Lời giải hàm nhiều biến

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
1) Vẽ đồ thị và tìm tập giá trị các hàm số
a)

z(x, y) = 1 + x 2 − y
b)

z(x, y) = ln(1 − x 2 − y 2 )

2) Vẽ bản đồ đồng mức bằng cách chỉ ra một vài đồng mức của các hàm số
a)

b)

z(x, y) = xy

2

u(x, y) = y − x

2

c)

u(x, y) = x − ln y

3) Mô tả các mặt mức của các hàm số
a)

2

b)

2

x
y
u=
+
+ z2
4
9

u = x 2 + y2 − z

4) Tìm giới hạn nếu tồn tại hoặc chỉ ra rằng giới hạn đó không tồn tạị của các
hàm
a)

2

2

x →0 x 2
y→0

+ y2

lim

x −y

Lời giải.

;


Đặt

y = kx (k ≠ 0) khi x → 0 ⇒ y → 0 ⇒

2

lim

2

x (1 − k )

x → 0 x 2 (1 − k 2 )

khác nhau với những k khác nhau

b)

2

lim

x →0
y→0

2

x − sin y

⇒

không tồn tại

=

2

(1 − k )
(1 + k 2 )

2

2

x →0 x 2
y →0

+ y2

lim

nhận giá trị

x −y

.

;

x 2 + 2y 2

Lời giải.
Đặt

lim

x →0
y→0

y = kx (k ≠ 0) khi x → 0 ⇒ y → 0 ⇒

x 2 − sin 2 y
x 2 + 2y 2

1 − k2
= lim

x →0

nhận

2

sin kx

1 − k2
(kx) 2
=
(1 + 2k 2 )
(1 + 2k 2 )

giá trị khác nhau với những k khác nhau

⇒

không tồn tại
lim

x →0
y→0

c)

;

2

lim

x cos y

x → 0 2x 2
y →0

+ y2

x 2 − sin 2 y
x 2 + 2y 2


Lời giải.
Đặt

lim

y = kx (k ≠ 0) khi x → 0 ⇒ y → 0 ⇒

x 2 cos y

x → 0 2x 2
y→0

+ y2

=

1

lim cos kx =

2 + k 2 x →0

1
2 + k2

nhận giá trị khác nhau với những k khác nhau

⇒

không tồn tại
lim

x cos y

x → 0 2x 2
y→0

d)

+ y2

;

2

lim

.

2

x sin y

x →0 x 2

y →0

+ y2

Lời giải.

0≤

x 2 sin y
2

x +y

e)

2

≤

x 2 sin y
x

x →1 (x
y →1

= sin y → 0 khi (x, y) → (0,0)

lim

x 2 sin y

x →0 x2
y →0

+ y2

;

x + 2y

lim

2

⇒

− 1) 2 + y

Lời giải.
lim

x →1 (x
y →1

x + 2y
2

− 1) + y

vì hàm số

=3

f (x, y) =

x + 2y
(x − 1) 2 + y

liên tục tại

(1,1)

.

=0


f)

2

x y+x

lim

x →0 x 2
y→0

3

;

+ sin y 2

Lời giải.
Ta có
⇒

⇒

sin y 2 = y 2 + o(y 2 ) khi y → 0
x2 y + x3

0≤

x 2 + sin y2
x2 y + x3

lim

x →0 x 2
y→0

h)
lim

+ sin y 2

=

x 2 y + x3

x 2 + y 2 + o(y 2 )

≤

x 2 y + x3
x2

= x + y → 0 khi (x, y) → (0,0)

=0

x 2 + y2

x →0
y →0

x 2 + y2 + 4 − 2

Lời giải.
lim

x →0
y→0

x 2 + y2
2

2

x +y +4−2

= lim

x →0
y→0

(x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 + 4 + 2)
x 2 + y2

5) Xác định tập lớn nhất trên đó hàm số liên tục:
a)
u=

x+y
x 3 + y3

Lời giải.

=4


hàm số xác định trên

x+y

u=

3

x +y

¡

3

2

− { (x + y = 0}

,nên liên tục trên đó.

Vậy tập xác định lớn nhất trên đó hàm số liên tục là tập

¡
b)

 x 4
f (x, y) = 
2
 y

2

− { (x + y = 0}

khi y ≥ x 2
khi y < x 2

Lời giải.
hàm số liên tục

nên

f (x, y)

∀x, y : y ≠ x

liên tục trên

2

y=x

và

4

lim f (x, y) = lim2 f (x, y) = x = f (x, x )

y→x2 +

2⇒

2

y→x −

hàm số liên tục trên
¡

2

.

6) Xét sự liên tục của các hàm số f(x,y)
a)


 10
1
1 
exp  x sin 10 cos 10 ÷ khi xy ≠ 0
f (x, y) = 
x
y 


1
khi x = y = 0


Lời giải.

tại

(0,0);(1,0);(0,1)

,

+)


1
1 
lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ = 1
x →0
x
y 

y →0

0 ≤ x10 sin

⇒

1

1
cos
≤ x10 → 0 khi x → 0, y → 0
10
10
x
y

Hàm số liên tục tại

+) không tồn tại

⇒

+)

.


1
1 
lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷
x →1
x
y 

y →0
O(1,0)

x →0
y →1

1
y10

vì không tồn tại
lim cos

y →0

.


1
1 
lim exp  x10 sin 10 cos 10 ÷ = cos1 ≠ f (0,1)
x →0
x
y 

y →1

lim cos

b)

O(0,0)

hàm số không liên tục tại

và

⇒

vì

vì
lim x10 sin

x →0
y →1

= cos1

hàm số không liên tục tại

 (1+ x)

f (x, y) = e

e

1
x cos y

O(0,1)

.
tại

khi x ≠ 0
khi x = 0

O(0,0)

.

1
x10

=1

1
y10


Lời giải.
Vì
1

lim e

(1+ x) x cos y

x →0
y→0

c)


= lim  (1 +
x →0 
y →0 



f (x, y) = (1 + sin xy)

e

cos x
xy

1
1  cos y
x) x ÷

÷


⇒

hàm số liên tục tại

=e

tại

O(0,0)

.

khi xy ≠ 0
khi x = y = 0

Lời giải.
Vì

lim (1 + sin xy)

cos x
xy

x →0
y→0

⇒

d)

Hàm số liên tục tại


= lim (1 + sin xy)
x →0 
y →0 
O(0,0)

 x −y
sin
f (x, y) =  x 2 + y 2

0
2

2

cos x
1  xy sin xy
sin xy 

tại

khi x 2 + y 2 ≠ 0
khi x 2 + y 2 = 0

y = kx (k ≠ 0) khi x → 0 ⇒ y → 0 ⇒

lim sin

x →0
y→0

x 2 − y2
x 2 + y2

= lim sin
x →0

=e

.

Lời giải.
Đặt




1 − k2
1 + k2

= sin

1 − k2
1 + k2

O(0,0)

.

O(0,0)

.


nhận các giá trị khác nhau khi cho k những giá trị khác nhau
⇒

e)

Hàm số không liên tục tại

O(0,0)

.

1
 2
2
2
2
(x + y )sin x 2 + y 2 khi x + y ≠ 0

f (x, y) = 

0
khi x 2 + y 2 = 0


tại

O(0,0)

Lời giải.
vì

⇒

2

1

2

0 ≤ (x + y )sin

2

x 2 + y2


1 
lim (x 2 + y 2 )sin 2

=0
x →0 
x + y2 
y→0

7) Hàm số
f (x, y) = sin

≤ x + y → 0 khi (x, y) → (0,0)

⇒

Hàm số liên tục tại

1− x − y

O(0,0)

2

Lời giải.
*Chọn

0 < ε0 < 1

với dãy

(x ′n , y′n ), x ′n = y′n =

và

(x n , y n ), x n = y n =

1
1
−
2 2nπ

1 1
−
2 nπ

⇒

.

liên tục đều trong hình tròn

1
2

2

2

2

x + y <1

?

Thỏa mãn

{

2

2

}

và

(x n , y n ),(x ′n , y′n ) ∈ x + y < 1

(x n − x ′n ) 2 + (y n − y′n ) 2 = 2(x n − x ′n ) 2 = 2  1 − 1 − 1 − 1 

÷
2 nπ 
 2 2nπ
=

2
1
2
1
1
nπ
1
<

=
×
<
→ 0 khi n → ∞
2nπ 1
2nπ nπ − 1 nπ
1
1 1
n π − 1 nπ − 1
−
+
−
2 2nπ
2 nπ
2nπ

f (x n , y n ) − f (x ′n , y′n ) = sin
hình tròn

nπ
− sin nπ = 1 > ε0
2

⇒ f (x, y)

không liên tục đều trong

x 2 + y2 < 1

8) Tìm các đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau và mô tả chúng như hệ

sốgóc:
a)

u = x 4 − 2x 2 y 2 + 3xy3

Lời giải.
4

2 2

3

3

2

u = x − 2x y + 3xy ⇒ u ′x = 4x − 4xy + 3y

3

và

u ′y = −4x 2 y + 9xy 2


Đối với

3

2

u ′x = 4x − 4xy + 3y

3

nhau,ứng với mỗi x thì giá trị

cho

y = y0 = co n s t

3

u ′x = 4x − 4xy + 3y

số góc của tiếp tuyến của đường cong

tương tự cho trường hợp

b)

u=

2

khi cho x những giá trị khác

3

tương ứng thu được là hệ

u = x − 2x y + 3xy

 y = y0
4

2 2

3

tại

(x, y0 )

u ′y = −4x 2 y + 9xy 2

x−y
x+y

Lời giải.
u=

x−y
2y
−2x
⇒ u ′x =
;u ′y =
2
x+y
(x + y)

(x + y) 2

Đối với
u ′x =

ứng với mỗi

tiếp

cho

2y

y = y0 = co n s t

khi cho x những giá trị khác nhau,

(x + y) 2
x ≠ y0

thì giá trị
u ′x =

2y
(x + y) 2

tương ứng thu được là hệ số góc của


tuyến của đường cong

x−y

u =
x+y

y = y

0

tương tự cho trường hợp
u ′y =

c)

3

3

u = x ln(x + y )

tại

(x, y0 )

−2x
(x + y) 2

;

Lời giải.
u = x ln(x 3 + y3 ) ⇒ u ′x = ln(x 3 + y3 ) +
Đối với
u ′x = ln(x 3 + y3 ) +

3x

3

cho

3x

3

x 3 + y3

và
u ′y =

y = y0 = co n s t

3xy

2

.

x 3 + y3
khi cho x những giá trị

3

x + y3

khác
nhau,ứng với mỗi

x ≠ − y0

thì giá trị
u ′x = ln(x 3 + y3 ) +

được
là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong

u = x ln(x + y )

 y = y0
3

3

tại

(x, y0 )

3x

3

x 3 + y3

tương ứng thu


tương tự cho trường hợp
u ′y =
d)

u = xe

3/ y

3xy

.

2

x 3 + y3

;

Lời giải.

u = xe

3/ y

Đối với

3/ y

⇒ u ′x = e

u ′x = e

3/ y

với mỗi thì giá trị

đường cong

cho

và
u ′y = −

u ′x = e

3/ y

u = u = xe

 y = y0 ≠ 0

u = xy z + ln z

e3/ y

3/ y

khi cho x những giá trị khác nhau,ứng

tương ứng thu được là hệ số góc của tiếp tuyến của

tại

u ′y = −

2 3

y

2

y = y0 = co n s t ≠ 0

tương tự cho trường hợp

e)

3x

(x, y0 )

3x
y2

.
e

3/ y

;

Lời giải.

u = xy 2 z3 + ln z ⇒ u ′x = y 2 z 3 ; u ′y = 2xyz 3 ; u ′z = 3xy 2 z 2 +

1
z


f)

u(x, y.z.t) = xz tg(yt)

Lời giải.

(

)

(

⇒ u ′x = z tan(yt);u ′y = xzt 1 + tan 2 (yt) ;u ′z = x tan(yt);u ′t = xzy 1 + tan 2 (yt)
9)
a)

)

Tìm các đạo hàm riêng của hàm u và tính chúng tại các điểm chỉ ra
u = sin(xyln z)

tại

M(1,0,1)

;

Lời giải.

u = sin(xyln z) ⇒ u ′x = yln z cos(xyln z); u ′y = x ln z cos(xyln z); u ′z =

xy
cos(xyln z)
z

u ′x (1,0,1) = u ′y (1,0,1) = u ′z (1,0,1) = 0
b)

3 3

u = xy z

tại

M(1,2,0)

Lời giải.
u = xy3 z3 ⇒ u ′x = y 3z 3 ; u ′y = 3xy 2 z 3 ; u ′z = 3xy 3z 2 ⇒

u ′x (1,2,0) = u ′y (1,2,0) = u ′z (1,2,0) = 0
10) Giả sử các hàm f và g khả vi, đặt

Chứng minh rằng

Lời giải.

z′y

z′x
z
+
= 2
x
y y

2

2

z = yf (x − y )

và

yu ′x + xu ′y = x

và

u = y + g(x 2 − y 2 )


+)

z = yf (x 2 − y 2 ) ⇒ z′x = 2xyf ′(x 2 − y 2 );z ′y = f (x 2 − y 2 ) − 2y 2f ′(x 2 − y 2 )

z′y

2

2

2

2

z′x
f (x − y )
f (x − y ) z
+
= 2yf ′(x 2 − y 2 ) +
− 2yf ′(x 2 − y 2 ) =
= 2
x
y
y
y

y
+)

u = y + g(x 2 − y 2 ) ⇒ u ′x = 2xg ′(x 2 − y 2 );u ′y = 1 − 2yg ′(x 2 − y 2 )
2

2

2

đpcm.

2

yu ′x + xu ′y = x ⇔ 2xyg ′(x − y ) + x − 2xyg ′(x − y ) = x

11) Tìm

∂z ∂z
;
∂s ∂t

của

2

z = x + 2xy + 3y

2

với

x =s+ t

;

y = st

tại

Lời giải.
x(1,0) = 1; y(1,0) = 0

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
= (2x + 2y) + (2x + 6y)t (s, t) = (1,0)
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s (s,t) = (1,0)
= 2(t + s + ts) + (2s + 2t + 6ts)t (s, t) = (1,0) = 2

∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
= (2x + 2y) + (2x + 6y)s (s,t) = (1,0) = 4
∂s ∂x ∂t ∂y ∂t (s, t) = (1,0)
12) Tìm

a)

đpcm.

2

z′x ;z′y

2

2

trong đó hàm số

x + y + z = 4xyz

;

z = z(x, y)

được xác định :

s = 1; t = 0

.


Lời giải.
Đặt

F(x, y,z) = x 2 + y 2 + z 2 − 4xyz

F′ (x, y,z)

x − 2yz
z′x (x, y) = − x
=−
Fz′ (x, y,z)
z − 2xy
b)

xz = ln(x + y + z)

và
z′y (x, y) = −

Fy′ (x, y,z)
Fz′ (x, y,z)

=−

y − 2xz
z − 2xy

.

Lời giải.
Đặt
⇒

⇒

F(x, y, z) = xz − ln(x + y + z)

Fx′ = z −

1
1
1
;Fy′ = −
;Fz′ = x −
x+y+z
x+y+z
x+y+z

F′
z(x + y + z) − 1
z′x (x, y) = − x = −
Fz′
x(x + y + z) − 1

và
z′y (x, y) = −

Fy′
Fz′

=

1
x(x + y + z) − 1

13) Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm ẩn để tìm
a)Với

z = z(x, y)

được xác định

x
z
= ln + 1
z
y

.Tìm

dz(1,1);d 2 z(1,1)

Lời giải.
Đặt

z
x⇒
1
1
x+z
F(x, y, z) = ln + 1 −
Fx′ = − ;Fy′ = − ;Fz′ = 2
y
z
z
y
z

nhận thấy

z(1,1) = 1


F′
z
z′x = − x =
Fz′ z + x

z′′xx =

và

⇒
1
Fx′
z2
dz(1,1) = (dx + dy)
z′y = − =
2
Fz′ y(z + x)

(z + x)z′x − z(1 + z ′x )
(z + x) 2

=

;

xz ′x − z
(z + x) 2

z′′xy =

(z + x)z′y − zz′y
(z + x) 2

=

⇒

xz′y
(z + x) 2

,
⇒
1
1
2zz′y y(z + x) − z (z + x + yz ′y )
z′′yy (1,1) = − = z ′′xx (1,1) z′′xy (1,1) =
z′′yy =
8
8
y 2 (z + x) 2
2

⇒

d 2 z(1,1) = −

hoặc

(

)

1
1
dx 2 − 2dxdy + dy 2 = − (dx − dy) 2
8
8

 z

zdx − xdz ydz − zdy
x
x y z
d  ÷ = d  ln + 1÷ ⇔ d  ÷ = d  ÷ ⇔
=
2
y
z
z
y
zy
z



z


 

⇔ (zy + yx)dz = zydx + z 2dy
⇒

Từ

zydx + z 2 dy
dz(1,1) =
zy + xy

(x, y,z) = (1,1,1)

2

(zy + yx)dz = zydx + z dy

1
= (dx + dy)
2

ta có

(

d [ (zy + yx)dz ] = d zydx + z 2dy

)

⇔ ydz 2 + zdzdy + xdydz + ydxdz + (zy + xy)d 2 z = ydzdx + zdxdy + 2zdzdy
⇔ ydz 2 − zdzdy + xdydz + (zy + xy)d 2 z = zdxdy


Với

⇒

z(1,1) = 1

và

1
dz(1,1) = (dx + dy)
2

ta được

(dx + dy) 2
(dx + dy) 2
(dx − dy) 2
+ 2d 2 z = dxdy ⇒ 2d 2 z = −
+ dxdy = −
4
4
4

(dx − dy)2

⇒d z=−
8
2

b)Với

z = z(x, y)

được xác định

z − ye

x/z

=0

.Tìm

dz(0,1)

Lời giải.
Đặt

⇒

F(x, y,z) = z − ye x / z

z′x = −

Fy′

x/z

2 x/z

Fx′
zye
z e
′y = − =
= 2
;
z
Fz′ z + xye x / z
Fz′ z 2 + xye x / z

và

z(0,1) = 1 ⇒

dz(0,1) = dx + dy

c) Tìm

2

d y(0)

với

y = y(x)

được xác định

Lời giải.

F(x, y) = x 3 + y3 − 3xy − 1
⇒

⇒ y(0) = 1

Fx′
x2 − y
y′ = − = − 2
=1
Fy′
y − x (0,1)

x 3 + y3 − 3xy − 1 = 0


⇒ y′′ = −

(2x − y′)(y 2 − x) − (2yy′ − 1)(x 2 − y)
(y 2 − x)2

=0

⇒

d 2 y(0) = 0

x =0

14) Nhiệt độ tại mỗi điểm trên đĩa kim loại phẳng cho bởi
T(x, y) =

120
2 + 2x 2 + 3y 2

trong đó T
đotheo

o

, x và y theo mét. Tìm vận tốc biến thiên nhiệt độ theo vị trí tại điểm

C

(2,2) theo chiều trục Ox và theo chiều trục Oy.
Lời giải.
vận tốc biến thiên nhiệt độ theo vị trí tại điểm (2,2) theo chiều trục Ox được xác
định

Tx′ (2,2) = −

480x

( 2 + 2x 2 + 3y )

=−

2 2

240
121

(2,2)

vận tốc biến thiên nhiệt độ theo vị trí tại điểm (2,2) theo chiều trục Oy được xác
định

Ty′ (2, 2) = −

720y

(

2 + 2x 2 + 3y 2

)

=−

2

360
121

(2,2)

15) Điện trở toàn phần của hai dây dẫn với điện trở
mắc song song cho bởi công thức

1
1
1
+
=
R1 R 2 R

R1

.Tìm

và

R2

∂R
∂R1

trong một mạch điện

và

∂R(25, 40)
∂R1

.

Lời giải.

R 2 R1
R 22
1
1
1
∂R
∂R(25, 40) 64
+
= ⇒R=
⇒
=
⇒
=
R1 R 2 R
R 2 + R1
∂R1 ( R 2 + R1 ) 2
∂R1
169
16) Chiều dài , chiều rộng w và chiều cao h của một chiếc hộp thay đổi theo thời
l
gian. Tại một thời điểm nhất định các kích thước này là

,
, và
l = 2m w = h = 3m l

w tăng lên với vận tốc 0,2m/scòn h giảm đi với vận tốc 0,3m/s. Tại thời điểm đó

hãy tìm vận tốc biến thiên của các đại lượng sau: (a) thể tích, (b) diện tích xung
quanh.
Lời giải.
Thể tích hộp và diện tích xung quanh

V = whl ; Sxq = 2(l + w)h

Sự của đại lượng thể tích khi vận tốc biến thiên được xác định
Vl′ ∆l + Vh′ ∆h + Vw′ ∆w

= 0, 2wh − 0,3wl + 0, 2hl = 9 × 0, 2 − 6 × 0,3 + 0, 2 × 6 = 1, 2m 3 / s

Sự của đại lượng diện tích xung quanh khi vận tốc biến thiên được xác định
S′l ∆l + S′h ∆h + S′w ∆w + Vl′∆l = 2 ( h∆l + h∆w + (l + w)∆h) )

= 2 ( 0,2 × 3 − 0,3 × 3 + 0,2 × 5 ) = 1,4m 3 / s


17) Cho hàm

 xy3

f (x, y) =  x 2 + y 2

 0

khi x 2 + y 2 ≠ 0
khi x 2 + y 2 = 0

Chứng minh rằng tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2 và

2

2

∂ f (0,0) ∂ f (0,0)
≠
∂x∂y
∂y∂x

Lời giải.
Ta có

Với

và

∂f (0,0)
f (x,0) − f (0,0)
f (0, y) − f (0,0)
∂f (0,0)
= lim
= lim
=0=
x →0
y →0
∂x
x
y
∂y

ta có

x≠0

y≠0

f y′ (x, y) =
ta có
f x′ (x, y) =

2

2

2

3xy (x + y ) − 2xy

4

;

(x 2 + y 2 ) 2

y3 (x 2 + y 2 ) − 2x 2 y3
(x 2 + y2 )2

f x′ (0, y) − f x′ (0,0)
∂ 2 f (0,0)
y5

= lim
= lim 5 = 1
y→0
y→0 y
∂x∂y
y
⇒ ∂ 2 f (0,0) ∂ 2 f (0,0)
f y′ (x,0) − f y′ (0,0)
∂ 2 f (0,0)
= lim
=0
≠
x →0
∂y∂x
y
∂x∂y
∂y∂x

18) Tính :
a)

 x+y 
d
÷
 z − xy 

.


Lời giải.

 x + y   x + y ′
 x + y ′
 x + y ′
d
÷ =  z − xy ÷ dx +  z − xy ÷ dy +  z − xy ÷ dz
z
−
xy

 
x

y

z
=

1

(z + y 2 )dx + (z + x 2 )dy − (x + y)dz 

(z − xy) 
2

Hoặc
 x + y  (z − xy)(dx + dy) − (x + y)(dz − xdy − ydx)
d
÷=
z
−

xy
(z − xy) 2


=

1

(z + y 2 )dx + (z + x 2 )dy − (x + y)dz 

(z − xy) 
2

b)

d(x 2 cos y)

Lời giải.

d(x 2 cos y) = 2x cos ydx − x 2 sin ydy
19) Cho

z = arccos(x ln y)

tính

dz(0,1)

và

2

.

d z(0,1)

Lời giải.
+)
z′x = −

ln y
2

2

1 − x ln y

;z′y = −

x
2

2

y 1 − x ln y

⇒ dz(0,1) = 0


+)

z′′xx = −

(

x ln 3 y
1 − x 2 ln 2 y

)

3/ 2

;z′′yy =

(1 − x 2 ln 2 y − x 2 ln y)x

(

1 − x 2 ln 2 y

)

3/ 2

;z′′xy = −

(

y 1 − x 2 ln 2 y

⇒ d 2 z(0,1) = −2dxdy
20) Cho

y

f (x, y) = cos(xe )

tính

3

∂ f

.

∂x 2 ∂y
Lời giải.

f x′ (x, y) = −e y sin(xe y ) → f x′′2 (x, y) = −e 2y cos(xe y )
⇒ ∂ 3f

∂x 2 ∂y

= xe3y sin(xe y ) − 2e 2y cos(xe y )

21) Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số:
a)

z = x ln y + tan(xy)

Lời giải.
z′x = ln y + y 1 + tan 2 (xy)  ⇒ z′′xx = 2y 2 tan(xy) 1 + tan 2 (xy) 
z′y =

x
x
+ x 1 + tan 2 (xy)  ⇒ z ′′yy = − 2 + 2x 2 tan(xy) 1 + tan 2 (xy) 




y
y

z′′xy =

1
+ ( 1 + 2xy.tan(xy) ) 1 + tan 2 (xy) 


y

1

)

3/ 2


b)

z=x

y

.

Lời giải.

z′x = yx y −1 ⇒ z′′xx = y(y − 1)x y − 2
z′′xy = x y −1 + yx y −1 ln x;
z′y = x y ln x ⇒ z′′yy = x y ln 2 x

22) Tìm các đạo hàm riêng

′′
f xy

và

′′′ 2
f xy

với

2

2

f (x, y) = 2x y + x ln y

.

Lời giải.
′′ (x, y) = 4x +
f x′ (x, y) = 4xy + 2x ln y ⇒ f xy

2x
2x
′′′ 2 (x, y) = −
; f xy
y
y2

23) Xét xem hàm nào sau đây là nghiệm của phương trình Laplace
a)

2

u = 2x + y

2

;

Lời giải.
u ′′xx = 4;u ′′yy = 2 ⇒ u = 2x 2 + y2
b)

2

u=x −y

2

không là nghiệm của phương trình Laplace

;

Lời giải.
u ′′xx = 2; u ′′yy = −2 ⇒ u ′′xx + u ′′yy = 0 ⇒ u = x 2 − y 2
Laplace

là nghiệm của phương trình


c)

3

2

u = x − 3x y

.

Lời giải.
u = x 3 − 3x 2 y ⇒ u ′x = 3x 2 − 6xy; u ′y = −3x 2

u ′′xx = 6x − 6y; u ′′yy = 0 ⇒ u = x 3 − 3x 2 y

không là nghiệm của phương trình

Laplace.
24) Tìm đạo hàm của hàm số
a)

z(x, y) = x ln y

tại

P(−4,e)

theo hướng

r  5 12 
l = , ÷
 13 13 

Lời giải.
Do r
5
x 12 5e − 48
l = 1 ⇒ ∂z(P)
r = ln y + × =
13
y 13
13e
∂l
b)

u=e

−x

Lời giải.

tại

cos y

theo hướng r r r
 π
l = 3i − 4 j
P  0, ÷
 6


r
r r r
l 3 4⇒
l = 3i − 4 j ⇒ r =  , − ÷
l 5 5

∂u(0, π / 6)  3 − x
4
4−3 3

r
=  − e cos y + e − x sin y ÷

=
5
10
∂l
 5
  0, π ÷


c)

tại

u(x, y,z) = x 2 + y 2 + z 2

P(2,2,1)

6

theo hướng uuu
r.
OP

Lời giải.
uuu
r
∂u(P) 2 ∂u(P) 2 ∂u(P) 1
OP  2 2 1  ⇒ ∂u(P)
r =
× +
× +

×
uuu
r = , , ÷
∂
x
3
∂
y
3
∂
z
3
∂
l
OP  3 3 3 

∂u(P) 
2x
2y
z
r =
+
+
 3 x 2 + y2 + z2 3 x 2 + y2 + z 2 3 x 2 + y 2 + z 2
∂l



÷
=1

÷
 (2,2,1)

25) Tìm tất cả các điểm tại đó chiều biến thiên nhanh nhất của hàm số
là r r .
f (x, y) = x + 2y − 2x i + j
2

2

Lời giải.
Điểm tại đó chiều biến thiên nhanh nhất của hàm số

đạo hàm của

2

2

f (x, y) = x + 2y − 2x

là

theo hướng uuuur ,nên véctơ r r r
và
grad f
i + j = a(1,1)
f (x, y) = x + 2y − 2x
2

2