quy hoach thực nghiệm

QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

79

Chương

5

QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN
VÀ RIÊNG PHẦN
Từ chương này ta khảo sát quy hoạch thực nghiệm nhiều nhân tố. Nội
dung chủ yếu chọn phương pháp quy hoạch thực nghiệm là trả lời cho câu
hỏi: ở các mức giá trị nào và sự kết hợp như thế nào giữa các nhân tố trong
thực nghiệm.
Thực nghiệm mà khi đó số mức thay đổi của tất cả các nhân tố như
nhau, và tất cả sự tổ hợp này đều được sử dụng để nghiên cứu gọi là thực
nghiệm nhân tố tồn phần (TNT).
Nếu số mức thay đổi nhân tố là 2, và số nhân tố là k thì số thực
nghiệm phải thực hiện là N = 2k. Theo kết quả TNT 2k ta có thể nhận được
phương trình hồi quy tuyến tính:
y = bo + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk

(5.1)

Phương trình này có thể bổ sung thêm các thành phần là tích các nhân
tố. TNT được sử dụng rộng rãi trong giai đoạn đầu tiên nghiên cứu thực
nghiệm đối tượng: xác định xem nhân tố nào ảnh hưởng nhiều nhất đến đối
tượng nghiên cứu (chương 7).
Thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) cho phép ta giảm bớt số thực
nghiệm so với TNT trong trường hợp PTHQ có số hệ số nhỏ hơn rất nhiều
so với tổng số thực nghiệm N = 2k.

5.1 QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN
Trong lý thuyết QHTN thì thực nghiệm nhân tố tồn phần (TNT) có
rất nhiều ưu điểm so với các dạng quy hoạch khác:
- Ước lượng độc lập các hệ số phương trình hồi quy
- Phương sai chính là nhỏ nhất
- Đơn giản xử lý kết quả thực nghiệm


CHÖÔNG 5

80

Các ưu điểm này là do một số tính chất đặc biệt của ma trận thực nghiệm.
x12

x22

x1x2

-1

1

1

1

0

-1

0

1

1

+1

-1

1

4

1

-1

+1

5

1

0

6

1

Tổng

x1y

x2y

y

9

-9

-9

8,7

0

5,5

0

-5,5

5,85

1

-1

3

3

-3

2,95

1

1

-1

7,5

-7,5

7,5

7,44

+1

0

1

0

4,2

0

4,2

4,57

+1

+1

1

1

1

2

2

2

1,69

6

0

0

4

6

0

31,2

-11,5

-3,8

No

xo

x1

x2

x12

x22

x1x2

x1y

x2y

y

1

1

-1

-1

1

1

1

9

-9

-9

8,7

3

1

+1

-1

1

1

-1

3

3

-3

2,95

4

1

-1

+1

1

1

-1

7,5

-7,5

7,5

7,44

6

1

+1

+1

1

1

1

2

2

2

1,69

Tổng

6

0

0

4

6

0

31,2

-11,5

-3,8

No

xo

x1

x2

1

1

-1

2

1

3

Từ đây

y

y





y  5,2  2,875x1  0,63x 2
Theo bài 3.3 y = 5,375 – 2,875x1 – 0,625x2

Ma trận thực nghiệm TNT 2k với các nhân tố được mã hóa có các đặc
tính sau:
1- Tính đối xứng với tâm quy hoạch. Tổng đại số các phần tử cột của
bất kỳ nhân tố nào cũng đều bằng 0.

N

 xij
j 1

trong đó:

0

(5.2)

xij - giá trị nhân tố i trong thực nghiệm thứ j; i = 1, 2... k; j = 1, 2... N
N- số thực nghiệm trong quy hoạch.

2- Tính chuẩn hóa. Tổng bình phương các phần tử cột của một nhân
tố bất kỳ bằng số thực nghiệm N:
N

 xij2
j 1

 N ; i  1, 2...k

(5.3)


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

81

3- Tính trực giao. Tổng của tích 2 cột bất kỳ trong ma trận quy hoạch
bằng 0. Ví dụ trong trường hợp thực nghiệm nhân tố tồn phần:
N

 xijx uj  0;

i  u; i, u  1, 2...k là số các nhân tố

(5.4)

j 1

Ma trận quy hoạch có tính chất 3 gọi là ma trận trực giao. Tất cả các
tính chất này đều có thể kiểm tra theo bảng 5.2, 5.3.
Ý tưởng xây dựng TNT 2 k đơn giản nhất cho trường hợp 2 nhân tố
X1 và X2. Cần chú ý:
- Nhà nghiên cứu cần chọn miền giá trị các nhân tố. Giả sử đối với
nhân tố X1 ta chọn miền X1min  X1  X1max và đối với nhân tố X 2:
X2min  X2  X2max.
- Trong TNT 2k mỗi nhân tố đều thay đổi ở 2 mức – mức cao nhất và
thấp nhất.
- Kết hợp tất cả giá trị có thể của các mức này giữa các nhân tố: khi
đó đối với số nhân tố bất kỳ là k thì số thực nghiệm trong TNT là
2k. Nghĩa là nếu có 2 nhân tố thì số thực nghiệm là 22 = 4.
Ma trận quy hoạch cho trường hợp 2 nhân tố cho trong bảng 5.1.
Bảng 5.1 TNT với 2 nhân tố
No
1
2
3

4

Giá trị nhân tố tự nhiên
X1

X2

X1min
X1max
X1min
X1max

X2min
X2min
X2max
X2max

Giá trị đại lượng đầu ra
y1
y2
y3
y4


CHÖÔNG 5

82

Bảng 5.2 TNT với 2 nhân tố dạng mã hóa
Nhân tố thực

1
2
3
4

Nhân tố mã hóa

z1

z2

x1

x2

Giá trị đại
lượng đầu ra

½
3/2
½
3/2

1
1
2
2

-1

+1
-1
+1

-1
-1
+1
+1

y1
y2
y3
y4

No

Tương tự ta xây dựng được ma trận thực nghiệm cho nhiều nhân tố.
Để việc xử lý kết quả 1 được thuận tiện hơn thì các nhân tố này nên được
mã hóa.
Ma trận TNT với 2 nhân tố (quy hoạch 22) trong ký hiệu được mã hóa
trình bày trong bảng 5.2.
Đối với TNT với 3 nhân tố, ký hiệu 23, ma trận quy hoạch cho trong
bảng 5.3.
Bảng 5.3 TNT với 3 nhân tố dạng mã hóa
No
1
2
3
4
5

6
7
8

Nhân tố
x0

x1

x2

x3

Giá trị đại
lượng đầu ra

+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1

–1
+1
–1
+1
–1

+1
–1
+1

–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1
+1

–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1

y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8

Ma trận 5.1 – 5.3 chỉ ra điều kiện tiến hành thí nghiệm. Trình tự tiến
hành thí nghiệm, không nhất thiết phải theo thứ tự trên mà theo thuận tiện
chọn giá trị các nhân tố.
Tồn tại vài phương pháp xây dựng TNT, như trên bảng 5.2 và 5.3 thì
cột đầu tiên số mức -1 và +1 nối tiếp nhau 20, cột thứ 2 từ phải số mức -1
và +1 lần lượt là 21, và cột cuối cùng là 2k-1.
Ta biểu diễn miền thay đổi các nhân tố dưới dạng hình học (hình 5.1
và 5.2).


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

83

Giả sử ta tiến hành thí nghiệm với hai nhân tố thay đổi X1, X2 và miền
thay đổi các nhân tố này là:
X1min  X1  X1max;

X2min  X2  X2max

Mặt phẳng nhân tố là mặt phẳng hệ trục tọa độ với trục hồnh là nhân
tố X1, trục tung là nhân tố X2 (H.5.1, 5.2a).

Hình 5.1 Chọn miền thay đổi các nhân tố


CHƯƠNG 5

84

Ví dụ, khi miền thay đổi giá trò thực Xi:

Xi min  Xi  Xi max
với Ximax gọi là giới hạn trên nhân tố; Ximin gọi là giới hạn dưới nhân tố
Mức giữa nhân tố gọi là X(io) hoặc gọi là mức cơ sở:

X(io) 

X i min  X i max
2

Hiệu  i  Xi max  X(io)  X(io)  Xi min gọi là khoảng thay đổi nhân
tố Xi.
Giá trò nhân tố mã hóa được xác đònh theo công thức:

X i  X (io)
xi 
i
với: Xi - giá trò thật
xi - giá trò mã hóa Xi, khi đó xi có các giá trò +1, 0 và -1.

Hình 5.2 Miền giá trị các nhân tố
a) Dạng tự nhiên; b) Mã hóa
Tập hợp các điểm nằm trong hình chữ nhật 1234 gọi là miền thay đổi
các nhân tố (hình 5.2a). Khi chuyển sang nhân tố được mã hóa, chúng thay
đổi trong miền sau:


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

85

-1  xi  +1 với i = 1,2
Khi đó miền thay đổi các nhân tố nằm trong hình vng 1234 (hình 5.2b).
Các điểm trên các đỉnh hình 5.2a tương ứng với ma trận thực nghiệm
(bảng 5.1), các điểm trên các đỉnh hình vng 5.2b tương ứng với ma trận
thực nghiệm bảng 5.2.
Bài tập 5.1 Mã hóa các nhân tố và hồn chỉnh bảng kết quả
3 Nhân tố
Giá trị nhân tố
NO

, min
(X2)
0
0
60
60
0
0
60
60

t, oC
(X1)
20
60
20
60

20
60
20
60

1
2
3
4
5
6
7
8

, pH
(X3)
4,5
4,5
4,5
4,5
5,2
5,2
5,2
5,2

Giá trị mã hóa
(Ma trận quy hoạch)
x0
x1
x2

x3
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1

-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1

-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1

-1
-1

-1
-1
+1
+1
+1
+1

Kết quả tính
_

yj

s 2j

40,2
44,2
52,7
49,2
32,9
37,4
45,2
53,5

1,325
1,075
0,45
2,2
2,05
1,175
2,075

0,875

2 Nhân tố
Giá trị nhân tố
NO

, min
(X2)
0
0
60
60

t, oC
(X1)
20
60
20
60

1
2
3
4

Giá trị mã hóa
(Ma trận quy hoạch)
x0
x1
x2

+1
+1
+1
+1

-1
+1
-1
+1

Kết quả tính

-1
-1
+1
+1

yj

s 2j

40,2
44,2
52,7
49,2

1,325
1,075
0,45
2,2

Dạng tổng qt
Giá trị nhân tố
xo

x1

x2

...

xk

Kết quả thí
nghiệm

1

x01

x11

x21

...

xk1

y1

2

x02

x12

x22

...

xk2

y2

3

x03

x13

x23

...

xk3

y3

No

CHÖÔNG 5

86















N

x0N

x1N

x2N

...

xkN

yN

Biểu diễn hình học TNT 3 nhân tố dạng khối chữ nhật (hình 5.3), các đỉnh
khối chữ nhật tương ứng các mức thực nghiệm, nếu ở dạng mã hóa thì là các
đỉnh của khối vuông. Khi số nhân tố k > 3 thì biểu diễn hình học rất bổ ích
dễ hình dung nhưng khó khăn khi thể hiện chúng trên giấy.

Hình 5.3 Biểu diễn hình học 3 nhân tố
Sự phụ thuộc đáp ứng vào các nhân tố thay đổi được cho bằng phương
trình hồi quy được gọi là hàm đáp ứng. Biểu diễn hình học của hàm đáp ứng
là bề mặt đáp ứng. Ví dụ để biểu diễn mô hình tuyến tính y = bo + b1x1 + b2x2
ta cần khảo sát không gian 3 chiều với các trục tọa độ x1, x2 và y.
5.2 TÍNH TOAÙN HEÄ SOÁ HOÀI QUY
Để xác định các hệ số phương trình hồi quy của TNT ta sử dụng
phương pháp bình phương nhỏ nhất. Sử dụng phương pháp này ta phải giải
hệ phương trình với p ẩn số (p là số hệ số phương trình hồi quy).
Tính chất từ 1-3 (công thức 5.2, 5.3, 5.4) của TNT giúp cho việc xác
định các hệ số phương trình hồi quy trở thành dễ dàng hơn. Đầu tiên ta tìm
các hệ số phương trình hồi quy được viết dưới dạng mã hóa:
y = bo + b1x1 + b2x2 + ... + bkxk

(5.5)

Sử dụng công thức (3.40) theo phương pháp ma trận ta xác định công
thức để xác định các hệ số tuyến tính phương trình hồi quy b1, b2, ... bk có
dạng:


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

bi 

x i1 y 1  x i 2 y 2  ...  x iN y N
N

87

N

  x ij y j 
j1


N

(5.6)

với i =1, 2, ... k
Ví dụ 5.1 Khảo sát sự phụ thuộc đại lượng y (cm2/s) vào 3 nhân tố: d(cm),
l(cm) và v(m/s). Các giá trị nhân tố dạng tự nhiên và mã hố và kết quả thực
nghiệm cho trong bảng 5.4 và 5.5.
Bảng 5.4 Ma trận thực nghiệm với nhân tố tự nhiên
No

d, cm

l, cm

v, m/s

y, cm2/s

1
2
3
4
5
6
7
8

30,5
53
30,5
53
30,5
53
30,5
53

48
48
66
66
48
48
66
66

11,5
11,5
11,5
11,5
15,5
15,5
15,5
15,5

24,0
42,2
33,8
41,4
57,8
51,0
51,7
54,6

Bảng 5.5 Ma trận thực nghiệm với nhân tố mã hóa
No

xo

x1

x2

x3

y

1
2
3
4
5
6
7
8

+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1

–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1

–1
–1

+1
+1
–1
–1
+1
+1

–1
–1
–1
–1
+1
+1
+1
+1

24,0
42,2
33,8
41,4
57,8
51,0
51,7
54,6
8

 x ojy j

Giải : Theo cơng thức (5.6) ta xác định các hệ số: bo 

1

8

8

 xojy j

bo 

1

8



24  42,2  33,8  41,4  57,8  51,0  51,7  54,6
8


CHƯƠNG 5

88
8

 x1jy j

b1 

1

8



24  42,2  33,8  41,4  57,8  51,0  51,7  54,6
8

8

 x 2 jy j

b2 

1

8



24  42,2  33,8  41,4  57,8  51,0  51,7  54,6
8



24  42,2  33,8  41,4  57,8  51,0  51,7  54,6
8

8

 x3jy j

b3 

1

8

Thu được các kết quả sau:
bo = 44,56; b1 = 2,74; b2 = 0,8125; b3 = 9,2125
Từ đây suy ra:
y = 44,56+ 2,74x1 + 0,8125x2 + 9,2125x3
Chuyển sang dạng thực bằng cách thay thế:
X  41,75
x1  1
12,25
x2 

X2  57
9

x3 

X3  13,5
2

Phương trình tổng qt có dạng:

5.3 TÍNH TƯƠNG TÁC CÁC NHÂN TỐ THEO KẾT QUẢ TNT 2k
Trong nhiều trường hợp mức độ ảnh hưởng một nhân tố phụ thuộc vào

mức giá trị nhân tố khác.
TNT 2k cho phép ngồi các hệ số tuyến tính hồi quy ta cần ước lượng
tất cả tương tác giữa các nhân tố.


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

89

Đầu tiên ta khảo sát trường hợp với 2 nhân tố: chỉ có 1 cặp tác dụng
lẫn nhau duy nhất giữa hai nhân tố x1, x2. Hệ số b12 khi đó có thể đánh giá
theo kết quả TNT. Như thế phương trình hồi quy có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b12x1x2
(5.7)
Như thế trong mơ hình trên số hệ số p = 4 và nó bằng với số thí
nghiệm N = 4. Do đó phương trình (5.7) gọi là phương án bão hòa (đầy đủ).
Đánh giá tương tác các nhân tố bằng tính chất của ma trận hàm cơ sở
TNT. Ta lập ma trận thực nghiệm với TNT 22 trong các ký hiệu được mã
hóa (bảng 5.6).
Bảng 5.6 Ma trận thực nghiệm
Nhân tố và tương tác đơi

No
1
2
3
4

xo

x1

x2

x1x2

+1
+1
+1
+1

–1
+1
–1
+1

–1
–1
+1
+1

+1
–1
–1
+1

y
y1
y2
y3

y4

Ma trận trong bảng 5.6 có các tính chất 5.1 – 5.3, từ đó cho phép ước
lượng hệ số tương tác b12. Để tính chúng ta sử dụng cột x1x2 trong bảng 5.6.
N

b12 

x
j1

1j

x2 jy j

4

(5.8)

Đối với quy hoạch trong bảng 5.6 thì b12 xác định theo cơng thức:
y  y2  y3  y4
b12  1
4

Trong trường hợp tổng qt (quy hoạch 2k, hệ số biu xét đến tương tác
nhân tố xi, xu):
N

b iu 

 x ijx ujy j
j 1

(5.9)
N
Đối với thực nghiệm 3 nhân tố, ngồi 3 hệ số tương tác kép x1x2, x1x3,
x2x3 ta còn tương tác 3 nhân tố x1x2x3, nó gọi là tương tác bậc 2. Mơ hình
khi đó có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b123 x1x2x3 (5.10)


CHÖÔNG 5

90

Vì p = N, nên mô hình trên là bão hòa. Để tìm giá trị hệ số b123 ta sử
dụng cột x1x2x3 trên ma trận quy hoạch (bảng 5.7).
Trong trường hợp tổng quát có k nhân tố, số tương tác đôi (bậc 1)
được xác định theo công thức:

C2k 

k(k  1)
2

(5.11)

- Số tương tác 3 (bậc 2)

k(k  1)(k  2)

2.3
- Số tương tác k (bậc k-1):
C3k 

C kk 

(5.12)

k!
k!
 1 , tổng quát: Cnk 
0! k!
n!(k  n)!

(5.13)

Tổng số hệ số:
p = k + 1 + C2k  C3k  ...  Ckk

(5.14)

Công thức xác định các hệ số tương tác tương tự công thức 5.9.
Ví dụ 5.2 Với các số liệu như ví dụ 5.1. Khảo sát sự phụ thuộc đại lượng y
(cm2/s) vào 3 nhân tố: d (cm), l (cm) và v (m/s) nếu kể đến tương tác bậc 1
và 2.
Giải:
Trong ví dụ 5.1 nếu kể đến tương tác bậc 1 và 2 ta có bảng ma trân
quy hoạch thực nghiệm sau:
Bảng 5.7
N

1
2
3
4
5
6
7

xo
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1

Tương tác
bậc 1

Nhân tố

Tương tác
bậc 2

x1

x2

x3

x1x2

x1x3

x2x3

x1x2x3

–1
+1
–1
+1
–1
+1
–1

–1
–1
+1
+1
–1
–1
+1

–1
–1
–1
–1
+1

+1
+1

+1
–1
–1
+1
+1
–1
–1

+1
–1
+1
–1
+1
–1
+1

+1
+1
–1
–1
–1
–1
+1

–1
+1
+1

–1
+1
–1
–1

Kết quả
Y
24,0
42,2
33,8
41,4
57,8
51,0
51,7


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN
8

+1

+1

+1

+1

+1

–1

+1

91
+1

54,6

Theo cơng thức (5.9) ta suy ra các hệ số tương tác bậc 1 và 2: b13 = 3,71; b23 = -1,44; b123 = 2,54
Khi đó phương trình hồi quy có dạng:
y = 44,56 + 2,74x1 + 0,81x2 + 9,21x3 – 0,11x1x2 – 3,71x1x3 – 1,44x2x3 + 2,54x1x2x3

5.4 PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MÔ HÌNH HỒI QUY THU ĐƯC THEO TNT
Tính chất 5.1 – 5.3 (cơng thức 5.2 – 5.5) ma trận TNT làm đơn giản
khơng chỉ tính tốn hệ số phương trình hồi quy, mà còn phân tích thống kê
mơ hình hồi quy.
Ma trận (XTX)-1 là ma trận đường chéo. Theo kết quả thì tất cả
covarian giữa các hệ số hồi quy bằng 0 (tính trực giao). Do đó, các hệ số
phương trình hồi quy độc lập và khơng cần tính lại các hệ số phương trình
hồi quy khi loại bỏ các hệ số khơng ý nghĩa. Ngồi ra, phương sai của tất cả
hệ số phương trình hồi quy bằng nhau và xác định theo cơng thức:
a) Khi số thí nghiệm lặp n bằng nhau:

s2{bi } 
Do đó:

s2 {y}
nN

(5.15)

s 2 {b i }  c ii s 2 {y}

trong đó: s2{y} - ước lượng phương sai tái hiện
N - số thực nghiệm chính.
b) Khi khơng có số thí nghiệm lặp:
s 2 {b i } 

s 2 {y}
N

(5.16)

Khi số thí nghiệm lặp n bằng nhau vẫn giữ các tính chất (5.2) – (5.4)
của ma trận quy hoạch và có tất cả ưu điểm của TNT. Cơng thức tính các hệ
số vẫn đúng trong trường hợp giá trị đáp ứng thu được lấy theo giá trị trung
bình các thí nghiệm lặp y .


CHÖÔNG 5

92

Khi số thí nghiệm lặp không bằng nhau sẽ vi phạm tính trực giao quy
hoạch. Khi đó ta không thể sử dụng các công thức cho TNT để tính các hệ
số. Để tính các hệ số cần sử dụng phương trình tổng quát.
Để ước lượng ý nghĩa của hệ số phương trình hồi quy ta sử dụng tiêu
chuẩn Student:

b i  t b s{b i }

(5.17)

Khi loại bỏ các hệ số không ý nghĩa ta không cần tính lại các hệ số
phương trình hồi quy.
Kiểm tra tính thích hợp phương trình hồi quy cũng tương tự trường
hợp tổng quát.
Ví dụ 5.0. Sử dụng TNT để xác định sự phụ thuộc giữa giới hạn bền loại vật
liệu vào độ ẩm W và nhiệt độ t. Kết quả thực nghiệm lấy từ bảng 3.4
Giải
Bảng ma trận quy hoạch và kết quả thực nghiệm:
No

xo

x1

x2

y

1

1

-1

-1

9

2

1

+1

-1

3

3

1

-1

+1

7,5

4

1

+1

+1

2



y

Xác định các hệ số:
b0 = (9+3+7,5+2)/4 = 5,375
b1 = (-9+3-7,5+2)/4 = -2,875
b2 = (-9-3+7,5+2)/4 = -0,625
Từ đây

y = 5,375 – 2,875x1-0,625

Ví dụ 5.3 Nghiên cứu ảnh hưởng nhiệt độ 20  toC  60, thời gian 0 ph  t
 60 ph và độ pH: 4,5  pH  5,2 khi thủy phân đến độ bền uốn một loại vật
liệu .


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

93

Giải
1- Giá trị các nhân tố cho trong bảng 5.8.
Bảng 5.8
Nhân tố

Mức nhân tố

Ký hiệu

Tên

Tự
nhiên

Mã
hóa

Cao
nhất

Thấp nhất

Cơ sở

t



x1
x2
x3

60
60
5,2

20
0
4,5

40
30
4,85

Nhiệt độ oC
Thời gian, ph
Độ pH

Khoảng
thay đổi
20
30
0,35

2- Sử dụng phương trình hồi quy tuyến tính đầy đủ
3- Quan hệ giữa nhân tố được mã hóa và tự nhiên:
x1 

t  40
;
20

x2 

  30
;
30

x3

  4,85
0,35

4- Ma trận quy hoạch và kết quả thực nghiệm cho trong bảng 5.9. Mỗi
thực nghiệm lặp lại 5 lần.
Bảng 5.9
Kết quả thực nghiệm , MPa

Nhân tố
N
1
1
2
3
4
5
6
7
8

t, oC
2
20
+60
20
+60
20
+60
20

+60

,
min
3
0
0
+60
+60
0
0
+60
+60

_

, pH

yj1

yj2

yj3

yj4

yj5

yj

s 2j

yˆ j

4
4,5
4,5
4,5
4,5
+5,2
+5,2
+5,2
+5,2

5
39
46
53
47
32
38
43
55

6
41,5
44
53,5
50
31

37
45
52,5

7
40,5
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5

8
41
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5

9
39
44
52
51
53

36,5
45
53

10
40,2
44,2
52,7
49,2
32,9
37,4
45,2
53,5

11
1,325
1,075
0,45
2,2
2,05
1,175
2,075
0,875

12
40,65
43,7
52,23
49,65
33,35

36,93
44,73
53,95

Kết quả thực nghiệm , MPa

Nhân tố

STT
X0
1

Kết quả tính tốn

Kết quả tính tốn
_

x1

x2

x3

yj1

yj2

yj3

yj4

yj5

yj

s 2j

yˆ j

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

CHÖÔNG 5

94
1
2
3
4
5
6
7
8

1
1
1
1
1
1
1
1

-1
1
-1
1
-1
1
-1

1

-1
-1
1
1
-1
-1
1
1

-1
-1
-1
-1
1
1
1
1

39
46
53
47
32
38
43
55

41,5

44
53,5
50
31
37
45
52,5

40,5
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5

41
43,5
53
49
34
39
46,5
53,5

39
44
52
51

53
36,5
45
53

40,2
44,2
52,7
49,2
32,9
37,4
45,2
53,5

1,325
1,075
0,45
2,2
2,05
1,175
2,075
0,875

40,65
43,7
52,23
49,65
33,35
36,93
44,73

53,95

5- Để kiểm tra giả thuyết về phân phối chuẩn của đại lượng đầu ra ta tiến
hành riêng 50 thí nghiệm với điều kiện:
t = 20%;  = 0ph;  = 5,2pH
Tính chất chuẩn của phân bố kiểm tra theo tiêu chuẩn  2 . Giả sử

 2t  3,55 nhỏ hơn giá trị tra bảng 2b  5,99 (khi q = 0,05). Do đó giả
thuyết này được chấp nhận.
Trên cơ sở số thực nghiệm trên ta cũng xác định số thí nghiệm lặp là n = 5.
6- Thực nghiệm chính. Ma trận thực nghiệm với 3 nhân tố x1, x2, x3
trình bày trên bảng 5.7. Các giá trị tự nhiên cho trong bảng 5.8 và kết quả
thực nghiệm cho trong bảng 5.9. Trong cột 10 là giá trị trung bình đáp ứng,
tính theo giá trị trung bình các thí nghiệm lặp:
5

 y ju

y1  u 1
5

, j  1,2...8

Ở đây yju - giá trị đáp ứng trong thí nghiệm lặp thứ u của thực nghiệm
thứ j, u = 1, 2… 5.
7. Cột thứ 11 là kết quả tính toán phương sai mỗi thực nghiệm (với 5
thí nghiệm lặp):
5

2

  y ju  y j 

s2j  u 1

4

, j = 1, 2, 3... 8

8. Kiểm tra tính đồng nhất phương sai thí nghiệm (mục 2.7). Do số thí
nghiệm lặp như nhau nên ta sử dụng tiêu chuẩn Cochran.


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

95

Phương sai lớn nhất là của loạt thí nghiệm thứ 4: s24  2,2 cho nên:
s24
Gtt  2
s1  s22 

 s28



2, 2
 0,196
11, 25

Theo bảng phân bố Cochran với q = 0,01, số bậc tự do f = n – 1 = 4,
số lượng mẫu m = 8 ta tìm Gb = 0,46 vì Gtt = 0,196  0,46 nên ta chấp nhận
giả thuyết về tính đồng nhất phương sai thí nghiệm.
9. Phương trình hồi quy có dạng (5.10). Hệ số PTHQ xác định theo
cơng thức (5.6, 5.9) với sự trợ giúp ma trận quy hoạch (bảng 5.7) và cột y j
(cột thứ 10) trong bảng 5.9. Sau khi tính tốn ta thu được phương trình hồi
quy dạng mã hóa:
y = 44,4 + 1,66x1 + 5,74x2 – 2,16x3 – 0,46x1x2
+ 1,54x1x3 + 1,36x2x3 + 1,41x1x2x3
10. Ước lượng ý nghĩa các hệ số phương trình hồi quy. Đại lượng tb
được xác định theo bảng phân bố Student với q = 0,01 và số bậc tự do (phụ
lục 1)
fy = N(n – 1) = 8(5 – 1) = 32
Từ phụ lục 1 ta thu được tb = 2,73.
Phương sai tái hiện phương trình hồi quy:
s2{y} = (s21+ s22+…+ s28)/8 = 11,25/8 = 1,4
Theo cơng thức (5.16), phương sai hệ số phương trình hồi quy :
s2{bi} = s2{y}/(n.N) = 1,4/(5.8) = 0,035,
suy ra

s{bi} = 0,187

Cho nên

t bs{bi}  2,73.0,187  0,51.

Trong các hệ số PTHQ thì chỉ có b12 khơng thỏa mãn điều kiện:

b12  0,46  t bs{bi}  0,51
Cho nên hệ số b12 khơng ý nghĩa và loại bỏ nó. Ta khơng cần tính lại

các hệ số PTHQ (do có tính trực giao của ma trận quy hoạch):
y = 44,4 + 1,66x1 + 5,74x2 – 2,16x3 + 1,54x1x3
+ 1,36x2x3 + 1,41x1x2x3

(5.11)


CHÖÔNG 5

96

Xác định khoảng tin cậy các hệ số phương trình hồi quy:

bi  t bs{bi}  i  bi  t bs{bi}
43,89  o  44,91

s 2th

1,15  1  2,17
5,23  2  6,25

1,03  13  2,05
0,85  23  1,87

–2,67  3  -1,65

0,9  123  1,92

11. Tiếp tục ta kiểm tra tính thích hợp PTHQ. Phương sai thích hợp
được xác định theo công thức:

N



n  y j  yˆ j

s
j1
s2th  th 
f th
Np



2

trong đó: p - số hệ số phương trình hồi quy (p = 7);
y j - giá trị đáp ứng của thí nghiệm thứ j (trong cột 10 của bảng 5.9).

s2th  5

(40,2  40,65)

2



 (44,2  43,7)2  ...  (53,5  53,45)2
 8,62
(8  7)

Giá trị tính toán theo tiêu chuẩn Fisher Ft được xác định theo công thức:
Ft 

s 2th
2

s { y}



8,62
 6,15
1,4

Từ bảng phân bố Fisher (phụ lục 2) với q = 0,01 và bậc tự do
fth = N – p = 8 – 7 = 1 và fy = N(n – 1) = 32
ta tìm Fb = 7,57 .
vì

Ft = 6,15 < Fb = 7,57

cho nên điều kiện tính tích hợp PTHQ được thỏa.
12. Phân tích kết quả:
Biểu diễn PTHQ dạng tự nhiên:


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

  44,4  1,66

97

(t  40)
20

 (  30)
(  4,85)
 (t  40)  (  4,35) 
5,74 
 2,16
 1,54 
.

0,35
 20  0,35 
 30
t  40 t  30   4,85
 (  30)   (  4,85) 
1,36 
 1,41




20
20
0,35
 30   0,35 

hoặc:
  127,46  0,366t  1,287 19,59  0,08t  0,206  0,0485t  0,01t

5.5 THỰC NGHIỆM NHÂN TỐ RIÊNG PHẦN (TNR)
Thơng thường thực nghiệm được thực hiện trong các lãnh vực khoa
học, kỹ thuật, cơng nghệ… tốn nhiều cơng sức, thời gian và chi phí. Cho
nên vấn đề quan trọng là làm sao giảm chi phí thực nghiệm, cụ thể là giảm
số thí nghiệm.
Trong TNT ta thu được PTHQ với đầy đủ các hệ số, bao gồm cả các
hệ số tương tác. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp một số hệ số tương tác là
khơng cần thiết. Ví dụ như trong giai đoạn đầu nghiên cứu đối tượng, thơng
thường ta tiến hành thực nghiệm để thu được phương trình hồi quy tuyến
tính với các hệ số bi. Với k nhân tố thực nghiệm, PTHQ có k+1 hệ số và số
thí nghiệm cần thiết N phải lớn hơn hoặc bằng k+1. Theo quan điểm về kinh
tế thì số N khơng được lớn hơn nhiều so với số hệ số PTHQ.
Ví dụ khi k = 6 thì số hệ số PTHQ có tương tác đơi là p = k + 1 + C2k = 1

+ 6 + 6.5 = 22 hệ số, theo TNT thì N = 26 = 64 thí nghiệm, vì N >> p, cho nên
2

TNT khơng hiệu quả.
Thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) cho phép ta giảm bớt số thí
nghiệm so với TNT trong trường hợp PTHQ có thể bỏ qua (biết trước) các
hệ số tương tác.
Để giải thích ý tưởng xây dựng TNR ta bắt đầu từ TNT với 2 nhân tố
Trong bảng 5.11 là ma trận thực nghiệm, quy hoạch này tương ứng
PTHQ:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b12x1x2

(5.18)

CHÖÔNG 5

98

Bảng 5.11

Bảng 5.12

No

xo

x1

x2

(x3) x1x2

No

xo

x1

x2

x3

1
2
3
4

+1
+1
+1
+1

-1
+1
-1
+1

-1
-1
+1
+1

+1
-1
-1
+1

1
2
3
4

+1
+1
+1
+1

–1
+1
–1
+1

–1
–1
+1
+1

+1
–1
–1
+1

Giả sử rằng ta biết trước rằng hệ số tương tác b12 có thể bỏ qua. Khi
đó ta thay cột x1x2 bằng nhân tố mới x3 (bảng 5.12). Khi đó, nhà thực
nghiệm tiến hành với 3 nhân tố gồm 4 thực nghiệm. Theo kết quả thực
nghiệm ta thu được PTHQ:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3

(5.19)

Ma trận quy hoạch trong bảng 5.11 và 5.12 đều thỏa các tính chất
(5.2) – (5.4). Quy hoạch thu được từ TNT bằng cách thay thế hệ số tương

tác bằng hệ số mới gọi là thực nghiệm nhân tố riêng phần (TNR) hay gọi là
đáp ứng riêng phần của TNT.
Trong quy hoạch 23-1 nhân tố x3 được thay bằng tương tác x1x2. Do
đó, trong PTHQ không nên tách rời ảnh hưởng nhân tố x3 khỏi ảnh hưởng
tương tác bằng hệ số b3 mà phải đánh giá đồng thời hoặc phối hợp của các
hệ số 3 và 12. Ta có thể ký hiệu như sau:
b3  3 + 12
Nếu trên bảng 5.12 ta thêm vào các cột x1x3 và x2x3 thì chúng sẽ trùng
với các cột x2 và x1. Do đó ta có các đánh giá hỗn hợp sau:
b2  2 + 13
b1  1 + 23
Khi xây dựng quy hoạch 23-1 ta sử dụng biểu thức x3 = x1x2, biểu thức
này gọi là biểu thức sinh (generator) quy hoạch.
Nhân cả hai vế biểu thức sinh cho x3 ta có:

x32  x1x2 x3  1
Biểu thức trên với vế phải là 1 và vế trái là tích của vài nhân tố gọi là
độ tương phản xác định (determining contract).


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

99

Nhờ vào độ tương phản xác định ta có thể xác định hệ thống phối hợp
các đánh giá mà khơng cần phải thêm các cột phụ. Để thực hiện điều đó ta
nhân 2 vế độ tương phản xác định cho x1, x2,...x3. Ví dụ:
1 = x1x2x3
Nhân 2 vế cho x1:

x1 = x2x3  b1  1 + 23

Nhân 2 vế cho x2:

x2 = x1x3  b2  2 + 13

Nhân 2 vế cho x3:

x3 = x1x2  b3  3 + 12

Chú ý rằng khi đặt x3 = -x1x2 ta có một ma trận thực nghiệm 23-1 khác.
Và cả hai TNR 23-1 này (với x3 = x1x2 và x3 = -x1x2) tạo thành TNT 23.
Tiếp tục ta xây dựng TNR trên cơ sở TNT 23.
Có vài phương pháp xây dựng TNR với 4 nhân tố trên cơ sở quy
hoạch này dựa trên tương tác nào được bỏ qua. Ví dụ ta bỏ qua tương tác
3 x1x2x3 và thay thế bằng nhân tố x 4 ta thu được quy hoạch 4 nhân tố
(bảng 5.13).
Bảng 5.13
N

o

x1

x2

x3

x4 (x4 = x1x2x3)

1

+1

+1

+1

+1

2

-1

+1

+1

-1

3

+1

-1

+1

-1

4

-1

-1

+1

+1

5

+1

+1

-1

-1

6

-1

+1

-1

+1

7

+1

-1

-1

+1

8

-1

-1

-1

-1

Với quy hoạch này ta có biểu thức sinh x4 = x1x2x3, độ tương phản xác
định có dạng:
1 = x1x2x3x4
Nhân lần lượt 2 vế biểu thức trên cho x1, x2, x3 và x1x2, x2x3, x1x3 ta có:
x1 = x2x3x4
x2 = x1x3x4


CHÖÔNG 5

100

x3 = x1x2x4
x1x2 = x3x4
x2x3 = x1x4
x1x3 = x2x4
Từ đây ta có hệ thống đánh giá phối hợp các ước lượng:
b1
b2
b3
b4






1 + 234
2 + 134
3 + 124
4 + 123

b12  12 + 34
b13  13 + 24
b14  14 + 23

Phương trình hồi quy xây dựng trên cơ sở quy hoạch ở trên bao gồm
các hệ số bo, b1, b2, b3, b4, b12, b13, b14:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b12x1x2 + b13x1x3 + b14x1x4 (5.20)
Cần chú ý hệ thống phối hợp. Ví dụ hệ số b12 đánh giá không chỉ 12

mà còn 34. Sử dụng ma trận quy hoạch theo bảng 5.13 để xây dựng mô
hình (5.20) là ma trận bão hòa vì N = 8 = p. Do đó không thể ước lượng tích
thích hợp mô hình.
Ta khảo sát phương án khác của TNR 2 4-1 khi so sánh x4 = x1x3
(bảng 5.14)
Bảng 5.14
0

N
1
2
3
4
5
6
7
8

x1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1

Bài tập:
Nếu x4 = x2x3, yêu cầu:

1. Ma trận quy hoạch

x2
+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1

x3
+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1

x4 (x4 = x1x3)
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1

+1


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

101

2. Độ tương phản xác định
3. Dạng phương trình hồi quy

Độ tương phản xác định:
1 = x1x3x4
Các biểu thức sinh của quy hoạch:
x1 = x3x4
x2 = x1x2x3x4
x3 = x1x4
x4 = x1x3

x1x2 = x2x3x4
x2x3 = x1x2x4
x2x4 = x1x2x3

Hệ thống phối hợp các đánh giá
b1  1+ 34

b12  12 + 234

b2  2 + 1234

b23  23 + 124

b3  3 + 14

b24  24 + 123

b4  4 + 13
Khi đó phương trình hồi quy có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b12x1x2 + b23x2x3 + b24x2x4
So sánh hai hệ thống phối hợp cả 2 quy hoạch vừa khảo sát ta thấy ưu
điểm của quy hoạch với độ tương phản xác định:
1 = x1x2x3x4
Đối với quy hoạch này thì ước lượng các hệ số tuyến tính phương
trình hồi quy phối hợp chỉ với các tương tác ba. Khi đó quy hoạch với độ
tương phản xác định 1 = x1 x3 x4 vài ước lượng hệ số tuyến tính phối hợp với
các tương tác đơi. Do đó theo hệ thống phối hợp các ước lượng ta chọn quy
hoạch tốt nhất khi vế phải của độ tương phản xác định có số thành phần
nhân tố nhiều nhất.
Ngồi các phương án kể trên ta còn có phương án khác nhau để xây
dựng TNR trên cơ sở TNT 23, các biểu thức sinh có thể là:
x4 = -x1x2x3


CHÖÔNG 5

102

x4 =  x1x2
x4 = -x1x3
x4 =  x2x3
2

k-p

Ý tưởng xây dựng TNR cho các tương hợp tổng quát như 2k-1, 2k-2, ...
có thể phát triển trên cơ sở trình bày ở trên.

Trên bảng 5.15 là quy hoạch thực nghiệm riêng phần 2k-2 với k = 5,
khi thay thế x4 = x1x2x3 và x5 = x2x3 (các biểu thức sinh).
Bảng 5.15
No

x1

x2

x3

x4
(x4 = x1x2x3)

x5
(x5 = x2x3)

1
2
3
4
5
6
7

8

+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1

+1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1

+1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
-1

+1

-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1

+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1

Để thu được hệ thống phối hợp ta khảo sát các độ tương phản xác định:
1 = x1x2x3x4
1 = x2x3x5
Ngoài ra ta còn thu được hệ thống phối hợp bằng cách nhân theo vế hai
độ tương phản trên:
1 = x1x4x5
Cả ba độ tương phản trên có thể viết dưới dạng một biểu thức và được
gọi là độ tương phản xác định mở rộng:
1 = x1x2x3x4 = x2x3x5 = x1x4x5
Nhân chúng tương ứng cho x1, x2, x3, x4, x5, x1x2, x1x3 ta thu được các
biểu thức:
x1 = x2x3x4 = x1x2x3x5 = x4x5
x2 = x1x3x4 = x3x5 = x1x2x4x5

x3 = x1x2x4 = x2x5 = x1x3x4x5


QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TOÀN PHẦN VÀ RIÊNG PHẦN

103

x4 = x1x2x3 = x2x3x4x5 = x1x5
x5 = x1x2x3x4x5 = x2x3 = x1x4
x1x2 = x3x4 = x1x3x5 = x2x4x5
x1x3= x2x4 = x1x2x5 = x3x4x5
Từ đây ta có hệ thống phối hợp sau:

b1  1  234  1235  45

b2  2  134  35  1245
b3  3  124  25  1345
b4  4  123  2345  15

b5  5  12345  23  14
b12  12  34  135  245
b13  24  125  345
Do đó PTHQ có dạng:
y = bo + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b5x5 + b12x1x2 + b13x1x3
Từ đây ta thấy rằng trong quy hoạch đang khảo sát tất cả các hệ số
tuyến tính đều phối hợp tương tác đơi.
Khi thay thế TNT 3 tương tác bằng các nhân tố mới, ta có TNR 2k-3.
Trên cơ sở TNT 23 ta có thể xây dựng TNR với tối đa 7 nhân tố thay đổi.
Ma trận quy hoạch trong trường hợp này có dạng như bảng 5.16 với
các biểu thức sinh:

x4 = x1x2x3; x5 = -x1x3; x6 = -x2x3; x7 = -x1x2
Bảng 5.16
N

x1

x2

x3

x4
(x4 = x1x2x3)

x5
(x5 = -x1x3)

x6
(x6 = -x2x3)

x7
(x7 = -x1x2)

1
2
3
4

+1
-1
+1

-1

+1
+1
-1
-1

+1
+1
+1
+1

+1
-1
-1
+1

-1
+1
-1
+1

-1
-1
+1
+1

-1
+1
+1

-1