BTL module noether và module artin

LỜI MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Cấu trúc module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó có khả
năng thống nhất một một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Aben, không gian
vector. Tính linh hoạt và phổ quát của cấu trúc module đã mang lại những ứng dụng to
lớn. Thông qua lí thuyết module, ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lí thuyết về không
gian vector và nhiều lí thuyết toán học khác.
Hiểu được vai trò của môn “lí thuyết module” ta cũng thấy được tầm quan trọng
phải trang bị cho sinh viên các trường sư phạm một lượng kiến thức vững chắc về cấu
trúc module. Bản thân tôi với vai trò đang là sinh viên sư phạm tôi hiểu rõ được việc
trang bị kiến thức về lí thuyết module là rất cần thiết. Đặc biệt, với các lớp module
Norther và module Artin là hai lớp module quan trọng, mang đậm dấu ấn của Hình Học
và Số học.
Tôi chọn đề tài “ Module Noether và module Artin” tìm hiểu rõ hơn về các tính
chất của hai lớp module này.
II. Mục đích chọn đề tài
Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, tôi muốn trình bày các tính chất, module có độ dài
hữu hạn, phân tích nguyên sơ, tập các idean nguyên tố liên kết, giá của module,....của
“Module Noether và module Artin”. Từ đó các bạn có thể hiểu rõ hơn về môn học này
cũng như nắm bắt được các tính chất đặc trưng của chúng để vận dụng làm các bài toán
liên quan
III.Lịch sử và vấn đề
Sau thời gian học tập ở trường Đại học ……………., tôi nhận thấy rằng: Lí thuyết
module là một môn học khó, đa dạng và phức tạp và đặc biệt là các ứng dụng của chúng
vào các bài toán Số học. Chính vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài này với mục đích
nêu trên.


IV. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Lí thuyết Module
V.Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Tham khảo các tài liệu có sẵn
- Phương pháp nghiên cứu lí luận
- Phương pháp phân tích
-Phương pháp tổng hợp
-Phương pháp khái quát hóa
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
VI. Nội dung
Gồm ba phần:
Phần 1: Mở đầu
Phần 2: Nội dung
A- Lí thuyết
B-Bài tập
Phần 3: Kết luận.


NỘI DUNG
A-

Lý thuyết

I.Module Noether
1/ Định nghĩa
Định lí 1: Cho M là một A- module. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i)
Mọi tập hợp không rỗng những module con của M đều có một phần
tử cực đại
(ii) Mọi dãy tăng những module con của M:
M1 ⊂ M 2 ⊂ ... ⊂ M n ⊂ ...
Mk = Mm

đều dừng, nghĩa là tồn tại m để
với mọi
(iii) Mọi module con của M đều là hữu hạn sinh.

k≥m

Chứng minh:
(i) => (ii): Giả sử
Xét tập

M1 ⊂ M 2 ⊂ ... ⊂ M n ⊂ ...

là một dãy tăng bất kì các module của M

F = { M1 ⊂ M 2 ⊂ ... ⊂ M n ⊂ ...}

Theo giả thiết thì F có phần tử tối đại. Giả sử
ra

Mx

là phần tử tối đại của F, ta suy

M k +1 = M k
⇒ M k +i = M k ∀i = 0,1,2...
(ii)=>(i): Giả sử:

F = { M1, M 2 ,...,M n ,....}

là một tập hợp khác

module con của M
M1
+ Nếu
là phần tử tối đại của F => đpcm.
M1
∃ M 2 ∈ F : M1 ⊂ M 2
+ Nếu
không là phần tử tối đại thì
M2
+ Nếu
là phần tử tối đại của F => đpcm

∅

bất kỳ các


+ Nếu

∃ M3 ∈ F : M 2 ⊂ M3

M2

không là phần tử tối đại thì
M3 ,M 4 ,....,M n ,...
Lập luận tương tự cho
ta được :
F có phần tử tối đại => đpcm

M1 ⊂ M 2 ⊂ .... ⊂ M n ⊂ ....
Tồn tại dãy tăng
các module con của M, không dừng
=> mâu thuẫn => đpcm
Để nhấn mạnh ba thuộc tính đẹp đẽ của module Noether và để tiện sử dụng, người
ta đưa ra định nghĩa.
Định nghĩa: Cho A là một vành giao hoán có đơn vị. Khi đó một A – module M
được gọi là module Noether nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện tương đương nói
trong định lí 1. Vành A được gọi là một vành Noether nếu nó là một A- module Noether.
2/. Một số tính chất:
Định lí 1: Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và một dãy khớp ngắn các Amodule
0→N →M →P→0
Khi đó M là module Noether nếu và chỉ nếu N và P đều là các module noether
Chứng minh:
“=>” Từ dãy khớp ngắn đã cho, ta luôn có thể coi N là một module con của M và
P=M/N

, theo nghĩa sai khác một đẳng cấu.

Giả sử M là một module Noether. Khi đó mỗi dãy tăng trong N cũng là một dãy
tăng trong M, do đó nó phải dừng, vậy N là một Noether.
Nhận thấy rằng mỗi dãy tăng trong P đều là ảnh của một dãy tăng trong M qua
toàn cấu chính tắc. vì mọi dãy tăng trong m đều dừng, nên mọi dãy tăng trong P phải
dừng. vậy P cũng là Noether.


“<=” Ngược lại, giả sử N và P là những module Noether. Cho

M1

là một module

con của M, ta có:
M1 / M1 ∩ N ≅ M1 + N / N
Là một module con của
hạn sinh. Mặt khác,
Suy ra

M1

M1 ∩ N

P=M/N

. Vì P là Noether, nên

M1 / M1 ∩ N

là một hữu

cũng là hữu hạn sinh, do N là Noether.

là một module hữu hạn sinh

Hệ quả:
1) tổng trực tiếp của một học hữu hạn các A- module Noether là một A- module Noether
2) mỗi A- module hữu hạn sinh trên vành Noether A là một A- module Nother
định lý ( Định lí cơ sở Hilbert) nếu A là một vành Noether thì vành đa thức A[X]
cũng là một vành Noether
Nhận xét: Với K là một trường, thì mỗi đa tạp đại số affine

điểm của một ideal I trong
sử

I = (f1,...,f t )

K[X1,...,X n ]

. Khi đó, ta thấy ngay

ℜ

ℜ

trong

Kn

là không

. Từ hệ quả trên, ta rút ra I hữu hạn sinh, và giả
là giao của các siêu mặt
f1 = 0,...,f t = 0

Như vậy, mỗi đa tạp đại số afine đều là giao của một số hữu hạn siêu mặt.
Định lí 2: Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các module Noether là một Noether
các module Noether
II. Module Artin
1/. Định lý: Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và M là một R- module. Các
điều kiện sau là tương đương:

i) Mọi tập khác

∅

các module con của M đều có phần tử tối tiểu.

ii) Mọi dãy giảm các module con của M đều dừng
chứng minh:
M1 ⊃ M 2 ⊃ ... ⊃ M n ⊃ ...

i) => (ii) Giả sử

(1)
là một dãy giảm các module con

của M
Theo giả thiết
Giả sử

F = { Mi i ∈ N,i ≥ 1}

M k ,k ≥ 1

có phần tử tối thiểu.

là phần tử tối tiểu của F

M k +1 ⊃ M k 
 ⇒ M k +1 = M k

M k ⊃ M k +1 

Suy ra

Vậy (1) dừng
(ii) => (i) Giả sử
Vì

F≠∅

+ Nếu
+ Nếu

M1
M1

nên

F≠∅

là một tập các module con của M

∃ M1 ∈ F

tối tiểu thì ta có điều phải chứng minh
không tối tiểu thì

∃ M 2 ∈ F : M1 ⊃ M 2

Lập luận tương tự ta được hoặc F có phần tử tối tiểu hoặc tồn tại một dãy giảm

không dừng các module con của M
M1 ⊃ M 2 ⊃ ... ⊃ M n ⊃ ...
Theo giả thuyết thì khả năng thứ 2 không xảy ra .
Vậy F có phần tử tối tiểu.
Định nghĩa: 1) Cho R- vành giao hoán có đơn vị. R module M được gọi là Artin
nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện của định lí trên.


2) Cho R – vành giao hoán có đơn vị. R được gọi là vành Artin nếu R-module R
mà module Artin
2/ một số tính chất
Bổ đề: ( Luật module La) Cho A,B là các module con của R- module M. với

A⊂B

. Khi đó với mọi module con C của M ta đều có :

( C + A ) ∩ B = (C ∩ B) + A

Chứng minh :

+)

x ∈ C + A
∀x ∈ ( C + A ) ∩ B ⇒ 
x ∈ B

∃ a ∈ A, ∃c ∈ C : x = c + a
⇒
:x = b

∃ b ∈ B

⇒ c + a = b ⇒ c = b − a∈B

c ∈ C
 ⇒ c ∈ C ∩ B ⇒ x = c + a ∈ ( C ∩ B) + A
c ∈ B

⇒ ( C + A ) ∩ B ⊂ ( C ∩ B) + A

+)

( 1)

∀x ∈ ( C ∩ B ) + A → ∃ x 0 ∈ C ∩ B; ∃a ∈ A

x = x0 + a
x0 ∈ C
x0 ∈ C ∩ B ⇒ 
x0 ∈ B

x 0 ∈ B

 ⇒ x = x0 + a ∈ B

a ∈B 

 ⇒ x ∈( C + A) ∩ B
x0 ∈ C


 ⇒ x = x0 + a ∈ C + A 
a ∈A 

Định lý 2 : mỗi vành Artin chỉ có hữu hạn các ideal cực đại.


Định lý 3 : Mỗi vành Artin được phân tích thành một tích trực tiếp của một số hữu
hạn các vành Artin địa phương
B. Bài tập
Bài 1 : Chứng minh rằng

¢

- module

¢

là module Noether

Giải
Nhận xét : Bộ phận I của
Giả sử

¢

I1 ⊂ I2 ⊂ ... ⊂ I n ⊂ ...

là module con của

¢

khi và chỉ khi I là ideal của

là một dãy tăng bất kỳ các module con của

¢

¢

.

∞

I = U Ii
Đặt
Vì

¢

i =1

nên I là module con của

là vành chính nên các ideal của

¢

¢

đều là Ideal chính

⇒ ∃ d ∈ ¢ : I = d¢

∞

d ∈ I = UIi ⇒ ∃k ∈ ¥ *: d ∈ Ik
i =1

Vì

⇒ I ⊂ Ik

Mặt khác :
Nên

Ik ⊂ I

I = Ik ⇒ Ik +i = I k

∀i = 0,1,2,...

Vậy mọi dãy tăng của module con trong
Noether

¢

đều dừng, nghĩa là

¢

- module

¢

là


Bài 2 : Cho p là số nguyên tố và

 a

¤ p =  a ∈ ¢ ,i ∈ ¥ 
i
 p


số hữu tỉ mà mẫu số là lũy thừa của p. Rõ ràng rằng
¢ ⊂¤ p

. Chứng minh rằng

¢

¤p
- module

¢

¤p

tức là

¤p

là tập hợp các

là nhóm con trong

¤

và

là Artin.

Giải

1
p

i

+¢

Giả sử
1
pi

¤
+¢ ∈ p

là module con của

¢

¤p
- module

¢

sinh bởi phần tử

¢
. Khi đó :

0⊂

1
1
1
+¢ ⊂
+ ¢ ⊂ ... ⊂
+ ¢ ⊂ ...
2
n
p
p
p
1
pi +1

∉

1
pi

+¢

Là chuỗi tăng thực sự, vì

( a, p ) = 1 ⇒

a
pi

+¢

=

1
pi

+¢

Ta có nhận xét :
Thật vậy, do a và p là số nguyên tố cùng nhau nên tồn tại

m,n ∈ ¢ : am + pi n = 1


1

pi

−

am
pi

= n ∈¢ ⇒

am
pi

+¢ =

1
pi

+¢ ⇒

a
pi

+¢ =

1
pi

+¢

Từ đó

Mặt khác : hiển nhiên ta có bao hàm thức ngược lại
Vậy nhận xét được chứng minh.
¤p
¢
Bây giờ nếu B là module con của
thì có thể xảy ra hai trường hợp sau :
∃i ∈ ¥
Trường hợp 1 :
tối đại dể tìm được :
a
+ ¢ ∈B
i
p
với (a,p)=1
a
p

i

+¢

=

1
pi

+¢

=B

Khi đó ta có :

Trường hợp 2 : Đối với mỗi
Mặt khác (a,p)=1
¤
B= p
Nên

1
¢

¤p
=> module

pi

¢

thì đều

a
pi

+ ¢ ∈B

sao cho

+ ¢ ∈B

(vì mỗi lớp

)

đều có module con tối tiểu

¤
¢ − mod ule p
Vậy

n∈¥

∃i ∈ ¥

i ≥ n;

¢

là Artin.

Vk

Bài 3: Chứng minh rằng không gian vector vô hạn chiều
không phải là Noether,
cũng không phải là Artin.
Giải
{ ui i ∈ ¥ *}
Giả sử
là một tập hợp bất kỳ mà các phần tử độc lập tuyến tính trong V

Khi đó cả 2 chuỗi sau đều không dừng
∞

∞

∞

∞

i =1

i =2

i =3

i=n

∑ uik ⊃ ∑ uik ⊃ ∑ ui k ⊃ ... ⊃ ∑ uik ⊃ ...
Và chuỗi

u1k ⊂ u1k + u 2k ⊂ u1k + u 2k + u 3k ⊂ .....
Vậy không gian vector vô hạn chiều
Artin.

Vk

không phải là Noether, cũng không phải là
A[ X]

Bài 4 : Nếu A là một vành Noether tì vành đa thức

cũng là một vành
Noether.
Giải
A[ X]
Gọi I là một ideal không của
, ta cần chỉ ra I là hữu hạn sinh.
Giả sử I không phải là hữu hạn sinh. Khi đó ta có thể lấ ra một dãy đa thức bậc tăng
dần:
f1,f 2 ,...,f n ,...
Sao cho

f1

là một đa thức khác không của I có bậc thấp nhất trong I,

thức thấp nhất trong
của tập

I \ ( f1,...,f m )

Bây giờ gọi

aj

I \ ( f1 ) ,...,f m +1

là một đa

là một đa thức có bậc thấp nhất trong các đa thức

,..
là hệ tử của hạng tử bậc cao nhất của đa thức

của A sinh bởi tất cả các
nguyên dương n để

f2

aj

fj

và gọi J là ideal

. Vì A là vành Noether nên J hữu hạn sinh. Do đó tồn tại số

J = ( a1,a 2 ,...,a n )

. Gọi

mj

là bậc của đa thức

fj

và

bx m n +1

là hạng


n

tử bậc cao nhất của
thấy rằng:

f n +1

. Khi đó, ta có

b∈J

b = ∑ λi a i
i =1

, vì vậy

với các

λi ∈ A

. Dễ

n

g = f n +1 − ∑ λifi x m n +1 −mi ∈ I \ ( f1,...,f n )
i =1

Và

deg(g) < deg(f n +1)

, mâu thuẫn với cách chọn

f n +1

. Vậy I là một ideal hữu hạn

A [ X]

sinh, và do đó
là một vành Noether.
Bài 5: Mỗi vành Artin chỉ có hữu hạn các ideal cực đại.
Giải
Gọi S tập tất cả các ideal của một vành Artin A đã cho có thể biễu diễn như là giao
của một số hữu hạn các ideal cực đại của A, và I là một phần tử cực tiểu của S. Giả sử
I = m1 ∩ m2 ∩ ... ∩ m n
Ta sẽ chứng minh rằng

{ m1,...,m n }

chính là tập hợp tất cả các ideal cực đại của A.
I ⊇ m ∩ I ∈S
gọi m là một ideal cực đại tùy ý của A, khi đó
. Vì I là phần tử cực tiểu

mi ⊆ m

I = m ∩ I hay I ⊆ m

mi = m

trong S, nên
. Do đó tồn tại một
, và vì vậy
. Ta được
điều phải chứng minh
M¡ ≠ 0
M¡
Bài 6: giả sử
. Nếu
là module Artin hoặc Noether thì nó có các
module con không phân tích được

M1,M 2 ,...,M n

sao cho:

n

M ¡ = ⊕ Mi
i =1

Giải
Trường hợp

M¡

là module Artin. Gọi

Γ

là tập các hạng tử trực tiếp

B≠0

của

M¡

.


Γ≠0

B0

M¡ ∈ Γ

vì

M¡

. Do

B0

. Khi đó hiển nhiên

là module Artin nên

Γ

có phần tử tối tiểu, chẳng hạn,

là module không phân tích được. lại gọi A là tập các module

M¡

con C của
sao cho tồn tại những module con không phân tích được
M ¡ = B1 ⊕ B2 ⊕ ... ⊕ Bk ⊕ C
Vì tồn tại hạng tử không phân tích được
M ¡ = M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n ⊕ C0
Rõ ràng

C0 = 0

vì nếu

C0 ≠ 0

thì do

C0

B0

nên

A≠∅

C0

C0 = M n +1 ⊕ C1

module không phân tích được; trái với giả thiết tối tiểu của

mà

. Lại có :

cũng là module Artin nên

tử trực tiếp là module không phân tích được, chẳng hạn

B1,B2 ,...,Bk

C0

cũng có hạng

. Với

M n +1

là

.

n

M ¡ = ⊕ Mi
Vậy:
Trường hợp

i =1

M¡

.Với

Mi

là module không phân tích được

là module Noether. Gọi

Γ

là tập các hạng tử trực tiếp

B ≠ M¡

của

M¡ Γ ≠ ∅
M¡

0∈ Γ
Γ
.
vì
. Do
là module Noether nên có phần tử tối đại, chẳng hạn,
B0
M ¡ = B0 ⊕ A0
A0
và
. Khi đó hiển nhiên
là module không phân tích được. Lại gọi
M¡
A là tập các module con C của
sao cho tồn tại những module con không phân tích
B1,B2 ,...,Bk
được
mà
C = B1 ⊕ B2 ⊕ ... ⊕ Bk


Và C là hạng tử trực tiếp của
nên

A≠0

M¡

. Lại vì

M¡

. Vì tồn tại hạng tử không phân tích được

là module Noether nên trong A có phần tử tối đại, chẳng hạn

C0 = M1 ⊕ M 2 ⊕ ... ⊕ M n

A0

,

C0

M ¡ = C0 ⊕ D0

có các phân tích
và
D0 = 0
D0 ≠ 0
C0
D0
Rõ ràng
vì nếu
thì do
cũng là module Noether nên
cũng có
hạng tử trực tiếp là module không phân tích được, chẳng hạn

M n +1

D0 = M n +1 ⊕ D1

là module không phân tích được; trái với giả thiết tối đại của

C0

. Với

.

n

M ¡ = ⊕ Mi
Vậy

i =1

.Với

Mi

là module không phân tích được
M¡
ϕ
Bài 7: Cho là một tự đồng cấu của module
n0
1) Nếu M là vành Artin thì tồn tại số tự nhiên
sao cho

( )

( )

M = Im ϕn + Ker ϕn

n ≥ n0

ϕ
ϕ
. Hơn nữa, nếu là toàn cấu thì đơn cấu
n0
2) Nếu M là vành Noether thì tồn tại số tự nhiên
sao cho

( )

( )

với mọi

Im ϕn I Ker ϕ n = 0
với mọi

n ≥ n0

. Hơn nữa, nếu

Giải

ϕ

là toàn cấu thì

( )

( )

ϕ

Im ϕ ⊃ Im ϕ2 ⊃ Im ϕ3 ⊃ ...
1) Nếu M là module Artin thì dãy sau dừng
∃ n0 ∈ ¥
n ≥ n0
Bởi vậy
sao cho với mọi
ta có

( )

( )

Im ϕn = Im ϕ n 0

. Nói riêng với

n ≥ n0

( )

( )

Im ϕn = Im ϕ 2n
ta có

đơn cấu.


Đặt

ψ = ϕn

với

a∈M

( )

ta có:

ψ ( a ) ∈ Im ψ ⊂ Im ψ 2

ψ ( a ) = ψ 2 ( b ) ,b ∈ M

Bởi vậy
sao cho

a − ψ ( b) = k

Nếu

ϕ

. Vậy

ψ ( a − ψ ( b) ) = 0

. Từ đó

a = ψ ( b ) + k ∈ Im ψ + Kerψ

đơn cấu thì hiển nhiên

ϕn

( )

Im ϕn 0 ⊂ Im ϕ

. Suy ra tồn tại

k ∈ Kerψ

, và ta có điều phải chứng minh.

( )

M = Im ϕn 0
cũng là đơn cấu. bởi vậy

và do đó

ϕ

. Điều này chứng tỏ toàn cấu và do đó đẳng cấu
2) Nếu M là Noether thì dãy sau dừng

( )

( )

kerϕ ⊂ ker ϕ2 ⊂ ker ϕ3 ⊂ ...

Do đó tồn tại

n ≥ n0

n0 ∈ ¥

sao cho

( )

Ker ( ψ ) = Ker ψ 2
ta có:

Nếu

a ∈ Kerψ I Im ψ

( )

( )

( )

ker ϕn = ker ϕn 0

thì

với mọi

n ≥ n0

. nói riêng, với

ψ = ϕn

với
a = ψ( b)

với

b∈M

. Khi đó

ψ2 ( b ) = ψ ( a ) = 0

b ∈ Ker ψ 2 = Kerψ

a = ψ( b) = 0

Kerψ I Im ψ = 0

Từ đó suy ra
, nghĩa là
Im ψ = M
Kerψ = 0
ϕ
ϕn
Nếu toàn cấu thì
cũng toàn cấu. bởi vậy
và
Kerϕ = 0
Kerϕ ⊂ Kerψ
Từ đó
vì

, do đó