Bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ QUỐC PHÒNG

HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ

Bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội

Võ Minh Phổ

Chuyên ngành: Toán học
Mã số: 62 46 30 01

Người hướng dẫn khoa học:
1. GS. TSKH Hoàng Xuân P
2. PGS. TS. Phan Thành Anh

2011


`.I CAM D
- OAN
LO
Tˆoi xin cam d¯oan nh˜
u.ng kˆe´t qua˙’ d¯u.o..c tr`ınh b`ay trong luˆa.n a´n l`a
m´o.i, d¯a˜ d¯u.o..c cˆong bˆo´ trˆen c´ac ta.p ch´ı To´an ho.c quˆo´c tˆe´. C´ac kˆe´t qua˙’ viˆe´t
u v`a PGS. TS. Phan Th`anh An d¯a˜
chung v´o.i GS. TSKH. Ho`ang Xuˆan Ph´
d¯u.o..c su.. d¯`oˆng y
´ cu˙’a c´ac d¯`ˆong t´ac gia˙’ khi d¯u.a v`ao luˆa.n ´an. C´ac kˆe´t qua˙’
nˆeu trong luˆa.n a´n l`a trung thu..c v`a chu.a t`

u.ng d¯u.o..c ai cˆong bˆo´ trong bˆa´t
k`
y cˆong tr`ınh n`ao kh´ac tru.o´.c d¯o´.

Nghiˆen c´
u.u sinh


˙’ M O.N
`.I CA
LO
Luˆa.n ´an d¯u.o..c ho`an th`anh du.o´.i su.. hu.o´.ng dˆa˜n, chı˙’ ba˙’o cu˙’a GS. TSKH.
Ho`ang Xuˆan Ph´
u v`a PGS. TS. Phan Thanh An. T´ac gia˙’ chˆan th`anh ca˙’m
`ay d¯˜a d`anh cho. T´ac gia˙’ b`ay to˙’ l`ong
o.n su.. gi´
up d¯o˜. mo.i mˇa.t m`a c´ac Thˆ
`ay d¯a˜
u, Thˆ
biˆe´t o.n sˆau sˇa´c v`a chˆan th`anh t´o.i GS. TSKH. Ho`ang Xuˆan Ph´
`eu kiˆe.n d¯ˆe˙’ t´ac
quan tˆam, hu.o´.ng dˆa˜n tˆa.n t`ınh, nghiˆem khˇa´c v`a ta.o mo.i d¯iˆ
gia˙’ c´o thˆe˙’ ho`an th`anh nh˜
u.ng mu.c tiˆeu d¯ˇa.t ra cho luˆa.n a´n. T´ac gia˙’ xin
- oˆng Yˆen, PGS. TS. Ta. Duy
b`ay to˙’ l`ong biˆe´t o.n d¯ˆe´n GS. TSKH. Nguyˆ˜en D
Phu.o..ng, PGS. TS. Nguyˆ˜en Nˇang Tˆam v`a c´ac d¯`ˆong nghiˆe.p thuˆo.c Ph`ong
Gia˙’i t´ıch sˆo´ v`a T´ınh to´an Khoa ho.c Viˆe.n To´an ho.c v`ı d¯a˜ c´o nh˜
u.ng y
´ kiˆe´n

qu´
y b´au cho t´ac gia˙’ trong qu´a tr`ınh nghiˆen c´
u.u.
T´ac gia˙’ xin d¯u.o..c b`ay to˙’ l`ong ca˙’m o.n d¯ˆe´n Ban chu˙’ nhiˆe.m Khoa Cˆong
Nghˆe. thˆong tin, Ph`ong Sau d¯a.i ho.c v`a Ban Gi´am d¯oˆ´c Ho.c viˆe.n K˜
y thuˆa.t
`eu kiˆe.n thuˆa.n lo..i d¯ˆe˙’ t´ac gia˙’ c´o nhiˆ
`eu th`o.i gian thu..c
Quˆan su.. d¯a˜ ta.o mo.i d¯iˆ
hiˆe.n luˆa.n ´an.
- a`o Thanh T˜ınh,
T´ac gia˙’ c˜
ung b`ay to˙’ l`ong biˆe´t o.n d¯ˆe´n PGS. TS. D
-u
PGS. TS. Nguyˆ˜en D
´.c Hiˆe´u, PGS. TS. Nguyˆ˜en Thiˆe.n Luˆa.n, PGS. TS.
`ong, TS. Nguyˆ˜en H˜
Tˆo Vˇan Ban, TS. Nguyˆ˜en Nam Hˆ
u.u Mˆo.ng, TS. V˜
u
Thanh H`a, TS. Nguyˆ˜en Ma.nh H`
ung, TS. Nguyˆ˜en Tro.ng To`an, TS. Ngˆo
-u
- `ınh So.n, TS. Trˆ
`an Nguyˆen Ngo.c
H˜
u.u Ph´
uc, TS. Tˆo´ng Minh D
´.c, TS. Lˆe D
v`a tˆa´t ca˙’ c´ac d¯`oˆng nghiˆe.p trong Khoa Cˆong Nghˆe. thˆong tin, HVKTQS,

d¯a˜ d¯ˆo.ng viˆen, kh´ıch lˆe. v`a c´o nh˜
u.ng trao d¯oˆ˙’i h˜
u.u ´ıch trong suˆo´t th`o.i gian
nghiˆen c´
u.u v`a cˆong t´ac.
T´ac gia˙’ ca˙’m o.n sˆau sˇa´c GS. TSKH. Pha.m Thˆe´ Long, Gi´am d¯ˆo´c Ho.c
`eu kiˆe.n vˆ
`e mˇa.t thu˙’ tu.c c˜
Viˆe.n KTQS, ngu.o`.i d¯a˜ ta.o mo.i d¯iˆ
ung nhu. chuyˆen
mˆon d¯ˆe˙’ t´ac gia˙’ c´o thˆe˙’ ho`an th`anh luˆa.n ´an n`ay.
Cuˆo´i c`
ung t´ac gia˙’ gu˙’.i l`o.i c´am o.n t´o.i vo.. v`a c´ac con, nh˜
u.ng ngu.o`.i d¯a˜
`eu kiˆe.n cho t´ac gia˙’ trong qu´a tr`ınh l`am
d¯oˆ. ng viˆen, chˇam s´oc v`a ta.o mo.i d¯iˆ
luˆa.n ´an.


Mu.c lu.c

L`
o.i cam d
¯oan

1

L`
o.i ca˙’m o.n

2

Danh mu.c c´
ac k´
y hiˆ
e.u thu.`
o.ng d`
ung

5

`au
Mo˙’. d
¯ˆ

1

`oi
`oi, quy hoa.ch to`
a h`
am lˆ
1 B`
ai to´
an quy hoa.ch lˆ
an phu.o.ng v`
thˆ
o
8
`oi, quy hoa.ch to`an phu.o.ng . . . . . .
1.1. B`ai to´an quy hoa.ch lˆ

9
`oi suy rˆo.ng thˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. H`am lˆ

12

`oi ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. H`am γ-lˆ

13

`oi ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. H`am Γ-lˆ

15

`oi trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. H`am γ-lˆ

17

- iˆ
2 D
e˙’m infimum to`
an cu.c cu˙’a B`
ai to´
an (P˜ )
`oi ngo`ai cu˙’a h`am bi. nhiˆ˜eu . . . . . . . . . . . .
2.1. T´ınh γ-lˆ
- iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c v`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c . . .

2.2. D
2.3. C´ac t´ınh chˆa´t cu˙’a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c . . . . . . .
`eu kiˆe.n tˆo´i u.u . . . . . . . . . . . .
2.4. T´ınh chˆa´t tu..a v`a d¯iˆ

20
. .

20

. .

27

. .

28

. .

33

˜
`oi ngo`
3 T´ınh Γ-lˆ
ai cu˙’a h`
am bi. nhiˆ
e u v`
a d
¯iˆ

e˙’m infimum to`
an
3


cu.c cu˙’a B`
ai to´
an (P˜ )
`oi ngo`ai cu˙’a h`am bi. nhiˆ˜eu . . . . . . . . . . . . . .
3.1. T´ınh Γ-lˆ
- iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a b`ai to´an nhiˆ˜eu . . . . . . . . .
3.2. D

43

3.3. T´ınh oˆ˙’n d¯.inh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c . . . . .
`eu kiˆe.n tˆo´i u.u . . . . . . .
3.4. Du.o´.i vi phˆan suy rˆo.ng thˆo v`a d¯iˆ

55

˜
- iˆ
4 D
e˙’m supremum cu˙’a B`
ai to´
an (Q)
`oi trong cu˙’a h`am bi. nhiˆ˜eu . . . . . . . . . . . . . .
4.1. T´ınh γ-lˆ
- iˆe˙’m supremum to`an cu.c cu˙’a h`am bi. nhiˆ˜eu . . . . . . . .

4.2. D
4.3. T´ınh chˆa´t cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c . . . . . .
4.4. T´ınh chˆa´t cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum d¯.ia phu.o.ng . . . .

43
52

58
64
64
66
73
86

Kˆ
e´t luˆ
a.n chung

94

Danh mu.c cˆ
ong tr`ınh cu˙’a t´
ac gia˙’ liˆ
en quan d
¯ˆ
e´n luˆ
a.n ´
an

96

T`
ai liˆ
e.u tham kha˙’o

97


`.NG DUNG
´ KY
´ HIE
ˆ. U THU.O
`
DANH MU
. C CAC
`eu
• IRn : Khˆong gian Euclide n chiˆ
•

·

: Chuˆa˙’n Euclide trong IRn

• x, y : T´ıch vˆo hu.o´.ng cu˙’a v´ec to. x, y
`au mo˙’. b´an k´ınh r tˆam x
• B(x, r) := {y | y − x < r} : H`ınh cˆ
¯ r) := {y | y − x ≤ r} : H`ınh cˆ
`au d¯o´ng b´an k´ınh r tˆam x
• B(x,
• A ∈ IRn×n , A

0 : Ma trˆa.n d¯oˆ´i x´
u.ng x´ac d¯.inh du.o.ng

• AT : Ma trˆa.n chuyˆe˙’n vi. cu˙’a ma trˆa.n A
• λmin , (λmax ) : Gi´a tri. riˆeng nho˙’ nhˆa´t (l´o.n nhˆa´t) cu˙’a ma trˆa.n A
• λ(A) : Tˆa.p c´ac gi´a tri. riˆeng cu˙’a ma trˆa.n A
√
• A = { max λ | λ ∈ λ(AT A)} : Chuˆa˙’n cu˙’a ma trˆa.n A trong IRn×n
`oi ngˇa.t
• f (x) = Ax, x + b, x : H`am to`an phu.o.ng lˆ
• p(x), supx∈D |p(x)| ≤ s v´o.i s ∈ [0, +∞[ : H`am nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i
`oi ngˇa.t v´o.i nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i
• f˜ = f + p : H`am to`an phu.o.ng lˆ
• f (x) := Ax, x + b, x → inf, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.ch to`an
phu.o.ng (P )
• f (x) := Ax, x + b, x → sup, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.ch to`an
phu.o.ng (Q)
• f (x) := Ax, x + b, x + p(x) → inf, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.ch
`oi ngˇa.t v´o.i nhiˆ˜eu (P˜ )
to`an phu.o.ng lˆ
• f (x) := Ax, x + b, x + p(x) → sup, x ∈ D : B`ai to´an quy hoa.ch
˜
`oi ngˇa.t v´o.i nhiˆ˜eu (Q)
to`an phu.o.ng lˆ
• ∂g(x∗ ) : Du.o´.i vi phˆan cu˙’a g ta.i d¯iˆe˙’m x∗


• L(x, µ0 , . . . , µm ) :=

m
i=0 µi gi (x)

: H`am Lagrange

• T´ınh chˆa´t (Mγ ) : Mˆo˜i d¯iˆe˙’m γ-cu..c tiˆe˙’u x∗ cu˙’a f l`a d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u
to`an cu.c
• T´ınh chˆa´t (Iγ ) : Mˆo˜i d¯iˆe˙’m γ-infimum x∗ cu˙’a f l`a d¯iˆe˙’m infimum
to`an cu.c
• Lα (f˜) := {x | x ∈ D, f˜(x) ≤ α}, α ∈ IR : Tˆa.p m´
u.c du.o´.i cu˙’a h`am
f˜ = f + p
1
2 (f (x0 )

• h1 (γ) := inf x0 ,

x1 ∈D, x0 −x1 =γ

• h2 (γ) := inf x0 ,

x1 ∈D, x0 −x1 =γ,−x0 +2x1 ∈D

+ f (x1 )) − f ( 12 (x0 + x1 ))
f (x0 )−2f (x1 )+f (−x0 +2x1 )

• aff D : Bao aphin cu˙’a tˆa.p D
`oi d¯a diˆe.n D
• ext D : Tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu..c biˆen cu˙’a tˆa.p lˆ
• JD (x∗ ) := ext D \ {x∗ }, x∗ ∈ ext D

• d(x, D) := inf y∈D x − y : Khoa˙’ng c´ach t`
u. x d¯ˆe´n D
`oi cu˙’a tˆa.p D
• conv D : Bao lˆ
• dD := minx∗ ∈ext D {d x∗ , conv JD (x∗ ) }
• D(x∗ , β) := {x ∈ D | x = (1 − α)x∗ + αy, y ∈ D, 0 ≤ α ≤ 1 − β},
x∗ ∈ ext D, β ∈ [0, 1]
• C 0 (D) := {p : D → IR | p

C0

:= supx∈D |p(x)| < +∞}

¯C 0 (0, r) : H`ınh cˆ
`au d¯o´ng b´an k´ınh r tˆam 0 trong C 0 (D)
• B


1

˙’. D
ˆU
-`
MO
A
`en thˆo´ng c´o da.ng
B`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng truyˆ
f (x) := Ax, x + b, x → inf,

x∈D

trong d¯o´ A ∈ IRn×n l`a ma trˆa.n vuˆong, b ∈ IRn l`a v´ec to. v`a D ⊂ IRn l`a tˆa.p
`oi.
lˆ
`oi, b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng
C`
ung v´o.i b`ai to´an quy hoa.ch lˆ
`eu nh`a to´an ho.c Viˆe.t nam v`a quˆo´c tˆe´ nghiˆen c´
d¯u.o..c nhiˆ
u.u, v´ı du. nhu. H.
W. Kuhn v`a A. W. Tucker [22], B. Bank v`a R. Hasel [5], E. Blum v`a W.
Oettli [7], B. C. Eaves [12], M. Frank v`a P. Wolfe [13], O. L. Magasarian
[26], G. M. Lee, N. N. Tam v`a N. D. Yen [31], H. X. Phu [45], H. X. Phu
v`a N. D. Yen [53], M. Schweighofer [57], H. Tuy [63], [64], [72], H. H. Vui
v`a P. T. Son [66]. . .
u.u c´ac b`ai to´an
C´ac kˆe´t qua˙’ quan tro.ng d¯a˜ thu d¯u.o..c khi nghiˆen c´
`on ta.i nghiˆe.m tˆo´i
`e su.. tˆ
quy hoa.ch to`an phu.o.ng cu˙’a c´ac nh`a to´an ho.c l`a vˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an tˆo´i u.u, d¯iˆ
`eu kiˆe.n d¯u˙’ tˆo´i u.u, thuˆa.t to´an t`ım nghiˆe.m tˆo´i
u.u, d¯iˆ
u.u, t´ınh oˆ˙’n d¯.inh cu˙’a nghiˆe.m tˆo´i u.u khi c´ac b`ai to´an trˆen bi. t´ac d¯ˆo.ng bo˙’.i
`eu kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´
`e b`ai to´an trˆen d¯a˜ d¯u.o..c u
nhiˆ˜eu. Nhiˆ
u.u vˆ
´.ng du.ng d¯ˆe˙’

gia˙’i c´ac b`ai to´an trong kinh tˆe´ v`a k˜
y thuˆa.t, nhu. b`ai to´an lu..a cho.n d¯`ˆau tu.
(portfolio selection) ([27], [28]), b`ai to´an ph´at d¯iˆe.n tˆo´i u.u (economic power
dispatch) ([6], [11], [69]), b`ai to´an kinh tˆe´ d¯oˆ´i s´anh (matching economic),
([17]), b`ai to´an m´ay hˆo˜ tro.. v´ec to. (support vector machine) ([29]). . .
Khi A l`a nu˙’.a x´ac d¯i.nh du.o.ng hoˇa.c nu˙’.a x´ac d¯i.nh ˆam th`ı b`ai to´an trˆen
c´o thˆe˙’ phˆan r˜a th`anh hai b`ai to´an kh´ac nhau sau:
f (x) := Ax, x + b, x → inf,

x∈D

(P )

f (x) := Ax, x + b, x → sup,

x ∈ D.

(Q)

v`a


2

`oi ngˇa.t
Luˆa.n ´an n`ay nghiˆen c´
u.u c´ac b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng lˆ
v´o.i nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i sau:
f˜(x) := Ax, x + b, x + p(x) → inf,

x∈D

(P˜ )

f˜(x) := Ax, x + b, x + p(x) → sup,

x ∈ D,

˜
(Q)

v`a
`eu kiˆe.n supx∈D |p(x)| ≤ s v´o.i gi´a tri.
trong d¯o´ p : D → IR tho˙’a m˜an d¯iˆ
˜ d¯u.o..c gia˙’ thiˆe´t l`a
s ∈ [0, +∞[ v`a A trong c´ac b`ai to´an (P ), (Q), (P˜ ) v`a (Q)
ma trˆa.n d¯oˆ´i x´
u.ng x´ac d¯.inh du.o.ng.
V`ı sao c´ac b`ai to´an trˆen d¯u.o..c cho.n d¯ˆe˙’ nghiˆen c´
u.u? R˜o r`ang, khi s = 0
˜ ch´ınh l`a c´ac b`ai to´an (P ) v`a (Q), hay n´oi c´ach
th`ı c´ac b`ai to´an (P˜ ) v`a (Q)
kh´ac c´ac b`ai to´an (P ) v`a (Q) l`a c´ac tru.o`.ng ho..p riˆeng cu˙’a c´ac b`ai to´an (P˜ )
˜ D
- aˆy l`a l´
v`a (Q).
y do d¯ˆe˙’ tiˆe´n h`anh nghiˆen c´
u.u c´ac b`ai to´an trˆen, tˆo´i thiˆe˙’u
y thuyˆe´t. Tuy nhiˆen, c`on mˆo.t sˆo´ l´
y do thu..c tˆe´ kh´ac du.o´.i

t`
u. quan d¯iˆe˙’m l´
˜ l`a thu..c su.. cˆ
`an.
d¯aˆy, cho thˆa´y viˆe.c nghiˆen c´
u.u c´ac b`ai to´an (P˜ ), (Q)
L´
y do th´
u. nhˆa´t: f (x) = Ax, x + b, x l`a h`am mu.c tiˆeu ban d¯`aˆu v`a
`om c´ac t´ac d¯oˆ. ng bˆo˙’ sung
p l`a h`am nhiˆ˜eu n`ao d¯o´. H`am nhiˆ˜eu p c´o thˆe˙’ bao gˆ
(tˆa´t d¯.inh hoˇa.c ngˆa˜u nhiˆen) lˆen h`am mu.c tiˆeu v`a c´ac lˆo˜i gˆay ra trong qu´a
- iˆe˙’m d¯aˇ. c biˆe.t l`a o˙’. chˆo˜, ch´
ung
tr`ınh mˆo h`ınh h´oa, d¯o d¯a.c, t´ınh to´an. . . D
ta ha.n chˆe´ chı˙’ x´et nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i. Ha.n chˆe´ n`ay l`a khˆong qu´a ngˇa.t, c´o thˆe˙’
`eu b`ai to´an thu..c tˆe´, chˇa˙’ng ha.n nhu. trong hai v´ı
d¯u.o..c tho˙’a m˜an trong nhiˆ
du. minh ho.a sau d¯ˆay.
Mˆo.t trong nh˜
u.ng u
´.ng du.ng nˆo˙’i bˆa.t cu˙’a quy hoa.ch to`an phu.o.ng l`a
b`ai to´an lu..a cho.n d¯`ˆau tu. (H. M. Markowitz [27], [28]). B`ai to´an ph´at
biˆe˙’u nhu. sau: Phˆan phˆo´i vˆo´n qua n ch´
u.ng kho´an (asset) c´o sˇa˜n d¯ˆe˙’
c´o thˆe˙’ gia˙’m thiˆe˙’u ru˙’i ro v`a tˆo´i d¯a lo..i nhuˆa.n, t´
u.c l`a t`ım v´ec to. tı˙’ lˆe.
x ∈ D, D := {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) | nj=1 xj = 1} d¯ˆe˙’ f (x) = ωxT Σx − ρT x
d¯a.t gi´a tri. nho˙’ nhˆa´t, trong d¯´o xj , j = 1, . . . , n, l`a ty˙’ lˆe. ch´
u.ng kho´an th´

u.
j trong danh mu.c d¯`ˆau tu., ω l`a tham sˆo´ ru˙’i ro, Σ ∈ IRn×n l`a ma trˆa.n
hiˆe.p phu.o.ng sai, ρ ∈ IRn l`a v´ec to. lo..i nhuˆa.n k`
y vo.ng. V`ı Σ v`a ρ thu.o`.ng


3

˜ v`a ρ˜, do d¯o´ ch´
khˆong d¯u.o..c x´ac d¯i.nh ch´ınh x´ac m`a chı˙’ xˆa´p xı˙’ bo˙’.i Σ
ung
˜ − ρ˜T x = f (x) + p(x), trong d¯´o
ta pha˙’i cu..c tiˆe˙’u h´oa h`am f˜(x) = ωxT Σx
˜ − Σ)x − (˜
p(x) = ωxT (Σ
ρ − ρ)T x. Khi quy d¯.inh, khˆong d¯u.o..c b´an khˆo´ng,
t´
u.c l`a xj ≥ 0, j = 1, . . . , n, th`ı tˆa.p chˆa´p nhˆa.n d¯u.o..c D l`a gi´o.i nˆo.i. V`ı vˆa.y
nhiˆ˜eu p c˜
ung gi´o.i nˆo.i trˆen D. N´oi mˆo.t c´ach tˆo˙’ng qu´at, t´ınh gi´o.i nˆo.i cu˙’a
nhiˆ˜eu luˆon d¯u.o..c d¯a˙’m ba˙’o khi D gi´o.i nˆo.i v`a p liˆen tu.c trˆen D. Gia˙’ thiˆe´t
`eu b`ai to´an thu..c tˆe´.
n`ay c˜
ung ph`
u ho..p v´o.i nhiˆ
Mˆo.t v´ı du. n˜
u.a cho thˆa´y l`a nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i luˆon xuˆa´t hiˆe.n khi gia˙’i mˆo.t
`an l´o.n c´ac sˆo´
b`ai to´an tˆo´i u.u (P ) hoˇa.c (Q) n`ao d¯´o bˇa` ng m´ay t´ınh. Do phˆ
`au hˆe´t

thu..c khˆong thˆe˙’ biˆe˙’u diˆ˜en ch´ınh x´ac bˇa` ng m´ay t´ınh, nˆen d¯ˆo´i v´o.i hˆ
x ∈ D ta khˆong thˆe˙’ t´ınh ch´ınh x´ac d¯a.i lu.o..ng f (x) = Ax, x + b, x m`a
chı˙’ c´o thˆe˙’ xˆa´p xı˙’ f (x) bo˙’.i mˆo.t sˆo´ dˆa´u chˆa´m d¯oˆ. ng f˜(x) n`ao d¯´o. H`am f˜
`oi, khˆong to`an phu.o.ng v`a thˆa.m ch´ı l`a khˆong liˆen tu.c trˆen D. Khi
khˆong lˆ
d¯o´ h`am p := f˜− f mˆo ta˙’ c´ac lˆo˜i t´ınh to´an. C´ac lˆo˜i d¯´o bi. chˇa.n bo˙’.i mˆo.t cˆa.n
trˆen s ∈ [0, +∞[ n`ao d¯o´ c´o thˆe˙’ u.o´.c lu.o..ng d¯u.o..c, t´
u.c l`a supx∈D |p(x)| ≤ s.
Ngo`ai ra, bˇa` ng c´ach su˙’. du.ng c´ac sˆo´ dˆa´u chˆa´m d¯oˆ. ng d`ai ho.n v`a/hoˇa.c c´ac
thuˆa.t to´an tˆo´t ho.n, ta c´o thˆe˙’ gia˙’m cˆa.n trˆen s.
L´
y do th´
u. hai: f˜ l`a h`am mu.c tiˆeu d¯´ıch thu..c v`a f l`a h`am mu.c tiˆeu
`eu
d¯u.o..c l´
y tu.o˙’.ng h´oa hoˇa.c l`a h`am mu.c tiˆeu thay thˆe´. Trong thu..c tˆe´, nhiˆ
`oi, hoˇa.c to`an
h`am thˆe˙’ hiˆe.n mˆo.t sˆo´ mu.c tiˆeu thu..c tiˆ˜en d¯u.o..c gia˙’ d¯.inh l`a lˆ
phu.o.ng, hoˇa.c c´o mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t thuˆa.n tiˆe.n d¯a˜ d¯u.o..c nghiˆen c´
u.u k˜
y, hoˇa.c
- iˆ
`eu n`ay d¯˜a d¯u.o..c
dˆ˜e nghiˆen c´
u.u, nhu.ng thu..c ra th`ı khˆong pha˙’i l`a nhu. vˆa.y. D
H. X. Phu, H. G. Bock v`a S. Pickenhain d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n trong [48]. Trong bˆo´i
ca˙’nh d¯´o, p = f˜ − f l`a h`am hiˆe.u chı˙’nh. C´o thˆe˙’ gia˙’ thiˆe´t p l`a gi´o.i nˆo.i (tˆo´i
thiˆe˙’u trˆen tˆa.p chˆa´p nhˆa.n d¯u.o..c) bo˙’.i mˆo.t sˆo´ du.o.ng kh´a b´e s, v`ı nˆe´u |p(x)|
qu´a l´o.n th`ı su.. thay thˆe´ khˆong c`on ph`
u ho..p n˜

u.a.
- ˆe˙’ gia˙’i th´ıch d¯iˆ
`eu n`ay, ta d¯`ˆe cˆa.p d¯ˆe´n vˆa´n d¯`ˆe thu.o`.ng d¯u.o..c nghiˆen c´
D
u.u
cu˙’a ph´at d¯iˆe.n tˆo´i u.u, t´
u.c l`a b`ai to´an phˆan bˆo´ lu.o..ng d¯iˆe.n nˇang cho t`
u.ng
tˆo˙’ m´ay ph´at nhiˆe.t d¯iˆe.n sao cho tˆo˙’ng chi ph´ı (gi´a th`anh) l`a cu..c tiˆe˙’u, d¯`oˆng
`au lu.o..ng d¯iˆe.n nˇang v`a thoa˙’ m˜an r`ang buˆo.c
th`o.i vˆa˜n d¯a´p u
´.ng d¯u.o..c nhu cˆ


4

`e cˆong suˆa´t ph´at ra cu˙’a mˆo˜i tˆo˙’ m´ay. Ngu.o`.i ta thu.o`.ng gia˙’ thiˆe´t (xem
vˆ
`om c´ac chi ph´ı nhiˆen liˆe.u
[6], [11], [69],. . . ) h`am chi ph´ı tˆo˙’ng cˆo.ng (bao gˆ
(fuel cost), chi ph´ı ta˙’i sau (load-following cost), chi ph´ı du.. ph`ong quay
(sprinning-reserve cost), chi ph´ı du.. ph`ong bˆo˙’ sung (supplemental-reserve
`en dˆa˜n d¯iˆe.n nˇang) l`a h`am to`an phu.o.ng,
cost), chi ph´ı tˆo˙’n thˆa´t ph´at v`a truyˆ
`oi ngˇa.t v`a c´o da.ng
lˆ

n

F (P ) =

Fi (Pi ),
i=1

trong d¯o´ n l`a sˆo´ tˆo˙’ m´ay ph´at, P := (P1 , P2 , . . . , Pn ), Pi ∈ [Pi min , Pi max ] l`a
u. i, Pi min , Pi max l`a cˆong suˆa´t ph´at
lu.o..ng d¯iˆe.n nˇang ph´at ra cu˙’a tˆo˙’ m´ay th´
u. i, Fi (Pi ) = ai + bi Pi + ci Pi2 l`a
nho˙’ nhˆa´t v`a l´o.n nhˆa´t cu˙’a tˆo˙’ m´ay ph´at th´
h`am chi ph´ı cu˙’a tˆo˙’ m´ay ph´at th´
u. i v`a ai , bi , ci l`a c´ac hˆe. sˆo´ gi´a cu˙’a tˆo˙’ m´ay
ph´at th´
u. i ∈ {1, 2, . . . , n}.
`oi ngˇa.t cu˙’a h`am mu.c tiˆeu l`a qu´a l´
y
D˜ı nhiˆen, gia˙’ thiˆe´t to`an phu.o.ng, lˆ
tu.o˙’.ng. Chi ph´ı thu..c tˆe´ c´o thˆe˙’ khˆong l`a h`am to`an phu.o.ng v`a c˜
ung khˆong
`oi ngˇa.t. Nhu. vˆa.y, d¯ˆe˙’ gia˙’ thiˆe´t vˆ
`e t´ınh to`an phu.o.ng v`a lˆ
`oi ngˇa.t
l`a h`am lˆ
`an h`am gi´o.i nˆo.i p hiˆe.u chı˙’nh h`am chi
cu˙’a h`am mu.c tiˆeu d¯u.o..c tho˙’a m˜an, cˆ
- aˇ. c biˆe.t (xem [62], [6], [11], [69],. . . ), nˆe´u hiˆe.u u
ph´ı thu..c tˆe´. D
´.ng d¯iˆe˙’m-van
d¯u.o..c x´et d¯ˆe´n th`ı h`am chi ph´ı to`an phu.o.ng pha˙’i d¯u.o..c hiˆe.u chı˙’nh bo˙’.i tˆo˙’ng
u.c l`a
h˜

u.u ha.n c´ac h`am da.ng sin, t´
n

Fi (Pi ) + |ei sin(fi (Pi min − Pi ))| ,

F (P ) =
i=1

trong d¯´o ei , fi l`a c´ac hˆe. sˆo´ hiˆe.u u
´.ng d¯iˆe˙’m-van. R˜o r`ang h`am hiˆe.u chı˙’nh
p := ni=1 |ei sin(fi (Pi min − Pi ))| l`a gi´o.i nˆo.i.
- ˆe˙’ ngˇa´n go.n, ta thu.o`.ng go.i p l`a h`am nhiˆ˜eu (mˇa.c d`
D
u n´o khˆong chı˙’
d¯o´ng vai tr`o d¯o´ nhu. d¯a˜ gia˙’i th´ıch o˙’. trˆen), f˜ l`a h`am bi. nhiˆ˜eu v`a (P˜ ) v`a
˜ l`a c´ac b`ai to´an nhiˆ˜eu. Thˆa.t ra, ch´
(Q)
ung chı˙’ l`a c´ac thuˆa.t ng˜
u. vay mu.o..n,
khˆong pha˙’i l´
uc n`ao c˜
ung ch´ınh x´ac nhu. thu.o`.ng lˆe..
˜ cˆ
`an d¯u.o..c nghiˆen
Nh˜
u.ng vˆa´n d¯`ˆe g`ı l`a m´o.i cu˙’a c´ac b`ai to´an (P˜ ) v`a (Q)
`an thiˆe´t, v`ı d¯a˜ c´o nh˜
c´
u.u? Cˆau ho˙’i n`ay l`a cˆ
u.ng kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´

u.u d¯aˇ. c


5

`e t´ınh ˆo˙’n d¯i.nh cu˙’a c´ac b`ai to´an nhiˆ˜eu
sˇa´c theo c´ac kh´ıa ca.nh kh´ac nhau vˆ
- iˆe˙’m chung cu˙’a phˆ
`oi v`a/hoˇa.c nhiˆ˜eu to`an phu.o.ng. D
`an l´o.n c´ac cˆong tr`ınh
lˆ
u. tru.o´.c d¯ˆe´n nay l`a nhiˆ˜eu khˆong l`am thay d¯ˆo˙’i nh˜
u.ng thuˆo.c
nghiˆen c´
u.u t`
`oi bi. nhiˆ˜eu vˆa˜n gi˜
t´ınh tiˆeu biˆe˙’u cu˙’a b`ai to´an ban d¯`aˆu. V´ı du. b`ai to´an lˆ
u.
`oi (nhu. trong c´ac nghiˆen c´
nguyˆen t´ınh lˆ
u.u cu˙’a M. J Canovas [8], D. Klatte
u. d¯u.o..c t´ınh to`an
[21], B. Kumer [23]. . . ) v`a c´ac b`ai to´an to`an phu.o.ng gi˜
phu.o.ng (nhu. trong c´ac nghiˆen c´
u.u cu˙’a J. V. Daniel [10], G. M. Lee, N. N.
Tam v`a N. D. Yen [31], K. Mirnia v`a A. Ghaffari-Hadigheh [30], H. X. Phu
- iˆ
`eu kh´ac biˆe.t l`a, h`am mu.c tiˆeu f˜
[45], H. X. Phu v`a N. D. Yen [53]. . . ). D
`oi, khˆong to`an phu.o.ng

cu˙’a c´ac b`ai to´an nhiˆ˜eu trong luˆa.n a´n n`ay khˆong lˆ
`oi ngˇa.t v`a to`an phu.o.ng. Ho.n n˜
mˇa.c d`
u h`am f l`a lˆ
u.a, v`ı nhiˆ˜eu p chı˙’ gia˙’
u. d¯iˆe˙’m
thiˆe´t l`a gi´o.i nˆo.i, nˆen h`am bi. nhiˆ˜eu f˜ c´o thˆe˙’ khˆong liˆen tu.c ta.i bˆa´t c´
u.ng h`am mu.c tiˆeu nhu. vˆa.y, du.o`.ng nhu. s˜e khˆong thˆe˙’ thu d¯u.o..c
n`ao. V´o.i nh˜
`eu ngu.o..c la.i.
kˆe´t qua˙’ g`ı d¯ˇa.c biˆe.t. Mu.c tiˆeu cu˙’a luˆa.n ´an l`a chı˙’ ra d¯iˆ
`om 4 chu.o.ng.
Luˆa.n ´an gˆ
`oi, to`an phu.o.ng v`a h`am
Chu.o.ng 1 v´o.i tiˆeu d¯`ˆe “B`ai to´an quy hoa.ch lˆ
- i.nh l´
- i.nh
`oi thˆ
`oi, D
lˆ
o” tr`ınh b`ay D
y Kuhn-Tucker cu˙’a b`ai to´an quy hoa.ch lˆ
`e d¯iˆ
`eu kiˆe.n cu..c tri. cu˙’a b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng v`a mˆo.t sˆo´ loa.i
l´
y vˆ
`oi thˆo nhu. γ-lˆ
`oi ngo`ai, Γ-lˆ
`oi ngo`ai, γ-lˆ
`oi trong c`

h`am lˆ
ung mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t
tˆo´i u.u cu˙’a ch´
ung.
C´ac kh´ai niˆe.m, c´ac t´ınh chˆa´t, c´ac d¯i.nh l´
y d¯u.o..c dˆa˜n ra trong chu.o.ng
n`ay s˜e d¯u.o..c su˙’. du.ng d¯ˆe˙’ nghiˆen c´
u.u c´ac vˆa´n d¯`ˆe d¯aˇ. t ra trong c´ac chu.o.ng
sau.
- iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’ a B`ai to´an (P˜ )”
Chu.o.ng 2 v´o.i tiˆeu d¯`ˆe “D
`oi ngo`ai cu˙’a h`am to`an phu.o.ng v´o.i nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i, d¯iˆe˙’m
nghiˆen c´
u.u t´ınh γ-lˆ
cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c, d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an (P˜ ), kha˙’o s´at t´ınh
- i.nh l´
oˆ˙’n d¯.inh nghiˆe.m v`a mo˙’. rˆo.ng D
y Kuhn-Tucker cho b`ai to´an n`ay.
`oi ngo`ai cu˙’ a h`am mu.c tiˆeu v`a d¯iˆe˙’m
Chu.o.ng 3 v´o.i tiˆeu d¯`ˆe “T´ınh Γ-lˆ
`oi ngo`ai cu˙’a h`am
infimum to`
an cu.c cu˙’ a B`
ai to´an (P˜ )” nghiˆen c´
u.u t´ınh Γ-lˆ


6

mu.c tiˆeu f˜ (theo c´ach tiˆe´p cˆa.n tˆo pˆo), qua d¯´o nhˆa.n d¯u.o..c mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua˙’

`e d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c, d¯iˆe˙’m
ma.nh ho.n nh˜
u.ng kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´
u.u vˆ
infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an (P˜ ) d¯u.o..c chı˙’ ra trong Chu.o.ng 2.
˜
- iˆe˙’m supremum cu˙’ a B`ai to´an (Q)”
Chu.o.ng 4 cu˙’a luˆa.n ´an c´o tiˆeu d¯`ˆe “D
nghiˆen c´
u.u t´ınh chˆa´t v`a t´ınh oˆ˙’n d¯.inh cu˙’a c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c v`a
˜
d¯iˆe˙’m supremum d¯.ia phu.o.ng cu˙’a B`ai to´an (Q).
`om:
C´ac kˆe´t qua˙’ d¯a.t d¯u.o..c trong luˆa.n ´an bao gˆ
`eu kiˆe.n d¯u˙’ d¯ˆe˙’ h`am bi. nhiˆ˜eu f˜ = f + p l`a γ-lˆ
`oi ngo`ai, Γ-lˆ
`oi
• Chı˙’ ra c´ac d¯iˆ
`oi trong.
ngo`ai v`a γ-lˆ
• Ch´
u.ng minh d¯u.o..c d¯u.o`.ng k´ınh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c
cu˙’a B`ai to´an (P˜ ) khˆong vu.o..t qu´a γ ∗ = 2 2s/λmin .
• Chı˙’ ra t´ınh oˆ˙’n d¯i.nh nghiˆe.m cu˙’a B`ai to´an (P˜ ) theo cˆa.n trˆen s cu˙’a h`am
nhiˆ˜eu.
- i.nh l´
• Mo˙’. rˆo.ng D
y Kuhn-Tucker cho B`ai to´an (P˜ ).
• Chı˙’ ra c´ac t´ınh chˆa´t (ma.nh ho.n c´ac t´ınh chˆa´t d¯a˜ c´o) cu˙’a c´ac d¯iˆe˙’m
cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c v`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an (P˜ ) khi su˙’.

`oi ngo`ai cu˙’a h`am to`an phu.o.ng lˆ
`oi ngˇa.t bi. nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i
du.ng t´ınh Γ-lˆ
f˜ = f + p.
`on ta.i v`a vi. tr´ı cu˙’a c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an
• Ch´
u.ng minh d¯u.o..c su.. tˆ
`en D.
cu.c trˆen miˆ
• Khˇa˙’ng d¯i.nh t´ınh oˆ˙’n d¯i.nh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c khi
`oi v`a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m supremum d¯i.a phu.o.ng khi D l`a tˆa.p
D l`a d¯a diˆe.n lˆ
˜ theo nhiˆ˜eu p.
`oi d¯a diˆe.n cu˙’a B`ai to´an (Q)
lˆ
C´ac kˆe´t qua˙’ ch´ınh cu˙’a luˆa.n a´n d¯a˜ d¯u.o..c tr`ınh b`ay ta.i c´ac xemina
“Tˆo´i u.u h´oa v`a T´ınh to´an hiˆe.n d¯a.i” cu˙’a Khoa Cˆong nghˆe. thˆong tin (Ho.c
viˆe.n KTQS), “Tˆo´i u.u v`a T´ınh to´an khoa ho.c” cu˙’a Ph`ong Gia˙’i t´ıch sˆo´


7

v`a T´ınh to´an khoa ho.c (Viˆe.n To´an ho.c), Hˆo.i tha˙’o “Tˆo´i u.u v`a T´ınh to´an
Khoa ho.c” (Ba V`ı, H`a Nˆo.i, th´ang 4 nˇam 2010). C´ac kˆe´t qua˙’ n`ay c˜
ung
d¯a˜ d¯u.o..c cˆong bˆo´ trˆen c´ac ta.p ch´ı Optimization, Mathematical Methods of
Operations Research v`a Journal of Optimization Theory and Applications.
`e l´
Ch´
ung tˆoi d¯ang tiˆe´p tu.c nghiˆen c´

u.u mˆo.t sˆo´ vˆa´n d¯`ˆe vˆ
y thuyˆe´t v`a
˜ hy vo.ng
t´ınh to´an u
´.ng du.ng trong thu..c tˆe´ cu˙’a c´ac b`ai to´an (P˜ ) v`a (Q),
rˇa` ng trong th`o.i gian t´o.i s˜e c´o thˆem mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua˙’ m´o.i.


. .
CHU O NG 1
`ˆ I,
` TOAN
´ QUY HOA
BAI
. CH LO
` HAM
`
ˆ I THO
ˆ
` PHU.O.NG VA
L`
O
QUY HOA
. CH TOAN

- i.nh l´
Trong chu.o.ng n`ay, ch´
ung tˆoi nhˇa´c la.i D
y Kuhn-Tucker cho b`ai
- i.nh l´

`oi, D
`e d¯iˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an cu..c tri. cho b`ai to´an quy hoa.ch
to´an quy hoa.ch lˆ
y vˆ
- `oˆng th`o.i ch´
ung tˆoi c˜
ung tr`ınh b`ay la.i mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m,
to`an phu.o.ng. D
`oi thˆo nhu. γ-lˆ
`oi ngo`ai, Γ-lˆ
`oi ngo`ai v`a γ-lˆ
`oi trong.
t´ınh chˆa´t cu˙’a h`am lˆ
C´ac kh´ai niˆe.m, c´ac kˆe´t qua˙’ dˆa˜n ra o˙’. trong chu.o.ng n`ay, s˜e d¯u.o..c su˙’.
`eu lˆ
`an trong c´ac chu.o.ng sau.
du.ng nhiˆ
`eu, D ⊆ IRn
Trong suˆo´t luˆa.n a´n n`ay, IRn l`a khˆong gian Euclide n-chiˆ
`oi, v`a trong nhiˆ
`eu tru.o`.ng ho..p D d¯u.o..c gia˙’ thiˆe´t l`a tˆa.p lˆ
`oi d¯a
l`a c´ac tˆa.p lˆ
y hiˆe.u
diˆe.n. V´o.i x0 , x1 ∈ IRn , λ ∈ IR, ta k´
xλ := (1 − λ)x0 + λx1 ,
[x0 , x1 ] := {xλ | 0 ≤ λ ≤ 1},
]x0 , x1 ] := [x0 , x1 ] \ {x0 }.

C´ac tˆa.p ho..p [x0 , x1 [ v`a ]x0 , x1 [ c˜
ung d¯u.o..c d¯.inh ngh˜ıa tu.o.ng tu...
V´o.i r l`a sˆo´ thu..c du.o.ng, c´ac tˆa.p ho..p
B(x, r) := {y | y − x < r},
¯ r) := {y | y − x ≤ r},
B(x,
S(x, r) := {y | y − x = r},
`an lu.o..t d¯u.o..c go.i l`a c´ac h`ınh cˆ
`au mo˙’., h`ınh cˆ
`au d¯´ong v`a mˇa.t cˆ
`au tˆam x
lˆ
b´an k´ınh r. Ngo`ai ra, trong luˆa.n ´an n`ay ch´
ung tˆoi luˆon k´
y hiˆe.u:
8


9

`oi ngˇa.t c´o da.ng
• f l`a h`am to`an phu.o.ng lˆ
f (x) := Ax, x + b, x , x ∈ D

(1.0.1)

trong d¯o´ A ∈ IRn×n l`a ma trˆa.n d¯ˆo´i x´
u.ng x´ac d¯i.nh du.o.ng (nˆe´u A
khˆong d¯ˆo´i x´
u.ng ta c´o thˆe˙’ thay A bo˙’.i 12 (A + AT )).

• p(x) l`a h`am nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i, t´
u.c l`a
sup |p(x)| ≤ s < +∞.

(1.0.2)

x∈D

`oi ngˇa.t v´o.i nhiˆ˜eu
• f˜(x) := f (x) + p(x) d¯u.o..c go.i l`a h`am to`an phu.o.ng lˆ
gi´o.i nˆo.i trˆen D, go.i tˇa´t l`a h`am bi. nhiˆ˜eu.
`an lu.o..t l`a c´ac gi´a tri. riˆeng nho˙’
• Ta c˜
ung k´
y hiˆe.u λmin , λmax v`a λ(A) lˆ
nhˆa´t, l´o.n nhˆa´t v`a tˆa.p c´ac gi´a tri. riˆeng cu˙’a ma trˆa.n A.

1.1.

`oi, quy hoa.ch to`
B`
ai to´
an quy hoa.ch lˆ
an phu.o.ng

- i.nh l´
Trong mu.c n`ay, ch´
ung tˆoi tr`ınh b`ay D
y Kuhn-Tucker cho b`ai to´an
`oi sau:

quy hoa.ch lˆ
g0 (x) → inf,

x∈D

D = {x ∈ S | gi (x) ≤ 0, i = 1, . . . , m},

(L1 )

`oi, S ⊂ IRn l`a tˆa.p
trong d¯o´ gi : IRn → IR, i = 0, . . . , m, l`a c´ac h`am h`am lˆ
`oi.
lˆ
B`ai to´an trˆen d¯a˜ d¯u.o..c nghiˆen c´
u.u t`
u. rˆa´t s´o.m, mˆo.t trong nh˜
u.ng kˆe´t
qua˙’ quan tro.ng l`a d¯.inh l´
y Kuhn-Tucker do W. H. Kuhn v`a A. W. Tucker
`oi.
d¯u.a ra v`ao nˇam 1951 trong [22] cˆong tr`ınh khai ph´a cu˙’a Quy hoa.ch lˆ
Trong B`ai to´an (L1 ) h`am Lagrange d¯u.o..c d¯.inh ngh˜ıa nhu. sau:
m

L(x, µ0 , . . . , µm ) :=

µi gi (x),
i=0

(1.1.3)

10

trong d¯o´ µi , i = 0, 1, . . . , m, nhˆa.n c´ac gi´a tri. thu..c, x ∈ D. Nˆe´u tˆa.p D cu˙’a
B`ai to´an (P ) tr`
ung v´o.i tˆa.p D cu˙’a B`ai to´an (L1 ) th`ı h`am Lagrange cu˙’a B`ai
to´an (P ) c´o da.ng
m

L(x, µ0 , . . . , µm ) := f (x) +

µi gi (x),

(1.1.4)

i=1

- i.nh l´
- i.nh l´
D
y 1.1.1. (D
y Kuhn-Tucker, xem [74]).
X´et B`
ai to´
an (L).
`on ta.i c´ac nhˆan tu˙’.
(a) Nˆe´u x∗ l`
a nghiˆe.m cu..c tiˆe˙’u cu˙’ a b`ai to´an th`ı tˆ
Lagrange µi ≥ 0, i = 0, . . . , m, sao cho ch´

ung khˆong c`
ung triˆe.t tiˆeu,
`eu kiˆe.n Kuhn-Tucker
tho˙’ a m˜
an d¯iˆ
L(x∗ , µ0 , . . . , µm ) = min L(x, µ0 , . . . , µm )
x∈S

(1.1.5)

`eu kiˆe.n b`
v`
a d¯iˆ
u
µi gi (x∗ ) = 0 v´o.i mo.i i = 1, . . . , m.

(1.1.6)

`eu kiˆe.n Slater
Nˆe´u thˆem d¯iˆ
∃z ∈ S : gi (z) < 0 v´o.i mo.i i = 1, . . . , m,

(1.1.7)

tho˙’ a m˜
an th`ı µ0 = 0 v`a c´o thˆe˙’ coi µ0 = 1.
`on ta.i x∗ tho˙’ a m˜an (1.1.5), (1.1.6) v´o.i µ0 = 1 th`ı x∗ l`a nghiˆe.m
(b) Nˆe´u tˆ
cu..c tiˆe˙’u cu˙’ a B`
ai to´

an (L1 ).
- i.nh l´
y Kuhn-Tucker d¯u.o..c ph´at biˆe˙’u nhu. sau:
Da.ng du.o´.i vi phˆan cu˙’a D
- i.nh l´
`a ng gi : IRn → IR, i = 1, . . . , m, l`a
D
y 1.1.2. (xem [74]) Gia˙’ thiˆe´t rˇ
`oi, c`
`oi S ⊂ IRn . Cho
c´
ac h`
am lˆ
ung liˆen tu.c ´ıt nhˆa´t ta.i mˆo.t d¯iˆe˙’m cu˙’ a tˆa.p lˆ
x∗ l`
a mˆ
o.t nghiˆe.m chˆ
a´p nhˆ
a.n d¯u.o..c cu˙’ a B`ai to´an (L1 ).
`on ta.i c´ac nhˆan tu˙’.
(a) Nˆe´u x∗ l`
a nghiˆe.m cu..c tiˆe˙’u cu˙’ a b`ai to´an th`ı tˆ
Lagrange µi ≥ 0, i = 0, . . . , m, sao cho ch´
ung khˆong c`
ung triˆe.t tiˆeu,
tho˙’ a m˜
an phu.o.ng tr`ınh
m

µi ∂gi (x∗ ) + N (x∗ |S)

0∈
i=0

(1.1.8)


11

v`
a
µi gi (x∗ ) = 0 v´o.i mo.i i = 1, . . . , m,

(1.1.9)

trong d¯´
o tˆ
a.p
∂gi (x∗ ) := {ξ | gi (x) − gi (x∗ ) ≥ ξ, x − x∗

∀x ∈ IRn }

l`
a du.´
o.i vi phˆ
an cu˙’ a gi ta.i x∗ v`a tˆa.p
N (x∗ |S) := {ξ | ξ, x − x∗ ≤ 0 ∀x ∈ S}
l`
a n´
on ph´

ap tuyˆe´n cu˙’ a S ta.i x∗ .
`eu kiˆe.n Slater (1.1.7) tho˙’ a m˜an, th`ı µ0 = 0 v`a c´o thˆe˙’ coi µ0 = 1.
Nˆe´u d¯iˆ
`on ta.i x∗ tho˙’ a m˜an (1.1.8), (1.1.9) v´o.i µ0 = 1 th`ı x∗ l`a nghiˆe.m
(b) Nˆe´u tˆ
cu..c tiˆe˙’u cu˙’ a B`
ai to´
an (L1 ).
Nhˆ
a.n x´
et 1.1.1. Nˆe´u S = IRn th`ı khi d¯´o N (x∗ |S) = {0}, nˆen biˆe˙’u th´
u.c
(1.1.8) d¯u.o..c thay bo˙’.i
m

µi ∂gi (x∗ ).

0∈

(1.1.10)

i=0

- oˆ´i v´o.i b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng ta c´o d¯.inh l´
D
y sau:
- i.nh l´
D
y 1.1.3. (Xem [31]). X´et b`ai to´an quy hoa.ch to`an phu.o.ng
M x, x + b, x → inf,

x∈D

D = {x ∈ IRn | ci , x ≤ di , i = 1, . . . , m},

(L2 )

trong d¯´
o M ∈ IRn×n l`
a ma trˆa.n d¯ˆo´i x´
u.ng, ci ∈ IRn , i = 1, . . . , m. Khi d¯´o,
`on ta.i c´ac nhˆan tu˙’. Lagrange
nˆe´u x∗ l`
a nghiˆe.m cu..c tiˆe˙’u d¯.ia phu.o.ng th`ı tˆ
`eu kiˆe.n
µi ≥ 0, i = 1, . . . , m, sao cho ch´
ung tho˙’ a m˜an c´ac d¯iˆ
m
∗

(2M x + b) +

µi ci = 0,

(1.1.6)

i=1

v`
a

µi ( ci , x∗ − di ) = 0 v´o.i mo.i i = 1, . . . , m.

(1.1.7)


12

- i.nh l´
`oi d¯a diˆe.n, khi d¯´o
D
y 1.1.4. (xem [31], trang 79). Cho D l`a tˆa.p lˆ
(a) Nˆe´u M l`
a ma trˆ
a.n d¯oˆ´i x´
u.ng x´ac d¯.inh du.o.ng v`a D = ∅ th`ı B`ai to´an
(L2 ) c´
o d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c duy nhˆa´t.
(b) Nˆe´u M l`
a ma trˆ
a.n d¯ˆ
o´i x´
u.ng x´ac d¯.inh ˆam th`ı d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u d¯.ia phu.o.ng
`on ta.i) l`a mˆo.t d¯iˆe˙’m cu..c biˆen cu˙’ a D.
cu˙’ a B`
ai to´
an (L2 ) (nˆe´u tˆ
Nhˆ
a.n x´
et 1.1.2. Kˆe´t luˆ
a.n (b) cu˙’ a d¯.inh l´y trˆen tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ph´at

biˆe˙’u sau “Nˆe´u M d¯ˆ
o´i x´
u.ng x´ac d¯.inh du.o.ng th`ı d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i d¯.ia phu.o.ng
cu˙’ a B`
ai to´
an (Q) l`
a d¯iˆe˙’m cu..c biˆen cu˙’ a D”.

1.2.

`oi suy rˆ
H`
am lˆ
o.ng thˆ
o

`oi, nˆe´u x0 , x1 ∈ D, th`ı bˆa´t d¯ˇa˙’ng
H`am g : D ⊂ IRn → IR d¯u.o..c go.i l`a lˆ
th´
u.c
g(xλ ) ≤ (1 − λ)g(x0 ) + λg(x1 ),

(1.2.8)

`oi c´o nhiˆ
`eu t´ınh chˆa´t th´
u vi.
tho˙’a m˜an v´o.i mo.i d¯iˆe˙’m xλ ∈ [x0 , x1 ]. H`am lˆ
`e phu.o.ng diˆe.n gia˙’i t´ıch m`a c`on vˆ
`e phu.o.ng diˆe.n tˆo´i u.u h´oa

khˆong nh˜
u.ng vˆ
`oi d¯ang x´et l`a lˆ
`oi; mˆo˜i d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u d¯i.a
u.c du.o´.i cu˙’a h`am lˆ
nhu.: tˆa.p m´
phu.o.ng cu˙’a h`am d¯ang x´et l`a d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c; mˆo˜i d¯iˆe˙’m d`
u.ng cu˙’a
h`am d¯ang x´et l`a d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c; nˆe´u h`am d¯ang x´et d¯a.t gi´a tri.
`en lˆ
`oi compact th`ı c˜
cu..c d¯a.i trˆen miˆ
ung d¯a.t gi´a tri. cu..c d¯a.i ta.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t
`eu b`ai to´an thu..c tˆe´, h`am cˆ
`an x´et c´o
d¯iˆe˙’m cu..c biˆen. Tuy nhiˆen trong nhiˆ
`oi. Do d¯´o, d¯a˜ xuˆa´t hiˆe.n
mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t trˆen nhu.ng khˆong pha˙’i l`a h`am lˆ
`eu loa.i h`am lˆ
`oi suy rˆo.ng d¯u.o..c d¯aˇ. c tru.ng bo˙’.i mˆo.t trong c´ac t´ınh chˆa´t
nhiˆ
`oi nhu.: h`am tu..a lˆ
`oi [71], tu..a lˆ
`oi hiˆe.n [18], [26], gia˙’ lˆ
`oi [25], [72],
cu˙’a h`am lˆ
`oi bˆa´t biˆe´n [14] . . .
lˆ
`oi
T`

u. nˇam 1989 xuˆa´t hiˆe.n mˆo.t hu.o´.ng m´o.i mo˙’. rˆo.ng kh´ai niˆe.m h`am lˆ
`oi thˆo. Mˆo.t h`am P -lˆ
`oi d¯u.o..c H. X. Phu go.i l`a lˆ
`oi thˆo nˆe´u nhu.
go.i l`a h`am lˆ
t´ınh chˆa´t P tho˙’a m˜an v´o.i mo.i x0 , x1 ∈ D m`a x0 − x1 ≥ γ, trong d¯´o γ


13

`oi thˆo δ-lˆ
`oi, δ-tu..a lˆ
`oi, δ-lˆ
`oi gi˜
l`a mˆo.t sˆo´ du.o.ng cˆo´ d¯.inh cho tru.o´.c. H`am lˆ
u.a
d¯u.o..c T. C. Hu, V. Klee v`a D. Larman [16] d¯u.a ra v`ao nˇam 1989. Tiˆe´p d¯o´
`oi v`a d¯u.o..c nghiˆen c´
u.u bo˙’.i H.
nˇam 1991 R. Kl¨otzler d¯`ˆe xuˆa´t kh´ai niˆe.m ρ-lˆ
`oi, γ-tu..a lˆ
`oi, γ-lˆ
`oi d¯ˆo´i x´
Hartwig [15] v`a B. S¨ollner [73]. C´ac h`am γ-lˆ
u.ng,
`oi nhe., γ-lˆ
`oi gi˜
γ-lˆ
u.a d¯u.o..c d¯`ˆe xuˆa´t v`a nghiˆen c´
u.u bo˙’.i H. X. Phu [34]–[37],

H. X. Phu v`a N. N. Hai [49]. Trong luˆa.n a´n n`ay ch´
ung tˆoi quan tˆam v`a
`eu lˆ
`an c´ac t´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a c´ac h`am γ-lˆ
`oi ngo`ai [47], Γ-lˆ
`oi
su˙’. du.ng nhiˆ
`oi trong [41]–[43]. C´ac l´o.p h`am n`ay d¯`ˆeu do H. X. Phu d¯`ˆe
ngo`ai [44] v`a γ-lˆ
xuˆa´t v`a nghiˆen c´
u.u.
`e
Tru.o´.c khi tr`ınh b`ay mu.c tiˆe´p theo, ch´
ung tˆoi nhˇa´c la.i d¯.inh ngh˜ıa vˆ
`an d¯`aˆu tiˆen
d¯iˆe˙’m γ-cu..c biˆen, mˆo.t kh´ai niˆe.m d¯u.o..c H. X. Phu gi´o.i thiˆe.u lˆ
v`ao nˇam 1994 v`a nghiˆen c´
u.u trong [35]. Kh´ai niˆe.m n`ay s˜e d¯u.o..c su˙’. du.ng
trong Chu.o.ng 4 cu˙’a luˆa.n ´an.
- i.nh ngh˜ıa 1.2.1. ([35]) Cho γ > 0 v`a D ⊂ X l`a tˆa.p lˆ
`oi trong khˆong gian
D
- iˆe˙’m x ∈ D go.i l`a d¯iˆe˙’m γ-cu..c biˆen (tu.o.ng u
tuyˆe´n t´ınh d¯.inh chuˆ
a˙’n X. D
´.ng
γ-cu..c biˆen ngˇ
a.t) cu˙’ a D nˆe´u x , x ∈ D tho˙’ a m˜an x = 0.5(x + x ) th`ı suy
´.ng x − x < 2γ).
ra x − x ≤ 2γ (tu.o.ng u

1.3.

`oi ngo`
H`
am γ-lˆ
ai

`e h`am γ-lˆ
`oi ngo`ai ([46]). C´ac
Trong mu.c n`ay ch´
ung tˆoi tr`ınh b`ay vˆ
ung tˆoi s˜e khai th´ac su˙’. du.ng trong
t´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a l´o.p h`am n`ay ch´
Chu.o.ng 2.
- i.nh ngh˜ıa 1.3.2. ([46]) Cho γ > 0. H`am g : D ⊂ IRn → IR d¯u.o..c go.i l`a
D
`oi ngo`
`oi ngo`ai ngˇa.t) v´o.i d¯ˆo. thˆo γ, nˆe´u v´o.i mo.i x0 , x1 ∈ D
γ-lˆ
ai (hoˇ
a.c γ-lˆ
`on ta.i k ∈ IN v`
tˆ
a
λi ∈ [0, 1], i = 0, 1, . . . , k, λ0 = 0, λk = 1,
γ
0 ≤ λi+1 − λi ≤
khi i = 0, 1, . . . , k − 1,
x0 − x1

14

sao cho v´
o.i xλi = (1 − λi )x0 + λi x1 , i = 0, 1, . . . , k, th`ı
g(xλi ) ≤ (1 − λi )g(x0 ) + λi g(x1 ) v´o.i i = 0, 1, . . . , k,
(hoˇ
a.c
g(xλi ) < (1 − λi )g(x0 ) + λi g(x1 ) v´o.i i = 1, . . . , k − 1).
- i.nh l´
`oi ngo`ai th`ı lsc g
D
y 1.3.5. ([46]) Nˆe´u g : D ⊂ IRn →]−∞, +∞] l`a γ-lˆ
`oi ngo`ai, trong d¯o´ lsc g(x) := lim inf y→x g(y) v´o.i mo.i x ∈ D.
c˜
ung l`a γ-lˆ
- i.nh ngh˜ıa 1.3.3. ([46]) Cho γ > 0, M ⊂ IRn , M = ∅, M d¯u.o..c go.i l`a
D
`on ta.i
`oi ngo`ai v´o.i d¯oˆ. thˆo γ nˆe´u x0 , x1 ∈ M v`a x0 − x1 > γ suy ra tˆ
γ-lˆ
z0 := x0 , z1 , . . . , zk := x1 ∈ [x0 , x1 ] ∩ M sao cho
zi+1 − zi ≤ γ v´o.i i=0, 1,. . . , k-1.
- i.nh l´
D
y 1.3.6. ([46]) K´
y hiˆe.u L(g, α) := {x ∈ D : g(x) ≤ α}, v´o.i α ∈ IR
`oi ngo`ai th`ı
v`a go.i l`a tˆa.p m´

u.c du.o´.i cu˙’a h`am g. Khi d¯´o, nˆe´u g l`a h`am γ-lˆ
`oi ngo`ai.
L(g, α) l`a tˆa.p γ-lˆ
- i.nh ngh˜ıa 1.3.4. (xem [1], [38]) x∗ ∈ D d¯u.o..c go.i l`a
D
`on ta.i
1) d¯iˆe˙’m γ-cu..c tiˆe˙’u cu˙’ a g nˆe´u tˆ
mo.i x ∈ B(x∗ , γ + ) ∩ D;
`on ta.i
2) d¯iˆe˙’m γ-infimum cu˙’ a g nˆe´u tˆ
lim inf
g(x) =
∗
x→x

> 0 sao cho g(x∗ ) ≤ g(x) v´o.i

> 0 sao cho
inf

x∈B(x∗ ,γ+ )∩D

g(x);

3) d¯iˆe˙’m inf imum to`
an cu.c cu˙’ a g nˆe´u
lim inf
g(x) = inf g(x).
∗
x→x

x∈D

`e 1.3.1. ([1], [38]) x∗ l`a d¯iˆe˙’m γ-infimum cu˙’ a g khi v`a chı˙’ khi
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
d¯iˆe˙’m n`
ay l`
a d¯iˆe˙’m γ-cu..c tiˆe˙’u cu˙’ a lsc g.
`oi ngo`ai d¯u.o..c chı˙’ ra bo˙’.i d¯.inh l´
T´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a h`am γ-lˆ
y sau:


15

- i.nh l´
`oi ngo`ai th`ı c´o c´ac t´ınh chˆa´t
D
y 1.3.7. ([1], [38]) Nˆe´u g l`a γ-lˆ
(Mγ ) Mˆ
o˜i d¯iˆe˙’m γ-cu..c tiˆe˙’u x∗ cu˙’ a g l`a d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c.
(Iγ ) Mˆ
o˜i d¯iˆe˙’m γ-infimum x∗ cu˙’ a g l`a d¯iˆe˙’m infimum to`an cu.c.
Mˆe.nh d¯`ˆe sau nˆeu cho ta d¯u.o`.ng k´ınh cu˙’a tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an
`oi ngˇa.t.
cu.c cu˙’a h`am γ-lˆ
`e 1.3.2. ([42]) Nˆe´u g : D ⊂ IRn → IR l`a h`am γ-lˆ
`oi ngo`ai ngˇa.t,

Mˆ
e.nh d
¯ˆ
o.ng k´ınh cu˙’ a tˆ
a.p c´
ac d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c khˆong vu.o..t qu´a γ.
th`ı d¯u.`
- oˆ´i v´o.i h`am lˆ
`oi ngˇa.t bi. nhiˆ˜eu gi´o.i nˆo.i ta c´o mˆe.nh d¯`ˆe vˆ
`e t´ınh γ-lˆ
`oi
D
ngo`ai sau d¯aˆy.
`e 1.3.3. ([42]) Cho γ > 0, g : D ⊂ IRn → IR l`a h`am lˆ
`oi v`a
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
h1 (γ) :=

inf

x0 ,x1 ∈D, x0 −x1 =γ

1
1
(g(x0 ) + g(x1 )) − g( (x0 + x1 )) > 0.
2
2

Khi d¯´
o, nˆe´u h`
am nhiˆ˜e u p tho˙’ a m˜an
|p(x)| ≤ h1 (γ)/2 v´o.i mo.i x ∈ D
`oi ngo`ai v`a nˆe´u
th`ı h`
am bi. nhiˆ˜e u g˜ = g + p l`a γ-lˆ
|p(x)| < h1 (γ)/2 v´o.i mo.i x ∈ D
`oi ngo`
th`ı g˜ = g + p l`
a γ-lˆ
ai ngˇa.t.

1.4.

`oi ngo`
H`
am Γ-lˆ
ai

`oi ngo`ai do H. X. Phu d¯`ˆe xuˆa´t v`a nghiˆen c´
Kh´ai niˆe.m h`am Γ-lˆ
u.u trong
[44]. Trong mu.c n`ay ch´
ung tˆoi tr`ınh b`ay la.i mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t cu˙’a l´o.p h`am
`oi ngo`ai m`a H. X. Phu d¯˜a chı˙’ ra. Mˆo.t sˆo´ t´ınh chˆa´t tˆo´i u.u cu˙’a l´o.p h`am
Γ-lˆ
n`ay s˜e l`a co. so˙’. cho viˆe.c nghiˆen c´
u.u B`ai to´an (P˜ ) trong Chu.o.ng 3.

16

- i.nh ngh˜ıa 1.4.5. ([44]) Cho X l`a khˆong gian v´ec to. trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu..c,
D
`oi trong
Γ l`
a tˆ
a.p cˆ
an trong X t´
u.c l`
a λΓ ⊂ Γ v´o.i mo.i |λ| ≤ 1, v`a D l`a tˆa.p lˆ
`oi ngo`ai nˆe´u v´o.i mo.i x0 , x1 ∈ D tˆ
`on
X. H`
am g : D → IR d¯u.o..c go.i l`a Γ-lˆ
ta.i tˆ
a.p d¯´
ong Λ ⊂ [0, 1] v`
a ch´
u.a {0, 1} sao cho
[x0 , x1 ] ⊂ {xλ | λ ∈ Λ} + 0.5Γ

(1.4.9)

∀λ ∈ Λ : g(xλ ) ≤ (1 − λ)g(x0 ) + λg(x1 ).

(1.4.10)

v`

a

`oi ngo`ai nhu. trˆen th`ı hˆ
`au hˆe´t c´ac h`am lˆ
`oi thˆo
V´o.i d¯.inh ngh˜ıa h`am Γ-lˆ
`oi, ρ-lˆ
`oi, γ-lˆ
`oi, γ-lˆ
`oi d¯oˆ´i x´
d¯u.o..c d¯.inh ngh˜ıa o˙’. c´ac mu.c trˆen nhu. δ-lˆ
u.ng . . .
l`a c´ac tru.o`.ng ho..p riˆeng cu˙’a l´o.p h`am n`ay.
- i.nh ngh˜ıa 1.4.6. ([44]) Tˆa.p S ⊂ X d¯u.o..c go.i l`a Γ-lˆ
`oi ngo`ai nˆe´u v´o.i mo.i
D
x0 , x1 ∈ S
[x0 , x1 ] ⊂ ([x0 , x1 ] ∩ S) + 0.5Γ,
`on ta.i Λ ⊂ [0, 1] sao cho
t´
u.c l`
a tˆ
{xλ | λ ∈ Λ} ⊂ S, [x0 , x1 ] ⊂ {xλ | λ ∈ Λ} + 0.5Γ.

(1.4.11)

V´ı du. 1.4.1. ([44]) Gia˙’ su˙’. z i ∈ IR, Z l`a tˆa.p c´ac sˆo´ nguyˆen, i ∈ Z tho˙’a
m˜an 0 < z i+1 − z i ≤ γ, i ∈ Z v`a g : IR → IR sao cho
g(x) ≥ g(z i ) ∀x ∈ IR v`a i ∈ Z.
¯ γ).

`oi ngo`ai v´o.i Γ = B(0,
Khi d¯o´ g(x) l`a Γ-lˆ
`e 1.4.4. ([44]) Tˆ
`oi ngo`ai l`a Γ-lˆ
`oi ngo`ai.
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
a.p m´
u.c du.´o.i cu˙’ a h`am Γ-lˆ
- i.nh l´
D
y 1.4.8. ([44]) Cho B l`a tˆa.p cˆan trong khˆong gian v´ec to. X. Khi
`oi ngo`ai v´o.i Γ = B khi v`a chı˙’ khi epi g l`a
d¯´
o g : D ⊂ X → IR l`
a h`
am Γ-lˆ
`oi ngo`
tˆ
a.p Γ-lˆ
ai v´
o.i Γ = B × IR.
- i.nh ngh˜ıa 1.4.7. ([44]) Cho g : D → IR. D
- iˆe˙’m x∗ ∈ D go.i l`a d¯iˆe˙’m
D
Γ-cu..c tiˆe˙’u cu˙’ a g nˆe´u
g(x∗ ) =

inf

x∈(x∗ +Γ)∩D

g(x)


17

v`
a go.i l`
a Γ-infimum cu˙’ a g nˆe´u
lim inf g(x) =

x∈X, x→x∗

inf

x∈(x∗ +Γ)∩D

g(x).

`oi ngo`ai d¯u.o..c chı˙’ ra bo˙’.i d¯i.nh
T´ınh chˆa´t tˆo´i u.u quan tro.ng cu˙’a h`am Γ-lˆ
l´
y sau:
- .inh l´
D
y 1.4.9. ([44]) Gia˙’ su˙’. 0 l`a d¯iˆe˙’m trong cu˙’ a tˆa.p Γ v`a g : D → IR l`a
`oi ngo`
h`

am Γ-lˆ
ai. Khi d¯´
o
g(x∗ ) =

inf∗

x∈D∩({x }+Γ)

g(x) =⇒ g(x∗ ) = inf g(x),
x∈D

(1.4.12)

t´
u.c l`
a nˆe´u x∗ l`
a d¯iˆe˙’m Γ-cu..c tiˆe˙’u th`ı x∗ l`a d¯iˆe˙’m cu..c tiˆe˙’u to`an cu.c.

1.5.

`oi trong
H`
am γ-lˆ

`oi trong d¯u.o..c H. X. Phu d¯u.a ra nhˇ`a m nghiˆen c´
u.u
Kh´ai niˆe.m h`am γ-lˆ
c´ac d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i to`an cu.c v`a d¯iˆe˙’m supremum to`an cu.c. Trong mu.c n`ay
ch´

ung tˆoi d¯iˆe˙’m qua mˆo.t sˆo´ kˆe´t qua˙’ nghiˆen c´
u.u cu˙’a H. X. Phu trong c´ac
b`ai b´ao [41], [42] v`a [43]. Ch´
ung tˆoi s˜e su˙’. du.ng c´ac kˆe´t qua˙’ d¯o´ d¯ˆe˙’ nghiˆen
˜ trong
c´
u.u d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i to`an cu.c, supremum to`an cu.c cu˙’a B`ai to´an (Q)
Chu.o.ng 4 cu˙’a luˆa.n ´an n`ay.
- i.nh ngh˜ıa 1.5.8. ([42]) H`am g : D ⊂ IRn → IR go.i l`a h`am γ-lˆ
`oi trong
D
`oi trong ngˇ
`on ta.i d¯ˆo. tinh cˆo´
(hoˇ
a.c γ-lˆ
a.t) trˆen D v´o.i d¯ˆo. thˆo γ > 0, nˆe´u tˆ
d¯.inh ν ∈]0, 1] sao cho
v´
o.i mo.i x0 , x1 ∈ D tho˙’ a m˜an x0 − x1 = νγ
v`
a x1+1/ν = −(1/ν)x0 + (1 + 1/ν)x1 ∈ D,
th`ı
sup

g((1 − λ)x0 + λx1 ) − (1 − λ)g(x0 ) − λg(x1 ) ≥ 0,

λ∈[2,1+1/ν]

(hoˇ
a.c

sup
λ∈[2,1+1/ν]

g((1 − λ)x0 + λx1 ) − (1 − λ)g(x0 ) − λg(x1 ) > 0).


18

V´ı du. 1.5.2. ([41]) Cho
g(x) =

a
b

nˆe´u x l`a h˜
u.u ty˙’
nˆe´u x l`a vˆo ty˙’,

`oi trong v´o.i γ > 0.
nˆe´u νγ l`a h˜
u.u ty˙’ th`ı g l`a h`am γ-lˆ
`oi trong (hoˇa.c γ-lˆ
`oi trong
Nhˆ
a.n x´
et 1.5.3. Khi ν = 1 th`ı h`am g l`a γ-lˆ
ngˇ
a.t) nˆe´u v´
o.i x0 , x1 ∈ D tho˙’ a m˜an x0 − x1 = γ v`a −x0 + 2x1 ∈ D k´eo
theo

−g(x0 ) + 2g(x1 ) ≤ g(−x0 + 2x1 ),
(hoˇ
a.c
−g(x0 ) + 2g(x1 ) < g(−x0 + 2x1 )).
`e 1.5.5. ([41]) Gia˙’ su˙’. g : D → IR l`a γ-lˆ
`oi trong v´o.i d¯ˆo. tinh ν.
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
Nˆe´u x1 ∈ D l`
a d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i cu˙’ a g th`ı mo.i d¯iˆe˙’m x0 tho˙’ a m˜an
x0 − x1 = νγ,

x1+1/ν = −(1/ν)x0 + (1 + 1/ν)x1 ∈ D

c˜
ung l`
a d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i cu˙’ a g trˆen D.
- i.nh l´
`oi, gi´o.i nˆo.i v`a g : D → IR l`a
D
y 1.5.10. ([41]) Cho D ⊂ IRn l`a tˆa.p lˆ
`oi trong. Nˆe´u g c´
h`
am γ-lˆ
o d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i th`ı c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i
l`
a d¯iˆe˙’m γ-cu..c biˆen ngˇ
a.t cu˙’ a D.
- i.nh l´

`oi trong ngˇa.t. Nˆe´u g
D
y 1.5.11. ([41]) Cho g : D → IR l`a h`am γ-lˆ
d¯a.t cu..c d¯a.i trˆen D th`ı d¯iˆe˙’m cu..c d¯a.i l`a d¯iˆe˙’m γ-cu..c biˆen ngˇa.t cu˙’ a D.
`e 1.5.6. ([41]) Cho g : D → IR, D l`a tˆa.p mo˙’. tu.o.ng d¯ˆo´i theo bao
Mˆ
e.nh d
¯ˆ
`oi trong v´o.i d¯ˆo.
aphin cu˙’ a D (k´y hiˆe.u l`
a aff D) l`a h`am bi. chˇa.n trˆen v`a γ-lˆ
tinh ν ∈ [0, 1]. Nˆe´u x1 l`
a d¯iˆe˙’m supremum cu˙’ a g, th`ı v´o.i mo.i x0 ∈ D tho˙’ a
m˜
an
x0 − x1 = νγ,

x1+1/ν = −(1/ν)x0 + (1 + 1/ν)x1 ∈ D

c˜
ung l`
a d¯iˆe˙’m supremum cu˙’ a g.