2. ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG

2

ổn định của thanh thẳng

2.1. Các phơng trình chuyển vị và nội lực trong thanh chịu
uốn cùng với nén hoặc kéo
Xét thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng trong hệ toạ độ nh trên
hình 2.1a. Giả sử ở trạng thái biến dạng, đầu trái của thanh có chuyển vị thẳng
theo phơng trục y là y(0) và chuyển vị góc là y'(0), đồng thời tại đầu trái cũng
xuất hiện mômen uốn M(0) và lực Q(0) vuông góc với vị trí ban đầu của thanh
(hình 2.1a).

Hình 2.1

Mômen uốn tại tiết diện bất kỳ có hoành độ z của thanh ở trạng thái biến dạng:
M(z) = M(0) + Q(0) z + P[ y y(0)].
y" = M / ei , ta có:

Từ phơng trình vi phân của đờng đàn hồi:

1
{ M(0) + Q(0) z + P[ y y(0)]} .
EI
1
P
y"+ 2 y = [M(0) + Q(0) z Py(0)] , với 2 =
.
EI
EI

y" =

Hay:

(2.1)

Nghiệm của phơng trình vi phân (2.1) có dạng:
y(z) = a sin z + B cos z

1
2

EI

[M(0) + Q(0) z Py(0)] .

(2.2)

Các hằng số tích phân a và B đợc xác định theo các điều kiện biên ở đầu trái tại
z = 0. Để thực hiện, ta lấy đạo hàm phơng trình (2.2) theo z:
y'(z) = a cos z B sin z

1
2

EI

Q(0).

(2.3)

Từ (2.2) và (2.3) ta có thể viết điều kiện biên ở đầu trái tại z = 0 nh sau:
y(0) = B
Suy ra:

1
2

[M(0) Py(0)] ;

EI
Q( 0)
y' ( 0)
a=
+ 3 ;

EI

y'(0) = a

B=

M ( 0)

2 EI

1
2

EI

Q(0) .

.

Thay các giá trị vừa tìm đợc của a và B vào (2.2) và chú ý là 2=P/ei ta đợc phơng trình đờng đàn hồi ở trạng thái biến dạng:
y(z) = y(0) +

M ( 0)
Q( 0)
y' ( 0)
sin z 2 (1cos z) 3 ( z sin z). (2.4)

EI
EI

Các đại lợng y(0), y'(0), M(0) và Q(0) đợc gọi là các thông số ban đầu.
33


Tùy theo điều kiện liên kết ở đầu thanh, các thông số ban đầu có thể là đã biết
hoặc cha biết. Các thông số ban đầu cha biết đợc xác định theo các điều kiện
biên ở đầu phải của thanh.
Từ phơng trình (2.4), ta tìm đợc phơng trình góc xoay và từ đó suy ra phơng trình
mômen uốn trong thanh:
Q( 0 )
M( 0)
sin z 2 (1 cos z) ;
EI
EI
Q( 0 )

M(z) =ei y"(z) = eiy'(0) sin z + M(0)cos z +
sin z .


y'(z) = y'(0) cos z

(2.5)
(2.6)

Từ điều kiện cân bằng lực nh trên hình 2.1b ta xác định đợc lực cắt theo sơ đồ
thanh không biến dạng:
dM ( z )
dy( z )
P
= Q(0) .
dz
dz

Q(z) =

(2.7)

Các phơng trình từ (2.4) đến (2.7) thiết lập cho trờng hợp chuyển vị và nội lực
trong thanh là liên tục. Nếu dọc theo chiều dài thanh, chuyển vị và nội lực có bớc nhảy (gián đoạn) thì cần lập các phơng trình trên cho từng đoạn thanh trong
đó các đại lợng này là liên tục nh đã biết từ các giáo trình Sức bền vật liệu. Trong
các trờng hợp này:
đối với đoạn thứ nhất ta sử dụng các phơng trình từ (2.4) đến (2.7);
đối với đoạn bất kỳ thứ m+1 ta có thể viết các phơng trình chuyển vị và nội lực
theo các phơng trình của đoạn thứ m nh sau:
ym+1(z) = ym(z) + y(am) + y' ( am ) sin(zam)

Q( a m )
3 EI

M (a m )
2 EI

[1cos(zam)]

[(z am) sin(zam)] ;

(2.8)

y'm+1(z) = y'm(z) + y'(am) cos(zam) M (am ) sin(zam)
EI



Q( am )
2 EI

[1-cos(z-am)] ;

(2.9)

Mm+1(z) = Mm(z) + eiy'(am) sin(zam) +M(am) cos(zam) +
Q( am ) sin(z am) ;

Qm+1(z) = Qm(z) + Q(am) .

(2.10)
(2.11)

Trong các phơng trình trên:
z am , với am hoành độ của tiết diện phân giới giữa đoạn thứ m và đoạn thứ
m+1, tại đó có sự gián đoạn về chuyển vị và nội lực.

y(am), y'(am), M(am) và Q(am) lần lợt là giá trị bớc nhảy về độ võng,
góc xoay, mômen uốn và lực cắt tại hoành độ am.
Chú thích: Trờng hợp thanh chịu uốn cùng với lực kéo P, trong tất cả các biểu
thức trên ta cần thực hiện phép thay thế nh sau: i với 2= P/e i ; khi
đó: 2 2 ; sinz i shz ; cosz chz ;

2.2. ổn định của các thanh thẳng, tiết diện không đổi có
34


liên kết bất kỳ ở hai đầu
Để lập phơng trình ổn định áp dụng chung cho các thanh thẳng, tiết diện không
đổi có liên kết bất kỳ ở hai đầu ta xét thanh chịu lực nén P với mô hình nh trên
hình 2.2.

Hình 2.2

Gọi:
k hệ số đàn hồi của liên kết đàn hồi khi chuyển vị thẳng (chuyển vị thẳng của

liên kết đàn hồi do lực đơn vị gây ra);
hệ số đàn hồi của liên kết ngàm đàn hồi khi chuyển vị xoay (góc xoay của
liên kết ngàm đàn hồi do mômen đơn vị gây ra).
Tại đầu trái a, nếu gọi yo và o là các thông số cha biết thì ta có thể xác định các
phản lực M và R theo yo và o . Nh vậy các thông số tại đầu trái sẽ là:
y(0) = yo = ?; y'(0) = o = ?; M(0) = o / o ; Q(0) = yo / k .
Tại đầu phải B, ta có các điều kiện: y(l) = 0 ;

y'(l) = l .

Góc xoay cha biết l sẽ đợc xác định theo điều kiện cân bằng:

MB =

l

l


y
1
+ o + Pyo o l = 0 suy ra: l = l P yo
o .
k

l o
o
k

Nh vậy, bài toán chỉ có hai thông số cha biết là yo và o sẽ đợc xác định theo các

điều kiện ở đầu bên phải là y(l) = 0 ; y'(l) = l .
Từ (2.4) và (2.5) với chú ý là 2=P/ei ta đợc:
y(z) = yo + o sin z


y'(z) = o cos z +

o
2

o EI

o
o EI

(1cos z)

sin z

yo
k 2 EI

yo
k 3 EI

( z sin z) ;

(1 cos z) .

Điều kiện biên tại đầu B:

y(l) = yo + o sin l


y'(l)=o cos l +
Đặt:

o
o EI

o
2

o EI

sin l

(1cos l)
yo
k 2 EI

yo
k 3 EI

( l sin l) = 0 ;
l
k

(1 cos l) = l P yo

v=l

(2.12)

Sau khi biến đổi ta đợc hệ hai phơng trình thuần nhất:
sin v 1 cos v
v sin v
o = 0 ;
1
yo + +
3
k EI

o 2 EI


l





o .
o
1


l

sin v
l 1 cos v


o = 0 ;
cos
v
+
+
P


y
+


o
k k 2 EI


oEI o

35


Lập điều kiện tồn tại nghiệm yo và o bằng cách cho định thức các hệ số bằng
không ta sẽ đợc phơng trình ổn định nh sau:
v sin v
1

k 3 EI




sin v
l
1 cos v
cos v +
+ l l P
k k 2 EI

oEI o

sin v 1 cos v
+

= 0.
2

o EI


(2.13)
Nếu cho biết các đại lợng: l, k, o , l , ta có thể giải phơng trình siêu việt (2.13)
để tìm và từ đó suy ra giá trị của lực tới hạn: Pth = 2ei.
Khi giải các bài toán cụ thể ta có thể lập đợc các phơng trình ổn định tơng ứng từ
phơng trình (2.13) với các chú ý sau:
Trờng hợp liên kết cứng, hệ số đàn hồi nhận giá trị bằng không.
Trờng hợp không có liên kết, hệ số đàn hồi nhận giá trị bằng vô cùng.

Khi áp dụng cụ thể, nếu các biểu thức trong (2.13) có dạng vô định thì cần khử
vô định theo các quy tắc đã biết trong toán học.
Bảng 2.1 cung cấp kết quả tìm phơng trình ổn định hoặc giá trị tới hạn cho các
bài toán cụ thể thờng gặp trong thực tế. Khi sử dụng bảng cần chú ý:
Hàng thứ ba nêu cách tìm kết quả của các sơ đồ từ 5 đến 9 theo các sơ đồ từ 1
đến 4.
Trờng hợp thanh có liên kết cứng, lực tới hạn đợc xác định theo công thức:
Pth =

2 EI
( à l) 2

(2.14)

Giá trị của à tìm theo hàng cuối của bảng 2.1.
Trên các sơ đồ 4 và 9, ký hiệu hình vuông với các nét gạch chéo theo hai chiều
biểu thị ngàm trợt theo phơng vuông góc với trục thanh.

36


Ví dụ 2.1. Cho hệ nh trên hình 2.3a. yêu cầu:
1) Tìm sơ đồ tính và phơng trình ổn định để kiểm tra ổn định cho thanh đứng
chịu nén. Trình bày cách tìm lực tới hạn.
2) Tìm giá trị của lực tới hạn khi a = 2l và ei = const.

37


Hình 2.3

1) Để giải bài toán ta xem thanh aC nh thanh có một đầu tự do và một đầu có
ngàm đàn hồi. Sơ đồ tính của hệ nh trên hình 2.3b. Hệ số đàn hồi của ngàm
đàn hồi tại a chính là góc xoay tại a của dầm aB do mômen đơn vị đặt tại a
gây ra. Ta xác định đại lợng này theo các phơng pháp đã biết trong Sức bền vật
liệu hoặc Cơ học kết cấu (Nhân biểu đồ mômen). Kết quả: = a / 3ei.
Từ kết quả cho trong bảng 2.1, với sơ đồ 1 ta có phơng trình ổn định:
v tgv =

l
EI

hay ctgv = v. tg

với tg =

EI
.
l

Để giải phơng trình siêu việt này ta có thể vận dụng cách thử đúng dần hoặc
vận dụng phơng pháp đồ thị. Theo phơng pháp đồ thị, ta lần lợt vẽ các đờng
biểu thị hàm số = ctgv và = v. tg theo biến số v nh trên hình 2.3c để tìm
giao điểm của chúng. Hoành độ của những giao điểm này cho các nghiệm cần
tìm. Nghiệm có ý nghĩa thực tế là nghiệm cho giá trị nhỏ nhất.
Sau khi tìm đợc vth ta sẽ xác định đợc th = vth / l và từ đó suy ra lực tới hạn tơng ứng.
Từ hình 2.3b ta thấy vth nhỏ nhất có giá trị luôn nhỏ hơn /2 do đó lực tới hạn
của thanh đang xét luôn luôn nhỏ hơn giá trị 2ei / 4l2 là lực tới hạn tơng ứng
với thanh có sơ đồ 5 trong bảng 2.1: một đầu tự do, một đầu là ngàm cứng (khi
đó = 0 nên phơng trình ổn định có dạng ctg v = 0 và vth = /2).
2) Trờng hợp a = 2l: ta có =

2l
2l EI 2
. = .
nên tg =
3 EI
3 EI l
3

Phơng trình ổn định sẽ có dạng ctgv = 2v / 3.
Vận dụng phơng pháp đồ thị ta tìm đợc vth = 1,01.
Do đó: Pth =(1,01)2 ei / l2 = 1,02 ei / l2.

Ví dụ 2.2. Cho hệ trên hình 2.4a. Tìm sơ đồ tính và phơng trình ổn định để kiểm
tra ổn định cho thanh đứng chịu nén. Xác định giá trị của lực tới hạn.
Để giải bài toán ta xem thanh aB nh thanh có một đầu ngàm tại a và một đầu có
liên kết đàn hồi theo phơng ngang tại B. Sơ đồ tính của hệ nh trên hình 2.4b, tơng
ứng với sơ đồ 2 trong bảng 2.1. Vì độ cứng của thanh BC bằng vô cùng nên khi
hệ bị mất ổn định thì chuyển vị ngang tại B và C là nh nhau. Do đó, hệ số đàn
hồi k của liên kết đàn hồi tại B chính là chuyển vị ngang tại đầu tự do C của
thanh CD do lực đơn vị đặt tại C gây ra, ta có: k = l3/3ei.
Từ kết quả cho trong bảng 2.1, với sơ đồ 2 ta có phơng trình ổn định:

38


tgv = v v

3

kEI
l3

.

Vận dụng phơng pháp đồ thị: lần lợt vẽ các đờng biểu thị hàm = tg v và hàm
= v (kei / l3) v3 theo biến số v nh trên hình 2.4c để tìm giao điểm của chúng.
Hoành độ của những giao điểm này xác định các nghiệm cần tìm. Từ hình 2.4c
ta thấy nghiệm có ý nghĩa thực tế tơng ứng với giá trị của vth nằm trong khoảng
từ /2 đến 3/2.

Hình 2.4

Khi k = l3/3ei : Theo phơng pháp đồ thị ta xác định đợc vth = 0,69 = 2,16.
Do đó: Pth =(2,16)2 ei / l2 = 4,67 ei / l2.
Khi k = , tức là khi không có liên kết đàn hồi, phơng trình ổn định trở thành:
tg v = ; v = /2. Kết quả: Pth = 2ei/ 4l2. Ta đợc công thức tính lực tới
hạn cho thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do (sơ đồ 5 trong bảng 2.1).
Khi k = 0 , tức là khi thanh đàn hồi trở thành tuyệt đối cứng, phơng trình ổn
định trở thành: tg v = v ; v = 4,493. Kết quả: Pth = 2ei/ (0,7l)2. Ta đợc công
thức tính lực tới hạn cho thanh có một đầu ngàm, một đầu khớp (sơ đồ 6 trong
bảng 2.1).

2.3. ổn định của thanh thẳng tiết diện không đổi, chịu tác
dụng của trọng lợng bản thân
Cách tính gần đúng
Giáo s N. M. Mitrôpônski đã phát triển cách tính gần đúng của a. P. Kôrôbôv
để giải bài toán ổn định của thanh chịu tải trọng tác dụng dọc theo chiều dài
thanh (hình 2.10a) và phân bố theo quy
luật bất kỳ (hình 2.10b).

Theo phơng pháp này, ta thay mỗi
phân tố lực q(z)dz (hình 2.10b) đặt tại
tiết diện có toạ độ z bằng một phân tố
lực tập trung dQ đặt ở đầu trên của
thanh.
Phân tố lực tập trung này đợc xác định
theo nguyên tắc chuyển lực tơng đơng
của a. P. Kôrôbôv:
dQ = (z / l)2 q(z)dz .

Hình 2.10

Nh vậy, tại đầu trên của thanh sẽ có một lực tập trung Q tơng đơng với toàn bộ
tải trọng tác dụng trên chiều dài thanh (hình 2.10c):
Q=

1 l 2
z q( z )dz .
l2 0

39

(2.28)


Từ hình 2.10b ta thấy q(z)dz = dF, với F là diện tích của biểu đồ tải trọng phân
bố. Nh vậy, tích phân trong biểu thức (2.28) chính là mômen quán tính io của
biểu đồ tải trọng phân bố lấy đối với trục ngang đi qua tiết diện ở ngàm. Do đó:
Q=

1
l2

Io .

(2.29)

Khi thanh bị mất ổn định, ta có: Qth =
Suy ra:

Io, th =

1
l2

I o, th =

2 EI
4l 2

.

2 EI
.
4

(2.30)

Phơng trình (2.30) cho phép ta xác định đợc tải trọng tới hạn tác dụng dọc theo
chiều dài thanh với quy luật bất kỳ.

Các trờng hợp đặc biệt:
Thanh có tiết diện không đổi chịu tác dụng của trọng lợng bản thân.
Lúc này tải trọng tác dụng trên
thanh phân bố đều nh trên hình
2.11b. Ta có:
I o, th =

qth l 3
3

.

Do đó, theo (2.30):
2
EI
(ql)th = 3 EI = 7,4 2 .

4 l2

l

Hình 2.11
Thanh chịu tải trọng phân bố theo luật hình tam giác nh trên hình 2.11c.
Ta có: io,th = qth l3 / 4. Do đó, theo (2.30): (ql)th = 9,87 ei / l2.
Kết quả chính xác do a. N. Đinnhích tìm đợc là: (ql)th = 10,24 ei / l2. Nh
vậy, sai số khi tính gần đúng trong trờng hợp này là 3%.
Thanh chịu tải trọng phân bố theo luật hình tam giác nh trên hình 2.11d.
Ta có: io,th = qth l3 / 12. Do đó, theo (2.30): (ql)th = 29,6 ei / l2.
Kết quả chính xác do a. N. Đinnhích tìm đợc là: (ql)th = 21,2 ei / l2. Nh vậy,
sai số khi tính gần đúng trong trờng hợp này là 8%.

Qua những kết quả vừa tìm đợc ở trên ta thấy cách tính gần đúng của N. M.
Mitrôpônski cho kết quả tơng đối tốt đối với những trờng hợp tải trọng phân bố
giảm dần từ đầu tự do đến đầu ngàm.
Đối với những trờng hợp thanh có các dạng liên kết khác, cách giải bài toán cũng
tơng tự về nguyên tắc.
Trong tất cả mọi trờng hợp, ta có thể viết công thức tải trọng tới hạn dới dạng
tổng quát nh sau:
(ql)th = K

EI
l2

.

(2.31)

K là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở đầu thanh và dạng phân bố của tải trọng.
Trong trờng hợp tải trọng phân bố đều dọc theo chiều dài thanh, giá trị của hệ số
K tìm đợc nh trên bảng 2.2.
40


Khi thanh chịu tác dụng đồng thời cả tải trọng phân bố đều với cờng độ q và tải
trọng tập trung P đặt ở đầu trên của thanh nh trên hình 2.12, thì tải trọng tới hạn
đợc xác định theo công thức sau:
Pth = K1

EI
l2

.

(2.32)
Trong đó K1 là hệ số phụ thuộc dạng liên kết ở đầu thanh,
dạng phân bố của tải trọng và cờng độ của tải trọng phân bố.
Trên bảng 2.3 (theo [12]) cho các giá trị hệ số K1 theo các trị
số n = ql3 /2ei tơng ứng với các trờng hợp thanh có dạng
liên kết nh trên hình 2.12, chịu tải trọng phân bố đều.
Hình 2.12
Bảng 2.3
0,25
0,50
0,75
1,20
2,00
3,00
n = ql 3/ 2ei 0,00



K Hình 2.12a
1

Hình 2.12b 2 / 4

8,63

7,36

6,08

4,77

0,66

4,94

2,28

2,08

1,91

1,72

0,96

0,15

2.5. ổn định của thanh thẳng có tiết diện thay đổi
Trong mục này chỉ giới thiệu cách tính chính xác cho một số trờng hợp thờng
gặp trong thực tế.

a. Thanh có độ cứng thay đổi theo hình bậc thang
Xét thanh gồm hai đoạn có độ cứng thay đổi với hệ toạ độ chọn nh trên hình
2.13. Gọi ei1 là độ cứng của đoạn trên và ei2 là độ cứng của đoạn dới .
Phơng trình vi phân viết cho từng đoạn nh sau:
ei1 y1" + P y1 = P ;
ei2 y2"+ P y2 = P .
Nghiệm của hai phơng trình vi phân:

y1 =a1sin1z + B1cos1z + ;
y2 =a2 sin2z + B2 cos2 z + ,
2
với: 1 =

Các

P
EI 1

điều

;

22 =

kiện

P
EI 2

.

biên:

41


Hình

2.13

Hình

2.14

tại z = 0: ta có: y'2 = 0 ;
tại z = l : ta có: y1 = ;
tại z = l2 : ta có: y'1 = y'2 và y''1 =

EI 2
EI 1

y''2

=

12
22

y''2 .

Từ các điều kiện biên ta lập đợc hệ bốn phơng trình, đủ để xác định các hằng số
tích phân:
a2 = 0 ;
a1 sin 1 l + B1 cos 1 l = 0 ;
a1 1 cos 1 l2 B1 1 sin 1 l2 + B2 2 sin 2 l2 = 0 ;
a1 sin 1 l2 + B1 cos 1 l2 B2 cos 2 l2 = 0 .
Lập điều kiện tồn tại các hằng số tích phân ta đợc phơng trình ổn định:
sin 1 l

cos 1 l

D() = cos 1 l2

sin 1 l2

sin 1 l 2

cos 1 l 2

0

2
1

sin 2 l 2 = 0.

cos 2 l 2

Sau khi khai triển định thức trên và chỉnh lý lại, ta đợc phơng trình ổn định:
tg 1 l1 . tg 2 l2 =

1
2

.

(2. 33)

Khi biết các tỷ số ei1 / ei2 và l2 / l1, ta có thể giải đợc phơng trình (2.33) và từ
đó suy ra lực tới hạn cần tìm..
Trong trờng hợp thanh chịu hai lực tập trung: lực P1 đặt ở đỉnh và lực P2 đặt ở
chỗ tiếp giáp giữa hai đoạn nh trên hình 2.14, cũng thiết lập tơng tự nh trên ta
đợc phơng trình ổn định:
tg 1 l1 . tg 2 l2 =
trong đó :

1 = P1 EI1 ;

1

P + P2
ì 1
,
2
P1

(2. 34)

2 = ( P1 + P2 ) EI 2 .

Ví dụ 2.5. Xác định lực tới hạn cho thanh trên hình 2.14. Cho biết :
l1 =

2
1
3
l ; l2 = l ; P1= P; P2 = 5P và ei2 = ei1.
3

3
2

Trong trờng hợp này:
1 = P EI1 = ;
2
3

1 l1 = . l = v ;

2 = ( P + 5 P ) EI 2 = 6 P 1, 5 EI1 =2.
1
3

2
3

2 l2 = 2. l = . l = v .

Phơng trình (2.34) có dạng: tg2 v = 3. Hay tg v =

42

3 . Suy ra: v = /3.


Do đó ta có: v = .

2
2

l = l P EI1 = .
3
3
3
2
EI1

Pth =

Suy ra :

.

4l 2

Cũng có thể áp dụng phơng trình (2.33)
cho thanh chịu lực nén ở hai đầu thanh
có dạng nh trên hình 2.15, nếu sử dụng
các ký hiệu nh đã ghi trên hình. Công
thức xác định lực tới hạn nh sau:
EI 2

Pth = K2

l2

Hình 2.15

.

(2.35)

K2 hệ số phụ thuộc dạng liên kết đầu thanh và các tỷ số i1 / i2 ; l2 / l, tìm đợc
theo bảng 2.4 [12].
Bảng 2.4
I1 / I2

Thanh có khớp
ở hai đầu

Thanh có ngàm
ở hai đầu

l2 / l

0,01
0,10
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,01
0,10
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,153
1,467
2,796
5,089
6,978
8,550
0,614
5,866
11,132
20,238
27,713
34,022
-

0,207
2,401
4,222
6,680
8,187

9,177
1,082
9,484
16,261
24,888
30,616
35,314
-

0,598
4,498
6,694
8,512
9,240
9,632
2,390
15,467
20,460
36,306
31,086
35,442
-

0,257
8,590
9,330
9,675
9,780
9,840
8,484

17,130
21,058
27,470
32,458
36,374
-

-

B. Thanh có độ cứng thay đổi theo luật lũy thừa

-

2
4 2

Thanh có độ cứng thay đổi theo luật lũy thừa thờng có giá trị sử dụng tơng đối
cao trong thực tế. Viện sĩ a. N. Đinnik là ngời đầu tiên đã nghiên cứu sự ổn
định của những loại thanh này.
Xét trờng hợp thanh chịu nén có một đầu ngàm và một đầu tự do nh trên hình
2.16a. Giả thiết mômen quán tính của tiết diện thay đổi tỷ lệ với khoảng cách từ
điểm 0 nào đó (hình 2.16a) theo luật lũy thừa:
z
a

n

i(z) = i1 ,

(2.36)

trong đó i1 là mômen quán tính ở đầu trên của thanh, số mũ n phụ thuộc hình
dạng cụ thể của thanh.

Trờng hợp thanh có tiết diện đặc (hình 2.16b) trong đó bề dày h không đổi

còn chiều rộng b thay đổi bậc nhất dọc theo chiều dài thanh thì n = 1 nếu khi
mất ổn định thanh bị uốn cong quanh trục y.

Trờng hợp thanh có tiết diện rỗng (hình 2.16c), trong đó mỗi cạnh thay đổi
43


bậc nhất dọc theo chiều dài thanh, ta có n = 2. Thật vậy, trong trờng hợp này
mômen quán tính tại tiết diện có toạ độ z bất kỳ đợc xác định nh sau:
h( z )
i(z) = 4a
2

2

z
Nhng h(z) = h1
a

với a diện tích tiết diện ở đầu trên của thanh.
h
nên: i(z) = 4a 1
2

2

2
z 2
=I z .




1 a
a



(2.37)

Trờng hợp thanh có tiết diện đặc thay đổi theo dạng hình chóp cụt hay hình
nón cụt, cũng lý luận tơng tự nh trên ta có n = 4.

Hình 2.16

Hình 2.17

Để giải bài toán này ta chọn hệ trục toạ độ nh trên hình 2.17. Phơng trình vi
phân của đờng đàn hồi có dạng:
n

2
z d y = Py

EI 1
a dz 2

(2.38)

Phơng trình vi phân này có hệ số thay đổi. Ta có thể tìm nghiệm dới dạng chuỗi
vô hạn hay dới dạng hàm Bessel. Trờng hợp khi n = 2 và n = 4, ta có thể tìm
nghiệm của phơng trình vi phân dới dạng các hàm sơ cấp.
b) Trờng hợp n = 4
Lực tới hạn đợc biểu thị dới dạng chung nh sau:
Pth = K3

EI 2
l2

.

(2.46)

K3 là hệ số phụ thuộc tỷ số độ cứng của hai tiết diện ở hai đầu thanh. Trong
bảng 2.5 cung cấp các giá trị của hệ số K3 theo [12], tơng ứng với khi n = 4.
Bảng 2.5
I1 / I2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

K3

1,202

1,505

1,710

1,870

2,002

2,116

2,217

2,308

2,391

2,467

c) Tròng hợp n = 2
Lực tới hạn đợc biểu thị dới dạng chung nh sau:
Pth = K4

EI 2
l2

.

(2.52)

K4 là hệ số phụ thuộc tỷ số độ cứng của hai tiết diện ở hai đầu thanh. Trong
44


bảng 2.6 cung cấp các giá trị của hệ số K4 theo [12], tơng ứng với khi n =2.
Bảng 2.6
I1 / I2
K4

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,250 1,350 1,593 1,763 1,904 2,023 2,128 2,223 2,311 2,392 2,467

Trên đây ta mới xem xét thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do. Đối với thanh
có khớp tựa hai đầu cách tính cũng đợc thực hiện tơng tự nh vậy.

Hình 2.18

Trờng hợp thanh có khớp tựa hai đầu và có tiết diện thay đổi đối xứng đối với
tiết diện giữa (hình 2.18a) ta vẫn có thể sử dụng công thức (2.46) và (2.52) nếu
thay l bằng l / 2.
Đối với các thanh có tiết diện thay đổi đối xứng nh hình 2.18b ta có thể xác
định lực tới hạn theo công thức :

Pth = K5

EI 2
l2

,

(2.53)

trong đó K5 là hệ số phụ thuộc các tỷ số: i1 / i2 , a / l và n.
Theo [12], a. N. Đinnik đã giải bài toán này và đã lập bảng hệ số K5 (bảng 2.7)
tơng ứng với quy luật biến thiên của tiết diện từ lũy thừa 1 đến lũy thừa 4.
Bảng 2.7
I1 / I2

n
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2

3
4
1
2
3

a/L
0,0
6,48
5,40
5,01
4,81
7,01
6,37
6,14
6,02
7,87
7,61
7,52
7,48
8,61
8,51
8,50
8,47
9,27
9,24
9,23

0,2
7,58

6,67
6,32
6,11
7,99
7,49
7,31
7,20
8,59
8,42
8,38
8,33
9,12
9,04
9,02
9,01
9,54
9,50
9,50

0,4
8,63
8,08
7,84
7,68
8,91
8,61
8,49
8,42
9,19
9,15

9,12
9,10
9,55
9,48
9,46
9,45
9,69
9,69
9,69

45

0,6
9,46
9,25
9,14
9,08
9,63
9,44
9,39
9,38
9,70
9,63
9,62
9,62
9,76
9,74
9,74
9,74
9,83

9,82
9,81

0,8
9,82
9,79
9,77
9,77
9,82
9,81
9,81
9,80
9,84
9,84
9,84
9,84
9,85
9,85
9,85
9,85
9,86
9,86
9,86

1,0


4
2

1,0

9,23
2

9,49
2

9,69
2

9,81
2

9,86
2

2

Ví dụ 2.6. Xác định tải trọng tới hạn cho thanh chịu nén của cần trục.
Thanh có dạng nh trên hình 2.18b với các kích thớc a = 3,5 m; l = 17,5 m và
đợc cấu tạo bởi 4 thép góc 75 x 75 x 6 mm. Mỗi thép góc có: diện tích tiết
diện là 8,78 cm2; mômen quán tính đối với trục trung tâm xo của riêng mỗi
thép góc bằng 46,7 cm4. Tiết diện ở hai đầu và ở giữa đợc bố trí nh trên hình
2.19a,b. Cho biết e = 2,1.107 N/cm2 ; n = 2.
Mômen quán tính i1 của tiết diện ở hai đầu và i2 của tiết diện giữa:
i1 = 4(46,7 + 8,78. 6,942) = 1900 cm4 ;
i2 = 4(46,7 + 8,78. 17,922) = 11500 cm4 ;
Theo công thức (2.53) ta có:
Pth = K5

EI 2
l2

.

Để tìm hệ số K5 ta cần xác định các
tỷ số sau:
i1 / i2 = 1900 / 11500 = 0,165;
a / l = 3,5 / 17,5 = 0,20.
Hình 2.19
Theo bảng 2.7 và áp dụng phép nội suy ta xác định đợc K5 = 7,20.
Pth = 7,20

Do đó:

2,1.10 7 .11500
1750 2

= 590 kN.

2.6. ảnh hởng của lực cắt đến giá trị lực tới hạn trong các
thanh đặc
Khi thanh bị mất ổn định, ngoài mômen uốn và lực dọc nén, trong thanh còn có
lực cắt. Để nghiên cứu ảnh hởng của lực cắt đến lực tới hạn, ta xét thanh có hai
đầu khớp chịu tải trọng P nh trên hình 2.20a.
Góc trợt của phân tố thanh có chiều dài dz do lực cắt Q gây ra là:

=

Q
,
GA

trong đó: hệ số phụ thuộc hình dạng của tiết diện.
G môđun đàn hồi khi trợt.
Gọi y1 và y2 lần lợt là độ võng của
thanh do mômen uốn và do lực cắt
gây ra, ta có (hình 2.20b):
dy 2
dz

=

Q
dM
=
.
GA
GA dz

Do đó:
d 2 y2
dz 2

=

d 2M
ì
GA dz 2

46

(2.54)


Nh vậy, nếu xét đến cả ảnh hởng của
mômen uốn và lực cắt thì phơng
trình vi phân của đờng đàn hồi có
dạng:
Hình 2.20
d 2y
dz

2

=

d 2 y1
dz

+

2

d 2 y2
dz

=

2

M
+
M' ' .
EI GA

Nhng M = +Py và M"= +Py" nên sau khi thay vào phơng trình trên, ta đợc:



ei 1

P
y' ' + Py = 0 .
GA
P

Nghiệm của phơng trình: y = Acos z + Bsin z, với:

= EI 1 P .




GA

Từ các điều kiện biên khi z = 0 và z = l : y = 0 ta tìm đợc phơng trình ổn định:
sin z = 0.
Phơng trình này đợc thỏa mãn với các nghiệm l = (2k+1) ; với k là một số

nguyên. Tải trọng nhỏ nhất tơng ứng với khi l = , hay:
P
P = .
EI 1

GA


l=l.

Pth =

Do đó :

2 EI
l

2

1

.
1+

2 EI = .Pe ,
GA l 2

1

trong đó:

=

2 EI ;
1+
GA l 2

Pe =

2 EI
l2

(2.55)

.

(2.56)

Pe đợc gọi là lực tới hạn của thanh euler.
Ta thấy luôn có giá trị nhỏ hơn 1. Do đó nếu kể đến ảnh hởng của lực cắt thì
lực tới hạn sẽ nhỏ hơn lực euler. Khi bỏ qua ảnh hởng của lực cắt thì = 1.
Để đánh giá mức độ ảnh hởng của lực cắt đối với tải trọng tới hạn, ta xét trờng
hợp thanh thép có tiết diện hình chữ nhật với = 1,20; G = 8.106 N/cm2, ứng
suất tới hạn bằng giới hạn chảy th = 2,0. 104 N/cm2.
1

=

1+

2

EI
GA l 2

=

1
1
1
=
=
4

1 + 0,003 .
1 + th 1 + 1, 2.2.10
G
6
8.10

Ta thấy 1 nên ảnh hởng của lực cắt rất nhỏ. Bởi vậy khi tính ổn định của các
thanh đặc, ta có thể bỏ qua ảnh hởng của lực cắt.

2.7. ổn định của thanh ghép
Khi thiết kế thanh chịu lực nén tơng đối lớn, ta thờng mở rộng tiết diện bằng
cách dùng nhiều thanh nối lại với nhau thành thanh ghép. Thờng có hai cách cấu
tạo các thanh ghép nh trên hình 2.21.
47

Cách thứ nhất (hình 2.21a, b) cấu tạo bởi hai hoặc bốn thanh cơ bản thờng
bằng các loại thép hình nối với nhau bằng các thanh giằng ngang và giằng xiên,
các mối nối đợc xem là liên kết khớp.

Cách thứ hai (hình 2.21c) cấu tạo bởi hai hoặc bốn thanh cơ bản nối với nhau
bằng các bản giằng, các mối nối đợc xem là liên kết hàn.

Dới tác dụng của lực nén, khi thanh ghép bị mất ổn định, hiện tợng trợt sẽ xảy ra
trong hầu hết các thanh giằng hoặc bản giằng. Do đó, đối với những thanh ghép,
lực tới hạn không những phụ thuộc tiết diện thanh cơ bản mà còn phụ thuộc tiết
diện và khoảng cách giữa các liên kết giằng. ảnh hởng của hiện tợng trợt tức là
của lực cắt làm giảm giá trị của tải trọng tới hạn tơng đối lớn, nên không thể bỏ
qua nh trờng hợp thanh đặc.
Cách giải chính xác bài toán ổn định của những
loại thanh này tơng đối phức tạp. Do đó, trong
thực tế khi khoảng cách giữa các thanh giằng
hoặc bản giằng tơng đối nhỏ so với chiều dài
thanh thì ta có thể tính gần đúng theo cách tính do
S. P. Timoshenko [12] đề xuất sẽ trình bày dới
đây.
Nội dung của cách tính gần đúng là xem thanh
ghép nh thanh đặc nhng cần phải kể đến ảnh hởng của lực cắt. Nh vậy ta có thể sử dụng công
thức (2.55) để tìm lực tới hạn, trong đó đại lợng

/ Ga cần đợc xác định cụ thể cho từng trờng
hợp thanh ghép bởi bản giằng hay thanh giằng.
Hình

2.21

Từ (2.54) ta có:



= = ,
GA Q

với là góc trợt do lực cắt đơn vị gây ra.

Hình 2.21

a. Trờng hợp thanh ghép đợc liên kết bằng các thanh giằng
Để tính góc trợt do lực cắt đơn vị gây ra, ta tách một khoang của thanh nh
trên hình 2.22. Dới tác dụng của lực cắt đơn vị, khoang đang xét bị biến dạng
và hình thành góc trợt . Vì biến dạng nhỏ nên đợc tính gần đúng nh sau:
tg =

11
,
d

trong đó 11 là chuyển vị tơng ứng với vị trí và
phơng của lực Q do chính lực Q = 1 gây ra và
đợc xác định theo công thức sau:

11 =
trong


i

Ni2li
EAi

,

đó:

Hình 2.22

48


Ni lực dọc trong thanh thứ i do lực Q = 1 gây ra;

li và ai chiều dài và diện tích tiết diện của thanh thứ i.
Lần lợt gọi ac , ax và an là diện tích của các thanh cơ bản, thanh giằng xiên và
thanh giằng ngang. Từ hình 2.22, ta thấy nội lực trong các thanh ngang và xiên
lần lợt bằng 1 và 1/cos . Nếu chỉ kể đến biến dạng của các thanh giằng, ta có:
d
1
1

.
+
E cos 2 sin . A
tg . An
x

1
1
1


.
+
=
= 11 = E
2
tg

.
A

cos

sin

.
A
GA
d
n
x


11 =

Do đó:

Thay vào công thức (2.55) ta đợc:
2 EI
2

1

.

=
2 EI
1
1


+
l 2 EAx cos 2 . sin EAn tg
1
PE ì
P
1
1 .
=

1+ E
+
E A cos 2 . sin An tg
x

Pth =

l

1+

(2.57)

Trong (2.57), i là mômen quán tính của tiết diện thanh ghép (chỉ kể các thanh
cơ bản, không xét các thanh giằng). Thờng thanh ghép đợc cấu tạo theo kiểu
hình hộp, hai hoặc bốn mặt có dạng nh trên hình 2.21a; lúc này các đại lợng ax
và an trong công thức (2.57) là hai lần diện tích của thanh xiên và thanh ngang
trong hai mặt phẳng đối diện.
Từ công thức trên ta thấy Pth tỷ lệ thuận với ax và an đồng thời các thanh xiên
có tác dụng đảm bảo ổn định tốt hơn thanh ngang. Thật vậy, ta xét một ví dụ
đơn giản để chứng tỏ điều này: giả thiết ax = an = a và góc = 450 ; theo
công thức (2.57), ta có:
Pth =

PE ì

1

.
P
1 + E [ 2,83 + 1]
EA

Trong trờng hợp này, ta thấy thanh xiên có tác dụng gần gấp ba lần thanh
ngang.

Nếu trong mỗi khoang có hai thanh xiên (hình 2.21b) thì một thanh xiên chịu
kéo, một thanh xiên chịu nén còn thanh ngang không chịu lực, công thức (2.57)
sẽ có dạng đơn giản hơn nh sau:
Pth =

PE ì

1
1 + PE

1
2

.

(2.58)

EAx cos . sin

B. Trờng hợp thanh ghép đợc liên kết bằng các bản giằng
Giả thiết khi mất ổn định, đờng biến dạng của thanh cơ bản có điểm uốn ở giữa
mỗi khoang. Nh vậy ta có thể tách một đoạn thanh nh trên hình 2.23a để tính
góc trợt . Biểu đồ mômen uốn đơn vị nh trên hình 2.23b.

49


Hình 2.23

Ta có :

11 = ( M1 )( M1 ) =

Do đó :

=

d3
24 EIc

+

bd 2

.

12EI b

11
d2
bd

=
+
=
.
d
24 EIc 12EI b GA

Thay đại lợng này vào công thức (2.55) ta đợc:

Pth =

PE .

1
bd
d2
1 + PE
+
12EI b 24 EIc



.



(2.59)

Khi cấu tạo thanh ghép theo kiểu hình hộp ta cần hiểu ib là mômen quán tính
của tiết diện hai bản giằng, còn ic là mômen quán tính của một bên thanh cơ
bản lấy đối với trục quán tính chính trung tâm của nó.
Từ công thức (2.59) ta thấy Pth tỷ lệ thuận với độ cứng của bản giằng và tỷ lệ
nghịch với khoảng cách d giữa các bản giằng. Lực Pth luôn luôn nhỏ hơn lực tới
hạn euler.
Thờng ib lớn hơn ic rất nhiều lần nên có thể coi ib = . Lúc này ta có:
Pth =

1

PE ì
1+

2 2

d
24l

2

.

I .

(2.60)

Ic

Ví dụ 2.7. Thanh biên chịu nén trong cầu dàn Québec ở Canađa đợc cấu tạo theo
dạng thanh ghép có tiết diện và kích thớc nh trên hình 2.24. (Khi thiết kế
thanh biên này ngời ta đã bỏ qua ảnh hởng của biến dạng trợt mà xem nh một
thanh đặc với lực tới hạn bằng lực euler Pe nên cầu đã bị phá hoại năm 1907
do thanh này bị mất ổn định).
Tìm lực tới hạn so với lực Pe khi xét đến ảnh hởng của biến dạng trợt.
Cho biết:
Các thanh cơ bản bao gồm 4 thép góc 204 ì 162 ì 24 mm; 8 thép góc
204 ì 89 ì 23,8 mm; các thép bản có tổng diện tích tiết diện là 4278 cm2.
Thanh giằng ngang là thép góc 89 ì 76 ì 9,5 mm.
Thanh giằng xiên là 2 thép góc 102 ì 76 ì 9,5 mm đặt nghiêng 45o.

50


Hình 2.24
Diện tích tiết diện của các thép góc:
Thép góc 204 ì 162 ì 24 mm: a1 = [20,4 + (16,22,4)]. 2,4 = 72,1 cm2.
Thép góc 204 ì 89 ì 23,8 mm: a2 = [20,4 + (8,92,38]. 2,38 = 64,0 cm2.
Thép góc 89 ì 76 ì 9,5 mm: a3 = [8,9 + (7,60,95)]. 0,95 = 14,8 cm2.
Thép góc 102 ì 76 ì 9,5 mm: a4 = [10,2 + (7,60,95)]. 0,95 = 16,0 cm2.
Diện tích tiết diện để tính trong một khoang của các thanh:
Thanh cơ bản:
ac = 4.72,1 + 8.64 + 4278 = 5078 cm2.
Thanh giằng ngang:
an = 2.14,8 = 29,6 cm2.
Thanh giằng xiên:
ax = 4.16 = 64 cm2.
Vì = 45o nên sin = cos = 0,707; tg = 1. Do đó, theo (2.57) ta có:
Pth =

PE ì

1
P
1
1
1+ E
+

3
E 64.0,707

29,6.1

= PE ì

1
P
.
1 + E ì 0,0779
E

o
Nếu gọi: th = Pe / ac và cho bằng giới hạn tỷ lệ là 24000 N/cm2 thì với giá trị
e = 2,1.107 N/cm2, ta đợc:

Pth =

PE ì

1

o
1 + th
E

1

= PE ì

Ac .0,0779

1+

2, 4.10

4

2,1.10

7

5078.0,0779

= 0,688Pe.

Nh vậy trong trờng hợp này, lực tới hạn khi kể đến biến dạng trợt giảm xuống 33
% so với khi xem thanh là thanh đặc.
Ví dụ 2.8. Thanh chống chịu nén trong công
trình bể chứa khí (đã bị phá hoại do thanh
chống bị mất ổn định), đợc cấu tạo theo dạng
thanh ghép có tiết diện và kích thớc nh trên
hình 2.25. Tìm lực tới hạn khi không xét và
khi xét đến ảnh hởng của biến dạng trợt. Cho
biết (theo [8]):
e = 2,03.107 N/cm2;
Giới hạn tỷ lệ tl = 24000 N/cm2;
Mômen quán tính đối với trục yo của tiết
diện thanh cơ bản: ic = 83,4 cm4.
Mômen quán tính của toàn bộ tiết diện đối
51

với các trục quán tính chính:
ix = 1869 cm4 ;
iy = 670 cm4.
Hình 2.25
Ta thấy: iy < ix nên thanh sẽ bị mất ổn định quanh trục y và cần kiểm tra ổn
định theo bài toán thanh ghép bằng các bản giằng.
Trờng hợp không xét đến ảnh hởng của biến dạng trợt:
Pth = Pe =

2 EI
l

2

=

2 .2,03.10 7 .670
360

2

= 1036.103 N = 1036 kN.

Trờng hợp xét đến ảnh hởng của biến dạng trợt:
Mômen quán tính của bản giằng:

Ib = 2.

Theo (2.59) ta có:

Pth =

0,7.14 3
= 320 cm4 .
12

1

1036.10 3.
1+

1036.10 6, 3.120
120 2 = 752.103 N = 752 kN.
+


2,03.107 12.320 24.83, 4
3

Nh vậy, lực tới hạn khi kể đến biến dạng trợt giảm xuống 27% so với khi xem
thanh là thanh đặc. Kết quả tìm đợc ở trên cũng chỉ tơng đối gần đúng vì công
thức (2.59) đợc thiết lập với giả thiết số lợng khoang tơng đối nhiều. Trong trờng
hợp này chỉ có ba khoang nên cách cấu tạo cha bảo đảm đợc yêu cầu của giả
thiết.
Nếu sử dụng 5 bản giằng tức là có 6 khoang với d = 60 cm thì lực tới hạn xác
định theo (2.59) sẽ bằng 944 kN. Nh vậy, lực tới hạn khi kể đến biến dạng trợt
giảm xuống 9 % so với khi xem thanh là thanh đặc.

Bài tập
II.1. Cho hệ chịu lực nén nh trên hình II.1. Tìm sơ đồ tính và lập phơng trình ổn định.

II.2. Cho hệ chịu các lực nén nh trên hình II.2. Tìm lực tới hạn.
Cho biết: l2 = 2l1/3; I2 = I1.

Hình II.1

Hình II.2

Hình II.3

II.3. Cho hệ chịu lực nén P nh trên hình II.3. Tìm lực tới hạn.
II.4 - II.6. Cho hệ chịu lực nén P nh trên các hình tơng ứng. Vận dụng các phơng trình
của phơng pháp thông số ban đầu, lập phơng trình ổn định. Tìm giá trị của lực tới hạn
khi : a = l/ 2 ; EI = const.
II.7. Vận dụng phơng pháp gần đúng của Kôrôbôv lập công thức tính ổn định cho thanh
có khớp tựa ở hai đầu chịu lực nén P đặt ở trong nhịp (hình 2.5 trong phần lý thuyết).

52


Tìm giá trị của lực tới hạn khi : a = b = l/ 2 .

Hình II.4

Hình II.5

Hình II.6

Hình II.8

II.8. Vận dụng phơng pháp gần đúng, tìm giá trị của lực tới hạn cho thanh chịu lực phân

bố nh trên các hình II.9a, b.

II.9. Cho thanh có tiết diện thay đổi, chịu lực nén P nh trên hình II.9. Vận dụng các phơng
trình của phơng pháp thông số ban đầu, lập phơng trình ổn định. Tìm giá trị của lực tới
hạn khi :
a) a = 0,2 l ; I2 = I ; I1 = 0,4 I .
b) a = l : 6 ; I2 = I; I1 = 0,25 I.

II.10. Cho thanh có tiết diện thay đổi, chịu các lực nén nh trên hình II.10. Vận dụng các
phơng trình của phơng pháp thông số ban đầu, lập phơng trình ổn định. Tìm giá trị của
lực tới hạn khi: a = b = 0,5 l; I1 = I ; I2 = 2 I .

Hình II.9

Hình II.10

Hình II.11

Hình II.12

Hình II.13

II.11. Cho thanh có tiết diện thay đổi, chịu lực nén P nh trên hình II.11. Tìm giá trị của lực
tới hạn khi : h1 = h ; h2 = 2h ; h3 = 3h ; I1 = I ; I2 = 4I ; I3 = 9I .

II.12. Cho thanh có tiết diện thay đổi, chịu lực nén P nh trên hình II.12. Tìm lực tới hạn.

Cho biết: I(z) = Io ì 4z(l -z) / l2, với Io - mômen quán tính của tiết diện ở giữa nhịp.
Chỉ dẫn: Sau khi lập phơng trình vi phân của đờng đàn hồi sẽ đợc phơng trình vi phân
có hệ số thay đổi. Phơng trình này sẽ đợc thỏa mãn nếu đặt nghiệm nh sau: y(z) = 4

f z(l -z) / l2, với f - chuyển vị tại tiết diện ở giữa nhịp.

II.13. Cho thanh có khớp tựa ở hai đầu, tiết diện thay đổi, chịu lực nh trên hình II.13. Tìm
giá trị của lực tới hạn khi :
a) Mômen quán tính của tiết diện thay đổi theo luật bậc bốn (n = 4) với I1 / I2 = 0,6.
b) Mômen quán tính của tiết diện thay đổi theo luật bậc hai (n = 2) với I1 / I2 = 0,6.

II.14. Cho thanh ghép có khớp tựa ở hai đầu, chịu lực nh trên hình II.14. Tìm giá trị của
lực tới hạn khi không kể và khi có kể đến ảnh hởng của lực cắt. Cho biết:
Thanh đợc cấu tạo từ hai thanh cơ bản là thép hình u16a, mỗi thanh có diện tích tiết
diện là 19,5 cm2; mômen quán tính đối với trục yo đi qua trọng tâm là 78,8 cm4;

53


khoảng cách giữa trọng tâm của hai thanh cơ bản là 80 mm; e = 2.104 kN/cm2.
Các thanh giằng xiên là thép góc 20ì20ì3 mm , diện tích tiết diện là 1,13 cm2;
nghiêng 45o so với trục thanh; E = 2.104 kN/cm2.
Hình II.14

Hình II.15

II.15. Cho thanh ghép có khớp tựa ở hai đầu, chịu lực nh trên hình II.15. Tìm giá trị của
lực tới hạn khi không kể và khi có kể đến ảnh hởng của lực cắt. Cho biết:
Thanh đợc cấu tạo từ hai thanh cơ bản là thép hình u30, mỗi thanh có diện tích tiết
diện là 40,5 cm2; mômen quán tính đối với trục yo đi qua trọng tâm là 327 cm4; khoảng
cách giữa trọng tâm của hai thanh cơ bản là 29,18 cm; E = 2,1.104 kN/cm2.
Các thanh giằng xiên và giằng ngang là thép góc 63ì63ì6 mm , diện tích tiết diện
7,28 cm2; thanh giằng xiên nghiêng 30o so với thanh cơ bản; E = 2,1.104 kN/cm2.
II.16. Cho thanh ghép có khớp tựa ở hai đầu, chịu lực nh trên hình II.16. Tìm giá trị của lực

tới hạn khi không kể và khi có kể đến ảnh hởng của lực cắt. Cho biết:
Thanh đợc cấu tạo từ hai thanh cơ bản là thép hình U16, mỗi thanh có diện tích tiết
diện là 18,1 cm2; mômen quán tính đối với trục yo đi qua trọng tâm là 63,3 cm4;
khoảng cách giữa trọng tâm của hai thanh cơ bản là 6,2 cm; E = 2.104 kN/cm2.
Các bản giằng ngang là thép tấm dầy 0,7 cm dài 14 cm; E = 2.104 kN/cm2.
Hình II.16

14cm

16

P

P
113,33 cm

113,33 cm
340 cm

54

113,33 cm

yo
y
yo
bản 14ì0,7
16

6,2

14cm