Đề thi học sinh giỏi tỉnh an giang môn toán 9 năm học 2014 2015(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
SBD………………………

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS
Năm học 2014-2015
Môn: TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút
(không kể thời gian phát đề)

PHÒNG………

Bài 1: (3,0 điểm)
Làm mất căn ở mẫu biểu thức sau

Bài 2: (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình

Bài 3: (3,0 điểm) (Pha màu sơn quét tường)
Một người mua 60 kg sơn quét tường màu xám ở một cửa hiệu pha màu, trong
kho của cửa hiệu không có sơn màu xám nên chủ cửa hiệu pha hai loại sơn màu: sơn màu
đen và sơn màu trắng để được sơn màu xám như người mua cần. Biết thành phần của
mỗi loại sơn màu như sau:
Sơn màu đen = 20% bột màu đen + 80% chất phụ gia;
Sơn màu trắng= 30% bột màu trắng + 70% chất phụ gia;
Sơn màu xám =5% bột màu đen +15% bột màu trắng+80% chất phụ gia.
(các thành phần tính theo đơn vị kg)
Hỏi người chủ cửa hiệu cần pha bao nhiêu kg sơn màu đen, sơn màu trắng và chất phụ
gia để đáp ứng theo yêu cầu người mua.

Bài 4: (4,0 điểm)
a. Cho hai số
. Chứng minh rằng
b. Xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 5: (2,0 điểm)
Một thanh sắt dài 7m, người ta muốn cưa thanh sắt đó thành các thanh nhỏ dài
7dm và 5dm. Hỏi mỗi thứ được bao nhiêu thanh. Biết rằng khi cưa xong không dư phần
nào cả.
Bài 6: (5,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). Gọi D là một điểm trên
cung nhỏ BC. Gọi I; K; H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB,
AC.
a. Chứng minh rằng hai tam giác DKB và DHC đồng dạng;
b. Chứng minh ba điểm I; K; H thẳng hàng;
c. Chứng minh rằng:

-----Hết------


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
AN GIANG
A.ĐÁP ÁN
Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học 2014 – 2015
MÔN TOÁN
ĐÁP ÁN

Điểm

3,0
điểm

Bài 1

Đặt
Khi đó ta được hệ

điều kiện

Bài 2 Cộng hai phương trình của hệ ta được

3,0
điểm

Thay vào ta có

Vậy hệ có nghiệm
Vì người mua cần 60 kg sơn màu xám theo đề bài tỉ lệ pha trộn ta cần
9 kg bột màu trắng và 3kg bột màu đen và 48 kg chất phụ gia trộn lại
để được 60kg nước sơn
Để có 9kg bột màu trắng ta cần lấy 30kg sơn màu trắng (do màu trắng
có 30% bột màu)
Để có 3kg bột màu đen ta cần lấy 15kg sơn màu đen ( do màu đen có
20% bột màu)
Bài 3 Khi đó số thành phần đủ tạo màu là
30kg+15kg=45kg
Số kg chất phụ gia cần pha thêm là 15kg

Trả lời:
Cần trộn như sau để được màu theo yêu cầu người mua
15kg sơn màu đen
30kg sơn màu trắng
15kg chất phụ gia

3,0
điểm


Cho hai số

. Chứng minh rằng

Để ý rằng dấu bằng xảy ra khi
Xét

Bài
4a

2,0
điểm

Do
Vậy
Dấu bằng xảy ra khi
Ta chứng minh
Với
Bài
4b

2,0
điểm

Với
Với
Vậy

dấu bằng xảy ra khi

Gọi x là số thanh sắt nhỏ dài 7dm; y là số thanh sắt nhỏ dài 5dm
ĐK
Khi đó ta có phương trình
Dễ thấy phương trình có nghiệm
Đặt
ta được
Bài 5

Phương trình (*) có nghiệm

2,0
điểm

Lần lượt cho
ta được
0
1
2
10
5

0
0
7
14
Vậy số thanh sắt có thể đạt được là (10;0) ; (5;7) ; (0;14)
Tam giác DKB và DHC là hai tam giác vuông tại K và H. Ký hiệu các
góc như hình vẽ.
Bài
6a

(cùng chắn cung 120o)
(góc có cạnh tương ứng vuông góc)
(do tứ giác BKDI có hai góc vuông)

2,0
điểm


Vậy hai tam giác KDB và DHC
đồng dạng

A

H
I

B
K

5

4

C
3
2

1

D

Bài
6b

Chứng minh IKH thẳng hàng
chứng minh trên
Mà
(BKDI nằm trên đường tròn đường kính BD)
(DIHC nằm trên đường tròn đường kính CD)
Vậy
Hay ba điểm KIH thẳng hàng
Ta có nhận xét
A

2,0
điểm

Trên BC lấy điểm M sao cho hai tam
giác ABM và KDI đồng dạng

Bài
6c

Ta được

H
B

I
M

K

C

Khi đó hai tam giác AMC và HID
đồng dạng

1,0
điểm

D

Từ (1) và (2) suy ra

B. HƯỚNG DẪN CHẤM:
+ Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
+ Điểm từng phần có thể chia nhỏ đến 0,25 và phải được thống nhất trong tổ chấm./.