Bài tập phần Dãy số (Nâng cao)

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
Bài 1 (T6/85)
Cho a là một số nguyên dương tuỳ ý. Đặt r = a + 1 + a . Chứng minh rằng với mọi số
tự nhiên n, đều tồn tại một số nguyên dương M n sao cho r n = M n + 1 + M n .
Bài 2 (T6/219)
Dãy số { a n } được xác định như sau:
a1 = 1

a = a + 1 (n ≥ 1)
n
 n +1
3 a
n

α

a
Tìm tất cả các số thực α sao cho dãy { u n } xác định bởi u n = n (n ≥ 1) hội tụ và giới
n

hạn của nó khác không.
Bài 3 (Thi HSG QG 1995)
Dãy số { a n } n∈¥ , được xác định như sau: a 0 = 1,a1 = 3 và với mọi n = 0,1,2,3… thì
a + 9a n , n = 2k
a n +2 =  n +1
; k∈¥
9a n +1 + 5a n , n = 2k + 1

Chứng minh rằng:
2000

1)

∑

k =1995

a 2k chia hết cho 20

2) a 2n +1 không là số chính phương với mọi n ∈ ¥ .
Bài 4 (T7/221)
Cho các dãy { a n } và { b n } thoả mãn cáccông thức sau (n ∈ ¥ * )
n(1 + n)
n n (1 + n n )
an = 1+
+ ... +
∀n ∈ ¥ *
2
2n
1+ n
1+ n
1

 a  n(n +1)
bn =  n ÷
, ∀n ∈ ¥ *
 n +1 
bn .
Tìm nlim
→+∞

Bài 5 (T6/224)

π
xn .
Cho dãy { x n } thoả mãn: x 3 = 2cos ; x n +1 = 3x n − 1 . Tìm nlim
→+∞
9

Bài 6 (T6/225)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước, phương trình x 2n +1 = x + 1 có
xn .
đúng một nghiệm thực. Gọi nghiêm đó là x n . Tìm nlim
→+∞
Bài 7 (T8/225)
∞
Cho dãy số { bn } n=1 được xác định bởi: b1 = 0, b2 = 14, b3 = −18 và b n +1 = 7bn −1 − 6b n −2 , n ≥ 3 .
CMR với mọi số nguyên tố p ta luôn có b p chia hết cho p.
Bài 8 (T7/226)
1


Cho phương trình: x13 − x 6 + 3x 4 − 3x 2 + 1 = 0 .
1) Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm thực.
−3/13
2) Đặt x1 = 1 và x n +1 = ( x n−7/3 + 1)
với mọi số nguyên dương n. CMR dãy số { x n } có
x n thì x 0 là nghiệm nói trên.
giới hạn và khi đặt x 0 = − nlim
→+∞
3) Dùng máy tính bỏ túi tính gần đúng giá trị của nghiệm đó.

Bài 9 (T7/227)
2− 3
Cho dãy số { a n } xác định như sau: a 0 =
,a n +1 = a n (4a n2 − 10a n + 5) 2 , ∀n ≥ 0 . Tìm số
2

hạng tổng quát của a n .
Bài 10 (T8/228)
 3n 
 m  m(m − 1)...(m − s + 1)
3n S
. Tìm nlim
n .
÷ , trong đó:  ÷ =
→+∞
3k
s
1.2...s
k =0 

 
n

Giả sử Sn = ∑ 

Bài 11 (T6/229)
1
2

Cho dãy số { x n } thoả mãn 1 < x1 < 2 và x n +1 = 1 + x n − x n2 ∀n ≥ 1 . CMR dãy { x n } hội tụ và

tìm giới hạn của nó.
Bài 12 (T1/233)
∞
Cho dãy số nguyên { a n } n =0 thoả mãn: a n +2 + a n −1 = 2(a n+1 + a n )
(1)
Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4a n +1a n là số
chính phương với mọi n ≥ 0 .
Bài 13 (T1/236)
Cho dãy { a n }

2a 3n − 2a n2 − 2
∀n ∈ ¢ + . Chứng minh rằng nếu a ≥ 2
thoả mãn: a1 = 1,a n +1 = 2
3a n − 4a n − 1

thì dãy { a n } hội tụ. Tính giới hạn của dãy trong trường hợp đó.
Bài 14 (T6/237)
Cho dãy { a n } thoả mãn: a1 = 1,a 2 = 3,a n +1 = (n + 2)a n − (n + 1)a n −1 ∀n ≥ 2 . Tìm tất cả các giá
trị của n để a n là số chính phương.
Bài 15 (T6/238)
Cho dãy số thực { x n } thoả mãn các điều kiện:
1

x1 = 2; x n +1 =

x 4n + 1
∀n ≥ 1 . Chứng minh
5x n

các bất đẳng thức sau: 5 < x n +1 < 2 ∀n ≥ 1

Bài 16 (T7/240)
Xét dãy số thực { a n } thoả mãn: a n +1 = 3a n2 − 2 ∀n ≥ 1 . Tìm tất cả các số hữu tỉ a1 mà tồn
tại m ≠ n sao cho a m = a n .
Bài 17 (T6/241)
2


1
2

1
2

∞
2
Cho dãy số { bn } n=1 được xác định bởi: b1 = , bn +1 =  b n + b n +

{ b n } là dãy hội tụ và hãy tìm
Bài 18 (T1/244)

1+ x

1
4n


÷
÷ ∀n ≥ 1 . CMR dãy


lim b n .

n →+∞

1+ x

1+ x

1
2
n −1
Xét dãy số x1; x 2 = 1 − x ; x 3 = 1 − x ;...; x n = 1 − x trong đó x1 ≠ 0 và x1 ≠ ±1 . Chứng
1

n −1

2

minh rằng x1997 = x1
Bài 19 (T7/244)
Cho dãy số { p(n)} được xác định như sau:
p(1) = 1; p(n) = 1. p(n – 1) + 2.p(n – 2) + … + (n – 1).p(1), n ≥ 2 .
Xác định p(n) với mỗi n ∈ ¥ *
Bài 20 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng A)
Cho số tự nhên n >1 không chia hết cho 1997. Xét hai dãy số (a i ) và (bi ) được xác
định như sau:
ni
với i = 1,2,3,…,1996
1997
1997 j

bj = j+
với j = 1,2,3,…,n – 1
n

ai = i +

Xét tất cả các số của hai dãy trên và sắp thứ tự không giảm ta được: c1 ≤ c2 ≤ ... ≤ c1995+n .
CMR ck +1 − ck < 2 với mọi k = 1,2,…,1994 + n
Bài 21 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng A)
Có bao nhiêu hàm số f : ¥ * → ¥ * thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1) f(1) = 1
2) f (n)f (n + 2) = f 2 (n + 1) + 1997 với mọi n ∈ ¥ *
Bài 22 (Thi HSG QG 96 – 97 bảng B)
Cho dãy số nguyên (a n ) n∈¥ được xác định như sau:
a 0 = 1,a1 = 45,a n +2 = 45a n +1 − 7a n với mọi n = 0,1,2,…
a) Tính số các ước dương của a 2n +1 − a n a n +2 theo n.
b) Chứng ming rằng 1997a 2n + 7n +1.4 là số chính phương với mỗi n.
Bài 23 (T1/245)
Cho x 0 = 1 , xét dãy số: x 0 , x1 =

3 + x0
3 + x1
3 + x n −1
, x2 =
,..., x n =
. Tính x1997 .
1 − 3x 0
1 − 3x1
1 − 3x n −1

Bài 24 (T6/245)
Cho dãy số { x n } xác định bởi: x 0 = a, x1 = b và với n > 1 thì x n +1 = 5x n2 − 3x n−1 . Chứng
minh rằng với mọi cách chọn số nguyên a,b thì dãy trên hoặc không có số nào chia
hết cho 1997 hoặc có vô số số chia hết cho 1997.
Bài 25 (T6/247)
3


Cho dãy số { u n } xác định bởi: u1 = 1, u 2 = 2 ; u n = u n −1 + u n −2 ( n ≥ 3 ). Chứng minh rằng dãy

{ x n } xác định bởi:

n

1
(n ≥ 1) hội tụ.
k =1 u k

xn = ∑

Bài 26 (T6/251)
Cho dãy số { x n } xác định như sau: x1 = 7, x 2 = 50 ; x n +1 = 4x n + 5x n −1 − 1975 ( n ≥ 2 ). Chứng
minh rằng x1996 M1997
Bài 27 (T7/252)
∞
Cho số thực α > 2 và dãy số thực dương { a n } n =1 thoả mãn điều kiện: a αn = a1 + a 2 + ... + a n −1
∞

a 
với mọi n ≥ 2 . CMR dãy  n  có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ và hãy tìm giới hạn

 n n =1

đó.
Bài 28 (T7/253)
+∞
Cho dãy { x n } n =0 được xác định bởi: x 0 = 1, x1 = 5 ; x n +1 = 6x n − x n −1 ( ∀n ≥ 1 ). Hãy tìm
lim x n
n →∞

{

}

2x n . (Kí hiệu { a} = a − [ a ] là phần lẻ của a)

Bài 29 (T1/265)
Xét dãy số a1 = 1,a 2 = 3 và a n +2 = 2a n +1 − a n + 1 với mọi số nguyên dương n. CMR số
A = 4a n .a n +2 + 1 là số chính phương.
Bài 30 (T8/267)
∞
Cho dãy số { u n } n =0 được xác định bởi: u 0 = 3, u1 = 11, u n+2 = 2u n +1 + 7u n với n = 0,1,2,…
Tìm các số nguyên dương lẻ a sao cho với các số nguyên dương m và n tuỳ ý, luôn
tìm được số nguyên dương k thoả mãn u kn − a M2m
Bài 31 (Đề thi HSG QG 98 – 99 bảng A)
∞
∞
Cho hai dãy số { x n } n =0 và { y n } n =0 được xác định như sau:
x 0 = 1, x1 = 4 ; x n +2 = 3x n +1 − x n với mọi n = 0,1,2,…
y0 = 1, y1 = 2 ; y n +2 = 3y n +1 − y n với mọi n = 0,1,2,…
1) Chứng minh rằng: x 2n − 5y 2n + 4 = 0 với mọi n = 0,1,2,…

2) Giả sử a, b là các số nguyên dương thoả mãn a 2 − 5b 2 + 4 = 0 . CMR tồn tại số tự
nhiên k sao cho x k = a và y k = b .
Bài 32 (T6/268)
Dãy số ( a n ) , n = 0,1, 2... được xác định bởi: a 0 = a,a1 = b,a n +2 = da n +1 − a n với mọi n =
0,1,2…, trong đó a, b là hai số nguyên khác 0 còn d là số thực. Tìm giá trị của d để a n
là số nguyên với mọi n = 0,1,2…
Bài 33 (T7/228)
n
π
Sn
n
→
+∞
S
=
Tìm giới hạn của 2 khi
, trong đó: n ∑ kcos
k
n
k =1

Bài 34 (T7/270)
4


Dãy số ( u n ) , n = 0,1, 2... được xác định bởi: u 0 = 1, u1 = −1, u n +1 = ku n − u n −1 với mọi n =
1,2,3… Tìm tất cả các giá trị hữu tỉ của k để dãy (u n ) là một dãy tuần hoàn.
Bài 35 (T1/271)
Cho dãy số ( a n ) , n = 0,1, 2... được xác định bởi: a 0 = 9,a n +1 = 27a n28 + 28a n27 với mọi n =
0,1,2… Chứng minh rằng số a11 viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000

chữ số 9.
Bài 36 (T7/271)
Cho hai số thực dương a,b với a ≤ b . Lập hai dãy số ( u n ) và ( v n ) (n = 1,2,3…) như
sau:
u1 = a , v1 = b , u n +1 = 2(u n + v n ) , v n +1 =

(u n + v n )(u n2 + v n2 )
với mọi n = 1,2,3…
u n vn
3n

Chứng minh rằng: 4n (a + b) ≤ u n+1 + v n +1 ≤ 22n +1

 a+b 
ab 
÷
 2 ab 

Bài 37 (T1/276)
Lập dãy số nguyên (a n ) (n = 1,2,3…) như sau: a1 = 2 ; số a n bằng tổng các luỹ thừa
bậc 10 của tất cả các chữ số của a n −1 với mọi n = 1,2,3…Chứng minh rằng trong dãy
số đó tồn tại hai số bằng nhau.
Bài 38 (T8/277)
x
không là số hữu tỉ. Đặt S1 = sinx,S2 = sinx+sin2x,... ,
π
là số các số hạng âm trong dãy S1 ,S2 ,...,Sn . Chứng

Cho số thực x sao cho 0 < x < π và
Sn = sinx+sin2x+...+sinnx . Gọi t n

tn
x
=
minh rằng: nlim
.
→+∞ n
2π

Bài 39 (T6/278)
Dãy số ( u n ) (n = 0,1,2,3…) được xác định bởi u 0 = 0, u1 = 1 , u n+2 = 1999u n +1 − u n . Tìm tất
cả các số tự nhiên n sao cho u n là số nguyên tố.
Bài 40 (Đề thi HSG QG 99 – 00 bảng B)
Cho số thực c > 2. Dãy số { x n } , n = 0,1,2… được xây dựng theo cách sau: x 0 = c ,
x n +1 = c − c + x n (n = 0,1,2…) nếu các biểu thức dưới căn không âm.
xn .
Chứng minh rằng dãy { x n } được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn nlim
→+∞
Lưu ý:
(Đề thi HSG QG 99 – 00 bảng A)
Cho số thực dương c. Dãy số { x n } , n = 0,1,2… được xây dựng theo cách sau:
x n +1 = c − c + x n (n = 0,1,2…) nếu các biểu thức dưới căn không âm. Tìm tất cả các

giá trị của c để với mọi giá trị ban đầu x 0 ∈ (0;c) dãy { x n } được xác định với mọi giá
xn .
trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn nlim
→+∞
Bài 41 (T7/281) 11/2000
5

Xét dãy số nguyên dương { a n } (n = 0,1,2,…) thoả mãn các điều kiện : a 0 = 1
a 2n > a n −1a n +1 với mọi n = 1,2,3…
a) Chứng minh rằng a n > n với mọi n ≥ 1 .
b) Tìm lim
n →∞

1 1 2 3
n 
+ + + ... + ÷
2 
n  a1 a 2 a 3
an 

Bài 42 (T6/282) 12/2000
Cho hai dãy số { a n } , { bn } (n = 1,2,3…) được xác định bởi: a1 = 3, b1 = 2 , a n +1 = a n2 + 2bn2
2 b
2 a a ...a
và b n+1 = 2a n b n với n = 1,2,3,… Tìm nlim
n và lim
1 2
n .
→+∞
n →+∞
Bài 43 (T8/283) 1/2001
n

n

1
Xét dãy số thực a1 ,a 2 ,... thỏa mãn các điều kiện: 0 < a n < 1 và a n +1 (1 − a n ) ≥ với mọi n =

4

1,2,3…
Chứng minh rằng:

1 1
1
−
< a n ≤ với mọi n = 1,2,3…
2 2n
2

Bài 44 (T8/284) 2/2001
2 x (x n ln 2 − 1) + 1
Cho dãy số { x n } (n = 0,1,2,…) được xác định bởi: x 0 = a và x n +1 =
với
x
n

2 n ln 2 − 1

mọi n = 0,1,2,… Hãy tìm giới hạn theo a của dãy trên.
Bài 45 (T6/285) 3/2001
Tìm số nguyên dương k sao cho dãy số sau gồm toàn số nguyên: a1 = 1 ,
a n +1 = 5a n + ka n2 − 8 với mọi n = 1,2,3,…
Bài 46 (T7/285) 3/2001
Xét dãy số { x n } (n = 1,2,3…) được xác định bởi: x1 = a ≥ 1 , x n +1 =

x 2n − 2{x n }2
, trong đó

[x n ]2

[x] là phần nguyên của x, {x} là phần thập phân của x. Chứng minh rằng dãy số { x n }
có giới hạn, tìm giới hạn đó.
Bài 47 (T1/286) 4/2001
1

Dãy số u1, u 2 ,..., u k được xác định như sau: u n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) với n = 1,2,3…,k.
1
Đặt S = u1 + u 2 + ... + u k . CMR 18 < ≤ 24 .
S

Bài 48 (T6/286) 4/2001
Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: u1 = 2 , u n = 3u n −1 + 2n 3 − 9n 2 + 9n − 3
p −1

với n = 2,3,… Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p thì: 2000∑ u i chia hết cho p.
i =1

Bài 49 (T8/287) 5/2001

6


Giả sử phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm phân biệt. Xét dãy số { x n } (n
= 0,1,2,3,…) được xác định bởi số x 0 cho trước và các điều kiện: x n (ax n−1 + b) + c = 0
x n theo x 0 .
với n = 1,2,3,… Hãy tìm nlim
→+∞
Bài 50 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng B)

xn
2
và x n +1 = 2(2n + 1)x + 1 với mọi
3
n
*
x
n ∈ ¥ . Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy { n } .

Cho dãy số { x n } , n ∈ ¥ * được xác định như sau: x1 =

Bài 51 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng B)
Cho số thực a, cho dãy số { x n } , n ∈ ¥ được xác định bởi: x 0 = a và x n +1 = x n + sin x n với
mọi n ∈ ¥ . Chứng minh rằng dãy { x n } có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ . Hãy tính giới
hạn đó theo a.
Bài 52 (Đề thi HSG QG 00 – 01 bảng A)
Với mỗi cặp số thực (a,b), xét dãy số { x n } , n ∈ ¥ được xác định bởi: x 0 = a và
x n +1 = x n + bsinx n với mọi n ∈ ¥ .
1. Cho b = 1. Chứng minh rằng với mọi số thực a, dãy { x n } có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞ . Hãy tính giới hạn đó theo a.
2. Chứng minh rằng với mỗi số thực b > 2 cho trước, tồn tại số thực a sao cho dãy
{ x n } tương ứng không có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ .
Bài 53 (T7/293) 11/2001
 
Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: u1 = a > 0 , u n+1 = u n +  u n  −  n  với
3
mọi n = 1,2,3,… (kí hiệu [x] là phần nguyên của x). Chứng minh rằng dãy số có giới
hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 54 (T7/294) 12/2001
u

1

Dãy số { a n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi a n = n 2 (n + 2) n + 1 với mọi n = 1,2,3,…
Chứng minh rằng: a1 + a 2 + ... + a n <

1
2 2

với mỗi n = 2,3,…

Bài 55 (T7/295) 1/2002
Hỏi có tất cả bao nhiêu đa thức Pn (x) bậc n chẵn thoả mãn các điều kiện:
1) Các hệ số của Pn (x) thuộc tập hợp M = { 0, −1,1} và Pn (0) ≠ 0 .
2) Tồn tại đa thức Q(x) có các hệ số thuộc M sao cho Pn (x) ≡ (x 2 − 1)Q(x) .
Bài 56 (T7/296) 2/2002

π
Giả sử 0 < α < . Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: u1 > 0 và
2
2002cos 2α
u n +1 = u n sin 2 α +
2
với n = 1,2,3,…
u ntan α

Chứng minh rằng dãy số { u n } có giới hạn khi n → +∞ và tìm giới hạn đó.
7

Bài 57 (T8/298) 4/2002
1
Dãy số { x n } (n = 0,1,2,…) được xác định bởi x 0 = 1, x1 = và
2

x n +1.x n
x n +1 =
với mọi n = 0,1,2,…
2002x n +1 + 2001x n + 2000x n +1x n
Hãy tìm công thức tổng quát của x n theo n.

Bài 58 (Đề thi HSG QG 01 – 02 bảng B)
Xét phương trình:

1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+ ... +
= 0 trong đó n là tham số
2
2x x − 1 x − 4
x−k
x − n2

nguyên dương.

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất
nghiệm trong khoảng (0,1), kí hiệu nghiệm đó là x n .
2) Chứng minh rằng dãy số { x n } có giới hạn khi n → +∞ .
Bài 59 (Đề thi HSG QG 01 – 02 bảng A)
Xét phương trình:

1
1
1
1
1
+
+ ... + 2
+ ... + 2
= trong đó n là tham số nguyên
x − 1 4x − 1
k x −1
n x −1 2

dương.
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất
nghiệm lớn hơn 1, kí hiệu nghiệm đó là x n .
2) Chứng minh rằng dãy số { x n } có giới hạn bằng 4 khi n → +∞ .
Bài 60 (T6/301) 7/2002
Xét dãy số { a n } được xác định bởi: a1 = 5,a 2 = 11 và a n +1 = 2a n − 3a n −1 với mọi n = 2,3,…
Chứng minh rằng:
a) Dãy số trên có vô hạn số dương và vô hạn số âm.
b) a 2002 chia hết cho 11.
Bài 61 (T8/303) 9/2002
1

Dãy số thực dương { a n } (n = 1,2,3,…) thoả mãn các điều kiện: a1 = và
6

2n

∑a

i = n +1

i

≤

1

a i ÷ với n = 1,2,3,… Chứng minh rằng
∑

n  i =1 
n

2n

∑a
i =1

i

< 1 với mỗi n.

Bài 62 (T7/304)
Dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi u n =

n n 7n + 10
với mọi n = 1,2,3,…
(n + 1).3n

Chứng minh rằng u1 + u 2 + ... + u n < 4 với mỗi giá trị của n.
Bài 63 (T10/308)

−1

Xét dãy số { v n } (n = 0,1,2,…) được xác định bởi: v0 = 1 và v n = 3 + v
1,2,3,… Chứng minh rằng dãy số đó có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 64 (T8/309)
8

n −1

với mọi n =


Hãy xác định tất cả các dãy số nguyên dương { x n } (n = 1,2,3,…) thoả mãn:
x1 = 1, x 2 > 1, x n +2 =

1 + x 4n +1
với mọi n = 1,2,3,…
xn

Bài 65 (T8/309)

Dãy số thực { x n } (n = 0,1,2,…) được xác định bởi x 0 = a và x n +1 = 2x n2 − 1 với mọi n =
0,1,2,… Tìm tất cả các giá trị của a để x n < 0 với mọi n = 0,1,2,…
Bài 66 (Đề thi HSG QG 02 – 03 bảng B)
Cho số thực α ≠ 0 , và cho dãy số thực { x n } (n = 1,2,3,…) xác định bởi: x1 = 0 và
x n +1 (x n + α) = α + 1 với mọi n = 1,2,3,…
1) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy { x n } .
2) Chứng minh rằng dãy { x n } có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ . Hãy tìm giới hạn đó.
Bài 67 (T10/315)
Các dãy số { u n } và { v n } (n = 0,1,2,…) được xác định bởi: u 0 = 2001 , u1 = 2002 ,
un

vn

v0 = v1 = 1 , u = 2002 v 2001 , v = 2002 u 2001 với mọi n = 0,1,2,…
n+2
n +1
n+2
n +1

Chứng minh rằng tồn tại các giới hạn sau và tìm các giới hạn đó:
lim u 2n , lim u 2n +1 , lim v 2n , lim v 2n +1 .
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞
Bài 68 (T8/316)
Với mỗi số tự nhiên k > 0, chứng minh rằng số

(

2+ 3

)

2k

luôn viết được dưới dạng

a k + b k 6 với a k , b k nguyên dương. Tìm hệ thức xác định dãy { a k } , { b k } với k =
1,2,3… Chứng minh rằng với mọi k ≥ 2 thì a k −1a k +1 − 6b k2 là một hằng số.

Bài 69 (T9/317)
k
Với mỗi số nguyên dương k, xét dãy số { x n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: x1k = 1 ,
n

x kn = ∑
i =1

ik
với n = 2,3,…
i!

k
1) Chứng minh dãy số { x n } có giới hạn hữu hạn với mỗi số nguyên dương k.

E
x nk . Chứng minh rằng: y k = k là số nguyên dương với mỗi số nguyên
2) Đặt E k = lim
n →∞

E
1

dương k.
Bài 70 (T9/318)
Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó.
n

s n = ∑ k sin
k =1

k
(n = 1,2,3,…)
n3

Bài 71 (T7/322)

9


n

1
2 với n = 1,2,3,… chứng
k =1 (k!)

Dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi u n = ∑

minh rằng dãy số này có giới hạn và giới hạn đó là số vô tỉ.
Bài 72 (T5/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT)

Dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) thoả mãn các điều kiện sau với mọi n = 1,2,3,…:
1) u n = u n +2004
2n

2)

∑u

3)

∑u

i =1
2n −1
i =1

i

i

≤0
≥0

Chứng minh rằng u 2003 ≥ u 2004 .
Bài 73 (T10/THPT Cuộc thi kỉ niệm 40 năm THTT)
Dãy số { x n } (n = 1,2,3,…) được xác định theo công thức
 x n = 1 khi (n + 1) 2004  − n 2004  là môt sô΄le’


 


&

%
 x n = 0 khi (n + 1) 2004  − n 2004  là môt sô΄ chăn

&

Trong đó [x] là phần nguyên của x. Tính tổng của 41 số hạng S = x1964 + x1965 + ... + x 2004
Bài 74 (Đề thi HSG QG 03 – 04 bảng A)
Xét dãy số thực { x n } , n = 1,2,3,… xác định bởi x1 = 1 và
(2 + cos2α)x n + cos 2α
x n +1 =
với mọi n = 1,2,3,… trong đó α là một tham số thực.
(2 − 2cos2α)x n + 2 − cos2α
n

1

k =1

2x k + 1

Hãy xác định tất cả các giá trị của α để dãy số { y n } với y n = ∑

, n = 1,2,3,… có

giới hạn khi n → ∞ . Hãy tìm giới hạn của dãy số { y n } trong các trường hợp đó.
Bài 75 (T8/327)
Hai dãy số { x n } và { y n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: x1 = −1, y1 = 1 ,

x n +1 = −3x 2n − 2x n y n + 8y 2n , y n +1 = 2x n2 + 3x n y n − 2y n2 với mọi n = 1,2,3,… Tìm tất cả các số
nguyên tố p sao cho x p + y p không chia hết cho p.
Bài 76 (T10/327)
xm
, trong đó x là số thực dương và n là số nguyên dương.
m =0 m!
n

Xét hàm số f n (x) = e − x ∑

1) Chứng minh rằng với mỗi số thực dương k với 0 < k < 1 và mỗi số nguyên dương n
thì phương trình f n (x) = k có nghiệm duy nhất.
1

2) Gọi α n là nghiệm của phương trình nêu trên. Tìm nlim
.
→+∞ α
n

10


Bài 77 (T8/329)
Cho a, b là hai số thực khác 0. Xét dãy số { u n } (n = 0,1,2,…) được xác định như sau:
u 0 = 0 , u1 = 1 u n + 2 = au n +1 − bu n với mọi n = 2,3,… Chứng minh rằng nếu có bốn số hạng
liên tiếp của dãy là số nguyên thì mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bài 78 (T9/331)
Xét dãy số { u n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi u n = n 2 với mọi n = 1,2,3,… Đặt
n

xn =

1 1
1
+ + ... +
. Chứng minh rằng dãy số { x n } có giới hạn khi n tăng lên vô hạn
u1 u 2
un

và giới hạn đó là một số vô tỉ.
Bài 79 (T9/334)
n

1
k có giới hạn khi n tăng lên vô hạn và tìm giới hạn đó.
k =0 C n

Chứng minh rằng tổng Sn = ∑
Bài 80 (T9/335)

1
Xét dãy số { x n } (n = 1,2,…) được xác định bởi: x1 = 2 và x n +1 = (x n2 + 1) với mọi n =

2
1
1
1
1,2,3,… Đặt Sn = 1 + x + 1 + x + ... + 1 + x . Tính phần nguyên của S2005 và tính giới hạn
1
2

n
của Sn khi n tăng lên vô hạn.

Bài 81 (T10/335)

(

 1− 1− a2
1
n
Xét dãy số { a n } (n = 1,2,3,…) được xác định bởi: a1 = và a n +1 = 

2
2

mọi n = 1,2,3,… Chứng minh rằng a1 + a 2 + ... + a 2005 < 1,03 .

)

1/2

1/2


÷
÷


với

Bài 82 (Đề thi HSG QG 04 – 05 bảng B)
Cho dãy số thực { x n } , n = 1,2,3,… xác định bởi: x1 = a và x n +1 = 3x 3n − 7x n2 + 5x n với mọi


n = 1,2,3,…, trong đó a là một số thực thuộc đoạn 0;  . Chứng minh rằng dãy số
 3
4

{ x n } có giới hạn hữu hạn khi

n → +∞ . Hãy tìm giới hạn đó.

Bài 83 (T10/338)
Giả sử { Fn } , n = 1,2,3,… là dãy Fibonacci ( F1 = F2 = 1;Fn +2 = Fn +1 + Fn với n = 1,2,3,…)
F

n +1
Chứng minh rằng, nếu a ≠ − F với mọi n = 1,2,3,… thì dãy số { x n } , trong đó
n

x1 = a, x n +1 =

1
, n = 1,2,3,… là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi ntăng lên vô
1+ xn

hạn. Tìm giới hạn đó.

11

Bài 84 (T9/339)
(2n)!

Xét dãy số { x n } n = 1,2,3… được xác định bởi x n = a an , trong đó a n = (n!)2 22n với mọi
n

n = 1,2,3,… Chứng minh rằng dãy { x n } có giới hạn khi n dần tới vô hạn và tìm giới
hạn đó.
Bài 85 (T9/342)
Dãy số { x n } n = 1,2,3,… được xác định như sau: x1 = 1 và
n

x n +1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 với n = 1,2,… Đặt y n = ∑
i =1

1
, n = 1,2,3,… Tìm
xi + 2

lim y n .
n →∞

Bài 86 (T9/344)
Xét dãy { f n (x)} (n = 0,1,2,…) các hàm số xác định trên [0;1] thoả mãn f 0 (x) = 0 và
f n +1 (x) = f n (x) +
n ∈ ¥ , x ∈ [0;1]

nx
1

≤ f n (x) ≤ x với
x − (f n (x)) 2 với n = 0,1,2,… Chứng minh rằng
2+n x
2

(

)

12