Phụ lục 2 phương pháp gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Phụ lục 2: Phương pháp
Gauss giải hệ phương trình
đại số tuyến tính
Bởi:
PGS. TS. NGƯT Phạm Văn Huấn

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn

b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn

b2

...

...

...

...

an1x1 + an2x2 + ... + annxn

...
bn

}

hay Ax = b (*)

A = (aij) =

(

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...

...

...

...

an1 an2 ... ann

) () ()
b1

;b=

b2
...

bn

x1

;x=

x2
...

.

xn

Nếu ma trận A không suy biến, tức
a11 a12 ... a1n
detA = ∣

a21 a22 ... a2n
...

...

...

...

∣ ≠0

an1 an2 ... ann

thì hệ (*) có nghiệm duy nhất. Có thể tính nghiệm theo công thức Cramer
xi =

detAi

detA ,

1/6


Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

trong đó Ai − ma trận A với cột i bị thay thế bằng cột các số hạng tự do b.

1. Phương pháp loại biến Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính:
Thí dụ cho hệ
a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = a15
a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = a25
a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = a35 (1)
a41x1 + a42x2 + a43x3 + a44x4 = a45
}}}
Giả sử phần tử chính a11 ≠ 0. Chia phương trình thứ nhất cho a11, ta có
x1 + b12x2 + b13x3 + b14x4 = b15, (2)

với b1j =

a1j
a11 (j

= 2,3,4,5).

Dùng phương trình (2) để loại ẩn x1 khỏi các phương trình số 2, 3, 4 của hệ (1): Muốn
vậy, nhân phương trình (2) tuần tự với a21,a31,a41 và tuần tự lấy các phương trình số 2, 3,
4 trừ đi các tích tương ứng vừa nhận được, ta có ba phương trình:
(1)

(1)
(1)
a(1)
22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = a25
(1)
(1)
(1)
a(1)
32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = a35
(1)
(1)
(1)
a(1)
42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = a45

(3)

}}
trong đó
a(1)
ij = aij − ai1b1j(i = 2,3,4;j = 2,3,4,5) (4)

Bây giờ chia phương trình thứ nhất của hệ (3) cho phần tử chính a(1)
22 ta có:
(1)
(1)
x2 + b(1)
23 x3 + b24 x4 = b25 , (5)

trong đó

2/6


Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

b(1)
2j

=

a(1)
2j

a(1)

(j = 3,4,5).

22

Bằng cách tương tự như khi loại x1, bây giờ ta loại x2 khỏi các phương trình thứ ba và
thứ tư, ta có:
(2)
(2)
a(2)
33 x3 + a34 x4 = a35
(2)
(2)
a(2)
43 x3 + a44 x4 = a45 . (6)

}
trong đó
(1)
(1) (1)
a(2)
ij = aij − ai2 b2j (i = 3,4;j = 3,4,5). (7)

Chia phương trình thứ nhất của hệ (6) cho phần tử chính a(2)
33 , ta có:
(2)
x3 + b(2)
34 x4 = b35 , (8)

trong đó
b(2)
3j

=

a(2)

3j
(j
a(2)
33

= 4,5).

Sau đó nhờ (8) ta loại x3 khỏi phương trình thứ hai của hệ (6), nhận được:

(3)
a(3)
44 x4 = a45

trong đó
(2)
(2) (2)
a(3)
4j = a4j − a43 b3j (j = 4,5) (9)

Như vậy ta đã đưa hệ (1) về hệ tương đương có ma trận các hệ số là ma trận tam giác

3/6


Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

x1 + b12x2 + b13x3 + b14x4 = b15
(1)
(1)
x2 + b(1)
23 x3 + b24 x4 = b25
(2)
x3 + b(2)
34 x4 = b35
(3)
44 4

(10)

(3)
45

a x =a
}}}

Từ (10) xác định các ẩn
(3)
x4 = a(3)
45 / a44
(2)
x3 = b(2)
35 − x4b34
(1)
(1)
x2 = b(1)
25 − x4b24 − x3b23

(11)

x1 = b15 − x4b14 − x3b13 − x2b12
}}}
Vậy thủ tục giải hệ phương trình đại số tuyến tính bậc nhất quy về hai quá trình:
a) Quá trình thuận: đưa hệ (1) về dạng tam giác (10);
b) Quá trình nghịch: tìm ẩn theo các công thức (11).
Nếu phần tử chính của hệ bằng không thì chỉ cần thay đổi chỗ của các phương trình
trong hệ tương ứng để làm cho phần tử chính khác không.
Số phép tính số học N cần thực hiện trong phương pháp Gauss bằng
N=

2n(n + 1)(n + 2)
3

+ n(n − 1).

Vậy số phép tính số học xấp xỉ tỷ lệ với luỹ thừa bậc ba của số ẩn.
2. Phương pháp căn bậc giải hệ phương trình đại số tuyến tính trong trường hợp ma trận
A là ma trận đối xứng
Phương pháp này thuận lợi trong trường hợp hệ phương trình
A x = b (12)
có ma trận A là ma trận đối xứng, điều thường gặp trong các bài toán kỹ thuật.
4/6


Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

Theo phương pháp này ma trận A được biểu diễn thành tích của hai ma trận tam giác
chuyển vị
A = T'T (13)

trong đó

T=

(

t11 t12 ... t1n
0

t22 ... t2n

... ... ... ...
0

0

... tnn

)(
'

,{T =

t11

... 0

t12 t22 ... 0
... ... ... ...
t1n t2n ... tnn

)

Nhân hai ma trận T' và T và cho tích bằng ma trận A, ta suy ra cá công thức tính các phần
tử tij:
t11 = √a11,t1j =

a1j
t11 (j

> 1)

tii = √aii − ∑ik −= 11 t2ki(1 < i ≤ n)
tij =

aij − ∑ik −= 11 tkitkj
tii

(14)

(i < j)

tij = 0khii > j
Như vậy ta đã thay hệ (12) bằng hai hệ tương đương
T' y = b, T x = y 15)
hay
t11y1 = b1
t12y1 + t22y2 = b2
.......................

(16)

t1ny1 + t2ny2 + ....+tnnyn = bn
}}}

5/6


Phụ lục 2: Phương pháp Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

t11x1 + t12x2 + ....+t1nxn = y1
t22x2 + ...+t2nxn = y2
.........................

(17)

tnnxn = yn
}}}
Từ đó suy ra các công thức tính:
y1 =

b1
t11 ,yi

=

bi − ∑i − 1 tkiyk
k=1
(i
tii

> 1) (18) xn =

yn
tnn ,xi

=

yi − ∑n

t x
k = i + 1 ik k
tii

(i < n) (19)

Vậy quá trình thuận gồm tính các phần tử của ma trận T theo các công thức (14). Quá
trình nghịch là tính các ma trận cột y và x theo các công thức (18), (19).

6/6