GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC THEO SÁCH “DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
------------

BÀI KIỂM TRA
Môn: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm thường xuyên 3

GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC THEO
SÁCH “DISCOVERING ADVANCED
ALGEBRA”

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Sinh viên thực hiện: Võ Thị Phương Thủy
Lớp: Toán 3A
Mã SV: 10S1011109

Huế, tháng 11 năm 2012


ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
------------

BÀI KIỂM TRA
Môn: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm thường xuyên 3

GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC THEO
SÁCH “DISCOVERING ADVANCED
ALGEBRA”

Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc

Sinh viên thực hiện: Võ Thị Phương Thủy
Lớp: Toán 3A
Mã SV: 10S1011109

Huế, tháng 11 năm 2012
1


MỤC LỤC
MỤC LỤC

2

LỜI MỞ ĐẦU

3

I, GIỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH
1, Giới thiệu về tác giả
2, Giới thiệu chung về cuốn sách

4
4
4

II, GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC
1, Sử dụng công thức khoảng cách
2, Đường tròn và đường Elip
3, Parabol
4, Hypebol

6
7
8
13
15

III. NHẬN XÉT VÀ SO SÁNH CÁCH TIẾP CẬN VÀ TRÌNH BÀY VỀ CÁC
ĐƯỜNG CONIC CỦA CUỐN SÁCH VỚI MỘT SỐ SÁCH Ở VIỆT NAM
1, Cách tiếp cận và dẫn dắt vấn đề
2, Nội dung kiến thức
3, Hình thức trình bày

17
17
19
20

IV, KẾT LUẬN

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

21

2


LỜI MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, quỹ đạo của các hành tinh quay quanh Mặt trời là một đường
gần tròn, đây là ví dụ về một loại đường quan trọng trong Toán học – Elip (Hình 1). Hình
ảnh các tia nước bắn ra từ một đài phun nước (Hình 2), đường đi của một quả bóng được đá
vào không trung, và hình dạng của cáp treo nối giữa hai tòa tháp của Cầu cổng vàng là các
ví dụ về Parabol. Tháp làm lạnh hạt nhân, bánh răng truyền động, hệ thống định vị mặt đất
– LORAN có nguyên lý hoạt động dựa vào đường Hypebol (Hình 3). Tất cả các đường này
đều thuộc một họ các đường cong trong mặt phẳng gọi là các đường Conic. Nhờ có một số
tính chất đặc biệt mà chúng được ứng dụng rất nhiều trong thực tế.

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra - Khám phá đại số nâng cao” sẽ giúp
bạn tìm hiểu về khái niệm các đường Conic, một số tính chất và ứng dụng của chúng trong
cuộc sống. Thông qua một cách tiếp cận vấn đề mới: tiếp cận qua khảo sát, cuốn sách sẽ
cung cấp cho bạn một cách nhìn mới hơn về các đường Conic so với những gì bạn đã được
học ở chương trình phổ thông. Từ đó, hi vọng các bạn sẽ khám phá ra nhiều điều thú vị và
bổ ích về Đại số nói chung cũng như về các đường Conic nói riêng.

Huế, tháng 11 năm 2012
Người thực hiện

3


I, GIỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH
1, Giới thiệu về tác giả

Jerry Murduck, Ellen Kamischke và Eric Kamischke đều là các chuyên gia nổi tiếng
của nền khoa học giáo dục Mỹ. Họ đều đã được vinh danh tại nhiều cuộc thi, giải thưởng
lớn ở Mỹ và được xem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán. Cả ba đều là
những giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sách phục
vụ cho việc dạy học Toán. Trong đó ba người là đồng tác giả của bộ sách “Discovering
Algebra – Tìm hiểu về Đại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lý thuyết và bài tập.

Jerry Urdock

Jerry Urdock là nguyên chủ tịch của Hội đồng các giáo viên Toán ở
bang Michigan, được giải thưởng Woodrow Wilson, và là một giáo sư
danh dự T3 (Teachers Teaching with Technology - giáo viên dạy học
bằng công nghệ). Ông được nhận Giải thưởng do Tồng thống Mỹ
trao tặng vì sự xuất sắc trong sự nghiệp giảng dạy môn Toán. Năm
2001, ông đã kết thúc 40 năm sự nghiệp dạy học của mình ở các
trường học trong cộng đồng và học viện nghệ thuật Interlochen,
Interlochen, Michigan.
Ellen Kamischke là giáo viên đã có 23 năm kinh nghiệm đứng lớp tại
các khóa học Toán về Đại số, các phép tính nâng cao cũng như Vật lí.
Bà hiện tại là giáo viên tại học viện nghệ thuật Interlochen ở
Interlochen, bang Michigan. Bà là tác giả của cuốn sách “Key
Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình
giảng dạy khám phá Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced
Algebra – khám phá Đại số nâng cao”.

Ellen Kamischke
Eric Kamischke là một giáo viên đã có 25 năm kinh nghiệm đứng lớp
tại các khóa học Toán về Đại số, toán thống kê, tính toán nâng cao
cũng như Hóa học. Ông là tác giả của cuốn sách “Key Curriculum
Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy

khám phá Đại số” và sách bài tập “Discovering Advanced Algebra –
khám phá Đại số nâng cao”.
Eric Kamischke

2, Giới thiệu chung về cuốn sách
Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach” tạm dịch
là “Khám phá Đại số nâng cao: Cách tiếp cận bằng khảo sát ” được viết bởi ba nhà giáo
có uy tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, Ellen Kamischke và Eric Kamischke. Cuốn sách
này là một trong ba quyển của bộ sách “Discovering Mathematics – Khám phá Toán học”
viết về các vấn đề nâng cao của đại số. Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những
kiến thức bổ sung và nâng cao hơn so với cuốn sách “Discovering Algebra: An
Investigative Approach” (của cùng tác giả).

4


Cuốn sách gồm có 13 chương:
Chương 0: Các cách giải quyết vấn đề
Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy
Chương 2: Mô tả dữ liệu
Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính
Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép biến đổi
Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm Lô-ga-rit
Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính
Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác
Chương 8: Phương trình tham số và Lượng giác
Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân thức
Chương 10: Hàm lượng giác
Chương 11: Chuỗi
Chương 12: Xác suất

Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê
Bên cạnh những vấn đề Đại số cơ bản trong chương trình phổ thông thì những kiến
thức Đại số nâng cao được trình bày trong cuốn sách này chính là những ứng dụng cao hơn
của đại số. Tuy là kiến thức đại số nâng cao nhưng đã được các tác giả trình bày một cách
có hệ thống với nhiều ví dụ minh họa sinh động, trực quan và thực tế nên bạn có thể nắm
bắt được kiến thức một cách tự nhiên và chắc chắn mà không phải gặp quá nhiều khó khăn.
Đặc biệt, cuốn sách này trình bày một cách tiếp cận kiến thức mới đó là
“Investigative Approach – cách tiếp cận bằng khảo sát”. Do đó, trọng tâm của cuốn sách
chính là phần “Ivestigations – Nghiên cứu, khảo sát”. Thông qua phần này, bạn sẽ khám
phá những vấn đề thực tế rất thú vị hoặc là các bài tập thực nghiệm để từ đó liên hệ đến
kiến thức của bài học. Nếu bạn quên một khái niệm, công thức, hay là một quy tắc nào đó,
bạn sẽ luôn có thể tự tái tạo lại kiến thức đó bởi vì khi đọc cuốn sách này bạn đã tự mình
phát hiện và hình thành những khái niệm, công thức hay phương pháp đó. Với cách tiếp cận
kiến thức như vậy, bạn sẽ có thể hiểu được bản chất của vấn đề và nắm chắc được từng nội
dung đã được trình bày.

5


II, GIỚI THIỆU VỀ CÁC ĐƯỜNG CONIC
Trong chương 9: “Conic sections and Rational fuctions”, tác giả giới thiệu về các
đường Conic và hàm phân thức hữu tỷ. Ở đây, chúng ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về các đường
conic và một số tính chất của chúng.





Ở phần này, ta sẽ:
Sử dụng công thức khoảng cách để tìm khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng

và giải các bài toán về khoảng cách và tỉ lệ.
Tìm hiểu về các đường Conic được tạo ra khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một
mặt phẳng: Đường tròn, Đường Elip, Đường Parapol, Đường Hypepol.
Nghiên cứu các tính chất của các đường Conic.
Viết phương trình của các đường conic theo một công thức khác.

Sau đây, ta sẽ lần lượt tìm hiểu về con đường đi đến các định nghĩa về các đường conic.
Trong lịch sử, con người đã được học về các đường Conic từ 2000 năm trước. Nhà
Toán học người Hy Lạp Menaechmus cho rằng các đường Conic được sinh ra từ các mặt
nón khác nhau. Tuy nhiên, sau đó Apollonius đã chứng minh được rằng các đường conic
đều được sinh ra từ cùng một mặt nón. Ông đã viết tám cuốn sách “Chuyên đề về các
đường Conic” và đặt tên cho các đường Elip, Parabol và Hypebol.
Sở dĩ Đường tròn, Elip, Parabol, Hypebol được gọi là các đường Conic bởi vì chúng có
thể được tạo ra bằng cách cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt phẳng (Hình 4).
Khi hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc nhọn, quay một đường thẳng quanh
đường thẳng kia sẽ tạo ra một mặt nón. Mặt nón này không có đáy và không bị giới hạn.
Cắt mặt nón đó bởi một mặt phẳng với các góc khác nhau sẽ tạo thành các đường conic
khác nhau.

Đường tròn

Parabol

Elip

Hypebol

Hình 4

Các đường Conic có một số tính chất rất thú vị. Mỗi hình cũng có thể được định

nghĩa dựa vào khái niệm quỹ tích của các điểm. Ví dụ như, tất cả các điểm trên đường tròn
cách đều tâm nên ta có thể mô tả đường tròn là quỹ tích của các điểm cách một điểm cố
định một khoảng không đổi.

6


1, Sử dụng công thức khoảng cách
Giả sử rằng trong một cuộc đua, bạn phải mang một cái xô rỗng từ vạch xuất phát
đến cạnh của bể bơi, đổ đầy nước và sau đó mang xô nước đó về đích. Tìm con đường ngắn
nhất để bạn có thể tiết kiệm được công sức, quãng đường và thời gian. Trong phần này, bạn
sẽ tìm hiểu chi tiết về mặt toán học của các tình huống như vậy.
KHẢO SÁT:
Dụng cụ: Giấy vẽ đồ thị được chia centimet, thước thẳng.
Bài toán: “Cuộc thi mang nước”
Vạch xuất phát của cuộc đua cách một đầu bể
bơi là 5m, bể bơi dài 20m, và đích cách đầu đối diện
của bể bơi là 7m (hình 5). Trong phần này, bạn sẽ
phải tìm con đường ngắn nhất từ điểm A đến một
điểm C trên cạnh của bể bơi rồi đến điểm B. Tức là,
bạn phải tìm giá trị của x sao cho khoảng cách (tính
bằng mét) AC+BC là ngắn nhất có thể.

Hình 5

 Các bước tiến hành như sau:





Bước 1: Vẽ hình của bài toán lên giấy.
Bước 2: Đánh dấu các vị trí khác nhau cho điểm C. Với mỗi điểm đó, đo khoảng x,
tìm tổng độ dài AC+CB. Ghi lại dữ liệu thu được.
Bước 3: Điểm C ở vị trí nào thì độ dài AC+CB là nhỏ nhất? Có phải có nhiều hơn
một điểm C như vậy? Trình bày ít nhất hai phương pháp để tìm vị trí điểm C đó.
Bước 4: Vẽ các nghiệm của bài toán bạn tìm được lên giấy.

Trong trường hợp lượng nước còn lại trong xô khi đến đích cũng là một yếu tố ảnh
hưởng đến việc giành chiến thắng trong cuộc thi, bạn sẽ phải di chuyển hết sức cẩn thận để
không làm đổ nước, và khi mang cái xô rỗng bạn có thể di chuyển nhanh hơn so với khi
mang một xô đầy nước. Giả sử rằng bạn có thể mang cái xô rỗng với tốc độ là 1.2 m/s, và
mang xô đầy nước với tốc độ là 0.4 m/s.



Bước 5: Với dữ liệu thu được ở bước 2, hãy tìm thời gian di chuyển ứng với mỗi giá
trị x.
Bước 6: Bây giờ hãy tìm vị trí của điểm C để thời gian đi từ A đến C rồi tới B là
ngắn nhất? Tìm thời gian nhỏ nhất đó? Kết quả tìm được có khác với kết quả ở bước
3 hay không? Hãy trình bày cách giải của bạn.

Rất nhiều phương trình bạn học ở chương này dựa trên việc tìm khoảng cách giữa
hai điểm.
7


Áp dụng định lý Pythago, ta có thể dễ dàng thiết lập được công thức tính khoảng
cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ như sau
Công thức khoảng cách:

Khoảng cách d giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ:
bởi công thức:

và

được cho

Công thức khoảng cách có thể giúp ta viết được phương trình biểu diễn một số tập
hợp điểm thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Tập tất cả các điểm thỏa mãn các điều kiện đã
cho được gọi là “locus – quỹ tích”. Ví dụ như, quỹ tích của các điểm cách điểm (0,0) một
khoảng là 1 đơn vị là đường tròn có phương trình
. Trong chương này, ta sẽ
nghiên cứu các phương trình biểu diễn rất nhiều loại quỹ tích khác nhau.

2, Đường tròn và đường Elip
a, Đường tròn
Định nghĩa Đường tròn:
Đường tròn là quỹ tích của tất cả các điểm P trong mặt
phẳng cách một điểm cố định một khoảng cách không đổi r, kí
hiệu là PC = r. Điểm cố định được gọi là tâm, khoảng cách
không đổi được gọi là bán kính.
Ta có thể sử dụng định nghĩa theo quỹ tích để viết phương trình biểu diễn các điểm
trên đường tròn.
Bằng cách sử dụng công thức khoảng cách, ta có thể viết được phương trình của
đường tròn có tâm là (0,0), bán kính r là
. Nếu đường tròn được tịnh tiến đến
một vị trí khác mà tâm có tọa độ mới là (h,k) thì ta có thể thay x bởi (x – h) và y bởi (y – k).
Từ đó, ta được phương trình của đường tròn được xác định như sau:
Phương trình Đường tròn:
Phương trình dạng chuẩn tắc của một đường tròn có tâm (h,k), bán kính r là:

Hay, phương trình dạng tham số là:
8


Ví dụ: Một đường tròn có tâm là (3,-2) và tiếp xúc với đường thẳng
Viết phương trình của đường tròn.

.

Để viết phương trình của một đường tròn, ta cần biết tâm và bán kính. Ta đã biết
tâm là điểm (3,-2) nên bây giờ ta phải tìm bán kính.
Từ kiến thức hình học đã biết thì tiếp tuyến của một đường tròn cắt đường tròn đó
tại một điểm duy nhất và vuông góc với đường kính tại tiếp tuyến.
Theo đề, tiếp tuyến có hệ số góc là 2 nên đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến sẽ
có hệ số góc là
. Do đó, đường thẳng chứa đường kính vuông góc với tiếp tuyến sẽ có hệ
số góc là

và đi qua tâm của đường tròn là (3,-2).

Suy ra, phương trình của đường thẳng chứa đường kính đó là:
.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng này với tiếp tuyến là nghiệm của phương
trình:
Suy ra tọa độ giao điểm là:
Do đó, bán kính là:
Vậy phương trình đường tròn là:

.

Và phương trình dạng tham số là:
b, Elip
Trong chương 4 của cuốn sách này, ta đã được biết nếu
kéo giãn một đường tròn theo chiều ngang và chiều dọc theo các
cách khác nhau thì ta sẽ được các đường elip. Như vậy, ta có thể
xây dựng được phương trình của một elip từ phương trình của
đường tròn đơn vị thông qua các phép tịnh tiến và phép co giãn
theo các hướng khác nhau (Hình 7).

Hình 6. Tác phẩm điêu khắc
gỗ của Alexander Rodchenko

Hình 7.Xây dựng Elip từ đường tròn

9


Phương trình của Elip:
Phương trình dạng chuẩn tắc của một Elip có tâm là

với hệ số co giãn theo trục

hoành là a, hệ số co giãn theo trục tung là b:

.

Hay phương trình dạng tham số là: :
Một Elip gần giống như một đường tròn, ngoại trừ việc Elip có hai điểm được gọi là
tiêu điểm thay vì chỉ có một điểm ở tâm như đường tròn. Bạn có thể dựng một Elip bằng

cách buột một sợi dây vào hai cái kim băng, sau đó vạch ra tập hợp các điểm như hình vẽ.

Hình 8. Một sợi dây được nối với một cái
kim băng giúp bạn vẽ được một đường
tròn. Cách vẽ này cũng giống như vẽ
đường tròn bằng compa.

Khi đó, tổng khoảng cách

Hình 9. Một sợi dây được nối với hai cái
kim băng giúp bạn vẽ được một elip.

là không đổi với mọi điểm thuộc Elip.

Như vậy, ta rút ra được định nghĩa của Elip như sau:
Định nghĩa Elip:
Một Elip là quỹ tích của tất cả các điểm P trong mặt
phẳng mà có tổng khoảng cách
đến hai điểm cố định,
và
là một hằng số d. Tức là,
hay
. Hai điểm cố định và được gọi là tiêu điểm.
Trong Elip, trục có độ dài lớn chứa hai tiêu điểm được gọi là trục lớn, trục có độ dài
nhỏ hơn được gọi là trục bé. Theo như cách xây dựng Elip bằng cách co giãn đường tròn
đơn vị thì nửa độ dài trục nằm ngang ứng với hệ số co giãn theo trục hoành là a, còn nửa độ
10


dài trục đứng ứng với hệ số co giãn theo trục tung là b. Khi trục lớn nằm ngang thì độ dài

trục lớn là 2a, bằng tổng
. Như vậy, tổng khoảng cách giữa một điểm bất kì trên
Elip với hai tiêu điểm là 2a.
Nếu ta nối một đầu mút của trục lớn với hai tiêu điểm thì ta được hai tam giác
vuông bằng nhau. Với một Elip nằm ngang, tổng độ dài của hai cạnh huyền bằng độ dài
của trục lớn là 2a, nên mỗi cạnh huyền có độ dài là a. Bán trục bé có độ dài là b. Gọi
khoảng cách từ mỗi tiêu điểm đến tâm là c, khi đó ta có
(Hình 10).
Khi trục lớn thẳng đứng thì cạnh huyền của mỗi tam giác vuông bằng b, do đó
(Hình 11).

Hình 10. Elip có trục nằm ngang
Hình 11. Elip có trục thẳng đứng

KHẢO SÁT:
Dụng cụ: giấy kẻ ô, 1 cái đèn pin, 1
phòng học tối.
Bài toán: “Phiến ánh sáng”
Một chùm sáng phát ra từ một cái đèn
pin có hình dạng gần như là một hình nón. Khi
đặt trước đèn pin một tờ giấy sẽ cho ta các
phiến ánh sáng khác nhau, hay là các hình
khác nhau của chùm ánh sáng đó.
Làm việc theo cặp và chia sẻ các kết
quả thu được với cả nhóm.

Hình 12. Tiến hành vẽ elip

 Cách tiến hành:
1. Chiếu đèn pin lên một tờ giấy vẽ đồ thị theo một góc.

11


2. Điều chỉnh sao cho trục lớn của Elip tạo bởi chùm sáng trùng với một trục trên tờ
giấy. Bạn có thể chấm bốn điểm trên tờ giấy để người giữ đèn pin chiếu đúng vào
mục tiêu.
3. Vạch ra biên của elip khi bạn của bạn đã giữ chắc chắn đèn pin.
 Tiến hành:



Bước 1: Vẽ một hệ trục tọa độ lên giấy kẻ ô. Làm theo cách tiến hành ở trên và vẽ ra
một elip.
Bước 2: Viết một phương trình elip phù hợp nhất có thể với dữ liệu thu được. Tìm
độ dài trục lớn và trục bé. Sử dụng các giá trị thu được trong phương trình vừa viết
để tìm các tiêu điểm. Cuối cùng, xác minh lại phương trình mà bạn đã viết bằng
cách lấy một cặp điểm bất kì trên elip, kiểm tra xem tổng khoảng cách đến các tiêu
điểm có là một hằng số hay không.
Tâm sai là đại lượng đo độ kéo dài của một elip. Tâm sai được xác định bằng tỷ số

với elip có trục lớn nằm ngang, và bằng tỷ số

với elip có trục lớn thẳng đứng. Nếu tâm

sai gần bằng 0 thì elip nhìn gần giống như đường tròn. Nếu tâm sai càng lớn thì elip càng bị
kéo dài ra.




Bước 3: Sử dụng đèn pin để tạo ra nhiều elip có các tâm sai khác nhau. Vẽ ba elip
khác nhau. Tính tâm sai của mỗi elip đó rồi viết lên giấy. Tâm sai của một elip có
thể nhận các giá trị trong khoảng nào?
Bước 4: Tiếp tục nghiêng đèn pin cho đến khi tâm sai quá lớn và không còn có thể
tạo ra được một elip được nữa. Lúc này bạn vẽ ra được hình gì?

Elip có nhiều tính chất rất thú vị, đặc biệt là tính chất phản xạ của elip đã được ứng
dụng rất nhiều trong các lĩnh vực của đời sống. Cuốn sách đã đưa ra một bài toán rất thú vị
về ứng dụng của tính chất này như sau:

Hình 13

“Nếu một căn phòng được xây dựng theo hình của một elip,
bạn đứng tại một tiêu điểm của elip và nói khẽ thì người
đứng ở một tiêu điểm khác của elip đó sẽ nghe thấy tiếng
bạn rất rõ ràng. Những căn phòng như vậy được gọi là “căn
phòng bán âm” (Hình 13). Giả sử một căn phòng bán âm dài
12m, rộng 6m. Đứng tại điểm nào thì hai người có thể nói
thầm với nhau? Âm thanh truyền đi bao xa từ người này, dội
vào tường rồi đến người kia?”

12


Bài toán này có thể được giải dựa vào tính chất phản xạ
của elip: “Một tín hiệu truyền từ một tiêu điểm sau khi đến elip
sẽ phản xạ và đi qua tiêu điểm còn lại” (Hình 14).
Hình 14

3, Parabol

Trước đây, ta đã từng được học về Parabol trong rất
nhiều bài học, và cũng đã sử dụng phương trình Parabol để mô
tả nhiều bài toán hay các hiện tượng trong cuộc sống. Nhưng
trong phần này, tác giả sẽ giới thiệu cho chúng ta về Parabol
theo một bối cảnh khác.
Trong chương trước, ta đã được biết đến Parabol qua
phương trình

hay là phương trình tham số

Parabol cũng có thể được định nghĩa theo một cách khác.

Định nghĩa của một Parabol:
Một Parabol là quỹ tích của tất cả các điểm P trong
mặt phẳng có khoảng cách đến một điểm cố định F bằng
khoảng cách đến một đường thẳng cố định . Tức là,
, điểm cố định F được gọi là tiêu điểm, và đường
thẳng cố định được gọi là đường chuẩn.
Như vậy, làm thế nào để xác định được tọa độ của
tiêu điểm? Giả sử rằng parabol nằm ngang và có trục đối
xứng là trục Ox và có đỉnh là gốc tọa độ
. Parabol có
tiêu điểm nằm bên trong với tọa độ là
. Đỉnh
thuộc parabol nên cò khoảng cách đến tiêu điểm bằng
khoảng cách đến đường chuẩn. Do đó, phương trình của
đường chuẩn là:
. Giả sử
là điểm bất kì
thuộc parabol. Khi đó, sử dụng công thức tính khoảng

cách ta tìm được phương trình của parabol:

13

.
Hình 15. Tòa nhà ở Odeillo, Pháp
có kiến trúc theo dạng parabol


Kết quả này cho thấy,
là hệ số của x và là khoảng cách từ tiêu điểm đến đỉnh
của parabol. Nếu âm thì cho ta kết quả như thế nào?
Nếu parabol có trục thẳng đứng thì các tọa độ x và y được hoán đổi cho nhau, khi
đó, phương trình của parabol là

hay

.

Các thiết kế của kính viễn vọng, đèn pha, chảo thu tín hiệu vệ tinh hay là các mặt
phản xạ hình parabol khác đều được dựa trên tính chất đặc biệt của parabol: “Một tia song
song với trục đối xứng đập vào bề mặt parabol hay paraboloid sẽ phản xạ lại đến tiêu
điểm”. Cũng tương tự như vậy, khi một tia xuất phát từ tiêu điểm gặp bề mặt đường cong
sẽ phản xạ theo một tia song song với trục đối xứng. Tính chất phản xạ này của parabol có
thể được chứng minh dựa vào định nghĩa của parabol theo khái niệm quỹ tích. Hãy so sánh
định nghĩa theo quỹ tích của parabol với định nghĩa theo quỹ tích của elip?
Bằng các phép tịnh tiến và co giãn, ta có thể xây dựng được phương trình chuẩn tắc
của parabol từ parabol
(giống như cách xây dựng của elip) như sau:
Phương trình của một Parabol:

Phương trình dạng chuẩn tắc của một Parabol có trục thẳng đứng với tâm là
giãn theo trục hoành là a, hệ số co giãn theo trục tung là b:

, hệ số co

Hay phương trình dạng tham số là:
Tiêu điểm là

, với

và phương trình đường chuẩn là:

Tương tự, phương trình của parabol có trục nằm ngang có đỉnh là
trục hoành là a, theo trục tung là b:

, hệ số co giãn theo

Phương trình tham số là:
Tiêu điểm là

, với

và phương trình đường chuẩn là

.

Trong phần khảo sát, bạn sẽ xây dựng một parabol. Khi xây dựng mô hình đó, hãy
suy nghĩ xem tiến trình xây dựng parabol của bạn có liên hệ gì đến định nghĩa theo quỹ tích
của parabol hay không?

14


KHẢO SÁT: Gấp một Parabol
Dụng cụ: bạn cần một tờ giấy để gấp và một tờ giấy có kẻ ô.
 Tiến hành:






Gấp tờ giấy lại theo một đường song song với một cạnh của tờ giấy để tạo thành
đường chuẩn.
Đánh dấu một điểm trên tờ giấy (lấy trên phần giấy lớn hơn của tờ giấy) làm tiêu
điểm của parabol.
Gấp tờ giấy lại sao cho tiêu điểm đó nằm trên đường chuẩn. Mở ra, sau đó tiếp tục
gấy tờ giấy sao cho tiêu điểm trùng với một điểm khác trên đường chuẩn.
Lặp lại quá trình như vậy nhiều lần. Các nếp gấp từ quá trình gấp đó sẽ tạo ra một
parabol.
Đặt tờ giấy vừa gấp lên tờ giấy kẻ ô. Xác định tọa độ của tiêu điểm và phương trình
của đường chuẩn, sau đó viết phương trình của parabol đó.

4, Hypebol
Đường thứ tư và cũng là đường cuối cùng trong họ các
đường conic chính là hypebol. Trong thiên văn học, quỹ đạo
chuyển động của sao chổi thường cáo dạng là parabol, elip hay
là hypebol. Trong đó, một sao chổi mà tiến đến gần một hành
tinh nào đó nhưng không bao giờ quay trở lại thì có quỹ đạo
chuyển động là hypebol. Bóng của đèn ngủ hình trụ in lên

tường tạo thành hai nhánh của một hyperbol. Hay là sóng âm
thanh tạo ra bởi tiếng nổ của động cơ máy bay tạo thành một
nhánh của hypebol trên mặt đất (Hình 16).
Định nghĩa Hypebol:
Một hypebol là quỹ tích của tất cả các điểm P trong mặt
phẳng sao cho hiệu khoảng cách
và
đến hai điểm cố định
và
luôn là hằng số . Tức là,
, hay
. Hai điểm cố định
và
được gọi là tiêu điểm. Hai
điểm thuộc hai nhánh của hypebol mà khoảng cách giữa chúng
nhỏ nhất được gọi là đỉnh. Tâm của hypebol là trung điểm của
đoạn nối hai đỉnh.

15

Hình 16. Sóng âm thanh của
máy bay tạo ra một nhánh
của hypebol


Cũng như cách xây dựng elip và parabol, ta cũng thiết lập phương trình của hypebol
từ một “hypebol đơn vị”. Hypebol đơn vị nằm ngang có tọa độ các đỉnh là (1,0) và (-1,0),
các tiêu điểm là
và
. Hãy viết phương trình của hypebol đơn vị đó.

Khoảng cách giữa hai đỉnh là 2 nên hiệu khoảng cách giữa một điểm bất kì trên
hypebol đến hai tiêu điểm là 2.
Giả sử

là một điểm thuộc hypebol. Dựa vào định nghĩa của hypebol ta có:

Giả sử

:

Tương tự, phương trình của hypebol đơn vị có trục thẳng đứng là:

.

Từ phương trình của các hypebol đơn vị, bằng các phép tịnh tiến và phép co giãn
theo các tỉ số khác nhau, ta sẽ xây dựng được phương trình của các hypebol trong mặt
phẳng.
Phương trình của một Hypebol:
Phương trình dạng chuẩn tắc của một Hypebol có trục thẳng đứng với tâm là
co giãn theo trục hoành là a, hệ số co giãn theo trục tung là b:

, hệ số

Hay phương trình dạng tham số là:
Tương tự, phương trình của parabol có trục nằm ngang có đỉnh là
trục hoành là a, theo trục tung là b:

, hệ số co giãn theo

Phương trình tham số là:

Tiêu điểm cách tâm một đoạn là c với
góc là

. Đường chuẩn đi qua tâm và có hệ số

.

16


Một điểm đặc biệt của hypebol là trên mỗi nhánh của hypebol, khi tọa độ của một
điểm càng dần đến cộng hoặc trừ vô cùng thì điểm đó càng gần sát hai đường thẳng được
gọi là tiệm cận của hypebol. Đường tiệm cận không chứa trong hypebol nhưng đôi khi
chúng giúp ta hình dung được hình dạng của hypebol. Kéo dài tiệm cận sẽ giúp ta vẽ
hypebol một cách chính xác.
KHẢO SÁT:
Dụng cụ: một cái cảm biến chuyển động.
 Cách tiến hành:




Một thành viên trong nhóm sẽ sử dụng
cảm biến chuyển động để đo khoảng
cách đến một người đang di chuyển trong
10s. Phải giữ sao cho cảm biến luôn
hướng vào người đang di chuyển.
Người di chuyển nên bắt đầu đi tại điểm
cách người giữ cảm biến 5m về phía trái,
giữ tốc độ ổn định, dừng lại khi cách

người đo khoảng 5m về phía phải và Hình 16. Tiến hành đo khoảng cách bằng máy
luôn cách người đo ít nhất 0.5m.
cảm biến chuyển động

 Tiến hành:






Bước 1: Thu thập dữ liệu sau khi đo. Chuyển dữ liệu từ máy cảm biến chuyển động
sang máy tính, sau đó vẽ đồ thị từ dữ liệu thu được. Ta sẽ tạo ra được một nhánh
của hypebol.
Bước 2: Giả sử rằng máy cảm biến được giữ ở tâm của hypebol. Khi đó, hãy tìm
phương trình của hypebol phù hợp với dữ liệu thu được. (Bạn có thể thử vẽ các
đường tiệm cận trước).
Bước 3: Vẽ lại đồ thị của hypebol trên giấy, vẽ các tiêu điểm và nhánh còn lại của
hypebol. Để kiểm chứng lại phương trình, bạn có thể chọn hai điểm bất kì trên
hypebol, tính hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm xem chúng có bằng nhau không.
Hãy tính khoảng cách giữa hai tiêu điểm. Khi đó, có điểm gì đáng chú ý?

III. NHẬN XÉT VÀ SO SÁNH CÁCH TIẾP CẬN VÀ TRÌNH BÀY VỀ CÁC ĐƯỜNG
CONIC CỦA CUỐN SÁCH VỚI MỘT SỐ SÁCH Ở VIỆT NAM
1, Cách tiếp cận và dẫn dắt vấn đề
Cuốn sách này có cách tiếp cận vấn đề rất hợp lý, đi từ cụ thể đến trừu tượng và
mang tính gợi mở làm cho người đọc có hứng thú tìm tòi và khám phá ra vấn đề. Không
những vậy, các tác giả còn hướng người đọc tiếp cận đến kiến thức mới bằng nhiều con
17

đường khác nhau. Mỗi cách tiếp cận ấy sẽ giúp người đọc rèn luyện khả năng tư duy, các kĩ
năng cần thiết để tự bản thân người đọc có thể tìm ra được cách giải quyết vấn đề và đưa ra
được kiến thức mới của bài học. Cụ thể ở đây ta sẽ xét cách tiếp cận và dẫn dắt để đưa đến
khái niệm về các đường conic và tính chất của nó.
Cách tiếp cận khái niệm các đường conic cũng như cách xây dựng phương trình
đường conic trong mặt phẳng tọa độ của cuốn sách với sách giáo khoa Hình học 10 nâng
cao ở Việt Nam rất khác nhau.
Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra

Sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao

Cách
tiếp cận
khái
niệm

+ Đưa ra một số ví dụ về đường conic trong
thực tế.
+ Giới thiệu về nguồn gốc lịch sử của khái
niệm các đường conic: là đường được tạo ra
khi cắt một mặt nón tròn xoay bởi một mặt
phẳng. Từ đó lý giải vì sao các đường như
vậy được gọi là các đường Conic.
+ Sau đó, xét riêng các trường hợp cụ thể:
đường tròn, elip, parabol và hypebol

+ Xuất phát là tìm hiểu về đường
tròn.
+ Sau đó đưa ra khái niệm đường

elip, rồi hhypebol, parabol.
+ Cuối cùng tổng kết lại, các đường
elip, hypebol, parabol được gọi là các
đường conic.

Cách
dẫn dắt
vấn đề

+ Đưa ra một tình huống thực tế để đặt vấn
đề.
+ Đưa ra định nghĩa dựa trên định nghĩa theo
quan điểm quỹ tích.
+ Tìm cách để viết phương trình của mỗi
đường conic dựa vào định nghĩa.
+ Khám phá một số tính chất quan trọng.
+ Dẫn dắt người đọc tiếp cận khái niệm của
các đường conic theo cách khác: dựa vào tâm
sai.

Tiến
trình
xây
dựng
phương
trình
của các
đường
conic

+ Xây dựng phương trình của đường tròn đơn
vị dựa vào định nghĩa. Sau đó bằng các phép
biến hình đã học ở chương trước để xây dựng
phương trình của đường tròn tổng quát.
+ Xây dựng phương trình của elip dựa trên
Xây dựng phương trình của đường
phương trình của đường tròn đơn vị và các tròn, elip, hypebol, parabol hoàn toàn
phép biến hình.
dựa vào định nghĩa
+ Xây dựng phương trình của các đường
parabol đơn vị, hypebol đơn vị dựa vào định
nghĩa rồi thông qua các phép biến hình để xây
dựng phương trình tổng quát.
18

+ Đưa ra ví dụ thực tế để minh họa.
+ Đưa ra định nghĩa dựa trên định
nghĩa theo quan điểm quỹ tích.
+ Tìm cách để viết phương trình của
mỗi đường conic dựa vào định nghĩa.
+ Đưa ra một số khái niệm cơ bản của
đường conic.


Như vậy, cách tiếp cận và dẫn dắt vấn đề ở cuốn sách này so với sách giáo khoa
Hình học 10 nâng cao ở Việt Nam về cơ bản là giống nhau, nhưng cách xây dựng phương
trình của các đường conic là hoàn toàn khác nhau. Việc xây dựng phương trình của các
đường conic trong mặt phẳng tọa độ bằng các phép biến hình là một cách xây dựng mới so
với các sách giáo khoa nước ta. Ở cách này, ta có thể sử dụng hình vẽ trong mặt phẳng tọa
độ để có thể quan sát, nhận xét rồi vận dụng kiến thức về các phép biến hình đã được học ở

chương trước để đưa ra được phương trình một cách tổng quát. Cách tiếp cận này hoàn toàn
phù hợp với mạch logic của cuốn sách nên giúp người đọc dễ theo dõi và nắm bắt được
kiến thức.

2, Nội dung kiến thức
Kiến thức được trình bày ở cuốn sách này là những kiến thức nâng cao hơn về Đại
số, giúp học sinh bổ sung thêm những kiến thức và nâng cao được các kĩ năng trong tính
toán cũng như tư duy.
Tất cả các kiến thức trong sách đều là những tình huống, những vấn đề nảy sinh
trong thực tế cuộc sống. Xuất phát từ những câu hỏi, nghi vấn trong vấn đề thực tế mà dẫn
đến hình thành nên những khái niệm, kiến thức mới để giải quyết vấn đề đó. Như vậy,
những kiến thức toán học có được đều được hình thành từ nhu cầu thực tế. Điều đó làm cho
việc tiếp cận kiến thức mới của học sinh diễn ra một cách tự nhiên mà rất hiệu quả, giúp
học sinh hiểu được mục đích của bài học và có nhu cầu khám phá những kiến thức trong
đó.
Nhìn chung, nội dung kiến thức của sách giống với những kiến thức đại số được
giảng dạy trong chương trình phổ thông ở Việt Nam. Ví dụ như trong phần các đường
Conic, các kiến thức cơ bản đều giống với sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao và cơ bản.
Tuy nhiên, có một số phần được mở rộng và bổ sung thêm mà ở sách giáo khoa phổ
thông ở nước ta không có. Ví dụ như tác giả đã dành hẳn một chương để nói về ma trận, các
tính chất và ứng dụng của nó, hay là tác giả cũng đã viết rất rõ ràng về phần dãy số và bổ
sung thêm về chuỗi số. Và riêng ở phần các đường Conic, tác giả đã giới thiệu về một số
tính chất đặc biệt của các đường Conic có áp dụng nhiều vào đời sống.
Cuốn sách không những có nội dung lý thuyết đầy đủ mà có lượng bài tập rất phong
phú. Các bài tập đều tương ứng với kiến thức trong mỗi bài học, là những bài tập lấy từ
những tình huống có trong thực tế cuộc sống cho thấy được ứng dụng của lý thuyết vừa
được học. Điều này là điều mà sách giáo khoa ở Việt Nam chưa có được.
Điểm đáng chú ý nhất của cuốn sách chính là phần “Khảo sát”. Phần “Khảo sát” là
phần trọng tâm trong mỗi bài học, học sinh tự mình tiến hành khảo sát, tìm hiểu, nghiên
cứu một bài toán thực tế cụ thể đặt ra với nhiều câu hỏi mở. Tác giả sẽ không đưa ra câu trả

lời cụ thể mà chỉ đưa ra một số hướng dẫn để học sinh tiến hành khảo sát bài toán. Thông
19


qua quá trình này, học sinh sẽ không những tìm được câu trả lời cho bài toán mà còn có thể
mở rộng vấn đề dựa trên bài toán cũ, phát triển thành những bài toán mới. Điều này đặc biệt
hữu ích trong việc học tập và thực hành theo nhóm, làm cho bài học trở nên thú vị và phát
huy được vai trò chủ động, tích cực của người học.

3, Hình thức trình bày
- Hình thức trình bày đẹp, bắt mắt, có nhiều hình ảnh minh họa sinh động, hấp dẫn.
- Đưa ra được nhiều ví dụ thực tế gần gũi và thể hiện được tính ứng dụng cao của
những kiến thức đã được học.
- Sách được trình bày rõ ràng, mạch lạc,bố cục thống nhất: đầu chương là phần giới
thiệu, đặt vấn đề với những tình huống nảy sinh ra kiến thức sắp được học; sau đó tác giả
lần lượt hướng người đọc đi đến nội dung kiến thức chính bằng những bài toán ví dụ gần
gũi với thực tế cuộc sống. Đặc biệt, tác giả sẽ đưa ra phần “Khảo sát” để người đọc giải
quyết vấn đề rồi mở rộng vấn đề.Cuối mỗi chương là phần đánh giá những gì đã được
học. Phần này sẽ gợi ý cho ta cách để xem xét lại quá trình học của ta và chuẩn bị cho
những công việc tiếp theo căn cứ theo những gì ta đã được học.
- Kiến thức được trình bày một cách có hệ thống và logic, nội dung kiến thức ở mỗi
phần liên kết chặt chẽ với nhau. Xen kẽ trong mỗi phần lý thuyết là các ví dụ thực hành
và đặc biệt là rất nhiều thông tin liên hệ đến khoa học, xã hội, lịch sử, y học, vật lý, hóa
học, kiến trúc…
- Có một số kiến thức mà ở Việt Nam được xem là khó, nâng cao và chỉ được học ở
chương trình Đại học như: ma trận, chuỗi số,… thì lại được tác giả trình bày một cách rất
sinh động, trực quan cùng với cách giới thiệu và tiếp cận vấn đề hợp lý nên người đọc sẽ
không cảm thấy khô khan, nhàm chán.
Tuy nhiên, có một số phần lời giải, tính toán dài dòng và không cần thiết sẽ có thể
gây rối cho người đọc.

IV, KẾT LUẬN
Với một cách tiếp cận vấn đề mới: tiếp cận qua khảo sát, cuốn sách sẽ cung cấp cho
chúng ta một cái nhìn khác hơn so với những gì chúng ta đã được học về Đại số nói chung
cũng như về các đường Conic nói riêng. Đọc chương 9,ta sẽ có thể hiểu rõ được bản chất
của các đường Conic là gì, khám phá các tính chất đặc biệt của chúng được ứng dụng vào
thực tế như thế nào.
Thông qua cuốn sách này, ta sẽ có cơ hội để suy nghĩ, vận dụng kiến thức mình đã
học để trả lời các câu hỏi, phát hiện ra các ý tưởng mới và tiếp đó có thể mở rộng vấn đề
dựa trên các câu hỏi mở được đặt ra. Từ quá trình đọc sách, ta sẽ có thêm nhiều trải nghiệm
thú vị và thu được nhiều bài học kinh nghiệm quý báu.

20


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1, Sách “Discovering advanced algebra”, Jerald Murdock - Ellen Kamischke - Eric
Kamischke , Key Curriculum Press.
2, Sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao, Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Văn Như
Cương (Chủ biên) - Phạm Vũ khê - Bùi Anh Nghị, NXB Giáo dục.
3, Trang web: và

21