Giải bài 1,2,3,4,5 trang 92 SGK đại số giải tích 11: Dãy số

Tóm tắt kiến thức và Giải bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 92 SGK đại số giải tích 11: Dãy số – Chương 3.

A.Tóm tắt kiến thức bài Dãy số
1. Định nghĩa
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
Kí hiệu:
u: N* → R
n → u(n)
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển u1, u2,u3, ….,un,….,
trong đó un = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, u1 là số hạng đàu của dãy số (un )
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m}, với m ε N* được gọi là một dãy số hữu hạn
Dạng khai triển của nó là: u1, u2,u3, ….,um, trong đó u1là số hạng đầu, Um là số hạng cuối.
2. Cách cho một dãy số
a) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.
Khi đó Un = f(n), trong đó f là một hàm số xác định trên N* .
Đây là cách khá thông dụng (giống như hàm số) và nếu biết giá trị của n (hay cúng chính là số thứ tự của
số hạng) thì ta có thể tính ngay được Un.
b) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Người ta cho một mệnh đề mô tả cách xác định các số hạng liên tiếp của dãy số. Tuy nhiên, thường thì
không tìm ngay được Un với n tuỳ ý.
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi (hay quy nạp)
– Cho số hạng thứ nhất (hoặc một vài số hạng đầu).
– Với n ≥ 2, cho một công thức tính Un nếu biết Un-1 (hoặc một vài số hạng đứng trước đó)


Chẳng hạn, các công thức có thể là:
3) Dãy số tăng, dãy số giảm
– Dãy số Un được gọi là dãy số tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ N* ;
– Dãy số Un được gọi là dãy số giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ N* .
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số (Un):
Phương pháp 1: Xét hiệu H = un+1 – un.

– Nếu H > 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng
– Nếu H < 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm.
Phương pháp 2:

4. Dãy số bị chặn
– Dãy số Un được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
Un ≤ M, với mọi n ∈ N*.
– Dãy số Un được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
Un ≥ m, với mọi n ∈ N*.
– Dãy số Un được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trêm vừa bị chặn dưới tức là tồn tại hai số m, M sao
cho:
m ≤ Un ≤ M, với mọi n ∈ N*.
Bài trước: Giải bài 1,2,3,4,5 trang 82,83 SGK đại số và giải tích 11: Phương pháp quy nạp toán học


A. Đáp án và hướng dẫn giải bài kiến thức bài Dãy số trang 92.
Bài 1 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Bài 1. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 1:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là u1 = 1; u2 = 2/3, u3 = 3/7; u4 =4/15; u5 =5/31
b) Năm số hạng đầu của dãy số là
u1 = 1/3; u2 = 3/5, u3 = 7/9; u4 =15/17; u5 =31/33
c) Năm số hạng đầu của dãy số là
u1 = 2; u2 = 9/4, u3 = 64/27; u4 = 625/256; u5 = 7776/3125
d) Năm số hạng đầu của dãy số là
u1 = 1/√2; u2 = 2/√5, u3 = 3/√10; u4 =4/√17; u5 =5/√26
Bài 2 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Cho dãy số Un , biết:
u1 = -1; un+1 = un +3 với n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n -4.
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 2:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là -1, 2, 5, 8, 11.
b) Chứng minh un = 3n – 4 bằng phương pháp quy nạp:
Với n =1 thì u1 3.1 – 4 = -1, đúng.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là uk = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.
Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:
uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.


Vậy hệ thức đúng với mọi n ∈ N* , tức là công thức đã được chứng minh.
Bài 3 trang 92 SGK đại số và giải tích 11

Dãy số un cho bởi: u1 = 3;

, n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh côngt hức đó bằng phương pháp quy nạp
Đáp án và Hướng dẫn giải bài 3:
a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.
b) Ta có: u1 = 3 = √9 = √(1 + 8)
u2 = √10 = √(2 + 8)
u3 = √11 = √(3 + 8)
u4 = √12 = √(4 + 8)
………..
Từ trên ta dự đoán un = √(n + 8), với n ∈ N* (1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
– Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

– Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.
Vậy công thức (1) được chứng minh.
Bài 4 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Xét tính tăng, giảm của các dãy số un biết:

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 4:


a)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu
Vậy un+1 > un với mọi n ε N* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số un+1 / un
(vì un > 0 với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.

Ta có

với mọi n N*

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.
Bài 5 trang 92 SGK đại số và giải tích 11
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?