Những điều cần biết luyện thi đại học kỹ thuật giải nhanh hình phẳng OXY đặng thành nam

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (11.58 MB, 666 trang )

5 1 6 . 0 0 7 ? ^

NH556Đ
- ? ĩ ? ĩ ' ~/
////
.■//

ĐẶNG THÀNH NAM
Thủ Khoa ĐH, Thủ Khoa Toán sv Toàn Quốc 2012 - Giám đốc Trung tâm
nguyên cứu, tư vãn và phát triển các sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)

LUYỆn tS

d Ạ iĨ ọ C

P I ^ T H Í lP T O I
L n lL ld íU I K n lA lL
^ Dành cho học sinh luyện thỉ đại học
Bòi dưỡng học sinh gỉỏỉ 10 ,11,12
>í Giáo viên giảng dạy, dạy thêm và luyện thi

5 j& . o o

7&

H -H 5 5 T)-&

ĐẶNG THÀNH NAM

(G V Thu Khoa ĐH, Thủ Khoa Toán sv Toàn Quốc 2012 - Giám đốc Trung tâm

nguyên cứu, tư vấn và phát triển các sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)

Những điều cần biết

LUYỆn THI ĐẠI HỌC
KỸ THUẬT GIÃI I M

HỈNH PHẢNG OXY
Dành cho học sinh luyện thi đại học
>í Bồi dường học sinh giỏi 10 ,11,12
J Giáo viên giản g dạy, dạy thêm v à luyện thỉ

o m
ODG
H à N ội

NHA XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI NÓI ĐẦU
Với hy vọng cuốn sách sẽ trở thành tư liệu tự học và rèn luyện kỳ năng bổ ích dành cho
các em chuẩn bị cho kỳ thi Tuyển sinh đại học đang đến gần. Tác giả mạnh dạn giới thiệu
với bạn đọc cuốn sách “Kỹ thuật giải nhanh Hìnlỉ phang Oxy Được đánh giá là một
trong ba câu phân loại học sinh cùng với Phương trình, bất phương trình vô tỷ - Hệ phương
trình; Bất đảng thức và cực trị và Hình học phẳng Oxy. Các nguồn tài liệu về hình phẳng
Oxy cũng khá chi tiết tuy nhiên để mang tính cập nhật cho sát với đề thi Tuyển sinh đại học
cũng như một số cuộc thi Học sinh giỏi các năm gần đây tác giả trăn trở và suy nghĩ rất
nhiều trước khi bắt tay vào viết cuốn sách này. Hy vọng đây là tài liệu công phu cung cấp
đầy đủ các dạng toán, phương pháp và kỹ thuật giải đồng thời là các bài toán hay và khó
đòi hỏi tính tư duy sáng tạo của học sinh. Và đích của cuốn sách này là giúp các em giải

quyết trọn điểm câu Hình phăng Oxy có trong đề thi Tuyển sinh đại học.
Cuốn sách gồm 5 chương:
Chương 1.
Chương 2:
Chương 3:
Chương 4:
Chương 5:

Đièm và đường thăng
Tam giác và tứ giác, đa giác
Đường tròn
Ba đường Côníc
Bài toán chọn lọc và rèn luyện nâng cao

Trong mồi chương sẽ chia theo các chủ đề, trong mỗi chủ đề gồm các dạng toán điển
hình hay gặp được viết thành các phần
A. NỘI DUNG PHƯƠNC. PHÁP

Trình bày các bài toán điể.1 hình hay gặp cùng phương pháp giải tổng quát kèm theo là
các ví dụ minh họa đơn giản cho các em dễ nắm bắt được nội dung phương pháp. Cũng như
đó là kính nchiệm và lưu ý khi làm bài.
B. BÀI TẬP MÂU

Hệ thống bài tập mẫu từ dễ - trung bình đến khó sẽ giúp các em rèn luyện hiểu và vận
dụng thật chắc phương pháp, đi cùng với đó là một số bài tập hay và khó đòi hỏi các em
phải tư duy và phân tích đề bài để tìm ra nút thắt của bài toán.
c . BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Hệ thống bài tập rèn luyện được sắp xếp từ dễ đến khó, đây là cơ hội để các em kiểm
tra lại những gì đã được tiếp cận và còn đọng lại trong quá trình đọc và ôn luyện. Hãy giải

đáp hết các bài toán trước khi tìm đến phần hướng dẫn giải - đáp sổ.
D. HƯỞNC DÀN CỈIẢI - « Á P SÒ

Trình bày lời giải vẩt tất, phân tich đề một số bài toán khó và đáp số.
Cuối cùng xin gửi lời cảm Ơ!| . an thành sâu sắc đến quý thầy cô đã đọc bàn thảo và có
những góp ý hát sức quý báu cho tác giả. Hy vọng lần lần tái bản sau sẽ hạn chế được
nhùng sai sót cũng như mang đến những kỳ thuật, phương pháp mới đến bạn độc.
Mọi ý kiến góp ý, trao đổi về cuốn sách xin gửi về địa chỉ:

Email: danụnamneu@»mail.eom
Tác giả
ĐẶNG THÀNH NAM

Cty TNHH M TV D W H Khang Việt

ứ íu tơ l

0

1.

IỂ M V À a lttN G TH ẲN G

Chủ đề 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
A. LÝ THỦYẾT
I. KIẾN THỨC C ơ BẢN
Mặt phang tọa độ Đe-các vuông góc Oxy, hệ trục gồm trục hoành nằm ngang
Ox và trục tung Oy vuông góc với Ox tại O- được gọi là gốc tọa độ.
Xét điểm M (x ;y ) khi đó O M = ( x ; y ) .

Các phép toán đối với véc tơ:

y

Cho hai véc tơ u = (X|; y I) , V = ( x 2;y 2) .
■ Nhân véc tơ với một sô:
số: k.u = ( k x j;k y j) .
cộng: uU + V = (x,
y , + y 2)
■ Phép
Phépcộng:
(X| + xx2;
2;y,
2).

Õ
o ~ ĩ1

■ Phép
Phép nhân:
nhân: u.v
u.v == X|X2
X|X2 ++ yy\y
jyi2 •
■ Độ dài véc tơ: u|u| == > / x f T ỹ f .
•- . . í
~\
ũ.v
x ,x 2 + y Iy 2
■ Góc giữa hai véc tơ: cos u, V= r r r r : = —F= =====

■1— —---- (góc giữa hai
+ y f - V x 2 + y2
véc tơ có thê nhọn, tù hoặc vuông). Suy ra u l v o X | X 2 + y jy 2 = 0 .
■ Hai véc tơ cùng phương <=> — = — .
x 2 y2
Xét ba điểm A ( x 1; y Ị) , B ( x 2 ;y 2 )>C(x3;y 3 ) khi đó A,B,C thẳng hàng khi và
c h lk h i ^ J l i Ì L = ^ Ì L

y2 -yi

.

y3-yi

Độ dài đoạn thẳng AB = | a b | = y j ị \ 2 - x 1 )2 + ( y 2 - yi )2 •
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Định nghĩa véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
a) Véc tơ chỉ phương của đường thẳng
,
.
íu ^ 0
Véc tơ u được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thăng d <=>
[u / /d
Nhận xét. Nếu u là một véc tơ chỉ phương (vtcp) của đường thẳng d thì mọi
véc tơ ku , với k * 0 đều là véc tơ chỉ phương cùa đường thẳng đó.
b) Véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
Một véc tơ n được gọi là véc tơ pháp tuyển của đường thẳng d o i
n ld

Kỹ thuật giãi nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam

Nhận xét. Nếu n là một véc tơ pháp tuyến(vtpt) của đường thẳng d thì mọi véc
tơ kn , với k * 0 đều là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
-

Neu đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n = (a;b) thì nó có véc tơ chỉ phương
là u = ( - b ; a ) .

-

Ngược lại nếu đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u = (a;b )th ì nó có véctơ
pháp tuyên là n = ( - b ; a ) .

2. Phương trình tổng quát của đưòng thẳng
Đường thẳng trong mặt phang có dạng tổng quát:
d : a x + by + c = 0,Ịa2 + b2 > oỊ .
Trong đó a,b,c là các hệ số thực.
■ Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0;y 0) <£> ax0 + by0 + c = 0 .
■ Véc tơ pháp tuyến vuông góc với d là n = (a;b) .
■ Véc tơ chỉ phương song song với d là u = ( - b ; a ) .
í X = x 0 - bt

■ Phương trình tham sô của đường thăng: d : <
,(t e R ) .
Ịy = y 0 + at
■ Phương trình chính tắc của đường thẳng: d : —— — = —— — .
a
b
3. Các dạng phưo'ng trình đường thẳng đặc biệt.

■ Trục hoành: 0 x : y = 0 .
■ Trục tưng: 0 y : x = 0 .
■ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A (a ;0 ) và B (0;b) (phương trình
đoạn chắn) có phương trình là:
d : * + f = l.
a b
(áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục tọa độ).
B Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt M ( x 1; y ị ) , N ( x 2; y 2 )
là:

=
x2 “ xl y ỉ- y i
(áp dụng khi đường thẳng đi qua hai điểm xác định cho trước).
■ Phương trình đường thẳng đi qua đi qua điểm M ( x 0;y 0) và có hệ số góc k
là: d : y = k ( x - x 0) + y0
(áp dụng khi chỉ biết đường thẳng đi qua một điểm và thỏa mãn một điều
kiện khác).
4

Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt

■ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M ( x 0;y 0)và có véc tơ
pháp tuyến iì = (a;b) !à: d : a ( x - x 0) + b ( y - y0) = 0 ,Ịa 2 + b2

>

(có thể sử dụng thay thế cho dạng đường thẳng đi qua điểm và có hệ sổ góc).
4. Vị trí tương đối của điểm so với đường thẳng.
Xét đường thẳng d : a X + by + c = 0 ,Ịa 2 + b2 > o) và hai điểm

A ( xA;yA).B ( x B;yB ).

Xét tích T = (a x A + byB + c )( a x B + byB + c ) .
■ Neu T > 0 thì A,B nằm về hai phía so với d .
■ Neu T < 0 thỉ A, B nằm về cùng một phía so với d .
■ Neu T = 0 thi hoặc A hoặc B nằm trên d .
5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Xét đường thẳng d : a x + by + c = 0 ,Ịa 2 + b 2 > o j và điểm M ( x 0;y 0).
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d (M ;d ) và được
.
. |ax0 + by0 + c|
xác định theo công thức: d (M ;d ) = J— = - - —
Va2 + b2
> Ưng dụng. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bời hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng
dị : a| X + bjy + C| = 0,(af +

> o j ; và d2 :a2 X + b2y + c2 = 0,Ịa2 + b ị > o Ị .

Nếu điểm M(x; y) nằm trên đường phân giác cùa góc tạo bởi dj và d2 thì
d ( M ; d |) = d ( M ; d 2) . Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi
d ị,d 2 có phương trình là:
|ajX + b,y + Cị| |a2x + b2y + c2|
— Lo A :
A : J— ,
—L= J---- .—
Va l
6. Góc giữa hai đường thẳng.

aịX + bịy + Cị

a 2x + b2y + c2
... =
L = ±-+—. ểá
1.

^2

Xét hai đường thẳng dị :a, X + bjy + Cj = 0,(a? +
ĩ i | = ( a l; b 1) ;

k?

V^2

^2

> o jc ó véctơ pháp tuyến

và đường thẳng d2 : a 2 x + b2y + c2 = 0 , Ị a 2 + t>2 > o ) có véctơ

pháp tuyên n2 = ( a 2;b'>).
Khi đỏ góc a Ị o < a <90° j giừa hai đường thẳng được xác định theo công thức:

cosa =

n i-n 2|
* 1 ■n 2

|aja2

t>|b21

Va I ^ k? -yj&2 ■*" ^2
5

A 'f

thuật giúi nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam

7. Vị trí tưoìig đối của hai đường thẳng.
Xét hai đường thẳng d| laịX + bịy + Cị = 0 ,(a f + bị > 0 ) c ó véc tơ pháp tuyến
nJ = ( a j ; b j ) ;

và đường thẳng d2 : a 2 X + b2y + c2 = 0,Ịa2 + bị > oj có véc tơ

pháp tuyến n 2 = ( ^ 2 ^ 2 ).

J 1 ,
b|
■ d| căt d 2 <=> — * — .
3-2 ^2

Đặc biệt: dị _L d 2 o âịã2 + b|b2 = 0 .
Các bài toán được áp dụng là xét vị trí tương đối giừa hai đường thẳng phụ
thuộc tham số.
B. CÁC DẠNG TO Á N

-

PHƯƠNG PHÁP
Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc k.
Vận dụng công thức phương trình đoạn chắn.
Vận dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua điểm và có véctơ pháp
tuyến n = ( a ; b ) .

-

Vận dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Vận dụng công thức tính góc giừa hai đường thẳng.
Vận dụng công thức phương trình đường phân giác cùa góc tạo bởi hai đường
thăng.
Dang 1: Viết phương trình đường thẳng đi A qua hai điểm M |( x j ; y |) và
M t (x->;y->).

-

Neu X| = x 2 => A : X = X | .

-

Nếu y, = y 2 => A : y = y,.

-

Nếu X| * x 2,yj * y 2 => A

=
X2 " X1

—
y2 y I

Ví dụ l.V iể t phương trình đường thẳng dđi qua hai điểm M ( - l ; 2 ) v à N ( 3 ; - 6 ) .
Đirờiii» thẳng đi qua hai điểm M,N xác định bởi:
o d : 2 x + y = 0.
6

Cty TNHH MTV D W H Khang Việt

Dang 2: Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( x 0;y 0) và có véctơ
pháp tuyến ( a ;b ) .
Đường thẳng đi qua điểm M ( x 0;y 0) và có véctơ pháp tuyến (a; b) xác định bởi:
d : a ( x - x 0) + b ( y - y 0) = 0<=>d:ax + b y - a x 0 - b y 0 = 0 .
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( - l ; 2 ) v à có véctơ pháp
tuyến n = ( 2 ; - 3 ) .
Đường thẳng d đi qua điểm M ( - l ; 2 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( 2 ; - 3 ) xác
định bởi:
d : 2 ( x + l ) - 3 ( y - 2 ) = 0 < = > d :2 x - 3 y + 8 = 0 .
Dang 3: Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( x 0;y 0)v à có véctơ chỉ
phương ũ = ( a ; b ) .
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0;y 0)và có véctơ chỉ phương u = (a;b)xác
định bởi:
Cách 1: Phương trình chính tắc d : —— — = —— — .
a
b
Cách 2: Phương trình tham số d
0
*

Ị y = y0 + b t’v

}

Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (3;4) và có véc tơ chi
phương u = ( 2 ; 3 ) .
Đường thẳng dđi qua điểm M (3;4) và có véc tơ chỉ phương u = (2;3)xác định
bởi:
X- 3

y -4

2

3

íx = 3 + 2t ,

á : ù ^ - = Ị L J l hoặc d:^

Ịy = 4 + 3t

,(tE R ).

;

Dang 4: Viết phương trình đường thẳng d (phương trình đoạn chắn) đi qua hai
điểm nằm trên các trục tọa độ A ( a ; 0 ) , B ( 0 ; b ) , ( a b ^ 0 ) .
Đường thăng d xác định bời:
d : * + f = l.

a b
Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳng dđi qua hai điểm A ( 4 ; 0 ) ,B ( 0 ; 6 ) .
Đường thẳng dđi qua hai điểm A ( 4 ;0 ),B (0 ;6 )x á c định bởi:

d: —+ —= l o d : 3 x + 2 y - 1 2 = 0.
4 6
7

K9 thuật giải nhanh hình phẳng Oxy - Đặng Thành Nam

Dang 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0;y 0) v à có hệ số
góc k.
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x 0;y 0) và có hệ số góc k xác định bởi:
d : y = k ( x - x 0) + y 0 .
Trong đó k = t a n a , là góc tạo bởi đường thẳng d và chiều dương trục hoành.
Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây:
a) Đi qua điểm

M (l;2 ) và có hệ số góc k = 3.

b) Đi qua điểm

A ( - 3 ;2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc 45° .

c) Đi qua điểm B(3;2) và tạo với trục hoành một góc 60° .
Giải
a) Đường thẳng đi qua điểm M ( l ; 2) và có hệ số góc k = 3 xác định bởi:
d : y = 3 ( x - l ) + 2 o d : 3 x - y - l = 0.
b) Đường thẳng đi qua điểm A ( - 3 ;2 ) và tạo với chiều dương trục hoành một góc

45° nên có hệ số góc k = ta n 45° =1 :=>d:y = l(x + 3) + 2 < = > d : x - y + 5 = 0.
c) Đường thẳng đi qua điểm B(3;2) và tạo với trục hoành một góc 60° nên có hệ
tan 60° = V ĩ
số góc k Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là
d j : V ỉx - y + 2 - 3>/3 = 0; d2 : V ỉx + y - 2 - 3^3 = 0.
Dang 6; Viết phương trình đường thẳng dđi qua điểm M ( x 0;y 0)v à song song

với đường thẳng A:Ax+ By+ c = 0.
Đường thẳng d đi qua điểm

M ( x 0;y 0) và song song với đường thẳng

A : Ax+ By+ c = 0 nhận n = (A ;B) véc tơ pháp tuyến cùa A làm véc tơ pháp
tuyến nên có phương trình là:
d: A ( x - x 0) + B ( y - y 0) = 0<=>d:Ax + B y - A x 0 - B y 0 = 0 .
Ví dụ 6. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (3;2) và song song với
đường thẳng A : 3x + 4y - 1 2 = 0.
Đường thẳng d đi qua điểm

M (3;2)

và song song với đường thẳng

A :3x + 4 y - 1 2 = 0 nên nhận n = ( 3 ; 4 ) v é c tơ pháp tuyển của À làm véc tơ
pháp tuyến nên có phương trình là:
d :3 (x -3 ) + 4 ( y - 2 ) = 0 o d : 3 x + 4 y-17 = 0.

Cty TNHH MTV D W H Khang Việt

Áp dụng. Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm song song với đường
thẳng cho trước, đường trung bình trong tam giác, hình bình hành, hình thoi,
hình chữ nhật, hình vuông.
Dang 7: Viết phương trình đường thẳng đđi qua điểm M ( x 0; y 0)v à vuông góc
với đường thẳng A : Ax + By + c

=0 .

Đường thẳngd đi qua điểm

M ( x 0;y 0)v à vuông góc với đường thẳng

A : Ax+ By+ c = 0 nhận u = ( B ; - A ) véc tơ chỉ phương của A làm véc tơ pháp
tuyến nên có phương trình là:
d : B ( x - x 0) - A ( y - y 0) = 0<=>d: B x - Ay+ Ay0 - Bx0 = 0.
Ví dụ 7. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (l;2 )v à vuông góc với
đường thẳng A : 4x - 5y + 6 = 0 .
Vì d vuông góc với A nên nhận véc tơ chỉ phương u = (5 ;4 ) c ủ a A làm véc tơ
pháp tuyến nên có phương trinh là:
d : 5 ( x - l ) + 4 ( y - 2 ) = 0 < = > d :5 x + 4 y -1 3 = 0 .
Áp dụng. Trong các bài toán về đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với
đường thẳng, đường cao, đường trung trực trong tam giác, hình thoi, hỉnh chữ
nhật, hình vuông, hình thang vuông.
Dang 8: Hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đuờng thẳng d cho trước;
điểm Mj đối xứng với M qua đường thẳng d.
Tọa độ H là giao của đường thăng đi qua M và vuông góc với d.
= 2X u - X M

- Tọa độ điểm Mj xác định bời: i M|
[yMị = 2yH “ Ym

Ví dụ 8. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M (7 ;4 ) trên đường thẳng
d :3x + 4y - 1 2 = 0 . Tìm điểm Mị đối xứng với M q u a d .
Đường thẳng A đi qua M và vuông góc với đ nhận véc tơ chỉ phương
u = ( 4 ;-3 ) của d làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:
A : 4 ( x - 7 ) - 3 ( y - 4 ) = 0 o A : 4 x - 3 y - 1 6 = 0.

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình
Í4 x -3 y -1 6 = 0
ị
[3x + 4 y - 1 2 = 0

íx = 4
Ịy = 0

=> H ( 4 ; 0 ) .

v

í x M = 2 x H - X M =1
Vì H là trung điêm của MM| => <

'

= > M .(l;-4 ).

ỊyMị = 2yH - y u =-4
Áp dụng. Bài toán điểm đối xứng qua đường thẳng, đường phân giác trong tam
giác, bài toán cực trị.

Kỷ thuật giài nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

Dang 9: Góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
■ Khoảng cách từ một đỉêm đen một đường thăng.
Xét đường thẳng d : a x + by + c = 0,^a2 + b 2 > o Ị và điểm M ( x 0; y 0) .
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được ký hiệu là d (M ;d ) và được

> ứ n g dụng. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng.
■ Xét hai đường thẳng
d| : a| X + b ị y + C| = 0,Ịa^ +

> o j ; và d 2 : a 2 X + b2y + c 2 =

0,ị^àị + bị > o Ị .

Neu điểm M (x ;y ) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi d| và d2 thì
d ( M ;d |) = d ( M ; d 2) . Suy ra phương trình đường phân giác của góc tạo bởi
d |, d 2 có phương trình là:

|a2x + b2y + C2 |
aiX + biy + Ci
a 2x + b2y + c2
— = ----------- — — <=> A : ---------------------------------------------- ---- =

|a|X + b|y + C||

A :----•

Góc giữa hai đưò'ng thẳng.
Xét hai đường thẳng d| : ã ị

X

+ bjy + C| = 0,(af + bf > 0)có véc tơ pháp tuyến

I1| = ( a j ; b ị ) ; và đường thẳng d 2 : a 2 X + b2y + c2

=0,ịdị + bị

> o j c ó véc tơ

pháp tuyên n 2 = ( a 2;b 2).
Khi đó góc

a(o < a < 90° 1 giữa hai đường thẳng được xác định theo công

Ví dụ 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm p(2;5) sao cho khoảng cách

từ điểm ọ(5;l) đến đường thẳng đó bằng 3.
Dường thẳng cần tìm có phương trình dạng tổng quát là
á : a ( x - 2 ) + b ( y - 5 ) = 0 o A : a x + b y - 2 a - 5 b = 0 ,(a 2 + b2 > o ) .
Khoảng cách từ Ọ đến A bàng 3
b=0

Với b = 0 , chọn a = l=>A | : X - 2 = 0 .

10

Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt

-

Với a = - —b , chọn b = 24 => a = 7 => A->: 7x + 24y -1 3 4 = 0.
24
Vậy có hai đường thẳng cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là
A| : X - 2 = 0;A2 : 7x + 24y - 1 3 4 = 0.

Ví dụ 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (2 ;l) và tạo với đường
thẳng A : 2 x+ 3 y+ 4 = 0 góc 45° .
Giả sử n = (a ;b ) ,Ịa 2 + b2 > o ) là véc tơ pháp tuyến cùa d .
Đường thăng A có véc tơ pháp tuyên nA = (2;3) .
;

1

0

0

Góc giữa hai đường thăng băng 45 o cos45 =

|2a + 3b|

_

Ị

<=>

nn

a = 5b
<=>

+ 3 2 ,\la + b2 ” V2

a=

5

b

- Với a = 5 b , chọn b = l= > a = 5 = > d :5 x + y - l l = 0 .
- Với a = - —b , choiì b = - 5 = > a = l = > d : x - 5 y + 3 = 0.
5

Áp dụng. Trong các bài toán tính góc và khoảng cách, đường phân giác.
Phương trình đường phân giác cùa góc tạo bởi hai đường thẳng
d| : A|X + Bịy + C| = 0;d2 : A-)X + B2y + c 2 = 0 được xác định bởi:
^ . AịX + B iy + C,y

Va ? +

A 2x + B2y + C2y

b?

Vã ! +

bì

c. BÀI TẬP CHỌN LỌC
1.1.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (-1 ;2 ) và đường thẳng

d : X - 2y + 1 = 0 .V iết phương trình đường thẳng A đi qua M và thỏa mãn
một trong các điều kiện sau:
a) A vuông góc với d .
b) A tạo với d một góc 60° .
c) Khoảng cách từ điểm A (2 ;l) đếnA bằng 1.
Giải
a) A vuông góc với d .
Đường thẳng A đi qua M ( - l ; 2 ) và có hệ số góc k có phương trình là:
A :y = k (x + l) + 2.
Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến riị = ( l ; - 2 ) ; đường thẳng A có véc tơ pháp
11

Kỹ thuật giài nhanh hình phăng Oxy - Đặng Thành Nam

tuyến n2 = ( k ; - l ) .
Vì vậy A l d o n i l n 2 o k . l + ( - l ) . ( - 2 ) = 0<=> k = - 2 .
Suy ra A : y = - 2 ( x + l) + 2 <=> A :y = - 2 x .
A tạo với d một góc 60° .
Góc giữa A và d bàng 60° <=>cos60° =

ni-n2

,,

Ịk.l + (-l).(-2 )ị

Ị

ựk2 + ( - l ) 2.,/l2 + (-2 )2

2

<=> 4 (k + 2 )2 = 5^k2 + lỊ<=>k2 - 1 6 k - l l = 0 < = > k = 8 ± 5 V3 .
Suy ra có hai đường thẳng thỏa mãn là A |2 :y = (8 ± 5 > /3 Ị(x + l) + 2 .
c) Khoảng cách từ điểm A (2 ;l) đếnA bằng 1.

- 1 - a á
Ậ 2+ (-ịf

.

Vk2 + 1

Mặt khác d (A / A) = 1 do đó
|3k + l|

k=0
= 1 <^> (3k +1) = k 2 +1 o 8k2 + 6k = 0 <=>

+1

4

■ Với k = 0 => A ị : y = 2 .

3
3
3
5
■ Với k = - —=> A, :y = - - ( x + l) + 2 o A , : y = - —X + —.
4
2
4V
;
2
4
4
1.2.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( 2 ; - l ) và hai đường thẳng
d | : X + 2y +1 = 0 ; d2 : 2x - y - 3 = 0.

a) Xác định giao điểm I của hai đường thẳng trên và chứng minh hai đường
thẳng đó vuông góc.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d j,d 2

lần lượt tại hai điểm

phân biệt A và B sao cho M là trung điểm của AB .
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d |, d 2

lần lượt tại hai điểm

phân biệt A và B sao cho MA = 2 M B .
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt d j,d 2 lần lượt tại hai điểm
phân biệt A và B sao cho MA = 2MB .
Giải
a) Đường thẳng dị có véc tơ pháp tuyến Ĩ1 | = ( l ; 2 ) ; đường thẳng d 2 có véc tơ
pháp tuyến n2 = ( 2 ; - l ) . Suy ra nj.n2 = 1.2 + 2.( - l ) = 0 vì vậy d| JL d2 (đpcm).
12

Cty TNHH MTVDVVH Khang Việt

Tọa độ giao điểm I của dị và d2 là nghiệm của hệ phương trình.
Jx + 2 y + l= 0

Jx=l

| 2 x - y - 3 = 0 C>Ịy = - l '
Vì vậy 1(1;—1).
b) Giả sử A ( - 2 a - l ; a ) e d | , B ( b ; 2 b - 3 ) e d 2 .
-2a -1 + b
M là trung điểm cùa AB <=> -

= 2

a + 2b - 3

1- 2 a + b = 5
<=> {
<=>

a + 2b = 1

9
a=—
5
5

u

Suy ra A Í -Í7 -Ị ;-- Ĩ Ì
5 /
w

rÍZ

V,5J

J

:- 1 Ì
5
->/

nên đường thẳng cần tìm đi qua hai điểm A,B xác định có phương trình là:
_Ị3

9

d: 7 ^ 3 =

1 39 < = > d :4 x + 3 y -5 = 0 .

5~T

~5 + 5

c) Ta có MA = ( - 2 a - 3 ; a + l),M B = ( b - 2 ; 2 b - 2 ) .
a=—
—
—
-2 a -3 = 2(b -2 )
Vì vậy MA = 2MB <=> ị
v
o ^
[a + 1= 2 ( 2 b - 2 )
b = _M
l

3 ^ ( \ \4 \
i
.
, BỊ^— ;— -J và đường thăng đi qua hai điêm xác định trên ta

( \
Suy ra A —
1

X— -

10

y+-

có d : —— Ỵ = —

3
= y < = > d :2 x + 9 y + 5 = 0 .

Tõ ~ 5 ~*5 + 5
d) Ta chuyển qua véc tơ, với MA = 2MB thì có hai trường hợp.
Trường hơp 1: MA = 2MB theo câu trên ta có phương trình đường thẳng:
d : 2 x + 9 y + 5 -- 0 .

__n
—
—
í-2 a -3 = -2 (b -2 )
Trường hợp 2: MA = -2MB<=><
<=> Ịa + l = - 2 (2 b - 2 )

5
10

(17
Suy ra A —
V

5