượng tử hạt không được hình dung như là một chất điểm
chuyển động theo một quỹ đạo xác định mà nó được hình dung như là một bó
sóng định xứ trong một miền không gian tại một thời điểm và bó sóng thay
đổi theo thời gian. Tại một thời điểm ta chỉ nói về xác suất tìm thấy hạt trong
một phần tử thể tích của không gian, hay nói khác đi là xác suất để tọa độ của
hạt nằm trong khoảng nào đó. Nói chung về các biến số động lực khác cũng
vậy, ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằm trong
khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại
một thời điểm như trong cơ học cổ điển.
Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lực
không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển. Chúng ta phải
tìm cách mô tả khác thể hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử.
Những nghiên cứu toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này để mô

tả các biến số động lực trong cơ học lượng tử. Chúng ta thừa nhận nội dung
cách mô tả như những tiên đề. Các tiên đề ấy không mâu thuẫn nhau và cho
các kết quả phù hợp với thực nghiệm.
Tiên đề 1: Mỗi một biến số động lực được biểu diễn bằng một toán tử
tuyến tính xác định.
Tính chất của toán tử là phản ánh của nguyên lý chồng chất trạng thái.
Nguyên lý này có thể phát biểu như sau: “ Nếu một hệ lượng tử có thể ở trạng
thái mô tả bởi các hàm sóng Ψ1 và Ψ 2 thì nó cũng có thể ở trạng thái mô tả bởi
hàm sóng:

Ψ = c1Ψ1 + c2 Ψ 2

c1 và c2 là các hằng số bất kì, nói chung là số phức.
Tiên đề 2: Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta chỉ thu được
những giá trị bằng số là trị riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy.

11


Vì giá trị bằng số của các biến động lực là thực nên trị riêng của các
toán tử biểu diễn biến số động lực phải là thực, muốn thế những toán tử ấy
phải Hermite.
Xét một biến số động lực biểu diễn bằng một toán tử, toán tử này có
các trị riêng L1, L2,…Ln… với các hàm riêng tương ứng là u1, u2,…un…
Xét một hệ lượng tử ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng Ψ
Theo tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử Hermite thì ta có
thể phân tích hàm sóng Ψ thành một tổ hợp các hàm riêng u1, u2,...
Ψ ( x ) = ∑ ci ui ( x )
i

Dấu Σ kí hiệu việc lấy tổng theo tất các hàm riêng.
Tiên đề 3: Nếu hệ ở trạng thái biểu diễn bởi hàm sóng Ψ ( x ) thì xác
2

suất để khi đo biến số động lực L ta được giá trị Li sẽ bằng ci .
Trường hợp riêng: Nếu hàm sóng Ψ ( x ) trùng với một hàm riêng của
toán tử Lˆ thì biến số động lực L có giá trị xác định, bằng trị riêng tương ứng
với hàm riêng ấy. Cụ thể là:
Nếu Ψ = uk thì L = Lk và L không thể bằng các giá trị riêng khác của
toán tử Lˆ .
1.4 Ý nghĩa xác suất
Chú ý rằng: L = Li là xác suất tỉ đối.
Muốn tính xác sất tuyệt đối ta phải chuẩn hóa các hệ số tích phân Ci, tức là
phải nhân chúng với một hằng số thế nào để dẫn tới kết quả: tổng xác suất của
các trạng thái có thể bằng 1.

∑ P =1
i

i

Xác suất Pi thỏa mãn hệ thức này mới là xác suất tuyệt đối.
Giả sử ta có:

12


∑c

2

i

= A ≠1

i

Muốn chuẩn hóa hệ số tích phân ci, ta nhân chúng với
ci ' =

c
A

từ đó

ci

Các hệ số tích phân thỏa mãn điều kiện: ∑ c

' 2
i

' 2

=

1
A
ci

2

A

=1

i

Vậy nếu xác suất Pi để đo L bằng Li là:
Pi = ci

' 2

=

ci
A

2

=−

ci

2

∑c

2

i

i

Thì xác xuất Pi đó chính là xác suất tuyệt đối vì nó thỏa mãn điều kiện.

13


KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Để việc nghiên cứu đề tài được thuận lợi ở chương này em nêu ra các
kiến thức cơ bản sau:
1. Lưỡng tính sóng hạt của hạt vi mô.
2. Nguyên lý bất định Heisenberg.
3. Các tiên đề của cơ học lượng tử.
4. Ý nghĩa xác suất.

14


Chương 2: Tính chất hạt của sóng ánh sáng
2.1 Tính chất hạt của sóng ánh sáng
2.1.1 Điều kiện ra đời của vật lý lượng tử
Vật lý hoc cổ điển là vật lý học không kể đến thuyết tương đối và
thuyết lượng tử. Đến cuối thế kỉ XIX vật lý học cổ điển coi như đã được phát
triển đầy đủ.Vật lý học cổ điển dựa trên cơ sở của của hai lý thuyết cơ bản là
cơ học Newton và lý thuyết điện từ Maxwell. Các định luật Newton là cơ sở
cho toàn bộ cơ học nếu thêm các phương pháp thống kê thì nó cũng là cơ sở
cho nhiệt học. Hệ thống phương trình Maxwell về điện từ trường biểu diễn lý
thuyết tổng quát cho tất cả các hiện tượng điện từ và quang học.

Từ cuối thế kỉ XIX trở về sau người ta thấy có những hiện tượng không
thể giải thích được bằng các lý thuyết cổ điển (tính bền của nguyên tử, quy
luật bức xạ của vật đen…). Từ đó dẫn đến việc xây dựng một khái niệm mới
về lượng tử đoa là bước đầu của việc hình thành cơ học lượng tử.
2.1.2 Bức xạ của vật đen
Thí nghiệm chứng tỏ rằng một vật đen ở nhiệt độ T phát ra những bức
xạ điện từ có phổ liên tục năng lượng của bức xạ phát ra phụ thuộc vào nhiệt
độ của vật.Vật phát ra những bức xạ đồng thời hấp thụ những năng lượng của
những bức xạ chiếu tới. Khi năng lượng mà vật hấp thụ được bằng năng
lượng mà vật bức xạ trong cùng một thời gian thì nhiệt độ của vật không đổi.
Nếu thực hiện được sự cân bằng ấy đối với cả hệ thống vật và bức xạ thì bức
xạ gọi là bức xạ cân bằng.
Xét bức xạ cân bằng có tần số góc từ ω đến ω + dω . Năng lượng của
bức xạ ấy chứa trong một đơn vị thể tích không gian thì tỉ lệ với dω và có
biểu thức:
ρ ( ω ,T ) dω

15


Hệ số tỉ lệ ρ ( ω ,T ) gọi là mật độ năng của phổ, đó là một hàm số đặc
trưng cho bức xạ cân bằng.Công thức cho mật độ năng lượng bức xạ gọi là
công thức Rêlây.
ρ ( ω ,T ) =

ω2
kT
π 2c3

( 2.1.1)

Với c là tốc độ ánh sáng trong chân không, k là hằng số Boltzmann, T là nhiệt
độ của bức xạ cân bằng. Công thức Rêlây phù hợp với thực nghiệm trong
phạm vi các tần số góc ω nhỏ và nhệt độ T tương đối lớn. Nhưng đối với các
tần số lớn thì công thức cho kết quả phi lý.
2.1.3 Giả thuyết Planck
Để giải quyết điều phi lý nói trên, năm 1900 Planck đã đưa ra giả
thuyết như sau: một dao dộng tử điều hòa có tần số (góc) riêng là ω chỉ có thể
có những giá trị năng lượng gián đoạn, giá trị đó bằng nguyên lần của một đại
lượng ε , gọi là lượng tử năng lượng. Ứng với tần số góc ω giá trị của ε là:

( 2.1.2 )

ε = hω

mà υ =

ω
thì biểu thức của lượng tử năng lượng sẽ là :
2π

( 2.1.3)

ε = hυ

Với h = 6, 625.10−34 J .s . Xuất phát từ giả thuyết Planck và dùng các phương
pháp của vật lý thống kê ta chứng minh được công thức cho mật độ năng
lượng bức xạ:
hω 3
ρ ( ω, T ) = 2 3

π c

1
e

hω
kT

( 2.1.4 )

−1

công thức này phù hợp với thực nghiệm. Nó bao gồm cả công thức Rêlây như
một trường hợp riêng. Thực vậy ta nên áp dụng cho các tần số thấp sao cho
hω << kT

tức là

ω <<

kT
h

16

thì

hω

e kT ; 1 +

hω
kT


thay vào ( 2.1.4 ) ta được ( 2.1.1) .
Người ta thừa nhận giả thuyết Planck vì nó cho kết quả phù hợp với
thực nghiệm và vì ta có thể dựa vào giả thuyết Planck để giải thích các hiện
tượng khác.
2.1.4 Hiệu ứng quang điện –Photon
Một trong các công trình của Einstein xuất bản trên tạp chí Annal der
Physik đã lý giải một cách thành công hiệu ứng quang điện cũng như các định
luật quang điện dựa trên mô hình hạt ánh sáng, theo Thuyết lượng tử vừa
được công bố vào năm 1900 của Max Planck. Các công trình này đã dẫn đến
sự công nhận về bản chất hạt của ánh sáng, và sự phát triển của lý thuyết
lưỡng tính sóng - hạt của ánh sáng.
a. Hiệu ứng quang điện :

Hiệu ứng quang điện
Hiệu ứng quang điện là một hiện tượng điện - lượng tử, trong đó các
điện tử được thoát ra khỏi vật chất sau khi hấp thụ năng lượng từ các bức xạ
điện từ. Việc nghiên cứu hiệu ứng quang điện đưa tới những bước quan trọng
trong việc tìm hiểu về lượng tử ánh sáng và các electron, cũng như tác động
đến sự hình thành khái niệm lưỡng tính sóng hạt.
- Hiện tượng: Khi bề mặt của một tấm kim loại được chiếu bởi bức xạ điện từ
có tần số ω lớn hơn một tần số ngưỡng ω0 (tần số ngưỡng này là giá trị đặc
trưng cho chất làm nên tấm kim loại này), các điện tử sẽ hấp thụ năng lượng
17

từ các photon và sinh ra dòng điện (gọi là dòng quang điện). Khi các điện tử
bị bật ra khỏi bề mặt của tấm kim loại, ta có hiệu ứng quang điện ngoài. Các
điện tử không thể phát ra nếu tần số của bức xạ nhỏ hơn tần số ngưỡng bởi
điện tử không được cung cấp đủ năng lượng cần thiết để vượt ra khỏi rào thế
(gọi là công thoát A). Điện tử phát xạ ra dưới tác dụng của bức xạ điện từ
được gọi là quang điện tử.
- Ba định luật quang điện
+ Định luật về dòng quang điện bão hòa: Khi tần số của ánh sáng rọi vào catốt
không đổi, cường độ dòng quang điện bão hòa tỉ lệ với cường độ của chùm
sáng mà catốt nhận được.
+ Định luật về vận tốc ban đầu cực đại: Vận tốc ban đầu cực đại (hay động
năng ban đầu cực đại) của quang electron không phụ thuộc vào cường độ của
chùm sáng rọi vào catốt mà chỉ phụ thuộc vào tần số của chùm sáng đó hơn
nữ tần số càng lớn thì vận tốc càng lớn.
+ Định luật về giới hạn quang điện: Đối với mỗi kim loại xác định hiệu ứng
quang điện chỉ xảy ra khi tần số υ (hay bước sóng λ ) của chùm rọi vào bản
kim loại lớn hơn một giá trị υ0 (hay nhỏ hơn một giá trị λ0 ) của kim loại.
Hiện tượng nói trên gọi là hiệu ứng quang điện Einstein đã dựa vào giả
thuyết Planck mà có thể giải thích hiệu ứng quang điện một cách mĩ mãn.
Ông cho rằng ánh sáng có thể coi như một dòng hạt, mỗi hạt mang một năng
lượng ε bằng một lượng tử gọi là photon. Mỗi photon tới mặt kim loại của
catốt có thể làm cho một electron bật ra khỏi mặt này nếu năng lượng ε của

18


photon lớn hơn công A cần thiết để tạo ra hiệu ứng ấy. ε > A tức là hω > A
hoặc ω >

A

.
h

Như vậy chỉ khi nào ω > ω0 mới có electron phát ra giới hạn ω0 chính là tỉ số
A
.
h

Electron của kim loại nhận được năng lượng ε = hω của một photon,
một phần năng lượng ấy (bằng công thoát A) được dùng để làm cho electron
thoát ra khỏi kim loại, phần còn lại là động năng của electron.
hω = A +

mv 2
2

( 2.1.5)

Trong trường hợp tần số góc ω của chùm sáng tới catốt lớn hơn giá trị
ω0 =

A
thì có một số electron bật ra khỏi catốt, số electron này tỉ lệ với photon
h

tới tức là tỉ lệ với cường độ chùm sáng tới. Nếu tân số góc ω < ω0 thì dù cường
độ ánh sáng có lớn bao nhiêu đi chăng nữa cũng không có electron phát ra từ
mặt catốt vì lúc ấy năng lượng của một photon nhỏ hơn công A cần thiết để
làm cho electron thoát ra khỏi kim loại.
Như vậy có thể thừa nhận giả thuyết về tính chất hạt của ánh áng coi

ánh sáng như một dòng photon, mỗi photon mang một năng lượng ε = hω
chuyển động với vận tốc bằng vận tốc truyền của ánh sáng và không có khối
lượng nghỉ.
Theo thuyết tương đối thì mối liên hệ giữa năng lượng ε , xung lượng p
và khối lượng nghỉ m0 của một hạt cho bằng công thức : ε 2 = c 2 p 2 + m0c 4 .
trong đó c là vận tốc truyền của ánh sáng trong chân không. Đối với photon
thì khối lượng nghỉ m0 = 0, từ công thức trên ta có:

19


p=

ε hω
=
c
c

r

Đối với ánh áng thì vectơ sóng k có độ lớn bằng: k =

2π ω
=
và hướng theo
λ
c

chiều truyền ánh sáng. Vậy
r

r
p = hk

( 2.1.6 )
r

Tóm lại: một chùm ánh sáng có tần số góc ω và có vectơ sóng k có thể
r
coi như một dòng photon mỗi photon có năng lượng ε và xung lượng p .
r
r
p = hk

ε = hω

2.2 Đại lượng vật lý trở thành toán tử
2.2.1 Các đại lượng động lực
Trong cơ học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của một hạt, ta
dùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, momen động lượng của
hạt ...Các đại lượng đó gọi chung là biến số động lực. Hạt chuyển động theo
một quỹ đạo và ở một thời điểm đã cho thì tất cả các biến số động lực (chẳng
hạn như tọa độ và xung lượng) đều có giá trị xác định.Vấn đề chủ yếu của
việc mô tả chuyển động là tìm sự phụ thuộc giữa chúng và sự phụ thuộc của
chúng vào thời gian. Đối với hạt vi mô vừa có tính chất sóng vừa có tính chất
hạt nên ở một thời điểm thì đại lượng vật lý như là tọa độ, xung lượng của hạt
không đồng thời xác định do đó các đại lượng động lực tuân theo một quy
luật khác với cơ học cổ điển và các đại lượng động lực sẽ được mô tả bởi các
toán tử sinh hủy.
2.2.2 Đại lượng vật lý trở thành toán tử
Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác. Hạt không được hình dung như

một chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo mà là một bó sóng định xứ
trong một miền không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời
gian. Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về xác suất tìm thấy hạt trong một
phần tử thể tích của không gian hay nói cách khác là xác suất để tọa độ của
20


hạt có giá trị nằm trong khoảng nào đó. Nói chung về biến số động lực cũng
vậy ta chỉ có thể nói về xác suất để một biến số động lực có giá trị nằm trong
khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của biến số động lực tại
một thời điểm như trong cơ học cổ điển.
Vì có sự khác biệt nói trên nên trong cơ học lượng tử biến số động lực
không phải mô tả bằng số như trong cơ học cổ điển. Chúng ta phải tìm một
cách mô tả khác thể hiện được các tính chất đã nêu của biến số động lực thể
hiện được những đặc tính của các quy luật lượng tử. Những nghiên cứu về
toán tử cho thấy có thể dùng công cụ toán học này mô tả biến số động lực
trong cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử các đại lượng vật lý có vai trò
tương tự cũng được gọi là các đại lượng động lực của cơ học lượng tử.
Trong phép đo các đại lượng động lực cần chú ý rằng do có sự tương tác giữa
hệ vi mô và máy đo, hệ vi mô cần nghiên cứu cũng chịu tác dụng của tương
tác kết quả là, ở mỗi phép đo hệ lượng tử sẽ ở trong một trạng thái liên kết hệ
lượng tử - máy đo xác định và phép đo cho chúng ta một giá trị xác định của
đại lượng vật lý cần đo, trong phép đo tiếp theo hệ lượng tử đã chuyển sang
trạng thái mới và máy đo cho chúng ta giá trị mới của phép đo. Như vậy
chúng ta phải tính đến xác suất để đo F một giá trị nào đó và tương đương với
điều ấy là xác suất để hệ lượng tử nằm ở trạng thái đã cho ở trên.
Ta thấy rằng cần phải đối ứng các đại lượng vật lý F với toán tử Fˆ
nào đó. Như vậy nếu nghiên cứu năng lượng của hệ cần phải biết toán tử
Hamiltonian, còn nếu nghiên cứu xung lượng của hệ cần phải biết toán tử
xung lượng ...Vấn đề đặt ra là dạng tường minh của các toán tử tương ứng với

các đại lượng cần nghiên cứu sẽ viết như thế nào?
a. Toán tử tọa độ xˆ : Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái
của hạt mô tả bởi hàm sóng Ψ ( x ) . Giả sử Ψ ( x ) được chuẩn hóa toán tử tọa

21


độ xˆ phải là hermite và có dạng như thế nào để trung bình của tọa độ cho bởi
công thức :
x = ∫ x ρ ( x ) dx

( 2.2.1)

Nếu gọi ρ ( x ) là mật độ xác suất để tọa độ có giá trị là x thì trung bình của x
*
là: x = ∫ Ψ xˆΨdx theo cách giải thích của Boocnơ về ý nghĩa hàm sóng thì

ρ ( x ) = Ψ ( x ) = Ψ* ( x ) Ψ ( x )
2

*
Vậy x = ∫ xΨ ( x ) Ψ ( x ) dx

Ta có:

∫ Ψ xˆΨdx = ∫ Ψ xΨdx
*

*

xˆ Ψ = xΨ

vậy

Như vậy toán tử xˆ là một phép nhân với x ta có thể viết xˆ = x.
Cũng tương tự như vậy, khi hạt chuyển động trong không gian thì ta có
3 toán tử tọa độ.

xˆ = x

yˆ = y

zˆ = z
r

b. Toán tử xung lượng: Đối với hạt vi mô có xung lượng p và năng lượng E
chuyển động tự do thì hàm sóng có dạng:
rr
 Et − pr 
Ψ = Ψ 0 exp  −i
÷
h 


Ta xét toán tử pˆ ( x )
Hàm sóng Ψ viết ở trên là hàm số biểu diễn trạng thái trong đó px có giá trị
xác định vì thế hàm ấy phải là hàm riêng của toán tử pˆ ( x ) nghĩa là:
pˆ x Ψ = px Ψ

Muốn thế thì phải chọn

pˆ x = −ih

∂
∂
∂
; pˆ y = −ih ; pˆ z = −ih
∂x
∂y
∂z

Tóm lại
r ∂ r ∂ r ∂ 
r
pˆ = −ih∇ = −ih i
+j
+ k ÷.
∂y
∂z 
 ∂x

22


Để tìm dạng tường minh của các toán tử biểu diễn biến số động lực
chúng ta chú ý rằng cơ học cổ điển là trường hợp giới hạn của cơ học lượng
tử (khi kích thước của các vật mà ta xét tăng lên mức vĩ mô) như vậy ta có thể
thừa nhận một cách tự nhiên rằng:
Những toán tử cơ học lượng tử thỏa mãn một hệ thức giống nhau như
hệ thức giữa các đại lượng động lực tương ứng trong cơ học cổ điển (không
chứa đạo hàm).

Đó là nguyên lý tương ứng, từ nguyên lý này và biểu thức của các toán
tử tọa độ và xung lượng tìm được ta có thể tìm được dạng của các toán tử biểu
diễn các biến số động lực khác.
c. Toán tử năng lượng: Trong cơ học cổ điển, năng lượng toàn phần được
biểu diễn qua tọa độ x và xung lượng p theo biểu thức sau đây:
H=

p2
+ V ( x, y , z )
2m

( 2.2.2 )

trong đó m là khối lượng của hạt, V(x, y, z) là biểu thức của thế năng,
p 2 = px2 + p y2 + pz2

Theo nguyên lý tương ứng thì toán tử năng lượng toàn phần (hay toán
tử Hamiltonian) cũng tuân theo một biểu thức tương tự như biểu thức ( 2.2.2 )
trong đó các đại lượng động lực được thay thế bằng các toán tử tương ứng:
H=

pˆ 2
+ V ( xˆ , yˆ , zˆ )
2m

trong đó
 ∂2
∂2
∂ 
pˆ 2 = pˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2 = − h 2 + 2 + 2 ÷ = − h2∇ 2

∂z 
 ∂x ∂y

và

xˆ = x

yˆ = y

zˆ = z

Vậy
h 2
Hˆ = −
∇ + V ( x, y , z )
2m
23

( 2.2.3)


d. Toán tử momen động lượng: Trong cơ học cổ điển momen động lượng L
r

r

r

r

được định nghĩa như sau: L = [ r ∧ p ] . Trong đó r là vectơ tia nối từ gốc tọa độ
r

đến vị trí của hạt. Hình chiếu của véctơ L lên các trục tọa độ có biểu thức sau:
Lx = ypz − zp y
Ly = zpx − xpz
Lz = xp y − ypx

Ta có thể dựa vào nguyên lý tương ứng mà định nghĩa momen động lượng
trong cơ học lượng tử như sau:
 ∂
∂ 
ˆ ˆ z − zp
ˆ ˆ y = −ih y + z ÷
Lˆ x = yp
∂y 
 ∂z
∂ 
 ∂
ˆˆ z = −ih z + x ÷
ˆ ˆ x − xp
Lˆ y = zp
∂z 
 ∂x
 ∂
∂ 
ˆˆ y − yp
ˆ ˆ x = −ih x + y ÷
Lˆ z = xp
∂x 

 ∂y

Ba đại lượng trên là ba thành phần của toán tử vectơ Lˆ .

24

( 2.2.4 )