BÀI GIẢNG ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH - CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU

TRƯờNG ĐạI HọC GIAO THÔNG VậN TảI
Biên soạn : TS Đỗ Văn Bình

Bài giảng

ổn định
công trình

1

Mở đầu

1. ý nghĩa của việc nghiên cứu ổn định công trình
Khi thiết kế kết cấu công trình, nếu chỉ kiểm tra điều kiện bền và điều kiện cứng
không thôi thì cha đủ để phán đoán khả năng làm việc của công trình. Trong


nhiều trờng hợp, đặc biệt là các kết cấu chịu nén hoặc nén cùng với uốn, tuy tải
trọng cha đạt đến giá trị phá hoại và có khi còn nhỏ hơn giá trị cho phép về điều
kiện bền và điều kiện cứng nhng kết cấu vẫn có thể mất khả năng bảo toàn hình
dạng ban đầu ở trạng thái biến dạng mà chuyển sang dạng cân bằng khác. Nội
lực trong dạng cân bằng mới đó sẽ phát triển rất nhanh và làm cho công trình bị
phá hoại. Đó là hiện tợng kết cấu bị mất ổn định.
Bài toán ổn định đã đợc quan tâm từ đầu thế kỷ XViii, khởi đầu từ công trình
nghiên cứu bằng thực nghiệm do Piter van Musschenbroek công bố năm 1729,
đã đi đến kết luận đúng: "lực tới hạn tỷ lệ nghịch với bình phơng chiều dài
thanh". Ngời đặt nền móng cho việc nghiên cứu lý thuyết bài toán ổn định là L.
euler qua công trình công bố đầu tiên vào năm 1744. Tuy nhiên, cho mãi đến
cuối thế kỷ XiX vấn đề ổn định công trình mới đợc phát triển mạnh mẽ qua
những cống hiến của các nhà khoa học nh: Giáo s F. S. iaxinski, Viện sỹ a. N.
Đinnik, Viện sỹ V. G. Galerkin... Cho đến nay, đã có rất nhiều công trình nghiên

cứu về lĩnh vực này và đã giải quyết tốt những yêu cầu cơ bản của thực tế. Trong
phạm vi bài giảng này ta sẽ nghiên cứu các phơng pháp tính ổn định của những
hệ thanh làm việc trong giới hạn đàn hồi chịu tải trọng tác dụng tĩnh là chủ yếu.

2. Khái niệm về ổn định và mất ổn định
a. Định nghĩa
Định nghĩa toán học của a. M. Liapunov về ổn định chuyển động đợc xem là
tổng quát và bao chùm cho mọi lĩnh vực [7].
Trong lĩnh vực công trình, ổn định là tính chất của công trình có khả năng giữ
đợc vị trí ban đầu hoặc giữ đợc dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến
dạng tơng ứng với các tải trọng tác dụng.
Tính chất ổn định của công trình thờng không phải là vô hạn khi tăng giá trị
của các tải trọng tác dụng trên công trình. Khi tính chất đó mất đi thì công trình
không còn khả năng chịu tải trọng, lúc này công trình đợc gọi là không ổn định.
Nh vậy, vị trí của công trình hoặc dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến
dạng của công trình có khả năng ổn định hoặc không ổn định.


Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến
dạng của công trình đợc gọi là ổn định dới tác dụng của tải trọng nếu
nh sau khi gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ khỏi vị trí ban đầu
hoặc dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân bất kỳ nào đó ngoài
tải trọng đã có (còn đợc gọi là nhiễu) rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì công
trình sẽ có khuynh hớng quay trở về trạng thái ban đầu.



Vị trí của công trình hay dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến
dạng của công trình đợc gọi là không ổn định dới tác dụng của tải trọng
nếu nh sau khi gây cho công trình một độ lệch rất nhỏ khỏi vị trí ban

đầu hoặc dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân bất kỳ nào đó
ngoài tải trọng đã có rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì công trình sẽ không
quay trở về trạng thái ban đầu. Lúc này, độ lệch của công trình không
có khuynh hớng giảm dần mà có thể tiếp tục phát triển cho đến khi công
trình có vị trí mới hoặc dạng cân bằng mới.

Bớc quá độ của công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định
gọi là mất ổn định. Giới hạn đầu của bớc quá độ đó gọi là trạng thái tới hạn
2


của công trình. Tải trọng tơng ứng với trạng thái tới hạn gọi là tải trọng tới
hạn.
Từ khái niệm về ổn định ta cũng cần phân biệt hai trờng hợp: mất ổn định về vị
trí và mất ổn định về dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng.
Mất ổn định về vị trí
Hiện tợng mất ổn định về vị trí xảy ra khi toàn bộ công trình đợc xem là tuyệt
đối cứng, không giữ nguyên đợc vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển sang vị trí
khác. Đó là trờng hợp mất ổn định lật hoặc trợt của các công trình tờng chắn,
mố cầu, trụ cầu, tháp nớc... Trong những trờng hợp này, các ngoại lực tác dụng
trên công trình không thể cân bằng ở vị trí ban đầu của công trình mà chỉ có
thể cân bằng ở vị trí mới khác vị trí ban đầu. Vị trí của các vật thể tuyệt đối
cứng có thể là ổn định, không ổn định hoặc phiếm định.
Một ví dụ đơn giản về hiện tợng ổn định và mất ổn định về vị trí là trờng hợp
viên bi ở các vị trí khác nhau nh trên hình 1.
Mặc dù viên bi đều cân bằng ở cả ba vị trí, song có sự khác nhau cơ bản giữa ba
trờng hợp này khi có một nguyên nhân nào đó đa viên bi lệch khỏi vị trí cân
bằng ban đầu với một lợng vô cùng
bé rồi thả ra, ta thấy:

Trờng hợp thứ nhất, viên bi đặt trên mặt cầu lõm (hình 1.a): viên bi dao động
quanh vị trí ban đầu rồi cuối cùng trở về vị trí cũ. Vị trí này là vị trí cân bằng
ổn định.
Hình 1
Khi lệch khỏi vị trí cân bằng ổn định, thế năng của viên bi tăng lên. Do đó, vị
trí của viên bi ở dới đáy mặt cầu lõm hay vị trí cân bằng ổn định tơng ứng với
khi thế năng của viên bi là cực tiểu.
Trờng hợp thứ hai, viên bi đặt trên mặt cầu lồi (hình 1.b): viên bi không trở về
vị trí ban đầu mà tiếp tục lăn xuống phía dới. Vị trí này là vị trí cân bằng
không ổn định. Khi lệch khỏi vị trí cân bằng không ổn định, thế năng của viên
bi giảm. Do đó, vị trí cân bằng không ổn định tơng ứng với khi thế năng của
viên bi là cực đại.
Trờng hợp thứ ba, viên bi đặt trên mặt phẳng (hình 1c): viên bi không quay về
vị trí ban đầu và cũng không chuyển động tiếp tục. Vị trí này là vị trí cân
bằng phiếm định. Vị trí cân bằng phiếm định tơng ứng với khi thế năng của
viên bi không đổi.
Mất ổn định về dạng cân bằng
Hiện tợng mất ổn định về dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng xảy ra khi
dạng biến dạng ban đầu của vật thể biến dạng tơng ứng với tải trọng còn nhỏ,
buộc phải chuyển sang dạng biến dạng mới khác trớc về tính chất nếu tải trọng
đạt đến một giá trị nào đó hoặc xảy ra khi biến dạng của vật thể phát triển
nhanh mà không xuất hiện dạng biến dạng mới khác trớc về tính chất nếu tải
trọng đạt đến một giá trị nào đó. Trong những trờng hợp này, sự cân bằng giữa
các ngoại lực và nội lực không thể thực hiện đợc tơng ứng với dạng biến dạng
ban đầu mà chỉ có thể thực hiện đợc tơng ứng với dạng biến dạng mới khác
3


dạng ban đầu về tính chất hoặc chỉ có thể thực hiện đợc khi giảm tải trọng.
Hiện tợng này khác với hiện tợng mất ổn định về vị trí ở các điểm sau: đối tợng

nghiên cứu là vật thể biến dạng, không phải tuyệt đối cứng; sự cân bằng cần đợc xét với cả ngoại lực và nội lực.
Bài toán ổn định về vị trí thờng đơn giản, trên cơ sở vận dụng các điều kiện cân
bằng đã biết trong Cơ học cơ sở cũng đủ để giải bài toán. Trong bài giảng này
chỉ xét bài toán ổn định về dạng cân bằng ở trạng thái biến dạng.

B. Phân loại
Xuất phát từ hai quan niệm khác nhau về trạng thái tới hạn của euler và của
Poincarré, có thể chia thành hai loại mất ổn định với các đặc trng nh sau:
Mất ổn định loại một
Các đặc trng của hiện tợng mất ổn định loại một hay mất ổn định euler:
Dạng cân bằng có khả năng phân nhánh.
Phát sinh dạng cân bằng mới khác dạng cân bằng ban đầu về tính chất.
Trớc trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là duy nhất và ổn định; sau
trạng thái tới hạn dạng cân bằng ban đầu là không ổn định.
Để minh họa ta xét một ví dụ đơn giản là trờng hợp thanh thẳng chịu nén
đúng tâm nh trên hình 2a:
Khi lực P còn nhỏ, thanh
vẫn thẳng, trạng thái chịu
nén của thanh là trạng thái
ban đầu và duy nhất. Nếu
đa hệ ra khỏi dạng ban đầu
bằng một nguyên nhân nào
đó rồi bỏ nguyên nhân đó
đi thì hệ sẽ dao động rồi trở
về dạng ban đầu nh cũ. Do
đó, dạng cân bằng này là
ổn
định.
Hình 2
Trạng thái cân bằng ổn định này đợc mô tả bởi đoạn oa trên đồ thị liên hệ

giữa chuyển vị và tải trọng P (hình 2c).
Khi tăng lực P đến một giá trị gọi là lực tới hạn Pth, thanh ở trạng thái tới
hạn. Lúc này, ngoài trạng thái cân bằng chịu nén còn có khả năng phát sinh
đồng thời trạng thái cân bằng uốn dọc, nghĩa là thanh ở trạng thái cân bằng
phiếm định. Nh vậy, dạng cân bằng bị phân nhánh thành hai dạng biến dạng.
Trạng thái này tơng ứng với điểm phân nhánh a trên đồ thị (hình 2c).
Khi P > Pth, trạng thái cân bằng chịu nén vẫn có khả năng tiếp tục tồn tại
song không ổn định vì nếu đa hệ ra khỏi dạng ban đầu bằng một nguyên
nhân nào đó rồi bỏ nguyên nhân đó đi thì hệ sẽ không có khả năng trở về
dạng thẳng ban đầu. Dạng cân bằng không ổn định này tơng ứng với nhánh
aB trên đồ thị (nhánh có điểm thêm các dấu chấm trên hình 2c). Trong hệ
cũng phát sinh đồng thời trạng thái cân bằng uốn dọc khi biến dạng của
thanh là hữu hạn (hình 2b). Dạng cân bằng này là ổn định và đợc mô tả bởi
nhánh aC hoặc aD trên đồ thị (hình 2c).
4


Nếu tiếp tục tăng lực P thì về mặt lý thuyết trong thanh sẽ phát sinh những
dạng cân bằng mới dới dạng uốn dọc tơng ứng với những lực tới hạn bậc
cao. Tuy nhiên, ngoài dạng cân bằng thứ nhất tơng ứng với lực tới hạn nhỏ
nhất, những dạng cân bằng tơng ứng với lực tới hạn bậc cao đều là không ổn
định, hiếm khi xảy ra và không có ý nghĩa thực tế. Bởi vậy trong thực tế ta
chỉ cần tìm lực tới hạn nhỏ nhất.
Hiện tợng mất ổn định loại một có thể xảy ra tơng ứng với các dạng sau:
1. Mất ổn định dạng nén đúng tâm. Ngoài ví dụ vừa xét, trên hình 3 giới thiệu
một số ví dụ khác về mất ổn định dạng nén đúng tâm nh: vành tròn kín (hình
3a) chịu áp lực phân bố đều hớng tâm (áp lực thủy tĩnh); vòm parabol chịu
tải trọng phân bố đều theo phơng ngang (hinh 3b). Đó là những hệ chỉ chịu
nén đúng tâm nếu bỏ qua ảnh hởng của biến dạng nén đàn hồi khi hệ còn ổn
định. Nếu tải trọng q vợt quá giá trị qth thì trong hệ sẽ phát sinh dạng cân

bằng mới theo đờng đứt nét. Trong trờng hợp khung chịu tải trọng nh trên
hình 3c: khi P < Pth, khung có dạng cân bằng chịu nén; khi P > Pth, dạng
cân bằng chịu nén không ổn định và khung có dạng cân bằng mới chịu nén
cùng với uốn theo đờng đứt nét trên hình vẽ.

Hình 3
2. Mất ổn định dạng biến dạng đối xứng. Ví dụ, ta xét khung đối xứng chịu tải
trọng tác dụng đối xứng nh trên hình 4.

Hình 4

Hình 5

Khi P < Pth, khung có dạng cân bằng ổn định là dạng đối xứng (đờng liền
nét); khi P > Pth, dạng cân bằng đối xứng không ổn định và khung có dạng
cân bằng mới không đối xứng (đờng đứt nét).
3. Mất ổn định dạng uốn phẳng. Ví dụ, ta xét dầm chữ i chịu uốn phẳng do tải
trọng P (hình 5). Khi P < Pth, dầm có dạng cân bằng ổn định là dạng uốn
phẳng; khi P > Pth, dạng uốn phẳng không ổn định và dầm có dạng cân bằng
mới là dạng uốn cùng với xoắn (đờng đứt nét).
Mất ổn định loại hai
Các đặc trng của hiện tợng mất ổn định loại hai nh sau:
Dạng cân bằng không phân nhánh.
5


Biến dạng và dạng cân bằng của hệ không thay đổi về tính chất.

Hình 6
Để minh họa ta xét một ví dụ đơn giản: trờng hợp dàn Mises có ba khớp a, B,

C chịu lực P đặt tại khớp C nh trên hình 6a. Đồ thị liên hệ giữa lực P và
chuyển vị thẳng đứng f tại C nh trên hình 6b.
Để dựng đồ thị này ta cần tìm tọa độ của các điểm trên đờng cong P = P(f),
ứng với mỗi điểm ta thực hiện nh sau: tơng ứng với mỗi giá trị chuyển vị f1 ta
dễ dàng tìm đợc biến dạng dọc trục của các thanh aC, BC; tiếp đó từ biến
dạng đã biết tìm đợc giá trị lực dọc N1 trong các thanh và suy ra giá trị P1 tơng ứng theo tổng hình học của các lực N1. Ta nhận thấy ở giai đoạn đầu lực
P tăng lên cùng với độ võng f nhng khi f = h tức là khi ba khớp a, B, C nằm
trên cùng đờng thẳng thì P = 0. Sự liên hệ giữa lực P và chuyển vị f là liên tục
nên đờng cong P = P(f) phải có dạng nh trên hình 6b.
Giá trị của lực P tơng ứng với khi độ võng tăng mà không cần tăng tải trọng
gọi là lực tới hạn. Khi P = Pth, sự cân bằng giữa nội lực và ngoại lực đạt đến
trạng thái giới hạn. Khi P > Pth, sự cân bằng chỉ có thể xảy ra khi giảm tải
trọng P. Trạng thái giới hạn đợc xác định từ điều kiện: dP/df = 0.
Đó là hiện tợng mất ổn định loại hai hay hiện tợng mất khả năng chịu lực theo
trạng thái giới hạn thứ nhất. Trong trờng hợp này ta thấy biến dạng của hệ
phát triển nhng không thay đổi về tính chất, không phân nhánh.
Trong thực tế, các cấu kiện của công trình thờng không đơn thuần chịu nén mà
chịu uốn cùng với nén nên các cấu kiện này thờng bị mất ổn định loại hai với
tải trọng nhỏ hơn tải trọng tới hạn loại một. Tuy vậy, khi xác định khả năng
chịu lực của các cấu kiện chịu uốn cùng với nén ta vẫn cần biết giá trị tới hạn
của lực dọc trong các cấu kiện đó tơng ứng với sự mất ổn định loại một (xem
mục 3.1, chơng 3). Do đó, sự nghiên cứu hiện tợng mất ổn định loại một không
những chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tế.

C. Phạm vi và nhiệm vụ nghiên cứu
Trong phạm vi bài giảng ta chỉ nghiên cứu bài toán ổn định loại một về dạng
cân bằng trong trạng thái biến dạng của các loại thanh và hệ thanh làm việc
trong giới hạn đàn hồi chịu tải trọng tác dụng tĩnh.
Nhiệm vụ chính là nghiên cứu
các phơng pháp xác định tải

trọng tới hạn để đánh giá khả
năng chịu lực của công trình.
Hình 7
Trong trờng hợp hệ chịu nhiều lực
tác dụng đồng thời nh trên hình 7,
thay thế cho tải trọng tới hạn ta dùng khái niệm về thông số tới hạn để đánh giá
6


khả năng ổn định.
Hình 7
Thông số tới hạn là độ an toàn về mặt ổn định của công trình đối với một nhóm
lực nhất định.
Chẳng hạn, cần xác định độ an toàn của khung trên hình 7 đối với ba lực P1, P2
và P4 trong số bốn lực tác dụng trên hệ. Muốn vậy ta nhân ba lực này với thông
số và tìm giá trị tới hạn th của thông số để sao cho khi hệ chịu tác dụng đồng
thời của các lực th P1, th P2 , P3 và th P4 (nghĩa là tăng các lực P1, P2 và P4
lên th lần còn lực P3 không tăng) thì khung sẽ đạt tới trạng thái tới hạn.

3. Khái niệm về bậc tự do
Bậc tự do của hệ là số thông số hình học độc lập đủ để xác định vị trí của tất cả
các điểm của hệ khi hệ mất ổn định.
Ví dụ, hệ gồm hai thanh tuyệt đối cứng đợc liên kết nh trên hình 8 có bậc tự do
bằng một vì toàn bộ dạng mất ổn định (đờng đứt nét) của hệ đợc xác định theo
một thông số (chuyển vị y1 của khớp giữa hay góc xoay 1 của một thanh nào
đó).
Hệ gồm bốn thanh tuyêt đối cứng đợc liên kết nh trên hình 9 có bậc tự do bằng
hai. Thật vậy, sau khi xác định vị trí mới 1', 2' của khớp 1 và 2 bằng hai thông số
1 và 2 ta dễ dàng tìm đợc vị trí mới 3' của khớp 3 là giao điểm của đờng tròn
có tâm 2' bán kính l với đờng tròn có tâm b bán kính h.

Hình 8

Hình 9

Với hệ có bậc tự do bằng n ta có n giá trị lực tới hạn. Ngoài lực tới hạn nhỏ nhất
tơng ứng với dạng cân bằng ổn định còn các lực tới hạn khác tơng ứng với dạng
cân bằng không ổn định.
Các hệ biến dạng đàn hồi có bậc
tự do bằng vô cùng nên có vô số
giá trị lực tới hạn song chỉ có
lực tới hạn nhỏ nhất là có ý
nghĩa thực tế. Ví dụ với thanh
có hai đầu khớp trên hình 10a,
từ Sức bền vật liệu ta đã biết lực
tới hạn dợc xác định theo công
thức:
Pn,th = (n )2

EI
l2

,

với n - số nguyên.
7


Lần lợt cho n = 1, 2, 3, ta sẽ đợc vô số giá trị của lực tới hạn: Hình 10
P1,th = 2

EI
l

2

;

P2,th = 42

EI
l

2

;

P3,th = 92

EI
l2

,

Trên hình 10a, b, c là các dạng biến dạng tơng ứng với giá trị thứ nhất, thứ hai và
thứ ba của lực tới hạn. Chỉ có lực tới hạn thứ nhất tơng ứng với giá trị nhỏ nhất
mới có ý nghĩa thực tế. Các lực tới hạn thứ hai, thứ ba... chỉ có ý nghĩa lý luận và
các dạng biến dạng tơng ứng không ổn định.

4. Khái niệm về các phơng pháp nghiên cứu

a. Phơng pháp tĩnh học
Nội dung: Tạo cho hệ nghiên cứu một dạng cân bằng lệch khỏi dạng cân
bằng ban đầu; xác định giá trị của lực (lực tới hạn) có khả năng giữ cho hệ
ở trạng thái cân bằng mới lệch khỏi dạng cân bằng ban đầu. Lực tới hạn đợc
xác định từ phơng trình đặc trng hay còn gọi là phơng trình ổn định biểu thị
điều kiện tồn tại dạng cân bằng mới.
Có thể vận dụng nội dung nói trên dới nhiều hình thức khác nhau, do đó tồn tại
nhiều thể loại phơng pháp tĩnh học:
1) Phơng pháp thiết lập và giải phơng trình vi phân.
2) Phơng pháp thông số ban đầu.
3) Phơng pháp lực.
4) Phơng pháp chuyển vị.
5) Phơng pháp hỗn hợp.
6) Phơng pháp phần tử hữu hạn.
7) Phơng pháp thiết lập và giải hệ phơng trình đại số.
8) Phơng pháp sai phân hữu hạn.
9) Phơng pháp dây xích.
10) Phơng pháp nghiệm đúng tại từng điểm.
11) Phơng pháp Bubnov-Galerkin.
12) Phơng pháp giải đúng dần.
Các phơng pháp từ 1 đến 6 đợc xem là "chính xác"; các phơng pháp từ 7 đến 12
đợc xem là gần đúng. Trong thực hành, phơng pháp 1 cho phép giải dễ dàng
các bài toán thanh đơn giản. Đối với hệ thanh, khi giải chính xác ta thờng áp
dụng các phơng pháp 2, 3, 4, 5, 6. Đối với các thanh phức tạp, thanh có tiết diện
thay đổi, các phơng pháp gần đúng (7 ữ 12) thờng đợc áp dụng có hiệu quả mà
vẫn đảm bảo đợc sai số trong phạm vi cho phép. Trong phạm vi bài giảng này
chỉ đề cập đến các phơng pháp 1; 7; 8; 11 (chong 1); 2 (chơng 2); 4; 6 (chơng
3).

B. Phơng pháp năng lợng

Nội dung: Giả thiết cho trớc dạng biến dạng của hệ ở trạng thái lệch khỏi
dạng cân bằng ban đầu; căn cứ vào dạng biến dạng đã giả thiết, lập các
biểu thức thế năng biến dạng và công của ngoại lực để viết điều kiện tới hạn
của hệ theo tiêu chí dới dạng năng lợng; từ điều kiện tới hạn sẽ xác định đợc
giá trị của lực tới hạn.
Nếu dạng biến dạng giả thiết chọn đúng thì kết quả tìm đợc là chính xác. Trong
8


thực hành nói chung ta cha biết đợc chính xác dạng biến dạng của hệ nên kết
quả tìm đợc theo phơng pháp năng lợng thờng là gần đúng và cho giá trị lực tới
hạn lớn hơn giá trị chính xác (xem 1.8). Nh vậy, mức độ chính xác của kết quả
tìm đợc theo phơng pháp năng lợng phụ thuộc khả năng phán đoán dạng biến
dạng của hệ ở trạng thái lệch.
Các phơng pháp năng lợng thờng áp dụng là :
1) Phơng pháp áp dụng trực tiếp nguyên lý Lejeune - Đirichlet.
2) Phơng pháp Rayleigh - Ritz.
3) Phơng pháp Timoshenko.

C. Phơng pháp động lực học
Nội dung: Lập và giải phơng trình dao động riêng của hệ chịu lực; xác định
giá trị lực tới hạn bằng cách biện luận tính chất của nghiệm của chuyển
động.

9