Đề khảo sát chất lượng lần 2 môn Toán 11

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN THI: TOÁN 11
Thời gian làm bài : 120 phút

Câu 1 (3 điểm). Giải các phương trình sau:
a) cos 2 x − 3sin x − 2 = 0
3π
2
b) 2cos  x −
4



÷− 3 cos 2 x = −1





c) sin 4 x − cos 4 x = 1 + 4 2 sin  x −

π
÷
4

Câu 2 (2 điểm).
a) Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó người ta chọn

ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có
thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.
n

2 

b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn: P ( x ) =  3 x +
÷ . Biết
x

6
7
8
9
8
n thỏa mãn hệ thức: Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn + 2
u1 = 1
Câu 3 (1 điểm). Tìm cấp số cộng biết: 
5S5 = S10
Câu 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông tại A , ·ABC = 600 , AB = a .
Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (α) sao cho SB = a và SB ⊥ OA .
Gọi M là một điểm trên cạnh AB , mặt phẳng ( β ) qua M song song với SB và OA.
a) Xác định thiết diện của hình chóp SABC với mặt phẳng ( β ) .
b) Chứng minh thiết diện tìm được là hình thang vuông.
c) Cho BM = x ( 0 < x < a ) . Tính diện tích của thiết diện theo a và x . Tìm x để diện tích
này lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm).
2012
1
2010 3

3
2008 5
5
2013
2013
Tính tổng: S = 3 .2.C2013 + 3 .2 .C2013 + 3 .2 .C2013 + L + 2 C2013

Họ và tên thí sinh:……………………………Số báo danh:……………………………………


ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2
MÔN TOÁN 11 - NĂM HỌC 2013 - 2014
Câu
1a
(1điểm)

Nội dung

BĐ

pt ⇔ 1 − 2sin 2 x − 3sin x − 2 = 0 ⇔ 2sin 2 x + 3sin x + 1 = 0

0,25

sin x = −1
⇔
sin x = − 1

2

0,25

π

 x = − 2 + k 2π

π
⇔  x = − + k 2π ( k ∈ ¢ )

6

5π
x = −
+ k 2π

6

0,5

1b
3π
2
(1điểm) Gpt: 2cos  x − 4


÷− 3 cos 2 x = −1


3π


pt ⇔ 1 + cos  2 x −
2



÷− 3 cos 2 x = −1


0,25

pt ⇔ 1 − sin 2 x − 3 cos 2 x = −1 ⇔ sin 2 x + 3 cos 2 x = 2

0,25

π

⇔ sin  2 x − ÷ = 1
3


0,25

⇔x=

5π
+ kπ
12

0,25

1c
π

sin 4 x − cos 4 x = 1 + 4 2 sin  x − .
Gpt:
(1điểm)
4

pt ⇔ 2 sin 2 x cos 2 x − 2 cos 2 2 x = 4( sin x − cos x )

⇔ cos 2 x ( sin 2 x − cos 2 x ) = 2 ( sin x − cos x )

0,25

⇔ ( cos x − sin x ) ( sin 2 x − cos 2 x ) ( cos x + sin x ) + 2  = 0

π  
π  π 

⇔ 2 cos  x + ÷sin  2 x − ÷sin  x + ÷ + 1 = 0
4  
4 
4 


0,25


π
π


2 cos  x + ÷ = 0 ⇔ x = + kπ
4
4


⇔
 sin  2 x − π  sin  x + π  + 1 = 0 *
( )

÷ 
÷
4 
4


0,25

sin x = −1
(*) ⇔ sinx – cos3x + 2 = 0 ⇔ 
vô nghiệm.
cos 3 x = 1

0,25

Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó
người ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm tra sao cho phải có đủ cả 3 loại dễ,
2a
(1điểm) trung bình và khó. Hỏi có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra.
0,25

Chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có C10
20 cách.
Chọn 10 câu có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó.
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có C10
16 cách.
- Trường hợp 2: chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có C10
13 cách.

0,5

- Trường hợp 3: chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có C10
11 cách.

10
10
10
Vậy có C10
20 - ( C16 + C13 + C11 ) = 176451 đề kiểm tra.

0,25

2b
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn:
(1điểm)
n
2 
3
6
7

8
9
8
P( x) =  x +
÷ . Biết n thỏa mãn hệ thức: Cn + 3Cn + 3Cn + Cn = 2Cn + 2
x

k
k +1
k +1
AD ct Cn + Cn = Cn +1 ta có:

Cn6 + 3Cn7 + 3Cn8 + Cn9 = Cn6 + Cn7 + 2 ( Cn7 + Cn8 ) + Cn8 + Cn9

0,25

= Cn7+1 + 2Cn8+1 + Cn9+1 = ( Cn7+1 + Cn8+1 ) + ( Cn8+1 + Cn9+1 ) = Cn8+ 2 + Cn9+ 2 = Cn9+ 3
⇒ Cn9+3 = 2Cn8+ 2 ⇔

n+3
= 2 ⇔ n = 15
9
15

15
2 
3
C15k
Khi đó P ( x ) =  x +
÷ =∑

k =0
x


Số hạng ko chứa x tương ứng với

0,25

( x)
3

15− k

k

30 −5 k
15
 2 
k
k
C15 2 x 6

÷ =∑
 x  k =0

30 − 5k
=0⇔k =6
6

0,25

0,25
6 6
Vậy số hạng cần tìm là: C15 2 = 320320

3
u1 = 1
Tìm
cấp
số
cộng
biết:

(1điểm)
5S5 = S10
u1 = 1
u1 = 1

⇔ 5

5S5 = S10
5. 2 ( 2u1 + 4d ) = 5 ( 2u1 + 9d )

0,25

u1 = 1
⇔
5 ( 2 + 4d ) = 2 ( 2 + 9d )

0,25

u = 1
⇔ 1
d = −3

0,25

Cấp số cộng cần tìm là: 1, -2, -5, …, 4-3n,…

0,25

4a
(1điểm)

S
P

N

B

O

C

Q
M
A
α

( β ) / / OA
⇒ ( β ) ∩ ( ABC ) = MN / / OA
Ta có : 
OA ⊂ ( ABC )

0,25

( β ) / / SB
⇒ ( β ) ∩ ( SAB) = MQ / / SB (2)

SB
⊂
(
SAB
)


0,25

( β ) / / SB
⇒ ( β ) ∩ ( SBC ) = NP / / SB (3)

 SB ⊂ ( SBC )

0,25


( β ) ∩ ( SAC ) = PQ
0,25

Vậy thiết diện là tứ giác MNPQ
4b
(1điểm)

Chứng minh thiết diện tìm được là hình thang vuông.
Từ (2) và (3) ,suy ra MQ // NP
⇒ MNPQ là hình thang

0,5

OA ⊥ SB

ta có :  MN / / OA ⇒ MN ⊥ NP
 NP / / SB


0,5

Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN.

4c
Cho BM = x ( 0 < x < a ) . Tính diện tích của thiết diện theo a và x . Tìm x
(1điểm) để diện tích này lớn nhất.
1
2

Ta có : S MNPQ = ( MQ + NP ).MN
Tính MN :
Xét tam giác ABC, ta có : cos B =

AB
AB
⇒ BC =
BC
cos B

BC = 2a ⇒ BO = a

⇒

 ·ABC = 600

⇒ ∆ABO
Do 
BA
=
BO


Có MN // AO ⇒
⇒

0,25
đều

MN BM BN
=
=
AO

AB BO

MN = MB = BN = x

Tính MQ :
Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB
⇒

MQ AM
SB
a
=
= (a − x). = a − x
⇒ MQ = AM .
SB
AB
AB
a

Tính NP :


Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB
⇒

NP CN
=
⇒
SB CB

Do đó : S MNPQ =
S MNPQ =

NP = CN .

SB
a 2a − x
= ( 2a − x ) . =
CB
2a
2

0,25

x(4a − 3x)
4

x ( 4a − 3 x ) 1
= .3x.( 4a − 3x )
4
12

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4a − 3x
2

 3 x + 4a − 3 x 
3 x ( 4a − 3 x ) ≤ 
÷ ≤ 4a
2



S MNPQ ≤

⇒

1
a²
.4a ² =
12
3

Đẳng thức xảy ra khi 3 x = 4a − 3x ⇔ x =
Vậy : x =

2a
3

0,5

2a
thì S MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
3

2012
1
2010 3
3
2008 5
5
2013

2013
Tính tổng: S = 3 .2.C2013 + 3 .2 .C2013 + 3 .2 .C2013 + L + 2 C2013

5
(1điểm)
Ta có:

( 3 + 2)

2013

0
1
2
2012
2013
= 32013 C2013
+ 32012.2.C2013
+ 32011.2 2.C2013
+ L + 3.2 2012.C2013
+ 2 2013 C2013
( 1)

( 3 − 2)

2013

0
1
2

2012
2013
= 32013 C2013
− 32012.2.C2013
+ 32011.22.C2013
− L + 3.22012.C2013
− 22013 C2013
( 2)

0,25
0,25

Trừ từng vế (1) cho (2) ta được:

1
3
5
2013
52013 − 1 = 2 ( 32012.2.C2013
+ 32010.23.C2013
+ 32008.25.C2013
+ L + 22013 C2013
)

52013 − 1
⇔S=
2

0,25

0,25


Họ và tên thí sinh:……………………………Số báo danh:……………………………………
SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ I
MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2011 – 2012
Thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ LẺ (Dành cho thí sinh có số báo danh lẻ)
Câu 1 (2 điểm) Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = 4 − x +
Câu 2 ( 3điểm)

2x − 5
x+2

b) y = x 2 − 4 x + 3

a) Tìm hàm số y = ax2 + bx + c biết đồ thị là parabol (P) có đỉnh I(1;4) và đi qua M(3;0).
b) Cho phương trình x 4 − 6 x 2 + m = 0 (1)
i) Giải phương trình (1) khi m = -1
ii) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 3 ( 2điểm)
 2 x 3 + (6 - y ) x 2 - 3 xy -18 = 0
a) Giải hệ phương trình  2
.
 x + x + y = - 7

b) Giải phương trình ( x + 1) x 2 + 7 x + 1 = 6 x .
Câu 4 (3 điểm)
a) Cho tứ giác ABCD
uuur ucó
uurM, N
uuulần
u
r lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh AC + BD = 2MN .
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1;2); B(−1;0); C (2;5) .
i) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .
ii) Tìm tọa độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC


Họ và tên thí sinh:……………………………Số báo danh:……………………………………