Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệ phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt

3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một lý thuyết tốn học có rất nhiều ứng dụng trong
khoa học, đặc biệt về kỹ thuật cơ học. Đã có nhiều nhà Tốn học nghiên cứu
lý thuyết ổn định, tuy nhiên vẫn chỉ bó hẹp trong việc giải quyết bài tốn xác
định sự ổn định cũng như khơng ổn định. A.M.Liapunov đã thiết lập hàng loạt
điều kiện đủ tổng quát cho sự ổn định và không ổn định của chuyển động
khơng có nhiễu, mơ tả bởi hệ phương trình vi phân thơng thường. Để đưa vấn
đề ổn định của chuyển động khơng có nhiễu về vấn đề ổn định của vị trí cân
bằng. Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phép
đánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chất
lượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu loạn tác dụng thường xuyên.
Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trong
toàn cục” tức là đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian không vượt ra
ngồi giới hạn của một miền cho trước.
Chính vì những lý do trên, tôi chọn đề tài “lý thuyết ổn định và ứng
dụng” với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lý
thuyết ổn định, đặc biệt là vận dụng hàm liapunov trong các hệ phương trình
tuyến tính và hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệ
phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, các định lý về ổn
định và không ổn định của liapunov.
- Đánh giá sự ổn định nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính.


4

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức
ổn định với những nhiễu ban đầu). Đánh giá nghiệm các hệ phương trình
tuyến tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp định tính đánh giá hệ phương trình vi phân.
6. Những đóng góp của luận văn
Vận dụng hàm liapunov xét sự ổn định của các hệ phương trình tuyến
tính.


5

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Không gian véctơ
1.1.1. Định nghĩa không gian véctơ

r r r
Cho tập hợp V mà các phần tử được kí hiệu là α ; β ; γ ;.... và trường K
mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z ,... giả sử trên V có 2 phép tốn:
Phép tốn trong, kí hiệu:
+: V ×V → V
ur ur
r r
(α , β ) a α + β
Phép tốn ngồi, kí hiệu :
. : K ×V → V

ur
ur
( x,α ) a x.α
Thỏa mãn các tính chất sau (cũng nói thỏa mãn các tiên đề sau):
r r r
với mọi α , β , γ ∈V và với mọi x, y, z ∈ K :
r r
r r r r
1) α + β ) + γ = α + ( β + γ )

(

)

r
r r r r r
2) Có 0 ∈V sao cho 0 + α = α + 0 = α
r
r
r
r r r r r
3) α ' ∈V sao cho α '+ α = α + α ' = 0 kí hiệu α , = −α
r r r r
4) α + β = β + α
r
r
r
5) ( x + y ).α = x.α + y.α
r
r r

r
x
.(
α
+
β
)
=
x
.
α
+
x
.
β
6)
r
r
7) x.( y.α ) = ( x. y ).α
r r
8) 1.α = α trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K .


6

Khi đó V (cùng với 2 phép tốn xác định như trên) gọi là một không
gian véctơ trên trường K , hay K - không gian véctơ, hay vắn tắt là không
gian véctơ.
Khi K = ¡ , V được gọi là không gian véctơ thực.
Khi K = £ , V được gọi là không gian véctơ phức.

Các phần tử của V gọi là các véctơ, các phần tử của K gọi là vơ
hướng.
Phép tốn “+” gọi là phép cộng véctơ, phép tốn “. ” gọi là phép nhân
véctơ với vơ hướng.

r
r
Để cho gọn dấu “. ” nhiều khi lược bỏ, thay x.α ta viết xα .
Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hốn đối với phép

cộng véctơ. Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân véctơ với
vơ hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vơ hướng, phân phối đối
với phép cộng véctơ và có tính chất kết hợp.
1.1.2. Ví dụ về khơng gian véctơ
a) Tập hợp các véctơ (“tự do”) trong không gian ¡ , ¡ 2 , ¡ 3 với các phép
toán cộng và nhân véctơ với một số thực là một không gian véctơ thực.
b) Tập K [ x ] các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép
cộng đa thức và nhân đa thức với một phần tử thuộc trường K là một K không gian véctơ.
c) Tập số phức £ với phép cộng số phức và nhân số phức là một £ không gian véctơ. Trong khi đó £ cùng với phép cộng số phức và nhân số
phức với một số thực là ¡ - không gian véctơ.
d) Tập ¡ các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu
tỷ là một ¤ - khơng gian véctơ.
e) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ (m × n) trên trường K ta đưa vào
phép nhân với vô hướng sau, với:


7

A = (aij ) i = 1, m; j = 1, n thì kA = ( kaij )
Dễ thử thấy đó là một K - khơng gian véctơ.

1.2. Dạng tồn phương
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử η :V × V → ¡
r r
r r
(α , β ) a η (α , β )
là dạng song tuyến tính đối xứng trên ¡ - không gian véctơ V .
Ánh xạ (tức hàm số)
H :V → ¡
→
r
r r
α a H (α ) = η (α ,α )
gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η .
Chú ý: Nếu cho trước dạng tồn phương H trên ¡ - khơng gian véctơ
V thì dạng song tuyến tính đối xứng η trên V nhận H làm dạng toàn
phương tương ứng là hoàn toàn xác định:
→
r r 1
r r
r
η (α + β ) =  H (α + β ) − H (α ) − H ( β ) 

2 

η được gọi là dạng cực của dạng toàn phương H .
1.2.2. Biểu thức tọa độ
Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương H ứng với η có dạng:
r
H (α ) =

n

∑ a .x . x

i , j =1

ij

i

j

r
với mọi α = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈V .
Ma trận A= (aij ) cũng được gọi là ma trận của dạng toàn phương H .


8

1.2.3. Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng tồn phương
r r
r
Nếu trong ¡ - khơng gian véctơ V có cơ sở ( µ1 , µ 2 ,..., µ n ), trong đó
r r
r r
η ( µi , µ j ) = 0 với mọi i ≠ j thì trong cơ sở đó ma trận A = (aij ), aij = η ( µi , µ j )
, có dạng chéo.
Dạng tồn phương H ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η trên V
n

trong cơ sở đó có biểu thức tọa độ dạng:

∑a x ;
i =1

i

2
i

ai = aij .

Cơ sở đó gọi là η - trực giao của V hay gọi tắt là cơ sở trực giao của V
khi η đã rõ. Biểu thức đó gọi là biểu thức tọa độ dạng chính tắc của H .
1.3. Phương trình vi phân
1.3.1. Định nghĩa phương trình vi phân cấp một
Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát :
F ( x, y, y′) = 0

(1.1)

trong đó hàm F xác định trong miền D ⊂ ¡ 3 .
Nếu trong miền D , từ phương trình (1.1) ta có thể giải thích được y′ :
y′ = f ( x, y )

( 1.2)

thì ta được phương trình vi phân cấp một đã giải ra đạo hàm.
Hàm y = ϕ ( x) xác định và khả vi trên khoảng I = (a, b) được gọi là

nghiệm của phương trình (1.1) nếu:
a) ( x,ϕ ( x),ϕ ′( x)) ∈ D với mọi x ∈ I .
b) F ( x,ϕ ( x),ϕ ′( x)) ≡ 0 trên I .
Ví dụ 1: Phương trình:
dy
= 2y
dx
2x
có nghiệm là hàm y = ce xác định trên khoảng (−∞; +∞) (với c là hằng số

tùy ý).


9

Ví dụ 2: Phương trình:
y′ = 1 + y 2

(1.3)

π π
có nghiệm là hàm y = t anx xác định trên khoảng (− ; ) . Có thể kiểm tra
2 2
trực tiếp hàm y = tan ( x + c ) với mỗi hằng số c cố định cũng là nghiệm của
phương trình (1.3) trên khoảng xác định tương ứng.
1.3.2. Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao
Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:
F ( x, y, y′,..., y ( n ) ) = 0

(1.4)

Hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian ¡

n+ 2

.

Trong phương trình (1.4) có thể vắng mặt một số trong các biến:
x, y, y′,..., y ( n−1) nhưng y ( n ) nhất thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.4) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình
(1.4) có dạng:
y ( n ) = F ( x, y, y′,..., y ( n −1) )

(1.5)

thì ta được gọi phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao
nhất.
Nghiệm của phương trình (1.4) là hàm y = ϕ ( x) khả vi n lần trên
khoảng (a, b) sao cho:
(n)
a) ( x,ϕ( x ) ,ϕ(′x ) ,...,ϕ( x ) ) ∈ G với mọi x ∈ ( a, b) .

b) Nó là nghiệm đúng của phương trình (1.4) trên (a, b).
Ví dụ 1: Phương trình:
y′′ − 4 y = 0
2x
−2 x
có nghiệm tổng quát là ϕ( x ) = c1.e + c2 .e trong đó c1 , c2 là các hằng số bất

kỳ.

10

Ví dụ 2: Phương trình:
xyy′′ + xy′2 − yy′ = 0
có nghiệm tổng quát là:
y = c1. x 2 + c2 , trong đó c1 , c2 là hai hằng số bất kỳ.
1.3.3. Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là:
a0 ( x) y ( n ) + a1 ( x) y ( n −1) + .... + an ( x) y = g ( x ) .

(1.6)

Như vậy ở đây hàm F trong định nghĩa dạng tổng quát của phương
(n)
trình vi phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo y, y′,..., y . Ta giả

thiết các hàm a0 ( x); a1 ( x); ...; an ( x), g ( x) liên tục trên khoảng (a, b) và
a0 ( x) ≠ 0 trên (a, b) .
Khi đó chia hai vế của phương trình (1.1) cho a0 ( x) ta được phương trình:
y ( n ) + p1 ( x). y ( n −1) + ... + pn ( x ). y = f ( x )

(1.7)

trong đó :
pi ( x) =

ai ( x)
g ( x)

; f ( x) =
; (i = 1,2,..., n)
a0 ( x)
a0 ( x)

là những hàm số liên tục trên khoảng (a, b) .
Nếu trong phương trình (1.7) hàm f ( x) ≡ 0 tức là ta có phương trình:
y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + ... + pn ( x ) y = 0

(1.8)

thì nó được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n bấy giờ phương
trình (1.7) được gọi là phương trình tuyến tính khơng thuần nhất cấp n .
1.4. Hệ phương trình vi phân
1.4.1. Định nghĩa
Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương trình
sau:


11

 dy1
 dx = f1 ( x, y1 , y2 ,..., yn )

 dy2 = f ( x, y , y ,..., y )
2
1
2
n
 dx

L L L L L

 dyn = f ( x, y , y ,..., y )
n
1
2
n
 dx

(1.9)

Ở đây x là biến số độc lập y1 = y1 ( x); y2 = y2 ( x ); ... ; yn = yn ( x) là các
hàm phải tìm. Các hàm f i (i = 1,2,..., n) xác định trong miền G của không
gian n + 1 chiều ¡

n+1

.

Hệ n hàm khả vi y1 = ϕ1 ( x); y2 = ϕ 2 ( x); ...; yn = ϕ n ( x) xác định trên
khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.9) nếu với mọi x ∈ (a, b) điểm
( x,ϕ1 ( x),ϕ 2 ( x),...,ϕ n ( x)) ∈ G và khi thay chúng vào hệ (1.9) thì ta được n
đồng nhất thức theo x trên (a, b) .
Tập hợp điểm:
Γ = { ( x,ϕ1 ( x),ϕ 2 ( x),...,ϕn ( x)), x ∈ ( a, b)}
được gọi là đường cong tích phân ứng với nghiệm ϕ1 ( x),ϕ 2 ( x);...,ϕn ( x) hiển
nhiên Γ ⊂ ¡

n+1

.

Bây giờ ta coi ( y1 , y2 ,..., yn ) như tọa độ của mỗi điểm trong không gian
n chiều ¡

n

mà ta gọi là khơng gian pha. Khi đó tập hợp điểm:

γ = { (ϕ1 ( x),ϕ2 ( x),...,ϕ n ( x)), x ∈ (a, b)}
được gọi là đường cong pha hay quỹ đạo pha. Hiển nhiên đường cong pha
chứa trong không gian pha. Không gian ¡

n+1

thường được gọi là khơng gian

pha suy rộng. Đường cong tích phân chứa trong không gian pha suy rộng.
1.4.2. Ý nghĩa cơ học
Ta coi t là biến độc lập, x1 , x2 ,..., xn là tọa độ của một điểm trong không
gian pha ¡ n . Khi đó hệ phương trình vi phân cấp một:


12

 dx1
 dt = F1 (t , x1 , x2 ,..., xn )

 dx2 = F (t , x , x ,..., x )
2

1
2
n
 dt
L L L L L

 dxn = F (t , x , x ,..., x )
n
1
2
n
 dt
là hệ phương trình chuyển động của một điểm trong khơng gian pha ¡

(1.10)

n

mà:

dx 
 dx1 dx2
;
;.....; n ÷

dt 
 dt dt
là véctơ vận tốc của điểm đó. Tại mỗi điểm M của không gian pha véctơ vận
tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.10) xác định một trường vận tốc
khơng dừng. Nếu kí hiệu X là véctơ ( x1 , x2 ,..., xn ) , F là véctơ ( F1 , F2 ,..., Fn )

thì hệ (1.10) được viết dưới dạng

dX
= F (t , X ) .
dt

Ta xét trường hợp đặc biệt của hệ (1.10) khi các vế phải không phụ

thuộc vào t :

 dx1
 dt = F1 ( x1 , x2 ,..., xn )

 dx2 = F ( x , x ,..., x )
2
1
2
n
 dt
L L L L

 dxn = F ( x , x ,..., x )
n
1
2
n
 dt

(1.11)

Đối với hệ (1.11) véctơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo
thời gian. Ta nói rằng hệ (1.11) xác định một trường vận tốc dừng và gọi nó là
hệ ơ- tơ-nơm hay hệ dừng.
1.5. Tiêu chuẩn Hurwitz


13

1.5.1. Một số khái niệm cần thiết
Xét đa thức:
f ( z ) = a0 + a1.z + .... + an .z n (với n ≥ 1 )

(1.12)

Trong đó z = x + i. y là số phức và a0 , a1 ,....an có thể là các hệ số thực hoặc
phức.
Định nghĩa: Đa thức f ( z ) bậc n ≥ 1 được gọi là đa thức Hurwitz. Nếu
tất cả các nghiệm (khơng điểm) z1 , z2 ,....zn của nó đều có các phần thực âm:
Re Z j < 0 ( j = 1,2,..., n )

(1.13)

tức là tất cả các nghiệm z j đều nằm ở nửa mặt phẳng phức bên trái. Sau đây
chúng ta giả thiết rằng các hệ số a0 , a1 ,....an của đa thức (1.12) f ( z ) là thực
và :
a0 > 0; an ≠ 0 .

(1.14)

Một đa thức như vậy rõ ràng khơng có nghiệm khơng và để ngắn gọn ta

gọi đa thức đó là đa thức bậc chuẩn bậc n (n ≥ 1) .
Định lí: Nếu đa thức chuẩn là đa thức Hurwitz thì tất cả các hệ số của
nó đều dương.
1.5.2. Tiêu chuẩn Hurwitz
Ta xét đa thức chuẩn:

f ( z ) = a0 + a1.z + .... + an .z n

(1.15)

trong đó a0 > 0; an ≠ 0 (n ≥ 1) .
Lập (n × n) - ma trận Hurwitz:
0 L 0 
 a1 a0 0


 a3 a2 a1 a0 L 0 
.........................................


 a2 n−1 a2 n− 2 a2 n−3 a2 n−4 L an 
trong đó qui ước as = 0 với s < 0 và s > n .

(1.16)


14

Định lí Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (1.15) là đa thức
Hurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz của nó đều

dương, tức là:
∆1 = a1 > 0

∆ = a1 a0 > 0
 2
a3 a2


L
∆ n = an .∆ n −1 > 0
(Các điều kiện 1.17 còn gọi là điều kiện Hurwitz).

(1.17)


15

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ LIAPUNOV
2.1. Định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov
Ta xét hệ phương trình vi phân:
dy
= Y ( y, t )
dt

(2.1)

Ta lấy ra một chuyển động y = f (t ) nào đó của hệ (2.1) và gọi nó là
chuyển động khơng có nhiễu loạn.

Chuyển động y = f (t ) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối với
mọi ε > 0 có thể chỉ ra được σ > 0 sao cho từ bất đẳng thức
y (t0 ) − f (t0 ) < σ suy ra bất đẳng thức y (t ) − f (t ) < ε với t ≥ to . Ở đây qua
y (t ) ta đã kí hiệu một nghiệm bất kỳ khác của hệ (2.1), xác định bởi điều kiện
ban đầu y (t0 ) . Chuyển động y = f (t ) gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa
Liapunov nếu nó ổn định theo nghĩa Liapunov và nếu có tồn tại một số dương
h sao cho khi y (t0 ) − f (t0 ) < h ta sẽ có
lim
y (t ) − f (t ) = 0
t →∞

(2.2)

Nếu như nghiệm y (t ) tiến tới f (t ) khi t → ∞ đều đối với to thì sự ổn
định tiệm cận gọi là đều đối to . Nếu như sự qua giới hạn đối với điều kiện ban
đầu y (t0 ) là đều thì ta nói rằng nghiệm y = f (t ) ổn định tiệm cận đều đối với
điều kiện ban đầu. Nếu như hệ (2.1) là ô-tô-nôm tức vế phải khơng phụ thuộc
vào t thì sự ổn định tiệm cận sẽ luôn luôn đều đối với điều kiện ban đầu đã
cho.
Nếu chuyển động y = f (t ) ổn định theo liapunov và hệ thức (2.2) đúng đối
với nghiệm y (t ) được xác định bởi điều kiện ban đầu cho trước bất kỳ thì ta


16

nói rằng chuyển động y = f (t ) ổn định tiệm cận với bất kỳ điều kiện ban đầu
cho trước( hay là ổn định tiệm cận trong toàn cục).
Trong hệ (2.1) thực hiện phép biến đổi x = y − f (t ) hệ mới sẽ có
dạng:
dx

= Y ( x + f (t ), t ) − Y ( f (t ), t )
dt
bằng cách đưa ra kí hiệu:
X ( x, t ) = Y ( x + f (t ), t ) − Y ( f (t ), t )
ta nhận được hệ :
dx
= X ( x, t )
dt

(2.3)

trong đó X (0, t ) = 0 với t ≥ t0 .
Hệ (2.3) xác định phương trình vi phân của chuyển động có nhiễu loạn.
Chuyển động y = f (t ) , qua phép biến đổi đang xét, trở thành vị trí cân bằng
x = 0 của hệ mới. Như vậy, bài toán ổn định của chuyển động y = f (t ) trở
thành bài toán ổn định của nghiệm không x = 0 của hệ (2.3).
Nghiệm x = 0 của hệ (2.3) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối
với số dương ε bất kỳ luôn luôn có thể chỉ ra số dương σ sao cho từ bất
đẳng thức x(t0 < σ suy ra x(t ) < ε với t > t0 . Còn nếu như mọi nghiệm
x(t ) mà điều kiện ban đầu đã cho của nó được xác định bởi x(t0 ) < h thỏa
x(t ) = 0 thì nghiệm khơng gọi là ổn định tiệm cận theo
mãn tính chất lim
t →∞
nghĩa Liapunov.
2.2. Hàm số 2 Liapunov


17

Ta xét hàm số v ( x1 , x 2 …., x n ) xác định trong không gian pha các biến

x1 , x 2 ,…., x n liên tục trong một miền D nào đó, chứa gốc tọa độ. Ta cũng giả
sử rằng hàm v ( x1 , x 2 …., x n ) có trong miền D các đạo hàm riêng liên tục.
Hàm số v ( x1 , x 2 …., x n ) gọi là xác định dương trong miền D nếu như
trong miền D trừ điểm O ( 0,…..,0 ) ta có bất đẳng thức v > 0 . Cịn nếu như
có bất đẳng thức v < 0 thì hàm v gọi là xác định âm trong cả hai trường hợp
đó hàm số đều được gọi là có dấu xác định.
Nếu như khắp nơi trong miền D ta có bất đẳng thức v ≥ 0 hoặc v ≤ 0
thì hàm số v được gọi là có dấu không đổi , hơn nữa trong trường hợp đầu
tiên hàm v cịn gọi là có dấu dương và trường hợp thứ hai gọi là hàm có dấu
âm.
Nếu hàm số v lấy giá trị trong miền D , lúc thì dấu dương, lúc thì dấu
2
2
2
âm thì khi ấy v gọi là hàm đổi dấu. Chẳng hạn hàm v = x1 + x 2 – x 3 sẽ là
2
2
2
hàm đổi dấu trong không gian các biến x1 , x2 , x3 còn hàm số v = x1 +x 2 +x 3 là
2
2
hàm xác định dương trong không gian này. Tuy nhiên hàm số v = x1 +x 2 sẽ

có dấu khơng đổi trong không gian các biến x1 , x2 , x3 ( bởi vì nó triệt tiêu trên
cả trục Ox3 ) và có dấu xác định trong khơng gian các biến x1 , x2 .
Thông thường chúng ta chỉ sử dụng tới các dạng toàn phương của các
biến x1 , x 2 ,…, x n . Rõ ràng, một dạng tồn phương bất kỳ đều có thể viết dưới
dạng:
n

v = ∑ aik .xi .xk trong đó aik = aki .
i , k =1

Ma trận hệ số của dạng này:


18

a11 L a1n
A= L L L L
an1 L ann
và xét các định thức:
a11 L a1k
∆ k = L L L L với k = 1,2,..., n .
ak 1 L akk
Nếu như có ∆ k > 0 với k = 1,2,..., n thì dạng v sẽ là xác định dương.
Định lí đảo cũng đúng tức là điều kiện ∆ k >0 là điều kiện cần và đủ để dạng v
xác định dương. Từ tiêu chuẩn Sylvester dễ dàng đưa ra điều kiện cần và đủ
để dạng v xác định âm. Điều kiện này được viết dưới dạng bất đẳng thức:
∆1 < 0; ∆ 2 > 0; ∆ 3 < 0;...
tức là các định thức ∆ k lập thành một dãy tuần tự đổi dấu, đồng thời ∆1 < 0 .
Hàm số v ( x1 , x 2 ,…., x n ) có các tính chất đã nói ở trên gọi là hàm
Liapunov.
2.3. Định lý về sự ổn định và không ổn định của Liapunov
2.3.1. Định lý của Liapunov về sự ổn định
Xét hệ phương trình vi phân:
dxi
= X i ( x1 ,..., xn ); i = 1,2,..., n .
dt

(2.4)

Vế phải X i ( x1 ,…., x n ) của nó liên tục và thỏa mãn điều kiện lipschitz
trong một miền D nào đó của khơng gian pha, bao gồm điểm O ( 0,0,…,0 )
cùng với một lân cận nào đó của nó. Giả sử điều kiện X i ( 0,….,0 ) = 0 được
thỏa mãn, khi đó điểm O sẽ là điểm kỳ dị của hệ (2.4) hay nói cách khác là vị
trí cân bằng của hệ này. Ta giả sử rằng vế phải của hệ (2.4) trong trường hợp
đang xét không phụ thuộc vào t , tức ta xem hệ là ô-tô-nôm.


19

Định lí 2.3.1 (Định lý Liapunov về sự ổn định):
Nếu đối với hệ (2.4) có tồn tại trong miền D một hàm xác định dấu v ,
đạo hàm của nó theo thời gian v&, lấy theo hệ (2.4) là một hàm có dấu khơng
đổi, trái dấu với hàm v thì vị trí cân bằng ổn định theo nghĩa Liapunov.
Chứng minh:
Ta sẽ kí hiệu qua J ε phần trong của hình cầu tâm O bán kính ε và qua
Sε mặt biên của hình cầu này.
Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương. Giả sử rằng ε được
chọn sao cho J ε nằm trong miền D và giả sử l là giá trị cực tiểu của hàm v
trên mặt cầu Sε . Ta hãy chọn số dương σ , sao cho tại những điểm của hình
cầu J σ bất đẳng thức v < l được thỏa mãn và giả sử p là một điểm tùy ý của
f ( p, t ) , xuất phát từ điểm p và giả sử rằng nó cắt hình cầu

J σ . Xét quỹ đạo

Sε tại điểm q nào đó bởi vì:
∂v
Xi ≤0

i =1 ∂x
i
n

v&= ∑

nên hàm v không tăng dọc theo quỹ đạo và vì vậy có v( q) ≤ v(q) < l . Mặt
khác vì l là cực tiểu của hàm v trên Sε nên nhất thiết phải có v( q) ≥ 1 . Mâu
thuẫn vừa nhận được chứng tỏ rằng điểm f ( p, t ) , khi thời gian tăng lên,
khơng thể vượt ra ngồi giới hạn của mặt cầu Sε .
Bây giờ ta có thể chứng tỏ rằng có thể sử dụng lược đồ chứng minh của
định lý để đánh giá miền nhiễu loạn thừa nhận được. Một miền E nào đó
được gọi là miền nhiễu loạn thừa nhận được của miền G đã cho, nếu như tất
cả các quỹ đạo xuất phát từ các điểm của nó, không vượt ra khỏi giới hạn của
miền G . Rõ ràng, trong trường hợp đã cho, miền J σ sẽ là miền nhiễu loạn
thừa nhận được đối với miền J ε . Vậy thì để xác định miền nhiễu loạn thừa


20

nhận được cần phải tìm cực tiểu l của hàm v trên biên của miền G và để lấy
làm miền E ta sẽ chọn miền, trong đó thỏa mãn v < l .
Định lí 2.3.2. (Định lí Liapunov về sự ổn định tiệm cận):
Nếu đối với hệ phương trình vi phân (2.4) có tồn tại một hàm xác định
dấu v , đạo hàm tồn phần của nó theo thời gian, lấy theo hệ (2.4), cũng sẽ là
hàm xác định dấu, trái dấu với v thì vị trí cân bằng sẽ ổn định tiệm cận.
Chứng minh:
Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương, giả sử R là một số sao
cho J R nằm trong miền D .
Từ định lí 2.3.1 ta suy ra rằng vị trí cân bằng sẽ ổn định nên có tồn tại

số r > 0 sao cho: nếu điểm p nằm trong J r thì điểm f ( p, t ) khơng thể vượt
ra ngồi hình cầu J R . Giả sử ε là một số dương đủ bé, theo định lí 2.3.1 ta lại
có thể chỉ ra số σ > 0 sao cho từ p ⊂ J σ ta sẽ suy ra f ( p, t ) ⊂ J ε với t > 0 .
Giả sử điểm p nằm trong J ε . Giả thiết rằng điểm f ( p, t ) với t > 0 khơng thể
rơi vào trong hình cầu J σ . Khi đó nửa quỹ đạo f ( p, t ) , với t > 0 sẽ nằm
trong lớp cầu J R \ J σ . Bởi vì trong lớp cầu này ta ln có v&< 0 nên có tồn tại
một hằng số m > 0 sao cho ta sẽ có v&< −m tại tất cả các điểm của lớp cầu đã
nói. Từ đẳng thức:
t

&
v( f ( p, t )) = v( p) + ∫ vdt
0

ta suy ra ngay bất đẳng thức:
v( f ( p, t )) < v( p ) − mt .

(2.5)

Nếu như tăng t lên vô hạn thì vế phải của bất đẳng thức (2.5) trở nên
âm, điều đó dẫn chúng ta đến mâu thuẫn vì vế trái của bất đẳng thức này là
giá trị của hàm số Liapunov nên không thể âm. Vậy để tránh mâu thuẫn ta
phải giả thiết rằng tại một thời điểm nào đó, điểm f ( p, t ) sẽ rơi vào trong


21

hình cầu J σ ; nhưng số σ đã được chọn sao cho sau khi rơi vào trong J σ ,
điểm f ( p, t ) không thể nào vượt ra khỏi J ε . Bởi vì ε là một số có thể chọn
f ( p, t ) = 0 .

bé bao nhiêu cũng được nên từ đó ta suy ra rằng lim
t →∞
Vậy định lí được chứng minh.
2.3.2. Định lí về sự khơng ổn định của Liapunov
Định lí 2.3.3: Nếu có tồn tại một hàm số v , đạo hàm của nó theo thời
gian là một hàm xác định dấu và sao cho trong một lân cận bất kỳ của điểm 0,
v không phải là một hàm không đổi dấu và trái dấu với v&thì nghiệm khơng
của hệ (2.4) khơng ổn định.
Chứng minh:
Giả sử trong hình cầu J ε các điều kiện của định lí được thỏa mãn. Để
xác định ta giả sử rằng v&là hàm xác định dương, xét trong lân cận khá bé J σ
của điểm 0. Ta hãy chứng tỏ rằng có tồn tại một điểm p , quỹ đạo của nó khi
t > 0 sẽ vượt ra ngoài giới hạn của J ε . Theo điều kiện của định lí trong J σ có
một điểm p sao cho v( p) = v0 > 0 . Do tính liên tục của hàm v , có tồn tại một
số η sao cho trong Jη ta sẽ có v < v0 . Bởi vì v&là hàm xác định dương nên
v( f ( p, t )) tăng khi t tăng và vì vậy điểm f ( p, t ) không thể rơi vào trong Jη .
Ta giả sử rằng điểm f ( p, t ) không vượt ra khỏi J ε . Bởi vì trong miền
J ε \ Jη v&có cực tiểu dương m nên ta sẽ có bất đẳng thức:
t

& > v( p) + mt
v( f ( p, t )) = v( p) + ∫ vdt

(2.6)

0

Từ đó ta thấy khi t tăng, hàm v( f ( p, t )) sẽ tăng không giới nội nhưng
mặt khác, hàm v liên tục nên nó lại phải giới nội trong lớp cầu J ε \ Jη . Mẫu
thuẫn đó suy ra định lý được chứng minh.

22

Định lí 2.3.4: Nếu có tồn tại một hàm số v sao cho đạo hàm của nó
theo thời gian có dạng:
dv
= λv + ω
dt

(2.7)

Trong đó λ là một hằng số dương cịn ω hoặc là đồng nhất bằng
khơng hoặc là không đổi dấu và nếu như trong trường hợp sau, v không phải
là một hàm không đổi dấu và trái dấu với ω , trong một lân cận bất kỳ của
điểm 0 thì nghiệm khơng của hệ (2.4) khơng ổn định.
Để xác định ta giả sử ω ≥ 0 , trong một lân cận tùy ý bé J σ ta chọn điểm
p sao cho v( p) = v0 > 0 và chứng tỏ rằng điểm f ( p, t ) khi t tăng sẽ vượt ra
khỏi giới hạn của một lân cận J ε bất kỳ, trong đó những điều kiện của định lý
được thỏa mãn. Bằng cách xem các hàm v( f ( p, t )) và ω ( f ( p, t )) như những
hàm của thời gian, từ phương trình vi phân (2.7) ta có thể xác định v( f ( p, t ))
theo công thức cauchy đã biết:
 t − λt

v( f ( p, t )) = e  ∫ e ω dt + v0  .
0

λt

Từ điều kiện ω ≥ 0 ta có:

v( f ( p, t )) ≥ v0e λt
Vì λ > 0 nên khi t tăng, hàm v( f ( p, t )) tăng khơng giới nội và điều
này có nghĩa là điểm f ( p, t ) vượt ra khỏi miền J ε .
2.4. Sự ổn định trong toàn cục
Xét hệ:
dx
= X ( x)
dt
với điều kiện X (0) = 0 .

(2.8)


23

Định nghĩa : Nghiệm không của hệ (2.8) gọi là ổn định trong toàn cục
(hay là ổn định với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu) nếu nó ổn định theo nghĩa
Liapunov và nếu mọi nghiệm x(t ) khác của hệ đều có tính chất

x(t ) → 0

khi t → ∞ .
Hàm Liapunov v gọi là vô cùng lớn nếu đối với bất kỳ số dương A
n

đều có tồn tại một số dương R sao cho bên ngoài mặt cầu

∑x
i =1

2
i

= R ta có bất

đẳng thức v > A .
Chẳng hạn như một dạng toàn phương xác định dương sẽ là một vơ
2
2
cùng lớn bởi vì ta sẽ có λ1r ≤ v ≤ λn r trong đó λ1 > 0 cịn r là bán kính

véctơ của điểm.
x2
+ y 2 xác định dương nhưng không phải là vô cùng lớn
Hàm v =
2
1+ x
bởi vì khi y = 0 và x → ∞ , hàm v không tiến tới vô cùng.
Mặt mức của một hàm vô cùng lớn là mặt giới nội.
Thật vậy, ta hãy xét một mặt mức v = c nào đó. Đối với c cho trước ta
có thể chỉ ra hình cầu bán kính R mà ở bên ngồi nó ta sẽ có v > c và do đó
mặt v = c sẽ nằm bên trong hình cầu này.
Định lí 2.4.1 (Về sự ổn định tiệm cận trong toàn cục):
Nếu có tồn tại một hàm v vơ cùng lớn, xác định dương, có đạo hàm
xác định âm trong tồn bộ khơng gian thì nghiệm khơng của hệ ổn định tiệm
cận với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu.
Định lý này có định lý đảo và một trường hợp riêng của định lý tổng
quát hơn dưới đây.

24

Định lí 2.4.2: Giả sử có tồn tại một hàm v xác định dương, vô cùng
lớn sao cho

dv
dv
< 0 bên ngồi M và
≤ 0 trên M , trong đó tập hợp M
dt
dt

không chứa những quỹ đạo nguyên vẹn ( trừ ra vị trí cân bằng khơng). Khi ấy
nghiệm khơng của hệ (2.8) sẽ ổn định trong toàn cục.
Chứng minh định lí:
Giả sử p là một điểm tùy ý của khơng gian pha. Từ điểm p xuất phát
nửa quỹ đạo f ( p, t ) ( t > 0 ) . Theo điều kiện của định lý

dv
≤ 0 nên ta có:
dt

v( f ( p, t )) ≤ v0 . Vì tập hợp v( p) ≤ v0 giới nội nên nửa quỹ đạo f ( p, t ) nằm
trong một miền giới nội, do đó có điểm ω − giới hạn. Ta suy ra rằng toàn bộ
tập ω − giới hạn nằm trên cùng một mặt mức v = vω .
Ta xét hai trường hợp:
Nếu vω =0 thì mặt mức v = 0 là gốc tọa độ. Do đó tồn bộ tập ω − giới
x(t ) = 0 . Bởi
hạn của quỹ đạo f ( p, t ) trùng với gốc tọa độ và chúng ta có lim
t →∞

vì từ bất đẳng thức

dv
≤ 0 ta suy ra sự ổn định thông thường theo nghĩa
dt

Liapunov (xem định lý 2.3.1) nên ta có sự ổn định tiệm cận trong toàn cục.
Bây giờ giả sử rằng vω ≠ 0 . Trên mặt v = vω có chứa tập ω − giới hạn
Ω của điểm p , lập nên từ những quỹ đạo nguyên vẹn. Dọc theo những quỹ

đạo này rõ ràng ta sẽ có v&= 0 , vì vậy tập Ω nằm trong M . Nhưng theo các
điều kiện của định lý M không chứa những quỹ đạo nguyên vẹn do đó giả
thiết vω ≠ 0 dẫn đến mâu thuẫn. Định lý được chứng minh.


25

Bây giờ chú ý rằng nếu tập M chứa những quỹ đạo nguyên vẹn thì từ
chứng minh của định lý ta suy rằng tất cả các quỹ đạo của hệ (2.8) đều co về
một tập hợp nào đó nằm trong M . Tập hợp này là bất biến tức là lập nên từ
những quỹ đạo nguyên vẹn.
Định lí 2.4.3: (Về sự ổn định trong tồn cục của nghiệm khơng của hệ
tuyến tính): Nếu như nghiệm khơng của hệ tuyến tính ổn định tiệm cận theo
nghĩa Liapunov thì nó ổn định trong tồn cục.
Thật vậy, nghiệm khơng sẽ ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov chỉ khi
tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm. Đối với bất kỳ
dạng tồn phương xác định âm ω đều có thể chỉ ra một dạng xác định dương v
sao cho ta có v&= ω . Vì dạng v là một vơ cùng lớn nên ta có thể áp dụng định lý
2.4.1.
2.5. Bài tốn Aizerman

Cùng với phương trình tuyến tính cấp hai:
&
x&+ ax&+ bx = 0

(2.9)

Ta xét phương trình phi tuyến:
&
x&+ ax&+ f ( x) = 0, f (0) = 0

(2.10)

Nếu a > 0 và b > 0 thì nghiệm khơng của phương trình ổn định tiệm
cận trong tồn cục. Điều kiện b > 0 có thể giải thích như điều kiện phân bố
đường thẳng y = bx vào trong góc vuông thứ nhất và thứ ba của mặt mặt
phẳng tọa độ. Vậy thì nảy ra một vấn đề như sau: nếu như đồ thị của hàm đơn
trị y = f ( x ) cũng sẽ phân bố trong góc vng thứ nhất và thứ ba thì nghiệm
khơng của phương trình (2.10) có ổn định tiệm cận trong tồn cục hay khơng?
Nói một cách khác, các điều kiện a > 0, f ( x) x > 0 đã đảm bảo cho sự ổn định
tiệm cận trong tồn cục chưa, hay cịn cần thêm những điều kiện phụ nào
khác nữa?
Để giải quyết vấn đề này ta hãy xét hàm Liapunov:


26

x

v = y + 2 ∫ f ( x)dx.
2

0

Đạo hàm hàm v dựa vào hệ:
x&= y, y&= − f ( x ) − ay
2
có dạng v&= −2ay . Để cho hàm v&là xác định dương, cần phải thỏa mãn điều

kiện f ( x) x > 0 . Nếu a>0 thì v& sẽ mang dấu âm. Rõ ràng v& triệt tiêu trên
đường thẳng y = 0 không chứa những quỹ đạo ngun vẹn trừ ra vị trí cân
bằng.
Vậy thì để áp dụng định lý 2.4.2 chỉ cần phải làm cho hàm v là một vơ
cùng lớn. Muốn thế chỉ cần hồn thành điều kiện:
x

∫ f ( x)dx → ∞

khi x → ∞

0

hoặc là hoàn thành điều kiện đơn giản hơn là:
f ( x&)
> ε > 0 với x ≠ 0 .
x
Ta thấy rằng, tổng qt mà nói, việc hồn thành điều kiện Routh-Hurwitz
suy rộng a > 0, f ( x) x > 0 chưa đủ để kết luận sự tồn tại tính chất ổn định trong
tồn cục.
Bây giờ ta hãy xét vấn đề với quan điểm tổng quát hơn. Cùng với hệ tuyến
tính:

dx1 n

= ∑ a1k xk − bx1

dt k =1

dxi n
= ∑ aik xk , i = 2,..., n.

dt k =1
ta xét hệ phi tuyến:

(2.11)


27

dx1 n

= ∑ a1k xk + f ( x1 )

dt k =1

dxi n
= ∑ aik xk , i = 2,..., n, f (0) = 0.

dt k =1

(2.12)

Giả sử ta đã biết rằng nghiệm không của hệ (2.11) ổn định tiệm cận đối
với mọi b thỏa mãn điều kiện:

α < b < β.
Nghiệm khơng của hệ (2.12) có ổn định trong tồn cục hay khơng, nếu
thỏa mãn điều kiện:

α<

f ( x1 )
<β
x1

(2.13)

Nói cách khác, nếu đồ thị của đường cong y = f ( x ) nằm giữa các đường

y=

f (x

y

y=

βx

)

thẳng y = α x và y = β x (hình 1)

b
y=

x

y=a

0

x

x

Hình 1
thì đã đủ đảm bảo cho sự ổn định trong tồn cục của nghiệm khơng của hệ
(2.12) hay chưa? Bài toán này đã được M.A.Aizerman phát biểu lần đầu tiên
và là xuất phát điểm cho rất nhiều cơng trình nghiên cứu của các nhà toán học
và cơ học.