Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
A. Lý thuyết
+ Đoạn thẳng AM (M là trung điểm của BC) được gọi là trung tuyến của tam
giác ABC
+ Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua 1 điểm. ĐIểm này
cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh
ấy
+ ĐIểm đó gọi là trọng tâm của tam giác
Hệ quả
- Một tam giác là tam giác cân khi và chỉ khi có hai trung tuyến bằng nhau
- Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi ba đường trung tuyến bằng
nhau
- Trọng tâm của tam giác chia tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích
bằng nhau
- Trong 1 tam giác, trung tuyến tương ứng với cạnh nhỏ hơn là trung
tuyến lớn hơn
B. Bài tập
1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD=CE
a. Cm hai tam giác ABC và ADE có cùng trọng tâm G
b. Gọi M là giao điểm của AG và BC, I là trung điểm của AG, N là giao điểm
của DG và AE, J là trung điểm của DG
Cmr: IJ//MN và JJ=MN
2. Chứng minh rằng
a. Một tam giác là tam giác cân khi và chỉ khi có 2 đường trung tuyến bằng
nhau
b. Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi có 3 đường trung tuyến bằng
nhau
3. Cho tam giác ABC . Trên BC lấy điểm M sao cho BM=2CM. Trên tia AC lấy
điểm D sao cho C là trung điểm của AD và gọi N là trung điểm BD. CMr:
A,M,N thẳng hang

4. Cho tam giác ABC , 3 đường trung tuyến AD,BE,CF đồng quy tại G. Trên
BE,CF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho BE=2BM, CF=3CN. CMR: 3 đường
thẳng AD,BN,CM đồng quy


5. Cho tam giác ABC với 2 đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Cmr:
BN+CP >

3
BC
2

6. Cho tam giác ABC vơi bat rung tuyến AM, BN,CP và trọng tâm G. CMr:
a. AM<
b.

1
(AB+AC)
2

3
(AB+BC+CA)4

7. Cho tam giác ABC có ABCMr:
a. BE·
·
b. GBC

> GCB
8. Cho tam giác ABC với trung tuyến AM. CMr:
a. Tam giác ABC vuông tại A thì AM=BM=CM
b. NGược lại nếu AM=

1
BC thì tam giác BC vuông tại A
2

9. Cho tam giác ABC với trung tuyến AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với
AB; Qua B kẻ đường thẳng song song với AD. Hai đường thẳng trên cắt
nhau tại E, GỌi K là trung điểm của đoạn EC. Cmr: A,D10.Cmr: Trọng tâm tam giác chia tam giác thành ba tam giác nhỏ có diện tích
bằng nhau