Công thức toán THPT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 28 trang )
Công thức tổng hợp 2016
MỤC LỤC
A. ĐẠI SỐ.............................................................................................................................................. 3
1. Tam thức bậc hai .................................................................................................................... 3
2. Bất đẳng thức Cauchy ........................................................................................................... 3
3. Phương trình- bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................................... 3
4. Phương trình- bất phương trình chứa căn ............................................................................. 3
5. Cấp số cộng ............................................................................................................................ 4
6. Cấp số nhân ........................................................................................................................... 4
7. Nhị thức Niutơn ...................................................................................................................... 4
8. Giới hạn ................................................................................................................................. 4
B. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC ....................................................................................... 7
1. Định lý hàm Côsin ................................................................................................................. 7
2. Định lý hàm Sin ..................................................................................................................... 7
3. Công thức tính diện tích tam giác .......................................................................................... 7
4. Độ dài trung tuyến ................................................................................................................. 7
C. PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ............................................................................................................... 8
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ........................................................................................... 8
2. Hệ đối xứng loại 1 .................................................................................................................. 8
3. Hệ đối xứng loại 2 .................................................................................................................. 8
4. Hệ đẳng cấp ......................................................................................................................... 8
D. LƢỢNG GIÁC .................................................................................................................................. 9
I. Công thức lượng giác.......................................................................................................... 9
1. Các cung liên quan đặc biệt ................................................................................................... 9
2. Công thức lượng giác cơ bản ................................................................................................. 9
3. Công thức cộng ...................................................................................................................... 9
4. Công thức nhân đôi ................................................................................................................ 9
5. Công thức nhân ba ................................................................................................................. 9
6. Công thức hạ bậc ................................................................................................................... 9
7. Công thức biến đổi tổng thành tích ........................................................................................ 9
8. Công thức biến đổi tích thành tổng ........................................................................................ 10
a
....................................................... 10
2
10. Một số công thức quan trọng ............................................................................................... 10
9. Công thức biểu diễn
theo
II. Phƣơng trình lƣợng giác ................................................................................................... 10
1. Phương trình lượng giác cơ bản ............................................................................................ 10
2. Một số dạng phương trình lượng giác ................................................................................... 12
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 1
Công thức tổng hợp 2016
E. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM ................................................................................................................ 14
1. Quy tắc cơ bản ....................................................................................................................... 14
2. Bảng công thức tính đạo hàm ................................................................................................ 14
F. CÔNG THỨC MŨ, LOGARIT ......................................................................................................... 15
G. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM ....................................................................................................... 16
H. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ.................................................... 17
I. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘNG TRONG MẶT PHẲNG OXY ......................................................... 20
1. Phương trình của đường thẳng .............................................................................................. 20
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ................................................................... 20
3. Góc giữa hai đường thẳng ..................................................................................................... 20
4. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng .......................... 20
5. Phương trình đường tròn ...................................................................................................... 20
6. Elip ......................................................................................................................................... 21
7. Hypebol .................................................................................................................................. 21
8. Parabol................................................................................................................................... 22
J. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .............................................................................................................. 23
I – Các hình cơ bản................................................................................................................ 23
1. Hình chóp ............................................................................................................................... 23
2. Hình trụ .................................................................................................................................. 23
3. Hình cầu ................................................................................................................................. 24
4. Hình nón ................................................................................................................................. 24
II – Các phƣơng pháp chứng minh ........................................................................................ 24
III – Các vấn đề về góc.......................................................................................................... 25
IV – Các vấn đề về khoảng cách ........................................................................................... 26
K. SỐ PHỨC ......................................................................................................................................... 27
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 2
Công thức tổng hợp 2016
A. ĐẠI SỐ
1. Tam thức bậc hai:
Giả sử ( )
(
)
( )
{
( )
{
{
( )
{
là nghiệm của ( )
*
{
( )
{
{
( )
{
( )
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
( ) ( )
[
( )
( )
( )
{
2. Bất đẳng thức Cauchy :
a b
ab . Dấu “=” xảy ra khi a = b.
2
a bc 3
thì
abc . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
3
thì
Với hai số
Với ba số
3. Phương trình- bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
| |
{
| |
| |
|
| |
(
)(
| | | | |
|
|
|| |
| |
{
| |
{
*
)
| ||
|
|
| |
| |
|
|
|| |
√
{
| ||
4. Phương trình- bất phương trình chứa căn:
√
{
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
√
(
)
Page 3
Công thức tổng hợp 2016
√
{
√
{
√
[
√
{
{
5. Cấp số cộng: cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai,
mỗi số đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trƣớc nó và một số d không đổi, nghĩa là:
(un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N*
(d: công sai)
- Số hạng tổng quát:
un u1 (n 1)d
- Tính chất các số hạng:
uk
- Tổng n số hạng đầu tiên:
Sn u1 u2 ... un
với n 2
uk 1 uk 1
với k 2
2
n(u1 un )
=
n 2u1 (n 1)d
2
2
6. Cấp số nhân: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai,
mỗi số đều bằng tích của số hạng đứng ngay trƣớc nó và một số q không đổi, nghĩa là:
(un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N*
- Số hạng tổng quát:
un u1.qn1
với n 2
- Tính chất các số hạng:
uk2 uk 1.uk 1
với k 2
- Tổng n số hạng đầu tiên:
Sn nu1
n
S u1(1 q )
n
1 q
(q: công bội)
vôùi q 1
vôùi q 1
7. Nhị thức Niutơn:
- Công thức khai triển nhị thức Newton: Với mọi nN và với mọi cặp số a, b ta có:
(a b)n
n
Cnk ank bk
k 0
- Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank bk ( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cnk Cnnk
5) Cn0 Cnn 1 ,
Cnk 1 Cnk Cnk1
8. Giới hạn:
- Dãy số có giới hạn 0:
Nếu | |
với mọi n và lim
Nếu | |
thì lim
1
1
0 ; lim
0 (k
n n
n n k
lim
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
thì
)
Page 4
Cụng thc tng hp 2016
- Dóy s cú gii hn hu hn:
lim C C
n
(
(
)
)
0, n v lim
Nu
(
(
)
thỡ a 0 v lim
thỡ lim un a v lim
Nu lim
lim
)
Nu lim un thỡ lim
= a, lim
Nu lim
= a 0, lim
Nu lim
= +, lim
a
(nu b 0)
b
lim qn (q 1)
1
0
un
= thỡ lim
Nu lim
vn
un a
lim nk (k )
lim n
un
un
=0
vn
= 0 thỡ lim
un
=
vn
)=
= a thỡ lim(
neỏu a.vn 0
neỏu a.vn 0
neỏu a 0
neỏu a 0
- Hm s cú gii hn hu hn:
lim x x0 ;
lim c c (c: hng s)
x x0
x x0
lim f ( x ) g( x ) L M
Nu lim f ( x ) L v lim g( x ) M thỡ:
x x0
x x0
x x0
lim f ( x ) g( x ) L M
x x0
lim f ( x ).g( x ) L.M
x x0
lim
x x0
Nu f(x) 0 v lim f ( x ) L thỡ L 0 v lim
x x0
x x0
f (x) L
(nu M 0)
g( x ) M
f ( x) L
Nu lim f ( x ) L thỡ lim f ( x ) L
x x0
x x0
- Hm s cú gii hn vụ cc, ti vụ cc:
lim x k ;
x
lim
x
c
xk
0
Biờn son Hong Ngc Phỳ
neỏu k chaỹn
lim x k
x
neỏu k leỷ
lim
x 0
1
;
x
lim c c ;
x
lim
x 0
1
x
Page 5
Cơng thức tổng hợp 2016
- Hàm số có giới hạn một bên:
lim
x 0
1
1
lim
x x 0 x
nếu L và lim g( x ) cùng dấu
x x0
Nếu lim f ( x ) L 0 và lim g( x ) thì: + lim f ( x )g( x )
g( x ) trái dấu
x x0
x x0
x x0
nếu L và xlim
x0
0 nếu lim g( x )
x x0
f ( x )
nếu lim g( x ) 0 và L.g( x ) 0
+ lim
x x0 g( x )
x x0
g( x ) 0 và L.g( x ) 0
nếu xlim
x0
Biên soạn Hồng Ngọc Phú
Page 6
Công thức tổng hợp 2016
B. HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Định lý hàm Côsin :
2. Định lý hàm Sin :
3. Công thức tính diện tích tam giác:
√ (
)(
)(
)
4. Độ dài trung tuyến
ma2
2(b2 c2 ) a2
;
4
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
mb2
2(a2 c2 ) b2
;
4
mc2
2(a2 b2 ) c2
4
Page 7
Công thức tổng hợp 2016
C. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Xét hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn ( ) {
|
- Đặt
|
hệ có một nghiệm duy nhất (
:
+
hoặc
+
|
,
.
|
), trong đó
|
,
|
;
: hệ vô nghiệm.
hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phƣơng trình
.
(
)
)
)
với (
(
) và (
(
)
(
)
Nhận dạng : khi ta hoán vị ( đổi chỗ) x và y thì f(x,y) và g(x,y) vẫn không thay đổi.
Phƣơng pháp giải : Đặt S = x+ y, P = xy
Đƣa hệ phƣơng trình (I) về hệ (II) với ẩn S, P.
Giải hệ (II) ta tìm đƣợc S, P.
Tìm nghiệm bằng cách giải phƣơng trình
.
(
)
( )
3. Hệ đối xứng loại 2: (I) {
(
)
( )
Nhận dạng : khi ta hoán vị ( đổi chỗ) x và y thì (1) biến thành (2) và ngƣợc lại.
(
)
(
)
( )
Phƣơng pháp giải: trừ (1) và (2) vế theo vế ta đƣợc {
(
)
( )
) (
)
Biến đổi (3) về pt tích (3) (
2. Hệ đối xứng loại 1: (I) {
* (
{
(
)
)
Lúc đó (I)
(
)
)
[ (
Giải các hệ trên ta tìm đƣợc nghiệm của hệ (I).
{
4. Hệ đẳng cấp: (I) {
Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)
Khi
. Đặt
thế vào hệ (I) ta đƣợc hệ theo t và x. Khử x ta
đƣợc phƣơng trình bậc hai theo t. Giải phƣơng trình này ta tìm đƣợc t. từ đó ta tìm đƣợc (x, y).
Phƣơng pháp giải:
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 8
Công thức tổng hợp 2016
D. LƢỢNG GIÁC
I. Công thức lượng giác:
1. Các cung liên quan đặc biệt:
Góc đối nhau
(
)
Góc bù nhau
(
Góc phụ nhau
)
Góc hơn kém
Góc hơn kém
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2. Công thức lượng giác cơ bản:
3. Công thức cộng:
sin(a b) sin a.cos b sin b.cos a
cos(a b) cosa.cos b
tan(a b)
sina.sin b
tan a tan b
1 tan a.tan b
4. Công thức nhân đôi:
sin2 2sin .cos
cos2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2sin2
tan 2
2 tan
;
1 tan2
5. Công thức nhân ba:
cot 2
cot 2 1
2 cot
sin 3 3sin 4sin3
cos3 4 cos3 3cos
3tan tan3
tan 3
1 3tan2
6. Công thức hạ bậc:
1 cos 2
2
1 cos 2
2
cos
2
1 cos 2
2
tan
1 cos 2
sin2
7. Công thức biến đổi tổng thành tích:
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 9
Công thức tổng hợp 2016
cos a cos b 2 cos
ab
ab
.cos
2
2
ab
ab
.sin
2
2
ab
ab
sin a sin b 2sin
.cos
2
2
ab
ab
sin a sin b 2 cos
.sin
2
2
cos a cos b 2sin
8. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos a.cos b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.sin b cos(a b) cos(a b)
2
1
sin a.cos b sin(a b) sin(a b)
2
9. Công thức biểu diễn
a
Đặt: t tan (a 2k ) thì:
2
a
:
2
theo
sin a
2t
1 t
2
cos a
;
1 t2
1 t
2
;
tan a
2t
1 t2
10. Một số công thức quan trọng:
sin cos 2.sin 2.cos
4
4
sin cos 2 sin 2 cos
4
4
(
)
II. Phương trình lượng giác:
1. Phương trình lượng giác cơ bản :
- Phương trình sinx = sina
x k 2
(k Z )
sin x sin
x k 2
sin u sin v sin u sin(v)
sin x a. Ñieàu kieän : 1 a 1.
x arcsin a k 2
sin x a
(k Z )
x arcsin a k 2
sin u cos v sin u sin v
2
sin u cos v sin u sin v
2
***Các trƣờng hợp đặc biệt:
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 10
Công thức tổng hợp 2016
sin x 0 x k (k Z )
sin x 1 x
2
sin x 1 x
2
k 2 (k Z )
k 2 (k Z )
sin x 1 sin2 x 1 cos2 x 0 cos x 0 x
2
k (k Z )
- Phương trình cosx = cosa
cos x a. Ñieàu kieän : 1 a 1.
cos x a x arccos a k 2 (k Z )
cos x cos x k 2 (k Z )
cos u cos v cos u cos( v)
cos u sin v cos u cos v
2
cos u sin v cos u cos v
2
***Các trƣờng hợp đặc biệt:
cos x 0 x
k (k Z )
2
cos x 1 x k 2 (k Z )
cos x 1 x k 2 (k Z )
cos x 1 cos2 x 1 sin2 x 0 sin x 0 x k (k Z )
- Phương trình tanx = tana
tan x tan x k (k Z )
tan x a x arctan a k (k Z )
tan u cot v tan u tan v
2
tan u tan v tan u tan(v)
tan u cot v tan u tan v
2
***Các trƣờng hợp đặc biệt:
tan x 0 x k (k Z )
- Phương trình cotx = cota
cot x cot x k (k Z )
***Các trƣờng hợp đặc biệt:
cot x 0 x
k (k Z )
tan x 1 x
- Phƣơng trình chứa
- Phƣơng trình chứa cả
4
k (k Z )
cot x a x arccot a k (k Z )
cot x 1 x
2
- Một số điều cần chú ý: khi giải phƣơng trình có chứa các hàm số
bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phƣơng trình xác định.
- Phƣơng trình chứa
k (k Z )
4
, có mẫu số hoặc chứa căn
k (k Z ).
2
thì điều kiện: x k (k Z )
thì điều kiện: x
và cotx thì điều kiện x k
2
(k Z )
- Phƣơng trình có mẫu số:
sin x 0 x k (k Z )
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
cos x 0 x
2
k (k Z )
Page 11
Cụng thc tng hp 2016
tan x 0 x k
(k Z )
cot x 0 x k
(k Z )
2
2
2. Mt s dng phng trỡnh lng giỏc:
- Phng trỡnh bc nht i vi mt hm s lng giỏc: vn dng cỏc cụng thc trờn gii.
- Phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc:
asin2 x b sin x c 0
iu kin
1 t 1
a cos2 x b cos x c 0
1 t 1
Dng
a tan2 x b tan x c 0
a cot 2 x b cot x c 0
t
k (k Z )
2
x k (k Z )
x
Nu t: t sin2 x hoaởc t sin x thỡ ủieu kieọn : 0 t 1.
- Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cos: dng
Cỏch 1:
Chia hai v phng trỡnh cho a2 b2 ta c:
a
b
c
sin x
cos x
(1)
a2 b2
a2 b2
a2 b2
a
b
, cos
t: sin
0, 2
a2 b2
a2 b2
c
sin .sin x cos .cos x
phng trỡnh tr thnh:
a2 b2
c
cos( x )
cos (2)
2
2
a b
c
1 a2 b2 c 2 .
iu kin phng trỡnh cú nghim l:
2
2
a b
(2) x k 2 (k Z )
Cỏch 2:
x
Xột x k 2 k cú l nghim hay khụng?
2 2
x
Xột x k 2 cos 0.
2
x
2t
1 t2
, cos x
, ta c phng trỡnh bc hai theo t:
t: t tan , thay sin x
2
1 t2
1 t2
(b c)t 2 2at c b 0 (3)
Vỡ x k 2 b c 0, nờn (3) cú nghim khi: ' a2 (c2 b2 ) 0 a2 b2 c2 .
Gii (3), vi mi nghim t0, ta cú phng trỡnh: tan
Biờn son Hong Ngc Phỳ
x
t0 .
2
Page 12
Công thức tổng hợp 2016
- Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx : dạng
Cách 1:
Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0 x k sin2 x 1 sin x 1.
2
Khi cos x 0 , chia hai vế phƣơng trình (1) cho cos2 x 0 ta đƣợc:
a.tan2 x b.tan x c d (1 tan2 x)
Đặt: t = tanx, đƣa về phƣơng trình bậc hai theo t: (a d )t 2 b.t c d 0
1 cos2 x
sin 2 x
1 cos2 x
b.
c.
d
2
2
2
b.sin 2 x (c a).cos2 x 2d a c (đây là phƣơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
- Phương trình đối xứng:
Dạng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt: t cos x sin x 2.cos x
; t 2.
4
1
t 2 1 2sin x.cos x sin x.cos x (t 2 1).
2
Thay vào phƣơng trình đã cho, ta đƣợc phƣơng trình bậc hai theo t. Giải phƣơng trình
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc (1) a.
này tìm t thỏa t 2. Suy ra x.
+ cos x sin x 2 cos x 2 sin x
4
4
+ cos x sin x 2 cos x 2 sin x
4
4
Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt: t cos x sin x 2. cos x
; Ñk : 0 t 2.
4
1
sin x.cos x (t 2 1).
2
Tƣơng tự dạng trên. Khi tìm x cần lƣu ý phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Lƣu ý dấu:
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 13
Công thức tổng hợp 2016
E. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
1. Quy tắc cơ bản:
(
(C)’ = 0
u uv vu
v
v2
(uv) uv vu
)
2. Bảng công thức tính đạo hàm:
(kx ) k
(ku) ku
(xn) = n.xn–1
(un) = n.un–1(u)’
1
1
2
x
x
1
u
2
u
u
x
1
u
2 x
(sinx) = cosx
(
)
(cosx) = – sinx
(
)
tan x 1 tan2 x
cos2 x
u'
cos2 u
cot x 1 cot 2 x 1
2
cot u 1 cot 2 u u '
e ' e
a ' a .ln a
e ' e .u'
a ' a .ln a.u'
(
(
(
Đặc biệt:
2 u
tan u 1 tan2 u .u '
1
x
x
x
x
u'
sin x
)
(
)
y
y
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
a
c
u
u
u
u
u'
sin2 u
)
)
b
d
ax b
y'
2
cx d
cx d
2
a1x b1x c1
a2 x2 b2 x c2
y'
a1
a2
b1 2 a1
x
b2
a2
a x
2
2
c1
b
x 1
c2
b2
b2 x c2
c1
c2
2
Page 14
Công thức tổng hợp 2016
F. CÔNG THỨC MŨ, LOGARIT
CÔNG THỨC MŨ
STT
1
a a.a.....a
n thuaso
CÔNG THỨC LOGARIT
STT
n
1
loga 1 0
2
a1 a a
2
loga a 1
3
a0 1 a 0
3
loga aM M
4
a n
1
an
4
a
5
a n n am
5
loga (N1N2 ) loga N1 loga N2
6
N
loga 1 loga N1 loga N2
N2
7
loga Nb b loga N
8
loga N2 2 loga N
9
loga N loga b.logb N
10
logb N
loga N
loga b
1
logb a
m
m
n
1
6
a
7
am .an am n
a
m
n
1
n
am
loga N
N
9
am
am n
an
(am )n (an )m am.n
10
(ab)n an .bn
11
a
an
bn
b
11
loga b
12
aM N M loga N
12
logab N
13
a
8
n
Chú ý :
af (x) ag(x)
logb c
1
loga N
b
logb a
c
0 a 1
f(x) g(x)
a 1
f(x),g(x) xacdinh
a0
af (x) ag(x)
(a 1) f(x) g(x) 0
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 15
Công thức tổng hợp 2016
G. CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của những hàm số thƣờng gặp
Nguyên hàm của những hàm số thƣờng gặp
dx x C
2
kdx kx C
f (ax b)dx a F(ax b) C
x dx
x 1
C,
1
( 1)
1
1
x
e
n
x
dx
dx x C
1 (ax b)n1
C a 1
a
n 1
1
1
n 1 x
n
(ax b) dx
ax bdx ln ax b C x 0
n1
C
dx e x C
x
a dx
x
1
x dx ln x C
1
ax
C (0 a 1)
ln a
cos xdx sin x C
sin xdx cos x C
e
ax b
dx
1 ax b
e
C, (a 0)
a
1
cos(ax b)dx a sin(ax b) C (a 0)
1
sin(ax b)dx a cos(ax b) C (a 0)
1
dx tan(ax b) C
a
cos2 (ax b)
1
1
dx cot(ax b) C
2
a
sin (ax b)
1
1
dx tan x C
cos2 x
1
2 dx cot x C
sin x
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 16
Công thức tổng hợp 2016
H. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Cho
u x; y; z u xi y j zk
a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k R
A( x A ; yA ; zA ), B( xB ; yB ; zB )
1. a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )
2. ka (ka1; ka2 ; ka3 )
a1 b1
3. Điều kiện để hai vectơ bằng nhau a b a2 b2
a b
3
3
a1 kb1
4. a cùng phương b (b 0) a kb (k R) a2 kb2
a kb
3
3
a1
b1
a2
b2
a3
b3
, (b1, b2 , b3 0)
a, b cùng phƣơng [a, b] 0
5. Tích vô hướng của hai vectơ a.b a1.b1 a2 .b2 a3 .b3
6. Độ dài một vectơ a a12 a22 a22
7. Góc giữa hai vectơ cos(a, b )
a.b
a.b
a1b1 a2 b2 a3b3
a12 a22 a32 . b12 b22 b32
(với a, b 0 )
8. Điều kiện vuông góc của hai vectơ a b a1b1 a2b2 a3b3 0
9. Vectơ tạo bởi hai điểm: AB ( xB x A ; yB yA ; zB zA )
10. Độ dài đoạn thẳng AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 (zB zA )2
x kxB y A kyB zA kzB
;
;
11. Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M A
1 k
1 k
1 k
x xB y A yB zA zB
;
;
12. Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M A
2
2
2
x xB xC y A yB yC zA zB zC
;
;
13. Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: G A
3
3
3
14. Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
x xB xC xD y A yB yC yD zA zB zC zC
G A
;
;
4
4
4
15. Tích có hướng của hai vectơ
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 17
Công thức tổng hợp 2016
a2
a3
b2
b3
a, b a b
;
a3
a1
b3
b1
;
a1 a2
a2 b3 a3b2 ; a3b1 a1b3; a1b2 a2b1
b1 b2
16. Tích chất quan trọng của tích có hướng [a, b] a;
[a, b] b
17. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng [a, b].c 0
AB, AD
18. Diện tích hình bình hành ABCD:
S
19. Diện tích tam giác ABC:
S ABC
20. Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:
VABCD. A ' B 'C ' D ' [ AB, AD].AA '
21. Thể tích tứ diện ABCD:
VABCD
22. Chiều cao AH của tứ diện ABCD:
AH
ABCD
1
AB, AC
2
1
[ AB, AC ]. AD
6
3.VABCD
SBCD
23. Ba điểm A, B, C tạo thành tam giác: AB,AC không cùng phƣơng
24. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ABCD là tứ diện AB,AC .AD 0
25. Điều kiện để tứ giác ABCD là hình bình hành AB DC
26. Phương trình mặt cầu: ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2
- Phƣơng trình x 2 y 2 z2 2ax 2by 2cz d 0 với a2 b2 c2 d 0 là phƣơng trình
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R =
a2 b2 c 2 d .
27. Phương trình mặt phẳng
- Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax By Cz D 0 vôùi A2 B2 C 2 0
- Nếu () có phƣơng trình Ax By Cz D 0 thì n ( A; B; C) là một VTPT của ().
- Phƣơng trình mặt phẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n ( A; B; C) là:
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
- Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
x y z
1 () cắt các trục toạ độ tại các điểm
a b c
(a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
28. Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = 0
d M0 ,( )
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
29. Góc giữa hai mặt phẳng:
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 18
Công thức tổng hợp 2016
cos ( ),( )
n1.n2
A1 A2 B1B2 C1C2
n1 . n2
A12 B12 C12 . A22 B22 C22
30. Phương trình của đường thẳng
- Phương trình tham số của đƣờng thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
a (a1; a2 ; a3 ) :
x xo a1t
(d ) : y yo a2t
z z a t
o
3
- Nếu a1a2a3 0 thì (d ) :
x x0
a1
( t R)
y y0
a2
z z0
đƣợc gọi là phương trình chính tắc của d.
a3
31. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng cho đƣờng thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và
M M, a
0
d
(
M
,
d
)
điểm M.
a
32. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau cho hai đƣờng thẳng chéo nhau d1 và d2. d1 đi qua
d (d1, d2 )
điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2
a1, a2 .M1M2
a1, a2
33. Góc giữa hai đường thẳng cho hai đƣờng thẳng d1, d2 lần lƣợt có các VTCP a1, a2 . Góc giữa d1,
d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .
cos a1, a2
a1.a2
a1 . a2
34. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng cho đƣờng thẳng d có VTCP a (a1; a2 ; a3 ) và mặt
phẳng () có VTPT n ( A; B; C) .Góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đƣờng
thẳng d với hình chiếu d của nó trên (). sin d ,( )
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Aa1 Ba2 Ca3
A2 B 2 C 2 . a12 a22 a32
Page 19
Công thức tổng hợp 2016
I. PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG OXY
1. Phương trình của đường thẳng:
với a2 b2 0 với VTPT là n (a; b) và VTCP
- Phương trình tổng quát:
u (b; a) hoặc u (b; a) .
- Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT n (a; b) thì pt của là:
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
- Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
đi qua hai điểm (
)
(
)(
x y
1
a b
)
- Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: y y0 k ( x x0 )
đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k.
x x0 at
- Phương trình tham số của đường thẳng:
y y0 bt
(1)
( t là tham số)
đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (a; b) .
- Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x x0 y y0
u1
u2
(2) (a 0, b 0).
đi qua M0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (a; b)
2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- Cho đƣờng thẳng : ax by c 0 và điểm M0 ( x0 ; y0 ) : d ( M0 , )
ax0 by0 c
a2 b2
3. Góc giữa hai đường thẳng
- Cho hai đƣờng thẳng 1: a1x b1y c1 0 (có VTPT n1 (a1; b1 ) ) và 2: a2 x b2 y c2 0 (có
VTPT n2 (a2 ; b2 ) ).
khi (n1, n2 ) 900
(n1, n2 )
(1, 2 ) 0
0
180 (n1, n2 ) khi (n1, n2 ) 90
cos(1, 2 ) cos(n1, n2 )
n1.n2
n1 . n2
a1b1 a2 b2
a12 b12 . a22 b22
4. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cho hai đƣờng thẳng 1:
a1x b1y c1 0 và 2: a2 x b2 y c2 0 cắt nhau. Phƣơng trình các đƣờng phân giác của các góc tạo
bởi hai đƣờng thẳng 1 và 2 là:
a1x b1y c1
a12 b12
a2 x b2 y c2
a22 b22
5. Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R: ( x a)2 ( y b)2 R2 .
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 20
Công thức tổng hợp 2016
- Phƣơng trình x 2 y2 2ax 2by c 0 , với a2 b2 c 0 , là phƣơng trình đƣờng tròn tâm
I(–a; –b), bán kính R =
a2 b2 c .
- Phương trình tiếp tuyến của đường tròn cho đƣờng tròn (C) tâm I, bán kính R và đƣờng
tiếp xúc với (C) d (I , ) R
thẳng .
6. Elip:
x2
- Phương trình chính tắc của elip:
2
y2
a
b
- Toạ độ các tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) .
2
1 (a b 0, b2 a2 c2 )
- Với M(x; y) (E), MF1, MF2 đƣợc gọi là các bán kính qua tiêu điểm của M.
c
c
x, MF2 a x
a
a
- (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
MF1 a
- Toạ độ các đỉnh: A1(a;0), A2 (a;0), B1(0; b), B2 (0; b)
- Độ dài các trục: trục lớn: A1 A2 2a ,trục nhỏ: B1B2 2b
c
(e < 1)
a
- Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đƣờng thẳng x a, y b (MNPQ) (ngoại tiếp elip).
- Tâm sai của (E): e
- Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x
- Điều kiện tiếp xúc của (E) và
- Với M (E) ta có:
MF1
d ( M , 1 )
a
0
e
là
MF2
d ( M , 2 )
e
y
𝑀
𝐴
𝑎
𝑄
𝑏𝐵
𝐹
.
𝑐 O
𝑁
𝐹
.
𝑐
𝑏 𝐵
𝐴
𝑎
x
𝑃
7. Hypebol:
- Phương trình chính tắc của hypebol:
x2
a
2
y2
b
2
1 (a, b 0, b2 c2 a2 )
- Toạ độ các tiêu điểm: F1(c;0), F2 (c;0) .
- Với M(x; y) (H), MF1, MF2 đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 21
Công thức tổng hợp 2016
c
c
x , MF2 a x
a
a
- (H) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
- Toạ độ các đỉnh: A1(a;0), A2 (a;0)
- Độ dài các trục: trục thực: 2a, trục ảo: 2b
c
- Tâm sai của (H): e
(e > 1)
a
- Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đƣờng thẳng x a, y b .
MF1 a
b
- Phương trình các đường tiệm cận: y x .
a
- Phương trình các đường chuẩn i ứng với các tiêu điểm Fi là: x
- Điều kiện tiếp xúc của (H) và
a
0
e
là
8. Parabol:
- Phƣơng trình chính tắc của parabol: y2 2 px (p > 0)
p
- Toạ độ tiêu điểm: F ; 0 .
2
- Phương trình đường chuẩn: : x
p
0.
2
- Với M(x; y) (P), bán kính qua tiêu điểm của M là MF x
p
.
2
- (P) nằm về phía bên phải của trục tung.
- (P) nhận trục hoành làm trục đối xứng.
- Toạ độ đỉnh: O(0; 0)
- Tâm sai: e = 1.
- Điều kiện tiếp xúc của (H) và
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
là
Page 22
Công thức tổng hợp 2016
J. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I – Các hình cơ bản:
1. Hình chóp:
a. Hình chóp thƣờng
Hình chóp thƣờng
Hình chóp tứ giác
b. Hình chóp đều
- Hình chóp tam giác đều (Hình tứ diện đều)
+ Đáy là tam giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
+ Chân đƣờng cao trùng với tâm mặt đáy(Tâm đáy là trọng tâm ABC)
+ Tất cả các góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau.
+ Tất cả các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
+ Chú ý:
Diện tích
Đƣờng cao
đều:
đều:
(
) √
(
)√
- Hình chóp tứ giác đều
+ Đáy là hình vuông
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Tất cả các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
+ Chân đƣờng cao trùng với tâm mặt đáy(Tâm đáy là giao điểm hai
đƣờng chéo)
+ Tất cả các góc tạo bởi các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau.
+ Tất cả các góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
2. Hình trụ:
Lăng trụ thƣờng
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Lăng trụ đứng
Hình lập phƣơng
Page 23
Công thức tổng hợp 2016
- Diện tích xung quanh ( hay diện tích hình trụ)
- Thể tích của khối trụ
3. Hình cầu:
4
- Thể tích khối cầu V R3
3
- Diện tích hình cầu S 4 R2
4. Hình nón:
- Diện tích xung quanh của hình nón:
Với p là chu vi đáy, q là độ dài đƣờng sinh( hay khoảng cách từ O tới 1 cạnh đáy).
- Thể tích của khối nón:
II – Các phƣơng pháp chứng minh:
1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Cách 1: Chứng minh đƣờng thẳng d vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau trong mặt phẳng(P)
{
( )
( )
Cách 2: Sử dụng định lí: “Nếu hai mp vuông góc với nhau thì bất kì đƣờng thẳng nào nằm trong mp
này và vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mp kia”.
( ) ( )
( )
{
( )
( ) ( )
Cách 3: Sử dụng định lí: “Nếu hai mp phân biệt cùng vuông góc với mp thứ 3 thì giao tuyến của chúng
cũng sẽ vuông góc với mp đó”.
( ) ( )
{( ) ( )
( )
( ) ( )
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
Page 24
Công thức tổng hợp 2016
2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: ta chứng minh đƣờng thẳng này vuông góc với
một mp chứa đƣờng thẳng kia.
( )
{
( )
3. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: chứng minh mp này chứa một đƣờng thẳng vuông
góc với mp kia.
( )
{
( ) ( )
( )
III – Các vấn đề về góc:
1. Góc giữa hai đường thẳng cho hai đƣờng thẳng d1, d2 lần lƣợt có các VTCP a1, a2 . Góc
cos a1, a2
giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1, a2 .
a1.a2
a1 . a2
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng cho đƣờng thẳng d có VTCP a (a1; a2 ; a3 )
và mặt phẳng () có VTPT n ( A; B; C) .Góc giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa
đƣờng thẳng d với hình chiếu d của nó trên ().
sin d ,( )
- Gọi
là góc cần tìm.
Aa1 Ba2 Ca3
A2 B 2 C 2 . a12 a22 a32
+ Tìm giao điểm O của đƣờng thẳng d và mp(P)
+ Tìm đƣờng thẳng vuông góc từ đƣờng thẳng d xuống mp (P)
+ OH là hình chiếu của d lên (P).
+ Vậy
(̂)
3. Góc giữa hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng (), () có phƣơng trình:
(): A1x B1y C1z D1 0
(): A2 x B2 y C2 z D2 0
Góc giữa (), () bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n1, n2 .
cos ( ),( )
Biên soạn Hoàng Ngọc Phú
n1.n2
n1 . n2
A1 A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 . A22 B22 C22
Page 25
