Bài tập tích phân và phương trình vi phân

-1-

Tích Phân Bất Định –Xác Định.
Bài 1: Tính nguyên hàm hàm hữu tỷ:
dx

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫(

x2 − x − 6
dx

x3 + 6 x 2 + 11x + 6
x2 − 5 x + 9

x2 − 5 x + 6
x2 − 5 x + 9
x2 − 6 x + 8
3

dx

dx

2

2

dx

( x + 3)( x − x + 1)
1
2

dx

)(

2

x − 4x + 3 x + 4x + 5

)

dx

5 x2 + 6 x + 9
( x − 3)2 ( x + 1)2
3x + 5
( x 2 + 2 x)2

dx

dx

(

)

x 4 x3 + 1

∫(
∫
∫

2

x 2dx
10

x − 1)
3

x3 + 1

dx
2

x4 − 1

2

2x + x + 5x + 1

x( x + 1)

∫
∫
∫
∫

x4

dx

8( x3 − 1)
3

4x − x

dx

dx


-2-

Bài tập 2: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:

∫
∫(
∫
∫
∫
∫(
∫

∫
∫
∫

ex

e

2x

dx

−1
2

cos 2 x + sin 2 x ) dx

1 + sin 3 x
cos 2 3x

dx

xdx
2

sin(2 x + 1)

sin 3 3 x cos3 xdx
x2
11

2 x − 1)

dx

dx
sinh x.cosh x
5

x 5 − x 2 dx
e x dx
e2 x − 2

arcsin x + x
1 − x2

dx

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

x2

1− x

2

e2 x
x

dx

dx

e +1
dx
x x2 − 1
1+ x
dx
1+ x
sin 3 x
dx
cos x
x2 + 1
dx
x
dx
x2 4 − x2
1 − x 2 dx

3 1 − ln x

x

dx

2
esin x sin 2 xdx


-3Bài 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến:

∫
∫
∫
∫

x+2

dx

2

x −1
e

x

x

1 − e dx
ax

1 + a2 x

dx

xdx
4 − x4

∫
∫
∫
∫

x2
1+ x

6

dx
2

x
 x
− 
 e a − e a  dx





arcsin x

1− x

2

dx

x − arctan 2 x
1 + 4 x2

dx

Bài 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tích phân từng phần:

∫
∫
∫
∫
∫(
∫
∫

x arcsin xdx
x sin x cos xdx
x arctan xdx
2

2

x ln xdx

)

x 2 + 5 x + 6 e x dx
x

e

x

dx

ln x
x3

dx

∫
∫
∫
∫
∫
∫

ln  x + x 2 + 1  dx


x2 − 2 x + 5
ex
xdx
sin 2 x

e x sin xdx
sin ( ln x ) dx
xe x cos xdx

dx


-4-

Bài 5: Tính các nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫(

dx
2 x2 + 3x + 4
dx
x − x2
3x − 6
x2 − 4 x + 5
2x − 8
1 − x − x2

dx

dx

xdx
5x2 − 2 x + 1
dx

x 1 − x2
dx

x x2 + x − 1
dx
x − 1) x 2 − 2

∫(
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

dx
x + 1) x 2 + 2 x
x − x 2 dx
2 − x − x 2 dx
xdx

x4 − 4 x2 + 3

cos xdx

sin 2 x − 6sin x + 12
e x dx
1 + e x + e2 x
sin xdx
cos 2 x + 4cos x + 1
ln xdx

x 1 − 4ln x − ln 2 x


-5Bài tập 6: Tính nguyên hàm các hàm số vô tỷ sau:
x −1
x3dx
x
dx
x +1
x −1

∫
∫
∫
∫
∫

3

x +1
dx

x −1
x+3

x

2

dx

2x + 3

x +1 − x −1
dx
x +1 + x −1
xdx
4 x3 (1 − x )

∫
∫
∫
∫(
∫

Bài 7: Tính nguyên hàm các hàm vô tỷ sau:

dx
x +1 +

( x + 1)3

dx
x+3x
x +1 + 2
2

x + 1) − x + 1

xdx
x+2

dx


-6-

∫
∫(
∫
∫
∫
∫

dx

x5 x 2 − 1
dx
3

x + 1)

x2 + 2x

x2 + x + 1
2

dx

x x − x +1
x
dx
4− x

x

x2 + 1

x x4 + 1

∫
∫
∫
∫(
∫

x 2 x 2 + 4dx

dx

x 2dx
x2 − x + 1

x5dx
1 − x2
dx
2 x − 3) 4 x − x 2
x6dx
1 + x2

x 2 + k dx

Bài 10: Tính nguyên hàm:
cos 2 x
dx
∫ tan xdx ∫ tan xdx ∫ sin 6 x dx
∫ sin 2 x cos3 x
dx
dx
dx
∫ sin x cos3 x
∫ tan x ∫ sin x
∫ sin x sin 2 x sin 3xdx
dx
3sin x + 2cos x
dx
∫ 1 + sin x + cos x ∫ 3cos x + 2sin x dx
∫ sin 2 x − 5sin x cos x
1 − sin x + cos x
dx
dx
dx
2

2
∫ 1 + sin x − cos x ∫ sinh x cosh x
∫ sinh x cosh 2 x
dx
dx
sinh xdx
dx
∫ 2sinh x + 3cosh x ∫ 2 tanh x − 1
∫ cosh 2 x
∫ sin 3 x cos5 x
4

5

sin x cos3 x
dx
∫ cos2 + 1 dx ∫ sin x sin ( x + 1)
Bài 11: Tính tích phân xác định sau:


-7-

∫

5

π

2
0

∫

x dx

2

0

∫

9

π

2
0

5 3

(1 + x )

∫

4

0

15

x dx

2
5

0

(1 + x )

x
ln 5 e
dx
ex −1
dx
2cos x + 3 ∫0
ex + 3

sin x cos xdx
2cos 2 x + 3sin 2 x

∫

8 2

3

∫

2

x 1 + x dx
dx

2

0

5

( x + 1)

x +1 +

π

π

2

2

sin x sin 2 x
∫π 1 + e x dx

−

∫
π

2

3

∫

π

4
0

∫

16

1

x sin x
dx
cos3 x
arctan

cos3 x
dx
3
sin x

4

Tích Phân Suy Rộng
Bài 1: Xét sự hội tụ của tích phân sau:

1

∫
0
1

∫
0

∫

0 3

∫

1

x − x2
xdx

x + 3 x5 + x 2
dx

1 − x4
dx
x ( e x − e− x )

1 − x4
2 dx
∫1 ln x

+∝
dx
0 3

∫

−1

1

+∞

π

+∞

 1 
sin
∫0  cos x  dx

1

dx
∫0 ln x
2

dx

0

dx

1

∫

+∝

x2 + 3 x4 + 1

∫ sin xdx
0

∫
0

cos x
dx
x

∫
0 3

x 2 dx
2 5

(1 − x )

x − 1dx

-8Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau:

∫

1

−∝

+∞

et dt

∫

dx
∫−∝ x 2 + 2 x + 2
+∞
1
∫3 ( x + 1)( x − 2) dx
+∞

+∞

1

∫ ( x − 1)( x + 2)( x + 3) dx
2

+∞

(5 x − 3)
dx
2
+ 2 x − 1)

∫ ( x − 2)(3x
3

+∞

∫
2

+∞

∫
0

+∞

∫
1

+∞

∫
0

+∞

∫
1

+∞

2

( x + 1)
dx
x( x − 1)2

+∞

∫e

(x

2

+ 1)

2

1
2

0

( x)

+∞

−2 x

dx

0

+∞

∫e
0

∫
0

∫
0

+∞

∫
1

+∞

∫
0

dx

1
dx
x + 1)

∫ cosh
∫ xe

dx
+1

4x

2x
dx
4x + 1
dx
ex − 1
dx
sinh x
xdx
2x

dx

2

1

+∞

+∞

dx
2

+ ex

∫ x(ln

x+3
dx
x( x 2 + x + 1)

x 2 + 12

x

0

+∞

x2
dx
x6 + 1

1

+∞

1
dx
x2 + x + 2

∫ ( 2 x + 3)
1

0

dx
e x + e− x

dx


-9+∞

∫x

2

x −1

1

+∞

2

∫x
1

2

+∞

(

0

∫ (x

−∞

2

x2 − 1

1
1

x2 + 1 + x

+∞

dx

∫x
dx

∫

dx
x −1

2

xdx
x3 − 1

∫

1 − x2

−1

dx
(1 + x) x

∫

dx

∫ (4 − x)

2

2

+∞

1

dx

)

∫

2

(2 −

3

)

x − x3 dx
5

0

x3

dx
+ x + 1)3

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị α để tích phân suy rộng sau hội tụ:
+∞

∫

1
+∞

1

 e3/ x − 1 
ln 1 +
 dx

α



∫ (2 + x)

arctan 3 x
α

∫

∫ (x

dx

0
+∞

∫

1

dx
x 2 + 2 xα

1
+∞

∫

1
1

∫ x + 2x dx

∫

1

0

α

0

π

sin x cos xdx

( x3 − 1)α
5

dx

x − x +1

3

1

β

)

+ ln(1 + x 2 ) x5α

dx

dx
x
α
e +x

α

4

∫ ( x + sin x ) x

x

π

) dx

dx

7

1
+∞

1
+∞

∫

α

ex − 1

0
1

0
+∞

∫

(

ln 1 + x

∫ sin

dx
α

0

x

∫

+∝

0

α

eα x − 1 + x
dx
cosh x − cos x

β

xα ( 1 − x ) dx

- 10 -

Ứng Dụng Tích Phân
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
1. y = 4 x − x 2 và Ox
2. y = ln x, Oy, x = e
3. x = y 2 , y = 1, x = 8
3

5. y = x , y = 8, x = 0
2

7. y = 2 x − x , y = − x
1
x2
,
y
=
2
1 + x2
Bài 2: Tính độ dài đường cong:
1. y 2 = x3 , x = 4

9. y =

3. y = e x , x = 0...1

4. xy = 4, x = 1, x = 3, y = 0
6. x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x (tính riêng từng phần)

x2
8. y = x , y = , y = 2 x
2
2

10. y = e x , y = e − x , x = 1>0
2. y = 2 x , x = 0..1

4. y = ln x, x = 3... 8
1
1
5. y = arcsin e− x , x = 0...1
6. x = y 2 − ln y, y = 1...e
4
2
Bài 3: Tính vật thể khi cho miền phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục toạ độ
tương ứng:
x3
1. y = ( 0 ≤ x ≤ a ) , ox
2. y = sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy
3
2 y = x 2
4
3. y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy
2 x + 2 y − 3 = 0
Bài 5: Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay quanh các đường sau quanh trục tương ứng:
x3
1. y = ( 0 ≤ x ≤ a ) , ox
2. y = x sin x,0 ≤ x ≤ π , ox, oy

3

( )


- 11 -

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
CẤP 1
1.xyy ′ = y 2 + 2 x 2
y

2.xy ′ = xe
1+ x 2

3.e

x

+y

e2 x
tgydx =
dy
x −1

4.y ′ = 2 x−y
5.( x + y − 4)dy + ( x + y − 2)dx = 0
6.y ′ cos x + y = 1− sin x
7.y ′( x + y 2 ) = y

8.4 xy ′ + 3 y = −e x x 4 y 5
9.y ln3 y + y ′ x + 1 = 0
10.y ′ = e x +y + e x −y
11.( x 4 + 6 x 2 y 2 + y 4 )dx + 4 xy ( x 2 + y 2 )dy = 0
12.(2 x + y + 1)dx + ( x + 2y − 1)dy = 0,
13.y ′ +

xy

= arcsin x + x
1− x 2
14.y = xy ′ + y ′ ln y
15.ydx + ( x + x 2 y 2 )dy = 0
1
16.y ′ =
1− xy


- 12 -

17.( x 2 ln y − x )y ′ = y
18.y ′x 3 sin y + 2y = xy ′
19.y ′ =
20.

y2
2 xy + 3

y ′ 2x y
arctgx

−
=
4
y 1+ x 2
1+ x 2


- 13 -

x
1
= − ( y 2 + 2y ).x −1
2
2
dy
dx
cos y − sin y − 1
22.y ′ =
→
=
cos x − sin x + 1 cos y − sin y − 1 cos x − sin x − 1
y
y
3 sin(3 )
x
x
23.3 y sin(3 y )dx + ( y − 3 xs in(3 y )dy = 0 → y ′ =
x
x
y

y
3 sin(3 ) −
x
x
y
1+
x+y
x
24.y ′ =
→ y′ =
y
x−y
1−
x
21.( y 2 + 2y + x 2 )y ′ + 2 x = 0 → x ′ +

25.2 xdx = ( x 2 + y 2 − 2y )dy → 2( xdx + ydy ) = ( x 2 + y 2 )dy
→ 2d ( x 2 + y 2 ) = ( x 2 + y 2 )dy , dat : u = x 2 + y 2
y
y2
26.y ′ −
=
x −1 x −1
27.y ′ + y = e
28.y ′ −

x

2

y ( pt − Bernoulli , α = 1
2

y
= x ln x
x ln x

29.(e x sin y + x )dx + (e x cos y + y )dy = 0

30.2( x + y )y ′ = ( x + y )2 + 1, dat : u = x + y
31.y ′ − y = 3e x y 2 ( pt − Bernoulli , α = 2)
2

2 3

32.(1 + 2 x )y ′ + 2 xy = (1+ 2 x ) → y ′ + y

2x
1+ 2 x

2

=

(1+ 2 x 2 )3
1+ 2x 2


- 14 -

33.xy ′ = y cosln

y
y
y
→ y ′ = cosln
x
x
x

34.(2 x 2 y ln y − x )y ′ = y ( pt − Bernoulli − x = x ( y ))
35.y cos xdx + sin xdy = cos 2 xdx (PTVPTP )
2y
36.e y dx + ( xe y − 2y )dy = 0 → x ′ + x =
ey
1
arcsin x
=
37.y ′ 1 + x 2 + y = acr sin x → y ′ + y
1+ x 2
1+ x2
38.y ′ − 2ytgx + y 2 sin2 x = 0( pt − Bernoulli )
y
y
39.x 2 y ′ − y 2 − xy = x 2 → y ′ = 1 + + ( )2
x
x


- 15 -

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
1.y ′′ − 5 y ′ + 6 y = x cos x, y r = ax + b )cos x + (cx + d )sin x
2.y ′′ − 5 y ′ + 4 y = ( x 2 + 1)sin x, y r = (ax 2 + bx + c )cos x + (dx 2 + ex + f )sin x
3.y ′′ − 5 y ′ + 6 y = xe 2 x , y r = xe 2 x (ax + b )
4.y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 2e2 x , y r = x 2e2 x .a
5.y ′′ + 4 y = cos 2 x + x sin2 x, y r = (ax + b )cos 2 x + (cx + d ) sin 2x
6.y ′′ − 6 y ′ + 9 y = xe3 x + cos 2 x,
y r 1 = (ax + b )e3 x , y r 2 = a cos 2 x + b sin 2 x
7.y ′′ + y = tgx,giai bang pp bien thien hang so
8.y ′′ + 9 y = 2sin x sin 2 x(= cosx - cos3x),
y r 1 = a cos x + b sin x, y r 2 = x (a cos3 x + b sin3 x )
9.y ′′ + 5 y ′ + 6 y =

1
1+ e

2x

,giai bang pp bien thien hang so

10.x 2 y ′′ + xy ′ + y = sin(2ln x ), pt − Euler
11.x 2 y ′′ + 3 xy ′ + y = 1 , pt − Euler
x
x3
2 ′′
′
12.x y − 3 xy + 4 y =
, pt − Euler
2

13.(4 x − 1)2 y ′′ − 2(4 x − 1)y ′ + 8 y = 0, dat : 4 x − 1 = et
14.x 2 y ′′ − xy ′ + y = cosln x, pt − Euler


- 16 -

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU BẰNG
PHƯƠNG PHÁP KHỬ
 dx
 = 2 x + y
 dt
1.
, x ′′ − 4 x ′ + 3 x = 0
 dy
 = x + 2y
 dt
 dx
 = 4 x + 6 y
 dt
2.
, x ′′ − 22 x ′ + 20 x = 6t
 dy
 = 2 x + 3 y + t
 dt
 dx
 = x + et
 dt
3.
,

 dy
 = y + t
 dt
 dx
x
 = −2 + 1
t
 dt
4.
, t 2 x ′′ + 2tx ′ − 2 x = 0,
 dy
2x
−1
 = x + y +
t
 dt
 dx dy
 +
= 2 x + 6 y − cos t
dt
dt
5.
, x ′′ − 4 x ′ = 2cos t + 7 sin t
 dy
 = x + 3 y + sin t
 dt


- 17 -

 dx
 = 12 x − 5 y
dt
6.
,
 dy
 = 5 x + 12y
 dt
 dx
 = −5 x − y + et
 dt
7.
 dy
2t
 = x + 3 y + e
 dt
 dx
t
+ y = 0  ′′
tx + x ′ + y ′ = 0(1)
dt

8.
⇔ 
, thay − y ′ − tu − pt (1) − vao − pt (2)
 dy
t .y ′ + x = 0(2)
+x=0
t
 dt

ta − duoc − pt − Euler : t 2 x ′′ + tx ′ − x = 0
 dx
 = −x + cos t
 dt
9.
 dy
 = −x + sin t
 dt
 dx
 = 3 x + 4 y − 12t
dt
10.
 dy
= x + 6y + t
 dt