Chapter 8 lý thuyết mạch 1 Lecture 8: Đáp ứng tự nhiên và đáp ứng bậc thang của mạch RLC

Lecture 8: Đáp ứng tự nhiên và
đáp ứng bậc thang của mạch RLC


Đáp ứng tự nhiên và bậc thang
trong mạch RLC








Xem xét 2 trường hợp mắc song song và nối tiếp RLC.
Đáp ứng tự nhiên là kết quả của việc xả năng lượng tích tụ của L, C hay cả hai.
Điện áp ban đầu trên tụ điện đại diện cho năng lượng tích tụ trên tụ điện.
Dòng điện bạn đầu trên cuộn cảm đại diện cho năng lượng tích tụ trên L.
Trong mạch RLC song song, tìm điện áp trên các thành phần
Trong mạch RLC nối tiếp, tìm dòng điện trên các thành phần. ,
Đáp ứng bậc thang được biểu diễn dưới dạng của điện áp/dòng điện là đáp ứng
của mạch với sự thay đổi của nguồn ngoài
(RLC song song – điện áp, RLC nối tiếp – dòng điện )


Đáp ứng tự nhiên của mạch RLC
song song


Xem mạch song song như bên



Phương trình điện áp sẽ được viết lại theo KCL:



Viết lại pt ta có:

Giải phương trình với hằng số.

Giả sử phương trình giải ra có dạng:

Thay vào đó ta có:
As st Ae st
As e 
e 
 0 or
RC
LC
2 st

v  A.e st
s
1  st
 2

s 
. Ae  0
RC
LC





Đáp ứng tự nhiên của mạch RLC
song song


Để thỏa mãn phương trình thì phần trong ngoặc đơn phải bằng 0, có nghĩa là:
s
1
s2 

0
RC LC

Gọi là pt đặc tính của RLC song song

Có 2 nghiệm:
2
2
s1     2  0 and s1     2  0
1
[rad / s] - Tần số Neper, RLC song song
Where:  
2 RC
1
0 
[rad / s] - Tần số cộng hưởng, RLC song song
LC

s1 và s2 gọi là complex frequencies(tần số phức)

Chú ý: Tất cả các tần số trên có đơn vị rad/s

2 nghiệm thỏa mãn giả sử thì kết quả được viết lại:


v  A1e s1t  A2e s2t


Đáp ứng tự nhiên của mạch RLC
song song


Giá trị của s1 và s2, tùy thuộc vào α và ω0 . Do đó sẽ có 3 tình huống:
Nếu 0   - 2 nghiệm là số thực và khác nhau– Over damped (quá giới hạn/quá độ)
2
2
If 0  
- 2 nghiệm là số phức và liên hợp – Under damped(tắt dần)
2
2
If 0   - 2 nghiệm thực và bằng nhau – Critically damped(tắt dần tới hạn)
2









2

3 tình huống trên sẽ ảnh hưởng đến giá trị điện áp cuối cùng(giá trị ổn định).
Giá trị chưa biết A1 và A2 sẽ xác định từ các điều kiện ban đầu


Điện áp đáp ứng quá giới hạn













Khi s1 và s2 là số thực và khác nhau, điện áp đáp ứng là “over damped”.
v  A1e s1t  A2e s2t
Kết quả được biểu diễn:

dv0  



v
0
Giá trị A1 và A2 được xác định bởi đk đầu
:
và
dt




v
0

A

A


dv
0
Chú ý:
1
2
s A s A
dt

 

1 1

2

2

v 0  giá trị điện áp đầu của tụ điện, V Giá trị dòng ban đầu của cuộn cảm , I
0
0

Tìm dòng ban đầu qua tụ điện tại thời điểm t  0 sử dụng KCL:
dv(0  ) ic (0  )

dt
C

Nghĩa:
Giải ra A1 và A2.
See examples 8.2 and 8.3

ic ( 0  ) 

V0
I0
R


Điện áp trong đáp ứng tắt dần



Khi s1 và s2 là số phức và liên hợp, điện áp sẽ là “under damped”.

s1 và s2 là:
s    j
s    j
1

d  02   2



1
[rad / s]
2 RC

d

2

- damped radian frequency
0 

1
[rad / s]
LC

Hàm đáp ứng với mạch RLC song song được biểu diễn:

Với B1 và B2 là giá trị thực.

B1 và B2 được xác định từ đk ban đầu:


Chú ý:



Tìm B1 và B2
See Examples 8.4

d


Phân tích đáp ứng tắt dần







Các hàm lượng giác cho thấy là các đáp ứng này là dao động.
Biên độ dao động giảm theo cấp số
Tỉ lê giảm độ lớn được xác định bởi α
Do đó α coi là hệ số giảm xóc (coefficient)
Mạch có dao động vì có 2 loại( tụ điện và cuộn cảm) tích năng lượng
Khi R → ∞ , α → 0,  d → 0 , khi đó , dao động tại0 được duy trì
và biên độ điện áp không đổi


Điện áp trong đáp ứng tắt dần tới
hạn



Khi
, s1 và s2 là số thực và bằng nhau ; đáp ứng điện áp làcritically
damped.
Từ đó,
PT với mạch RLC song song:



Giá trị D1 và D2 được xác đinh :








2 pt cần thiết:
Tìm ra D1 và D2


Đáp ứng bậc thang của mạch RLC
song song









Tìm bước đáp ứng của một mạch RLC song song liên quan đến việc tìm kiếm các điện
áp trên các nhánh song song hoặc dòng điện trong các ngành riêng lẻ là kết quả của
các sự thay đổi bất ngở của nguồn DC.
Có thể có hoặc không năng lượng tích trong mạch khi gắn vào nguồn.
Xem mạch sau.

Dòng điện trong cuộn cảm là (iL) Khóa mở tại thời điểm t=0, giả sử không có năng
lượng tích tụ trong mạch
Sau 1 thời gian khá dài, iL= I


Đáp ứng bậc thang của mạch RLC
song song


Từ KCL ta có:



vì



Thay vào ta có:



Ta sẽ có:


Đáp ứng bậc thang của mạch RLC
song song




Phụ thuộc vào nghiệm của pt đặc trưng mà ta có 1 trong 3 dạng sau:

As can be seen the solution for the second-order diff. equ. With a constant
forcing function equals the forced response plus a response identical to the
natural response, i.e:


Đáp ứng tự nhiên và đáp ứng bậc
thang với mạch RLC nối tiếp


Đáp ứng tự nhiên
Giống như xác định cho mạch RLC song song
Áp dụng KVL với mạch RLC nối tiếp.



Viết lại pt:








PT đặc tính:
Nghiệm là:


Đáp ứng tự nhiên và đáp ứng bậc
thang với mạch RLC nối tiếp


Với nghiệm của pt đặc trưng ta có 3 trường hợp sau:


Đáp ứng bậc thang ở mạch
RLC nối tiếp.


Xác định mạch RLC nối tiếp với nguồn áp
Áp dụng KVL vào mạch.



Ta có:



Viết lại pt:



Giống như các trường hợp trước ta có 3 trường hợp khác nhau:

