Hình học xạ ảnh 6

Bài tập 6


Bài tập 6:
Mặt phẳng aphin A2 được bổ sung thêm những điểm
vô tận để trở thành mặt phẳng xạ ảnh P2. Trong A2 ta chọn
mục tiêu aphin và xét các điểm có tọa độ đối với mục tiêu đó
như sau: A1(1,0), A2(0,1), A3(0,0) và E(1,1). Xem {A1,
A2,A3,E} là mục tiêu xạ ảnh của P2. Nếu một điểm M có tọa
độ aphin la (x1, x2) thì tạo độ xạ ảnh của nó bằng bao nhiêu?
Điểm vơ tận của đường thẳng aphin có tọa độ xạ ảnh bao
nhiêu nếu biết phương của nó đối với mục tiêu? Tổng quát
cho trường hợp n chiều.


Phương pháp:
-Xây dựng mơ hình aphin của khơng gian xạ ảnh P2
-Tìm cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh
-Tìm tọa độ xạ ảnh của điểm M có tọa độ aphin (x 1,x2) trong P2
-Gọi M  làđiểm vô tận thuộc đường thẳng aphin có vectơ
chỉ phương
khi đó:
a,


a đd  M  , ta tìm tọa độ



ađối với cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh P2

Bài giải-bài tập 6:
Xây dựng mơ hình aphin của khơng gian xạ ảnh
Theo mơ hình aphin, ta có ánh xạ:

p :V 3  X

Với X A2 V2
Lấy điểm O3 mà O2 ,

một chiều của V3
+ Nếu V1 V2: p (V1) = V1

1 là không gian con

+ Nếu V1V2: MA2: OM  V1 Đặt: p(V1)=M
Khi đó ta có khơng gian xạ ảnh: (X, p, V3)
Đặt:

đd
đd
OA1 
A1 , OA2 
 A2
đd
OA3 
A3


Bài giải-bài tập 6:

Tìm cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh

A,E 

Với
cơ sở đã chọn

+ Ta có:

i

1, 3

là mục tiêu xạ ảnh trong P2 ứng với

A ,A,A 
3

1

2

là một mục tiêu aphin

A2

 A3 E  A3 A1  A3 A2  A3O  OE  A3O  OA1  A3O  OA2
 OE OA1  OA2  OA3
Ta đặt:



 ei

1, 3

e1 OA1 , e2 OA2 , e3  OA3

Là cơ sở sinh ra mục tiêu xạ ảnh

 A , A , A , E
3

1

2


Bài giải-bài tập 6:
Tìm tọa độ xạ ảnh của M trong P2
Theo giả thuyết M có tọa độ (x1, x2) trong A2 đối với
mục tiêu aphin  A3 , A1 , A2 

 A3 M x1 A3 A1  x2 A3 A2
Mặt khác:

OM OA3  A3 M OA3  x1 A3 A1  x2 A3 A2
OA3  x1 A3O  x1 OA1  x2 A3O  x2 OA2
x1 OA1  x2 OA2   x1  x2  1OA3



x1 e1  x2 e2   x1  x2  1 e3
M  x1 , x2 , x1  x2  1 / Ai , E i 1, 3


Bài giải-bài tập 6:
Tìm tọa độ xạ ảnh của

M  P2
trong

+ Gọi M là điểm thuộc đường thẳng , với  có
véctơ chỉ phương là



a  a1 , a2  / A3 A1 , A3 A2

 a   M 
đd



 a a1 A3 A1  a2 A3 A2
a1 OA1  a2 OA2   a1  a2 OA3
a1 e1  a2 e2   a1  a2  e3

 

 a  a1 , a2 , a1  a2  / ei



i 1, 3

 M   a1 , a2 , a1  a2  / Ai , E



i 1, 3


Bài giải-bài tập 6:
Trường hợp tổng quát

Ta xây dựng mô hình khơng gian xạ ảnh theo mơ hình
aphin, khi đo ta sẽ có được khơng gian xạ ảnh Pn
Tọa độ của M trong không gian aphin:

M  x1 , x2 ,..., xn  / Ai  i 1,n1 ,

A1(1,0,0,…,0)
A2(0,1,0,…,0)
.
.
.

An+1(0,0,0,…,0)
Đặt:

OAi   Ai , i 1, n  1, OE   E
đd

đd


Bài giải-bài tập 6:
Trường hợp tổng quát

Ta có:

An1 E  An 1 A1  An 1 A2  ...  An1 An
 OE OA1  OA2  ...  OAn   n  1OAn 1

Đặt:

ei OAi , i 1, n
ei 1   n  1 OAn 1

 

 ei

i 1, n 1

là cơ sở sinh ra mtxa

 A , E
i

i 1, n 1


Bài giải-bài tập 6:
Trường hợp tổng quát

 Trường hợp M có tọa độ aphin
Khi đó:

M  x1 , x2 ,..., xn  / Ai  i 1,n 1

An1 M x1 An1 A1  x2 An1 A2  ...  xn An1 An

 OM x1 OA1  x2 OA2  ...  xn OAn   x1  x2  ...  xn  1OAn1
1
 x1  x2  ...  xn  1en1
 OM x1 e1  x2 e2  ...  xn en 
n 1

1


 x1  x2  ...  xn  1  / Ai , E i1,n1
 M  x1 , x2 ,..., xn ,
n 1



Bài giải-bài tập 6:
Trường hợp tổng quát

 Trường hợp M: Gọi M là điểm thuộc đường thẳng , 
có vectơ chí phương là:



a  a1 , a2 ,..., an  / An1 Ai



11, n

 a a1 An1 A1  a2 An1 A2  ...  an An1 An

a1 OA1  a2 OA2  ...  an OAn   a1  a2  ...  an OAn1

1
 a1  a2  ...  an  en1
a1 e1  a2 e2  ...  an en 
n 1

1


 a1  a2  ...  an   / Ai , E i1,n1
 M   a1 , a2 ,..., an ,
n 1


