Bài giảng toán kỹ thuật hàm phức và ứng dụng tích phân phức

Tốn kỹ thuật
Giải tích Fourier
II. Phép biến đổi Laplace
III.Hàm phức và ứng dụng
I.


Hàm phức và ứng dụng
1. Hàm giải tích
2. Tích phân phức
3. Chuỗi hàm phức
4. Lý thuyết thặng dư
5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
6. Phép biến đổi bảo giác


2. Tích phân phức
a. Tích phân đường phức
b. Cơng thức tích phân Cauchy
c. Cơng thức tích phân Poisson


2. Tích phân phức
Tích phân phức
Ví dụ:
2 j


0

2 j

1 2
zdz  z
2 0

1
2
 2  j
2

Nhận xét: Không phải hàm phức nào cũng dễ dàng tìm được
nguyên hàm => cần tìm phương pháp khác để giải:
- Chuyển sang tích phân đường 2 biến x,y.
- Dùng các định lý.


2. Tích phân phức
a. Tích phân đường phức
Định nghĩa:

 f ( z )dz 
C

 f  z  z
n

lim

zk 0

k

k 1

k


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
i.

 f ( z )dz   u ( x, y)  jv( x, y) (dx  jdy)
C

C

  u ( x, y )dx  v( x, y )dy   j  v( x, y )dx  u ( x, y )dy 
C

C

Tích phân phức cũng mang các tính chất của tích phân thực
(xem tài liệu)
Ví dụ: Tính tích phân:
2
z
 dz
C

với C là đoạn AD

1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
Giải:









I   z 2 dz    x 2  y 2 dx  2 xydy   j   2 xydx  x 2  y 2 dy 
C

C

5

I AB 



1

C

5



x 2  1 dx  j  2 x dx  36  j 24

3

1

3

I BD   10 y dy  j 





124
25  y dy  40  j
3

1

1

I  I AB  I BD

196
 4  j
3

2


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
ii. Định lý 3.1: Nếu f(z) liên tục trên C, |f(z)| ≤ M, thì:

 f ( z )dz  ML; L  length(C )
C

iii. Định lý 3.2 (bổ đề Green):Nếu miền D có biên C trơn
từng đoạn, P(x,y), Q(x,y), ∂P/∂y và ∂Q/∂x liên tục trong và
trên biên của D thì:


C

 Q P 
Pdx  Qdy   

 dxdy
x y 
D 


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
iv. Định lý 3.5 (Định lý Cauchy): Nếu f(z) là giải tích tại mọi
điểm thuộc miền D giới hạn bởi đường cong C trơn từng

đoạn thì:

 f ( z )dz  0

C


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
v. Định lý 3.6 (Nguyên lý biến dạng chu tuyến): Nếu đường
cong C1 có thể biến dạng thành C2 mà khơng vượt qua bất
kỳ điểm nào mà tại đó f(z) khơng giải tích thì:



f ( z )dz 

C1



f ( z )dz

C2



1

Ví dụ: Tính tích phân

dz với C là một đường cong bất
z
kỳ:
C
a. Không chứa gốc tọa độ
b. Chứa gốc tọa độ?


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
Giải:
a. Nếu C không chứa gốc tọa độ, theo định lý Cauchy ta có


C

1
dz  0
z

(gốc tọa độ z0 = 0 là một điểm mà f(z) khơng giải tích).
b. Nếu C chứa gốc tọa độ, theo nguyên lý biến dạng chu
tuyến, có thể chọn C là đường trịn z = reiθ (0 ≤ θ ≤ 2π). Khi
đó: dz  jre j d


C

1
dz 

z

2


0

2

1
j
jre
d  j  d  2 j
j
re
0

Kết quả này có thể mở rộng cho tích phân


C

1
dz
z  z0


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
vi. Định lý 3.7: Nếu f(z) giải tích trong một miền đơn liên D

z1

thì tích phân

 f ( z )dz
z0

phân trong D.

khơng phụ thuộc vào đường lấy tích


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
iv. Nếu đường cong kín C bao quanh n điểm khơng giải tích
của f(z) thì:


C

f ( z )dz 



1

f ( z )dz   f ( z )dz  ...   f ( z )dz
2

n

Trong đó γi là đường cong bao quanh (duy nhất) điểm khơng
giải tích zi.


1. Hàm giải tích
Một số tính chất và định lý liên quan
Ví dụ: Tính tích phân:

I


C

z
dz
( z  1)( z  2 j )

C là đường cong chứa cả hai điểm 1, -2j.
b. C chỉ chứa -2j, không chứa điểm 1.
Giải:
a.

1
dz 1
dz
I  (1  2 j ) 
 (4  2 j ) 
 I1  I 2
3

z 1 5
z2j
C
C

1
1
a. I  (1  2 j )2 j  (4  2 j )2 j  2
3
5
1
b. I  0  (4  2 j )2 j  2
5

2
4
j  j 
5
5

4
 17
j  j 
15 
 15


1. Hàm giải tích
b. Cơng thức tích phân Cauchy
Nếu f(z) giải tích tại mọi điểm thuộc miền D, C là một

đường kín, trơn từng đoạn trong D, z0 ∈ D thì:

f ( z0 ) 

1
2 j


C

f ( z)
dz
z  z0

Nếu đạo hàm bậc n của f(z) tồn tại thì:

f

(n)

n!
( z0 ) 
2 j

f ( z)

 z  z 
C

0

n 1

dz


1. Hàm giải tích
b. Cơng thức tích phân Cauchy
Ví dụ: Tính các tích phân sau:

1. I1 


C

ez
dz
2
z 1

C là đường trịn bán kính 1 và có tâm là: i. z = j; ii. z = -j.

2. I 2 


C

2z
dz
( z  1)( z  2)( z  j )

C là đường cong kín bất kỳ chứa 3 điểm z = 1; -2 và –j.

3. I 3 


C

z4
dz
3
( z  1)

C là đường cong kín chứa điểm z = 1.


1. Hàm giải tích
b. Cơng thức tích phân Cauchy
Giải:
1. Tham khảo tài liệu
2z
dz
2. I 2 


 ( z  2)( z  j ) z  1 

C1



C3

C2

2z
dz
( z  1)( z  j ) z  2

2z
dz
( z  1)( z  2) z  j

Trong đó C1, C2, C3 là 3 đường cong kín lần lượt
chứa (duy nhất một) các điểm 1; - 2 và -j.
Theo công thức tích phân Cauchy:

 2

4
2 j
I 2  2 j 



3(1

j
)
(


3)(

2

j
)
(

j

1)(

j

2)




1. Hàm giải tích
b. Cơng thức tích phân Cauchy
Giải:

3.

I3 


C

f1 ( z )
4
dz
;
f
(
z
)

z
1
( z  1)3


1  d2
I 3  2 j  2 f1 ( z )    j 12 z 2
2!  dz
 z 1





z 1

 12 j


1. Hàm giải tích
b. Cơng thức tích phân Cauchy

Định lý Morera: Nếu f(z) liên tục trong miền D và



f ( z )dz  0

C

với mọi đường kín C trong D thì f(z) giải tích trong D.
Bất đẳng thức Cauchy: Nếu f(z) giải tích trong miền D, C là
một đường trịn tâm z0 bán kính r nằm trong D thì:

n!M
f ( z0 )  n
r
M  max f ( z )
(n)

zC


1. Hàm giải tích
c. Cơng thức tích phân Poisson
Cơng thức tích phân Poisson:

1
u (r , ) 
2

2


0

R2  r 2
u ( R,  ) d 
2
2
R  2 Rr cos(   )  r


1. Hàm giải tích
Bài tập:
1. Tính trực tiếp các tích phân sau:
1 j

1 j

a.

 

e 2 z dz

b.

0
1

0

 

c.  e z dz
j

  cos z dz

3 j

d.

 

z 2 dz

0

2. Kiểm tra lại kết quả câu 1d bằng cách chuyển sang tích
phân thực với 2 biến x,y và đường lấy tích phân là đường
thẳng nối liền 2 điểm 0, 3 + j.


1. Hàm giải tích
Bài tập:
j
x 2  jy 2 dz
3. Tính tích phân sau:
Với đường lấy tích phân:  j
a. Nữa đường tròn |z| = 1 ở bên phải mặt phẳng phức

b. Dọc theo trục tung.



2
(
z
  3z )dz



4. Tính tích phân sau:
C
Với C là:
a. Đường thẳng nối 2 điểm z = 2 và z = j2.
b. 2 đoạn thẳng, đoạn 1 từ z = 2 đến z = 2 + j2, đoạn 2 từ z
= 2 + j2 đến z = j2.
c. Một phần tư đường tròn |z| = 2 từ điểm z = 2 đến z = j2.


1. Hàm giải tích
Bài tập:
Áp dụng định lý Cauchy và các hệ quả liên quan tính các
tích phân sau:
Với C là: a. Đường tròn |z| = 1
2 zdz
5.
b. Đường tròn |z| = 3.
(2 z  1)( z  2)



C

6.


C

7.


C

5 zdz
Với C là: a. Đường tròn |z| = 3
( z  1)( z  2)( z  4 j )
b. Đường tròn |z| = 5.
sin 2 zdz
z2  4z  5

Với C là: a. Đường tròn |z| = 1
b. Đường tròn |z - 2j| = 3
c. Đường tròn |z – 1 + 2j| = 2


1. Hàm giải tích
Bài tập:

8.


C

4 zdz
( z  1)( z  2) 2

Với C là:
a. Đường tròn |z| = 1
b. Đường tròn |z| = 3.