Đồ Án Tốt Nghiêp Lý Thuyết Độ Tin Cậy

Đồ án tốt nghiệp
phần I: Tổng quan lý thuyết độ tin cậy
chơng 1: khái niệm lý thuyết độ tin cậy
1.1.ý nghĩa của vấn đề độ tin cậy trong kỹ thuật:
Những sản phẩm kỹ thuật thờng bao gồm một số lớn các phần tử điện và cơ .Trong
mối liên kết chặt chẽ giữa các nghành sản xuất xã hội với trình độ tự động hoá cao ngày
nay sự h hỏng của 1 phần tử nào đó không chỉ gây thiệt hại riêng cho một dây chuyền
sản xuất , mà thờng vợt qua phạm vi 1 nhà máy ,thiệt hại đó có thể xảy ra cho toàn
nghành, gây rối loạn cho tiến độ thực hiện hợp đồng kinh tế với các nghành khác ,nớc
khác.Trong những trờng hợp nhất định ,những sản phẩm thiếu tin cậy trực tiếp hoặc gián
tiếp gây tai họa cho tính mạng nhiều ngời,thậm chí đe doạ uy tín và sự an toàn của 1 hay
nhiều quốc gia.Vì vậy việc xác định độ tin cậy của các sản phẩm kỹ thuật đó là 1 vấn đề
có ý nghĩa quan trọng hàng đầu ,nhằm khai thác một nguồn dự trữ lớn ,nâng cao hiệu
quả lao động ,năng lực lao động và sức sản xuất xã hội.
1.1.a.Định nghĩa về độ tin cậy trong kỹ thuật:
-Độ tin cậy: là thớc đo khả năng hoạt động của 1 bộ phận của thiết bị trong điều kiện
không có những trục trặc xảy ra h hỏng khi đa vào sử dụng.Độ tin cậy đợc định nghĩa
theo những cách khác nhau nhng một trong những định nghĩa đợc sử dụng nhiều nhất là
của NaSa . Theo NaSa ,độ tin cậy là khả năng của 1 thiết bị hoạt động hoàn toàn trong 1
khoảng thời gian dự kiến trong điều kiện hoạt động ngẫu nhiên. Độ tin cậy luôn luôn là
khả năng đợc xác định trong điều kiện máy móc không có những trục trặc khi hoạt động
(bao gồm cả những hệ thống lớn) trong 1 môi trờng nhất định, trong một khoảng thời
gian nhất định với những mức tin cậy mong muốn.Do vậy, độ tin cậylà xác suất mà một
hệ thống xác định hoạt động nh mong đợi.
Ví dụ:Đối với một tên lửa với hệ thống phức tạp gồm hàng nghìn những chi tiết khác
nhau, độ tin cậy trong thời gian đếm ngợc trên bệ phóng là xác suất mà công việc sẽ
không bị dừng giữa chừng vì bất cứ lý do gì bao gồm cả những lý do nhỏ nhất nh việc
bung một mối hàn sẽ ảng hởng đến cả mạch vi xử lý. Nhng đối với từng trờng hợp cụ
thể độ tin cậy sẽ đợc định nghĩa một cách phù hợp.
-Độ tin cậy không thể sử dụng để dự đoán những điều trừu tợng, chỉ có xác suất hoặc
mức trung bình là đợc dự đoán. Độ tin cậy sẽ không thể dự đoán số giờ xác định mà một

thiết bị có thể hoạt động tốt trớc khi bị hỏng. Ví dụ: khi nào một chiếc đồng hồ cơ khí sẽ
chạy chậm lại. Chúng ta có thể dự đoán xác suất mà một thiết bị có thể hoạt động trong
một số giờ cụ thể hoặc trung bình số những hỏng hóc xảy ra trong một khoảng thời gian
xác định hay khoảng thời gian trung bình giữa những thời điểm hỏng hóc xảy ra. Một
thiết bị xác định có thể h hỏng ngay khi đa vào hoạt động hoặc nó có thể làm đúng chức
năng trong một khoảng thời gian dài khác thờng. Độ tin cậy sẽ không dự đoán chúng.
Nh vậy, độ tin cậy đợc coi nh là một tuyên bố chung về những dự kiến có thể xảy ra.
1.2.Đối tợng và nhiệm vụ của độ tin cậy.
Đối tợng :đối tợng nghiên cứu khoa học về độ tin cậylà động cơ ,cơ cấu máy ,thiết
bị ,dụng cụ các sản phẩm hàng hoá đợc chế tạo nói chung và các tôt hợp của chúng trong
mối quan hệ tơng hỗ nhừam hoàn thành 1 số nhiệm vụ nhất định cũng nh các bộ phận

1


Đồ án tốt nghiệp
,nhóm , cụm ,hệ thống các chi tiết cấu thành chúng.Ta thờng gọi đối tợng nghiên cứu của
khoa học này là :sản phẩm.
Xem xét chất lợng của sản phẩm khi chế tạo sau một thời gian sử dụng ngời ta thấy rằng
dù vật liệu đã chọn lọc kỹ để đảm bảo tính thuần nhất cũng nh các điều kiện công nghệ
đợc giữ không đổi ,chất lợng sản phẩm đợc chế tạo ra vẫn mang tính ngẫu nhiên.
Cho dù chỉ tiêu chất ban đầu là giống nhau ,nhng sau 1 thời gian nhất định ,một mặt do
tác động của môi trờng ,lão hoá hay mài mòn ,điều kiện chăm sóc bảo dỡng ,mặt khác
do tác dụng của tải trọng thờng không theo 1 quy luật biết trớc ,các chỉ tiêu ban đầu này
trở nên khác nhau.
1.3.quan điểm kinh tế về độ tin cậy:

Nâng cao độ tin cậy của sản phẩm cần đợc giải quyết trớc hết theo quan điểm kinh tế
,tức là cần coi tính kinh tế là tiêu chuẩn chủ yếu để giải quyết các bài toán thực tiến về
độ tin cậy.

Mặc dù kỹ thuật hiện đại cho phép đạt đợc độ tin cậy và các chỉ tiêu chất lợng khác theo
ý muốn .Nhng vấn đề là chi phí để đạt đợc các mục đích đặt ra .Chi phí ấy có thể cao tới
mức ,hiệu quả của công việc nâng cao độ tin cậy không đủ bù đắp lại và kết quả là giải
pháp đợc tiến hành sẽ gây thua lỗ.Tất nhiên điều đó phụ thuộc rất nhiều vào tính chất của
giải pháp đợc áp dụng .Các biện pháp nâng cao độ tin cậy có thể không đòi hỏi chi phí
lớn ,khi khoa học và thực tiễn chỉ ra lời giải tối u.
Khi so sánh các phơng án khác nhau để đạt đợc độ tin cậy cần thiết phải xuất phát từ
điều kiện hiệu quả kinh tế tổng cộng đem lại là lớn nhất, có thể kể tới chi phí trong giai
đoạn chế tạo và giai đoạn khai thác sản phẩm.
1.4. Các khái niệm cơ bản
Những khái niệm cơ bản đơc chia thành 4 nhóm sau:
a. Các khái niệm về đối tợng nghiên cứu:
-Đối tợng có phục hồi:là đối tợng mà khả năng làm việc của nó có thể thiết lập lại
trong trờng hợp xẩy ra h hỏng.
- Đối tợng không phục hồi :là đối tợng mà khả năng làm việc của nó không thể
thiết lập trong trờng hợp xẩy ra h hỏng
- Hệ thống: là đối tợng bao gồm một tập hợp các phần tử. Các phần tử này đợc
liên kết chức năng và tơng hỗ nhau trong khi thực hiện một hoặc nhiều nhiệm
vụ
- -Phần tử là đối tợng có độ tin cậy độc lập, một đơn vị không thể chia nhỏ trong
hệ thống
2


Đồ án tốt nghiệp
b. Các khái niệm về trạng thái của đối tợng:
- khả năng làm việc :là tính chất của đối tợng có thể hoàn thành nhiệm vụ đợc
giao và duy trì các thông số chủ yếu trong một giới hạn
- Hỏng: là sự tổn thất toàn bộ hoặc một phần những tính chất của sản phẩm làm
mất hoặc giảm thực chất khả năng làm việc của nó.

- Trạng thái giới hạn:là trạng thái của đối tợng trong đó do những đòi hỏi về an
toàn hoặc giảm hiệu quả làm việc tới mức không thể khắc phục đợc, sự làm
việc tiếp tục là không thể hoặc không có lợi về mặt kỹ thuật.
- Hỏng dần dần: là hỏng xuất hiện cùng với sự biến đổi chậm các thông số đầu
ra xác định chất lợng làm cho các thống số này vợt ra ngoài mức giới hạn cho
phép hỏng dần dần, thờng do lão hoá, mài mòn hoặc ăn mòn.
- Hỏng đột ngột: là hỏng xuất hiện cùng với sự biến đổi lớn trong khoảng thời
gian ngắn các thông số đâu ra nói trên.
- Hỏng hoàn toàn: là hỏng sau khi xẩy ra cho tới khi nó đợc phục hồi vẫn không
thể đa nó vào sử dụng với mục đích đã xác định trớc đó.
- hỏng một phần: là hỏng sau khi xẩy ra sau khi đem phục hồi còn sử dụng vào
mục đích đã xác định của nó, tuy nhiên trong đó giá trị một vài thông số đầu
ra cơ bản đã vợt ra ngoài giới hạn cho phép.
- nhiễu hỏng: làm mất khả năng làm việc của đối tợng trong một thời gian
ngắn, nhng tự khặc phục đợc.
c. Các khái niệm về tính chất của đối tợng:
-Độ tin cậy: là tính chất đối tợng, ở một thời điểm nhất định, dới những điều kiện
làm việc nhất định, hoàn thành nhiệm vụ chức năng cho trớc, duy trì đợc giá trị
các thông số làm việc đã đợc thiết lập trong giới hạn đã cho. Độ tin cậy là tính
chất phức hợp, nó bao gồm các tính chất chủ yếu của đối tợng: tính không hỏng,
tính sửa chữa, tính bảo quản và tính lâu bền.
+Tính không hỏng: là tính chất của đối tợng giữ đợc khả năng làm việc của mình.
Đặc trng định lợng cho tính không hỏng là các đại lợng xác suất làm việc không
hỏng, thời gian làm việc trung bình giữa các lần hỏng, cờng độ hỏng.

3


Đồ án tốt nghiệp
+Tính sửa chữa: là tính chất của đối tợng thích ứng với việc tiến hành bảo dỡng

sửa chữa nó.
+tính bảo quản: là tính chất của đối tợng duy trì đợc các thông số đầu ra xác định
chất lợng của mình trong giới hạn đã cho khi nằm trong kho hoặc khi vận chuyển.
+Tính lâu bền: là tính chất của đối tợng duy trì đơc khả năng làm việc của mình
cho tới trạng thái giới hạn, trong đó kể cả những gián đoạn cần thiết cho việc bảo
dỡng sửa chữa. Đặc trng cho tính lâu bền là các đại lợng: tuổi thọ trung bình,trung
bình thời gian làm việc, tuổi thọ gamma phần trăm, thời gian làm việc gamma
phần trăm, trung bình thời gian làm việc giữa các lần sửa chữa, trung bình thời
gian làm việc cho tới khi thanh lý.
d. Các đặc trng của độ tin cậy:
- Lợng công việc: là số đo nào đó của nhiệm vụ mà đối tợng thực hiện nh sản lợng, quãng đờng đi, số chu trình tải trọng và đặc biệt thờng dùng là khoảng
thời gian làm việc.
- Thời gian phục hồi hay tuổi thọ: là khoảng thời gian làm việc tính theo lịch
của đối tợng, từ khi bắt đầu bớc vào hoạt động cho tới khi đạt trạng thái giới
hạn. Đặc trng này thờng dùng cho đối tợng chịu tác động thòng xuyên của tải
trọng và môi trờng mà nguyên nhân của nó là làm mất khả năng làm việc của
đối tợng thờng là ăn mòn, thiệt độ...
- Thời gian làm việc đến khi hỏng ( tuổi thọ hữu ích ): là tổng thời gian thực
hiện nhiệm vụ của đối tợng, từ khi bớc vào hoạt động tới khi đạt trạng thái giới
hạn.
- Thời gian phục hồi cho phép hay tuổi thọ danh định: là thời gian làm việc đến
trạng thái giới hạn đợc quy định cho trớc.
1.5. Những yếu tố ảnh hởng tới độ tin cậy:
Các yếu tố ảnh hởng đến độ tin cậy đợc phân thành các yếu tố kỹthuật và các yếu
tố kinh tế-kỹ thuật ( hình 1.1 ):
- Các yếu tố kỹ thuật là các quá trình vật lý khác nhau của sự h hỏng, các quá
trình đó dẫn tới sự biến đổi về kích thớc, hình dáng, về trật tự hình học tơng
đối giữa các bộ phận, về chất lợng bề mằt hoặc về những tính chất khác của
sản phẩm.
4

Đồ án tốt nghiệp
- Các yếu tố kinh tế-kỹ thuật: là các yếu tố làm giảm giá trị của sản phẩm kỹ
thuật, do tiến bộ khoa học kỹ thuật tạo ra những sản phẩm kỹ thuật mới, có
năng suất cao, chất lợng tốt hơn ... Yếu tố kinh tế kỹ thuật không làm giảm
thông số làm việc hay tính chất sử dụng, nó chỉ làm cho sản phẩm trở lên cũ
nỗi thời.
b. Phân biệt theo dạng biểu hiện:
Về mặt hình thức biểu hiện, các yếu tố gây h hỏng chia làm 3 nhóm: dùng hỏng
quá tải và lão hoá.
- Dùng hỏng: là khái niệm chung của sự mài mòn, mỏi và ăn mòn ( gỉ ) những
dạng hỏng chủ yếu của sản phẩm kỹ thuật, khó có sự loại trừ yếu tố này, ngay
cả khi biết sử dụng đúng cách.
- Sự quá tải: có thể xẩy ra khi sử dung sai quy định hoặc do sự hỏng khiến cho
tải trọng tăng lên vợt quá gá trị tới hạn. Nó trực tiếp dẫn tới sự h hỏng hoặc
làm tăng sự dùng hỏng.
- Sự lão hoá: là quá trình biến đổi trong vật liệu làm thay đổi độ bền . Nó chỉ
phụ thuộc vào yếu tố gây h hỏng, nó xuất hiện ngoài công trình công nghệ chế
tạo .
c. Phân biệt theo quá trình tác dụng:
Xét theo khoảng thời gian tác dụng là nhanh hay chậm mà các yếu tố gây ra tơng
ứng, hỏng đột ngột ( gẫy vì quá tải ), hỏng dần dần (công suất giảm, tăng mức tiêu hao
nhiên liệu do mài mòn ).
d. Phân biệt theo nguyên nhân tác dụng:
- Nguyên nhân khách quan gây ra h hỏng là nguyên nhân bên ngoài không biết
trớc, chẳng hạn môi trờng, hoặc nguyên nhân không phải do con ngời,cụ thể
do môi trờng, do điều kiện thời tiết ...
- Nguyên nhân chủ quan là nguyên nhân do sai lầm chủ yếu của con ngời gây
ra: sai lầm trong phơng pháp thiết kế, quy trình công nghệ chế tạo, sơ xuất

trong thao tác...
Hình 1.1
Các yếu tố ảnh hởng
5


Đồ án tốt nghiệp

kỹ thuật

kinnh
kinhtếtế-
kỹ kỹ
thuật
thúât

h hỏng

lỗi thời

dùng hỏng

mài mòn

quá tải

chơng 2 mỏi

lão hoá

ăn mòn ( gỉ)

Một số Hàm phân phối ứng dụng để tính toán độ tin cậy
2.1 Các đại lợng ngẫu nhiên thờng gặp khi nghiên cứu độ tin cậy.
Khi tính toán độ tin cậy của các sản phẩm kỹ thuật trong nghành cơ khí và xây
dựng ta thờng gặp:
- Các đại lợng đặc trng cho tác dụng của ngoại lực lên vật thể : lực tập trung,
lực phân bố, lực ma sát, mômen...
- Các đại lợng cho hình dạng, kích thớc và vị trí tơng đối của các phần tử kết
cấu, hay của các chi tiết máy nh kích thớc tiết diện của thanh, đờng kính trục, độ
dày của tấm, vị trí và khoảng cách giữa các lỗ khoan hay giữa cách dãnh kết cấu
Các đại lợng đặc trng cho sức bền của vật liệu: giới hạn chảy, giới hạn bền,
giới hạn mỏi, môđun đàn hồi và cách đặc trng cơ học khác.
- Các đại lợng đặc trng cho lợng công việc mà sản phẩm hoàn thành trong một
khoảng thời gian nào đó nh thời gian phục vụ của công trình đo bằng giờ hay
bằng năm, quãng đờng mà xe đi đợc tính bằng m hay km, số chu trình tải trọng
mà một chi tiết máy đã phải chịu đo bằng số lần.
- Các đại lợng biểu hiện sự h hỏng của sản phẩm kỹ thuật nh độ hao mòn,
khe hở, kích thớc và tốc độ phát triển của vết nứt, chiều sâu và tôc độ phát triển
của vết gỉ, số phần tử bị h hỏng trong một hệ thống, mức tăng cờng độ ồn, mức
6


Đồ án tốt nghiệp
tăng cờng tiêu hao nhiên liệu động cơ và những biểu hiện khác của sự mất khả
năng làm việc của máy.
Cácđại lợng nói trên đều coi là ngẫu nhiên, phần lớn trong số đó là các đại lợng
ngẫu nhiên liên tục với các giá trị thể hiện không âm.
2.2 Các hàm phân phối ứng dụng để tính độ tin cậy của thiết bị.
Ta cần biết không chỉ miền giá trị của đại lợng ngẫu nhiên X, mà điều quan trọng

hơn cần biết các giá trị đại lợng X rơi vào một khoảng đã cho với một xác suất nh thế
nào. Đặc trng đầy đủ của đại lợng ngẫu nhiên X là hàm phân phối xác suất của nó, đợc
định nghĩa bởi:
F(x) = P(X < x),

( 2.1 )

< x < +

Biểu thức có nghĩa: giá trị hàm phân phối xác suất của đại lợng ngẫu nhiên X tại thời
điểm x, bằng xác suất để đại lợng đó nhận một giá trị nhỏ hơn x.
F(x): gọi là hàm phân phối lý thuyết hay hàm phân phối chính xác.
2.2.1 Hàm phân phối chuẩn.
Đại lợng ngẫu nhiên liên tục X có thể nhận mọi giá trị trên trục số thực, thoả mãn
phân phối chuẩn, còn gọi phân phối Gauss có hàm mật độ là:
f ( x) =

( x à) 2
1
exp

2 2
2


( 2.2 )

< x < +

à , 2 là các tham số của phân phối có ký hiệu: X N ( à , 2 ) và hàm phân phối có dạng:

1
F ( x) =
2

x





( x à) 2
exp
.dt
2 2


( 2.3 )

Kỳ vọng và phơng sai của phân phối là:
E(X)= à

( 2.4 )

D(X)= 2

( 2.5 )

à : chính là kỳ vọng.
2 : là phơng sai của đại lợng ngẫu nhiên.

7


Đồ án tốt nghiệp
2.2.2 Phân phối Poisson:
Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc X lấy các giá trị k = 0, 1, 2, 3, . . ., một phân phối rời
rạc của đại lợng X cho bởi xác xuất:
k
P( X = k ) = e

k = 0, 1, 2, . . .

k!

( 2.6 )

hay cho bởi hàm phân phối:
F( x) =
k
0

P ( x = k ) = k e

k!


x0
x>0

( 2.7 )

Đợc gọi là phân phối Poisson.
Hằng số là tham số của phân phối đó.
Kỳ vọng và phơng sai của phân phối:
à = E( X ) =

( 2.8 )

2 = D( X ) =

( 2.9 )

Trong thực tế, dạng phân phói này thòng đợc dùng để mô tả tình trạng ngừng máy để
sửa chữa, thay thế những bộ phận h hỏng.
2.2.3 Phân phối hình học:
Đại lợng ngẫu nhiên X rời rạc, nhận các giá trị k = 0, 1, 2, 3, . . ., có xác suất:
P( X = k) = (1 ). k

k = 0, 1, 2, . . .

( 2.10 )

và hàm phân phối:
0

F ( X ) = (1 ). k

k

x0
x>0

( 2.11 )

Hằng số p đợc gọi là tham số của phân phối ( 0 < p < 1).
Kỳ vọng và phơng sai của phân phối:
à = E( X ) =

8


1

( 2.12 )


Đồ án tốt nghiệp
2 = D( X ) =


(1 ) 2

( 2.13 )

Phân phối hình học thờng đợc dùng để mô tả tuổi thọ ngẫu nhiên của các máy, thiết bị
và số sản phẩm bị h hỏng trong một khoảng thời gian làm việc nhất định.
2.2.4 Phân phối đều liên tục:
Đại lợng ngẫu nhiên X có thể nhận mọi giá trị trong khoảng đóng [ a, b ], đợc gọi là
phân phối đều hay phân phối vuông góc.

1
f( x ) =
b a
0

có hàm mật độ là:

với a x b

( 2.14 )

Kỳ vọng và phơng sai của phân phối:
à = E( X ) =

a+b
2

( 2.15 )

(b a ) 2
= D( X ) =
12
2

(2.15 )

2.2.5 Hàm phân phối mũ
Đại lợng ngẫu nhiên X với tham số có hàm mật độ là:

0
f ( x) = x
.e

x<0
x0

(2.16 )

và hàm phân phối có dạng:
0
F ( x) =
x
1 e

x<0
x0

( 2.17 )

Kỳ vọng và phơng sai của phân phối:
à = E( X ) =

1


2 = D( X ) =

( 2.18 )
1

2

( 2.19 )
9


Đồ án tốt nghiệp
2.2.6 Phân phối gamma:
Đại lợng ngẫu nhiên liên tục X gọi là phân phối gamma nếu mật độ của nó đợc cho
bởi:
f ( x) =

1 x
.x .e
( )

với x0 0, > 0, > 0

( 2.20 )

Trong đó là tham số hình dạng, là tham số kích thớc của phân phối.
Hàm phân phối có dạng:
1 t
.t .e .dt
F( x ) =
( )
0
x

( 2.21 )

Khi là số nguyên, bằng các tích phân từng phần ta có hàm phân phối:
F ( x) =

( x ) k .e ẽ
k!

( 2.22 )

Kỳ vọng, phơng sai và mode của phân phối:
à = E( X ) =




2 = D( X ) =
o

x=

(2.23 )

2

( 2.24 )

1
; > 1

( 2.25 )

2.2.7 Phân phối loga chuẩn:
Đại lợng ngẫu nhiên liên tục X có thể nhận mọi giá trị dơng đợc gọi là phân phối
loga chuẩn với các tham số à và 2 khi qua phép biến đổi Y=lnX ,đại lợng ngẫu nhiên y
có phân phối chuẩn với các tham số, à , 2 . Do đó mật độ của X có dạng:
f ( x) =

(ln x à 2 )
1
exp

2 2
2



Kỳ vọng và phơng sai của đại lợng X tính đợc là:

10

x>0

( 2.26 )


Đồ án tốt nghiệp


E(X) = exp +

2

2

D(X) = exp ( 2à + 2 ).( exp 2 1)

( 2.27 )

Ta thấy:
2
D( X )
= e 1
2
[ E ( X )]

Ta cũng có thể biểu diễn các tham số à và 2 theo kỳ vọng và phơng sai của đại lợng X nh sau:
D( X )

2 = ln

[ E ( X )]

à = ln E ( X )

2


+ 1

(2.28 )

2
2

( 2.29 )

Mode của đại lợng này:
x = e à

( 2.30 )

2

nh ta đã biết, đại lợng lnX có phân phối chuẩn hoá N( à , 2 ) Nếu dặt Z = ( lnX- à )/
thì Z là đại lợng có phân phối chuẩn hoá với mật độ:
( z) =

z2
exp =
2
2
1

1 ln x à 2
exp

2

2
1

( 2.31 )

So sánh với công thức ( 2.26 ) ta đợc:
f ( x) =

1
1 ln x à
( z) =


x.
x


( 2.32 )

Khi so sánh hai biểu thức của hàm phấn phối tơng ứng ta có:
ln x à
F ( x) = ( z ) =




( 2.33 )

Hàm phân phối loga chuẩn mô tả khá tốt những tính bền của vật liệu đặc biệt là bền

mỏi.
2.2.8 Phân phối Weibull:
11


Đồ án tốt nghiệp
Đại lợng ngẫu nhiên liên tục X với các tham số , , x0 ( > 0, > x0 là số thực bất
kỳ ), có hàm mật độ đợc cho bởi:
0
xx

0
f( x ) = x 1 exp

x x0
x > x0

( 2.34 )

do đó hàm phân phối có dạng:
0
xx
0
F ( x ) = 1 exp









x x0
x > x0

( 2.35 )

Trong đó , , > 0 x0 0; là tham số hình dạng, là tham số kích thớc, x0 là tham số
vị trí của phân phối.
Trong nhiều trờng hợp x0 = 0, khi đó ta có phân phối Weibull hai tham số, hay còn gọi

phân phối Weibull rút gọn.
Kỳ vọng và phơng sai của phân phối đợc tính nh sau:
E( X ) = x0 + . + 1

( 2.36 )

2
1

D( X ) = 2 + 1 2 + 1





( 2.37 )

1




Trong đó (.) là hàm của gamma đợc xác điịnh bởi:


( ) = x
0

1

( + 1)

.e dx =
( 1)( 1)
x

x <1
x>2

( 2.38 )

Ngoài ra hàm gamma có tính chất:
(1) = 1
(0,5) =

Với <1 hàm mật độ của phân phối Weibull đơn điệu giảm, khi x 0 thì f( x ) .
Với =1 thì phân phối Weibull hai tham số trở thành phân phối mũ.
12


Đồ án tốt nghiệp
Với =2 thì phân phối trở thành phân phối Rayleigh với dạng mật độ:
x
a



t2

2a

f( x ) = exp

t > 0, a > 0

( 2.39 )

Khi 3 phân phối Weibull khá gần với phân phối chuẩn.
Phân phối này đợc dùng nhiều trong phân tích tuổi thọ và độ tin cậy, đặc biệt là
tuổi thọ của hệ thống.
2.2.9 Phân phối 2
2 là phân phối của một vài đại lợng thống kê, với giả thiết rằng thành phân X i , i = 1,

2, . . ., n, độc lập với nhau và có cùng một phân phối chuẩn N ( à , 2 ) .
Ta có một đại lợng thống kê mới:
2 =

(n 1) 2
1
S = 2
2



_ 2

n

(Xi X )

( 2.40 )

i =1

Đại lợng thống kê này có một phân phối liên tục:
0
f
1 x
f 2 ( x) = x 2 e 2
f f
2 2 2

với x > 0 và x 0

( 2.41 )

và đợc gọi là phân phối 2 với f = n 1 bậc tự do.
2.2.10. Phân phối student:
Một đại lợng thống kê:

_

Xà
t=
n
S

( 2.42 )

Đại lợng thông kê này có một phân phối liên tục với mật độ:

x2
f t ( x ) = C t 1 +

f









f +1
2

, x (, )

Với f = n 1 bậc tự do, C t là một hàm số phụ thuộc vào f:
13

( 2.43 )


Đồ án tốt nghiệp
1

Ct =
2

f 1
2

(2.44)

f
f
2

2.2.11. Phân phối Fisher:
Giả sử có hai tập mẫu độc lập với nhau và có số thành phân là n1 , n2 ,chúng đợc
chọn ra từ hai tập chính phân phối chuẩn N ( à1 , 12 ), N ( à 2 , 22 ) trong đó 12 = 22 gọi các tập
mẫu thứ nhất X i là và của tập mẫu thứ hai X i, . Ta đặt các đại lợng thống kê tơng ứng.
1
X1 =
n1
_

_
1 n1
Xi;S =
( X i X1 )2


n1 1 i =1
i =1
n1

1

X2 =
n2
_

( 2.45 )

2
1

_
1 n2
Xi;S =
(X i X 2 )2


n 1 i =1
i =1
n2

2
2

Khi đó đại lợng thống kê :

F=

S12
S 22

( 2.46 )

( 2.47 )

thoả mãn phân phối liên tục với mật độ:
F ( x ) = C f1 , 2 x

f1
1
2

( f2 +

f1 x )



f1 + f 2
2

( 2.48 )

Đợc gọi là phân phối Fisher với ( f1 , f 2 ) bậc tự do, trong đó f1 = n 1, f 2 = n2 1, C f là
1, 2

một số chỉ phụ thuộc vào f1 , f 2
Cùng với phân phối 2 , phân phối student (t) phân phối Fisher đống một vai trò quan
trọng trong phép kiểm nghiệm giả thuyết thống kê và ớc lợng khoảng.
các ký hiệu sủ dụng trong chơng 2:
f(.) Hàm mật độ phân phối
F(.) Hàm phân phối.

14


Đồ án tốt nghiệp
P(.) Xác suất tập trung.
E(.) Kỳ vọng toán học.
D(.) phơng sai.
.
x - mode của đại lợng x.

(.) - Hàm gamma.

f Bậc tự do.

chơng 3
các chỉ tiêu của độ tin cậy.
3.1.Sản phẩm có phục hồi và sản phẩm không phục hồi:
Phục hồi là quá trình phát triển và khắc phục h hỏng để thiến lập lại khả năng làm
việc của các chi tiết máy thiết bị, dây truyền . . ..
Sản phẩm có phục hồi: là sản phẩm mà khả năng làm việc của nó có thể khôi phục lại
đợc trong trờng hợp h hỏng.
Sản phẩm không phục hồi: khi ta thiết lập lại khả năng làmviệc của sản phẩm trong trờng hợp h hỏng đang xét, có thể hoàn toàn là vô ích hoặc không thể tiến hành đợc
(
các đèn điện tử, các linh kiện bán dẫn các vệ tinh khhí tợng, lò xo gẫy . . .).
3.2 Xác suất làm việc không hỏng:

15

Đồ án tốt nghiệp
Giả sử tại thời điểm t = 0, sản phẩm bắt đầu làm việc và sau khoảng thời gian T ngẫu
nhiên nó bị h hỏng lần đầu ( thời gian T bao gồm tổng thời gian làm việc, thời gian gián
đoạn ), nên ta gọi chung là tuổi thọ của sản phẩm. Hiển nhiên tuổi thọ T là đại lợng ngẫu
nhiên liên tục không âm.
+ chỉ tiêu cơ bản của tính không hỏng là xác suất làm việc không hỏng:
R( t ) = P ( T t )
Đó là xác suất để tuổi thọ ngẫu nhiên T lấy giá trị không nhỏ hơn một số t đã cho, hay là
xác suất trớc thời điểm t không xẩy ra h hỏng.
Ví dụ: xác suất không hỏng của một số thiết bị sau 2000 giờ làm việc bằng 0,95, tức
là trung bình có 5% số thiết bị bị hỏng ttrớc 2000 giờ.
Vậy xác suất không hỏng rõ ràng phụ thuộc vào thhời điểm t đang xét, tức là vào tuổi
của sản phẩm. R(t) còn đợc gọi là hàm tin cậy.
Xác suất không hỏng có những tính chất sau:
1. 0 R(t ) 1
2. R(0) = 1
3. R() = 1
4. R(t1 ) R(t 2 )

với t 2 > t1

- Hàm R(t) đơn điệu tăng.

Xác suất hỏng:
Q(t) = P( T < t ) = 1- R(t).
Nh vây Q(t) là hàm phân phối tuổi thọ. Hàm Q(t) liên tục, tồn tại đạo hàm:
f (t ) =

dQ(t )
dR (t )

= Q / (t ) =
= R / (t )
dt
dt

( 3.3 )

f(t) gọi là hàm mật độ phân phối tuổi thọ của sản phẩm.
từ công thức ( 3.3 )ta có thể biểu diễn Q(t) và R(t) theo f(t):
t

Q(t ) = f (t )dt

( 3.4)

0

16


Đồ án tốt nghiệp


R (t ) = f (t ) dt

( 3.5 )

t

Thực tế có tập mẫu tiêu biểu gồm có n phần tử đợc thử hoặc làm việc dới cùng một

điều kiện. ở thời điểm t có n(t) sản phẩm không hỏng, lên ta có:
- Xác suất không hỏng thực nghiệm:


R n (t ) = R (t ) =

n(t )
n

( 3.6 )

- Hàm phân phối tuổi thọ thực nghiệm:


Qn (t ) = Q(t ) =


n n (t )
= 1 R (t )
n

( 3.7 )

- Hàm mật độ tuổi thọ thực nghiệm:


f n (t ) = f (t ) =

n(t ) n.(t + t ) n
=

n.t
n.t

( 3.8 )

Trong đó n là số sản phẩm bị hỏng trong khoảng thời gian sau thời điểm t.
3.3 Cờng độ hỏng:
Là mật độ phân phối xác suất có điều kiện để xuất hiện h hỏng tại thời điểm t với
điều kiện trớc đó trớc đó sản phẩm đã làm việc lhông hỏng. (t ) đợc gọi là cờng độ hỏng
của sản phẩm. Nó là một đặc trng cục bộ của độ tin cậy.
Ta có mối quan hệ giữa (t ) và R(t):
(t ) =

f (t )
=
R (t )

f (t )


f (t )dt

( 3.9 )

t

t

R (t ) = exp ( )d
0

( 3.10 )

Từ đó cũng rút ra đợc xác suất không hỏng trong một khoảng thời gian làm việc bất kỳ
(t1 , t 2 ) ta có:

17


Đồ án tốt nghiệp
t2

R (t1 , t 2 ) = exp (t )dt
t1


( 3.11 )

Ước lợng thống kê của hàm cờng độ hỏng đợc xác định theo công thức:


n (t ) = (t ) =

n
t.n(t )

( 3.12 )

Bảng 3-2: Biểu thức quan hệ giữa các hàm f(t), Q(t), R(t), và (t ) :

Các hàm

Q(t)

Q(t)

R(t)

_

f(t)

1 R(t)

t

f (t )dt

(t )
t

1 exp ( )d
0


0

R(t)

f(t)

1- Q(t)

/

Q (t )

(t )

1-

_

f (t )dt
0

R (t )

d [ ln R (t )]
dt

t

exp ( )d
0

t

(t ) exp ( )d

0


_

/

Q / (t )
1 Q (t )

t

f (t )


f (t )dt

_

0

3.4 Các đặc trng số của tính không hỏng:
Nh ở trên ta đã xét các dặc trng hàm của tính không hỏng. Trong nhiều trờng hợp cần
quan tâm tới các chỉ tiêu bằng số sau:
3.4.1 Kỳ vọng thời gian làm việc đến khi hỏng ( lần thứ nhất ) hay kỳ vọng tuổi thọ của
sản phẩm đợc định nghĩa bởi:


à = E (T ) = t. f (t ).dt
0

18

( 3.13 )


Đồ án tốt nghiệp
áp dụng tích phân từng phần ta có:




0

0

E (T ) = t.R (t ) 0 + R (t )dt = R (t )dt

( 3.14 )

Nếu tích phân này hội tụ thì kỳ vọng thời gian làm việc hỏng có giá trị bằng diện tích
giữa đờng cong R(t) và trục hoành.
Nếu có một tập mẫu t1 , t 2 ,...t n của tuổi thọ ngẫu nhiên, thì ớc lợng thống kê của kỳ
vọng tuổi thọ đợc gọi là tuổi thọ trung bình và bằng:
_

t=

1
1 n

(t1 + t 2 + ... + t n ) = t i
n
n i =1

( 3.15 )

3.4.2 Phơng sai của tuổi thọ:
Đợc định nghĩa bởi biểu thức:


2 (T ) = D(t ) = E ( T à ) 2 = t 2 f (t )dt à 2

( 3.16 )

0

Phơng sai thực nghiệm của tuổi thọ:

2

_
1 n

s = T) =
ti t

n 1 i =1

2

2

( 3.17 )

3.4.3 Độ lệch tiêu chuẩn của tuổi thọ:
Là căn bậc hai của phơng sai:
( 3.18 )

(T ) = D(T )

Độ lệch thực nghiệm của tuổi thọ:




( 319 )

s = (T ) = 2 (T )

3.4.4 Hệ số biến động của tuổi thọ:
Khi E(T) # 0 đợc định nghĩa bởi :
(T ) =

(T )
E (T )

( 3.20 )

Và ớc lợng thống kê của nó khi E # 0:
19

Đồ án tốt nghiệp


= =

s
E

( 3.21 )

3.5 Quan hệ giữa cờng độ hỏng với các quy luật phân phối tuổi thọ:
Qua những kết quả nghiên cứu tính chất vật lý của hiện tợng h hỏng, ngời ta lại biết
đợc quy luật biến đổi của cờng độ hỏng trớc khi biết đợc quy luật phân phối tuổi thọ, lên
trong thực tế ngời ta quan tâm tới cờng độ hỏng nhiều hơn mật độ.
3.5.1 Cờng độ hỏng không đổỉ:
Một dạng cờng độ hỏng điển hình của máy móc, thiết bị đợc chia làm 3 giai đoạn
nh hình vẽ sau:

- Giai đoạn I: Giai đoạn chạy rà, hỏng hóc xẩy ra nhiều ngay sau khi bớc vào
hoạt động sau đó h hỏng giảm dần cho đến cuối thời kỳ chạy rà.
- giai đoạn II: Thời kỳ làm việc ổn định. Thòi kỳ này tình trạng làm việc của
máy đợc gọi là tốt nhất, cờng độ hỏng ở mức thấp nhất và giữ không đổi.
- Giai đoạn III: Số lợng h hỏng tăng dần do những nguyên nhân: cặp ma sát bị
mài mòn, vật liệu bị lão hoá, một số bộ phận bị ăn mòn . . ..
20


Đồ án tốt nghiệp

Nếu thời gian làmviệc đợc kể từ sau thời kỳ chạy rà vầ kết thúc trớc khi cờng độ
hỏng tăng lên, có thể thừa nhận rằng, cờng độ hỏng của nhiều sản phẩm không
hỏng trong suốt quá trình làm việc.
(t ) = = const

( 3.22 )

Khi đó theo quan hệ đã biết bảng ( 3.1 ) ta có:
Xác suất không hỏng :

R (t ) = e t

( 3.23 )

Xác suất hỏng :

Q(t ) = 1 e t

( 3.24 )

mật độ tuổi thọ:

f (t ) = e t

(3.25 )

Đây là luật phân phối mũ, kỳ vọng và phơng sai của tuổi thọ:
E (T ) =

1

D(T ) = 2 (t ) =

( 3.26 )
1
2

( 3.27 )

3.5.2 Cờng độ hỏng tăng tuyến tính:
Truờng hợp đơn giản, khi riêng giai đoạn III hay suốt thờ gian hoạt động cờng độ
hỏng của sản phẩm tăng tuyến tính:
(t ) =

t
a

(3.28 )

Trong đó a là một hằng số dơng. Lúc đó hàm :
f (t ) =

t2
t
exp
a
2a

( 3.29 )

t2
R (t ) = exp
2a

( 3.30 )

Đó chính là luật phân phối Rayleigh.
3.5.3 Cờng đọ hỏng biến đổi theo quy luật luỹ thừa:
Nếu cờng độ hỏng đợc mô tả dới dạng:

21


Đồ án tốt nghiệp
(t ) =

.t 1


( 3.31 )

Khi đó ta có:
1
.t 1

f (t ) =
exp

1
R (t ) = exp






















( 3.32 )

(3.33 )

Đây chính là luật Weibull, tuỳ theo giá trị mà cờng độ hỏng có thể tăng giảm hoặc
không đổi.

3.5.4 Cờng độ hỏng biến đổi theo luật mũ:
Khi cờng độ hỏng tăng hoặc giảm nhanh theo thời gian, thì nó có thể đợc mô tả bởi:
(t ) = cet

( 3.34 )

c

f (t ) = cet txp (exp t 1)



( 3.35 )

c

R (t ) = exp (exp t 1)



( 3.36 )

Khi đó ta có:

Phân phối này phù hợp với luật phân phối cực trị. Tính chất của cờng độ hỏng phụ
thuộc vào các hằng số c và .
Ví dụ 3.1. Tính toán độ tin cậy của sản phẩm không phục hồi.
Để hiểu dõ phần lý thuyết đã trình bày ở trơng 3 ta lấy ví dụ: Xác định chỉ tiêu về tính
không hỏng của bộ phận máy chịu tải trọng biến đổi có số chu trình tải trọng đến khi bị
phá huỷ mỏi tuân theo luật loga chuẩn với các tham số à = 11,06; 2 = 0,0428

Gọi số chu trình tải trọng đến khi phá huỷ, hay tuổi thọ của bộ phận máy này là N. áp
dụng công thức: (2.32) và (2.33) ta có hàm mật độ và hàm phân phối tuổi thọ:
f (N ) =

ln N 11,06
.

N 0,0428 0.0428
1

22


Đồ án tốt nghiệp
ln N 11.06

Q( N ) =

0
,
0428



Trong đó các hàm ( z ), ( z ) là các hàm mật độ và phân phối của đại lợng.
ln N 11.06

z =

0

,
0428



Xác suất không hỏng ( hay hàm tin cậy) R(N) và hàm cờng độ hỏng của sản phẩm là:
R(N) = 1 Q(N) = 1- (z )
(N ) =

f (N )
R( N )

Kết quả tính toán giá trị các hàm nói trên theo biến N đợc nghi vào bảng 3.2, giá trị
các hàm ( z )va ( z ) `, đợc đọc trực tiếp từ bảng phụ lục I, II. kỳ vọng vầ phơng sai tuổi
thọ của bộ phận này đợc tính:
0,0428

4
E ( N ) = exp11,06 +
= 6,49.10
2

D( N ) = exp(2.11,06 + 0,0428).(exp 0,0428 1) = 1,847.10 8

Độ lệch quân phơng của tuổi thọ:
( N ) = D( N ) = 1,36.10 4

Và hệ số biến động của tuổi thọ:
( N ) 1,36.10 4
=

=
0,209
E ( N ) 6,49.10 4

23


§å ¸n tèt nghiÖp

B¶ng 3.2: B¶ng tÝng to¸n c¸c hµm f(N), Q(N), R(N) vµ λ (N) cho vÝ dô 3.1
N
( 10 4 chu tr×nh)
Z=

ln N − 11,06
0,0428

ϕ (z )
f (N ) =

R( N ) = 1 − φ ( z )

f (N )
R( N )

5,56

5,98

6,25

6,39

6,90

- 2,095

- 0,647

- 0,296

- 0,082

0,024

0 ,395

0,0449

0,323

0,382

0,398

0,399

0,370

2,81.10 −5

3,09.10 −5

3,07.10 −5

3,01.10 −5

2,59.10 −5

0,0183

0,2612

0,3859

0,4681

0,5079

0,6517

0,9817

0,7388

0,6141

0,5319

04921

0,3483

0,5868.

3,8028.

5,0318.

5,7719.

6,1176.

7,3368.

10 −5

10 −5

10 −5

10 −5

10 −5

10 −5

ϕ ( z)
0,527.10 −5
N 0,0428

φ ( z ) = Q( N )

λ(N ) =

4,12

24


Đồ án tốt nghiệp
3.6. Các chỉ tiêu độ tin cậy của sản phẩm có phục hồi
Giả sử sau khi hỏng sản phẩm đợc phục hồi khả năng làm việc bằng cách sửa chữa
hoặc thay mới. Sản phẩm bắt đầu làm việc ở thời điểm t = 0. Sau một khoảng thời gian
làm việc T1 , nó ngừng hoạt động trong thời gian 1 để tiến hành sửa chữa h hỏng, rồi lại
hoạt động trong khoảng T2 . Ta thấy các đại lợng ngẫu nhiên T1 ,T2 . . . độc lập với nhau
có cùng phân phối.
3.6.1 Dòng hỏng và các đặc trng xác suất của dòng hỏng
Sự kiện hỏng hoặc sự kiện phục hồi bắt đầu xẩy ra ở các điểm ngẫu nhiên. Quá trình đợc tạo thành bởi tập hợp các thời điểm ngẫu nhiên đó là một quá trình điểm và đợc gọi là
dòng phục hồi.
Các đặc trng xác suất của dòng hỏng đó là:
- Kỳ vọng số lần hỏng trớc thời điểm t:
(t) = E[r(t)]

( 3.37 )

(t): là kỳ vọng số lần phục hồi, còn đợc gọi là hàm phục hồi.

-Kỳ vọng số sự kiện hỏng xẩy ra trong khoảng thời gian (t , t + t ) :
( 3.38 )

E[ r(t + t) r(t) ] = E[ r(t + t) ] E[r(t)] = (t + t ) (t )
Cờng độ hỏng hay cờng độ phục hồi:
(t + t ) (t ) d(t )
=
t 0
t
dt

(3.39)

(t ) = lim

Nó là số lần hỏng ( hay phục hồi ) trung bình xuất hiện trong một đơn vị thời gian, bắt
đầu từ thời điểm t đến thời diểm t + t .
Vậy định nghĩa thống kê của cờng độ dòng hỏng:


(t ) =

r (t + t ) r (t )
t



Thực tế hàm (t ) dợc xác địng bằng cách :chia khoảng thời gian quan sát thành nhiều


khoảng đều nhau, sao cho số lần hỏng xẩy ra trong mỗi khoảng đủ lớn. (t ) là tỷ số sự
kiện xẩy ra trong khoảng với độ dài khoảng thời gian đó.

25