Bài giảng toán kỹ thuật hàm phức và ứng dụng hàm giải tích

Tốn kỹ thuật
Giải tích Fourier
II. Phép biến đổi Laplace
III.Hàm phức và ứng dụng
I.


Hàm phức và ứng dụng
1. Hàm giải tích
2. Tích phân phức
3. Chuỗi hàm phức
4. Lý thuyết thặng dư
5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
6. Phép biến đổi bảo giác


1. Hàm giải tích
a. Hàm biến phức
b. Giới hạn và liên tục
c. Đạo hàm
d. Điều kiện Cauchy – Riémann
e. Các tính chất của hàm giải tích
f. Cám hàm phức sơ cấp


1. Hàm giải tích
a. Hàm biến phức
Định nghĩa:
w = f(z)
với z = x + jy
w = u(x,y) + jv(x, y)

Ví dụ:
1
w  f ( z )   u ( x, y )  jv( x, y )
z
1
x
y
f ( z) 
 2
j 2
2
x  jy x  y
x  y2
x
y
 u ( x, y )  2
; v ( x, y )   2
2
x y
x  y2


1. Hàm giải tích
b. Giới hạn và liên tục
Định nghĩa:
Giới hạn:
lim f ( z )  w0

z  z0

   0,  ( ) : f ( z )  w0   , z  0  z  z0   ( )

Liên tục: Hàm f(z) gọi là liên tục tại z0 nếu:
lim f ( z )  f ( z0 )

z  z0


1. Hàm giải tích
c. Đạo hàm
Định nghĩa:

dw
f ( z  z )  f ( z )
 w '  f '( z )  lim
z 0
dz
z

Với điều kiện nào thì hàm biến phức f(z) có đạo hàm?


1. Hàm giải tích
d. Điều kiện Cauchy – Riémann
w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y)
 u v


Điều kiện Cauchy – Riémann:  x y


 u   v
 y
x
-

-

f(z) có đạo hàm tại z = z0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy –
Riémann tại z0.
f(z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận
của z0: f(z) giải tích tại z0.
z0 là một điểm thường của f(z).
f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D.


1. Hàm giải tích
d. Điều kiện Cauchy – Riémann
Đạo hàm của hàm giải tích:
u
v v
u
f '( z ) 
j 
j
x
x y
y

Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm
số sau:

a. f ( z )  z
b. f ( z )  z.Re  z
c. f ( z )  z 2

Giải:
a, c: xem sách.

d . f ( z )  e z


1. Hàm giải tích
d. Điều kiện Cauchy – Riémann
b. f ( z )  ( x  jy ) x  x 2  jxy  u ( x, y )  x 2 ; v( x, y )  xy
u
v
u
v
 2 x;  x;
 0;  y
x
y
y
x
f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0.
x

u

e
cos  y

 ( x  jy )
x
d. f ( z)  e
 e  cos  y  j sin  y   
x
v

e
sin  y

u
v
  e x cos  y;   e x cos  y;
x
y
u
v
x
  e sin  y;   e x sin  y
y
x
u
v
f '( z ) 
 j   e x (cos  y  j sin  y )   e z
x
x


1. Hàm giải tích

d. Điều kiện Cauchy – Riémann
Ví dụ: cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho
f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích.
Giải:
Điều kiện Cauchy – Riemann:
v u

 2 x  2  v  2 xy  2 y  F ( x)
y x
u
v
dF
   2 y   2 y 
 F ( x)  C
y
x
dx
Có thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0:

f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z


1. Hàm giải tích
e. Các tính chất của hàm giải tích:
Khái niệm Hàm điều hịa:
Φ(x,y) được gọi là hàm điều hịa nếu thỏa phương
trình Laplace:
 2  2
 2 0
2

x
y
Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là hai
hàm điều hịa. Trong trường hợp này u, v được gọi là hai
hàm điều hịa liên hợp.
Ví dụ: xét hàm: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z


1. Hàm giải tích
e. Các tính chất của hàm giải tích:
Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền D
thì các đường cong u(x,y) = c1 là những quỹ đạo trực giao
với các đường cong v(x,y) = c2.
Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích, thay
zz
zz
x
; y
2
2i

ta sẽ thu được hàm theo biến z.


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
i.
Hàm mũ ez:
e z  e x cos y  je x sin y
Các tính chất:

 e0  1
 e z w  e z ew
 e z  0; z
 e  z  1/ e z
 e jt  e  jt ; t 
 e z  1  z  2n j; n 
 e z  2 n j  e z
 de z / dz  e z


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
i. Hàm mũ ez:
Ví dụ: Giải phương trình ez = 1 + 2j
Giải:

e z  e x cos y  je x sin y  1  2 j
 e x cos y  1  e 2 x  5
 x

e sin y  2
 tan y  2
1

1
 x  ln 5

 z  ln 5  j arctan(2)
2
2

 y  arctan(2)


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
ii. Hàm lượng giác cosz, sinz:
e jz  e  jz
e jz  e  jz
cos z 
; sin z 
2
2j
 cos 2 z  sin 2 z  1
 cos jy  cosh y; sin jy  j sinh y
 cos z  cos( x  jy )  cos x cosh y  j sin x sinh y
 sin z  sin( x  jy )  sin x cosh y  j cos x sinh y
 cos( z1  z2 )  cos z1 cos z2 sin z1 sin z2
 sin( z1  z2 )  sin z1 cos z2  cos z1 sin z2
 d (cos z ) / dz   sin z; d (sin z ) / dz  cos z
 sin z  0  z  n ; cos z  0  z  (2n  1) / 2; n 
 sin( z  2n )  sin z; cos( z  2n )  cos z; n 


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
iii. Hàm hyperbol:
e z  e z
e z  e z
cosh z 
; sinh z 

2
2
sinh z
cosh z
tanh z 
; coth z 
cosh z
sinh z

Các tính chất:
 cosh jy  cos y; sinh jy  j sin y
 cosh z  cosh x cos y  j sinh x sin y
 sinh z  sinh x cos y  j cosh x sin y


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
iv. Hàm logarithm lnz :
 ln z  ln r  j (  2n )
 
j
z  re (     )  ln z  ln | z |  j arg z

w  ln z  e w  z

Nhánh chính: Lnz = lnr + iθ (n = 0)
Các tính chất:
 ln( z1 z2 )  ln z1  ln z2
z1
 ln  ln z1  ln z2

z2
 ln z m  m ln z


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
iv. Hàm logarithm lnz :
Ví dụ:



j   2 n  

 ln(1  j )  ln  2e  4
  ln 2 











j   2n 
4


 ln(3)  ln 3e j  2 n 1  ln 3  j (2n  1)


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
v. Hàm lũy thừa zs:

z s  e s ln z ; s 
1
s

z
zs

Nhánh chính:
z s  e sLnz ; | z | 0;    arg z  
Ví dụ:
 j 2 j  e 2 j ln j  e

 j   2 n  

2 j ln 1e  2





 (1  j )1 j  e(1 j )ln(1 j )  e
 2e
 2e


4


4

 2 n

 2 n

e



2 j . j   2 n 
2



 

(1 j ) ln 2  j    2 n  
 4



 e(4 n 1)
e



ln 2   2 n
4

e



j  ln 2   2 n
4


 





cos
ln
2


2
n


j
sin

ln
2


2
n




 
4
4



 
 

 

cos
ln
2


j
sin
ln
2





 
4
4



 


1. Hàm giải tích
f. Các hàm phức sơ cấp
vi. Hàm lượng giác ngược và hypebolic ngược:


arccos z   j ln  z 


1

arcsin z   j ln z  1  z 2
z2

1
jz
arctan z  j ln
2

jz


arccosh z  ln  z 


1

arcsinh z  ln z  z 2  1

1 1 z
arctanh z  ln
2 1 z

z2


1. Hàm giải tích
g. Các ví dụ
1. Kiểm tra xem các hàm sau có phải là hàm giải tích?
a. ze z
b.sin 4 z
c.cos 2 z

2. Tìm a, b để hàm sau là hàm giải tích, tính dw/dz
w  x 2  ay 2  2 xy  j (bx 2  y 2  2 xy )
Viết lại hàm w và dw/dz theo biến z?

3. Cho u = 2x(1 – y), tìm hàm v(x,y) để f(z) = u + jv là hàm
giải tích?