SKNN KINH NGHIỆM GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH MỘT SỐ BÀI TOÁN LỚP 7

SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN KRÔNG ANA
TRƯỜNG THCS BUÔN TRẤP
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:

KINH NGHIỆM
GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH MỘT SỐ
BÀI TOÁN LỚP 7

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Kim Thoa
Đơn vị công tác: Trường THCS Buôn Trấp
Trình độ đào tạo: Đại học Sư phạm Toán
Môn đào tạo: Sư phạm Toán

Krông Ana, tháng 03 năm 2016
MỤC LỤC
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

1


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

Trang
Đề mục
I.

PHẦN

1.

Lý

Trang

MỞ
do

ĐẦU:

chọn

đề

03
2.

Mục

tiêu,

nhiệm

vụ

của

đề

04
3.

Đối

tượng

nghiên

04
4.

Giới

hạn

phạm

vi

nghiên

04
5.

Phương

pháp

nghiên

04
II. PHẦN NỘI DUNG
1.
Cơ

sở

lý

05
2.Thực

03
04
tài. 04
04
04
tài 04
05
cứu 06
06
07
cứu 07
07
08
cứu

09
09
09
luận 23
23
24
trạng

06
2.1 Thuận lợi- khó khăn
2.2 Thành công- hạn chế
2.3 Mặt mạnh- mặt yếu
2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động…
2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trang mà đề tài đã đặt
ra.
3. Giải pháp, biện pháp:
3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
3.3 Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp
3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
3.5 Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

25
26
26

27
29

2


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của
vấn đề nghiên cứu
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Viết ngắn gọn, khái quát, không cần số liệu
- Nêu khái quát các nội dung nghiên cứu
- Kết quả của nội dung nghiên cứu đó
2. Kiến nghị: Viết ngắn gọn và xuất phát từ nội dung nghiên cứu
đề tài.
Tài liệu tham khảo

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình dạy học Toán ở THCS, điều quan trọng nhất là hình thành
cho học sinh một hệ thống khái niệm Toán học quan trọng; làm cho học sinh nắm
vững bản chất kiến thức một cách sâu và rộng. Đó chính là cơ sở, là tiền đề quan
trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải một số
bài toán theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên qua nhiều năm dạy học và dự giờ
môn Toán lớp 7, tôi nhận thấy đa số học sinh chưa nắm vững bản chất kiến thức,
chưa có khả năng vận dụng tốt kiến thức để giải bài tập theo nhiều cách khác nhau
cũng như vào thực tế. Do nắm kiến thức chưa sâu, hiểu vấn đề một cách mơ hồ,
chưa nắm được nhiều phương pháp giải các dạng toán nên học sinh thường gặp khó
khăn khi giáo viên yêu cầu học sinh giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau.
Nguyên nhân chủ yếu là do:
Học sinh thường cảm thấy khó khăn, rất ngại hoặc không thích học lý thuyết,

nếu có học thì cũng chỉ học vẹt để đối phó với việc kiểm tra bài cũ dẫn đến ghi nhớ
máy móc, không nắm vững bản chất kiến thức hoặc nắm kiến thức cơ bản chưa
sâu, chưa biết kết nối giữa kiến thức này với kiến thức kia để giải một bài tập. Mặt
khác do ý thức học tập của học sinh chưa cao, chưa thật sự tập trung chú ý để hiểu
và ghi nhớ các công thức, quy tắc, định lý, tính chất và các hệ quả nên khi làm một
bài Toán không nhớ kiến thức nào để vận dụng. Nhiều học sinh học toán tốt nhưng
khi tìm được lời giải cho bài toán này rồi thì làm tiếp qua bài khác ngay chứ không
suy nghĩ tìm tòi xem bài toán đó còn cách giải nào khác nữa không.
Phương pháp giảng dạy của một số giáo viên chưa phù hợp, còn khó hiểu,
nhàm chán. Các tiết học chưa sinh động, chưa gây được niềm say mê, hứng thú học
Toán của học sinh. Khi giảng dạy một số giáo viên còn ít tổng hợp kiến thức cho
học sinh. Hơn nữa trong một tiết học ngắn ngủi, giáo viên thường dạy lướt nhanh
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

3


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

phần lý thuyết mà không lật đi lật lại vấn đề để khắc sâu kiến thức cho học sinh.
Mặt khác, một số giáo viên ít tìm tòi, nghiên cứu các cách giải nkhác nhau cho một
bài toán nên khi đưa ra một bài toán, sau khi học sinh giải đúng thì qua bài khác
chứ không đưa ra được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán đó để mở rộng và
nâng cao kiến thức cho học sinh, chưa kích thích được trí tò mò và chưa phát huy
được sự thông minh sáng tạo của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy Toán lớp 7, tôi nhận thấy khi giáo viên đưa ra các
một bài toán có thể giải bằng nhiều cách rồi yêu cầu học sinh tìm ra các cách giải
khác nhau, học sinh sẽ rất hứng thú và tích cực suy nghĩ, tìm tòi phương pháp giải
khác cho bài toán, tạo ra được các tình huống bất ngờ thú vị làm tiết học trở nên
nhẹ nhàng, sôi nổi, thú vị và bớt căng thẳng hơn, làm cho học sinh cảm thấy hứng

thú hơn với việc học Toán, đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc
sáng tạo cho học sinh.
Để giúp học sinh nắm vững kiến thức một cách sâu và rộng trong quá trình
giải bài tập Toán, nắm được nhiều phương pháp giải Toán khác nhau, giáo viên có
thể linh động đưa ra các dạng toán và phương pháp giải dạng toán đó, sau đó vận
dụng kiến thức đã học hoặc mở rộng thêm kiến thức khác để giúp học sinh giải
dạng toán đó bằng nhiều cách khác nhau.
Việc giải một bài toán bằng nhiều cách khi dạy học Toán không chỉ có hiệu
quả cao trong tất cả các cấp học mà còn vận dụng được trong nhiều môn học khác
nhau. Để học sinh THCS nói chung và học sinh lớp 7 nói riêng có thể hiểu sâu và
nắm vững kiến thức từ đó áp dụng vào giải bài tập Toán, nắm được nhiều phương
pháp giải Toán khác nhau, giúp cho học sinh cảm thấy việc học nhẹ nhàng và có
hiệu quả hơn, có hứng thú với việc học toán hơn, nâng cao năng lực, phát triển trí
tuệ và óc sáng tạo cho học sinh,đồng thời cũng là để rèn luyện, nâng cao trình độ
chuyên môn nghiệp vụ của bản thân nên tôi mạnh dạn trao đổi kinh nghiệm: “Kinh
nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7”.
Rất mong được sự góp ý và trao đổi chân thành của quý thầy cô để kinh
nghiệm nhỏ này hoàn thiện hơn và mang lại hiệu quả cao hơn trong dạy học Toán ở
trường THCS.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:
Nghiên cứu về các phương pháp giải một bài toán bằng nhiều cách khi dạy
học Toán lớp 7 nhằm giúp học sinh khắc sâu và nắm vững kiến thức tổng hợp,
phong phú để vận dụng vào việc giải bài tập Toán theo nhiều các khác nhau. Tạo
niềm say mê, hứng thú học Toán của học sinh, môn học mà nhiều học sinh sợ và
không thích học đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sáng tạo cho
học sinh
Đưa ra các phương pháp để giáo viên và học sinh có thể áp dụng trong việc
giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và
hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của giáo viên
cũng như của học sinh trong quá trình dạy - học môn Toán 7.

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

4


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, làm tài liệu tham khảo cho
đồng nghiệp. Giúp đồng nghiệp thấy được sự quan trọng của việc giải một bài toán
bằng nhiều cách khi dạy học Toán 7.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Một số phương pháp giải khác nhau đối với một số dạng toán 7
4. Phạm vi nghiên cứu:
Nghiên cứu về một số phương pháp giải khác nhau đối với một số dạng toán
7 ở trường THCS Buôn Trấp từ năm 2011 đến năm 2016.
5. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, tham khảo ý kiến của đồng nghiệp.
- Phương pháp điều tra, khảo sát, nghiên cứu các sản phẩm hoạt động.
- Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
Trong các môn học, Toán học là môn có nhiều khả năng nhất trong việc rèn
luyện phương pháp suy luận khoa học, muốn đạt hiệu quả cao trong việc dạy và
học Toán thì phải có phương pháp dạy và học tốt. Không có phương pháp tốt,
không có hiệu quả cao. Biết cách dạy Toán và biết cách học Toán, hiệu quả dạy và
học sẽ tăng gấp nhiều lần. Bên cạnh việc giảng dạy của giáo viên thì khi giải các
dạng Toán đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản; biết vận dụng linh
hoạt, sáng tạo các kiến thức từ đơn giản đến phức tạp để có thể giải một bài toán
theo nhiều cách khác nhau.

Làm cho học sinh nắm được nhiều phương giải khác nhau đối với một bài
toán là vô cùng quan trọng. Vì vậy trong mỗi tiết dạy bài mới, luyện tập, ôn tập, ôn
thi học sinh giỏi giáo viên cần linh động đưa ra các dạng toán với các phương pháp
giải khác nhau một cách sáng tạo, hiệu quả, phù hợp với đối tượng và tâm sinh lý
của học sinh. Sau khi học xong các em sẽ tự hệ thống hóa được các kiến thức và
các phương pháp giải cần nhớ để áp dụng vào bài tập và vào thực tế, việc học vì thế
cũng sẽ nhẹ nhàng và có hiệu quả hơn. các em sẽ giải được bài Toán nhẹ nhàng và
nhanh chóng, không còn thụ động trông chờ vào người khác.
Việc đưa ra các dạng toán với các phương pháp giải khác nhau một cách hợp
lý trong phần luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi sẽ có tác dụng rất lớn trong việc
phát triển tư duy đồng thời gây hứng thú học tập cho HS. Phát triển trí tuệ cho HS
lớp 7 qua bộ môn Toán là một vấn đề rất quan trọng, cần được thấu triệt trong mọi
khâu của việc giảng dạy Toán: cách đặt vấn đề, nội dung các câu hỏi gợi mở của
GV khi giảng bài, cách GV kiểm tra và nội dung các câu hỏi, bài tập kiểm tra, cách
yêu cầu HS phân tích đề bài , phê phán các câu trả lời, các bài làm có tác dụng rất
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

5


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

lớn đến việc giáo dục tư duy độc lập, sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em
biết thắc mắc, biết trình bày lập luận vấn đề một cách chặt chẽ, logic, phát huy khả
năng tìm tòi , nghiên cứu kiến thức mới... Chính vì thế trong quá trình dạy học
Toán, giáo viên cần:
- Đặt mình vào vị trí của học sinh vì điều quen thuộc với giáo viên có thể là
điều rất mới đối với học sinh. Sử dụng các phương pháp dạy học phù hợp với đối
tượng học sinh.
- Tạo ra các tình huống có vấn đề làm xuất hiện ở học sinh nhu cầu nghiên

cứu kiến thức mới, tìm ra các cách giải mới cho một số bài toán.
- Không dạy theo cách truyền đạt kiến thức một chiều, chọn hệ thống câu
hỏi, bài tập hợp lý để lôi cuốn học sinh tham gia vào bài học.
- Không bỏ qua mà hãy khai thác ngay câu trả lời của học sinh để sửa sai
giúp học sinh khắc sâu kiến thức đồng thời khuyến khích các câu trả lời tốt, các
phương pháp giải hay, ngắn gọn.
- Vừa giảng vừa luyện, vận dụng kiến thức là cách tốt nhất để nắm vững kiến
thức.
- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao, tìm tòi
các phương pháp giải hay cho các bài toán trong quá trình giảng dạy. Không ngừng
học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân.
Đây là những vấn đề không mới, xong trong quá trình giảng dạy, nhiều giáo
viên chưa thực sự chú tâm và chưa khai thác triệt để do đó hiệu quả tiết dạy chưa
cao. Trong quá trình giảng dạy Toán, tôi nhận thấy việc đưa ra một số dạng toán có
thể giải theo nhiều cách khác nhau làm cho tiết học có những tình huống bất ngờ,
sinh động và vui vẻ hơn, tạo được hứng thú học tập cho học sinh, nhờ đó hiệu quả
của tiết dạy cũng tăng lên, khắc sâu được kiến thức cho học sinh, giúp học sinh tiếp
thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng hơn, nhớ được lâu hơn để từ đó áp dụng
được vào bài tập tương tự dễ dàng, biết chọn lựa phương pháp giải hay, hợp lý,
ngắn gọn khi giải một bài toán, phát triển tư duy và khả năng sáng tạo của học sinh.
Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứ và tìm tòi khám phá kiến thức mới cho
học sinh.
“Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7” sẽ giúp giáo
viên trau dồi được kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy, giúp học
sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải Toán,
đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học Toán cho học sinh
lớp 7.
Trong việc học Toán, quá trình giải toán và tìm thêm những lời giải khác của
một bài toán nhiều khi đi đến những điều bất ngờ, thú vị. G. Polya (1887 - 1985) –
nhà Toán học và là nhà sư phạm Mỹ gốc Hungary đã khuyên rằng: “Ngay khi lời

giải mà ta đã tìm được là đã tốt rồi thì tìm được một lời giải khác vẫn có lợi. Thật
là sung sướng khi thấy rằng kết quả tìm ra được xác nhận nhờ hai lý luận khác
nhau. Có được một chứng cớ rồi, chúng ta còn muốn tìm thêm một chứng cớ nữa
cũng như chúng ta muốn sờ vào một vật mà ta đã trông thấy”. Chính vì lẽ đó, tôi
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

6


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

muốn trao đổi cùng quý Thầy cô và các em học sinh “Kinh nghiệm giải bằng
nhiều cách một số bài toán lớp 7” với mong muốn giúp các em học sinh lớp 7
yêu thích môn Toán hơn qua những bài toán với nhiều cách giải khác nhau.
2.Thực trạng:
2.1.Thuận lợi – Khó khăn:
*Thuận lợi:
Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã được Nhà trường, các Thầy cô, bạn
bè đồng nghiệp của ba trường THCS Buôn Trấp giúp đỡ tận tình và tạo điều kiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu, được dự giờ một số giáo viên có nhiều kinh nghiệm
trong giảng dạy, được tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh khác nhau, trong đó có
một số HS khá giỏi đã biết giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau.
*Khó khăn:
Chưa có nhiều tài liệu viết về phương pháp giải bài toán bằng nhiều cách
trong dạy học Toán 7. Việc đưa ra bài toán với nhiều cách giải khác nhau của một
số giáo viên trong các tiết dự giờ chưa nhiều nên hầu như nghiên cứu được thực
hiện dựa trên kinh nghiệm và tìm tòi nghiên cứu tài liệu của bản thân trong quá
trình dạy học Toán 7. Ít được dự giờ để học hỏi kinh nghiệm của những giáo viên
có trình độ chuyên môn cao. Số học sinh giỏi và đam mê Toán học không nhiều.
2.2.Thành công - hạn chế:

*Thành công:
Giải bài toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy học môn Toán 7 không
những giúp cho học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu kiến thức sâu và rộng hơn,
nắm được nhiều phương pháp giải toán hơn mà còn tạo ra các tình huống bất ngờ,
thú vị làm cho tiết học nhẹ nhàng và vui vẻ hơn, thu hút được sự chú ý vào bài
giảng và tạo hứng thú học tập cho HS. HS biết chọn lựa cách giải hay, ngắn gọn,
hợp lý cho một bài toán.
*Hạn chế:
Đưa ra quá nhiều phương pháp giải một bài toán một cách không hợp lý sẽ
gây tâm lý hoang mang cho học sinh, học sinh khá giỏi ít hoặc ngại phát biểu xây
dựng bài vì sợ mình trả lời sai. HS yếu kém thì học thụ động, không biết phải làm
như thế nào, chỉ biết trông chờ vào câu trả lời của người khác.
2.3.Mặt mạnh, mặt yếu:
*Mặt mạnh:
Giải bài toán bằng nhiều cách không chỉ áp dụng đối với môn Hình học, Đại
số, Số học mà ngay cả các môn học khác cũng rất có hiệu quả. Giải bài toán bằng
nhiều cách không chỉ tạo được hứng thú học tập cho học sinh mà còn rèn khả năng
sử dụng ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng tư duy của học sinh.
*Mặt yếu:
Để giải được một bài toán bằng nhiều cách thì đòi hỏi cả giáo viên và học
sinh đều phải nắm vững kiến thức Toán học một cách sâu và rộng, nắm được
phương pháp giải của nhiều dạng toán khác nhau. Hơn nữa không phải lúc nào việc
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

7


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

giải một bài toán bằng nhiều cách cũng có hiệu quả, nếu không áp dụng hợp lý thì

càng làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách mơ hồ và không biết nên vận
dụng kiến thức nào, cách giải nào để giải bài tập cho phù hợp. Mặt khác không phải
bài toán nào cũng có nhiều cách giải khác nhau để có thể vận dụng.
2.4.Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:
*Nguyên nhân của thành công:
Để có thể khai thác và mở rộng kiến thức theo nhiều khía cạnh khác nhau, từ
đó đưa ra các bài toán và phương pháp giải một cách hợp lý, có hiệu quả, kích thích
được sự phát triển tư duy của học sinh và giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn thì
GV phải thường xuyên tìm tòi, nghiên cứu, bổ sung kiến thức mới, tìm tòi và đổi
mới phương pháp dạy học, nhờ đó mà năng lực chuyên môn nghiệp vụ cũng được
nâng lên rõ rệt.
HS thường có hứng thú học hơn khi gặp các tình huống bất ngờ hoặc có vấn
đề và thường khắc sâu được kiến thức hơn, nhớ được lâu hơn khi tự tìm tòi kiến
thức mới, phương pháp giải mới cho một bài toán, mà giải một bài toán bằng nhiều
cách lại rất có hiệu quả trong việc tạo bất ngờ và gây hứng thú học tập cho học
sinh, giúp học sinh khắc phục được những sai lầm thường gặp do không nắm vững
kiến thức trong quá trình giải toán.
*Nguyên nhân của hạn chế, yếu kém:
Một số giáo viên chưa thường xuyên và chưa có nhiều kinh nghiệm giải một
bài toán bằng nhiều cách trong giảng dạy bộ môn Toán 7, không biết trong trường
hợp nào thì đưa ra các cách giải khác của một bài toán cho hợp lý nên hiệu quả
chưa cao. Nguyên nhân chính là do giáo viên chưa thực sự đam mê nghiên cứu, tìm
tòi, đào sâu và mở rộng kiến thức, chưa nắm được nhiều phương pháp giải toán. Do
tâm lý học sinh trung bình, yếu sợ học môn Toán nên giáo viên khi dạy giáo viên
thường chỉ dạy qua kiến thức và bài tập trong sách giáo khoa ở mức độ áp dụng
kiến thức cơ bản trong bài mà không cần phải mở rộng, khai thác kiến thức theo
nhiều khía cạnh khác nhau, không đưa ra nhiều cách giải khác cho các bài tập.
Toánhọc là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trung
bình, yếu, kém. Khả năng tư duy, phân tích tổng hợp của học sinh còn hạn chế,
nhiều học sinh chưa có khả năng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm bài tập do

không nắm vững kiến thức, nên việc giải được bài toán theo nhiều cách khác không
phải là điều dễ dàng. Chính vì thế việc giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau
thường chỉ áp dụng với đối tượng học sinh khá giỏi bộ môn Toán.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:
Trong quá trình dạy học Toán tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh bị hổng kiến
thức, nhiều em chưa nắm vững được các kiến thức cơ bản cần thiết. Chính vì thế
các em cảm thấy thực sự khó khăn khi học Toán, tâm lý e ngại, dẫn đến tư tưởng
lười học, lười suy nghĩ, thiếu tự tin, sợ học môn Toán. Việc giải bài toán theo nhiều
cách không chỉ khó khăn với học sinh trung bình, yếu, kém mà ngay cả học sinh
khá giỏi cũng cảm thấy ngại và lười suy nghĩ, tìm tòi để tìm ra cách giải khác. Khi
đọc đề bài toán, học sinh chưa phân tích được các yếu tố bài toán đã cho, không
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

8


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

biết vẽ hình hoặc vẽ hình không chính xác, chưa biết sử dụng kiến thức nào,
phương pháp nào để giải dẫn đến không làm được bài tập. Một số học sinh định
hướng được cách giải khác nhưng lại không biết cách trình bày bài như thế nào cho
chặt chẽ, logic. Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, nắm vững được
các dạng toán và phương pháp giải của dạng toán đó để vận dụng vào làm bài tập
và giải quyết các vấn đề thực tế cuộc sống, tạo niềm say mê, hứng thú học Toán
cho HS là vô cùng quan trọng. Việc đưa ra một số dạng toán có thể giải theo nhiều
cách khác nhau làm cho tiết học có những tình huống bất ngờ, sinh động và vui vẻ
hơn, tạo được hứng thú học tập cho học sinh, nhờ đó hiệu quả của tiết dạy cũng
tăng lên, khắc sâu được kiến thức cho học sinh, giúp học sinh tiếp thu kiến thức
mới một cách nhẹ nhàng hơn, nhớ được lâu hơn để từ đó áp dụng được vào bài tập
tương tự dễ dàng, biết chọn lựa phương pháp giải hay, hợp lý, ngắn gọn khi giải

một bài toán, phát triển tư duy và khả năng sáng tạo của học sinh. Bồi dưỡng năng
lực tự học, tự nghiên cứ và tìm tòi khám phá kiến thức mới cho học sinh.
Qua các vấn đề về thực trạng đã nêu ở trên có thể thấy được những thuận lợi,
thành công và mặt mạnh của việc giải bài toán bằng nhiều cách trong dạy học Toán
7, có thể thấy việc giải bài toán bằng nhiều cách trong dạy và học mang lại hiệu quả
rất lớn, ngoài ra nó còn có tác dụng giáo dục học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn
tính cẩn thận, rèn khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, chính vì thế giáo viên
thực sự nên kết hợp việc giải bài toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy học môn
Toán 7. Tuy nhiên bên cạnh những mặt tích cực thì việc giải bài toán bằng nhiều
cách ở lớp 7 cũng còn có những khó khăn, hạn chế nhất định, nhưng nếu giáo viên
thực sự có tâm và yêu nghề, ham tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi thì vẫn có thể khắc
phục được những khó khăn, hạn chế và mặt yếu của việc giải bài toán bằng nhiều
cách trong quá trình dạy học.
II.3. Giải pháp, biện pháp:
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:
- Giúp GV nhận biết được trường hợp nào nên đưa ra bài toán có nhiều cách
giải khi dạy học môn Toán lớp 7 cho phù hợp để tạo hứng thú học tập cho học sinh
và nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy.
- Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức, khắc sâu, mở rộng và nâng
cao kiến thức cho HS, từ đó có thể vận dụng vào giải bài tập từ cơ bản đến nâng
cao.
- Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi giải toán, nắm được
nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài toán, biết chọn lựa cách giải hay,
ngắn gọn, hợp lý để vận dụng vào giải bài tập, làm cho học sinh thấy được cái hay,
cái đẹp của Toán học.
- Tạo ra các tình huống có vấn đề, khơi dậy trí tò mò, óc sáng tạo, niềm say
mê, hứng thú học tập môn Toán của HS.
- Tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ nhàng, vui vẻ hơn,
tạo sự thân thiện giữa GV và HS.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

9


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

- Phát triển tư duy độc lập sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biết
thắc mắc, biết lật đi lật lại vấn đề, biết tìm tòi, suy nghĩ, rèn kỹ năng vẽ hình và khả
năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh...
3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:
a. Sử dụng bài toán có nhiều cách giải để tạo tình huống có vấn đề:
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên thường tạo ra các tình huống có vấn đề
để khơi dậy trí tò mò và tạo hứng thú học tập cho học sinh khi vào bài mới, kiến
thức mới hoặc chuyển từ mục này sang mục khác. Trước khi dạy học bài mới, ở
phần kiểm tra bài cũ giáo viên có thể đưa ra một bài toán mà học sinh vừa có thể
giải bằng cách dùng kiến thức đã học vừa có thể giải bằng cách dùng kiến thức bài
mới, sau đó giáo viên đặt vấn đề để vào bài mới.
a.1. Bài toán 1:
Khi dạy bài “Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và
hình chiếu”. Trong phần kiểm tra bài cũ giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài
toán:
“Cho tam giác ABC vuông tại B, trên cạnh BC lấy điểm D khác B và C.
So sánh AB, AD và AC”.
Học sinh vừa được học bài “Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một
tam giác” nên sẽ nghĩ ngay đến việc áp dụng kiến thức bài này để giải như sau:
A

1

B

2

D

C

*Cách 1:
∆ ABD vuông tại B nên góc B là góc lớn nhất, mà cạnh AD đối diện với góc
B nên cạnh AD là cạnh lớn nhất ⇒ AD > AB (1)
¶ là góc nhọn, mà D
¶ và D
¶ là hai góc kề bù
∆ ABC vuông tại B nên D
1
1
2
¶
⇒ D2 tù.
¶ tù nên AC > AD (2)
∆ ACD có cạnh AC đối diện với D
2
Từ (1) và (2) ⇒ AC > AD > AB.
Sau khi nhận xét, giáo viên yêu cầu học sinh giải theo cách khác. HS cũng đã
học định lý Pi-ta-go nên có thể giải bài toán trên như sau:
*Cách 2:
∆ ABD vuông tại B nên theo định lý Pi-ta-go, ta có:
AD2 = AB2 + BD2 ⇒ AB2 < AD2 ⇒ AB < AD (1)
∆ ABD và ∆ ABC vuông tại B. Theo định lý Pi-ta-go, ta có:
AD2 = AB2 + BD2 (2)

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

10


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

AC2 = AB2 + BC2 (3)
Vì D∈ BC nên BD < BC ⇒ BD2 < BC2 (4)
Từ (2), (3) và (4) ⇒ AD2 < AC2 ⇒ AD < AC (5)
Từ (1) và (2) ⇒ AC > AD > AB.
Qua cách giải 2, giáo viên đặt vấn đề: Các đoạn thẳng AB, AD, AC, BD, BC
được gọi là gì, chúng có quan hệ như thế nào với nhau? Bài toán trên còn có thể
giải theo cách nào khác không? Ta cùng tìm hiểu trong bài hôm nay. Học sinh sẽ
rất ngạc nhiên và tò mò với vấn đề mà giáo viên đặt ra, từ đó có hứng thú với việc
học bài mới.
Sau khi học xong bài “Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên,
đường xiên và hình chiếu”, giáo viên có thể yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức
của bài vừa học để giải lại bài toán trên.
*Cách 3:
Vì D∈ BC nên BD < BC
Trong hai đường xiên AD và AC, đường xiên AD có hình chiếu BD, đường
xiên AC có hình chiếu BC, mà BD < BC nên AD < AC .
Như vậy, với việc vận dụng kiến thức về “Quan hệ giữa đường vuông góc và
đường xiên, đường xiên và hình chiếu”, cách giải thứ 3 ngắn gọn hơn nhiều. Vấn
đề giáo viên đặt ra đã được giải quyết dựa vào kiến thức bài mới.
a.2. Bài toán 2:
Khi dạy bài “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”, trong phần kiểm tra bài cũ,
giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán:
x y z

“Tìm ba số x, y, z biết: = = và x + y – z =14’’
3 8 4
Học sinh đã học bài tỉ lệ thức nên có thể giải theo cách sau:
*Cách 1:
x y z
x y x z
= = ⇒ = ; =
3 8 4
3 8 3 4
Từ
8x
4x
⇒y= ; z=
(1)
3
3
Ta có: x + y – z =14 (2)
8x 4 x
−
= 14 ⇒ 3x + 8x − 4x = 42 ⇒ 7x = 42 ⇒ x = 6
3
3
8 x 8.6
4 x 4.6
= 16; z =
=
=8
Khi đó: y = =
3
3

3
3

Từ (1) và (2) ⇒ x +

Vậy x = 6; y = 16; z = 8
Trong cách giải này, học sinh phải biết cách tách thành hai tỉ lệ thức để rút y
và z theo x rồi thay vào đẳng thức (2) để đưa về đẳng thức chỉ chứa một ẩn x, từ đó
có thể tìm x rồi thay vào (1) để tìm y, z.
Học sinh cũng có thể giải bài toán trên theo cách sau :
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

11


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

*Cách 2:
Đặt

x y z
= = = k ⇒ x = 3k ; y = 8k ; z = 4k (1)
3 8 4

Ta có: x + y – z =14 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 3k + 8k - 4k = 14 ⇒ 7k = 14 ⇒ k = 2
Khi đó: x = 3k = 3.2 = 6 ; y = 8k = 8.2 = 16; z = 4k = 4.2 = 8
Vậy x = 6; y = 16; z = 8
Trong cách giải này, học sinh phải nắm được khi các tỉ số bằng nhau thì
chúng có cùng chung một giá trị, vì thế có thể đặt giá trị chung của các tỉ số là k để

rút x, y, z theo k rồi thay vào (2) để đưa về đẳng thức chỉ chứa một ẩn k, từ đó có
thể tìm k rồi thay vào (1) để tìm x, y, z.
Sau khi nhận xét cách giải của học sinh, giáo viên đặt vấn đề : Bài toán trên
còn có thể giải theo cách nào khác không? Ta cùng tìm hiểu trong bài hôm nay.
Câu hỏi này sẽ khơi dậy trí tò mò của học sinh, để trả lời được câu hỏi này học sinh
phải chú ý để nắm được kiến thức của bài mới.
Sau khi học xong bài “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”, giáo viên yêu cầu
học sinh giải lại bài toán ở phần đặt vấn đề. Khi đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy
có thể giải bài toán trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau như
sau :
*Cách 3 :
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
x y z x + y − z 14
= = =
= =2
3 8 4 3+8−4 7
x
= 2 ⇒ x = 2.3 = 6
3
y
= 2 ⇒ y = 2.8 = 16
8
z
= 2 ⇒ z = 2.4 = 8
4

Vậy x = 6; y = 16; z = 8
Với cách thứ 3, học sinh sẽ cảm thấy dễ nhớ và dễ áp dụng hơn khi giải dạng
toán trên.
a.3.Bài toán 3 :

Cho ∆ ABC, có µA = 1000 , Cµ = 300 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
· D = 100 . Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC tại E. Chứng minh rằng
CB
AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
* Cách 1:
Học sinh đã được học định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng, các
trường hợp bằng nhau của hai tam giác, tam giác cân nên có thể chứng minh AE
vuông góc với BD tại trung điểm của BD bắng cách chứng minh ∆ ABD cân tại A
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

12


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

suy ra AB =AD. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Chứng minh ∆ AIB = ∆ AID, từ
đó suy ra IB = ID và ·AIB = 900 , suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
Giải:
A

B

40 °

40 °

I

D
30 °

10 °

E

C

µ = 300 nên B
µ = 1800 − µA − C
µ = 1800 − 1000 − 300 = 500.
∆ ABC, có µA = 1000 , C
· D = 100 ⇒ ·ABD = ·ABC − CB
· D = 500 − 100 = 400
Lại có CB

Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD
· D+C
µ = 100 + 300 = 400 ⇒ ·ABD = ·ADB
nên ·ADB = CB
⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD.
Gọi I là giao điểm của AE với BD
Xét ∆ AIB và ∆ AID có:
· B = I· AD (gt), AI là cạnh chung
AB =AD (cmt), IA
⇒ ∆ AIB = ∆ AID (c.g.c)
⇒ IB = ID (1) (2 cạnh tương ứng); ·AIB = ·AID (2 góc tương ứng)
Ta lại có: ·AIB + ·AID = 1800 (kb)
⇒ ·AIB = ·AID = 1800 : 2 = 900 ⇒ AI ⊥ BD tại I (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD .
* Cách 2:

A

B

40 °

I

40 °

D
30 °

10 °

E

C

Chứng minh A và E cách đều B và D. Trong bài toán này, để chứng minh
AB = AD, EB = ED, ta chưa thể chứng minh ∆ AEB = ∆ AED vì chưa đủ yếu tố
bằng nhau, trong trường hợp này ta có thể chứng minh ∆ ABD cân tại A để suy ra
AB = AD bằng cách chứng minh ·ABD = ·ADB (tính số đo hai góc này dựa vào tính
chất tổng ba góc và tính chất góc ngoài của một tam giác rồi so sánh hai góc). Để
chứng minh EB = ED, ta chứng minh ∆ AEB = ∆ AED.
Giải:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

13

SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7
µ = 300 nên B
µ = 1800 − µA − C
µ = 1800 − 1000 − 300 = 500.
∆ ABC, có µA = 1000 , C
· D = 100 ⇒ ·ABD = ·ABC − CB
· D = 500 − 100 = 400
Lại có CB

Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD
· D+C
µ = 100 + 300 = 400 ⇒ ·ABD = ·ADB
nên ·ADB = CB
⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD.
Xét ∆ AEB và ∆ AED có:
· B=E
· AD (gt), AE là cạnh chung
AB =AD (cmt), EA
⇒ ∆ AEB = ∆ AED (c.g.c) ⇒ EB = ED (2 cạnh tương ứng)
Ta có: AB = AD nên A thuộc đường trung trực của BD (1)
EB = ED nên E thuộc đường trung trực của BD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Với cách 2 này thì giáo viên có thể sử dụng bài toán trên để tạo tình huống
có vấn đề khi dạy bài “Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng”. Sau khi
học sinh nắm được định lý đảo “Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì
nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó” thì giáo viên có thể yêu cầu học sinh
giải bài toán trên, như vậy học sinh sẽ nắm kiến thức vững hơn và biết cách vận
dụng kiến thức vừa học để giải bài toán trên theo cách khác.

*Cách 3:
Dựa vào tính chất: “Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với
cạnh đáy đồng thời đường trung trực của tam giác”. Tức là cần chứng minh ∆
ABD cân tại A. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Ta chứng minh AI là đường
trung tuyến ứng với cạnh đáy BD, từ đó suy ra AI hay AE là đường trung trực của
đoạn thẳng BD.
Giải:
A

B

40 °

I

40 °

D
30 °

10 °

E

C

µ = 300 nên B
µ = 1800 − µA − C
µ = 1800 − 1000 − 300 = 500.
∆ ABC, có µA = 1000 , C

· D = 100 ⇒ ·ABD = ·ABC − CB
· D = 500 − 100 = 400
Lại có CB

Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD
· D+C
µ = 100 + 300 = 400 ⇒ ·ABD = ·ADB
nên ·ADB = CB
⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD.
Gọi I là giao điểm của AE với BD
Xét ∆ AIB và ∆ AID có:
· B = I· AD (gt), AI là cạnh chung
AB =AD (cmt), IA

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

14


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7
⇒ ∆ AIB = ∆ AID (c.g.c) ⇒ IB = ID (2 cạnh tương ứng)
∆ ABD cân tại A, có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI là

đường trung trực của đoạn thẳng BD. Suy ra AE là đường trung trực của đoạn
thẳng BD.
Với cách 3 này thì giáo viên có thể sử dụng bài toán trên để tạo tình huống
có vấn đề khi dạy về “Tính chất của tam giác cân” trong bài “Tính chất ba đường
cao của tam giác”. Sau khi học sinh nắm được tính chất của tam giác cân thì giáo
viên có thể yêu cầu học sinh giải bài toán trên, như vậy học sinh sẽ nắm kiến thức
vững hơn và biết cách vận dụng kiến thức vừa học để giải bài toán trên theo cách

khác nữa.
b. Sử dụng bài toán có nhiều cách giải để mở rộng, nâng cao kiến thức
cho học sinh:
Trong quá trình giảng dạy, và bồi dưỡng học sinh giỏi, việc mở rộng và nâng
cao kiến thức đã học nhằm phát triển tư duy, phát huy tính độc lập, sáng tạo và bồi
dưỡng năng lực tự học cho học sinh là vô cùng quan trọng. Chính vì thế giáo viên
cần phải tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải hay cho một bài toán.
Hệ thống kiến thức và bài tập đưa ra phải đa dạng, phong phú, có sức hấp dẫn, lôi
cuốn, kích thích được trí tò mò và mong muốn khám phá của học sinh. Trong các
tiết luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên khéo léo chọn lựa, cho học
sinh làm một số bài toán có thể giải bằng nhiều cách. Trong đó học sinh có thể
dùng kiến thức và phương pháp giải đã học để giải bài toán. Sau khi giải xong, giáo
viên yêu cầu học sinh giải bài toán đó theo cách khác. Điều đó sẽ tạo yếu tố bất
ngờ, thú vị, kích thích trí tò mò và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh. Học
sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú và say mê học Toán khi phát hiện ra các cách giải
mới cho một bài toán mà mình chưa biết.
b.1.Bài toán 1:
Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 11 với
P(x) = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 + ... + 12x – 1
*Cách 1:
P(11) = 1117 – 12.1116 + 12.1115 – 12.1114 + ... + 12.11 – 1
= 1117 – (11+1).1116 + (11+1).1115 – (11+1).1114 + ... + (11+1).11 – 1
= 1117 – 1117 – 1116 + 1116 + 1115 – 1115 – 1114 + ... + 112 + 11 – 1
= 11 – 1 = 10
Vậy P(11) = 10
Khi gặp dạng toán tính giá trị đa thức một biến đã thu gọn, thông thường học
sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào đa thức rồi thực hiện phép tính. Tuy nhiên
trong cách giải này, hầu hết học sinh chỉ dừng lại ở bước thay giá trị rồi không biết
phải thực hiện phép tính như thế nào, vì thế giáo viên thường phải gợi ý tách hết
các số 12 thành tổng 11 + 1 rồi tiếp tục sử dụng tính chất phân phối của phép nhân

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

15


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

đối với phép cộng để thực hiện phép tính, học sinh sẽ thấy ngay được kết quả sau
khi rút gọn các hạng tử đối nhau.
*Cách 2:
Thay 12 bằng x + 1, ta có:
P(x) = x17 – (x + 1)x16 + (x + 1)x15 – (x + 1)x14 + ... + (x + 1)x – 1
= x17 – x17 – x16 + x16 + x15 – x15 – x14 + ... + x2 + x – 1 = x – 1
Khi đó : P(11) = 11 – 1 = 10
Trong cách giải này, ta có thể thay hết các số 12 thành tổng x + 1 rồi tiếp tục
sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, sau đó thu gọn đa
thức trước khi tính giá trị. Mấu chốt của cách giải này là ở chỗ học sinh phải phát
hiện được x.xn-1 = xn và xn - xn = 0.
*Cách 3 :
Ta có: x = 11 nên x – 11 = 0
Do đó :
P(x) = x17 – 11x16 – x16 + 11x15 + x15 – 11 x14 – x14 + ... + 11x + x – 1
= (x – 11)x16 – (x – 11)x15 + (x –11)x14 – ... – (x –11)x + x – 1 = x – 1
Khi đó : P(11) = 11 – 1 = 10
Trong cách giải này, ta có thể tận dụng ngay giá trị x = 11 nên x – 11 = 0
để thu gọn đa thức bằng cách tách các hạng tử rồi đặt thừa số chung để làm xuất
hiện các thừa số x – 11.
b.2.Bài toán 2:
Tính A = (-1).(-1)2.(-1)3 ... (-1)2015.(-1)2016

*Cách 1:
A = (-1).(-1)2.(-1)3 ... (-1)2015.(-1)2016
= (-1)1+2+3+...+2015+2016 = (-1)2017.2016:2 = (-1)2017.1008 = 1
Trong cách giải trên ta có thể sử dụng công thức tính tích các lũy thừa cùng
cơ số -1 sau đó áp dụng công thứ tính tổng dãy số cách đều để tính số mũ của thừa
số -1.
*Cách 2:
A = (-1).(-1)2.(-1)3 ... (-1)2015.(-1)2016
= (-1).1.(-1).1.(-1) ... (-1).1
(có 2016 thừa số trong đó có 1008 thừa số -1)
=1
Trong cách giải này ta có thể tính lũy thừa của từng thừa số sau đó tính xem
trong tích có bao nhiêu thừa số -1 để suy ra kết quả.
Để giải được bài toán theo hai cách trên thì học sinh phải nắm được công
thức (-1)2n = 1 và (-1)2n+1 = -1 với n ∈ N *
b.3.Bài toán 3:
µ =C
µ ”
“Cho tam giác ABC có AB = AC. Chứng minh : B
Học sinh đã được học bài trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh –
góc – cạnh nên có thể sử dụng để giải bài toán trên
theo một
A
trong các cách sau:
16

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
B

C

SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

*Cách 1:
Xét ∆ ABC và ∆ ACB có:
AB = AC (gt); µA chung, AC = AB (gt)
⇒ ∆ ABC = ∆ ACB (c – g – c)
µ =C
µ (2 góc tương ứng)
⇒B
Cách giải này ít học sinh nghĩ đến vì để chứng minh hai góc bằng nhau
thường phải dựa vào số đo góc hoặc dựa vào chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Trong bài này giáo viên cũng chứng minh hai tam giác bằng nhau nhưng thực chất
vẫn là một tang giác nhưng thay vị trí các đỉnh tương ứng. Học sinh sẽ thấy rất bất
ngờ và thú vị khi giáo viên đưa ra cách giải này.
*Cách 2:
Kẻ AH là tia phân giác của µA , H ∈ BC
Xét ∆ ABH và ∆ ACH có:
¶ (theo cách vẽ)
AB = AC (gt); AH chung, µA1 = A
2
⇒ ∆ ABH = ∆ ACH (c – g – c)
µ =C
µ (2 góc tương ứng)
⇒B

A
1 2

B

C

H

Để chứng minh Bµ = Cµ trong trường hợp này thì học sinh phải vẽ thêm yếu tố
phụ là vẽ thêm tia phân giác của góc A để tạo ra hai tam giác bằng nhau rồi chứng
minh hai tam giác bằng nhau dựa vào trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh.
Đây là một cách vẽ yếu tố phụ đơn giản mà học sinh có thể thực hiện được.
Học sinh cũng có thể vẽ yếu tố phụ để giải bài toán trên theo hai cách sau:
* Cách 3:
Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao
cho BD = CE.
A
Ta có: AB = AC (gt) ; BD = CE (cách vẽ)
⇒ AB + BD = AC + CE ⇒ AD = AE
Xét ∆ ADC và ∆ AEB có:
AB = AC (gt); µA chung, AD = AE (cmt)
1 C
B 1
⇒ ∆ ADC và ∆ AEB (c – g – c)
µ =E
µ ; ·ACD = ·ABE ; DC = EB
⇒D
Xét ∆ BDC và ∆ CEB có:
µ =E
µ (cmt), DC = EB (cmt)
BD = CE (cmt); D

D

E

⇒ ∆ BDC = ∆ CEB (c – g – c)
·
·
(2 góc tương ứng)
⇒ DBC
= ECB
·
µ
·
µ = 1800 (kb) ⇒ B
µ =C
µ
+C
Mà: DBC + B1 = 1800 (kb); ECB
1
1
1

*Cách 4:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

17


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia AC lấy điểm N sao
cho: AM = AN.
Xét ∆ ABN và ∆ ACM có:
M
N
AM = AN (cách vẽ); µA1 = ¶A2 (đđ), AB = AC (gt)
1
1
⇒ ∆ ABN = ∆ ACM (c – g – c)
¶ =M
¶ ;NB = MC
⇒N
1
1

Xét ∆ MBC và ∆ NCB có:
¶ =M
¶ (cmt);
N
1
1
NB = MC (cmt);
MB = NC ( vì AB = AC, AM = AN)
⇒ ∆ MBC = ∆ NCB (c – g – c)

2

1

A

1

1

C

B

µ =C
µ (2 góc tương ứng)
⇒B
1
1

Cũng vẽ thêm yếu tố phụ để tạo ra hai tam giác bằng nhau, nhưng trong cách
3 và cách 4 mức độ khó và phức tạp cao hơn cách 2 rất nhiều, trong trường hợp này
không thể chứng minh ngay hai tam giác chứa góc B và góc C bằng nhau mà phải
chứng minh thêm cặp tam giác khác bằng nhau trước, từ đó sử dụng một số yêu tố
bằng nhau trong hai tam giác này để chứng minh hai tam giác chứa góc B và góc C
bằng nhau.
Qua bài toán này, giáo viên giúp học sinh thấy được đối với nhiều bài toán
hình học, nếu chỉ sử dụng giả thiết đề bài cho nhiều khi chưa giải được bài toán,
nhưng nếu biết cách vẽ thêm yếu tố phụ hợp lý, sáng tạo thì việc giải bài toán sẽ trở
nên dễ dàng và thuận lợi hơn chẳng hạn như cách 2 trong bài toán này. Học sinh sẽ
biết thêm một phương pháp giải toán hình học mới. Tuy nhiên việc vẽ thêm yếu tố
phụ như thế nào để có lợi cho việc giải bài toán hình học lại là điều khó khăn và rất
phức tạp đối với cả giáo viên và học sinh. Thực tế cho thấy không có phương pháp
chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, nó đòi hỏi sự thông minh sáng tạo khi giải
toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt mục đích là tạo điều kiện để giải

bài toán một cách ngắn gọn và dễ dàng hơn chứ không phải tùy tiện thích vẽ thêm
là vẽ.
Giáo viên có thể sử dụng bài toán trên để đặt vấn đề khi dạy bài “Tam giác
cân”
b.4.Bài toán 4:
Cho tam giác ABC. D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
1
AC. Chứng minh rằng: DE // BC và DE = BC .
2
* Cách 1:
A
Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho EM =
ED.
M
E
Xét ∆ EAD và ∆ ECM có:
1
D
1

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp
B

2

2

18

1

C


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7
µ =E
¶ (đđ), ED = EM (theo cách vẽ)
EA = EC (gt), E
1
2
⇒ ∆ EAD = ∆ ECM (c-g-c)
µ (2 góc tương ứng)
⇒ AD = CM (2 cạnh tương ứng); µA = C
1
Ta có : µA = Cµ1 , mà µA và Cµ1 là hai góc so le trong
· DC = MC
· D (hai góc so le trong )
⇒ AD // CM ⇒ B
Xét ∆ BDC và ∆ MCD có:
· D (cmt), DC chung.
BD = MC (= AD) , B· DC = MC
⇒ ∆ BDC = ∆ MCD (c – g – c)
¶ =C
¶ (2 góc tương ứng)
⇒ BC = DM (2 cạnh tương ứng); D
1
2
¶
¶
¶

¶
Ta có : D1 = C2 , mà D1 và C2 là hai góc so le trong ⇒ DE // BC
1
1
Vì DE = DM mà DM = BC ⇒ DE = BC .
2
2
1
Vậy DE // BC và DE = BC .
2
Để giải bài toán trên ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là lấy điểm M trên tia đối
của tia ED sao cho EM = ED để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng
1
minh được DE // BC và DE = BC .
2
A
*Cách 2 :
Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx //
x
E
AB.
D
N
Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD.
Xét ∆ EAD và ∆ ECN có:
B
C
EA = EC (gt), µA = Cµ1 (vì AD // CN), AD= CN (theo cách
vẽ)
⇒ ∆ EAD = ∆ ECN (c-g-c)

µ =E
¶ (2 góc tương ứng); và DE = EN (2 cạnh tương ứng);
⇒E
1
2
µ +E
¶ = 1800 (kb) nên E
¶ +E
¶ = 1800
Mà E
1
3
2
3
⇒ ED và EN là hai tia đối nhau ⇒ D, E, N thẳng hàng.
Xét ∆ BDC và ∆ NCD có:
· D (BD // CN), DC chung.
BD = CN (= AD) , B· DC = NC
⇒ ∆ BDC = ∆ NCD (c – g – c)
¶ =C
¶ (2 góc tương ứng)
⇒ BC = DN (2 cạnh tương ứng); D
1
2
¶
¶
¶
¶
Ta có : D1 = C2 , mà D1 và C2 là hai góc so le trong ⇒ DE // BC
1

1
Vì DE = DN mà DN = BC ⇒ DE = BC
2
2
1

1
3

2

2

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

1

19


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

1
BC .
2
Ngoài cách vẽ thêm yếu tố phụ như cách 1, ta cũng có thể vẽ thêm yếu tố
phụ là trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. Trên tia Cx lấy
điểm N sao cho CN = AD để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh
1
được DE // BC và DE = BC .

2
Bài toán trên cho ta kết luận : Trong một tam giác đoạn thẳng nối trung
điểm của hai cạnh thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại. Đoạn thẳng này
được gọi là đường trung bình của tam giác mà ta sẽ được học ở Hình học lớp 8.
b.5.Bài toán 5:
Cho tam giác ABC cân tại A. D là trung điểm cạnh AB. Trên tia đối của
1
tia BA lấy E sao cho BE = AB. Chứng minh rằng CD = CE .
2
Trong bài toán 4 ta đã chứng minh được trong một tam giác đoạn thẳng nối
trung điểm của hai cạnh bên thì song song và bằng một nửa cạnh còn lại mà trong
bài toán này đã cho một yếu tố trung điểm và yêu cầu chứng minh độ dài một đoạn
thẳng bằng một nửa đoạn thẳng khác nên ta có thể sử dụng kết quả bài toán 4 để
giải. Có thể giải bài toán trên theo các cách sau:
*Cách 1:
Gọi F là trung điểm của CE
Xét ∆ AEC có B, F lần lượt là trung điểm
của các cạnh AE, CE, vận dụng kết quả
ở bài toán 4 ta có :

Vậy DE // BC và DE =

1
AC , BF / / AC
2
¶ = ·ACB (SLT)
BF / / AC ⇒ B
2
µ
·

Mà B = ACB ( ∆ ABC cân tại A )
BF =

A
D

1

µ =B
¶
⇒B
1
2

B

1
2

C

Ta có :
1
1
2
2
Xét ∆ BDC và ∆ BFC có:
µ =B
¶ (cmt), BC chung
BD = BF (cmt); B

F

AB =AC, BF = AC , BD = AB ⇒ BD = BF

1

E

2

⇒ ∆ BDC = ∆ BFC (c – g – c)
⇒ CD = CF (2 cạnh tương ứng)
1
1
Mà CF = CE ⇒ CD = CE
2
2

*Cách 2 :
Gọi M là trung điểm của cạnh AC
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

20


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

Xét ∆ AEC có B, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, AC, vận dụng kết quả
1

2

ở bài toán 4 ta có: BM = CE
Ta

có :

AB

A

=AC,

D

1
1
AM = AC , AD = AB ⇒ AM = AD
2
2
∆
Xét ABM và ∆ ACD có:
AM = AD (cmt); µA chung; AB =AC (gt)

M

B

⇒ ∆ ABM = ∆ ACD (c – g – c)
⇒ BM = CD (2 cạnh tương ứng)

1
1
Mà BM = CE ⇒ CD = CE
2
2

C

E

*Cách 3 :
Trên tia đối của tia CA lấy điểm H sao cho CH = CA
Xét ∆ ABH có D,C lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AH, vận dụng kết quả
1
2

ở bài toán 4, ta có: CD = BH
Ta có :

A

1
1
2
2
Xét ∆ ACE và ∆ ABH có:
AE = AH (cmt); µA chung; AB =AC (gt)

AB =AC, AB = AE , AC = AH ⇒ AE = AH

⇒ ∆ ACE = ∆ ABH (c – g – c)
⇒ BH = CE (2 cạnh tương ứng)
1
1
Mà CD = BH ⇒ CD = CE
2
2

D
B

E

C

H

* Cách 4 :
Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CB.Xét ∆ ABN có D,C lần
lượt là trung điểm của các cạnh AB, BN, vận dụng kết quả ở bài toán 4, ta có:
CD =

1
AN
2

Ta có:

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

21


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7
A
D
B

1

1
2

N

C

E

µ +B
¶ = 1800 (kb); ·ACB + C
µ = 1800 (kb)
B
1
2
1
µ = ·ACB ( ∆ ABC cân tại A )
Mà B
1

¶ =C
µ
⇒B
2
1

Xét ∆ BCE và ∆ CNA có:
BC = CN (cách vẽ);
¶ =C
µ (cmt);
B
2
1
BE = AC ( = AB)
⇒ ∆ BCE = ∆ CNA (c – g – c)
⇒ AN = CE (2 cạnh tương ứng)
1
2

1
2

Mà CD = AN ⇒ CD = CE
* Cách 5 :
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE
Xét ∆ BEC P và Q lần lượt là trung điểm của BC, BE, vận dụng kết quả ở bài toán
1
2

4, ta có: PQ = CE .

Xét ∆ BAC có P và D lần lượt là trung điểm của BC, BA, vận dụng kết quả ở ví dụ
1
2

1 ta có: PD = AC (1)
∆ BAC cân tại A ⇒ AB = AC
B là trung điểm AE ⇒ AB = BE = AC (2)
1
1
Từ (1) và (2) ⇒ PD = AB = BE (3)
2
2
1
D là trung điểm AB ⇒ BQ = BE (4)
2
Từ (3) và (4) ⇒ PD = BQ

Ta có :

A
D
B

2

2

1

1

C

P

Q

E

µ +P
µ = 1800 (kb); B
µ +B
¶ = 1800 (kb) (5)
P
1
2
1
2
1
¶ =D
¶ (6)
∆ BDP cân tại D (vì PD = BD = AB ) ⇒ B
2
2
2
Từ (5) và (5) ⇒ Bµ1 = Pµ1

Xét ∆ BQP và ∆ PDC có:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

22


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7
µ =P
µ (cmt); BP = PC (theo cách vẽ)
PD =BQ (cmt); B
1
1
⇒ ∆ BQP = ∆ PDC (c – g – c)
⇒ PQ = CD (2 cạnh tương ứng)
1
2

1
2

Mà PQ = CE ⇒ CD = CE
Trong các cách trên có thể thấy được với cùng một phương pháp giải là vận
dụng kết quả của bài toán 4 nhưng ta có thể tạo hình theo nhiều cách khác nhau, tuy
nhiên cần chọn cách vẽ thêm yếu tố phụ sao cho việc giải bài toán được thuận lợi
và dễ dàng nhất..
Ngoài 5 cách giải trên ta cũng có thể giải bài toán theo cách sau :
* Cách 6 :
Trên tia đối của tia DC lấy điểm I sao cho: DI = DC
A
I
Xét ∆ DBI và ∆ DAC có:
D
¶ =D

¶ (đđ); AD = DB ( gt)
DI = DC (cách vẽ); D
1
2
C
B
⇒ ∆ DBI = ∆ DAC (c – g – c)
1

2

1

µ
⇒ BI = AC , I$= C
1

Ta có :

µ , mà hai góc này ở vị trí so le trong nên IB //
I$= C
1

E

AC

·
⇒ IBC
+ ·ACB = 1800 (2 góc trong cùng phía)

·
·
+ ABC
= 1800 (kb)
Ta lại có: EBC
·
·
= EBC
Mà ·ABC = ·ACB ( ∆ ABC cân tại A ) nên IBC
Ta có: AB = AC, EB = AB; IB = AC ⇒ EB = IB
Xét ∆ BIC và ∆ BEC có:
·
·
= EBC
BI = BE (cmt); IBC
(cmt); BC chung
⇒ ∆ BIC và ∆ BEC (c – g – c)
⇒ CI = CE (2 cạnh tương ứng)
1
2

1
2

Mà CD = CI ⇒ CD = CE
Qua các bài toán trên có thể thấy được với cùng một bài toán ta có thể đưa
ra nhiều cách giải khác nhau. Vấn đề là phải phân tích kỹ bài toán để đưa ra hướng
giải thuận tiện nhất. Điều này phụ thuộc vào sự linh động, sáng tạo và tư duy của
học sinh đồng thời phải nắm vững kiến thức một cách sâu và rộng, vận dụng tốt các
phương pháp giải toán đã học để đưa ra phương pháp giải mới.

3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp:
Các giải pháp và biện pháp trên có thể được sử dụng nhiều trong quá trình
dạy học trên lớp cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi. Mang lại hiệu quả cao trong
việc nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán lớp 7.
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

23


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

Để thực hiện tốt các giải pháp, biện pháp nêu trên thì cần đảm bảo một số
điều kiện sau:
*Đối với giáo viên:
Phải không ngừng tìm tòi, đổi mới phương pháp dạy học cho phù hợp với
đối tượng học sinh, tạo được niềm say mê, hứng thú học tập, lôi cuốn học sinh tích
cực tham gia vào bài giảng của mình.
Phải định hướng và có sự chuẩn bị kỹ càng về hệ thống câu hỏi, các phương
pháp giải, các bài toán có nhiều cách giải phù hợp đối tượng học sinh, lường trước
được các tình huống và các câu trả lời của học sinh để đưa ra các phương án xử lý
thích hợp. Thường xuyên chú ý việc rèn kỹ năng suy luận, vẽ hình, phân tích và
trình bày lời giải bài toán một cách logic, chặt chẽ cho mỗi học sinh, đặc biệt là học
sinh yếu kém. Mở rộng và nâng cao kiến thức để phát triển tư duy cho đối tượng
học sinh giỏi.
Phải nắm vững kiến thức Toán học một cách sâu và rộng. Nắm được các dấu
hiệu bản chất của mỗi đơn vị kiến thức, nhìn nhận một vấn đề dưới nhiều khía cạnh
khác nhau để có thể dễ dàng tạo ra các tình huống có vấn đề, các tình huống mà
học sinh dễ mắc sai lầm, từ đó sử dụng phản ví dụ để sửa sai, khắc sâu kiến thức
cho học sinh.
*Đối với học sinh lớp 7:

Phải có niềm say mê, hứng thú và tự giác học tập môn Toán, nắm vững kiến
thức cơ bản. Rèn kỹ năng vẽ hình theo yêu cầu của bài toán, liên kết các kiến thức
đã học với nhau, nắm vững công thức, quy tắc, định nghĩa, định lý, tính chất để
vận dụng vào làm bài tập một cách hợp lý, chính xác. Thường xuyên nghiên cứu,
tìm tòi các phương pháp giải toán mới qua tài liệu tham khảo, sách vở và Thầy, cô
để có thể vận dụng vào giải một bài toán bằng nhiều cách nhau.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Trong các bài toán tổng hợp kiến thức, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các
kiến thức đã học thì mới giải được bài toán. Các công thức, quy tắc, định nghĩa,
định lý, tính chất và phương pháp giải toán thường có mối quan hệ chặt chẽ và hỗ
trợ lẫn nhau, nhiều bài tập của bài học sau có liên quan đến vận dụng kiến thức của
bài học trước, các kiến thức luôn có sự liên kết chặt chẽ, kế thừa và hỗ trợ lẫn
nhau. Việc kết hợp tốt các giải pháp và biện pháp giải bài toán bằng nhiều cách trên
sẽ làm cho bài học trở nên nhẹ nhàng, thú vị, tạo được các tình huống bất ngờ thu
hút học sinh chú ý vào bài học. Qua đó học sinh sẽ nắm vững kiến thức hơn và biết
được nhiều phương pháp giải toán hơn.
3.5. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu:
a. Kết quả khảo nghiệm:
* Kết quả điều tra nhu cầu của học sinh lớp 7 trường THCS Buôn Trấp về
việc giải một bài toán bằng nhiều cách:
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

24


SKKN: Kinh nghiệm giải bằng nhiều cách một số bài toán lớp 7

Hứng thú học
Ít hứng thú học
Không hứng thú

học

25%
32%
43%

* Kết quả thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh trường THCS Buôn Trấp
khi áp dụng việc giải toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy và học môn Toán 7:
+ Giáo viên:
Tổng số giáo viên Toán
13 Gv
Thích và thường xuyên vận dụng 10 Gv
Không thích lắm và ít vận dụng
3 Gv
Không vận dụng
0 Gv
+ Học sinh:
Hứng thú với việc GV vận dụng
57%
Ít hứng thú với việc Gv vận dụng
24%
Không hứng thú với việc Gv vận
19%
dụng
* Kết quả khảo nghiệm về khả năng tiếp thu và vận dụng được các phương
pháp giải toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy và học môn Toán trước và sau
khi vận dụng đề tài trong quá trình dạy và học Toán 7 ở trường THCS Buôn Trấp.
+ Trước khi vận dụng :
HS vận dụng được vào bài tập
27%

HS hiểu nhưng chưa biết vận dụng
33%
HS không hiểu và không biết vận
40%
dụng
HS thích học Toán
32%
HS không thích học Toán
68%
+ Sau khi vận dụng :
HS vận dụng được vào bài tập
55%
HS hiểu nhưng chưa biết vận dụng
30%
HS không hiểu và không biết vận
15%
dụng
HS thích học Toán
53%
HS không thích học Toán
47%
b. Giá trị khoa học:
Qua kết quả điều tra, thăm dò ý kiến của giáo viên và học sinh khi vận dụng
phương pháp giải toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy và học môn Toán trong
quá trình dạy và học Toán 7 ở trường THCS Buôn Trấp, có thể thấy được nhiều
giáo viên thường xuyên vận dụng trong giảng dạy, đa số học sinh có hứng thú với
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Thoa – Trường THCS Buôn Trấp

25