Bài giảng quy hoach tuyến tính

1
 Bài toán vận tải
3.1 Bài toán vận tải
Ta g ọi vectơ
Cần vận chuyển hàng hoá từ m kho (điểm phát) P
i
,
i=1,2,…,m đến n nơi tiêu thụ (điểm thu) T
j
, j=1,2,…,n.
Lượng hàng có ở mỗi kho P
i
là a
i
, i=1,2,…,m. Lượng hàng
cần ở mỗi nơi tiêu thụ T
j
là b
j
, j=1,2,…,n. Chi phí vận
chuyển 1 đơn vị hàng từ kho P
i
đến nơi tiêu thụ T
j
là c
ij
,
i=1,2,…m, j=1,2,…,n. Cho biết tổng lượng hàng ở các kho
bằng tổng lượng hàng cần tiêu thụ.
Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hoá sao cho tổng
chi phí là nhỏ nhất và đảm bảo yêu cầu thu phát.

2
 Bài toán vận tải
Gọi x
ij
là lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát P
i
đến
điểm thu T
j
, x
ij
 0.
Tổng chi phí vận chuyển là:
f = c
11
x
11
+ c
12
x
12
+ … + c
mn
x
mn
hay f = c
ij
x
ij

Lượng hàng vận chuyển đi từ kho P
i
, i=1,2,…,m:
x
i1
+ x
i2
+ … + x
in
= a
i
hay x
ij
= a
i
, i=1,2,…,m.
Lượng hàng vận chuyển đến nơi tiêu thụ T
j
, j=1,2,…,n:
x
1j
+ x
2j
+ … + x
mj
= b
j
hay x
ij
= b

j
, j=1,2,…,n.
Do lượng hàng phát ra bằng lượng hàng thu vào nên ta có:
a
i
= b
j
, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n
3
 Bài toán vận tải
Bài toán vận tải là bài toán quy hoạch tuyến tính nên ta cũng
có thể giải bằng phương pháp đơn hình.
Mô hình toán học của bài toán là:
Tìm x = (x
11
, x
12
, … , x
mn
) sao cho f = c
ij
x
ij
 min
với các điều kiện ràng buộc sau đây
x
ij
= a
i
, i=1,2,…,m.

x
ij
= b
j
, j=1,2,…,n.
x
ij
 0, i=1,2,…,m, j=1,2,…,n.
trong đó a
i
= b
j
(điều kiện cân bằng thu phát)
Ta trình bày dưới dạng bảng sau còn gọi là bảng vận tải:
4
 Bài toán vận tải
Thu
Phát
b
1
b
2
… b
n

a
1

c
11

x
11
c
12
x
12
…
c
1n
x
1n
a
2

c
21
x
21
c
22
x
22
…
c
2n
x
2n
… … … … …
a
m

c
m1
x
m1
c
m2
x
m2
…
c
mn
x
mn
5
 Bài toán vận tải
3.2 Một số khái niệm
Ta g ọi vectơ
 Ô (i, j) là ô nằm trên dòng i, cột j cho ta xác định lượng
hàng cũng như cước phí vận chuyển một đơn vị hàng từ
P
i
đến T
j
. Ô chọn là ô (i, j) mà x
ij
> 0, ô loại là ô (i, j) mà
x
ij
= 0.

 Dây chuyền là một tập hợp các ô chọn sao cho không
có quá hai ô liên tiếp nằm trên cùng một dòng hoặc cột.
 Chu trình là một dây chuyền khép kín. Số các ô trong
một chu trình là số chẵn. Số các ô tối đa trong bảng
không tạo thành chu trình là m + n  1. Với m + n  1 ô
không tạo thành chu trình ta có thể bổ sung thêm một ô
bất kỳ để có ít nhất một chu trình.
Xét bảng vận tải m  n.
6
 Bài toán vận tải
Ta g ọi vectơ
 
 
 
  

 
Dây chuyền Không là dây chuyền
 
 
 
 
 
 
 
 
Một số chu trình thường gặp
7
 Bài toán vận tải
Ta g ọi vectơ

 Ma trận cước phí là ma trận (c
ij
) với c
ij
là cước phí vận
chuyển một đơn vị hàng từ P
i
đến T
j
.
 Phương án hay ma trận phương án là ma trận (x
ij
) với
x
ij
là lượng hàng cần vận chuyển từ P
i
đến T
j
. Một
phương án cực biên là phương án có số ô chọn tương ứng
không tạo thành chu trình tối đa là m + n  1, nếu số ô
này bằng đúng m + n  1 ta có phương án cực biên không
suy biến, ngược lại ta có phương án cực biên suy biến.
Trường hợp phương án cực biên suy biến ta có thể bổ
sung thêm một số “ô chọn 0” để có m + n  1 ô không
tạo thành chu trình.
Lưu ý: Bài toán vận t
ải cân bằng thu phát luôn có
phương án tối ưu.

8
 Bài toán vận tải
3.3 Tìm phương án cực biên ban đầu
Ta g ọi vectơ
 Tìm ô có cước phí bé nhất, phân phối lượng hàng tối đa
có thể vào ô đó.
 Loại bỏ dòng hay cột đã phân phối đủ hàng, tiếp tục
quá trình cho đến khi phân phối hết hàng.
3.3.1 Phương pháp “min” cước
VD29: Tìm phương án cực biên ban đầu
30 60 50 40
45
1 5 7 2
80
5 7 4 9
55
12 2 3 6